《线性代数》第一节矩阵

相反，非零元只出现在对角线及其下（或左） 方的方阵为下三角[形矩]阵(lower triangular matrix)
记作 L ( left ).
1
0 0
如
L 2 1 0
3
1 5
1
是个 3 阶下三角阵
一般而言，对n阶矩阵A=[aij]，当且仅当 i>j 且
aij =0时A为上三角阵；而当且仅当 i< j 且aij = 0 时 A为下三角阵；
城市，食品与商店) 且其元素间由某数（上面
分别是通路数目，价格）相关联的场合，常会出 现这样的矩阵.
例3 （原子矩阵）在复杂化学反应系统中，涉及众
多的化学物，为了定量地研究反应、平衡等问题，
可引进表示这种系统的原子矩阵. 如在合成氨生 产的甲烷与水蒸气生成合成气的阶段，系统内除 一些惰性气体外，还存在以下7种化学物： CH4，H2O，H2，CO，CO2，C，C2H6. 这时可写出原子矩阵：
而 diag (δ1 ,δ2 ,·····,δn ) 表示一组对角元分 别为δ1 ,δ2 ,·····,δn的 n 阶对角阵， 详细写出就是
diag ( 1 , 2 , , n ) def
01
0
2
0
0
（2-4）
0
0
n
当然允许某些δ 等于零。
(5) 标量阵
当一对角阵的对角线元全相等，等于某个常
就向量而言，称其元为分量，分量的个数即 为向量的维。故所谓n维向量就是 n 维数组，即 n个数的一个有序数组，亦即是个n×1的列矩阵 或 1 × n的行矩阵. 这样, 称（2-3）是二维向量。
今后凡未作特别说明，讲到向量均指列向量。
概念 在用同一个字母代表不同向量时，常以下标区别，
n 个元，如排：成a1m, a行2 ,··n··列··（横称行，
即以中、上、下顺序出马，则比赛结束时齐王的
净赢得数为 –100 金。
(4) 对角阵 一个既是上三角又是下三角的矩阵称为对角
[矩]阵（diagonal matrix）, 亦即对角阵是非零元 只能在主对角线上出现的方阵.
12 0 0
如
D
0
3 0
是个 3 阶的对角阵.
0 0 4
显然，由对角线元就足以确定对角阵本身，
故常将这对角阵记作 D = diag ( 12 , 3 , 4 ) .
矩阵概念
1 m n常个用元大，写排黑成斜m体行字n母列如（A横、称B、行C，， ·····记之，
纵称列必）要的时矩也型可阵以列以（下表标）来区别不同的矩阵，
a11
如Aa112，A2，
·····
a1n
a
21
在书a2写2 矩阵时a，2n也 有将(2-1)
am1
称为维是
简称为m
mamn2[aan型1n11的]矩矩a阵阵mnaa. 1n(nnma或triaax1n)11
量δ 时称为标量[矩]阵(scalar matrix) , 特别称
δ=1 的标量矩阵为单位[矩]阵, 或称幺[矩]阵 (identity matrix), 以 I 或 E 来记。
必要时在其下角标明阶数， 如
1 0 0 I 3 0 1 0
0 0 1
（2-4´）
三、矩阵问题的例
在对许多实际问题作数学描述时，都要用到 矩阵的概念，这里讨论几个简单的例子。
（shop）中，单位量的售价可用以下矩阵给出：
F1 F2 F3 F4
17 7 11 21 S1 15 9 13 19 S2 18 8 15 19 S3
（2-5）
这里的行表示商店，列为食品，例如第 2 列 3 个
分量就是第 2 种食品在 3 家商店中的 3 个售价。 涉及两个集合 (上面分别是 a 省城市与 b 省
第二章 矩 阵
在上一章已经看到，方程组解的情况实质上 由一张长方形的系数表确定，与变量（未知数） 的符号并无过多的关系，本章专门讨论这样的长 方形的数表即矩阵，建立一些概念与运算；通过 示例、练习、习题等说明其性质及由来；对在解 决问题、解释概念与结果中有用的一些技巧做了 介绍；讨论了用途很广的矩阵初等变换及初等矩 阵。
CH4 H2O H2 CO CO2 C C2H6 C 1 0 0 1 1 1 2 H 4 2 2 0 0 0 6 O 0 1 0 1 2 0 0
例4 （赢得矩阵） 一个称为对策论或竞赛论的数
学分支，是研究社会现象的一种特定数学方法.
我国古代“齐王赛马”的故事，就是一个对策问题， 故事说战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约
第一节 基本概念
矩阵概念 一些特殊的矩阵 矩阵问题的例
一、矩阵概念
定义 1 m n 个元，排成 m 行 n 列（横称行，
纵称列）的矩型阵列（表）
a11 a12 a1n
a
21
a22
a2n
a m 1
am2
a mn
(2-1)
称为维是 m n 的矩阵 (matrix) 简称为m n [型]矩阵.
的m n矩阵写作
a1n ann
11
12
1n
另外,a在21 不致a2引2 起混淆a时2n还 常将(2-1)
a m 1
a
A=
m2
[aij
]
a mn
简记作
称这为里维的是aijm是矩n阵的A矩的阵第 (im行at第rixj)列的代表性元 (今后简简称称为为m该矩n阵[型的]i矩- 阵j 元. )
矩阵的元常用与矩阵符号相应的“白体”小写 字 母表示，而所带的两个下标则分别示明该元在矩阵
a
2n
矩阵
(2-1)
的元可以是实数也可以出现复数，
a或m一n者、元矩本身阵就概是念个矩阵或其他更一般的数学对象。
n 的矩我阵定们(m义分at别1rix称) m这种n矩个阵元为，实排矩成阵m、行复矩n 列阵（、横超称矩行阵，等。
型]矩阵. 本书主纵要称在列实）数的范矩围型内阵展列开（，表除）预先作说明
为m n [型]矩阵.
对于方阵，主对角线是自左上角到右下角的那 根连线。
一般称元 ai,i+1 位于 A 的上对角线上, 而元 ai,i-1 在 A 的下对角线上。
在下列这个 4 阶矩阵中,δ 表明其主对角线， 而μ及λ分别标示上、下对角线：
Baidu Nhomakorabea
(3) 上三角阵与下三角阵 对于方阵，若其非零元只出现在对角线及其
外,一般涉及的a1总1 是a实12矩阵。 a1n
从矩阵的 a形21 状看a2，2 遇到最a多2n的 是在(2-1) 中
m=n
的情形，am此1 时a称m之2 为n
阶方阵 或 amn
n
阶矩阵。
(1) 方阵 行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
如 A = ( a11 a12 … a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
a11
如
B
a21
.
am1
作为列向量，常用小写黑体字母a，b,····记之，
而行向量则常被记作aT，bT,····或a´，b´,····。
如
cos
sin
（2-3）
是个2×1的列矩阵，也可以当作列向量
上（或右）方，就称为上三角[形矩]阵（upper triangular matrix）, 有时用 U 或 R ( right ) 表示。
5 2 1 4
如： U 0 7 0 3
0 0 13 2 0 0 0 0
是 4 阶上三角阵。
值得注意的是，对角线下（或左）方的元必为零，
而其他元可以是零也可以不是零。
若将这 6 种策略依次从1到6编号，则可写出 齐王的赢得矩阵。
田忌策略
齐 王
3 1 1 1 1 1
1
3
1 1 1
1
1 1 3 1 1 1
策
1
1 1 3
1
1
P
略
1 1 1 1 3 1
1 1 1 1 1 3
例如，这里的 p32= –1，意即齐王采用策略 3， 即以下、中、上顺序出马，而田忌采用策略 2，
定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，
这样共赛马3次，每次比赛的败者付给胜者一百金
已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜 券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、 下等级的马。
齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，各可取 下列 6 种策略（方案）之一： （上，中，下）,（中，上，下）, （下，中，上） （上，下，中）,（中，下，上）, （下，上，中）
图 2-1
现有
4 1 3 a1 C 0 2 2 a2
b1 b2 b3 通路矩阵 C 的行表示 a 省的城市， 列是 b 省的
城市， 而 cij 表示 ai 与 bj 间的通路数。 工厂中常用管道联结各种设备，于是也可
用一矩阵表明各设备间的连通情况.
例2 （价格矩阵） 四种食品（food）在三家商店
an1 an2 ann
（2-2）
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，
今后，常将 1 阶矩阵作为数对待， 当然，
决不可将数看做 1 阶矩阵。
另外，只有一列（即 n = 1）或一行（即
m = 1）的矩阵也常碰到.
(2) 行矩阵和列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
例1 （通路矩阵） a 省两个城市 a1 , a2 和 b 省
三个城市 b1, b2, b3 的交通联结情况如图2-1所示， 每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路 总数。由该图提供的通路信息，可用矩阵形式 表示（称之为通路矩阵），以便存贮、计算与 利用这些信息。
a1
3
a2
4
b1
1 2
b2
2
b3
称列）的矩型阵从列矩（阵表中）元零的分布看，也可区分出几种常
a11 a12见的特殊a1形n 式的矩阵， 为此先引入下面的定义。
a 21
a2定2 义2
a
2
n
对于
(2-1)
的 m n 矩阵 A，记
m1
a
m
k
2
=mina{
m
mn
,
n}
,
称元 a11 , a22 ，···，构成 A 的[主]
维是 m 对n角的线矩，阵并(称maatriii为x) A 的第 i 个对角元。
中所处的行号及列号。如对于
1 2 4 3 A 9 8 5 2
4 2 1 0
３×４矩阵
这个３×４矩阵，有 a21 = 15， a33 = 14
在叙述普遍规律或从前后文容易明确时，一 般就不特别指所涉及矩阵的维，而在必要时常用
Am n
或
A
mn
表明 A 是 m n 矩阵
矩型阵列（表）
a二1n 、一些特殊的矩阵