分式方程解法的标准
(完整)分式方程概念及解法
分式方程的概念,解法知识要点梳理要点一:分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释:1.分式方程的三个重要特征:①是方程;②含有分母;③分母里含有未知量。
2.分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程.要点二:分式方程的解法1。
解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,然后利用整式方程的解法求解.2.解分式方程的一般方法和步骤(1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注:分式方程必须验根;增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因:对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根.规律方法指导1.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.经典例题透析:类型一:分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是()A.B.C.D.举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a,b为已知数,且,则这个方程是( )A.分式方程B.一元一次方程C.二元一次方程D.三元一次方程类型二:分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x=0这样的分式方程可以是______________。
分式方程的解法
分式方程的解法多年的教学,总结了一下分式方程的解法,供大家参考,希望对大家有所帮助。
方法1:计算法例 解方程 32223=-++x x x 解:移项,得()()()()是原方程的根时,检验:当计算,得4,022440164022164-032223=≠-+===+-=-++=--++x x x x x x x x x x x x原理:分式的值为0,分子为0,分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边,右边为0 ,从而利用分式的值为0求出未知数。
方法2:分式相等法例 解方程 32223=-++x x x 解:原方程化为()()()()()()()()()()()()416412344322322232222322222322=-=--=+--+=++--+-+=-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x经检验,x=4是原方程的解。
原理:两分式相等,分母相等,分子也相等。
方法3:等式性质法例 解方程 32223=-++x x x 解:方程两边同乘()()22-+x x 得()()()()4164123443223222322=-=--=+--+=++-x x x x x x x x x x经检验,x=4是原方程的解。
原理:利用等式性质,去分母化为整式方程。
方法2结合方法3,降低去分母的难度。
方法4:比例式法例 解方程 415+=x x解:两外项的乘积等于两內项的乘积 ()55554154-==-+=+=x x x x x x经检验,x=-5是原方程的解。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是指含有分数的方程,其形式可以表示为两个多项式的商等于另一个多项式。
解分式方程时,我们需要确定未知数的取值范围,并通过一系列步骤将方程化简为等价的形式,进而求得方程的解。
下面,我们将介绍两种常见的分式方程解法:通分法和消元法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。
其基本思路是通过相同的公分母,将分式方程中的分式转化为整式方程。
下面以一个简单的例子来说明通分法的具体步骤。
例题1:求解方程 1/(x+1) + 2/(x-1) = 1步骤1:找到方程的最小公倍数作为公分母。
本例中,最小公倍数为 (x+1)(x-1)。
步骤2:将方程中的每一项通分,并结合同类项。
通分后的方程变为 [(x-1) + 2(x+1)] / [(x+1)(x-1)] = 1。
步骤3:化简方程,消去分母。
将分子展开并结合同类项,得到 (3x + 1) / [(x+1)(x-1)] = 1。
步骤4:通过消去分母的方式解方程。
将方程中的分母乘到分子上,得到 3x + 1 = (x+1)(x-1)。
步骤5:将方程化简为标准形式,并解方程。
将右侧的乘法展开,并结合同类项,得到 3x + 1 = x^2 - 1。
步骤6:整理方程,将方程移到一侧,得到 x^2 - 3x - 2 = 0。
步骤7:使用因式分解法或求根公式等方法,解出方程的根。
解得x = -1 或 x = 2。
所以,方程 1/(x+1) + 2/(x-1) = 1 的解为 x = -1 或 x = 2。
二、消元法消元法是另一种解决分式方程的常用方法。
其基本思路是通过去除方程中的分母,并将方程转化为整式方程。
下面以一个示例来说明消元法的具体步骤。
例题2:求解方程 (2/x) - (3/(x+1)) = 1/2步骤1:寻找方程中的最小公倍数,并将方程中的每一项通分。
本例中,最小公倍数为 2x(x+1)。
步骤2:将方程中的分式乘以相应的倍数,使得分母相同。
高中数学中的分式方程的解法
高中数学中的分式方程的解法在高中数学中,分式方程是一个重要的内容,它是由含有分式的方程组成的。
解决分式方程需要一些特定的技巧和方法。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指方程中只含有一次分式的方程。
解决一次分式方程的关键是将方程化简为一个整式方程。
例如,对于方程 $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$,我们可以通过通分的方式消去分母,得到 $x(x-2) + 2(x+1) = 3(x+1)$。
然后,我们将方程化简为一个整式方程 $x^2 - 2x + 2x + 2 = 3x + 3$,进一步简化为 $x^2 - 3x - 1 = 0$。
最后,我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指方程中含有二次分式的方程。
解决二次分式方程需要将方程化简为一个二次方程。
例如,对于方程 $\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 9}$,我们可以先找到方程中的公共分母 $(x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)$。
然后,我们将方程中的每一项乘以相应的公共分母,得到 $(x^2 - 4)(x^2 - 9) + (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 2(x^2 - 1)(x^2 - 4)$。
进一步化简得 $x^4 - 13x^2 + 36 + x^4 - 10x^2 + 9 = 2x^4 - 6x^2$。
最后,我们将方程化简为一个二次方程 $2x^4 - 3x^2 - 45 = 0$,并使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
三、分式方程的约束条件在解决分式方程时,有时需要考虑方程的约束条件。
约束条件是指方程中的变量需要满足的条件。
例如,对于方程 $\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$,我们可以通过观察发现,当 $x=-1$、$x=1$、$x=2$、$x=3$时,方程的左边或右边的分式将无定义。
分式方程
分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.注: 解分式方程必须检验,验根时把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
步骤:(1)去分母(两边同时乘以最简公分母)(2)去括号(3)移项(一般般含未知数的项移到左边,常数项移到右边) (4)合并同类项(5)系数化一(两边同时除以未知数的系数) (6)检验(将所求的未知数的值代入最简公分母) (7)做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;(2)最简公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根---增根;(2)验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.例题讲解:1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数,求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零,则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造.原计划每天修x 米,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修路比原计划的2倍还多35米,那么修这条路实际用了 天.5. 若方程322x mx x-=--无解,则m =______. 解下列分式方程:14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知:关于x 的方程xx x a --=-+3431无解,求a 的值。
分式方程解法
分式方程意义及解法1.解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程“转化”为整式方程.即分式方程整式方程2.解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根(即分母为0)。
所以,必须验根。
产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.检验根的方法:(1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。
(2)为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根。
必须舍去。
用去分母法解分式方程的一般步骤:(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;(ii)解所得的整式方程;(iii)验根做答例5:解方程:。
分析:本题方程中分母含有未知数x,是分式方程,解分式方程的关键是去分母,将分式方程化为整式方程,首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解,再找最简公分母。
解:将原方程变形:去分母:方程两边同乘以2(x+3)得: 4+3(x+3)=7,移项:3x=7-4-9合并同类项:3x=-6系数化为1:x=-2检验:把x=-2代入原方程左边==2+=,右边==,∵左边=右边,∴x=-2是原方程的解。
随堂练习:1、解方程:13)1(2522-=--x x x x2、解方程:。
(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程.用换元法解分式方程的一般步骤:(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;(iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值;(iv)检验做答.注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。
分式方程的解法及应用(基础)
分式方程的解法及应用(基础)【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释:(1)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未知数.(2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数).分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程.(3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想:将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母,去掉分母.在去分母这一步变形时,有时可能产生使最简公分母为零的根,这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤:(1)方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,化成整式方程(注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母);(2)解这个整式方程,求出整式方程的解;(3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零,对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释:(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数,所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根.(2)解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行:(1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系;(2)设未知数;(3)找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程;(4)解这个分式方程;(5)验根,检验是否是增根;(6)写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程例1 下列方程中,是分式方程的是( ). A .3214312x x +--= B .124111x x x x x -+-=+-- C .21305x x += D .x a x a b +=,(a ,b 为非零常数)类型二、解分式方程例2 解分式方程:(1)10522112x x +=--; (2)225103x x x x -=+-.变式 解方程:21233x x x-=---;类型三、分式方程的增根例3 m 为何值时,关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根?变式 如果方程11322x x x-+=--有增根,那么增根是________.类型四、分式方程的应用例4 甲、乙两班参加绿化校园植树活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60 棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树?变式两个工程队共同参与一个建筑工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?。
分式方程解的情况
分式方程解的情况
分式方程是一种包含分式表达式的方程,其中分式表达式可以是单个分式或者多个分式的组合。
当我们求解分式方程时,我们需要根据分式的基本性质将其化简为一般的方程式。
在分式方程的解法中,我们需要注意以下几种情况:
1. 分母为0的情况。
当分式的分母为0时,方程无解或者存在不合法的解。
需要特别注意的是,如果分母中存在含有未知数的项,那么我们需要排除可能导致分母为0的情况。
2. 分式的分子分母的最大公因数不为1的情况。
在这种情况下,我们需要将分子分母同时除以它们的最大公因数,将分式化简为最简分式。
3. 分式方程的解不一定在实数范围内的情况。
有些分式方程的解可能存在于复数数域中,这时我们需要使用复数的相关知识对方程进行求解。
总之,求解分式方程需要我们细心、认真、仔细地观察方程式中的各种情况,同时要掌握基本的分式运算技巧和数学知识。
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分式方程的基本运算法则
分式方程的基本运算法则分式方程是以分式形式表示的带有未知数的数学等式。
在解分式方程时,需要遵循一些基本的运算法则。
本文将介绍分式方程的基本运算法则,包括分式的加减乘除运算以及方程的解法。
一、分式的加减法对于分式的加减法,首先需要找到分母的公共倍数,然后将各个分子相加或相减,并保持分母不变即可。
例如,对于分式$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}$,若b和d互质,则可以将其通分得到$\frac{ad \pm bc}{bd}$。
二、分式的乘法分式的乘法是指两个分式相乘的运算法则。
对于分式$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$,只需将分子相乘得到ac,分母相乘得到bd,即可得到结果$\frac{ac}{bd}$。
三、分式的除法分式的除法是指一个分式除以另一个分式的运算法则。
对于分式$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$,可以转化为乘法的形式,即$\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$,然后按照乘法法则进行计算,得到结果$\frac{ad}{bc}$。
四、解分式方程解分式方程的基本方法是将方程两边的分式化简,使得方程转化为整式方程,然后按照解整式方程的方法进行计算。
在解法中需要注意保持等式两边的平衡,确保每一步的操作都是合法的。
结论分式方程的基本运算法则包括加减乘除四则运算以及解法。
掌握这些基本法则,能够帮助我们更好地理解和解决分式方程相关的问题。
在学习和应用过程中,需要不断练习,提高自己的计算能力和逻辑思维能力。
希望本文能够对读者有所帮助,谢谢阅读!。
分式方程知识讲解
分式方程知识讲解分式方程是一种包含分数的方程,其中未知数出现在分数中的分子或分母中。
解分式方程的关键是通过消除分母,将方程转化为一个整式方程,并找到未知数的解。
一般来说,分式方程的解可以分为两种情况:分母不为0的情况和分母为0的情况。
对于分母不为0的情况,我们可以通过消除分母,将方程转化为一个整式方程来求解。
以下是一些常见的分式方程的解法:1.一次分式方程:形如a/x+b=c的方程。
这类方程可以通过先将方程两边都乘以x,然后移项化简得到解。
2.二次分式方程:形如a/(x^2)+b/x+c=d的方程。
这类方程可以通过将方程两边都乘以x^2,然后移项化简得到一个二次方程,进而求解。
3.分式方程组:包含多个分式方程的方程组。
解决这类方程组的关键是通过消去未知数的分母,将方程组转化为一个整式方程组,并求解。
对于分母为0的情况,我们需要特殊处理。
一般地,当分母为0时,方程无解或者方程的解为未知数的取值范围。
在解分式方程时,我们需要遵守以下一些基本规则:1.分式方程的等式两边都要乘以一个非零的数,以保持方程的等价性。
2.消去分式方程的分母时,要确保不会出现除以0的情况。
3.当两个方程的等式两边都乘以相同的非零数时,等式仍然成立。
下面我们通过一些具体的例子来进一步讲解分式方程的解法。
例1:求解分式方程2/x+3=5解法:将方程两边都乘以x,得到2+3x=5x。
将变量项移到一边,常数项移到另一边,得到3x-5x=-2、合并同类项,得到-2x=-2、再将方程两边都除以-2,得到x=1、所以方程的解为x=1例2:求解分式方程1/(x+1)+1/x=1/2解法:首先将方程两边的分式相加,得到(x+1+x)/(x(x+1))=1/2、化简得到2x+1=x(x+1)。
将方程转化为二次方程形式,得到x^2+x-1=0。
利用求根公式,我们可以解得x=(-1±√5)/2、所以方程的解为x=(-1+√5)/2或x=(-1-√5)/2例3:求解分式方程组1/x+1/y=1/2,x-y=1解法:将第一个方程移项,得到1/x-1/2=-1/y。
分分式方程的解法
初中数学分式方程的解法
分式方程是指含有分式未知数的方程。
在初中数学中,分式方程的解法主要有以下步骤:
1. 去分母:将分式方程转化为整式方程。
为了去分母,需要找到一个公共的分母,将方程中的所有分式都转化为整式。
这个过程可能需要多次尝试,找到合适的公共分母。
2. 去括号:将整式方程中的括号去掉,得到一个简单的整式方程。
3. 移项:将整式方程中的未知数项移到一边,常数项移到另一边,使方程变为标准的形如ax+b=0的形式。
4. 求解:根据求根公式,求出整式方程的解。
这个解就是原分式方程的解。
5. 检验:将求得的解代入原分式方程,检验是否满足原方程。
如果满足,那么这个解就是正确的;否则,需要重新求解。
需要注意,解分式方程时,要遵循去分母、去括号、移项、求解和检验的步骤。
此外,在解题过程中,要注意分式方程中分母不能为0的情况,以及解的合理性。
总之,初中数学中的分式方程解法主要是通过去分母、去括号、移项、求解和检验等步骤,将分式方程转化为整式方程,然后求解得到原方程的解。
熟练掌握这些解法与步骤,可以帮助学生更好地解决分式方程问题。
分式方程解分式方程的三点注意
解分式方程的三点注意同学们在学习解分式方程时,要注意以下三个问题:一、 不要急于去分母有些同学在解分式方程时往往不仔细看清分式中的分母中字母和数字有何关系,不分青红皂白去分母,导致解答非常繁琐。
()51.4200832x+=-x 例解方程年威海2x-3 分析 首先将分母降幂排列,即利用符号法则将原方程化为542323x x x -=--切不可方程两边同乘以(2x-3)(3-2x)解:原方程可化为542323x x x -=--去分母得x-5=8x-12解得x=1检验后可知x=1为原方程的根。
二、 选好最简公分母 解分式方程的关键一步是去分母、化分式方程为整式方程,如果分母是多式,首先要分解因式,然后确定最简公分母。
一些同学没有掌握这一要领,而是用所有分母的积去乘以方程两边,导致方程变为难解的高次方程。
221582.22x x x x x+=-++例解方程 解析:有的同学为了去分母得方程两边同乘以()()222x x x x ++,结果是分母虽然去掉了,方程却变成了难解的高次方程了。
正确的解法应该将分式方程各项的分母分解因式。
化为()()2158121x x x x x+=-++,显然最简公分母应为2x(x+1),用此式乘以方程的两边去掉分母化为整式方程然后求解。
三、防止产生增解与漏解解分式方程最后一定要验根,其原因是将分式方程化为整式方程后,未知数的允许值范围扩大了。
另外,解分式方程时,如果各项分子有公因式,一定要注意不可轻易约简,否则可能漏解。
542513.24362x x x x -+=---例解方程 分析:本题求得2x =后,不少同学忽视检验,正确答案应为x=2为原方程的增根。
原方程无解()()34.610156106561065x x x x x x x x -=++++=++++++≠++∴22222x-3例解方程x 11错解原方程可化为x x x x 原方程无解评价:事实上x=3是原方程的根。
分式方程的解题方法
【知识精读】1. 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤:(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】例1. 解方程:x x x --+=1211 分析:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根解:方程两边都乘以()()x x +-11,得例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析:直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。
解:原方程变形为:x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分,得 经检验:原方程的根是x =-92。
例3. 解方程:121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解:由原方程得:3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 例4. 解方程:61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 分析:此题若用一般解法,则计算量较大。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是一种含有分式的方程,其中包含有未知数。
解决分式方程可以采用多种方法,下面将介绍两种常见的解法。
一、通分法对于分式方程,可以使用通分法来求解。
通分法的关键在于将方程两边的分母进行相乘,从而消除分母,得到等价的方程。
举个例子,假设有一个分式方程:(a/b) + (c/d) = (e/f)其中a、b、c、d、e、f均为实数且b、d、f不等于零。
为了使用通分法解决这个方程,首先需要找到最小公倍数(LCM)作为通分的基数。
LCM(b, d, f) = L同时将方程两边的分母乘以L,得到:L * [(a/b) + (c/d)] = L * (e/f)然后将分式中的分子与分母相乘,得到:(a * L/b) + (c * L/d) = (e * L/f)通过通分法,将原始的分式方程转化为一个不含分母的线性方程,可以直接应用线性方程的求解方法来解决。
二、消去法消去法也是一种解决分式方程的常见方法,其基本思路是通过消去分母,将分式方程转化为一个不含分式的方程。
继续以之前的例子进行说明:(a/b) + (c/d) = (e/f)为了使用消去法解决这个方程,可以通过两种方式实现分母的消去:交叉相乘法和除法。
1. 交叉相乘法将方程两边的分式交叉相乘,并将结果相等,得到:a * d =b * c然后将这个等式应用到原始的分式方程中,消去分母:(a/b) + (c/d) = (e/f)(b/a) * (a/b) + (b/a) * (c/d) = (b/a) * (e/f)1 + (b/a) * (c/d) = (b/a) * (e/f)通过这种方式,可以将原始的分式方程转化为一个只包含有未知数的线性方程,然后可以使用线性方程的求解方法求解。
2. 除法将方程两边的分式相除,得到:(a/b) / (c/d) = (e/f)然后将左侧的除法转化为乘法:(a/b) * (d/c) = (e/f)这样可以消去左侧分式的分母,得到:(a * d) / (b * c) = (e/f)通过此种方法,也可以将原始的分式方程转化为一个不含分式的方程。
分式方程的解法分式方程的运算规则
分式方程的解法分式方程的运算规则分式方程的解法分式方程是指含有分式的方程。
解分式方程的方法可以通过通分、消去分母等步骤来实现。
本文将介绍两种常见的解分式方程的方法,并总结分式方程的运算规则。
一、通分法1. 将分式方程中的各分式通分,即找到具有相同分母的公倍数,并将各分式化为相应的分子并列的形式。
例如,对于分式方程:1 1 1—— + —— = ——2x 3x-1 6x我们可以将分母通分为6x,得到:3 2 1——(3x-1) + ——(2x) = 16x 6x 6x2. 将通分后的方程中的分子相加,并合并同类项,化简方程。
继续上述例子,合并同类项得到:3(3x-1) + 2(2x) = 6x继续上述例子,将方程化简为:9x - 3 + 4x = 6x解得:x = 3二、消去法1. 通过消去法将分式方程中的分母消去。
例如,对于分式方程:1 2 3—— + —— = ——x x+1 x+2我们可以通过乘以各分式的分母的方式进行消去,得到: (x+1)(x+2) + 2x(x+2) = 3x(x+1)2. 合并同类项,并化简方程。
继续上述例子,合并同类项得到:x² + 3x + 2 + 2x² + 4x = 3x² + 3x化简为:3x² + 3x + 2 = 3x² + 3x继续上述例子,将方程化简为:2 = 0由此可得方程无解。
分式方程的运算规则1. 分式的加减法:对于分式方程的加减法,首先需要找到相同的分母,然后对应分子进行相加或相减,并保持分母不变。
例如,对于分式方程:1 2 3—— + —— = ——x x+1 x+2我们可以通过通分法将方程化简为:(x+1)(x+2) + 2x(x+2) = 3x(x+1)2. 分式的乘法:对于分式方程的乘法,只需将两个分式的分子相乘,并将两个分式的分母相乘。
例如,对于分式方程:1 2 3—— * —— = ——x x+1 x+2我们可以将方程化简为:1(x+1) * 2(x+2) = 3(x)(x+1)3. 分式的除法:对于分式方程的除法,只需将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘,并将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法:1.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2.可化为一元一次方程的分式方程的解法:(1)解分式方程的基本思想是:把分式方程转化为整式方程.(2)解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤:①去分母,即在方程的两边同时乘以最简公分母,把原方程化为整式方程;②解这个整式方程;③验根:把整式方程的根代入最简公分母中,使最简公分母不等于零的值是原方程的根;使最简公分母等于零的值是原方程的增根.注意:(1)增根能使最简公分母等于0;(2)增根是去分母后所得整式方程的根.3.解分式方程产生增根的原因:增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的,根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数,所得的方程是原方程的同解方程,如果方程的两边都乘以的数是0 ,那么所得的方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根.【例1】解下列分式方程:(1)131x x+=-(2)31244xx x-+=--(3)21122xx x=---(4)11222xx x-=---(5)212xx x+=+(6)2216124xx x--=+-【例2】(1)若关于x 的方程1233mx x=+--有增根,则m =________.(2)解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根,则a 的值是________.(3)若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解,则a 的值为________.(4)若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数,则m 的取值范围是________.(5)若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解,则a =________.二、巧解分式方程: 【例3】(1)111141086x x x x +=+---- (2)2263503x x x x-++=-(3)()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…(4)方程222313x x x x-+=-中,如设23y x x =-,原方程可化为整式方程:________.【拓1】观察下列方程及其解的特征:①12x x+=的解为121x x ==; ②152x x +=的解为12x =,212x =;③1103x x +=的解为13x =,213x =;…… 解答下列问题: ①请猜想:方程1265x x +=的解为________; ②请猜想:关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =,21x a=(0a ≠); ③上题中的结论可以证明是正确的,请用该结论来解方程:315132x x x x -+=-.【拓2】24111181111x x x x +++=-+++.三、分式方程的应用:【例4】(20宝应模拟)十堰即将跨入高铁时代,钢轨铺设任务也将完成.现还有6000米的钢轨需要铺设,为确保年底通车,如果实际施工时每天比原计划多铺设20米,就能提前15天完成任务.设原计划每天铺设钢轨x 米,则根据题意所列的方程是( ) A .600060001520x x -=+ B .600060001520x x -=+ C .600060002015x x -=- D .600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问原计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设原计划每天加工x 套,则根据题意可得方程为( ) A .()16040018120%x x +=+ B .()16040016018120%x x -+=+ C .1604001601820%x x -+= D .()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地,出发后第一小时内按原计划的速度行驶,一小时后加速为原来的1.5倍,并比原计划提前40分钟到达目的地,求前一小 时的平均速度.【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成.已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍,且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天.(1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米?(2)如果甲工程队每天需工程费7000元,乙工程队每天需工程费5000元,若甲队 先单独工作若干天,再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务,支付工程队总费用不超 过79000元,则两工程队最多可以合作施工多少天?四、真题演练:1.(21扬州三模)若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解,则整数m 的值是( ) A .3 B .5 C .3或5 D .3或42.(19仪征期中)定义:如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -,我们就说这个方程叫差解方程.比如:243x =就是个差解方程.如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程,那么m 的值是( ) A .2 B .12 C .12- D .2-3.(20邗江月考)扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成,其中1号线一期工程全长30千米,预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍,行驶时间则缩短半小时.设原来公交车的平均速度为x 千米/时,则下列方程正确的是( ) A .30301.50.5x x +=B .30301.50.5x x -= C .30300.5 1.5x x +=D .30300.5 1.5x x-=4.(21高邮期末)如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解,且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解,则符合条件的所有整数m 的和是( ) A .13 B .15 C .20 D .225.(21仪征期末)若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数,则m 的取值范围为________.6.(21邗江期末)关于x 的方程1122m x x-=--有增根,则m 的值为________.7.(19宝应月考)若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解,则m =________.8.(18高邮期中)已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数,则k 的取值范围是________.9.(19江都期中)若关于x 的方程4122ax x x =+--无解,则a 的值是________.10.(20广陵期中)要使方程121x x a=--有正数解,则a 的取值范围是________.11.(21仪征期末)若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数,则a 的取值范围是________.12.(19邗江月考)对于非零实数a 、b ,规定21a ab b a⊗=-.若(21)1x x ⊗-=,则x 的值为________.13.(20仪征期中)对于两个不相等的实数a 、b ,我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半,如min 2{}31h =、,那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________.14.(20仪征期中)定义运算“※”: , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※,若52x =※,则x 的值为________.15.(20仪征期中)若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++,则a 的值是________.16.(2021·扬州)为保障新冠病毒疫苗接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原先提高了20%,现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天.问:原先每天生产多少万剂疫苗?17.(20邗江月考)疫情防控形势下,人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包次性医用口罩,很快售完,该店又用7500元钱购进第二批这种口罩,所进的包数比第一批多50%,每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元,请解答下列问题: (1)求购进的第一批医用口罩有多少包?(2)政府采取措施,在这两批医用口罩的销售中,售价保持了一致,若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱,那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元?18.(21邗江期末)对于两个不等的非零实数a ,b ,若分式()()x a x b x--的值为0,则x a =或x b =.因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+,所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =,2x b =.利用上面建构的模型,解决下列问题: (1)若方程px q x+=的两个解分别为11x =-,24x =.则p =________,q =________;(2)已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ,2x (12x x <).求12223x x -的值.19.(21高邮期末)八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩,一部分学生骑自行车先走,其余学生20min 后乘汽车出发,结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍.(1)求骑车学生的速度;(2)游玩中八(4)班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动,班主任根据该项目收费标准支付了1575元,请根据该项目收费信息确定全班人数.户外拓展收费标准:人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人,人均收费降低1元,但人均收费不低于40元20.(2020·扬州)如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染. 进货单:商品 进价(元/件)数量(件)总金额(元)甲7200 乙3200李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%. 王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件. 请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.。
分式方程的解法
分式方程的解法解分式方程一般多数情况是先化简,用最简分式通分,不要首先想到的就是“通分”,通常情况下是不通分的,只有比较特殊的分式方程才需要通过通分才能解答.如果是在中考数学试题中出现解分式方程,那么,可以百分百断定,这个分式方程暗藏玄机,是要求考生用巧妙方法解方程,而不是要考生通过通分去解方程,如果是这样的话,出这道解分式方程的题就失去意义和悬念了,而考生恰恰就是用通分的方法解答的,则考生就中“奸计”了,就掉入命题者设下的埋伏和圈套里了.举一例:显然,如果是通分的话,分母就是一个庞大的数.但如果从分子来考察,假如能使分式的分子相等,那解答起来就比较简单了,但如何办到呢?方程右边的“4”,就是解答这道题的“玄机”,就是解答这道题的“妙方”,它与分子分母的关系就暗藏在这个“玄机”里,把它分为两个“2”,移到方程左边,分别与两个分式相减,用简单的整数来通分,就比用两个分式的分母来通分方便多了.这样通分会得到什么结果呢?请看:分式的分子竟然相等了!显然,后边括号里的分数,再庞大也与方程无关了,也不需要去计算它究竟是什么分数,因为它与方程的未知数x无关了,只解分子就可以了:x-2004=0,∴ x=2004.代入方程检验, x=2004 确实是方程的根.又比如下面这道分式方程,如果通分的话,就是一个4次方程,而按照以下这个解法,就比较“高级”,比较“精彩”,比较“精妙”:分母中都有相同的项:x²-8,所以可设y=x²一8,又发现,前两个分母中的“11”与“2”之和“13”,正好与第三个分母中的“13”互为相反数,所以,把第三个分式移到等式右边,左边两个分式通分就比较简单容易了.看以下解题过程也就明白了:分式方程有以下几个类型:第一类型的分式方程:方法是:分式的加减,可以先将假分式化成带分数或带分式再进行计算,按最简分式进行分式的“通分”和加减法就容易多了.说明:当运算到第二类型的分式方程:方法是:根据分子分母的系数成比例关系,用合分比定理进行化简,不成比例的分子分母,要根据其大小关系,加或减某一个“分数”,这时候就可以通过“通分”化简为同一比例的分子分母了.第三类型的分式方程:第四类型的分式方程:经检验,它们都是原方程的根.。
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分式方程解法的标准
一,内容综述:
1.解分式方程的基本思想
在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即
分式方程整式方程
2.解分式方程的基本方法
(1)去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根.
产生增根的原因:
当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.
检验根的方法:
将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等.
为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去.
注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公
分母为0.
用去分母法解分式方程的一般步骤:
(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;
(ii)解所得的整式方程;
(iii)验根做答
(2)换元法
为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程.
用换元法解分式方程的一般步骤:
(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数
式;
(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;
(iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值;
(iv)检验做答.
注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊
方法.它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程.
(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法.
(3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤.
等式。
表示相等关系的式子叫做等式。
等式的性质有三:
性质1:等式两边同时加上相等的数或式子,两边依然相等。
若a=b
那么有a+c=b+c
性质2:等式两边同时乘(或除)相等的数或式子,两边依然相等
若a=b
那么有a·c=b·c
或a÷c=b÷c
性质3:等式两边同时乘方(或开方),两边依然相等
若a=b
那么有a^c=b^c
或(c次根号a)=(c次根号b)
.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,
那么a+c>b+d.
性质4:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质5:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,
常见的数量关系
1,每份数×份数=总数
总数÷每份数=份数
总数÷份数=每份数
2、1倍数×倍数=几倍数
几倍数÷1倍数=倍数
几倍数÷倍数=1倍数
3、速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价
5、工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
6、加数+加数=和
和-一个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差
被减数-差=减数
差+减数=被减数
8 、因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商×除数=被除数
10、总数÷总份数=平均数
11、和差问题的公式
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
12、和倍问题
和÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或者和-小数=大数)
13、差倍问题
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或小数+差=大数)
14、植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
15、盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
16、相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
17、追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
18、流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
19、浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
20、利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)。