总体特征数的估计(均值、方差、标准差)

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平均数方差与标准差

方案三方差
方案二用“点线图”
. . . .极差 ..
.甲
. . .. . . 4
5
6
7
8
9 10
乙
极差
3
二、方差与标准差
设一组样本数据 x1, x2, , xn ，其平均数为 x ，
则称
s2
1 n
n i 1
( xi
x)2
为这个样本的方差；
其算术平方根 s
1 n
n i 1
( xi
x)2为样本的标准差
C. Sy=3 Sx
D. Sy= 3 Sx
10
7、某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分
数是70分，标准差是s，后来发现记录有误，某甲得70分却误记
为40分，某乙得50分却误记为80分，更正后重新计算得标准差为
s1，则s与s1之间的大小关系是（
）
A、s=s1
B、s<s1
C、s>s1
8
4、某人5次上班途中的时间(单位:分钟)分别为x，y，10，11，9。
已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为（）
A、1
B、2
C、3
D、4
9
5、一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4.则原来数据的平均数和方差分别为（）
问题3：在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，
命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8， 6，7，7
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，你会选哪位运动员去参加正式比赛？

总体方差(标准差)的估计

总体方差（标准差）的估计
教学要求：理解方差和标准差的意义，会求样本方差和标准差。

教学过程：
看一个问题：甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击20次，成绩如下：
一、方差和标准差计算公式：样本方差：s 2=n
1〔（x 1—x ）２
+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕
样本标准差：s=
])()
()
[(n
12
2
22
1-
-
-
-++-+-x x x x x x n
方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。

标准差大说明波动
大。

一般的计算器都有这个键。

例一、要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。

为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）：
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
x 甲
≈ x
乙
≈
s 甲≈ s 乙≈
说明：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。

二、练习：
根据以上数据，说明哪个波动小？
根据上述样本估计，哪个总体的波动较小？
问谁射击的情况比较稳定？
三、作业：
哪种小麦长得比较整齐？
哪种水稻的产量比较稳定？。

样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计

称为样本平均值。通常我们用ξ来估计总体平均值。
1 ξ = n
ξ
i 1
n
i
知识探究在初中我们学习过n个数的方差为
其中，
1 x n
x
i 1
n
1 ( xi x) n i 1
n
2
i
它表示这些数据偏离平均数的大小，也就是反应数据的偏差程度。方差越大，说明这组数据的波动越大。同样，对于总体ξ，放映所有个体与总体均值之间偏差程度的数字特征，称为总体方差。记为D(ξ)， D(ξ)越大，说明个体与总体均值的偏差越大。总体方差是总体的有一个重要数字特征。对于总体ξ，从中随机地抽取一个容量为n的样本（ ξ1， ξ2，……， ξ n），则称
样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计
情景导入我们想了解20，000多名学生的一次语文考试平均成绩，将他们的的数学成绩全部加在一起，再除以考生总数，十分麻烦，这时，就可以采用样本估计总体的方法。知识探究总体中所有个体的平均数叫做总体均值（或总体数学期望），如果总体用ξ表示，则E(ξ)表示总体均值，总体均值是总体的一种药的数学特征。从总体ξ中随机的抽取以容量为n的样本（ ξ1，ξ2，……， ξ n），则
1 s ( ξ i ξ ) n 1 i 1
2
为样本方差。
n
2
样本（ ξ1，ξ2，样本方差为：
， ξ n）的一次观测值为
，
( x1 , x2 ,
, x n)
n 1 2 s2 ( x x ) i n 1 i 1 我们将样本方差的算术根
称为样本标准差。通常，我们用它来估计总体标准差。
解：(1)
这10名学生的平均身高：

总体期望值和方差的估计

12.2 总体期望值和方差的估计●知识梳理 1.平均数的计算方法（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n1（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”.（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x ' +a .（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么x=nf x f x f x kk +++ 2211.2.方差的计算方法（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差.（2）公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］.（3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a .则s 2=n1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］.3.总体平均值和方差的估计人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确.●点击双基1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是 A.样本均值xB.样本方差C.样本最大值D.样本最小值解析：统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选B. 答案：B2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10次，命中环数如下：甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5；乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7.根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是 A.甲优于乙 B.乙优于甲C.两人没区别D.两人区别不大解析：x 甲=101（8+6+…+5）=7.1，x 乙=101（7+6+…+7）=6.9.s 甲2=101［（8－7.1）2+…+（5－7.1）2］=3.69， s 乙2=101［（7－6.9）2+…+（7－6.9）2］=1.29.∴乙优于甲. 答案：B3.样本a 1，a 2，a 3，…，a 10的平均数为a ，样本b 1，b 2，b 3，…，b 10的平均数为b ，那么样本a 1，b 1，a 2，b 2，…，a 10，b 10的平均数为A.a +bB.21（a +b ）C.2（a +b ）D.101（a +b ）解析：样本a 1，a 2，a 3，…，a 10中a i 的概率为P i ，样本b 1，b 2，b 3，…，b 10中b i 的概率为P i ′，样本a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，…，a 10，b 10中a i 的概率为q i ，b i 的概率为q i ′，则P i =2q i ，故样本a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，…，a 10，b 10的平均数为a 1q 1+b 1q 1′+a 2q 2+b 2q 2′+…+a 10q 10+b 10q 10′=21（a 1P 1+…+a 10P 10）+21（b 1P 1′+21b 2P 2′+…+21b 10P 10′）=21（a +b ）.答案：B4.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得到数据如下（单位：h ）：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.则该电池的平均寿命估计为___________，方差估计为___________.解析：x =101（30+35+25+25+30+34+26+25+29+21）=101（0+5－5－5+0+4－4－5－1－9）+30=28， s 2=101［（30－28）2+（35－28）2+（25－28）2+（25－28）2+（30－28）2+（34－28）2+（26－28）2+（25－28）2+（29－28）2+（21－28）2］=101（4+49+9+9+4+36+4+9+1+49）=17.4.答案：28 17.4 ●典例剖析【例1】 x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则下列各式正确的是A.x =1006040b a + B.x =1004060b a +C.x =a +bD.x =2b a +剖析：这100个数的平均数是a +b 还是21（a +b ），这都很容易让人误解.我们可以从概率及加权平均数的角度来思考.设P i 是x 1，x 2，…，x 100中x i 被抽到的概率，q i 是x 1，x 2，…，x 40中x i 被抽到的概率，r i 是x 41，x 42，…，x 100中x i 被抽到的概率，则P i =10040q i ，P i =10060r i .故x 1，x 2，…，x 100的平均数x =10040（x 1q 1+x 2q 2+…+x 40q 40）+10060（x 41r 41+…+x 100r 100）=10040a +10060b .答案：A评述：除上述解法外，你还有其他解法吗？特别提示除了上述方法外，我们还可以先分别求出x 1+x 2+…+x 40=40a ，x 41+x 42+…+x 100=60b ，再求x .【例2】甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）甲 10 8 9 9 9 乙1010799如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是___________.剖析：判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定.因此分别求其方差. 甲的平均数为x 1=51（10+8+9+9+9）=9，乙的平均数为x 2=51（10+10+7+9+9）=9，甲的方差为s 甲=（10－9）2×51+（8－9）2×51=52，乙的方差为s 乙=（10－9）2×51×2+（7－9）2×51=56.s 乙＞s 甲，说明乙的波动性大，故甲入选. 答案：甲评述：方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低.【例3】某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：分组平均成绩标准差第一组 90 6 第二组804剖析：代入方差公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］即可求得.解：设全班的平均成绩为x ，全班成绩的方差为s 2，则s 12=181［（x 12+x 22+…+x 182）－18×902］=36，s 22=221［（x 192+x 202+…+x 402）－22×802］=16.∴x =401（90×18+80×22）=2169=84.5，s 2=401［（x 12+x 22+…+x 182）+（x 192+x 202+…+x 402）－40·x 2］=401［18×（36+8100）+22×（16+6400）－40×41692］=401（146448+141152－10×1692） =401×1990=49.75.∴s =2199≈7.05.评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得. 【例4】已知c 为常数，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］，s c 2=n1［（x 1－c ）2+（x 2－c ）2+…+（x n －c ）2］.证明：s 2≤s c 2，当且仅当c =x 时，取“=”.剖析：证明s c 2≥s 2，可证明s c 2－s 2≥0.因此应用方差公式进行变形即可. 证明：∵s 2=n1［（x 1－x ）2+…+（x n －x ）2］=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］，s c 2=n1［（x 1－c ）2+（x 2－c ）2+…+（x n －c ）2］=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－2c （x 1+x 2+…+x n ）+nc 2］，∴s c 2－s 2=x 2－nc 2（x 1+x 2+…+x n ）+c 2=x 2－2c ·x +c 2=（x －c ）2≥0. ∴s c 2≥s 2，当且仅当x =c 时取“=”. 评述：作差是比较大小的常用手段.●闯关训练夯实基础1.一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得到的一组新数据的方差是A.21s 2 B.2s 2 C.4s 2 D.s 2解析：由方差公式易求得新数据的方差为4s 2. 答案：C2.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25解析：易得x 没有改变，x =70，而s 2=481［（x 12+x 22+…+502+1002+…+x 482）－48x 2］=75， s ′2=481［（x 12+x 22+…+802+702+…+x 482）－48x 2］=481［（75×48+48x 2－12500+11300）－48x 2］=75－481200=75－25=50.答案：B3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）：解析：x 甲=51（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，x乙=51（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10，s 甲2=51［（9.8－10）2+（9.9－10）2+（10.1－10）2+（10－10）2+（10.2－10）2］=0.02，s 乙2=51［（9.4－10）2+（10.3－10）2+（10.8－10）2+（9.7－10）2+（9.8－10）2］=0.244. 所以，甲比乙稳定. 答案：甲4.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为Z =sx x -（其中x 是某位学生的考试分数，x 是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是T =40Z +60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分，这次考试的平均分是70分，标准差是25，则该考生的T 分数为___________.解析：由已知Z =257085-=53，∴T =40×53+60=24+60=84.故考生成绩的T 分数为84.答案：84试分析两厂上缴利税的情况.解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为x 甲=41（70+50+80+40）=60， x乙=41（55+65+55+65）=60；甲、乙两厂上缴利税的方差为 s 甲2=41［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］=250， s 乙2=41［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］=25.经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定.培养能力 6.某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名参加全市中学生百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，成绩如下表：解：x 甲=12.4=x 乙，s 甲2=0.12，s 乙2≈0.10，∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳定，应派乙选手参加比赛.7.某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下：解：x 1=51（21.5+20.4+…+19.9）=21，x2=51（21.3+18.9+…+19.8）=21， x3=51（17.8+23.3+…+20.9）=20.5，s 1=0.756， s 2=1.104， s 3=1.901.由x 1=x 2>x 3，而s 1<s 2<s 3，说明第1种西红柿品种既高产又稳定.8.甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm ）：甲：10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10分别计算上面两个样本的平均数与方差，如果图纸上的设计尺寸为10 mm ，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？解：x 甲=101（10.2+10.1+…+10.1）=10，x乙=101（10.3+10.4+…+10）=10，s 甲2=101［（10.2－10）2+（10.1－10）2+…+（10.1－10）2］=0.03， s 乙2=101［（10.3－10）2+（10.4－10）2+…+（10－10）2］=0.06.由上述结果分析，甲台机床加工这种零件稳定，较合适.探究创新9.有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：［12.5，15.5），6；［15.5，18.5），16；［18.5，21.5），18；［21.5，24.5），22；［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8. （1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概率. 解：（1）样本的频率分布表如下：（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，∴小于30.5的频率是0.92.∴数据小于30.5的概率约为0.92.探究：解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.注意直方图与条形图的区别.●思悟小结1.用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布估计总体分布外，还可以用平均值和方差对总体进行估计，即用样本平均数x 去估计总体平均数μ；用样本方差s 2去估计总体的方差σ2，进一步对总体的分布作出判断.2.进行几次实验，得到样本数据x 1，x 2，…，x n ，设c 是任意常数，k 为任意的正数，作变换y i =k1（x i －c ）（i =1，2，…，n ），则有：①x =k y +c ；②s x 2=k 2s y 2.●教师下载中心教学点睛1.期望反映数据取值的平均水平，期望越大，平均水平越高.2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定.拓展题例【例1】如果数据a 1，a 2，…，a 6的方差是6，那么另一组数据a 1－3，a 2－3，…，a 6－3的方差是多少？解：设a 1，a 2，…，a 6的平均数为a ，则（a 1－3），（a 2－3），…，（a 6－3）的平均数为a －3，∴方差为s 2=61{［（a 1－3）－（a －3）］2+…+［（a 6－3）－（a －3）］2}=6.【例2】已知样本方差由s 2=101∑=101i （x i －5）2求得，求∑∑=101i x i .解：依s 2=n1［（x 1－x ）2+…+（x n －x ）2］=n1［x 12+x 22+…+x n 2－n x 2］知，∴101∑=101i x i =5.∴∑=101i x i =50.。

5.1 总体特征数的估计(均值、方差、标准差)

制作：阳志昂
复习目标
掌握总体平均数和方差的概念. 掌握总体平均数和方差的计算公式及其在实际问题中的应用功能. 能较熟练地应用样本的算术平均数和样本的方差估计总体平均数和方差，并能结合实际问题对数据进行分析.
总体平均数
概念总体中所有数值的总和除以个体总数所得的商称为总体平均数. 即“总体平均数”为“总体的算术平均值”! 功能总体平均数能反映总体分布中大量数据向某一数值集中的情况，利用总体平均数可以对两个总体的差异进行比较.
解:根据以上数据，得甲的平均速度是 x甲＝ 2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1 ＝3.3，
乙的平均速度是 x 乙＝ ∴甲、乙的平均速度一样大．
2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8 6
6
＝3.3，
分析：他们的平均速度一样大，应比较他们的速度哪个更稳定．
总体方差的估计
概念
总体方差的计算，在其个体较少时，易算；但在其个体较多或无限时，难以计算.这时常通过抽取样本，用样本的方差来推断总体方差，这种方法称为对“总体方差的估计”.
一般在两组数据较多时，采用如下方法比较其稳定性： (1)分别抽取样本； (2)计算出两个样本的方差； (3)比较样本方差； (4)推断总体方差，并比较两组数据的优劣.
试估计哪个品种的水稻更优秀？
x甲 408.1 x乙 408.1 2 2 s 甲 357.49 s 乙 508.49 甲更优秀
思考
有甲、乙两名运动员，上一赛季教练给他们的打分是：
甲乙 101 101 109 98 103 98 105 101 108 115 90 85 75 115 110 102
分组计算算术平均数应注意

苏教版高三数学复习课件9.2 总体特征数的估计

________．

3．已知一组数据：20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数、中位数、众数的大小

关系是________．
解析：平均数＝＝50，按由小
到大排列可知，
中位数是50，众数也是50.

答案：众数＝中位数＝平均数
4．(江苏南通模拟)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，
形中点的横坐标．(5)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的
直线与横轴交点的横坐标．
【例1】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. 寿命(h) [100,200) 个数 20
[200,300) 30
[300,400) 80
[400,500) 40
[500,600] 30
(1)列出频率分布表；
解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数
是98；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88.
因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
变式2：(南通市高三调研)如图是某兴趣小组的学生在一次数学测验中
的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是
第2课时
总体分布的估计、总体特征数的估计
了解频率分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，理解它们各自的特点/理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差/能从样本数据中提取基本的数
字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释/会用样本的频率分布
估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，

10.6 用样本均值、标准差估计总体均值、标准差

标准差越大，则数据的离散程度越大；反之，数据的离散程度越小．
教材 P 143 习题10.6 第1，2题；
答：这些参加语文考试的学生平均成绩约为85分。
在初中，我们学过n个数据x1，x2， …，xn的方差为
1 n
x
n i 1
i
x

2
1 n 其中， x xi . n i 1
它表示这些数据偏离平均数的大小，也就是反映这些数据的偏差程度，方差越大，说明这组数据的波动越大。
同样，对于总体ξ，反映所有个体与总体均值之间偏离程度的数字特征，称为总体方差，记为D(ξ). D(ξ)越大，说明个体与总体均值的偏离越大。总体方差是总体的又一个重要数字特征。对于总体ξ，从中随机地抽取一个容量为n的样本（ξ1, ξ2, ξ3 … ξn），则称
1 n i n i 1
称为样本均值。通常，我们用样本均值来估计总体均值。
例1 从参加语文考试的学生中，抽取30名学生的成绩，分数如下： 90, 84, 84, 86, 87, 98, 78, 82, 90, 83 86, 95, 84, 71, 78, 61, 94, 88, 77, 100
以上30名学生的语文成绩是从所有参加考试的学生的语文成绩组成的总体中抽取的一个样本容量为30的样本这个样本均值为这些参加语文考试的学生平均成绩约为85分
概统计率 10.6 用样本均值、标准差估计总体均值、标准差
统计概率
在一次语文考试中，考生有20000多名，我们想了解这20000多名考生的平均成绩，但如果将他
们的成绩全部加在一起再除以考生总数，十分麻烦。
这时，可以采取用样本估计总体的方法，即从中抽取部分考生的成绩，用他们的平均成绩去估计所有考生的平均成绩。

总体的特征数

总体是指所有研究对象的全体，特征数是研究对象在某个方面的具体表现。

因此，总体的特征数是指总体在某个特征上的具体表现，可以是数值型特征，也可以是类别型特征。

对于数值型特征，总体的特征数通常是指总体的均值、中位数、标准差、方差等统计指标。

这些指标可以反映总体在某个特征上的集中趋势和离散程度，帮助我们了解总体分布的基本情况。

例如，如果我们要研究一个班级学生的数学成绩，那么总体的特征数可以是平均分、标准差等，这些指标可以告诉我们这个班级学生的数学成绩整体水平以及成绩的差异程度。

对于类别型特征，总体的特征数通常是指每个类别的频数和所占比例。

这些指标可以反映总体在某个特征上的分布情况，帮助我们了解不同类别的出现概率。

例如，如果我们要研究一个班级学生的性别比例，那么总体的特征数可以是男生人数、女生人数以及各自所占比例，这些指标可以告诉我们这个班级中男女学生的分布情况。

在具体研究中，总体的特征数通常需要根据具体问题进行选择和计算。

此外，为了确保研究的准确性和可靠性，我们需要进行合理的样本设计和数据采集，并对数据进行有效的处理和分析。

最后，根据分析结果得出结论并提出建议。

总之，总体的特征数是研究总体的重要手段之一，可以为我们提供关于总体分布的基本情况和特征的定量描述。

在实际研究中，我们需要根据具体问题进行选择和计算适当的特征数，并对其进行合理的分析和解释。

222用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)方差标准差讲解

规律：标准差越大，则a越大，数据的离散程度越大；反之，数据的离散程度越小。
性质归纳：kan b的平均数和方差：
已知a1，a2，，an的平均数是3，方差是2．则a1 b，a2 b，，an b的平均数是3 b，方差是2． ka1，ka2，，kan的平均数是3k，方差是2k 2．
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：

假设样本数据是x1,x2,...xn ,x 表示这组数据的平均数，xi到 x
的距离是
-
xi - x (i = 1,2,… ,n).
，：
-
于是
样本数据x1,
x2,
x
到
n
x
的“平均距离”是

x1 x x2 x xn x
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（2）方差、标准差
学习目标 1.明确标准差、方差等数字特征的意义，深刻体会它们所反映的样本特征。 2.会用样本的数字特征估计总体的的数字特征，初步体会样本的数字特征的随机性
复习回顾
一.什么是一组数据的众数、中位数及平均数？
众数：一组数据中出现次数最多的数据。
[解析] (1)甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为
70 分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)s
2
甲
＝
1 2＋5＋10＋13＋14＋6
×[2×(50
－
80)2
＋
5×(60
－ 80)2 ＋ 10×(70 － 80)2 ＋ 13×(80 － 80)2 ＋ 14×(90 － 80)2 ＋
A．众数 B．平均数

参数统计量

参数统计量参数统计量是统计分析中常用的概念。

在统计分析过程中，我们经常需要从样本中推断总体特征。

参数统计量就是用样本数据估计总体参数的方法。

参数统计量主要用于描述总体分布的属性，包括均值、标准差、方差、协方差等。

在统计学中，它们通常用符号表示。

均值是样本数据的平均值，通常用符号 "x̅x̅ " 表示。

标准差是数据分布的离散程度，通常用符号 "s" 表示。

方差指数据值偏离均值的平方和的平均值，通常用符号"σ^2" 表示。

协方差指两个随机变量的相关程度，通常用符号 "cov" 表示。

参数统计量可以通过样本数据计算得到。

例如，样本均值的计算公式为：x̅x̅ = ∑x̅x̅/x̅其中 "n" 表示样本的大小，"x̅x̅" 表示第 "x̅" 个样本数据。

样本标准差的计算公式为：s = √∑(x̅x̅−x̅x̅)^2/x̅−1其中 "x̅x̅ " 表示样本均值，"x̅" 表示样本的大小。

参数统计量的计算为统计分析提供了许多有效的工具和方法。

它们不仅可以用于描述样本数据的特征，还可以用于推断总体数据的性质。

例如，我们可以使用样本均值来估计总体均值。

在这种情况下，样本均值是总体均值的最佳估计值。

此外，我们还可以使用样本相关系数来描述总体的相关程度。

在实际应用中，参数统计量也有许多限制。

首先，参数统计量的计算基于假设，例如总体分布是正态分布或样本数据是随机样本等。

如果这些假设不成立，我们得到的参数统计量可能会有误差。

其次，我们经常需要比较两个或多个总体的参数统计量。

在这种情况下，我们需要使用假设检验或置信区间等方法来判断差异是否显著。

这些方法也基于统计假设和样本数据。

总之，参数统计量是一种广泛应用于统计分析的方法。

它们允许我们从样本中估计总体特征，并比较不同总体之间的差异。

均值、方差、标准差

甲班 112 86 106 84 100 105 98 102 94 107
87 112 94 94 99 90 120 98 95 119
108 100 96 115 111 104 95 108 111 105
104 107 119 107 93 102 98 112 112 99
92 102 93
85 90 80 80 85 75 100 计算这组样本数据的极差、方差和标准差.
例2．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。
品种第1年第2年第3年第4年第5年
甲
9.8 9.9 10.1 10 10.2
1500元，平均月工资怎么能是1695元呢？”经理拿出
如下表所示的工资表说：“你看，平均周工资就是
1695元。”
某公司内部结构以及工资分布：
人员经理管理人员技工工人学徒合计
月工资 11000 1250 1100 1000 500
人数 1
6
5 10 10 23
在这个问题中，总体月平均数能客观地反映工人的月工资水平吗？为什么？
收入范围
所占百分比
10000 至 15000 10%
15000 至 20000 15%
20000 至 25000 20%
25000 至 30000 25%
30000 至 35000 15%
35000 至 40000 10%
40000 至 50000
5%
平均数的计算方法：
(1)定义法：已知 x1，x2，x3，…，xn 为某样本的 n 个数据，则这 n 个数据的平均数为： x ＝ x1＋x2＋xn3＋…＋xn.

总体指标和样本指标

总体指标和样本指标总体指标和样本指标是统计学中常用的两种指标类型，它们用于描述和分析数据的特征和变化趋势。

总体指标是对整个总体或总体分布的特征进行度量和描述的指标，而样本指标是通过从总体中抽取一部分样本数据，对总体特征进行估计的指标。

总体指标主要用于整体把握和描述总体特征，帮助我们了解总体的状况和规律。

常见的总体指标包括总体均值、总体方差、总体标准差等。

总体均值是总体中所有观测值的平均值，它反映了总体的中心位置。

总体方差是总体中所有观测值与总体均值之差平方的平均值，它反映了总体数据的离散程度。

总体标准差是总体方差的平方根，它是总体数据离散程度的一个度量。

样本指标则是通过从总体中抽取一部分样本数据，对总体特征进行估计的指标。

样本指标可以帮助我们推断总体的特征，并对总体进行估计和推断。

常见的样本指标包括样本均值、样本方差、样本标准差等。

样本均值是样本中所有观测值的平均值，它是对总体均值的估计。

样本方差是样本中所有观测值与样本均值之差平方的平均值，它是对总体方差的估计。

样本标准差是样本方差的平方根，它是对总体标准差的估计。

总体指标和样本指标在统计分析中起着重要的作用。

总体指标可以帮助我们了解总体的特征和规律，而样本指标可以帮助我们对总体进行推断和估计。

在实际应用中，我们通常通过样本数据来对总体进行推断和估计，因为采集整个总体数据是非常困难甚至不可能的。

通过样本数据得到的样本指标可以用来估计总体指标，并通过统计方法进行推断和验证。

总体指标和样本指标在统计学中有着广泛的应用。

在调查研究中，我们常常需要了解和描述总体的特征和规律，以便做出合理的决策和判断。

而在实证研究中，我们通常通过样本数据来对总体进行推断和估计，以得到对总体特征的有效估计。

总体指标和样本指标的选择和应用需要结合具体的问题和研究目的。

在选择总体指标时，我们需要考虑具体的研究对象和研究目的，选择适合的指标来描述总体的特征。

而在选择样本指标时，我们需要考虑样本数据的可靠性和有效性，选择能够较好地估计总体特征的指标。

总体特征数的估计

总体特征数的估计教学要求：会计算样本数据平均数，能用样本数据平均数估计总体平均数；会计算样本标准差，能用样本标准差估计总体标准差；了解统计思维与确定性思维的差异；会对数据处理过程进行初步评价；2010年考试说明要求B 。

知识点回顾：1. 平均数：__________2. 加权平均数：_________________3. 方差：___________________4. 标准差：____________________ 基础训练：1．在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为．2．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是。

3．某人5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，9,11,10,8。

已知这组数据的平均数为10，则其方差为4．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________5.若821,,,k k k 得方差为3，则)3(2,),3(2),3(2821---k k k 的方差为________4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n n x x x x x x x x 的方差为则的方差为___________典型例题：某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y ≥245，z ≥245，求初三年级中女生比男生多的概率。

一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆.(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.检测与反馈：1.已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是2. 某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。

苏教版数学必修三：2.3.2《方差与标准差》ppt课件

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注意
(1) 方差与极差的区别：一组数据的最大值
与最小值的差称为极差．极差的大小反映了该组数据集
中与分散的程度，但两组数据集中差异程度不大时，不宜得出结论． (2)概念的理解：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度
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越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小；②标
灯管数 1 11 18 20 25
301 ～ 330
16
331 ～ 360
7
361 ～ 390
2
典例剖析
(1)试估计这种日光灯的平均寿命． (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
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分析：总体的平均数与标准差往往很难求，甚至是不可求的，通常的做法就是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差，只要样本的代表性好，这种做法就是合理的．
2
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1 2 2 2 2 x) ]．②简化计算公式 (Ⅰ)： s ＝ [(x 1＋ x2 2＋…＋ xn)－ nx ]，或写成 s n
2 2
1 2 2 2 ＝ (x2 1＋x2＋…＋xn)－x .即方差等于原数据平方的平均数减去平均 n
要点导航
1 数的平方． ③简化计算公式(Ⅱ)： s ＝ [(x1′2＋x2′2＋… n
(2)将(1)组中值对于此平均数求方差：
典例剖析
故标准差为 2 128.60≈46(天)．答：估计这种日光灯的平均使用寿命为 268 天，标准差约为 46 天，故可在 222 天到 314 天左右统一更换较合适．
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规律总结： (1) 在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．

总体标准差公式

总体标准差公式总体标准差是描述数据离散程度的一种统计量，它可以帮助我们了解数据的变异程度。

在实际应用中，我们经常需要计算总体标准差来评估数据的稳定性和一致性。

下面我们将介绍总体标准差的计算公式及其应用。

总体标准差的计算公式如下：σ = √(Σ(xi μ)²/N)。

其中，σ表示总体标准差，Σ表示求和符号，xi表示每个数据点，μ表示总体均值，N表示数据的总个数。

在这个公式中，我们首先需要计算每个数据点与总体均值的差值的平方，然后将所有差值的平方求和，最后再除以数据的总个数，最后再开根号即可得到总体标准差。

总体标准差的计算步骤如下：1. 计算总体均值μ。

2. 计算每个数据点与总体均值的差值的平方。

3. 求所有差值的平方的和。

4. 除以数据的总个数。

5. 开根号。

总体标准差的应用：1. 评估数据的离散程度，总体标准差可以帮助我们了解数据的离散程度，如果总体标准差较大，说明数据的离散程度较大，反之则较小。

2. 比较不同数据集的稳定性，通过计算不同数据集的总体标准差，我们可以比较它们的稳定性，从而找出数据的变异程度，为数据分析和决策提供参考。

3. 质量控制，在生产过程中，总体标准差可以用来评估产品质量的稳定性，帮助企业进行质量控制，确保产品的一致性和稳定性。

4. 统计推断，在统计推断中，总体标准差是估计总体参数的重要指标之一，可以帮助我们对总体的特征进行推断和分析。

总体标准差的计算公式简单清晰，应用广泛，是统计学中重要的概念之一。

通过对总体标准差的理解和应用，我们可以更好地分析和理解数据，为决策提供科学依据。

总结：总体标准差是描述数据离散程度的重要统计量，其计算公式简单清晰，应用广泛。

通过对总体标准差的计算和应用，我们可以更好地理解和分析数据，为决策提供科学依据。

希望本文能够帮助读者更好地理解总体标准差的概念和应用。

表征概率分布的特征参数-概述说明以及解释

表征概率分布的特征参数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述概率分布是描述随机变量取值可能性的数学工具。

在统计学和概率论中，研究某个特定随机变量的分布特征对于理解数据的分布和性质至关重要。

为了更好地描述概率分布，统计学家和概率论专家发展出了一系列特征参数的概念。

特征参数是用于表征概率分布的统计量，它们通过对随机变量进行计算和分析得出。

这些特征参数提供了一种浓缩和总结分布信息的方式，有助于我们理解分布的中心趋势、离散程度和形状等特性。

本文将重点介绍一些常见的特征参数，包括均值、方差、标准差以及偏度和峰度等。

这些参数可以帮助我们了解概率分布的集中程度、变异程度和峰态特征。

通过对这些特征参数的计算和分析，我们能够更好地描述和比较不同概率分布之间的差异。

除了介绍特征参数的定义和计算方法，本文还将探讨这些参数在实际问题中的应用。

特征参数不仅可以用于描述理论模型的概率分布，还可以应用于实际数据的分析和建模。

通过对实际数据的特征参数分析，我们可以了解数据的分布情况，并据此进行决策和预测。

文章的结构如下所示：在引言部分，我们将对概率分布的特征参数进行概述，并明确文章的目的和结构。

接下来的正文部分将逐一介绍主要的特征参数，并详细讨论它们的计算方法和应用场景。

最后，在结论部分，我们将对全文进行总结，并展望特征参数在未来的研究和应用方向。

通过本文的阅读，读者将对表征概率分布的特征参数有更清晰的理解，并能够运用这些参数进行数据分析和建模。

同时，本文也将为相关领域的研究者提供启示和参考，推动概率分布特征参数的进一步发展和应用。

1.2文章结构文章结构是指文章整体的组织和布局方式，包括各个部分的标题和次序安排。

本文主要围绕表征概率分布的特征参数展开，文章结构设计如下。

1. 引言1.1 概述在概率统计学中，概率分布是描述随机变量取值的可能性分布函数。

为了更加准确地描述概率分布，我们需要引入一些特征参数来对其进行表征和度量。

总体特征数的估计

详细描述
核密度估计基于核函数，通过加权平均的方式对数据进行平滑处理，以获得未知密度函数的估计。常用的核函数包括高斯核、多项式核等。核密度估计具有稳健性和适应性，能够处理复杂的数据分布。
最近邻估计
总结词
最近邻估计是一种非参数回归估计方法，通过找到与观测点最近的训练点来估计未知的函数值。
详细描述
依据。
THANKS
感谢观看
通过估计总体特征数，可以预测未来的趋势。例如，通过分析过去几年的销售数据，可以估计未来几年的销售趋势。
总体特征数估计的常见方法
点估计
用样本统计量直接作为总体特征数的估计值，如用样本均值估计总体均值。
区间估计
用样本统计量来估计一个区间，该区间包含了真实的总体特征数。例如，通过样本方差来估计总体方差的一个置信区间。
详细描述
分位数估计基于分位数概念，通过找到与观测点相同分位数的训练点来估计未知的函数值。这种方法能够处理各种分位数回归问题，尤其适用于数据分布不均匀的情况。分位数估计具有稳健性和适应性，能够处理异常值和离群点。
04
估计方法的比较与选择
估计方法的比较
样本大小
不同的估计方法对样本大小的要求不同，有些方法需要大样本才能获得准确估计，而有些方法在小样本下也能有较好的表现。
机器学习模型评估
总结词
机器学习模型评估中，总体特征数的估计用于衡量模型的性能和预测能力。
详细描述
在机器学习中，模型的性能通常通过一些指标来评估，如准确率、召回率、F1分数等。这些指标的计算需要基于总体特征数的估计。通过估计训练集和测试集中的正负样本数量、混淆矩阵等数据，可以全面了解模型的性能和预测能力，为模型的优化和改进提供
特点

用样本的数字特征估计总体的数字特征

（B）4
（C）2
（D）1
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数后，计算出样本方差分别为S甲2=11 ，S乙2=3.4，由此可以估计（ B ）（A）甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐（B）乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐（C）甲、乙种水稻分蘖整齐程度相同（D）甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得的估计值与数据分组有关.
注: 在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.
频率组距
0.5 0.44 0.3 0.28
众数：最高矩形的中点中位数：左右两边直方图的面积相等.
平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
x乙
=
1（13+14+12+12+14）=13 5
s2甲
=
1 5
[(10
13)2
+(13
13)2
+(12
13)2
+(14
13)2
+(16
13)2
]=4
s2乙
=
1 5
[(13
13)2
+(14
13)2
+(12
13)2
+(12
13)
2
+(14
13)2
]=0.8
(2)由 s2甲＞s2乙可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，
算一算：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布
直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04， 0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的平均数是什么？

总体特征数的估计(均值、方差、标准差)

9.为我们服务的人
活动一：说说我的早餐
在日常生活中，还有哪些人在为我们服务呢？看看哪个小组在一分钟内写得最多。
我们生活中还有哪些人在为我们服务?
他们给我们的生活带来了什么?
故事园——传递快乐

1.自读故事，谈谈你的感受。
他们给困难的家庭送去温暖
他们使人们变得更神气
他们为人们解决了交通困难
假如没有了警察……
假如没有了医生…… 假如没有了理发师……
假如没有了…… 任选一句说一说吧
……
……
告别东小楼
读完故事，你有什么体会？
活动三请让我来谢谢您
社会生活需要各行各业的人
劳动不分贵贱
怎样用实际行动，尊重和感谢为我们服务的人呢？
课外采访
采访身边的劳动者采访提纲：您主要的工作职责是什么？您工作中的最大困难时什么？您的工作需要什么样的职业技能？您希望别人怎样看待您的工作？您的最大愿望是什么？

我最崇敬的劳动者
他们给人们带来欢乐
他们为人们解决了出行困难
他们为人们提供了方便
他们让人们提早知道了天气变化情况
他们为我们建造住房
邮递员为我们传递信息
清洁工人为我们带来了整洁的卫生
服务员为我们就餐提供了方便
Hale Waihona Puke 电力维修人员确保用电正常
假如没有清洁工,我们的生活会怎样?

苏教高中数必修三：第2章 2.3 2.3.2 方差与标准差

则 1,2,3，x，y 的方差是________．解析：由 5＝1＋2＋4 3＋x得 x＝14. 同理 y＝9. 由 s2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56. 答案：24.56
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方差、标准差的计算及应用
[典例] 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取 6 件测量，数据(单位：cm)为：
(99
－
100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，
又 s2甲＞s2乙，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
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(1)方差常用计算公式有两个 ①基本公式 s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]． ②简单计算公式：s2＝n1[(x12＋x22＋…＋xn2)－n x 2]或写成 s2＝n1(x12＋x22＋…＋x2n)－ x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．
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解：计算理科同学成绩的平均数 x 1＝18×(79＋79＋81＋81＋85 ＋89＋92＋94)＝85(分)，方差 s12＝18×[(79－85)2＋(79－85)2＋ (81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94 －85)2]＝31.25；
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(3)s23＝
1 n
[(ax1
＋
b－
a
x
－
b)2＋