初三数学第2讲 比例线段与黄金分割

一、知识要点：
1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。

2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如果a、b、c、d是比例线段，即
段b、c是比例内项。

3、比例线段有以下性质：
（1）基本性质
如果ac，那么线段a、d是比例外项，线=（或a:b=c:d）bdac=，那么ad=bc bd
aca+bc+da-bc-d，； =，那么==bdbdbd
aca+cac=，那么===k。

bdb+dbd
a1a2a3===k，那么 b1b2b3（2）合比性质如果（3）等比性质如果等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。

例如：如果
a1+a2+a3a1a2a3====k b1+b2+b3b1b2b3
小试牛刀：
一、填空题
1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作
____________。

2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。

3、合（分）比性质：如果aca±b=_____________。

=，那么bdb
4、等比性质：如果aceace== =，且_____________，那么__________=(== =) bdfbdf
5、若4x=5y，则x：y=____________
6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______
7、下列各组线段成比例的是（）
A、1cm、3cm、2cm、4cm
B、1m、20cm、5cm、25cm
C
cm
cm、4m D、4cm、8cm、6m、12cm
8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB的值为（）
A、13
B、19.5
C、78
D、130
9、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）
A、6.4厘米
B、64分米
C、0.4厘米
D、4厘米
二、典型例题：
例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：
（1） a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；
（2） a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。

试判断它们是否成比例。

分析：判断四条线段是否成比例，可以先把它们按从小到大的顺序排列，由比例的基本性质可知，即如果第一、四两个数之积等于第二、三两数之积，则四条线段成比例，否则不成比例。

ADAE A =DBEC
ABACADAE求证：（1）（2） ==DBECABAC例2、如图：已知
例3、三条线段的长分别为2cm、3cm、4cm，再添一条线段，使这四条线段成比例线段。

例4、已知：x：y=2:3，求(2x-y):(x+2y)的值。

例5、(4x-3y):(x+4y)=3:2，求x：y的值。

例6、已知
例7、已知x、y、z为三个互不相同的正数，且
x+yy+zz+x===k，(xyzk≠0)求k的值 zxyyx+yx==。

求x：y x-zzy
三、课堂练习：
1、在1:500000的某地图上，量得甲地到乙地的距离约为60厘米，那么甲地到乙地的实际
距离约为________________千米。

2、已知：x+yx-yy的值为__________ =，则y137
3、若x-y+zy+z-xxyz:=__________ ==，则yx345
三、解答题
4、已知线段x、y的长度满足3x-4y=0，求
x+y的值。

x-y
5、已知
6、如图：已知abc==，a+b+c=36，求a、b、c的值。

345ADAEADAEABAD。

求证：（1）；（2） ===BDCEABACACAE
ED
A
BC
7、在△ABC和△EFG中，已知
的周长？
ABBCCA1===，且△EFG的周长是15，求△ABCEFFGGE2
8、已知a、b、c是△ABC的三边长，且
（1）求：abc==。

2343a-b； 2c
（2）若△ABC的周长为63厘米，求△ABC各边的长。

黄金分割
一、知识要点：
1、如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项。

如a：b=b：c（或b：a=c：b）时，b叫做a和c的比例中项，这时b=ac。

2、黄金分割
如果点P把线段分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中，AP是AB和PB的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点。

AP与AB
割数，它的近似值为0.618。

2称为黄金分
小试牛刀1：
1、16和9的比例中项是__________
2、线段a=6cm，b=24cm，则a、b的比例中项是___________
3、b是a、c的比例中项，a：b=5:3，则c：b=______
4、已知a:b=c:d，求证：ab+cd是a+c与b+d的比例中项 2222
二、典型例题
1、已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，AP>BP，求AP的长？上题中，若条件“AP>BP”没有，AP结果会怎样？
2、已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=+1，求AC的长？
3、已知线段AB=10，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的长？
三、课堂练习
1、线段m、n、p的第四比例项是（）
A、mmnnpmp
B、
C、
D、 nppmn
2、已知1a和3a则它的比例中项是。

2
3、线段b是线段a、c的比例中项，已知a=4，c=6，求b=_______
4、已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列比例式能成立的是（）
A、ABBPBPABAPBPABBP
B、
C、
D、 ====APABAPBPABAPAPPA
5、已知线段AB=2，点P是AB的黄金分割点，则较长的线段。

6、如图AB=1，P1 、P2是线段AB的两个黄金分割点，
（1）AP2= AP1= A P1 P2 B
（2）点P1是线段AP2的黄金分割点吗？证明之
8、如图在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，CM=3-，求AD的长？
N
AD
BMC
9、如图在直角△ABC中∠B=900，AB=2，BC=1，在CA上截取CD=CB，在AB 上截取AE=AD，求证:点E是线段AB的黄金分割点
C
D
A E B
学生姓名：
一、填空题
1、若(x+y):y=8:3，则x:y=____________
2、若b3a=，则=________ ba+b5
3、等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是
__________
4、已知：△ABC和△A1B1C1,ABBCCA3===，且A1B1+B1C1+C1A1=16厘米，A1B1B1C1C1A12
则AB+BC+AC=____________厘米。

5、已知xyzx+y+z==，则= 345z
6、若a=8厘米，b=6厘米，c=4厘米，则a、b、c的第四比例项d=___________厘米；a、c
的比例中项x=__________厘米。

二、解答题
1、在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，
长为12，求△ADE的周长？
2、已知线段a=1,b=
3、设z≠0，x、y、z满足4x-7y-5z=0，2x-y-z=0，求x：y。

ABBCCA3===且△ABC的周ADDEEA25-13-5,c=，求证：线线b是a、c的比例中项 22
4、已知
aca+bc+d =≠1，求证=bda-bc-d
5、如图，正方形OABC、ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点B、E在函数y=的图象上，点F在AB上。

y
（1）求正方形ADEF的边长。

（2）求点E的坐标。

（3）点F是线段AB的黄金分割点吗？
（4）点A是线段OD的黄金分割点吗？
拓展训练：
已知a、b、c是非零实数，且满足
的值。

1(x>0)xa+b-ca-b+c-a+b+c(a+b()bc+()ca)+。

求==cbaabc。