初三数学第2讲 比例线段与黄金分割
24.2(2)比例线段 (黄金分割)
24.2比例线段（2）
上海市风华初级中学方忠平
教学内容分析
本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.
教学目标
1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.
2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.
3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.
4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法. 教学重点及难点
重点：黄金分割的意义.
难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．
教学用具准备
投影仪、笔记本，预习本
教学流程设计
教学过程
一、 情景引入
1．观察
（1） 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演， 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.
（2） 展示四个国家的国旗.
中华人民共和国 朝鲜 新西兰 新加坡
2．思考
师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.
师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.
[说明] 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做.
九年级比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割
【知识要点】
1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d
c b a =，则称线段
d c b a ,,,成比例线段。 2．bc ad d c b a d
c b a =⇔=⇔=::，其中
d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．比例中项：若ac b =2
，则称b 是ac 的比例中项. 4．n
1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 5．比例性质：①基本性质：
bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c
d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n
n b a b a b a b a === 332211，则112121
b a b b b a a a n n =+++++ 6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；
7．2
15,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 【典型例题】
例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a =2，b =3，c =2，d =3
B.a =4，b =6，c =5，d =10
C.a =2，b =5，c =23，d =15
D.a =2，b =3，c =4，d =1
例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )
比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割
【知识要点】
1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d
c b a =，则称线段
d c b a ,,,成比例线段。 2．bc ad d c b a d
c b a =⇔=⇔=::，其中
d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n
1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：
bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c
d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则1
12121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项
6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；
7．2
15,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 相似多边形
相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似多边形性质
相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
数学北师大版九年级上册《黄金分割》
黄金分割
教材分析：
“黄金分割”是北师大版数学八年级下第四章第二节的内容，学习黄金分割不仅仅是实现比例线段学习的要求，更是体现了数学的文化价值，体现黄金分割是数学与建筑学、艺术等学科的纽带，让学生认识到数学不是孤立的、枯燥的数学，而是文化的一部分，同时数学也促进了文化的发展.黄金分割美学价值和实用价值方面有着重要的地位，本节课主要围绕这两方面进行设计，通过创设丰富的现实情境，让学生直观感受到黄金分割的美学价值的同时展现了知识的发生、发展过程。
学情分析
学生学过了线段的比和成比例的线段，已经有了坚实的基础，本节课教学难点的突破对学生来说并不很困难。教学中要充分利用黄金分割与生活的紧密联系，体会黄金分割的黄金价值。
教学目标：
知识目标： 1.使学生了解黄金分割的定义。
2.会作一条线段的黄金分割点。
3.熟悉黄金分割的广泛应用。
情感目标：从美丽的几何图案五角星入手，以身边的书本为着手点，让学生感到事物的美，那么美从何而来，通过本节课的直观教学，学生从中能感悟到一些，那
就是来源于生活中的0.618(黄金比)。
教学重点： 1.了解黄金分割的定义。
2.会运用它进行分析，解释一些现象。
教学难点：精确地找到一条线段的黄金分割点。
设计思路：（分三个层次）
第一层次：从国旗的五角星入手，研究黄金分割的定义。
第二层次：观察生活中有关黄金分割的图片，使学生对它产生兴趣，让学生感悟到凡是符合黄金分割的总是美的。并应用于实际问题中。
第三层次：通过学生的实际动手，探索线段上黄金分割点的做法
教学过程：
一创设教学情境：
黄金分割教学实录
2024年九年级中考数学复习——黄金分割及其应用含参考答案
2024年新课标中考数学二轮
专题黄金分割及其应用
1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．
2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．
3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)
A.0.73m
B.1.24m
C.1.37m
D.1.42m
4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1
2
≈0.618，
称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也
是5-1
2，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()
A.165cm
B.178cm
C.185cm
D.190cm
5人们把5-1
2这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割
数．设a=5-1
2，b=
5+1
2得ab=1，记S1
=1
1+a
+1
1+b，S2
=1
黄金分割-初中数学知识点
1 / 1 黄金分割
1．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC > ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即ABAC ACBC = ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．
其中0.618AB AC AB =≈，并且线段AB 的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72︒ ，顶角为36︒
．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：②等腰三角形，两个底角为36︒，顶角为108︒
（3
．
北师大版九年级数学上册《黄金分割》课件
9．(8分)如图，请画出线段AB的一个黄金分割点， 已知O为AB的中点．(保留作图痕迹，不写作法)
图略
10．(8 分)若一个矩形的短边与长边的比值为 52－1，我们 把这样的矩形叫做黄金矩形． (1)操作：请你在如图所示的黄金矩形 ABCD(AB＞AD)中， 以短边 AD 为一边作正方形 AEFD； (2)探究：在(1)中的四边形 EBCF 是不是黄金矩形？若是， 请予以证明；若不是，请说明理由．
第4课时 黄金分割
一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果
AACB＝ABCC，那么称线段 AB 被点 C_黄__金__分__割__，点 C 叫做 线 段 AB 的 __黄__金__分__割__点__ ， AC 与 AB 的 比 叫 做 __黄__金__比____．
知识点1 黄金分割及其相关概念
(1)图略；
(2)四边形EBCF是黄金矩形，理由略．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
九年级数学黄金分割知识点
九年级数学黄金分割知识点黄金分割是一种美学原则，也是一种数学概念。它源自古希腊艺术与建筑，被广泛应用于文化和设计领域。黄金分割是一种比例关系，其比值约为1:1.618。在九年级数学中，黄金分割也是一个重要的知识点，它与数列、图形等内容密切相关。
一、黄金分割比例
黄金分割比例是指一个线段一分为二时，较长部分与整体的比值等于整体与较短部分的比值。即如果将一个线段分成两部分，较长部分与整体的比值约等于1.618，而较短部分与整体的比值约等于0.618。这个比例是无限不循环小数，被简化为1.618。
二、黄金分割的应用
黄金分割在几何学和自然科学中有广泛的应用。在几何学中，一些特殊的图形，如黄金矩形和黄金三角形，具有黄金分割的性质。黄金矩形是指长和宽之比为黄金分割比例的矩形。黄金三角形是一个直角三角形，其两条腰的比例接近黄金分割。这些图形在建筑和设计中被广泛使用，给人一种美感和和谐感。
黄金分割还与数列和斐波那契数列有密切关系。斐波那契数列
是一个无限序列，每个数字是前两个数字之和。斐波那契数列的
前两个数字是1，1，然后依次为2，3，5，8等等。当我们计算斐波那契数列中相邻数字的比值时，会发现它们逐渐接近黄金分割
比例。例如，5/3≈1.667，8/5≈1.6，13/8≈1.625。这种关系在数学中被广泛探讨，可以通过递归公式定义斐波那契数列。
三、黄金分割与美学
黄金分割被认为是一种美学原则，用于艺术和设计中。在绘画、摄影、雕塑等艺术形式中，黄金分割被用来划分画面，使得画面
更加平衡和美观。例如，在绘画中，艺术家可以将水平和垂直线
最新-九年级数学上册 191-192 比例线段和黄金分割 学
比例线段与黄金分割学习指导
在日常生产和生活中，人们经常要接触到比与比例．在本单元中，我们将系统地学习“线段的比”和“黄金分割”这两部分内容，它们既是本章内容中的一个重点，也是以后继续学习相关知识的基础．
一．知识结构
二．学习要点
1．经历现实生活中两条线段的比，了解“比”与“比例尺”的概念；
2．通过对实例的研究，初步体验“两条线段的比”与“比例线段”的相互关系；
3．“黄金分割”是《课程标准》重点提出的内容．学习“黄金分割”不仅实现了新课程对比例线段的基本要求，更体现了数学的文化价值和应用价值，“黄金分割”也是建筑、艺术等学科之间必然联系的纽带．
4．熟练掌握下列性质：
（1）如果d
c b a =，那么bc a
d =； （2）如果bc ad =（a 、b 、c 、d 都不等于0），那么d
c b a =； （3）如果
d c b a =，那么d
d c b b a ±=±； （4）如果)0(≠+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅==n d b n m d c b a ，那么b
a n d
b m
c a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++． （5）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AB AB AC 618.02
15≈-=． 三．边读边做
1．如果选用 量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么m ∶n 就叫做 比；由此可知，两条线段的长度比与所采用的 没有关系．
2．在地图或工程图纸上， 长度与 长度的比通常称为比例尺．
3．四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做 ，简称 ．
冀教版九年级上册数学《比例线段读一读黄金分割的应用》
冀教版九年级上册数学《比例线段读一读黄金分割的
应用》
世界上很多美妙的事物都有一个共同的特点，就是有着惊人相似的比例，这个比例就是黄金比例。这节课，我们学习比例线段。
1、了解相似多边形的概念.
2、了解相似多边形的相似比〔相似系数〕的概念.
3、培育将复杂效果转化为复杂效果之一重要思想方法.
【教学重点】
相似多边形及相似比的概念.
【教学难点】
相似多边形的证明方法.
教学进程
一、温习提问
什么叫做全等三角形？
二、导入新课
1、阅读课本，回答以下效果：
〔1〕、两条线段的比就是 的比.
比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a,b 的比为 3∶6=1∶2,对吗？那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应留意什么效果呢？ 假设选用 量得两条线段AB 、CD 的长度区分是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD= ，或写成
CD AB = ，其中，线段AB 、CD 区分叫做这两个线段比的 和 . 假设把n
m 表示成比值k ，那么CD AB = 或AB= 三、讲授新课
前面，我们研讨了全等三角形，本节课我们将研讨相似多边形的定义及运用定义判定两个多边形相似的方法.
带先生看书上的几个图片,总结：
①我们把外形相反的两个图形说成是相似的图形
②在两个大小不相等的相似图形中，我们可以以为大的图形是由小的图形缩小而成；或小的图形是由大的图形增加而成。
如图：正方形ABCD 和正方形''''D C B A 外形相反，即为相似的图形，关于相似的两个图形有什么特征呢？ 有图可知
③定义： 假设两个边数相反的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比〔或相似系数〕
九年级数学上册 4.1比例线段(黄金分割)课件 浙教版
8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度 左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁 门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山， 九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在这黄金分割的纬度上。
AP （ 2 ）求 的值（结果保留 2个有效数字） PB
（3）若AB=2，求PB
A
P
B
生活中的黄金分割
1.小明家的房间高3M,他打算在四周墙中涂上 涂料美化居室,从地面算起,涂到多高时才使 人感到舒适?
2．在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618， 越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾 舞演员也达不到如此的完美。某女士身高1.68米， 下半身1.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来 更美呢？
黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何 比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊 的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔 等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成 0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴 蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许 多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
例题分析
例3.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB则下列 等式成立的是（ ） (A) AB2=AC•CB (B) CB2=AC•AB (C) AC2=CB•AB (D) AC2=AB•BC 例4.如图,点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP
初三数学上比例线段(基础) 知识讲解+巩固练习
比例线段（基础） 知识讲解
【学习目标】
1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；
2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；
3、会运用比例线段解决简单的实际问题；
4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、相似形 1.相似的图形
在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释：
(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形
一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：
相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
要点二、比例线段
1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作
a
b
或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段
c ，
d 的比，即
(::)a c
a b c d b d
==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质： （1）基本性质
初三数学第2讲：比例线段与黄金分割
一、知识要点：
1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 如果a 、b 、c 、d 是比例线段，即a c
b d
=（或::a b c d =）
，那么线段a 、d 是比例外项，线段b 、c 是比例内项。 3、比例线段有以下性质： （1）基本性质 如果
a c
b d
=，那么ad bc = （2）合比性质 如果
a c
b d =，那么a b
c
d b d ++=，a b c d
b d --=
； （3）等比性质 如果
a c
b d =，那么a
c a c k b
d b d
+===+。 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：如果
3
12123
a a a k
b b b ===，那么 1233
12123123
a a a a a a k
b b b b b b ++====++
小试牛刀： 一、填空题
1、两条线段x 、y 的长度的比叫做这两条线段的____________，记作____________。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。
3、合（分）比性质：如果
a c
b d =，那么
a b
b
±=_____________。 4、等比性质：如果
a c e
b d f === ，且_____________，那么__________=()a
c e b
d f
=== 5、若4x=5y ，则x ：y=____________
九年级数学上册 3.2.2 比例的基本性质黄金分割教案1
3.2.2 比例的基本性质黄金争分割
课 题:比例的基本性质黄金争分割
教学目标: 1、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，了解黄金分割、黄金矩形、黄
金三角形的意义。
2、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点。
重 点: 黄金分割的意义。
难 点: 怎样找一条线段的黄金分割点或在一个图形中找出黄金分割点。
学习过程: 一、课前预习与导学
1、如图所示的五角星中，AC AB 与BC AC
的关系是（ ） A.相等 B AC AB ＞BC AC C. AC AB ＜BC AC
D 不能确定 2、（1）如图所示，若点C 是AB 的黄金分割点，AB ＝1，则AC ≈____BC
≈_____；（2）一条线段的黄金分割点有____个。 3、若线段AB ＝4cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC 的长为多少？（结果保留四
个有效数字）
4、如图所示的五角星中，AD ＝BC ，且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点，AB ＝1，求CD 的长。
一、课题引入，激发学习兴趣 1、请同学们欣赏以下两幅图片
图（1） 图（2）
2．（1）调查并统计学生最喜欢一组矩形中的哪一个？（P84 T3）
（2欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例与人以匀称、协调的美感及上海东方明珠塔体的挺拔秀丽。引人课题：黄金分割
二、探索新知
1.我们都见过电冰箱吧，你们最常见到的冰箱一般都是什么形状的？(长方形)请看屏幕，如果老师把一个冰箱作成正方形，请同学们看看它和以前的相比哪个更美观实用呢？(学生判断感觉还是长方形好看。)
人教版九年级数学黄金分割资料(做法)
黄金分割点的求法
礼师
所谓黄金分割，就是把一条线段（AB ）分成两条线段，使其中较长的线段（AC ）是较短线段（BC ）和整个线段（AB ）的比例中项（如图1所示）。
图1
下面介绍它的若干求法，供同学们学习时参考。
1. 黄金分割点的代数求法
已知：线段AB
求作：线段AB 的黄金分割点C 。
分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC AB CB 2=·
即AC AB AB AC 2=-() AC AB AC AB 220+-=·
解这个方程，得
AC AB AB =-≈51
20618.
所以C 点可作。
注意：方程AC AB AB AC 2=-()的解法是初三的数学内容。
2. 黄金分割点的几何求法
已知：线段AB
求作：线段AB 的黄金分割点C 。
作法：如图2所示，
（1）过B 点作BD ⊥AB ，使BD
AB =12； （2）连结
AD ，在AD 上截取DE=BD ；
（3）在AB 上截取AC=AE 。
图2
则点C 就是所求的黄金分割点。
证明：ΘAC AE AD AB ==-12
而AD AB BD =+22
∴=
+⎛⎝ ⎫⎭⎪-AC AB AB AB 22212 =
-=-5212512AB AB AB ∴C 点是线段AB 的黄金分割点。
3. 黄金分割点的近似求法
已知：线段AB
求作：线段AB 的黄金分割点。
分析：若不限于尺规作图，用量角器可以作以线段AB 为一腰，顶角∠A=36°的等腰三角形ABC ，如图3所示，然后作∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D 。
图3
则点D 就是线段AB 的黄金分割点。
证明：在△ABC 中
浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解
比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解
【学习目标】
1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；
2、会运用比例线段解决简单的实际问题；
3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.
【要点梳理】
要点一、比例线段
【： 394495 图形的相似 预备知识】
1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：
（1）基本性质：如果
a c
b d
=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d
，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
要点二、黄金分割
1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC
=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.
要点诠释：
AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：
图4－7
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：
（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =
2
1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.
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一、知识要点：
1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果a、b、c、d是比例线段，即
段b、c是比例内项。
3、比例线段有以下性质：
（1）基本性质
如果ac，那么线段a、d是比例外项，线=（或a:b=c:d）bdac=，那么ad=bc bd
aca+bc+da-bc-d，； =，那么==bdbdbd
aca+cac=，那么===k。 bdb+dbd
a1a2a3===k，那么 b1b2b3（2）合比性质如果（3）等比性质如果等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：如果
a1+a2+a3a1a2a3====k b1+b2+b3b1b2b3
小试牛刀：
一、填空题
1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作
____________。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。
3、合（分）比性质：如果aca±b=_____________。 =，那么bdb
4、等比性质：如果aceace== =，且_____________，那么__________=(== =) bdfbdf
5、若4x=5y，则x：y=____________
6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______
7、下列各组线段成比例的是（）
A、1cm、3cm、2cm、4cm
B、1m、20cm、5cm、25cm
C
cm
cm、4m D、4cm、8cm、6m、12cm
8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB的值为（）
A、13
B、19.5
C、78
D、130
9、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）
A、6.4厘米
B、64分米
C、0.4厘米
D、4厘米
二、典型例题：
例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：
（1） a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；
（2） a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。
试判断它们是否成比例。
分析：判断四条线段是否成比例，可以先把它们按从小到大的顺序排列，由比例的基本性质可知，即如果第一、四两个数之积等于第二、三两数之积，则四条线段成比例，否则不成比例。
ADAE A =DBEC
ABACADAE求证：（1）（2） ==DBECABAC例2、如图：已知
例3、三条线段的长分别为2cm、3cm、4cm，再添一条线段，使这四条线段成比例线段。
例4、已知：x：y=2:3，求(2x-y):(x+2y)的值。
例5、(4x-3y):(x+4y)=3:2，求x：y的值。
例6、已知
例7、已知x、y、z为三个互不相同的正数，且
x+yy+zz+x===k，(xyzk≠0)求k的值 zxyyx+yx==。求x：y x-zzy
三、课堂练习：
1、在1:500000的某地图上，量得甲地到乙地的距离约为60厘米，那么甲地到乙地的实际
距离约为________________千米。
2、已知：x+yx-yy的值为__________ =，则y137
3、若x-y+zy+z-xxyz:=__________ ==，则yx345
三、解答题
4、已知线段x、y的长度满足3x-4y=0，求
x+y的值。 x-y
5、已知
6、如图：已知abc==，a+b+c=36，求a、b、c的值。 345ADAEADAEABAD。求证：（1）；（2） ===BDCEABACACAE
ED
A
BC
7、在△ABC和△EFG中，已知
的周长？
ABBCCA1===，且△EFG的周长是15，求△ABCEFFGGE2
8、已知a、b、c是△ABC的三边长，且
（1）求：abc==。 2343a-b； 2c
（2）若△ABC的周长为63厘米，求△ABC各边的长。
黄金分割
一、知识要点：
1、如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项。如a：b=b：c（或b：a=c：b）时，b叫做a和c的比例中项，这时b=ac。
2、黄金分割
如果点P把线段分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中，AP是AB和PB的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点。AP与AB
割数，它的近似值为0.618。
2称为黄金分
小试牛刀1：
1、16和9的比例中项是__________
2、线段a=6cm，b=24cm，则a、b的比例中项是___________
3、b是a、c的比例中项，a：b=5:3，则c：b=______
4、已知a:b=c:d，求证：ab+cd是a+c与b+d的比例中项 2222
二、典型例题
1、已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，AP>BP，求AP的长？上题中，若条件“AP>BP”没有，AP结果会怎样？
2、已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=+1，求AC的长？
3、已知线段AB=10，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的长？
三、课堂练习
1、线段m、n、p的第四比例项是（）
A、mmnnpmp
B、
C、
D、 nppmn
2、已知1a和3a则它的比例中项是。 2
3、线段b是线段a、c的比例中项，已知a=4，c=6，求b=_______