2013高中数学奥数培训资料之托勒密定理试题
高中数学竞赛辅导之——托勒密定理和西姆松定理
托勒密定理和西姆松定理
一、托勒密定理
圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两
组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之
和)．即：设四边形ABCD 内接于圆，则有；
分析可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．
证明在AC上取点E，使∠ADE=∠BDC，
由∠DAE=∠DBC，得⊿AED∽⊿BCD．
∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴
又∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．
∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵
⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．
说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．
定理：在四边形ABCD 中，有，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。
【解析】在四边形ABCD内取点E，
使
，则：相似，所
以，又因
为
且
，所
以相似，所
以
，所
以
，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅
当A、B、C、D四点共圆时成立。
1.1 直接应用托勒密定理
1．如图所示，P是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求
证：．
C
A B
C
D
E
【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．
若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．1. 2 完善图形借助托勒密定理
巧用托勒密定理解高考模拟试题
图1
托勒密定理：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积.
证明：如图1，四边形ABCD 内接于圆
O ，在BD 上取点P ，使∠PAB =∠CAD ，则
△ABP ∼△ACD ，于是有AB AC =BP CD
，即
AB ⋅CD =AC ⋅BP ①，又因为△ABC ∼△APD ，有BC ⋅AD =AC ⋅PD ②，①+②得AB ⋅CD +BC ⋅
AD =AC ⋅()BP +PD =
AC ⋅BD ，定理得证.
托勒密定理给出了圆内接四边形各边长与
对角线长之间的等量关系.因此托勒密定理可以帮助我们快速便捷地求解许多与圆内接四边形有关的平面几何问题.以下是几个例子.
例1（山西省2022届高考考前第一次适应性测试文科数学第16题）已知圆内
接四边形ABCD 中，AB =7，
BC =24，CD =20，∠ADC =π2
，则BD =.
解：如图2，四边形ABCD 是圆的内接四
边形.由∠ADC =π2，得∠ABC =π2
.所以
AC =AB 2+BC 2=72+242=25，AD =AC 2-CD 2=252-202=15.由托勒密定理得AC ⋅BD =AB ⋅CD +AD ⋅BC ，即25BD =7×
20+15×24.解得BD =20.
评注：例1的常规求解思路，是先利用圆内接四边形对角互补及勾股定理，求得线段AD 的长度，之后在△ABD 与△BCD 中分别对∠BAD 和∠BCD 使用余弦定理，并由∠BAD =
π-∠BCD 得到有关BD 的等式，计算得出结果.事实上，由于四边形ABCD 是圆的内接四边形，而
赣县中学高中数学竞赛平面几何第9九讲托定理勒密
第九讲托勒密（Ptolemy）定理
一、知识要点：
1、托勒密定理：圆内接凸四边形两组对边乘积之和等于两条对角线之积，即已知，如图，
四边形ABCD为圆内接凸四边形，则有 AB·CD+AD·BC =A C·BD A
D
B C
托勒密定理的逆定理：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线之积，那么这个
四边形是圆内接四边形。
即：如图，若AB·CD+AD·BC =A C·BD，则A、B、C、D四点共圆。
A
D
B C
托勒密定理的推广：在任意凸四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC ≥A C·BD，当且仅
当ABCD四点共圆时取等号。
D
A
B C
二、要点分析：
托勒密定理可以用于线段长的转换，其逆定理可用于证明四点共圆。
三、 例题讲解：
例1、设ABCD 为圆内接正方形，P 为弧DC 上的一点，求证：PA(PA+PC)=PB(PB+PD) P
D C
A B
例2、如图，设P 、Q 为平行四边形ABCD 的边AB 、AD 上的两点，APQ ∆的外接圆交
对角线AC 于R ，求证：A P ·AB+AQ ·AD=AR ·RC
D
A B C
Q
P R
例3、已知ABC ∆中，C B ∠=∠2,求证：AC 2=AB 2+AB ·BC
A
B C
例4、如图所示，已知两同心圆O,四边形ABCD 内接于内圆，AB 、BC 、CD 、DA 的延
长线交外圆于A 1、B 1、C 1、D 1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍，求证：四边形A 1B 1C 1D 1的周长≥四边形ABCD 的周长的2倍，并确定等号成立的条件。
D 1
例5、已知ABC ∆中，AB>AC,A ∠的一个外角平分线交ABC ∆的外接圆于点E,过E 作EF ⊥AB,垂足为F （如图），求证：2AF=AB-AC
高中数学竞赛定理
重 心
定义：重心是三角形三边中线的交点，
可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB
于F 。求证：F 为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，
S △AOB=S △AOC ，
又S △AOB=S △BOC ，
∴S △AOC=S △BOC ，
再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、三角形到三边距离之积最大的点。
5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为
((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3
外心
定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。
外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积
1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c )
高中数学联赛中常见的几何定理
高中数学联赛中常见的几何定理
第一篇：高中数学联赛中常见的几何定理
梅涅劳斯定理：
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。证明：过点A作AG‖BC交DF的延长线于G
AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
三式相乘得：
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=
1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
塞瓦定理：
在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=
1证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-
S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
容斥原理,托勒密定理等高中原理定理技巧
容斥原理,托勒密定理等高中原理定理技巧
容斥原则
当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择.将整体分解为部分也就是将有限集X表示成它的一组两两互异的非空真子集A1，A2，...An的并集，即X=AUA，U...UA，集合0={A，4....，A}叫做集合X的一个覆盖一个特殊情况是，集族9中的任意两个集合都不相交，这时我们称集族9为集合x的一个（完全）划分.如9为集合X的划分，则对集合X的计数可通过熟知的加法公式1XH41+|A，|+144|+ (14)
托勒密定理
①进行，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事.我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算XI，当集族9中至少存在两个集合的交非空时，我们称这个覆盖为集合X的不完全划分.对于集合X的不完全划分，显然有有
1Xk144|+|421+ (14)
②因为在计算4时出现了对某些元素的重复计数，为了计算Xl，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得超出了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.完成这项工作的准则就是容斥原理.是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的。容斥原理有两个公式。
托勒密定理 知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
[学生用书P37～P38]
1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，则下列结论中正确的有()
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形
③∠A的外角与∠C的外角互补
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选B.由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；
④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
2．以下各种说法中，正确的是()
A．任意三角形可能有1个外接圆，也可能有2个
B．在圆内部的四边形叫作圆内接四边形
C．菱形一定有外接圆
D．圆内接平行四边形一定是矩形
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()
A．20°B．40°
C．80°D．120°
解析：选C.四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.
4．两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若∠EAB＝∠DAB，求证：CD＝EF.
证明：
因为四边形ABEC 为圆内接四边形， 所以∠2＝∠CEB .
又因为∠1＝∠ECB ，且∠1＝∠2， 所以∠CEB ＝∠ECB . 所以BC ＝BE .
在△CBD 与△EBF 中，∠BCD ＝∠BEF ，∠D ＝∠F ，BC ＝BE ， 所以△CBD ≌△EBF . 所以CD ＝EF .
高中数学常用平面几何名定理
高中数学常用平面几何名定
理(总4页)
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高中数学常用平面几何名定理
定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
定理2 Ceva定理
定理3 Menelaus定理
定理4 蝴蝶定理定理
内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
定理5 张角定理
在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD
定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
定理7 Eular line：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半
定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点
已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心
2
定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心
在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面
0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。
高中数学竞赛平面几何四个重要定理
竞赛专题讲座06
－平面几何四个重要定理
四个重要定理：
梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、
R共线的充要条件是。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）
△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的
充要条件是。
托勒密(Ptolemy)定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该
四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是
该点落在三角形的外接圆上。
例题：
1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：
。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）
【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，
交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中
点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）
DGF截△ACM→（梅氏定理）
∴===1
【评注】梅氏定理
3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，
，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】
【评注】梅氏定理
4．以△ABC各边为底边向外作相似的
等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、
CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则
CD=DA=AB，AC=BD。
高中数学第一章直线、多边形、圆13圆与四边形托勒密定理及逆定理的证明素材北师大版4-1!
托勒密定理及逆定理的证明
托勒密定理 ：如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积． 证明：设ABCD 是圆内接四边形。
在弦BC 上，圆周角∠BAC = ∠BDC ， 而在AB 上，∠ADB = ∠ACB 。
在AC 上取一点K ，使得∠ABK = ∠CBD ；
因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD ， 所以∠CBK = ∠ABD 。 因此△ABK ∽△DBC ，
同理也有△ABD ∽△KBC 。
因此AK/AB = CD/BD ，且CK/BC = DA/BD ； （1） 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； （2） 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC ，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。 证明： 设四边形ABCD 有外接圆O ，AC 和BD 相交于P ，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD 的四边都相等，则四边形ABCD 为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设AB
2
1
AC ×BD ×sin α 又S 四边形BCDE =
2
1
（BE ×BC+DE ×CD ）sin ∠EBC 而S 四边形ABCD =S 四边形BCDE ， 所以
21（BE ×BC+DE ×CD ）sin ∠EBC=2
1
AC ×BD ×sin α 即(AD ×BC+AB ×CD)sin ∠EBC=AC ×BD ×sin α． 由于∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC ， 所以AD ×BC+AB ×CD=AC ×BD ． 托勒密定理逆定理的证明：
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(8)(附答案)
加试模拟训练题（8）
1、已知圆1234,,,O O O O 按顺时针的顺序内切于圆O ，设圆(),14i j O O i j ≤<≤的外公切线长为ij l ，证明依次以12233414,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
2.设ABC ∆三边长为c b a ,,，有不等式
∑∑-+≥
-,)(31)(22c b a
c
b c b ------① 试证不等式①中的系数3
1
是最优的.
3、设M={ 1,2,3,…,2m n} (m,n ∈N *)是连续2m n 个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M 的任何k 元子集中都存在m+1个数，a 1,a 2,…a m+1，满足a i |a i+1 (i=1,2,…,m).
4．已知*
,,,N n m b a ∈，且2,1),(>=a b a ，试问m
m
n
n
b a b a ++|的充要条件是m n |吗？ 2006年山东省第二届夏令营试题）
加试模拟训练题（8）
1、已知圆1234,,,O O O O 按顺时针的顺序内切于圆O ，设圆(),14i j O O i j ≤<≤的外公切线长为ij l ，证明依次以12233414,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
证明 设圆1234,,,,O O O O O 的半径分别为1234,,,,R r r r r ，圆1234,,,O O O O 与圆O 的切点分别为 ,,,A B C D ，1234,,,OO a OO b OO c OO d ====，1223,O OO O OO αβ∠=∠=，
98初高中无缝对接之平几竞赛中的托勒密定理智取人大附中的经典客观压轴题有妙手的数学达人欢迎交流讨论
98初高中无缝对接之平几竞赛中的托勒密定理智取人大附中的经典客观压轴题，有妙手的数学达人欢迎交流讨论...
数学学习，知识广度的提升尤为重要。如果高考想要130+的同学们要注意了,初高中知识衔接一定要重视起来，比如初中学的三角形的五心，一元二次方程根与系数的分布，圆幂定理等很多知识跟高中紧密关联。在近期解答人大附中的一个小压轴题时，老师我用到了一个初中竞赛常用的托勒密定理，很快就速解了，然而用解析几何来做，费了好大劲，才求出了最小值，另外也尝试轨迹动态法，也很快理清思路妙解。这个解析几何解法中的最大值如何求，请数学达人们沟通交流，不吝赐教！现在准备上题，如题:那么今天就分享到这里分享数学成就价值做一个有经纬的公众号！头条专栏中的图片源于互联网，如涉及到版权问题请通知我及时下架！雁过留声，人过留名。重要的事情说三遍，没点关注的加一波关注，没点关注的加一波关注，没点关注的加一波关注！觉得不错的请多多分享运营头条号：高中数学魔法巧克力
高中数学竞赛定理
重 心
定义：重心是三角形三边中线的交点，
可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB
于F 。求证：F 为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，
S △AOB=S △AOC ，
又S △AOB=S △BOC ，
∴S △AOC=S △BOC ，
再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、三角形到三边距离之积最大的点。
5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为
((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3
外心
定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。
外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积
1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c )
第3章 托勒密定理及应用(含答案)
第三章 托勒密定理及应用
【基础知识】
托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积． 证明 如图3-1，四边形ABCD 内接于O ，在BD 上取点P ，使PAB CAD =∠∠，则△ABP ∽△ACD ，于是
A
图3-1
AB BP
AB CD AC BP AC CD
=⇒⋅=⋅． 又ABC △∽△APD ，有BC AD AC PD ⋅=⋅． 上述两乘积式相加，得 AB CD BC AD AC BP PD AC BD ⋅+⋅=+=⋅（）．
①
注 此定理有多种证法，例如也可这样证：作AE BD ∥交o 于E ，连EB ，ED ，则知BDAE 为等腰梯形，有EB AD =，ED AB =，ABD BDE θ==∠∠，且180EBC EDC +=︒∠∠，令BAC ϕ=∠，AC 与
BD 交于G ，则
111
sin sin()sin 222
ABCD S AC BD AGD AC BD AC BD EDC θϕ=⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅∠∠，
11
sin sin 22
EBCD EBC ECD S S S EB BC EBC ED DC EDC =+=⋅⋅+⋅⋅△△∠∠
()()11
sin sin 22
EB BC ED DC EDC AD BC AB DC EDC =⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅∠∠． 易知 ABCD EBCD S S =，从而有AB DC BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅．
推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则
sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅=⋅+⋅∠∠∠．
高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积
之和)．
即：ABCD AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅定理：在四边形中，有：
ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立；
()
ABCD E BAE CAD ABE ACD
AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD
BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠∆∆∴=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、一、直接应用托勒密定理
例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．
分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为
繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ，
∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ．
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 证明：如图，作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ，显然ABCD 是圆内接四边形．
由托勒密定理，有 AC ·BD=AB ·CD ＋AD ·BC ． ①
高中数学三角函数专题26 托勒密定理及旋转相似
专题26 托勒密定理及旋转相似
一．选择题（共9小题）
1．（2018•日照一模）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD ∆为正三
角形，则BCD ∆面积的最大值为( )
A ．232+
B ．312+
C ．322+
D ．31+
2．（2016秋•霞浦县校级期中）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD
∆为正三角形，则BCD ∆面积的最大值为( )
A ．2
B ．5
C ．21+
D ．31+
3．（2016•唐山二模）在等边ABC ∆中，M 为ABC ∆内一动点，120BMC ∠=︒，则
MA MC 的最小值是( )
A ．1
B ．34
C ．32
D ．33
4．（2019春•博望区校级月考）在等腰ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，3sin cos2b a A b A -=．点D 与点B 在直线AC 的两侧，且33CD AD ==，则BCD ∆的面积的最大值为( )
A ．334
B ．43
C ．534
D ．3
5．（2014•冀州市校级模拟）在ABC ∆中，2BC =，1AC =，以AB 为边作等腰直角三角
形(ABD B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．（2019秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于180︒的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，AC CD ⊥，AC CD =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为( )
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《托勒密定理及其应用》 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．
即：；内接于圆，则有：
设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅
；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD
AC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅
一、直接应用托勒密定理
例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．
四点共圆时成立；
、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似
和且又相似
和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED AC BC AED ABC EAD BAC AD AE
AC AB BE
AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD
ABE CAD BAE E ABCD ⋅≥⋅+⋅∴+⋅=⋅+⋅∴⋅
=⋅⇒=∴∆∆∴∠=∠=⋅=⋅⇒=∴∆∆∠=∠∠=∠)( E
D
C
B A
二、完善图形借助托勒密定理
例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2
例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
三、构造图形借助托勒密定理
例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．
四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理
例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．
五、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，
练习：
1.已知△ABC 中，∠B=2∠C 。求证：AC 2=AB 2+AB ·BC 。
2． 已知正七边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7。求证： 。（第21届全苏数学竞赛）
PM
AB PL AC PK BC PN PL PK AB AC BC P BC ABC +=∆求证：，和、作垂线与、分别向边上一点外接圆的弧由.3