最新圆锥曲线一轮复习
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：圆锥曲线中的综合问题全文
所以B→D＝(x1－2，y1)，B→E＝(x2－2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
将
①
代
入
上
式
得
(k2＋
1)
m2－4 k2＋4
＋
k(m
－
2)
－k2＋2km4 ＋
(m
x1＋x2＝－8 267m，x1x2＝4m227－3， y1y2＝6x1x2＋ 6m(x1＋x2)＋m2＝24m2－3－2748m2＋27m2， ∵O→A·O→B＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， 代入根与系数的关系得 m2＝12，m＝±2 3，满足 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝ 6x±2 3.
4k2＋1
又直线 OP 的斜率为－－12－－00＝12，且直线 OP 与 MQ 不重合，
所以MQ∥OP.
题型二 定点与定值
例 2 (2022·济南模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P(0,2)，连接 PA，PB 交椭圆 C 于点 M，N，△PAB 为直角三角 形，且|MN|＝35|AB|. (1)求椭圆的标准方程；
设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方 程联立得 y＝kx＋1， x32＋y42＝1， 消去 y 整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0， Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2×4＋Δ3k2＝124＋1＋3kk22， x1＋x2＝－4＋6k3k2，
圆锥曲线压轴小题课件-2025届高三数学一轮复习
【考情分析】 近几年高考常常把圆锥曲线作为压轴小题，难度较 大，综合考查学生的分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析 题型一 离心率范围问题 例1 (1)过双曲线xa22 − by22＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与 双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且∠ADB为钝角，则 此双曲线离心率的取值范围为( ) A．(1， 2)
则
(1)x1·x2＝p42，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝
，|BF|＝
p
，
1−cos α
1+cos α
弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2p2 α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)
1 FA
+
1 ＝2；
FB p
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
巩固训练2
(1)
设椭圆xa22
+
y2 b2
＝1(a＞b＞
0)的
左、
右焦
点分别为F1
，F2，
上、
下
顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝ 90°，则直线BM的斜率为( )
A．13 C．－1
B．12 D．－12
答案： B
(2)[2024·安徽合肥模拟]已知M，N为双曲线xa22
巩固训练3 (多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，P为C上的一动 点，A(5，1)，则下列结论正确的是( ) A．p＝4 B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8 C．|PF|的最小值为4 D．|PA|＋|PF|的最小值为9
圆锥曲线之中点问题及应用+讲义——2024届高三数学一轮复习
第2讲圆锥曲线论之中点问题及应用一、知识点1.中点弦所在直线方程2.有心圆锥垂径定理3.有心圆锥曲线第三定义4.对称问题二、典型例题【题型1 中点弦所在的直线的方程】例1.（1）已知直线l与圆x2+y2=9交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程（2）已知直线l与椭圆x 24+y23=1交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程（3）已知直线l与双曲线x2−y22=1交于A,B两点，且AB的中点为P(2,1),求直线l的方程（4）已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程【题型2有心圆锥曲线垂径定理】例2、（1）已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,√2)在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。
（2）已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0), 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。
（3）已知A,B,C是椭圆W:x 24+y2=1上的三个点，O是坐标原点，当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。
（4）已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且过点(√72,34),点P在第一象限，A为左顶点，B为下顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D，若CD∥AB,求点P的坐标。
(5)双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线y=kx+m交双曲线C于A,B两点，交双曲线C的渐近线于C,D，求证：|AC|=|BD|(6)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x 24+y23=1交于A,B两点，且AB的中点为M(1,m)(m>0)，证明：k<−12（7）已知双曲线x2−y22=1,过点P(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1,Q2两点，且点P是弦Q1Q2的中点？直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
高考一轮复习圆锥曲线
师一、学习目标：1.理解椭圆、双曲线、抛物线的定义及其定义的应用2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程形式及标准方程的求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质及其简单的应用.二、重点、难点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义的应用.2. 椭圆、双曲线、抛物线标准方程的求法.3. 椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质的应用三、考点分析：在新课标高考中，圆锥曲线知识点是极其重要的考点，根据考试说明的要求，对圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质要熟练的掌握.考试的题型有选择题、填空题、综合题，对圆锥曲线的基础知识的考查形式主要是选择题、填空题.综合知识的考查以大题形式出现.b5E2RGbCAP一、椭圆的有关知识1.定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数<大于|F1F2|）的点的集合叫椭圆.是椭圆焦点，|，点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|}注：<1）当即a=c ，时点的集合是线段.<2）当，点的集合是空集.2.椭圆的标准方程：<焦点在x轴上），.<焦点在y轴上），.注：点与椭圆的位置关系.点.点.点.椭圆的参数方程：椭圆上任意一点P<x ，y），则.3.椭圆的几何性质：x=y=讨，分焦点在x 轴上、y 轴上两种情形或把所求的椭圆标准方程设为：.p1EanqFDPw <2）与椭圆共焦点的椭圆可设为：=1，<a>0，b>0）<3）椭圆上任意一点P 到焦点F 的距离的最大值是|PF|=a+c ，最小值是|PF|=a-c.<4）椭圆上任意一点P 到两焦点距离之积的最大值是a2，此时P 点与椭圆短轴的两端点重合. 二、抛物线的有关知识1.抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l<l 不过F 点）距离相等的点的集合叫抛物线.定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线.DXDiTa9E3d2. 抛物线的标准方程形式：<p>0） <p>0）<p>0）<p>0）P:称为焦准距<焦点到准线的距离）3. 抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率<以为例）4. 抛物线的通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交，两交点之间的距离是抛物线的通径，长度是2p.RTCrpUDGiT5. 有关的重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交于A<.则有下列结论<1）|AB|=，|AB|=，<显然当时，|AB|最小，最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径.）<2），<3）<4）<5）以|AB|为直径的圆与准线相切．三、双曲线的有关知识1.双曲线的定义：定义：平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数<小于）的点的集合叫做双曲线.定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离是焦距.5PCzVD7HxAM=.注意：<1）在定义中：若2a=，则点的集合是以为端点的射线，若2a>，则点的集合是空集.<2）在定义中：当，则点的集合是双曲线的右支<如图1），当，则点的集合是双曲线的左支<如图2）.2. 双曲线的标准方程轴上），<1），焦点在x轴上<实轴在x轴上），3. 双曲线的几何性质或或<e ：确定双曲线的开口程度），，确定的值.<2）不能确定双曲线的焦点位置时，可设方程为：<3）与双曲线共焦点的双曲线方程设为：4. 几种特殊的双曲线 <1）等轴双曲线：，<等轴双曲线的离心率是）<2）共轭双曲线：互为共轭双曲线.性质：①互为共轭双曲线的四个焦点共圆，②离心率倒数平方之和等于1，③有相同的渐近线5. 双曲线中的基本三角形：<1）如图：<2）焦点三角形的面积：，<）知识点一：椭圆、抛物线、双曲线的标准方程例1.把下列正确命题的序号填在题后的横线上.<1）平面内到定点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.<2）平面内有两点，动点P满足：，则P点的轨迹是双曲线.<3）P是椭圆上任意一点，则的最大值是.<4）双曲线与椭圆有相同的焦点和焦距.<5）以抛物线过焦点F的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是相切.<6）是方程“表示焦点在y轴上的椭圆”的充分必要条件.正确的命题是_____________.【思路分析】<1）<2）根据椭圆和双曲线的定义判断.<3）<4）<5）通过计算判断.<6）利用充要条件定义判断.【解题过程】<1）根据椭圆的定义知：点的轨迹是以为端点的线段.命题<1）错.<2）由双曲线的定义知：点的轨迹是双曲线的一支<右支），故命题<2）错.<3）由椭圆的定义知：，等号成立的条件是：.故命题正确.<4）由椭圆方程和双曲线的方程知：它们的焦点都在x轴上，且相等，是，焦距显然相等.故命题正确.<5）如图：M是过焦点F的弦AB的中点，则，由抛物线的定义知：，故以|AB|为直径的圆的圆心M到准线的距离等于圆的半径，命题正确.jLBHrnAILg<6）若m>n>0则，方程化为：，故焦点在y轴上.反之，方程表示焦点在y轴上的椭圆，则必有，即m>n>0成立.是充要条件.故命题正确.xHAQX74J0X 【解题后的思考】上述命题主要考查圆锥曲线的定义，圆锥曲线的标准方程等基础知识.掌握圆锥曲线的定义很关键，它给解决圆锥曲线的有关问题带来很大的方便.LDAYtRyKfE 例2. 根据下列条件求圆锥曲线的标准方程.<1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆的标准方程. <2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点M<-2，）的双曲线的方程. <3）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M<m，-3）到焦点的距离是5，求抛物线的方程.Zzz6ZB2Ltk 【思路分析】<1）对于本题求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a，b 的值.若不能确定焦点的位置，要讨论焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情形.或设方程为可避免讨论，简化运算.dvzfvkwMI1<2）设所求的双曲线方程为，确定的值.<3）因顶点在原点，对称轴是y轴，点M<m，-3）位于第三、四象限.故可设抛物线方程是.【解题过程】<1）解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为由已知得：即所求的椭圆方程是②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为，由已知得：解得b2=9，a2=3，与a>b矛盾.此种情形不存在.综合上述知：所求的椭圆方程是解法二：由已知设椭圆的标准方程是，故即所求的椭圆标准方程是.<2）设所求的双曲线的方程是，把M<-2，）代入求得，即所求的双曲线的方程是<3）解法一：设所求的抛物线的方程为，则焦点为F在抛物线上，且|MF|=5，，故抛物线的方程为解法二：设抛物线的方程为：<p>0）焦点F<0，-，准线L:y=，作MN，垂足是N，则|MN|=|MF|=5而|MN|=3+，故3+=5，即p=4，故抛物线的方程是.rqyn14ZNXI【解题后的思考】求圆锥曲线的标准方程是新课标高考常见的题型之一，掌握圆锥曲线的标准方程的形式是解题的突破口，求标准方程要选择标准方程的形式，可由已知条件确定.选择恰当的圆锥曲线方程的形式，可简化运算.如：椭圆经过两点A，B求标准方程：可设方程为与椭圆共焦点的椭圆标准方程可设为：EmxvxOtOco已知渐近线方程为，可设双曲线方程是，确定的值即可.已知双曲线过两点，设方程为：，与双曲线共焦点的双曲线方程设为：等.SixE2yXPq5例3.<1）已知圆和圆.动圆M同时和圆C1，C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程.<2）有一张长为8宽为4的矩形纸片ABCD，按图示的方法进行折叠使每次折叠后的点B都落在AD上，此时将B记为，<注：EF为折痕，点F也可落在边CD上，过作交EF于T点，求点T的轨迹方程.6ewMyirQFL【思路分析】<1）根据动圆与两定圆相外切的条件可得|MC2|-|MC1|=定值，再根据双曲线的定义写出M点的轨迹方程.kavU42VRUs <2）在折叠的过程中：，由知：，故T点到直线AD的距离等于它到定点B的距离.根据抛物线的定义知：T点的轨迹是以B点为焦点，AD为准线的抛物线的一部分.y6v3ALoS89【解题过程】<1）定圆C1<-3，0），半径r1=1，定圆C2<3，0），半径r2=3，设动圆的圆心M<x，y），半径是r，由题意知：|MC1|=r+1，|MC2|=r+3，故|MC2|<，由双曲线的定义知：动点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即，故M点的轨迹方程是.M2ub6vSTnP <2）以AB的中点O为原点，AB所在的直线为y轴，建立坐标系.<如图），设T<x，y）.由|AB|=4知：定点B到直线AD的距离是4，根据建立的坐标系设抛物线的方程是，则p=4，抛物线的方程为，因为在折叠的过程中：线段的长度在[0，4]范围内变化.故所求T点的轨迹方程是：0YujCfmUCw【解题后的思考】本题是圆锥曲线定义的应用.利用圆锥曲线的定义求动点的轨迹是求轨迹常用的方法，因此掌握圆锥曲线的定义使解决有关的轨迹问题很方便，同时，建立适当的坐标系，要根据图形中的条件抓住题中隐含的“等量关系”，灵活运用定义解答.但要注意不要漏掉x的范围的限制条件.eUts8ZQVRd例4.已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，椭圆上一点P到两焦点的距离满足：<1）求椭圆方程；<2）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为，又点A和点B在椭圆上.且有，求线段AB所在直线的方程.【思路分析】<1）由椭圆的焦点在y轴上及已知条件可求a，c的值.<2）先判断直线AB的斜率是否存在.在确定斜率存在的情况下，设直线方程为：y=kx+2，据的关系及向量的坐标运算求k的值.sQsAEJkW5T【解题过程】<1）设椭圆方程为，由2c=4得c=2，又，故a=3∴所求的椭圆方程为.<2）若直线AB的斜率k 不存在，则，故k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2又设A由得，…①…②∵点F2坐标为F2<0，2）∴由得：∴把代入①、②得…③…④由③、④ 得∴，∴线段AB所在直线的方程为：.【解题后的思考】向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅.通过向量的坐标运算解决这类问题开辟了新的解题途径.GMsIasNXkA知识点二：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及其应用例5. 解答下列各小题<1）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_____________. <2）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.TIrRGchYzg <3）点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_______________.7EqZcWLZNX 【思路分析】<1）考查抛物线的定义，求P点到抛物线的准线的距离就是求P点到抛物线的焦点的距离. <2）不妨设双曲线的焦点在轴上，根据直线与该双曲线的一条渐近线垂直，其斜率之积为-1，建立关于a，c的等量关系.lzq7IGf02E <3）设点，由向量的坐标运算：，再根据P点在椭圆上得关于的二次函数，利用二次函数求最大值.【解题过程】<1）P点到抛物线的准线的距离是，故点P到该抛物线焦点的距离是6.<2）不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为，一条渐近线的斜率为：，直线的斜率为：，，，解得.<3）由题意知，F<-1，0），设点P，则有，解得，，所以=+=，因为，所以当时，取得最大值.【解题后的思考】新课标高考中的选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容是高考的热点内容之一，常考查圆锥曲线方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识掌握的熟练程度以及对知识的综合应用能力和运算能力.zvpgeqJ1hk例6.已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量.NrpoJac3v1<1）求椭圆的离心率e；<2）设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠的取值范围.【思路分析】<1）由与共线得：，得出a，b，c的关系.<2）利用余弦定理和基本不等式求cos∠的范围.【解题过程】<1）∵，∴.∵是共线向量，∴，∴b=c，故.<2）设当且仅当时，cosθ=0，∴θ.【解题后的思考】由于共线向量与解读几何中的平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解读几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题.求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解读几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解读几何问题.1nowfTG4KI圆锥曲线的知识是新课标高考考查的重点内容之一，考查的题型有选择、填空、综合题等，对圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质的基础知识的考查以选择、填空题为主，在第一轮复习中，掌握这些基础知识是很重要的，不可盲目的做难题.掌握这些基础知识是解决综合性试卷的前提，在解决综合性问题时，要充分理解数学思想和数学方法的应用.由于圆锥曲线试卷中的计算量较大，所以要掌握处理圆锥曲线的基本方法和运算中的技巧，尽量减少繁琐的运算量.fjnFLDa5Zo<答题时间：45分钟）一、选择题1.到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是< ）A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D．两条射线2. 方程表示双曲线，则的取值范围是< ）A. B. C.D．或3.双曲线的焦距是< ）A. 4B.C. 8 D．与有关4.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么< ）A. B.8 C. D. 165. 已知抛物线y2＝2px<p>0）的准线与圆<x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为<）A. B.1 C. 2 D. 46. 椭圆C：<a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k<k>0）的直线与C相交于A、B两点，若，则k = <）tfnNhnE6e5A. 1B.C.D. 2二、填空题7. 若椭圆的两个焦点坐标为F1<－1，0），F2<1，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为.8. 椭圆＝1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当时，离心率的取值范围是_____.三、计算题9. 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线的方程.10. P为椭圆上一点，、为左右焦点，若<1）求△的面积； <2）求P点的坐标．11. 点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.<1）求点P的坐标；<2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.一、选择题1. D解读：双曲线的定义2. D解读：由已知得：.3. C解读：由双曲线的方程得：焦距2c=8.4. B解读：抛物线的焦点为F<2，0），直线AF的方程为，所以点、，|PF|等于P点到准线的距离，故|PF|=6+2=8.HbmVN777sL5. C解读：抛物线y2＝2px<p>0）的准线方程是.圆<x－3）2＋y2＝16的圆心为M<3，0），半径是4，故，即p=2.V7l4jRB8Hs6. B解读：，∵ ，∴ ，∵，设，∴ 椭圆方程是：.直线AB的斜率为，则.代入椭圆方程消去x得，，，，.二、填空题7.8.解读：由椭圆的方程知：三、计算题9.解:由于椭圆焦点为F<0，4），离心率为e=，所以双曲线的焦点为F<0，4），离心率为2，从而c=4，a=2，b=2.所求双曲线的方程为：83lcPA59W910. 解：∵a＝5，b＝3c＝4.<1）设，，则①②，由①2－②得，.<2）设P点坐标为，由得4，将，代入椭圆方程解得，或或或.11. 解：<1）由已知可得点A<－6，0），F<4，0），设点P坐标为<，），则=<+6，），=<－4，），由已知可得则2+9－18=0，=或=－6.由于>0，只能=，于是=，∴点P的坐标是<，）<2）直线AP的方程是－+6=0.设点M坐标为<，0），则M到直线AP的距离是，于是=，又－6≤≤6，解得=2.，椭圆上的点<，）到点M的距离有，，由于－6≤≤6，∴当=时，d取得最小值.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
一轮复习--圆锥曲线
圆锥曲线（一）一、解答题（题型注释）1、已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点．求与的面积之比．2、在平面直角坐标系中，已知点和直线：，圆C与直线相切，并且圆心C关于点的对称点在圆C上，直线与轴相交于点．（Ⅰ）求圆心C的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点且与直线不垂直的直线与圆心C的轨迹E相交于点A、B，求面积的取值范围．3、已知椭圆E的右焦点与抛物线的焦点重合，点M在椭圆E上.（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设，直线与椭圆E交于A,B两点，,(其中O为坐标原点)，求的值.4、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；（3）在（Ⅱ）的条件下，证明直线与轴相交于定点．5、已知椭圆：，斜率为的动直线l与椭圆交于不同的两点、.（1）设为弦的中点，求动点的轨迹方程；（2）设、为椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值.6、已知椭圆（的离心率，坐标原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程.(2)若直线（与椭圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过点，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
7、已知椭圆的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆的右焦点，为直线上纵坐标不为0的任意一点，过点作的垂线交椭圆于点,若平分线段（其中为坐标原点），求的值.8、已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，在轴上有一点满足.（1）求椭圆的方程；（2）直线与直线交于点，与直线交于点，且，判断并证明直线与椭圆的交点个数.9、已知椭圆：，点是椭圆上任意一点，且点满足（，是常数）.当点在椭圆上运动时，点形成的曲线为.（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）过曲线上点做椭圆的两条切线和，切点分别为，.①若切点的坐标为，求切线的方程；②当点运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.10、已知：点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．11、如图所示，A、B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区。
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。
圆锥曲线中的最值范围问题 高三数学一轮复习
法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等．
巩固训练1
x2
[2024·江西上饶模拟]已知椭圆C： 2
a
y2
1
＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，
b2
2
+
点F1，F2为椭圆C的左、右焦点且经过点F1(－c，0)的最短弦长为3.
(1)求椭圆C的方程；
高考大题研究课九 圆锥曲线中的
最值、范围问题
会用直线与圆锥曲线、函数、不等式的有关知识解决最值、范围问
题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 最值问题
x2
例1[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线 2
a
y2
＝1(a>0，b>0)实轴的
b2
−
一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线
m + = 5，
2
m=4
m = 1，
解得
或
p=2
p = 8，
故抛物线方程为x2＝4y或x2＝16y.
(2)过焦点F直线l与抛物线交于M，N两点，若MN最小值为4，且
∠MAN是钝角，求直线斜率范围．
1
AB
1
的中点且斜率为－ 的直线与x轴交于点E，记μ＝
，若k∈[ ，2]，
k
求μ的取值范围．
DE
2
题后师说
解圆锥曲线中范围问题的策略
巩固训练2
[2024·吉林长春模拟]已知抛物线x2 ＝2py(p>0)焦点为F，点A(4，m)
在抛物线上，|AF|＝5.
(1)求抛物线方程；
2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：圆锥曲线中探索性与综合性问题
(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴 于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状， 并说明理由.
1234
设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)， 即 x＝y－k y0＋x0， 代入 y2＝4x，整理得 ky2－4y＋4y0－ky20＝0， 因为此直线与抛物线相切，所以 Δ＝4(4－4ky0＋k2y20)＝0， 即(ky0－2)2＝0，解得 k＝y20， 所以过 A 的切线为 y－y0＝y20(x－x0)，
＝kx－p2， 联立抛物线方程得 k2x2－(k2p＋2p)x＋k24p2＝0，
Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝k2pk＋2 2p＝2kp2 ＋p， 此时|AB|＝x1＋x2＋p＝2kp2 ＋2p>2p，
显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小， 即2p＝4，解得p＝2， ∴抛物线E：y2＝4x.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.13 圆锥曲线中探索性 与综合性问题
题型一 探索性问题
例 1 (2023·南通模拟)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，
且过点
315，
2.
(1)求双曲线C的标准方程；
依题意ac＝2， 35a2－b22＝1，
结合 c2＝a2＋b2，
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率 之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求 此时直线l的方程；若不能，请说明理由.
高考数学(圆锥曲线)第一轮复习
高考数学（圆锥曲线）第一轮复习资料知识小结一.椭圆第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.3.椭圆的标准方程:(1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -.(2))0(12222>>=+b a ay b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中c=22b a -.4.椭圆的参数方程:⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).5.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例:①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A′(-a,0),B(0,b),B′(0,-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④离心率:e=a c,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.二.双曲线1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(2)双曲线的第二定义:若点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1) 2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上:)0,0(12222>>=-b a by a x ,焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0),22b a c +=.(2)焦点在y 轴上: )0,0(12222>>=-b a bx a y ,焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c).22b a c +=.3.双曲线简单几何性质:以标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x 为例.(1)范围:|x|≥a;即x ≥a,x ≤-a.(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).(3)顶点:A 1(-a,0),A 2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A 1A 2叫双曲线的实轴,B 1B 2叫双曲线的虚轴,其中B 1(0,b),B 2(0,b).|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b.(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=ab±x;(5)准线:x=ca 2±;(6)离心率:e=ac,e>1. 4.等轴双曲线:x 2-y 2=±a 2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2三.抛物线1.抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：相同点:(１)原点在抛物线上;(２)对称轴为坐标轴;p 值的意义表示焦点到准线的距离;(3)p>0为常数;(4)p 值等于一次项系数绝对值的一半;(5)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４,即2p/4=p/2. 不同点:四.直线与圆锥曲线的位置关系1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式∆来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式:|AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++.5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.7．弦长公式1212||||AB x x y y =-=- 8．焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）五.轨迹问题1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法. 4．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程．5．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．六.圆锥曲线的应用 1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程．2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．试题选讲1．椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1F 2，连接点F1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰1-2．已知N （3，1），点A 、B 分别在直线y=x 和y =0上，则△ABN 的周长的最小值是3．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必经过点______(2,0)________4．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(,1)M m 到焦点的距离为5，则此抛物线的方程为 216x =5．椭圆22221(0)x y a b ab +=>>那么双曲线22221x y ab -=的离心率为6．已知椭圆的焦点是12,,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是 圆7．椭圆221123x y +=的焦点是12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1F P 的中点在y 轴上，那么12:PF PF = 7:18．过点(0,1)M 且与抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程是 0,1x y ==及1y x =+9．函数()()1x 1x x 21x f 2≤≤---=的图象为C,则C 与x 轴围成的封闭图形的面积为______2－2π______.10．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，抛物线bx y 42=的焦点为M ，若||2||21M F M F =，则此椭圆的离心率为10103101011．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上两点，若三角形ABC 为等边三角形，则m 的取值范围是 ),3(+∞ 。
一轮复习圆锥曲线
高考一轮复习圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
2025新高考数学一轮复习圆锥曲线中的二级结论
所以直线FB的倾斜角为π－θ，
由题意可知，tan θ＝21，则|AF|＝1－cpos θ＝1－c2os θ， |BF|＝1－cos（p π－θ）＝1＋c2os θ.
又 ∠AFB ＝ π － 2θ ， 所 以
S△ABF
＝
1 2
|AF|·|BF|·sin(π
－
2θ)
训练4
(2023·长沙调研)已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B
两点，则 2|AF|＋|BF|最小值为
A.2
B.2 6＋3
C.4
√D.3＋2 2
因为 p＝2，所以|A1F|＋|B1F|＝2p＝1， 所以 2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·|A1F|＋|B1F|＝3＋2|B|AFF||＋||ABFF|| ≥3＋2 2|B|AFF||·||BAFF||＝3＋2 2，
C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为
√A.16
B.14
C.12
D.10
如图，设直线 l1 的倾斜角为 则直线 l2 的倾斜角为π2＋θ，
θ，θ∈0，π2，
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝si2np2θ＝sin42θ，
|DE|＝sin22π2p＋θ＝co4s2θ，
A.－116 C.614
√B.－312
D.1
1 024
由椭圆的性质可得 kAP1·kBP1＝kAP2·kBP2＝－ba22＝－21. 由椭圆的对称性可得 kBP1＝kAP10，kBP10＝kAP1，kAP1·kAP10＝－12.
同理可得 kAP2·kAP9＝kAP3·kAP8＝kAP4·kAP7＝kAP5·kAP6＝－21. ∴直线 AP1，AP2，…，AP10 这 10 条直线的斜率乘积为－125＝－312.
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
新高考2024版高考数学一轮复习：高考大题专练五圆锥曲线的综合运用
专练48高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1．[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3.2．[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为 5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．3.[2023·全国乙卷(理)]已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率为53，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．4．[2022·全国甲卷(理)，20]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3.(1)求C 的方程；(2)设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB 的方程．5.[2023·全国甲卷(理)]已知直线x －2y ＋1＝0与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝415.(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且FM →·FN →＝0，求△MFN 面积的最小值．6．[2022·新高考Ⅱ卷，21]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求C 的方程．(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为－3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |＝|MB |.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．7.[2022·全国乙卷(理)，20]已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT →＝TH →.证明：直线HN 过定点．8．[2022·新高考Ⅰ卷，21]已知点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率；(2)若tan ∠PAQ ＝22，求△PAQ 的面积．专练48高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1．解析：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，依题意得|y |＝x 2＋（y －12）2，化简得x 2＝y －14，所以W 的方程为x 2＝y －14.(2)设矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 在W 上，则AB ⊥BC ，矩形ABCD 的周长为2(|AB |＋|BC |).设B (t ，t 2＋14)，依题意知直线AB 不与两坐标轴平行，故可设直线AB 的方程为y －(t 2＋14)＝k (x －t )，不妨设k >0，与x 2＝y －14联立，得x 2－kx ＋kt －t 2＝0，则Δ＝k 2－4(kt －t 2)＝(k －2t )2>0，所以k ≠2t .设A (x 1，y 1)，所以t ＋x 1＝k ，所以x 1＝k －t ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－t |＝1＋k 2|k －2t |＝1＋k 2|2t －k |，|BC |＝1＋（1－1k ）2|－1k －2t |＝1＋k 2k |1k ＋2t |＝1＋k 2k 2|2kt ＋1|，且2kt ＋1≠0，所以2(|AB |＋|BC |)＝21＋k 2k2(|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|).因为|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|k 2－2k ）t ＋k 3－1，t ≤－12kk －2k 2）t ＋k 3＋1，－12k ＜t ≤k 2k 2＋2k ）t －k 3＋1，t >k 2，当2k －2k 2≤0，即k ≥1时，函数y ＝(－2k 2－2k )t ＋k 3－1在(－∞，－12k]上单调递减，函数y ＝(2k －2k 2)t ＋k 3＋1在(－12k ，k2]上单调递减或是常函数(当k ＝1时是常函数)，函数y＝(2k 2＋2k )t －k 3＋1在(k2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝k2时，|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|取得最小值，且最小值为k 2＋1，又k ≠2t ，所以2(|AB |＋|BC |)＞21＋k 2k 2(k 2＋1)＝2（1＋k 2）32k 2.令f (k )＝2（1＋k 2）32k 2，k ≥1，则f ′(k )＝2（1＋k 2）12（k ＋2）（k －2）k3，当1≤k ＜2时，f ′(k )＜0，当k ＞2时，f ′(k )＞0，所以函数f (k )在[1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (k )≥f (2)＝33，所以2(|AB |＋|BC |)＞2（1＋k 2）32k 2≥3 3.当2k －2k 2＞0，即0＜k ＜1时，函数y ＝(－2k 2－2k )t ＋k 3－1在(－∞，－12k]上单调递减，函数y ＝(2k －2k 2)t ＋k 3＋1在(－12k ，k 2]上单调递增，函数y ＝(2k 2＋2k )t －k 3＋1在(k2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝－12k时，|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|取得最小值，且最小值为k 3＋k ＝k (1＋k 2)，又2kt ＋1≠0，所以2(|AB |＋|BC |)＞21＋k 2k 2k (k 2＋1)＝2（1＋k 2）32k .令g (k )＝2（1＋k 2）32k ，0<k <1，则g ′(k )＝2（1＋k 2）12（2k 2－1）k2，当0<k <22时，g ′(k )<0，当22<k <1时，g ′(k )>0，所以函数g (k )在(0，22)上单调递减，在(22，1)上单调递增，所以g (k )≥g (22)＝33，所以2(|AB |＋|BC |)>2（1＋k 2）32k≥3 3.综上，矩形ABCD 的周长大于3 3.2．解析：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，c 为双曲线C 的半焦距，＝25＝5＝a 2＋b 2＝25＝2＝4.所以双曲线C 的方程为x 24－y 216＝1.(2)方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 1＝my 1－4，x 2＝my 2－4.my －4－y 216＝1，得(4m 2－1)y 2－32my ＋48＝0.因为直线MN 与双曲线C 的左支交于M ，N 两点，所以4m 2－1≠0，且Δ>0.1＋y 2＝32m4m 2－11y 2＝484m 2－1，所以y 1＋y 2＝2m3y 1y 2.因为A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，所以A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程为y 1x 1＋2＝y x ＋2，直线NA 2的方程为y 2x 2－2＝yx －2，所以y 1x 1＋2y 2x 2－2＝yx ＋2y x －2，得（x 2－2）y 1（x 1＋2）y 2＝x －2x ＋2，（my 2－6）y 1（my 1－2）y 2＝my 1y 2－6y 1my 1y 2－2y 2＝x －2x ＋2.因为my 1y 2－6y 1my 1y 2－2y 2＝my 1y 2－6（y 1＋y 2）＋6y 2my 1y 2－2y 2＝my 1y 2－6·2m3y 1y 2＋6y 2my 1y 2－2y 2＝－3my 1y 2＋6y 2my 1y 2－2y 2＝－3，所以x －2x ＋2＝－3，解得x ＝－1，所以点P 在定直线x ＝－1上．方法二由题意得A 1(－2，0)，A 2(2，0).设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 214－y 21164x 21－y 21＝16.如图，连接MA 2，kMA 1·kMA 2＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝4x 21－16x 21－4＝4①.由x 24－y 216＝1，得4x 2－y 2＝16，4[(x －2)＋2]2－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)＋16－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)－y 2＝0.由x ＝my －4，得x －2＝my －6，my －(x －2)＝6，16[my －(x －2)]＝1.4(x －2)2＋16(x －2)·16[my －(x －2)]－y 2＝0，4(x －2)2＋83(x －2)my －83(x －2)2－y 2＝0，两边同时除以(x －2)2，得43＋8m 3·yx －2－＝0，－8m 3·y x －2－43＝0.kMA 2＝y 1x 1－2，kNA 2＝y 2x 2－2，由根与系数的关系得kMA 2·kNA 2＝－43②.由①②可得kMA 1＝－3kNA 2.：y ＝kMA 1(x ＋2)＝－3kNA 2(x ＋2)，lNA 2：y ＝kNA 2(x －2).＝－3kNA 2（x ＋2）＝kNA 2（x －2），解得x ＝－1.所以点P 在定直线x ＝－1上．3．解析：(1)因为点A (－2，0)在C 上，所以4b2＝1，得b 2＝4.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝53，所以c 2＝59a 2，又a 2＝b 2＋c 2＝4＋59a 2，所以a 2＝9，c 2＝5，故椭圆C 的方程为y 29＋x 24＝1.(2)由题意知，直线PQ 的斜率存在且不为0，设l PQ ：y －3＝k (x ＋2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，k （x ＋2），＋x 24＝1，得(4k 2＋9)x 2＋(16k 2＋24k )x ＋16k 2＋48k ＝0，则Δ＝(16k 2＋24k )2－4(4k 2＋9)(16k 2＋48k )＝－36×48k >0，故x 1＋x 2＝－16k 2＋24k 4k 2＋9，x 1x 2＝16k 2＋48k4k 2＋9.直线AP ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝0，解得y M ＝2y 1x 1＋2，同理得y N ＝2y 2x 2＋2，则y M ＋y N ＝2y 1（x 2＋2）＋y 2（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝2（kx 1＋2k ＋3）（x 2＋2）＋（kx 2＋2k ＋3）（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝22kx 1x 2＋（4k ＋3）（x 1＋x 2）＋8k ＋12x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝22k （16k 2＋48k ）＋（4k ＋3）（－16k 2－24k ）＋（8k ＋12）（4k 2＋9）16k 2＋48k ＋2（－16k 2－24k ）＋4（4k 2＋9）＝2×10836＝6.所以MN 的中点的纵坐标为y M ＋y N2＝3，所以MN 的中点为定点(0，3).4．解析：(1)方法一由题意可知，当x ＝p 时，y 2＝2p 2.设M 点位于第一象限，则点M 的纵坐标为2p ，|MD |＝2p ，|FD |＝p2.在Rt△MFD 中，|FD |2＋|MD |2＝|FM |2＋(2p )2＝9，解得p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .方法二抛物线的准线方程为x ＝－p2.当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p .此时|MF |＝p ＋p2＝3，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1＝tan α，k 2＝tan β.由题意可得k 1≠0，k 2≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＜0，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，y 3＜0，y 4＞0.设直线AB 的方程为y ＝k 2(x －m )，m 为直线AB 与x 轴交点的横坐标，直线MN 的方程为y ＝k 1(xMD 的方程为y ＝k 3(x －2)，直线ND 的方程为y ＝k 4(x －2).＝k 1（x －1），2＝4x ，所以k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，则x 1x 2＝1.＝k2（x－m），2＝4x，所以k22x2－(2mk22＋4)x＋k22m2＝0，则x3x4＝m2.＝k3（x－2），2＝4x，所以k23x2－(42＋4)x＋4k23＝0，则x1x3＝4.＝k4（x－2），2＝4x，所以k24x2－(4k24＋4)x＋4k24＝0，则x2x4＝4.所以M(x1，2x1)，N(1x1，－2x1)，A(4x1，－4x1)，B(4x1，4x1).所以k1＝2x1x1－1，k2＝x1x1－1，k1＝2k2，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝k1－k21＋k1k2＝k21＋2k22＝11k2＋2k2.因为k1＝2k2，所以k1与k2同号，所以α与β同为锐角或钝角．当α－β取最大值时，tan(α－β)取得最大值．所以k2＞0，且当1k2＝2k2，即k2＝22时，α－β取得最大值．易得x3x4＝16x1x2＝m2，又易知m＞0，所以m＝4.所以直线AB的方程为x－2y－4＝0.5．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，由Δ1＝16p2－8p>0，得p>12.y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，所以|AB·（y1＋y2）2－4y1y2＝5·16p2－8p＝415，解得p＝2或p＝－32(舍去)，故p＝2.(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0).因为FM→·FN→＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝12|MF||NF|＝12(x3＋1)(x4＋1)＝12(x3x4＋x3＋x4＋1)(*).当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，＝x－1，2＝4x，得x2－6x＋1＝0，3＝3－22，4＝3－223＝3＋22，4＝3＋22．代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－22时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－22).当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.＝kx ＋m ，2＝4x ，得k 2x 2－(4－2km )x ＋m 2＝0，Δ2＝(4－2km )2－4m 2k 2>0，3＋x 4＝4－2kmk 2，3x 4＝m 2k2，y 3y 4＝(kx 3＋m )(kx 4＋m )＝k 2x 3x 4＋mk (x 3＋x 4)＋m 2＝4mk.又FM →·FN →＝(x 3－1，y 3)·(x 4－1，y 4)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋y 3y 4＝0，所以m 2k 2－4－2km k 2＋1＋4m k＝0，化简得m 2＋k 2＋6km ＝4.所以S △MFN ＝12(x 3x 4＋x 3＋x 4＋1)＝m 2＋k 2－2km ＋42k 2＝m 2＋k 2＋2kmk 2＝令t ＝mk，则S △MFN ＝t 2＋2t ＋1，2k 2＝4，＋1＝4k2>0，即t 2＋6t ＋1>0，得t >－3＋22或t <－3－22，从而得S △MFN ＝t 2＋2t ＋1>12－82＝4(3－2 2.故△MFN 面积的最小值为4(3－22).＝1，＝3．所以C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线PQ 斜率不存在时，x 1＝x 2x 1>x 2>0，所以直线PQ 斜率存在，所以设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋h (k ＝kx ＋h ，2－y 23＝1.消去y 并整理，得(3－k 2)x 2－2khx －h 2－3＝0.则x 1＋x 2＝2kh 3－k 2，x 1x 2＝h 2＋3k 2－3，x 1－x 2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝23（h 2＋3－k 2）|3－k 2|.因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2＝h 2＋3k 2－3>0，即k 2>3.所以x 1－x 2＝23（h 2＋3－k 2）k 2－3.设点M 的坐标为(x M ，y M )，则y M －y 2＝3(x M －x 2)，y M －y 1＝－3(x M －x 1)，两式相减，得y 1－y 2＝23x M －3(x 1＋x 2).因为y 1－y 2＝(kx 1＋h )－(kx 2h )＝k (x 1－x 2)，所以23x M ＝k (x 1－x 2)＋3(x 1＋x 2)，解得x M＝k h2＋3－k2－khk2－3.两式相加，得2y M－(y1＋y2)＝3(x1－x2).因为y1＋y2＝(kx1＋h)＋(kx2＋h)＝k(x1＋x2)＋2h，所以2y M＝k(x1＋x2)＋3(x1－x2)＋2h，解得y M＝3h2＋3－k2－3hk2－3＝3kx M.所以点M的轨迹为直线y＝3kx，其中k为直线PQ的斜率．选择①②.因为PQ∥AB，所以k AB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，A＝k（x A－2），A＝3x A，解得x A＝2kk－3，y A＝23kk－3.同理可得x B＝2kk＋3，y B＝－23kk＋3.此时x A＋x B＝4k2k2－3，y A＋y B＝12kk2－3.因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝3kx，M＝k（x M－2），M＝3kx M.解得x M＝2k2k2－3＝x A＋x B2，y M＝6kk2－3＝y A＋y B2，所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.选择①③.当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝3kx上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在．当直线AB y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B－2），解得x A＝2mm－3，y A同理可得x B＝2mm＋3，.此时x M＝x A＋x B2＝2mm2－3，y M＝y A＋y B2＝6mm2－3.由于点M同时在直线y＝3k上，故6m＝3k·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.选择②③.因为PQ∥AB，所以k AB＝k.AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，A＝k（x A－2），A＝3x A，解得x A＝2kk－3，y A＝23kk－3.同理可得x B ＝2kk ＋3，y B ＝－23kk ＋3.设AB 的中点为C (x C ，y C )，则x C ＝x A ＋x B 2＝2k 2k 2－3，y C ＝y A ＋y B 2＝6kk 2－3.因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y －y C ＝－1k (x －x C )上．将该直线方程与y ＝3k x 联立，解得x M ＝2k 2k 2－3＝x C ，y M ＝6kk 2－3＝y C ，即点M 恰为AB 的中点，所以点M 在直线AB 上．7．解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ).将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得＝1，＋n ＝1，＝13，＝14．所以椭圆E 的方程为x 23＋y24＝1.(2)证明：(方法一)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2).t （y ＋2），＋y 24＝1.消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2＋8t 4t 2＋3，y 1y 2＝16t 2＋16t －84t 2＋3.设T (x 0，y 1).由A ，B ，T 三点共线，得y 1＋2x 0＝y 1＋1x 0－32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′).由MT →＝TH →，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1，所以直线HN 的斜率k ＝y 2－y ′x 2－x ′＝y 2－y 1x 2＋x 1－（3y 1＋6）＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(x －x 2).令x ＝0，得y ＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(－x 2)＋y 2＝（y 1－y 2）（ty 2＋2t ＋1）t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＋y 2＝（2t －3）y 1y 2＋（2t －5）（y 1＋y 2）＋6y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＝（2t －3）·16t 2＋16t －84t 2＋3＋（5－2t ）·16t 2＋8t4t 2＋3＋6y 1－t （16t 2＋8t ）4t 2＋3－3y 1＋4t －4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2).(方法二)由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2.a．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23＋y 24＝1，可得N (1，263)，M (1，－263).将y ＝－263代入y ＝23x －2，可得T (3－6，－263).由MT →＝TH →，得H (5－26，－263).此时直线HN 的方程为y ＝(2＋263)(x －1)＋263，则直线HN 过定点(0，－2).b．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).－y －（k ＋2）＝0，＋y 24＝1.消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0.1＋x 2＝6k （2＋k ）3k 2＋4，1x 2＝3k （4＋k ）3k 2＋4，1＋y 2＝－8（2＋k ）3k 2＋4，1y 2＝4（4＋4k －2k 2）3k 2＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝－24k3k 2＋4.①＝y 1，＝23x －2，可得T (3y 12＋3，y 1).由MT →＝TH →，得H (3y 1＋6－x 1，y 1).则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1－y 23y 1＋6－x 1－x 2(x －x 2).将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2).8．解析：(1)∵点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，∴4a 2－1a 2－1＝1，解得a 2＝2.∴双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.显然直线l 的斜率存在，可设其方程为y ＝kx ＋m .kx ＋m ，y 2＝1.消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2－4kmx －2m 2－2＝0.Δ＝16k 2m 2＋4(1－2k 2)(2m 2＋2)＝8m 2＋8－16k 2>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4km 1－2k 2，x 1x 2＝－2m 2－21－2k 2.由k AP ＋k AQ ＝0，得y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，即(x 2－2)(kx 1＋m －1)＋(x 1－2)(kx 2＋m －1)＝0.整理，得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0，即2k ·－2m 2－21－2k 2＋(m －1－2k )·4km1－2k 2－4(m －1)＝0，即(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0.∵直线l 不过点A ，∴k ＝－1.(2)设∠PAQ ＝2α，0<α<π2，则tan 2α＝22，∴2tan α1－tan 2α＝22，解得tan α＝22(负值已舍去).由(1)得k ＝－1，则x 1x 2＝2m 2＋2>0，∴P ，Q 只能同在双曲线左支或同在右支．当P ，Q 同在左支时，tan α即为直线AP 或AQ 的斜率．设k AP ＝22.∵22为双曲线一条渐近线的斜率，∴直线AP 与双曲线只有一个交点，不成立．当P ，Q 同在右支时，tan (π2－α)＝1tan α即为直线AP 或AQ 的斜率．设k AP ＝122＝2，则k AQ ＝－2，∴直线AP 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －22＋1.＝2x －22＋1，y 2＝1.消去y 并整理，得3x 2－(16－42)x ＋20－82＝0，则x P ·2＝20－823，解得x P ＝10－423.∴|x A －x P |＝|2－10－423|＝4（2－1）3.同理可得|x A －x Q |＝4（2＋1）3.∵tan 2α＝22，0<2α<π，∴sin 2α＝223，∴S △PAQ ＝12|AP |·|AQ |·sin 2α＝12×3×|x A －x P |×3×|x A －x Q |×sin 2α＝12×3×169×223＝1629.。
高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题
备考例题 3
已知
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A a2 b2
是椭圆上位于第一象限内的一点，点
B
也在椭圆上，且满足O→A＋O→B＝
0(O 为坐标原点)，且A→F2·F→1F2＝0，若椭圆的离心率等于 2. 2
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若△ABF2 的面积为 4 2，求椭圆的方程；
则 P 到直线 y＝ 2x 的距离为 2
|2
2cosθ－2 6
2sinθ|＝4 3
6|cos(θ＋π)|≤4 43
6＜4，故椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8
3.
2
题型四
圆锥曲线与其他知识交汇的问 题
1－ky0－1＋ky0
∴kEF＝yxEE－ －yxFF＝(1－kky
－k 0)2－(1＋ky
0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)， －4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
题型二 最值与范围问题
①正确理解圆锥曲线的定义、标 思维提 准方程；
示 ②联立方程组，对有关参数进行 讨论.
[解] (1)∵F0(c,0)，F1(0， b2－c2)，F2(0，－ b2－c2)，
∴|F0F1|＝ (b2－c2)＋c2＝b＝1，
|F1F2|＝2 b2－c2＝1⇒c2＝3， 4
于是 a＝1 (x≥0) 7
所求“果圆”的方程为 y2＋4x2＝1 (x≤0)
.
m2 m2－1
(2)设 Q(x1，y1)， ∵P(m，y0)，P→F＝λF→Q，
2
1－m＝λ(x1－1)
∴2
，
－y0＝λy1
高中数学第一轮复习圆锥曲线
高二数学辅导资料(四)内容：圆锥曲线本章考试要求考试内容要求层次A B C圆锥曲线 椭圆的定义及标准方程√ 椭圆的几何图形及简单性质 √ 抛物线的定义及标准方程 √ 抛物线的几何图形及简单性质 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的几何图形及简单性质√ 直线与圆锥曲线的位置关系 √ 曲线与方程的对应关系√一、椭圆与双曲线的性质： 【知识要点】椭 圆双 曲 线定义1212||||2(2||)PF PF a a F F +=> 1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程22221x y a b+= 22221x y b a+= 22221x y a b-= 22221y x a b-= 图形焦点(,0)F c ±(0,)F c ±(,0)F c ±(0,)F c ±焦距 C F F 221=范围 a x a -≤≤ b y b -≤≤b x b -≤≤ a y a -≤≤x a ≤-或，x a ≥y a ≤-或，y a ≥对称轴 关于x 、y 轴对称，关于原点成中心对称顶点 长轴：(,0),(,0)a a - 短轴：(0,),(0,)b b - 长轴：(0,),(0,)a a - 短轴：(,0),(,0)b b -(,0),(,0)a a - (0,),(0,)a a -轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 )10(<<=e ace)1(>=e ac e 准线 cax 2±=ca y 2±=ca x 2±=ca y 2±=渐进线 无x ab y ±= x ba y ±= ,,a b c2220c b a b a +=>>， 2220b a c a c +=>>，(一)椭圆的标准方程及几何性质 考点一 椭圆的标准方程问题1．根据下列条件求椭圆的标准方程：()1已知椭圆的长轴长是23(2,0)-，(2,0).()23()3已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 4525过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；考点二 利用椭圆定义解题问题2．()1已知ABC △的顶点,B C 在椭圆2233x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC △的周长是.A 23.B 6 .C 43.D 12()2已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点，求PA PF +的最小值.考点三 椭圆的离心率问题3. ()1（2013福建）椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 .()2（2012全国新课标）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则E 的离心率为.A 12 .B 23 .C 34 .D 45考点五 椭圆中的焦点三角形问题问题5．已知点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使1260F PF ∠=︒.()1求椭圆离心率的取值范围；()2求证：12PF F △的面积只与椭圆的短轴长有关.考点六 直线与椭圆的位置关系问题6. (07陕西) 已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为36,短轴一个端点到M MPK K 1 A A 2 F F Oyx右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标 原点O 到直线l 的距离为23，求AOB △面积的最大值.(二)双曲线的标准方程及几何性质 考点一 双曲线的标准方程问题1．根据下列条件，求双曲线方程：()1与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；()2与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点()2；()3以椭圆221259x y +=的长轴端点为焦点，且过点()P ；考点二 双曲线定义的应用问题2．()1如果12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦， 且6AB =，则2ABF △的周长是(2)设P 是双曲线2213y x -=的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知()3,1A ，求PA PF +的最小值.考点三 双曲线的性质问题3．()1（2013陕西）双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .()2（2011安徽）双曲线x y 222-=8的实轴长是.A 2 .B .C 4 .D()3（07全国Ⅱ）设12F F ,分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=︒且123AF AF =，则双曲线的离心率为 .A .B .C .D考点四 双曲线的渐近线问题4．()1已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为.A 14y x =± .B 13y x =±.C 12y x =± .D y x =±()2（2012福建）双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于.A 5 .B 24 .C 3 .D 5考点五 直线与双曲线的位置关系问题6． 已知直线l ：1y kx =+与双曲线2221x y -=与右支有两个交点A 、B ，问是否存在常数k ，使得以AB 为直径的圆过双曲线的右焦点？二、抛物线的性质图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤ 对称性x 轴 x 轴y 轴 y 轴顶点(0,0) (0,0) (0,0) (0,0)离心率1e = 1e = 1e = 1e =考点一 抛物线的方程问题1.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：()1过点P ()3,2-； ()2焦点在直线240x y --=上；()3顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点()3,M m -到焦点的距离等于5；考点二 抛物线定义的应用问题2．在抛物线24y x =上找一点M ，使MA MF +最小，其中()3,2A ，()1,0F ，求M 点的坐标及此时的最小值；问题3．()1抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为.A 2 .B 3 .C 4 .D 5()2定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线2y x =上移动，求线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值.考点三 抛物线的几何性质问题4．()1点P (),x y 在抛物线24y x =上，则22132Z x y =++的最小值是 .A 0 .B 2 .C 3 .D 4()2 抛物线2y x =-的点到直线4380x y +-=距离的最小值是.A 43 .B 73 .C 85.D 3考点四 直线和抛物线的位置关系问题5．设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线。
高三数学一轮复习圆锥曲线(1-4讲)学生用
第1讲：椭圆1． 椭圆的概念在平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a <c ，则集合P 为空集． 2． 椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形性 质范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c离心率e ＝ca ∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2题型一 求椭圆的标准方程例1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为____________；(2)(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__________．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是____________．题型二 椭圆的几何性质例2 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．题型三 直线与椭圆的位置关系例3 (2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．第2讲：双曲线1． 双曲线的概念把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0： (1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当a >c 时，P 点不存在． 2． 双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)题型一 双曲线的定义及标准方程例1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________．(3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．(1)(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1题型二 双曲线的几何性质例2 (1)(2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若 四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62(2)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB→＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 D. 5题型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．第3讲：抛物线1． 抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2． 抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p>0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1C.54D.74题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．题型三 直线与抛物线的位置关系例3 (2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．第4讲：曲线与方程1． 曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2． 求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )．(3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3． 两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．题型一 定义法求轨迹方程例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线题型二 相关点法求轨迹方程例2 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N的轨迹方程．题型三 直接法求轨迹方程例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M的轨迹方程．。
高考一轮复习圆锥曲线
年 级 高三 学科数学内容标题 圆锥曲线 编稿老师胡居化一、学习目标：1. 理解椭圆、双曲线、抛物线的定义及其定义的应用2. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程形式及标准方程的求法.3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质及其简单的应用.二、重点、难点：1. 椭圆、双曲线、抛物线的定义的应用.2. 椭圆、双曲线、抛物线标准方程的求法.3. 椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质的应用三、考点分析：在新课标高考中，圆锥曲线知识点是极其重要的考点，根据考试说明的要求，对圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质要熟练的掌握.考试的题型有选择题、填空题、综合题，对圆锥曲线的基础知识的考查形式主要是选择题、填空题.综合知识的考查以大题形式出现.一、椭圆的有关知识1. 定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数a 2 （大于|F 1F 2|）的点的集合叫椭圆.21,F F 是椭圆焦点，|c F F 2|21=， 点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a>|F 1F 2|}注：（1）当c 2a 2=即a=c ，时点的集合是线段21F F . （2）当时即c a c <<2a 2，点的集合是空集. 2. 椭圆的标准方程：)0(,12222>>=+b a by a x （焦点在x 轴上），22221).0,(),0,(c b a c F c F =--.)0(,12222>>=+b a ay b x （焦点在y 轴上），22221).,0(),,0(c b a c F c F =--. 注：点),(00y x P 与椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的位置关系.点1)0(1),(220220222200<+⇔>>=+by a x b a b y a x y x P 内在椭圆.点1by a x 0b a 1b y a x y x P 22220222200=+⇔>>=+上在椭圆)(),(.点1by ax 0b a 1by ax y x P 22022222200>+⇔>>=+外在椭圆)(),(.椭圆的参数方程：椭圆12222=+b y a x 上任意一点P （x ，y ），则R ）（b y a x ∈θ⎩⎨⎧θ=θ=,sin cos .3. 椭圆的几何性质：焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形性质范围 |x|≤a ，|y|≤b|x|≤b ，|y|≤a对称性 关于x 轴、y 轴、坐标原点对称 顶点A 1（-a ，0） A 2（a ，0）B 1（0，-b ） B 2（0，b ） A 1（0，-a ） A 2（0，a ） B 1（-b ，0） B 2（b ，0） 离心率e=ac，0<e<1，（焦距与长轴的比） （对椭圆定型） 准线 x=ca 2±y=ca 2±焦半径公式|0201||,|ex a PF ex a PF -=+=|0201||,|ey a PF ey a PF -=+=轴上两种情形或把所求的椭圆标准方程设为：),0,0(,122B A B A By Ax ≠>>=+.（2）与椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 共焦点的椭圆可设为：kb y k a x +++2222 =1，（a>0，b>0）（3）椭圆上任意一点P 到焦点F 的距离的最大值是|PF|=a+c ，最小值是|PF|=a-c . （4）椭圆上任意一点P 到两焦点距离之积的最大值是a 2，此时P 点与椭圆短轴的两端点重合.二、抛物线的有关知识1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不过F 点）距离相等的点的集合叫抛物线.定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线.2. 抛物线的标准方程形式：px y 22= （p>0） px y 22-= （p>0） py x 22= （p>0） py x 22-= （p>0） P:称为焦准距（焦点到准线的距离）3. 抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率（以px y 22=为例）4. 抛物线的通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交，两交点之间的距离是抛物线的通径，长度是2p .5. 有关的重要结论：设过抛物线px y 22=的焦点的直线的倾斜角是θ，与抛物线交于A （),(),,2211y x B y x .则有下列结论（1）|AB|=p x x ++21，|AB|=θ2sin 2p ，（显然当90=θ时，|AB|最小，最小值是2p ，此时|AB|是抛物线的通径.）（2）=21x x 2212,4p y y p -=， （3）θsin 22p S AOB =∆（4）pBF AF 2||1||1=+ （5）以|AB|为直径的圆与准线相切．三、双曲线的有关知识1. 双曲线的定义：定义：平面内到两定点21,F F 距离之差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的集合叫做双曲线.定点21,F F 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离是焦距.M=|}|2,2|||||||{2121F F a a PF PF P <=-.注意：（1）在定义中：若2a=||21F F ，则点的集合是以21,F F 为端点的射线，若2a>||21F F ，则点的集合是空集.（2）在定义中：当a PF PF 2||||21=-，则点的集合是双曲线的右支（如图1），当a PF PF 2||||12=-，则点的集合是双曲线的左支（如图2）.2. 双曲线的标准方程（1）)0,0(,12222>>=-b a b y a x ，焦点在x 轴上（实轴在x 轴上），222c b a =+（2）)0,0(,12222>>=-b a bx a y ，焦点在y 轴上（实轴在y 轴上），222c b a =+3. 双曲线的几何性质图形对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称范围 a x -≤ 或a x ≥a y -≤或a y ≥顶点 A 1（-a ，0） A 2（a ，0）实轴：2a ，虚轴：2bA 1（0，-a ） A 2（0，a ）实轴：2a虚轴：2b离心率 1>=ace （e ：确定双曲线的开口程度） 渐近线x ab y ±= x ba y ±=焦半径（1）P （),00y x 点在右支上01||ex a PF +=，02||ex a PF +-=（2）P ),(00y x 点在左支上，（1）),(00y x P 点在上支上201||,||ey a PF ey a PF +-=+=（2）P ),(00y x 点在下支上aex PF a ex PF +-=--=0201||,||aey PF a ey PF +-=--=0201||||，注：（1）已知渐近线方程0=±ay bx ，可设双曲线方程是=-y a x b ，确定的值.（2）不能确定双曲线的焦点位置时，可设方程为：)0(,122<=+mn ny mx（3）与双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 共焦点的双曲线方程设为：)(,1222222a k b kb y k a x <<-=+-- 4. 几种特殊的双曲线（1）等轴双曲线：222a y x =-，（等轴双曲线的离心率是2）（2）共轭双曲线：1122222222-=-=-by a x b y a x 与互为共轭双曲线.性质：①互为共轭双曲线的四个焦点共圆， ②离心率倒数平方之和等于1， ③有相同的渐近线5. 双曲线中的基本三角形：（1）如图：,tan ,||,||,|OA |a b AOB b AB c OB a AOB =∠===∆中，AOBe ∠=cos 1（2）焦点三角形21PF F ∆的面积：2cot2θb S =，（θ=∠21PF F ）知识点一：椭圆、抛物线、双曲线的标准方程例1. 把下列正确命题的序号填在题后的横线上.（1）平面内到定点),(),(03F ，03F 21-的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.（2）平面内有),(),(03，F 03F 21-两点，动点P 满足：4||||21=-PF PF ，则P 点的轨迹是双曲线.（3）P 是椭圆)0(,122>>=+b a by a x 上任意一点，则||||21PF PF ⋅的最大值是2a .（4）双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点和焦距. （5）以抛物线)0(22>=p px y 过焦点F 的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是相切.（6）”“0n m >>是方程“1ny mx 22=+表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分必要条件. 正确的命题是_____________. 【思路分析】（1）（2）根据椭圆和双曲线的定义判断.（3）（4）（5）通过计算判断.（6）利用充要条件定义判断. 【解题过程】（1）根据椭圆的定义知：点的轨迹是以21,F F 为端点的线段.命题（1）错. （2）由双曲线的定义知：点的轨迹是双曲线的一支（右支），故命题（2）错. （3）由椭圆的定义知：,2||||21a PF PF =+222121)2||||(||||a PF PF PF PF =+≤⋅∴，等号成立的条件是：||||21PF PF =.故命题正确.（4）由椭圆方程和双曲线的方程知：它们的焦点都在x 轴上，且相等，是),(),(034F ，034F 21-，焦距显然相等.故命题正确.（5）如图：M 是过焦点F 的弦AB 的中点，则|)||(|21||111BB AA MM +=，由抛物线的定义知：|||||,|||11BF BB AF AA ==||||AB 21MM 1=∴，故以|AB|为直径的圆的圆心M ||21AB（6）若m>n>0则nm 11<，方程化为：11122=+n y m x ，故焦点在y 轴上.反之，方程11122=+ny m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则必有n m 11<，即m>n>0成立.是充要条件.故命题正确.【解题后的思考】上述命题主要考查圆锥曲线的定义，圆锥曲线的标准方程等基础知识.掌握圆锥曲线的定义很关键，它给解决圆锥曲线的有关问题带来很大的方便.例2. 根据下列条件求圆锥曲线的标准方程.（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过)2,3(),1,6(21--P P 两点，求椭圆的标准方程.（2）求与双曲线19y 16x 22=-有相同的渐近线，且过点M （-2，29）的双曲线的方程. （3）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （m ，-3）到焦点的距离是5，求抛物线的方程. 【思路分析】（1）对于本题求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a ，b 的值.若不能确定焦点的位置，要讨论焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情形.或设方程为)0,0(,122>>=+B A By Ax 可避免讨论，简化运算.（2）设所求的双曲线方程为λ=-9y 16x 22，确定λ的值. （3）因顶点在原点，对称轴是y 轴，点M （m ，-3）位于第三、四象限.故可设抛物线方程是)0(,22>-=p py x . 【解题过程】（1）解法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为)0(,12222>>=+b a by a x由已知得：⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+39123116222222b a b a b a 即所求的椭圆方程是13922=+y x ②当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为)0(,12222>>=+b a a y b x ，由已知得：⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1231162222a ba b 解得b 2=9，a 2=3，与a>b 矛盾.此种情形不存在.综合上述知：所求的椭圆方程是13922=+y x解法二：由已知设椭圆的标准方程是122=+By Ax ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+319112316B A B A B A即所求的椭圆标准方程是13922=+y x . （2）设所求的双曲线的方程是λ=-9y 16x 22，)0(≠λ把M （-2，29）代入求得2-=λ，即所求的双曲线的方程是18x 29y 22=-（3）解法一：设所求的抛物线的方程为)0(,22>-=p py x ，则焦点为F )2,0(p -),(3m M -点 在抛物线上，且|MF|=5，⎩⎨⎧±==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=∴6245)23(6222m p p m pm ，故抛物线的方程为.82y x -= 解法二：设抛物线的方程为：py x 22-=（p>0）焦点F （0，-)2p ，准线L:y=2p，作MN l ⊥，垂足是N ，则|MN|=|MF|=5而|MN|=3+2p ，故3+2p=5，即p=4，故抛物线的方程是. 【解题后的思考】求圆锥曲线的标准方程是新课标高考常见的题型之一，掌握圆锥曲线的标准方程的形式是解题的突破口，求标准方程要选择标准方程的形式，可由已知条件确定.选择恰当的圆锥曲线方程的形式，可简化运算.如：椭圆经过两点A ，B 求标准方程：可设方程为，0，B 0A ，1By Ax 22)(>>=+与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆标准方程可设为：)0(,12222>>=+++b a kb y k a x 已知渐近线方程为0=±ay bx ，可设双曲线方程是λ=-2222y a x b ，确定λ的值即可.已知双曲线过两点，设方程为：)0(,122<=+mn ny mx ，与双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 共焦点的双曲线方程设为：)(,1222222a k b kb y k a x <<-=+--等.例3. （1）已知圆1)3(:221=++y x C 和圆9)3(:222=+-y x C .动圆M 同时和圆C 1，C 2相外切，求动圆的圆心M 的轨迹方程.（2）有一张长为8宽为4的矩形纸片ABCD ，按图示的方法进行折叠使每次折叠后的点B 都落在AD 上，此时将B 记为'B ，（注：EF 为折痕，点F 也可落在边CD 上，过'B 作CD T B //'交EF 于T 点，求点T 的轨迹方程.【思路分析】（1）根据动圆与两定圆相外切的条件可得|MC 2|-|MC 1|=定值，再根据双曲线的定义写出M 点的轨迹方程.（2）在折叠的过程中：||||'BT T B =，由CD T B //'知：AD T B ⊥'，故T 点到直线AD 的距离等于它到定点B 的距离.根据抛物线的定义知：T 点的轨迹是以B 点为焦点，AD 为准线的抛物线的一部分. 【解题过程】（1）定圆C 1（-3，0），半径r 1=1，定圆C 2（3，0），半径r 2=3，设动圆的圆心M （x ，y ），半径是r ，由题意知：|MC 1|=r+1，|MC 2|=r+3，故|MC 2|2||1=-MC <6||21=C C ，由双曲线的定义知：动点M 的轨迹是以)0,3(),0,3(21C C -为焦点的双曲线的左支，即8,3,122222=-===⇒=a c b c a a ，故M 点的轨迹方程是)1(,1822-≤=-x y x . （2）以AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立坐标系.（如图），设T （x ，y ）.由|AB|=4知：定点B 到直线AD 的距离是4，根据建立的坐标系设抛物线的方程是py x 22-=，则p=4，∴抛物线的方程为y x 82-=，因为在折叠的过程中：线段'AB 的长度||'AB 在[0，4]范围内变化.40≤≤∴x 故所求T 点的轨迹方程是：)40(,82≤≤-=x y x【解题后的思考】本题是圆锥曲线定义的应用.利用圆锥曲线的定义求动点的轨迹是求轨迹常用的方法，因此掌握圆锥曲线的定义使解决有关的轨迹问题很方便，同时，建立适当的坐标系，要根据图形中的条件抓住题中隐含的“等量关系”，灵活运用定义解答.但要注意不要漏掉x 的范围的限制条件.例4. 已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，椭圆上一点P 到两焦点的距离满足：||||||232121PF PF F F += （1）求椭圆方程；（2）设椭圆在y 轴正半轴上的焦点为2F ，又点A 和点B 在椭圆上.且有B F AF 222=，求线段AB 所在直线的方程.【思路分析】（1）由椭圆的焦点在y 轴上及已知条件可求a ，c 的值.（2）先判断直线AB 的斜率是否存在.在确定斜率存在的情况下，设直线方程为：22【解题过程】（1）设椭圆方程为12222=+bx a y ，由2c=4得c=2，又32=a c ，故a=3 5222=-=c a b ∴所求的椭圆方程为22195y x +=.（2）若直线AB 的斜率k 222≠BF ，故k 存在，则设直线AB 的方程为：y=kx+2又设A )()(2211，y x B ，yx 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=195222y x kx y 得02520)59(22=-++kx x k ，1222095kx x k -+=+…①1222595x x k -⋅=+…②∵点F 2坐标为F 2（0，2） ∴)2,(),2,(222112-=--=y x B F y x AF 由B F AF 222=得：)2,(2)2,(2211-=--y x y x ⇒212x x -= ∴把212x x -=代入①、②得222095k x k =+…③ 22225295x k =+…④ 由③、④ 得 22202()95k k =+22595k + ∴213k =，33k =± ∴线段AB 所在直线的方程为：233+±=x y . 【解题后的思考】向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅.通过向量的坐标运算解决这类问题开辟了新的解题途径.知识点二：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及其应用例5. 解答下列各小题（1）设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是_____________.（2）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.（3）点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP ⋅的最大值为_______________. （1）考查抛物线的定义，求P 点到抛物线的准线的距离就是求P 点到抛物线的焦点的距离.（2）不妨设双曲线的焦点在x 轴上，根据直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，其斜率之积为-1，建立关于a ，c 的等量关系.（3）设点),(00y x P ，由向量的坐标运算：2000(1)OP FP x x y ⋅=++，再根据P 点在椭圆上得⋅关于0x 的二次函数，利用二次函数求最大值.【解题过程】（1）P 点到抛物线的准线的距离是624=+P，故点P 到该抛物线焦点的距离是6.（2）不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为()()b 0B 0c F ,,,点，一条渐近线的斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc-， ()1b ba c ∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得512c e a+==.（3）由题意知，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=， 解得22003(1)4x y =-，00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y = 所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=()1x x 00++203(1)4x -=20034x x ++， 因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=. 【解题后的思考】新课标高考中的选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容是高考的热点内容之一，常考查圆锥曲线方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识掌握的熟练程度以及对知识的综合应用能力和运算能力.例6. 已知椭圆2222by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与是共线向量.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围.【思路分析】（1）由AB 与OM 共线得：AB OM k k =，得出a ，b ，c 的关系.（2）利用余弦定理和基本不等式求cos ∠21QF F 的范围. 【解题过程】（1）∵a b y cx c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=. ∵AB OM a b k AB与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c ，故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+ 当且仅当21r r =时，cosθ=0，∴θ]2,0[π∈.【解题后的思考】由于共线向量与解析几何中的平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题.求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.圆锥曲线的知识是新课标高考考查的重点内容之一，考查的题型有选择、填空、综合题等，对圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质的基础知识的考查以选择、填空题为主，在第一轮复习中，掌握这些基础知识是很重要的，不可盲目的做难题.掌握这些基础知识是解决综合性试题的前提，在解决综合性问题时，要充分理解数学思想和数学方法的应用.由于圆锥曲线试题中的计算量较大，所以要掌握处理圆锥曲线的基本方法和运算中的技巧，尽量减少繁琐的运算量.（答题时间：45分钟）一、选择题1. 到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（ ） A . 椭圆B . 线段C . 双曲线D ． 两条射线2. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A . 11<<-kB . 0>kC . 0≥kD ． 1>k 或1-<k3. 双曲线14122222=--+my m x 的焦距是（ ） A . 4B . 22C . 8D ． 与m 有关4. 设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么PF =（ ）A . 43B . 8C . 83D . 165. 已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） A .12B . 1C . 2D . 46. 椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =，则k = （ ）A . 1B . 2C . 3D . 2二、填空题7. 若椭圆的两个焦点坐标为F 1（－1，0），F 2（1，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 .8. 椭圆2222by a x +＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当021=⋅PF PF 时，离心率的取值范围是_____.三、计算题9. 已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线的方程.10. P 为椭圆122=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1）求△21PF F 的面积； （2）求P 点的坐标．11. 点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.一、选择题1. D 解析：双曲线的定义2. D 解析：由已知得：110)1)(1(-<>⇒<+-k k k k 或.3. C 解析：由双曲线的方程得：416,04,122222222=⇒=+=>-=+=c b a c m b m a 焦距2c=8.4. B 解析：抛物线的焦点为F （2，0），直线AF 的方程为3(2)y x =--，所以点(2,43)A -、(6,43)P ，|PF|等于P 点到准线的距离，故|PF|=6+2=8.5. C 解析：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程是2px -=.圆（x －3）2＋y 2＝16的圆心为M （3，0），半径是4，故423=+p，即p=2. 6. B 解析：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-，∵23=e ，设22,3,2t b t c t a =⇒==则，∴ 椭圆方程是：044222=-+t y x . 直线AB 的斜率为k ，则t sy x ks t y k x t x k y 3,1,31)3(+==+=⇒-=则令. 代入椭圆方程消去X 得，032)4(222=-++t sty y s 432221+-=+∴s sty y ，42221+-=s t y y ， 4322+=∴s st y ，432222+=s t y 4)43(32222+=+⇒s t s st 2,212==⇒k s 即. 二、填空题7.1242522=+y x 8. )1,22[解析：由椭圆的方程知：),(),,()0,(),0,(00200121y x c PF y x c PF c F c F --=---=∴-021=⋅PF PF 220202202022)1(,0)(c x a b y y x c =⇒-==+--⇒ 122121202)2(002222222222222<≤⇒<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-⇒<-≤⇒<≤e e ca c a c a c a a c a x三、计算题9. 解:由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=45，所以双曲线的焦点为F （0，±4），离心率为2，从而c=4，a=2，3所求双曲线的方程为：221412y x -= 10. 解：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4.（1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t ，3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F . （2）设P 点坐标为),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y ， 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P . 11. 解：（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0），设点P 坐标为（x ，y ），则AP =（x +6，y ），FP =（x －4，y ），由已知可得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则22x +9x －18=0，x =23或x =－6.由于y >0，只能x =23，于是y =235， ∴点P 的坐标是（23，235） （2）直线AP 的方程是x －3 y +6=0.设点M 坐标为（m ，0），则M 到直线AP 的距离是26+m ，于是26+m =6-m ，又－6≤m ≤6，解得m =2. )0,2(M ∴， 椭圆上的点（x ，y ）到点M 的距离d 有，222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+，由于－6≤x ≤6，∴当x =29时，d 取得最小值15.。
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如题21图，已知离心率为3的椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B。
（1）求椭圆C的方程。
（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。
解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为:)0(12222>>=+babyax．由题意得:⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==28114,232222222babacbaac∴椭圆方程为12822=+yx．……………5分（Ⅱ）由直线OMl//,可设mxyl+=21:将式子代入椭圆C得:42222=-++mmxx设),(,),(2211yxByxA,则,221mxx-=+42221-=mxx…设直线MA、MB的斜率分别为1k、2k，则21111--=xyk21222--=xyk……………8分下面只需证明：021=+kk，事实上，21212121221121--++--+=+xmxxmxkk=++--+⋅+=-+-+=4)(241)2121(121212121xxxxxxmxxmm+104)2(242422=+-----⋅mmm故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．……………12分已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 倾斜角的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………4分 （Ⅱ） 设),(),,(2211y x B y x A ，则),(),,(2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)362,2(),362,2(-== 034384OB OA >=-=⋅，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)2(141222x k y y x 得12)2(3222=-+x k x 即0121212)31(2222=-+-+k x k x k .所以22212221311212,3112k k x x k k x x +-=⋅+=+， ………………8分 ]4)(2[()2)(2(2121221221++-=--=⋅x x x x k x x k y y22424224314123124311212kk k k k k k k ++++-+-= 22318k k +-= ………………10分2121y y x x +=⋅03112422>+-=k k 解得33-<>k k 或. ……………………12分综上，直线l 倾斜角的取值范围是)32,3(ππ . …………………13分已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线1+=x y 与椭圆相交于B A 、两点，求AMB S ∆. 解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………5分 （Ⅱ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+1141222x y y x 得12)1(322=++x x ………………6分即09642=-+x x ，经验证0>∆. 设),(),,(2211y x B y x A . 所以49,232121-=⋅-=+x x x x ， ………………8分 221221221)2)()AB x x y y x x -=-+-=（（，2103]4)[2AB 21221=-+=x x x x （ ………………11分 因为点M 到直线AB 的距离222120=+-=d ， ………………13分所以4532221032121=⨯⨯=⨯⨯=∆d AB S AMB . ………………14分 已知椭圆()22220y x C a b a b ：+＝1＞＞6，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．解:（1）由离心率6e =226a b -=223a b =. ① ……2分 又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b --=+. ② ……4分 解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. ……5分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………6分（2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径22r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为22动圆.由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形. 设G e 与直线l 相切于点T 222=4m =±，………… 10分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，.……………… 12分 因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G e 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 71m =- (14)分、过点)1,0(C 的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，椭圆与x 轴交于两点(,0),(,0)A a B a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q（1）当直线l 过椭圆的右焦点时，求线段CD 的长；（2）当点P 异于点B 时，求证：OQ OP ⋅为定值设直线l 的方程为)210(1≠≠+=k k kx y 且代入椭圆的方程，化简得08)14(22=++kx x k ，解得1480221+-==k kx x 或代入直线l 的方程，得1441,12221+-==k k y y 所以，D 的坐标为)1441,148(222+-+-k k k k 又直线AC 的方程为12=+y x ，直线BD 的方程为)2(4221+-+=x kk y 联立解得⎩⎨⎧+=-=124k y kx 即)12,4(+-k k Q而P 的坐标为)0,1(k - 所以4)12,4()0,1(=+-⋅-=⋅k k k OQ OP 即OQ OP ⋅为定值设椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是21,F F ，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线2C ：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过21,F F点．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设)54,0(-M ，N 为抛物线2C 上的一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于Q P ,两点，求MPQ ∆的最大值．解：（Ⅰ）由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故2b =．xyO PQ A MF 1B F 2N令0y =得210x -=即1x =±，则 1F (-1，0)，2F （1，0），故1c =．所以2225a b c =+=．于是椭圆1C 的方程为：22154x y += （Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-． 即221y tx t =--．代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+,故12PQ x =-=215t =+．设点M 到直线PQ 的距离为d，则d ===．所以，MPQ∆的面积S 12PQ d =⋅2===≤= 当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意．综上可知，MPQ ∆已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点。
斜率为2直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？又点)2,1(在椭圆上 ∴122122=+cc ， 22=∴c ∴2=a ，2=b ， ∴椭圆方程为14222=+y x ……………………4分∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ 44221-=b x x ……………………7分设d 为点A 到直线b x y +=2的距离， ∴3b d =……………9分∴22)8(4221b b d BD S ABD -==∆ ……………………10分已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (2,0),离心率e=22,M 、N 是椭圆上的的动点。
（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？，若存在，求出12,F F 的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若M 在第一象限，且点,M N 关于原点对称，点M 在x 轴上的射影为A ，连接NA并延长交椭圆于点B ，证明：MN MB ⊥；20.解：（Ⅰ）由题设可知：2,2c a c c a⎧=⎪==⎨=⎪⎩2分故2222b a c =-=……………………………3分故椭圆的标准方程为：22142x y +=……………………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,),(,)p P P x y M x y N x y ，由2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r可得：12122.............2P P x x x y y y =+⎧⎨=+⎩①……………………………5分 由直线OM 与ON 的斜率之积为12-可得： 121212y y x x =- ，即121220............x x y y +=②……………………………6分 由①②可得：()()22222222121211222222(2)(2)P P x y x x y y x y x y +=+++=+++ M 、N 是椭圆上，故2222112224,24x y x y +=+=故2228PPx y +=，即22184P Px y +=……………..8分 由椭圆定义可知存在两个定点12(2,0),(2,0)F F -，使得动点P 到两定点距离和为定值……………………………….9分； （Ⅲ）设1122(,),(,)M x y B x y 由题设可知1122121110,0,0,0,,(,0),(,)x y x y x x A x N x y >>>>≠--………..10分由题设可知AB l 斜率存在且满足1211212NA NB y y ykk x x x +=∴=+………….③ 1211211 1.........MN MB y y y k k x x x -⋅+=⋅+-④…………………12分 将③代入④可得：222221212211222121212()(2)(2)11MN MB y y y y x y x y k k x x x x x x +-+-+⋅+=⋅+=+--……⑤………….13分 点,M B在椭圆22142x y +=，故2222221122222121(2)(2)4410MN MB x y x y k k x x x x +-+-⋅+===-- 所以101MN MB MN MB k k k k MN MB ⋅+=∴⋅=-∴⊥…………14分如图，正方形ABCD 内接于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ 的顶点M ，N 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边AB 上，且A ，M 都在第一象限．（I ）若正方形ABCD 的边长为4，且与y 轴交于E ，F 两点，正方形MNPQ 的边长为2． ①求证：直线AM 与△ABE 的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．（II ）设椭圆的离心率为e ，直线AM 的斜率为k ，求证：22e k -是定值．（Ⅰ）①依题意：(2,2)A ，(4,1)M ，(0,2)E -(2,1),(2,4)AM AE ∴=-=--u u u u v u u u v0AM AE AM AE ∴•=∴⊥u u u u v u u u vL 3分AE Q 为Rt ABE ∆外接圆直径∴直线AM 与ABE ∆的外接圆相切； L 5分②由⎧⎪⎨⎪⎩22224411611a ba b +=+=解得椭圆标准方程为221205x y +=． L 10分 （Ⅱ）设正方形ABCD 的边长为2s ，正方形MNPQ 的边长为2t ，则(,)A s s ，(2,)M s t t +，代入椭圆方程22221x y a b+=得⎧⎪⎨⎪⎩222222221(2)1s s a b s t ta b+=++=⇒⎧⎪⎨⎪⎩22221(3)14(3)s t a s s t t b s s t -=+=+222514b t s e a t -∴=-= L 14分 (2)2t s t sk s t s t--==+-Q 222e k ∴-=为定值． L 15分设点E 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点E 垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A 、B 两点，ABF ∆是正三角形。