直角三角形的性质和判定

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D C

直角三角形的性质和判定

一、知识要点

1、直角三角形的性质：

（1）在直角三角形中，两锐角；

（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半；

（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ___________；

（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。

2、直角三角形的判定：

（1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形；

（2）有两个角_____________的三角形是直角三角形；

（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。

二、知识运用典型例题

例1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， CD⊥AB，

(1) 若BD=8，求AB的长；

(2) 若AB=8，求BD的长。

例2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，求CD和∠DCE。例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=x°，∠B=2x°求x。

例4、如图，已知AB⊥BC，AE∥BC，∠1=45°，∠E=70°．求∠2，∠3，∠4的度数．

例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。

例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。

三、知识运用课堂训练

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2cm，AC=BC，CD⊥AB于D点，则CD=_______cm；

直角三角形的性质与判定

直角三角形是几何学中的一种特殊三角形，具有独特的性质和判定

条件。本文将从不同角度介绍直角三角形的性质和判定方法。

一、性质：

1. 直角三角形的定义：

直角三角形是指其中一角为90度的三角形。直角三角形的边长关

系与三边之间的关系表现出独特的特点，从而衍生出一系列其他性质。

2. 勾股定理：

勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两个边

平方的和。这一定理由毕达哥拉斯学派于公元前6世纪提出，并成为

直角三角形性质的基础。

例如，一个直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边长度为c，则有勾股定理的表达式为：a² + b² = c²。

这一定理被广泛应用于解决与直角三角形相关的问题，包括测量和

计算。

3. 等腰直角三角形的性质：

等腰直角三角形是指两个直角边相等的直角三角形。这种特殊的直

角三角形具有以下性质：

a) 具有一个90度角和两个45度角；

b) 两个直角边的边长相等；

c) 两个直角边的平分线也是等腰直角三角形的高；

d) 等腰直角三角形还有一系列与勾股定理相关的性质。

二、判定方法：

1. 通过边长判定：

判定一个三角形是否为直角三角形的一种方法是根据其边长关系。如果一个三角形的边长满足a² + b² = c²，其中a、b、c分别为三角形的三条边长，那么这个三角形就是一个直角三角形。

例如，如果一个三角形的边长分别为3、4和5，则满足条件：3² + 4² = 5²，因此这是一个直角三角形。

2. 通过角度判定：

另一种判定直角三角形的方法是通过角度关系。如果一个三角形中存在一个90度角，那么这个三角形就是一个直角三角形。

直角三角形的性质、判定(HL)

直角三角形的性质、判定（HL ）

一、知识要点

1、直角三角形的判定定理: .

2、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中, 上的中线等于的一半.

3、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么 .

4、直角三角形性质定理(三):在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 .

(定理一、二通常用于证明线段之间的倍分关系;定理三通常用于求三角形中

角的度数)

5、斜边、直角边定理:

(1)定理内容: . (2)

定理作用: . 6、角平分线的判定定理

(1)定理内容: . (2)用符号语言表示:如图,∵ ,

∴ . 二、知识运用典型例题

例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=

AB.

例2：(2008,湖北)已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=1

AC. 则∠

A=_____.

A D

P B

例3：已知:如图,AD

求证:BE ⊥AC.

例4：如图3，AD 是Δ 求证：（1）AD （2）

例5：已知如图，AE ⊥为B 、C.试说明EB=FC.

例6：（2007，南充）如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角

平分线？请说明你判断的理由．

D F

三、知识运用课堂训练

1、（2008，新疆）△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:5

2、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .

直角三角形性质和判定-勾股定理

05 勾股定理的变式与推广
勾股定理的变式
勾股定理的逆定理
如果直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的推广
对于任意一个三角形，如果三条边的平方满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的推广
勾股定理的证明
勾股定理可以通过多种方法证明，其中最著名的证明方法是欧几里得证明法。
直角三角形的边与角的关系
边与边
直角三角形的斜边是直角边的平方根，即$c^2 = a^2 + b^2$（其中c为斜边， a、b为直角边）。
边与角
在直角三角形中，锐角与边的关系是$tan(alpha) = frac{对边}{邻边}$， $cot(alpha) = frac{邻边}{对边}$。
直角三角形的特殊性质
逆定理的证明方法
01
02
03
04
勾股定理的逆定理可以通过勾股定理的证明过程进行推导。
首先，根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边
的平方和。
然后，假设三角形ABC的三边满足a²+b²=c²，其中c是AB的
长度，即斜边的长度。
最后，根据三角形的性质，如果一个三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三
详细描述
如果一个三角形中有一个角为90度，且两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。

直角三角形的判定和性质

04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形经常被用于构造更复杂的图形。
03
直角三角形全等的判定
30°-60°-90°的直角三角形的另一个锐角为60°，其对应的边长关系为 b=√3a，其中b为60°角所对的直角边。
30°-60°-90°的直角三角形的面积可以通过其两直角边计算，面积=1/2 * a * b = 1/2 * a * √3a = 1/2 * a^2 * √3。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
机械制造
在机械制造中，直角三角形的一些性质被用于设计和制造精确的零件和工具。
在物理学中的应用
重力
在物理学中，直角三角形被用于描述重力的方向和大小。例如，在自由落体运动中，加速度的方向可以视为一个直角三角形的直角边，而重力的方向则为斜边。
力的合成与分解
在分析力的作用时，我们经常需要将力分解为水平和垂直方向的分力。在这个过程中，直角三角形发挥了重要作用。
三角形的中线等于斜边的一半
直角三角形中，斜边的中线长度等于斜边长度的一半。

直角三角形的性质定理

直角三角形的性质：1、直角三角形的两个锐角互为余角。2、直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半。3、直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。4、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形的判定：判定1、有一个角为90°的三角形是直角三角形。

补充内容：直角三角形（right triangle）是一个几何图形，是有一个角为直角的三

角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合勾股定理，具有一些特殊性质

和判定方法。直角三角形分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（特

殊情况)在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。直

角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，

长的那条边叫作“股”。等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：

具有稳定性、内角和为°。两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径r。等腰直角三角形的边

角之间的关系：（1）三角形三内角和等于°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻

的两个内角之和。（3）三角形的一外角大于任何一个和它不相邻的内角。（4）三角形两

边之和大于第三边，两边之差小于第三边。（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角

对大边。等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。（1）三

角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点

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直角三角形的性质和判定

一、知识要点

1、直角三角形的性质：

(1)在直角三角形中，两锐角 _____________________ ;

(2) _________________________________________ 在直角三角形中，斜边上的中线等于■勺一半；

(3) _______________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 _________________________________ ;

(4) ________________________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ____________________ 。

2、直角三角形的判定：

(1) ____________________ 有一个角等于■勺三角形是直角三角形；

(2) ____________________ 有两个角■勺三角形是直角

三角形；

(3) _________________________________________ 如果三

角形一边上的中线等于这条边的 ____________________ 那么这

例2、如图，在Rt△ ABC中, CD是斜边上的中线, CEL AB 已知AB=10cm DE=2.5crr，求CD和/ DCE

直角三角形的性质与判定

直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和判定条件。本文将介绍直角三角形的定义、性质以及判定方法。

一、直角三角形的定义

直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。三角形的三个内角之和为180度，因此直角三角形的其他两个角的度数之和为90度。

二、直角三角形的性质

1. 斜边、直角边和对角线的关系

在直角三角形中，斜边是直角三角形的最长边，对应直角边是直角三角形的次长边，而对角线是直角三角形的最短边。这是由勾股定理所决定的，即斜边的长度等于直角边长度的平方和的平方根。

例如，对于直角边长分别为a和b的直角三角形，斜边的长度为

√(a^2 + b^2)。

2. 直角三角形的角度关系

直角三角形中，直角边与斜边的夹角为90度，而直角边与非直角的两个角之和为90度。这意味着直角三角形中的两个非直角角度互为余角，即一个角的余角等于另一个角本身。

例如，如果一个角为30度，则另一个角为60度，它们互为余角。

三、直角三角形的判定方法

在给定三条边的长度时，我们可以通过以下方法判断是否为直角三角形：

1. 勾股定理

勾股定理是判定一个三角形是否为直角三角形的重要方法。根据勾股定理，如果一个三角形的最长边的平方等于其他两边的平方和，则该三角形为直角三角形。

2. 角度判定

在一个三角形中，如果两个角的度数之和为90度，则该三角形为直角三角形。通过测量三角形的角度可以判断是否为直角三角形。

3. 边长关系

在一个三角形中，如果两条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2，则该三角形为直角三角形。其中，a、b表示两个直角边的长度，c表示斜边的长度。

直角三角形的性质和判定主要内容

我所掌握的知识：
直角三角形的性质定理1：
直角三角形的两个锐角互余。 C
性质定理2：
在直角三角形中，
A
B
斜边上的中线等于斜边的一半。 D
直角三角形判定定理1：
有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
例题：如图，已知CD是△ABC的 AB边上的中线，且CD＝ 1 AB
2A
求证： △ABC是直角三角形
D
2
B
用几何语言表示为：
C
在Rt△ABC中，∠C=90º，
∵ ∠A=30º，
∴ BC= 1 AB.
2
B
30º A
填一填
1.如图：在Rt△ABC中∠A=300,Ｂ
AB+BC=12cm,则AB=_８____cm
Ｃ 2.如图:△ABC是等边三角形，
AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,
BD=＿４＿c＿m ， BE=_２__c_m____ E
A D
B
O
C
4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。
C
A
D
B
5、在△ABC中，∠BAC=90°，AC=5cm， AD是△ABC的高，AE是斜边上的中线，且DC= AC，求∠1B 的度数及AE的长。
2
A
B

直角三角形的性质和判定

性质：直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半。判定：有一个角为90°的三角形是直角三角形；一个三角形，如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。

直角三角形的性质

①直角三角形的两个锐角互为余角；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；

④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；

直角三角形的判定

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a²+b²=c²的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定四:有两个互补锐角的三角形是直角三角形。

判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。（定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL）

决定6:如果两条直线相交，并且它们的斜率的乘积是负倒数，那么这两条直线是垂直的。

判定7:如果三角形一边的中线等于中线所在边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

直角三角形-的性质判定(HL)

直角三角形的性质、判定（HL ）

1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。直角三角形两锐角互余。

2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。

3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;

5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.

二、知识运用典型例题

例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=1

AB.

例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=1

AC. 则∠A=_____.

例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.

例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ，求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线

D C

E D

C B

F 1

2 A

（2）AB=AC

例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别

为B 、C.试说明EB=FC.

例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说

直角三角形的性质与判定

∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD =∠B , 理由如下： ∵ 在△ABC中， ∠ACB=90° ∴ ∠A +∠B= 90° A 又∵ CD⊥AB ∴ ∠ADC= 90° ∵ 在△ABC中， ∠ADC=90° ∴ ∠A +∠ACD= 90° ∴ ∠ACD= ∠B
C
D
B
活动四
直角三角形的判定
A
探究：如图在 △ABC中， ∠A 和∠B互余，
A
E P C F D B
小结
1、直角三角形的定义 2、直角三角形的表示方法 3、直角三角形的性质 4、直角三角形的判定
直角三角形的判定
1、文字语言有两个角互余的三角形是直角三角形
A
2、图形语言
B C
3、符号语言
∵ 在△ABC中， ∠A +∠B= 90° ∴ △ABC 是直角三角形
练习如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、 F, ∠BEF的平分线与 ∠DFE的平分线相交于点 P，试说明△EPF为直角三角形
A
2、图形语言 ∟
B C
3、符号语言
∵ 在△ABC中， ∠C=90° ∴ ∠A +∠B= 90°
练习
1、在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=44°,则∠A=（ C ） A ∠A= 26° B ∠A= 36° C ∠A= 46°D ∠A= 56° 2、如图，∠ACB=90°,CD⊥AB , 垂足为D,则∠ACD 与

直角三角形的性质和判定

【知识要点】

1、直角三角形的概念

定义：有一个角是直角的三角形叫做____________，其中夹直角的两边叫做直角边，另一条边叫做斜边．

2、直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角；

（2）直角三角形中，斜边上的中线等于______ ______；

（3）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于____________；

（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于_____________，那么这条直角边所对的锐角等于30°；

重要结论：（1）ab ch S ABC Rt 2121==

∆，其中a ，b 为两直角边c 为斜边，h 为斜边上的高；

（2）ABC Rt ∆的内切圆半径2c b a r -+=，外接圆半径为2

c R ==斜边的一半，

3、直角三角形的判定

（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形．

4、勾股定理及逆定理

（1）定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么．

（2）逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．

注意：(1)勾股定理的逆定理可作为判定三角形是直角三角形的判定方法．

(2)勾股定理与逆定理的联系与区别在于：

①联系：两者都与三角形的三边有关且都包含等式222c b a =+；

②区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”作为条件得到22b a +2c =，而其逆定理是以“一个三角形的三边a ，b ，c 满足222c b a =+”作为条件得到这个三

八下第1章直角三角形小结与复习

1 AB AC 2
30°
图2
1 3 AC 2
AC 6
3
5、在RT△ABC中，斜边上的中线CD=5cm，则斜边AB 的长是多少？
1 CD AB 2 1 5 AB 2
5
AB 10
6、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6 ㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
点F在∠A的平分线上.
(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。)
二、直角三角形全等的判定：斜边直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”）.
三、角平分线的性质：性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
1.如图，AB ⊥DB,CD ⊥DB,下列说法错误的是（ A.一定有∠A=∠C B.只要有一边相等,就有△ABO≌ C.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD △CDO △CDO
D.只要再给一个条件就能得到△ABO≌ △CDO
√
1 2 3 4
OA OC ( AAS ) OB OD ( ASA) AB CD ( AAS ) A C ×
2.若一个三角形的三内角之比为2:1:1，则该三角形是（等腰直角三角形）

直角三角形的性质和判定

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直角三角形的性质与判定

直角三角形的性质、判定(HL)

直角三角形性质和判定-勾股定理

直角三角形的判定和性质

直角三角形的性质定理

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直角三角形的性质和判定主要内容

直角三角形的性质和判定

直角三角形-的性质判定(HL)

直角三角形的性质与判定

直角三角形的性质和判定

八下 第1章直角三角形小结与复习

八下第1章直角三角形小结与复习