数学教学中数学本质的揭示
浅谈从数学的本质认知高中数学教学
浅谈从数学的本质认知高中数学教学
从第一天走上讲台开始，我就把教好课本知识，教会学生做题作为自己的努力目标。也没有想过“数学是什么？”这个问题，也不知道数学本质的东西到底对高中数学教学起什么作用。从事数学教学几年后我明白了：高中数学要教得好，必须要跳出数学看数学，跳出教育看教育。作为教师，必须要站在高于课本的高度来处理课本知识，现在的数学教育不再是教师手中有一桶水，就能给学生一瓶水的，而是要求教师手中有一眼活泉。怎样才能有一眼活泉呢？我认为应该从以下几个方面入手：
一、认知数学本质
数学的本质是什么呢？这个问题的答案并不唯一。从不同的角度看有不同的认识。从数学的结果看，数学具有三大特征：高度的抽象性、逻辑的严密性与结果的精确性，数学还具有广泛的应用性。而从数学的学术形态看，数学是经过逻辑加严谨的演绎推理，形式枯燥，给人一种“冷冰冰”的感觉。但从教育的形态看，数学却融合着“火热的思考”和“生动的过程”。
二、重新认识学习课标，明白高中数学要教什么
新课标明确提出“数学是刻画自然规律”和“社会规
律的科学语言和工具”，但如果讲解知识时只是照本宣科而不深入思考，那就不能认为我们对数学有了真正的认识，更不能认为我们就凭一本课本就能教好数学。教师本身没有理解高中数学教学内容的本质，就不可能做到通观全局，知识本身内在的联系也就不能很好地阐述给学生，因此我们怎么能怪我们的学生总是丢三落四，没有掌握好教师所讲的知识呢。
三、如何基于数学的本质来设计教学内容
数学的发展表明对“数学完全形式”是不可能的，数学与生活的联系日益密切，数学探索的过程越凸显。生动活泼的数学思维被学生认识和体验。在高中数学教学中应该努力揭示数学概念、结论产生的背景和逐步形成的经历。体会蕴含在其中的思想，体会寻找真理和发现真理的方法。
揭示数学本质是数学教学的灵魂——从“任意角的三角函数”的教学案例谈起
在本案 例 中，虽然生 对任意角 的三角 函数 的定义 给出了比
生， ：角 不一定是 钝角 ，它是任 意角 ，只是 角 Ｏ的终边在 较完美 的回答 ，但这绝 不是该生在理 解和感悟 的基 础上给出的． Ｌ
一 一—葶薮番［… ￣一 霸 ２ 一茵 一 薮 一０…一 ｊ ３ …０ 一～ ２９
垂足为 Ｃ 仿照锐角三角 函数的定义可 ． 以定 义任意 角 的三 角 函数 为 ｓ ＝ ｉ ｎ
Ｃ
图 １
器 一ｓ ， ． ＝ ｔ＝ ａ ｎ
师 ：Ａ、曰两点怎么来 的？ 生， ：分别在 Ｏ Ａ、Ｏ Ｂ上任 意取 的．
师 ：能 取 ０点 吗 ？
生１ ：这 ……
念的本质是什么呢 ？我们不难发 现 ，当角 固定后 （ 也就是 角 意角 ，能否定 义任意角 的三角函数？ 生 ：可 以把任意角的三角函数转化 到直角三 角形 中去定义 ． 的始边和终边可视 为 固定） ，若 以它的顶点 。为原点 ，以角 ￥ １ ＵＬ 的始边为 轴 ，建 立平面直 角坐 标系 ，则无论 我们在角 的终 无论角 的终边落在 ［ ，都能构 造一个直角三角形 ，可 以仿 照锐角三角函数 的定义方法 ，定义任意角 的三角 函数． 边上如何取一点 Ｐ ） （，Ｙ ，总有 比值 上 、 、卫 （ 中 ｒ Ｐ＝ 其 ＝Ｏ （ 根据 学生的描 述 ，教师 画图演示． ）
高中数学教学要讲数学的本质
Educational Practice and Research
《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“基本理念”里指出：“高中数学教学以发展学生数学学科素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。”揭示数学概念、结论和方法的本质更有利于学生对它们深刻理解和灵活应用。下面谈谈笔者的一些认识。
一、讲概念的本质
以方程为例。方程是数学学科的一个基本概念，教科书的定义为：含有未知数的等式。学生们会背定义，也会解方程，但很多学生不会建立方程，而建立方程是学生数学建模能力的体现。教师多注重方程形式上的特点和解方程的训练，而缺少对方程本质的挖掘。方程的本质是：为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的一种等量关系。对于方程的理解，笔者认为应注重以下两个方面：
（一）变量与不变量
在一个方程中往往蕴含着变量与不变量。比如x2+4y2=4方程，包含着两个未知数，这两个未知数可以看作是两个变量；对方程变形可以
得到
x2
4+y2=1，从解析几何的角度来看，它表示一个椭圆曲线上所有的点.根据椭圆的定义，到两个定点的距离之和等于一个常数的点的轨迹（常数大于两定点之间的距离）是椭圆，那么这里的不变量就是2a=4.椭圆的方程就是通过这个定量关系建立的。
运用方程求解一个实际数学问题，关键在于找等量关系，其本质是用稳定的数量关系表示不变量。比如利用等面积、等体积求三角形或三棱锥的高，就是利用面积和体积的不变性。
（二）静态与动态
方程本身是静态的、局部的，对于问题的研究具有一定的局限性。零点的概念把一元方程和函数进行了统一，把方程看作是函数的一部分。函数为y=f（x），令y=0，即可得到方程f（x）=0.所以从函数的角度来处理方程问题，会得到更大的研究平台，借助函数的图象、性质等更专深的学科知识针对性地解决问题。
数学的本质是什么
数学的本质是什么
数学的本质是什么？这是一个让人深思的问题。数学是一门研究数量、结构、变化及空间等概念的学科，它为各种学科提供了基础工具，是我们认识世界和解决问题的重要手段。然而，数学的本质究竟是什么呢？
数学具有抽象性。数学研究的对象不是具体的物质或现象，而是抽象的概念和结构。例如，数学中的“数”是一个抽象概念，它代表了一般意义上的数量和数量关系。同样，几何学中的“点”、“线”、“面”等概念也是抽象的。数学的这种抽象性使得它能够描述和探索现实世界中各种不同现象的共性和规律性。
数学具有逻辑性。数学的研究建立在严密的逻辑基础上，每一个结论都需要经过严格的证明才能成立。数学的这种逻辑性使得它的结论具有高度的可靠性和普适性。例如，欧几里得几何学是一个建立在公理体系上的逻辑系统，它的所有结论都是经过严格证明的。
第三，数学具有广泛的应用性。数学为各种科学和技术领域提供了基础工具，例如物理学、化学、工程学、经济学等。数学的广泛应用性使得它成为现代社会中不可或缺的一部分。无论是自然科学还是社会科学，都需要用到数学的概念和方法来解决各种问题。
数学具有美学价值。数学的美在于其简洁、对称、和谐和普遍性。例如，欧拉公式e^(iπ)+1=0体现了数学中的简洁性和普遍性，它用最简单的方式表达了复数的基本性质。数学的这种美学价值使得它成为人们追求智慧和真理的重要途径之一。
数学的本质是一种抽象的、逻辑的、广泛应用的和具有美学价值的学科。它不仅为我们认识世界提供了基础工具，也为我们解决问题和创新提供了重要的思路和方法。
该如何把握数学教学内容本质
该如何把握数学教学内容本质
该如何把握数学教学内容本质
把握数学教学内容一
走进数学本质，理解教学设计
数学教学是要在很短的时间里，让学生把握人类几千年来积累的数学知识。只有结合数学本质，才能提高数学教学设计效率。认识数学本质对数学教学设计具有根本性的指导意义，所以数学的本质问题应引起我国数学教育界的高度重视。数学哲学家们对数学本质的认识提出了多种说法，概括起来可分为4类：经验倾向性说法；形式倾向性说法；综合（调和）说法；先验论说法。然而，没有一种令人完全满意的数学本质的概括。对数学本质的认识更多地取决于对数学的感悟，因为这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉。正确理解数学的本质对树立正确的数学教育观念及数学课程改革的继续发展有着巨大的现实指导意义。
数学本质的内涵包括：
（1）数学知识的内在联系；
（2）数学规律的形成过程；
（3）数学思想方法的提炼；
（4）数学理性精神的体验。数学本质是数学观的重要表现，它影响或决定着数学研究方法。研究数学本质是数学教育工作者的一个重要课题，不是“没有必要”的；培养学生树立正确的数学观是数学教师的一项重要任务，不是“无关紧要的”。
但数学本质常被两种活动所掩盖，一是过度的形式化，“淡化形式，注重实质”；二是教条式的改革，表面热闹、缺乏效率的教学过程。
走进教学本质，理解教学设计
数学教学的本质是数学活动的教学，说到底就是师生共同提出问题、分析问题、解决问题和拓展问题的过程。
数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程：
（1）数学活动是学生经历数学化过程的活动；
关注数学本质，组织有效教学活动
关注数学本质，组织有效教学活动
关注数学本质，组织有效教学活动
文章类型：原创发表于：2009-9-17 16:37:42
晋江市教师进修学校蔡福山
发表于《福建教育》2009年7月
数学是一种再创造活动，而不只是印刻在书上和死记在脑子里的结论。数学教学应该通过数学活动让学生领悟数学抽象、严密和简洁等的本质特点，感受到数学理性的精神力量。在实践中如何把握数学本质呢？下面结合第二届“智慧·互动·成长”全国青年教师教学风采展示活动的课例，谈谈个人的理解与思考。
一、把握知识的本质属性
如果将数学作为“理论的演绎体系”来理解，关注数学本质就应该准确把握其研究结果。构成数学知识体系的基石是数学概念，数学的整个体系都是由基本概念出发，以基本概念为核心进行构建的。数学的基本概念，是构成和反映数学本质的重要组成部分。关注数学本质就应准确把握知识的本质属性。对此，可以从三个维度考虑：寻找知识的生活原型，理解知识的数学内涵，构建知识的网络体系。
如教学《百分数的认识》时，许贻亮老师以教师收集和学生提供两种方式，为百分数的认识提供了丰富的生活原型，如学生近视率，今年和去年植树棵数的百分比，投篮命中率，“5.12地震”北川县倒塌房屋的百分比及衣服、纸巾等材料成分的百分比等，为百分数知识的建构提供了充足的“原材料”。在此基础上，组织学生从百分数的外在形式（百分数的读法、写法）到百分数的现实作用、数学意义，逐步深入地理解百分数的数学内涵，如百分数是两个数比的结果，比的结果用百分之几表示，百分数不表示具体的数量等。在探究的过程中，注重知识间的沟通与联系，始终把百分数的认识放在与上位概念分数的联系中学习，让学生鲜明地感受到其中的共同点，增强知识的熟识感，强化正迁移。通过问题“百分数可以换写成分数，分数都能
揭示数学本质_发展思维能力_---关于数学教学设计的思考
四、直接到达结论—建构与理论
• 为什么要提出学生自我建构？ • 怎样帮助学生建构数学知识？ • 建构与接受矛盾吗？
解决问题
建构数学的过程： •胚胎和生长点 •经历过程（从直觉到逻辑、再发现） •感受意义（反思领悟） •形成表象（建构的成果）例：函数、单调性、垂直 •自我表征（初步的概括） •生长中的数学，朴素的数学，未包装的数学 •数学建构活动中的核心环节 最终：建立数学． 数学理论的呈现 •定义、定理叙述、模型描述、算法程序等； •抽象，形式化的表 述
教师的价值判断： • 学生活动要符合数学文化的规范； • 学生活动要体现学生的个性；（多样性） • 学生活动应该有利于思维活动的展开（例子） • 学生活动要照顾到不同发展层次的学生； • 以解决问题为最终目标还是以学生的发展为最终 目标； • 合理和有用；成功与失败，失败的价值．
案例分析
• 案例1 • 案例2 • 案例3
揭示数学本质，发展思维能力
---关于数学教学设计的思考
教学设计中的主要问题
• 把不准教学的“度” —目标与要求 • 去数学、非数学—情境与问题 • 热闹、外化、稚化—活动与思维 • 直接到达结论—建构与理论 • 训练多难题多—运用与水平 • 多讲多练多考—反思与升华 核心：忽视数学本质，忽视学生思维
一、把不准教学的度--目标与要求
课改提出三维目标 • 什么才是三维目标？ • 怎样确定教学目标？ • 如何实现教学目标？
数学教学要突出数学本质
数学教学要突出数学本质
作者：彭永新
来源：《小学科学·教师版》2014年第10期
“新课标”开篇即说：“数学是研究数量关系和空间形式的科学”[ ]。这句话点出了数学的本质。我们知道，数学知识作为客观事物在数与形方面的特征与联系在人脑中的能动反映，反映的是一类对象在数与形方面的内在的、固有的属性，不仅表现为数学概念、法则、公式等抽象的言语信息，还表现为数学思想方法等策略性知识。但是在实际教学中，一些老师往往囧于具体教学内容的表面现象，看不清楚数学概念背后蕴含的数学本质的本源，教学实践中不能准确把握数学本质的教学主流，甚至轻视数学知识的教学，致使数学本质被“形式化”、“片面化”乃至“虚幻化”。下面选取几个教学案例做简单分析。
一、概念教学不能止于“形似”——数学本质“形式化”
案例1：某教师在教学线段、射线、直线之间的关系时，先出示一条线段，然后边擦端点边告诉学生“擦掉线段的一个端点，就变成了射线；再擦掉射线的一个端点，就变成了直线”。
分析：关于直线、线段、射线三者关系的描述，苏教版四上P16页有如下描述：把线段的一端无限延长，就得到一条射线；把线段的两端都无限延长，就得到一条直线。这两句话揭示了直线、射线与线段三者之间联系与区别：线段是直线的一部分，它有两个端点，可以度量，而直线和射线都是无限长的，射线只有一个端点，而直线没有端点。因此，“擦去线段的一个端点”，而不作延长的标示，它依然是一条线段，因为“擦去”一个端点，必然会产生新的端点。同理，只“擦去射线的一个端点”，也依然是一条射线。这一道理是如此的浅显，为什么这位老师要告诉学生“擦掉线段的一个端点，就变成了射线；再擦掉射线的一个端点，就变成了直线”呢？原因是这位教师浅显地理解“习惯上教材有意识地把射线的一个端点或线段的两个端点放大，使在线上隐形的抽象的点显性化、形象化”的真实用意。比如，画一条射线，只需在一端用一短竖线或者一个红点标示（教材上基本上是这样标示的），如果是线段，需要在两端都如此标示。如此来看，“擦去一个端点”，其视觉效果正好符合射线的“标示”模式。显然，这种做法迎合的只是一种数学概念外在的“形似”，而或略了直线和射线的本质特点“无限长”。这样的教学有可能使学生产生错误的理解：“直线就是线段去掉两个点，射线就是线段去掉一个点，从而误解了直线、线段、射线的本质属性。”我们的教学决不能将本质当做浅显的形式，失去了数学的“真”，这样的教学后果是可怕的。
讲清数学道理 揭示数学本质——提高高三数学复习效率的教学策略
一
时， 投 影线 的方 向也就 是空 间 向量ＭＢ 的方 向． 以 Ｃ 为 原 点 、投 影 面
先 仿 照此类 错误 解法 ， 举例“ 对 于 函数Ｙ＝ ＋ １ （ ＞ ０ ） ， 因为 当 ＞ ０时 ， ＋１ ≥２ ， 当且 仪 当 ＝ １时等号 成 立 ， 所 以当 ＝１时 … Ｙ ＝ ２ ”， 这 个 结论
（ ２ ０ １ ２年 北约 自主 招 生数 学试题 ） 证 明 从 （ １＋ ） 的 形 式看 ， 联 想 到 二 阶线 性递推 数列 的通项 公 式．
即
（ １ ＋ ２ ） （ 一 一 一 ）一 】 ２ （ 一 ‘ 一 ； 一 ） ， ｂ ： ２ ｂ 一 １ ＋ｂ 一 ２ （ ｎ ＞３ Ｉ ） ， （ １ ６ ）
图１ 图２
直观图是几何体 的“ 平行 投影” 吗？如果是 ， 投影
将投影线看作是平行光线 ， 粗略估计光线是从
・
６・
中学教研 （ 数 学）
长方 体 的“ 右 上方 ” 射 过来 的 ， 而且使底边 Ｂ Ｃ 的
影 予 好在 Ｃ Ｃ Ｄ 的平 分 线 上 且 长 度 等 于 实 际
＝ ４
面和 投影 线方 向如 何 确 定 呢 ？如 何 描 述 投 影 线 方
向？
效率不高． 因此 ， 教师 的指 导作用应该体现 在“ 讲 清数学道理 ， 揭示数 学本 质 ” 上． 通过 教师 自身或 集体研究 ， 帮助学生反思学习过程、 领悟数学背景 ，
数学教学中数学本质的揭示
数学教学中数学本质的揭示
摘要：中学数学课堂教学一般比较重视数学技能的训练，“精讲多练”已成为数学课堂教学的主要形式。对学生而言，这种做法的必然结果是：强化了技能操作却忽视了对数学基本原理和数学思想方法的理解掌握。忽视了对数学本质的理解，对数学的认识只停留在一个较低的水平。中学数学教学应该呈现数学的本质，感悟数学的精神，应该跳出题海，回归本源。
关键词：数学教学；本质；揭示
现在的教学目标，除知识技能目标之外，还要注意知识的发生过程，提出了过程性目标，这是完全正确的。但是，比呈现数学过程更高的要求是体现数学本质：对基本数学概念的理解，对数学思想方法的把握，对数学特有思维方式的感悟以及对数学美的鉴赏等。一些粗浅、拖沓的“过程”往往不能反映出数学的真正价值，反而白白浪费了时间。
新加坡数学教育家李秉彝先生说过，数学教育必须做到八个字：“上通数学，下达课堂”。所谓上通数学，就是必须理解数学知识的内涵，揭示数学的本质。但是在如今的公开课的展示及其评价中，教师多半聚焦在教育理念的体现、教学方式的选择、课堂气氛的营造、学生举手发言的热烈等方面。至于数学内容的表达、数学本质的揭示、数学价值的呈现，则往往有所缺失。其实，内容决定形式，学生是否能够掌握数学内容，是评价课堂教学是否成功的主要标志。因此，教师在备课时，需要思考如何挖掘教材内容的数学本质。
一、透过现象看本质
数学本质往往隐藏在数学形式表达的后面，需要由教师的数学修养加以揭示。例如，在数学中平面直角坐标系的本质是什么？浅层的理解是用一对数确定点的位置，于是初中数学教学中的大量案例，都把坐标系的价值理解为“位置”的确定，许多教案的内容也都要求在教室里开展“第几排第几座”的游戏。事实上，这种低级的生活化活动，根本不能增加对坐标系的理解。用一对数确定位置，是地理课的任务，连语文课也都会处理几排几座这样的问题，所以这样的活动没有鲜明的学科特点，更没有触及数学概念的本质，我认为平面坐标系的本质则在于用“数”所满足的方程来表示点的运动轨迹，即“数形结合”的思想。引入坐标系的第一节课，拿位置确定作为铺垫可以，更重要的是要引导学生观察和思考：两个坐标一样的点是什么图形？两个坐标都是正数的点构成什么区域？横坐标是零的点是什么图形？这样就有数学味道了，也更深层次的触及了数学的本质。
例谈解题过程如何揭示数学的本质
Hale Waihona Puke Baidu
Ｂｘ０ 代 （ ） 入上式计算可 ，， 得Ｂ（ Ｐ０ ． 一 ） ，
＼ ｕ ／
＝
记移动七 的时候所需的次数为 （） 则有 块 ，
Ａ（） Ａ（） ４ ＝２ ３ ＋１＝ １． ５ （） ２ 对该问题进行数 学本质的揭示
本 问题 可抽象 出如下数学本质：
第种 （０设 （ ， 三： 笔） 一ｔ Ｆ ，， 笔） ．
了该 问 题 的教 学 ．
— —
＝ 』 ！ 』 ＝ ｌ Ｉ 』 ＝ ＝ 』 ＝ Ｌ— Ｌ — — Ｌ Ｌ
图 ２
启发学 生， 移动 ３ 块可以先转化为移动 ２ 块， 如图３ 示： 所
—
Ｌ— Ｌ
图３
— Ｌ
Ｌ
— — Ｌ Ｌ
第一步： 将两块木片从 Ａ移动到 Ｂ 需要 ３ ， 次； 第二步： 将剩下的最大 的木片从 Ａ移动到Ｃ， 需要 １ ； 次
／ ＼
先求出Ｄ１， 再求出Ｂ 方程Ｙ ） ＼ ， 厶 ０ Ｄ的 一
移动 个的时候可以转 化为移动 （ ｋ一１块： ）
耋Ｐ再 出 （ ，． ＝ 求 Ｂ一 ０ 、 ）
利用点 Ｂ到直线 ＡＦ ： ｘ＋Ｐ ＝ ０ ｔ Ｙ一 的
Ａ（） Ａ ｋ一１ ＋１ｋ＞２， ｋ ＝２ （ ） （ ） 又Ａ１ ＝１ （） ， 利用递推关系可以求得 Ａ（） 七一１ ｋ ＝２ ．
第五章 数学教学中数学本质的揭示
（量得有价值,有意义）
4 4 15
例5 坐标活动（长宁）
将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做 成坐标轴； 坐标对应学生,请学生自己看坐标； 两坐标都是非负的站起来；两坐标相等的站 起来； 换一个同学做坐标原点。 这样活动， 抓住了“坐标”的数学实质： 使几何量可以运算。
4 4 16
4 4 29
第二部分
谨慎地 接受西方 的教育理 论！
4 4 30
建构主义的某些主张并不新鲜
知识是学生自己建构的 学生不是一张白纸 学生的头脑不是一张空桶 知识是不能灌输的 建构主义教育建议：自主、探究、合作。
我们都同意！以前也是这样提倡的！
4 4 31
建构主义的定义 (http://www.mathforum）
5.660
-10.301
5.557
6.320
5.692
3
3
3
600
600
600
2.598
6
2.598
6
2.598
4
4
13
正弦定理是量出来的吗？
分组测量，汇报结果，这是败笔。数学不能靠大家 意见相同得到结论。必须证明。 正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介， 比一 下立刻推得。 正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关 系”， 平面几何“大边对大角”的数量化。 三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。
对数学教学本质的认识
对数学教学本质的认识
数学是一门重要的基础学科，它涉及到逻辑推理、问题解决、数据分析等多个方面。在教育领域，数学教学的本质是什么？本文将从以下几个方面进行探讨。
数学教学的核心目标是培养学生的思维能力，包括逻辑推理、抽象思维、创新思维等方面的能力。通过数学学习，学生可以掌握分析问题、解决问题的能力，同时也可以培养创新思维和解决问题的能力。这些能力对于学生的未来发展非常重要，因此，数学教学应该注重培养学生的思维能力。
数学教学的内容应该符合学生的认知特点，根据学生的年龄段和认知水平来确定教学内容和教学方法。例如，对于小学生，数学教学应该注重基础知识的掌握和基本技能的培养；对于初中生，数学教学应该注重数学思想和方法的渗透；对于高中生，数学教学应该注重数学思维和数学文化的培养。因此，数学教学内容应该根据学生的认知特点来设计，以适应不同阶段学生的需求。
数学是一门实践性很强的学科，它涉及到很多实际问题和案例。因此，数学教学应该注重实践和应用，通过案例教学、实验操作等方式让学生更好地理解数学知识，掌握数学技能。同时，数学教学也应该注重
与实际生活的，让学生更好地了解数学在生活中的作用和应用。
数学教学评价是衡量教学质量和学生学习效果的重要手段。因此，数学教学评价应该多元化，包括考试成绩、平时表现、作业完成情况等多个方面。教学评价也应该注重学生的个体差异和进步情况，以更好地激发学生的积极性和创造力。
数学教学的本质是培养学生的思维能力、符合学生的认知特点、注重实践和应用以及多元化评价。只有把握好这些方面，才能更好地提高数学教学质量和学生的学习效果。
中学数学教学要注重数学本质的呈现
中学数学教学要注重数学本质的呈现
林燎
新课程标准的课程基本理念提出：“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里……”。然而数学的本质是什么?中学数学教学为什么要强调对数学本质的认识呢?
1 数学的本质是什么
数学的本质是什么?这是一个不断变化的问题，对于这个问题，没有一个统一的答案．人们从不同的角度看数学，便对数学的本质有不同的认识：从数学的学科结构看，数学是模型。从数学的表现形式看，数学是符号．从数学对人的指导看，数学是方法．从数学的应用价值看，数学是工具。从数学的过程看，数学是推理与运算。从数学的文化角度看，数学是一种基本的文化素养。从数学的学科特点看，数学具有三大特征：高度的抽象性，逻辑的严密性与结论的精确性，还有应用的广泛性。从数学的学术形态看，数学是经过逻辑加工的严谨的演绎系统，形式枯燥，给人一种冷冰冰的感觉。但从数学的教育形态看，数学却融含着“火热的思考”和“生动的过程”——本文将要论述的重点就在于此。
2 为什么中学数学教学要注重数学的本质的呈现
数学的发展表明对数学“完全形式化”是不可能的，数学与生活的联系日益密切，数学的探索过程越凸显，生动活泼的数学思维活动越应该为学生所认识和体验。因此，高中数学教学应该努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，揭示人们探索真理的艰辛与反复。数学教学要通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的经历，体会蕴涵在其中的思想，体验寻找真理和发现真理的方法，追寻数学发展的历史足迹。
揭示数学本质是数学教学的灵魂
揭示数学本质是数学教学的灵魂
——从“任意角的三角函数”的教学案例谈起
张健（江苏省邳州市教育局教研室）
《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里……高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”这一理念要求教师在教学中要揭示数学本质。本人认为：揭示数学本质是数学教学的灵魂。而在实际教学中，许多教师由于对所教授知识的数学本质感悟不深、理解不透，导致教学变成了漫无目的、信马由缰的活动——没有灵魂，徒具形式！下面针对这些问题，从所听的一节公开课“任意角的三角函数”谈起，并试图通过案例分析和重新设计，谈谈在数学教学中如何揭示数学本质的问题，愿与同行磋商。
一、教学案例
师：在初中我们学习了锐角，并且研究了锐角三角函数。上节课我们把锐角推广到了任意角，接下来我们应该研究什么？
生：任意角的三角函数。
师：如图1，OA、OB分别是角α的始边和终边，怎样定义任
意角α的三角函数呢？
生1：连接AB，过点B作B C⊥OA，垂足为C，仿照锐角三角
函数的定义可以定义任意角α的三角函数为sinα= BC
OB
,cosα=
OC OB ,tanα=
BC
OC
。
师：A、B两点怎么来的？
生1：分别在OA、OB上任意取的。
师：O点能取吗？
生1：这……
（教师用几何画板演示角α的任意性，并组织学生继续讨论。）
生2：用角α的补角来定义。如图2，在OB上任取一点E，过点E作EF OA交AO
揭示数学本质
4
结果不是最重要的， 重要的在于参与； 知识不是最重要的， 重要的在于过程。
4 27
项目
因素
教学环境 学习兴趣
优秀
良好
待提 高
情意过程 认知过程 因材施教 基本功 总评
自信心
学习方式 思维的发展
解决问题与应用意识
尊重个性差异 面向全体学生 教学方法与手段 扎实、有效
4 28
4
数学知识的储备：一个比喻
一缸水和一杯水 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 没有水可以打井取水
教师的作用：鱼， 渔
数学本质的把握需要数学修养
4 29
4
―数学本质”的内涵：
1。 数学知识的内在联系； 2。 数学规律的形成过程； 3。 数学思想方法的提炼； 4。 数学理性精神的体验。 形成数学的教育形态： “返朴归真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情”
4 4 30
数学本质被两种活动所掩盖：
1。过度的形式化。 “淡化形式，
注重实质”。
2。教条式的改革。表面热闹、缺乏 效率的教学过程。
4 4 31
例1。三角形内角和问题
姜伯驹院士在政协的提案指出 “三角形内角和等于180度这样的基本定 理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实 验。只知其然不知其所以然，如何培养 思辨能力？”
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数学教学中数学本质的揭示
摘要：中学数学课堂教学一般比较重视数学技能的训练，“精讲多练”已成为数学课堂教学的主要形式。对学生而言，这种做法的必然结果是：强化了技能操作却忽视了对数学基本原理和数学思想方法的理解掌握。忽视了对数学本质的理解，对数学的认识只停留在一个较低的水平。中学数学教学应该呈现数学的本质，感悟数学的精神，应该跳出题海，回归本源。
关键词：数学教学；本质；揭示
现在的教学目标，除知识技能目标之外，还要注意知识的发生过程，提出了过程性目标，这是完全正确的。但是，比呈现数学过程更高的要求是体现数学本质：对基本数学概念的理解，对数学思想方法的把握，对数学特有思维方式的感悟以及对数学美的鉴赏等。一些粗浅、拖沓的“过程”往往不能反映出数学的真正价值，反而白白浪费了时间。
新加坡数学教育家李秉彝先生说过，数学教育必须做到八个字：“上通数学，下达课堂”。所谓上通数学，就是必须理解数学知识的内涵，揭示数学的本质。但是在如今的公开课的展示及其评价中，教师多半聚焦在教育理念的体现、教学方式的选择、课堂气氛的营造、学生举手发言的热烈等方面。至于数学内容的表达、数学本质的揭示、数学价值的呈现，则往往有所缺失。其实，内容决定形式，学生是否能够掌握数学内容，是评价课堂教学是否成功的主要标志。因此，教师在备课时，需要思考如何挖掘教材内容的数学本质。
一、透过现象看本质
数学本质往往隐藏在数学形式表达的后面，需要由教师的数学修养加以揭示。例如，在数学中平面直角坐标系的本质是什么？浅层的理解是用一对数确定点的位置，于是初中数学教学中的大量案例，都把坐标系的价值理解为“位置”的确定，许多教案的内容也都要求在教室里开展“第几排第几座”的游戏。事实上，这种低级的生活化活动，根本不能增加对坐标系的理解。用一对数确定位置，是地理课的任务，连语文课也都会处理几排几座这样的问题，所以这样的活动没有鲜明的学科特点，更没有触及数学概念的本质，我认为平面坐标系的本质则在于用“数”所满足的方程来表示点的运动轨迹，即“数形结合”的思想。引入坐标系的第一节课，拿位置确定作为铺垫可以，更重要的是要引导学生观察和思考：两个坐标一样的点是什么图形？两个坐标都是正数的点构成什么区域？横坐标是零的点是什么图形？这样就有数学味道了，也更深层次的触及了数学的本质。
二、数学操作活动要体现本质
新的数学课程标准中将基本数学活动经验纳入了数学教学的目标之中，这使得学生在数学学习中不仅获得了客观性的知识，还形成了属于学生自己的主观性知识，有助于学生对数学的真正理解，在许多教学设计中，也都注意到了数学活
动经验的积累，这是很正确的。但是，数学操作不能只停留在表面的热闹，而要加以引导，通过数学活动，体现操作背后存在的数学本质。
“量一量”是一种常用的数学活动。例如要求量出三角形内角和为180度，学生通过自己动手，自己操作，加深了对三角形内角和的认识，体会了自主探究的乐趣，但是必须注意，数学它是一门严谨的学科，这种用“量”得出来的数学结论，只是一种“物理学”的“证实”行为。“量”必须要通向数学本质，在数学价值上进行思考，量三角形的内角和，在小学阶段可以到此为此，在中学恰恰要说明“量”有误差，由此做结论还不够，需要进一步的逻辑论证得到任意一个三角形的内角和都是一个定值，即“变中有不变”这一思想，这才是数学的本质。
好的度量活动，需要深层次的数学价值作为指导。例如学生讲画在黑板上的大手和自己的手之间的大小比例找出来，并按这样的比例为巨人设计书的大小、桌椅的尺寸。这里有大量的度量活动，但是都紧紧围绕着“比值”不变的相似特性进行度量，那就量的有数学价值，有数学本质。
三、在数学知识间的联系中揭示本质
数学知识之间是有机联系的，具有严密性和系统性的特点。教师应逐步引导学生将平时积累的知识，通过一定的标准分类，使之条理化、系统化，是所学的知识形成连续性，延续学生的思维过程，并在对知识内在联系分析、比较的基础上，将学生的知识进行串联，形成知识的系统性，实现举一反三，触类旁通，真正把握数学的本质。例如平面坐标系中的“点”、平面向量和复数的三位一体关系：点A（a，b）与→OA=（a，b）与z=a+bi三者互相一一对应，本质上都是一组有序数对，只是在不同的意义下，这组有序数对的性质得到了扩展和完善。首先，点不能参与运算，而平面向量有加减，并互为逆运算，然而向量的数量积，其运算结果不再是向量。此外向量也没有除法。至于复数，则有加减乘除，仍就保持“数”的特性。
诸如以上的许多数学知识，往往分散在许多章节，彼此的关联，往往并不写在教材上，所以教学中很容易忽略。教师不讲，学生不学，那数学中的本质内容就在不经意间流失了，因此如何架设数学之间的联结，揭示数学本质，应该成为教师在数学教学中需要思考的问题。
总之，教师在数学教学中不能只聚焦在教育理念的体现和教学方法的选择上，更要高屋建瓴地揭示出数学的本质，这样的课堂才有数学的味道！
参考文献：
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