数学教学中数学本质的揭示

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揭示数学本质是数学教学的灵魂——从“任意角的三角函数”的教学案例谈起

师：对！
（师动画演示图４教，验证生所
）我们之所以要定义一个数学概念，无非是出于两个原因：说的数学事实．
一
师：由于有 “ 比值不变 ”这样
０Ａ曰Ｃ
是数学概念的本质属性；二是它有用，正因为它有用，我们才的规律，我们才定义了锐角三角函我们已经把角推广到了任有必要去定义它（了使用方便）那么，任意角的三角函数概数的概念．为．
念的本质是什么呢？我们不难发现，当角固定后（也就是角意角，能否定义任意角的三角函数？生：可以把任意角的三角函数转化到直角三角形中去定义．的始边和终边可视为固定），若以它的顶点。为原点，以角￥１ＵＬ的始边为轴，建立平面直角坐标系，则无论我们在角的终无论角的终边落在［，都能构造一个直角三角形，可以仿照锐角三角函数的定义方法，定义任意角的三角函数．边上如何取一点Ｐ）（，Ｙ，总有比值上、、卫（中ｒＰ＝其＝Ｏ（根据学生的描述，教师画图演示．）
生：我是在平面直角坐标系下定义任意角的正弦的．
（在黑板上画图３说明．生）
Ｉ
里 ……高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、
结论的发展过程和本质． ”这一理念要求教师在教学中要揭示数学本质．本人认为：揭示数学本质是数学教学的灵魂．而在实际教学中，许多教师由于对所教授知识的数学本质感悟不深、理
地领悟概念的本质，教学抓不住 “ 本质 ”就会变得无的放矢．

揭示数学本质_发展思维能力_---关于数学教学设计的思考

二、去数学、非数学—情境与问题
• • • • 什么是问题情境？问题情境有哪些类型？怎样设计问题情境？怎样设计问题？
解决问题
初中：创设问题情境,激发学习兴趣
好奇是兴趣的开始,是学习的开始,是创造的开始
• 与生活实际背景相联,从生活到数学 • 与带挑战性问题相联,从问题到数学 • 与学生实践活动相联,从活动到数学 • 与游戏\欣赏\审美相联,从审美到数学高中：创设问题情境，引导提出问题
案例分析
• 案例1 • 案例2 • 案例2
六、训练多难题多—反思与升华
• 为什么要引导学生反思？ • 要学生反思什么？ • 怎样引导学生反思？
解决问题
活动与反思 • 数学概念：生成、联系、网络、凝缩 • 数学定理：发现、猜想、验证、运用 • 数学技能：活动、经验、积累、技能 • 数学思想：体验、感悟、反思、升华 • 解决问题：通法、通则、策略
四、直接到达结论—建构与理论
• 为什么要提出学生自我建构？ • 怎样帮助学生建构数建构数学的过程： •胚胎和生长点 •经历过程（从直觉到逻辑、再发现） •感受意义（反思领悟） •形成表象（建构的成果）例：函数、单调性、垂直 •自我表征（初步的概括） •生长中的数学，朴素的数学，未包装的数学 •数学建构活动中的核心环节最终：建立数学．数学理论的呈现 •定义、定理叙述、模型描述、算法程序等； •抽象，形式化的表述
教师的价值判断： • 学生活动要符合数学文化的规范； • 学生活动要体现学生的个性；（多样性） • 学生活动应该有利于思维活动的展开（例子） • 学生活动要照顾到不同发展层次的学生； • 以解决问题为最终目标还是以学生的发展为最终目标； • 合理和有用；成功与失败，失败的价值．
案例分析

七年级数学下册《透过现象看本质》教案、教学设计

教学策略：教师为学生提供适当的探究材料，引导学生通过观察、实验、猜想、归纳等途径，发现数学规律。在此过程中，教师关注学生的思考过程，引导学生反思和总结。
4.设想四：采用多元化评价方式，全面评估学生的学习成果，关注学生的成长过程。
教学策略：将形成性评价与终结性评价相结合，关注学生在课堂上的表现、作业完成情况以及小组活动中的贡献。同时，鼓励学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的反思能力。
二、学情分析
在七年级下册数学教学过程中，学生对数学知识已有一定的基础，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。但在此基础上，学生对本章节“透过现象看本质”的学习仍存在以下特点与需求：
1.学生在分析问题时，往往容易停留在表面，难以深入挖掘事物的内在联系。因此，需要教师引导和培养学生运用数学方法，从多角度、多维度去观察和分析问题。
3.熟练运用数据分析、逻辑推理和证明等方法，对数学问题进行深入探究，提高解决问题的能力。
4.能够运用所学知识解决七年级下册数学课本中的相关问题，如数列、比例、概率等。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下方法培养自己的能力：
1.探究与合作：学生通过小组合作、讨论的方式，共同分析问题、总结规律，从而培养团队协作能力和沟通能力。
1.培养学生严谨、细致的学习态度，认识到数学在揭示事物本质方面的重要作用。
2.培养学生对数学的热爱和兴趣，激发学生主动探究数学问题的热情。
3.培养学生具备批判性思维，敢于质疑、善于思考，形成独立见解。
4.引导学生认识到团队合作的重要性，学会倾听、尊重他人意见，形成良好的人际关系。
5.培养学生具有科学精神，关注社会现象，学会用数学的视角观察世界，为未来的学习和生活打下坚实基础。
5.学生在面对复杂问题时，可能产生畏惧心理。教师应关注学生的心理变化，鼓励他们勇于尝试、克服困难，培养他们面对挑战的信心。

数学概念教学必须揭示其本质属性

则 △ Ｄ一５Ｂ（．四形ＢＤＢＧ △ Ｄ，‘ 边＾ｃ一 △ Ｄ．＇．ＡＧ同理Ｓ￣ＡＥ＝Ｓ＾Ⅳ，口ＤＦＡＤ
’
图６
图７
连结ＡＤ，别取ＡＢ，Ｃ，Ｄ，分ＢＣＤＥ，ＥＦ，
ＦＡ，ＡＤ的中点Ｇ，，Ｍ，，０，ＨＰ，ＮＲ，得
公共边ＡＤ及ＡＤ边上的两条高即测量３次
就可求得六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积．
一２（口 Ⅳ ＋Ｓ＝ Ⅳ ０．．ＧｍＳＭＲ）
太棒了，里采用了 “ ” 补 ” 结合的这割 “ 相方法，将以前学过的某些图形的性质应用并起来．正是我所期待的解答。带头为他鼓这我
的推导过程，结果是以正切的形式给出的：其
ｔａｎ一．
何来确定？（）怎样的手段来确定？要回答２用
这两个问题，们还得从问题的起源谈起．我直线与直线所成的角的概念，在研究是两条直线垂直的基础上的延续，进一步研是究两条直线间的位置关系．先，果我们把首如两条相交直线（其中之一）平移，末它或作那
的思想中的反映，们在进行数学概念教学我的时候，应该把重点放在概念本质的教学就
匕．
１注重对教学过程的研究

讲清数学道理揭示数学本质——提高高三数学复习效率的教学策略

本文就高三复习阶段如何讲道理、揭本质例举
几个典型问题，以期抛砖引玉．
１新授课讲不清的道理，到复习课来讲
用斜二测画法画几何体的直观图，操作步骤十分简单：画轴后，使平行于轴或轴的线段长不
变，平行于Ｙ轴的线段长减半．但按上述方法画的
・— ・—・－－
一
时，投影线的方向也就是空间向量ＭＢ的方向．以Ｃ为原点、投影面
先仿照此类错误解法，举例“ 对于函数Ｙ＝＋１（＞０），因为当＞０时，＋１ ≥２，当且仪当＝１时等号成立，所以当＝１时 … Ｙ＝２ ”，这个结论
第１期
李金兴：讲清数学道理
揭示数学本质
・５・
给读者自行证明）：（２ｎ＋ｎ一）＝（自然数ｎ成立．＋；）对一切ｎ ≥２的
例４求证：对任意的正整数，（１＋）必可
表示成、／５＋Ｊｓ一１的形式，其中ｓ ∈ Ｎ．
时等号成立，所以Ｙ＝＋三的最小值为２ ” ，并
且在改变情景后经常一犯再犯．教师可按下列步骤
引导学生反思：
２．１从反例来辨别
长度的一半．为表述方便，将底边ＢＣ暂用线段
ＭＣ表示，则线段ＭＣ的影子为ＢＣ（如图２）．此
０１＝１＋２＝２，０２＝＋＝６，
为证明（１＋）＝＋

如何把握数学本质进行教学

如何把握数学本质进行教学如何把握数学本质进行教学数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

下面是店铺为大家收集的如何把握数学本质进行教学，希望对大家有所帮助。

如何把握数学本质进行教学篇1一、概念的教学要基于学生已有的认知基础皮亚杰的建构主义理论认为，学生要在已有的知识经验基础上建构新知识。

而数学概念的抽象性更要求基于学生已有的认知基础上进行教学，关注学生的学习过程，所以教师要善于引导学生从原有经验、原有的认识中逐步抽象概括出数学的形式化定义。

如教学“倍的认识”一课，揭示“倍”概念的方式很多，但新知识与学生认知的最近发展区越接近，学生就会越容易理解。

因此，这节课教师可以采用同化的方式引导学生获取“倍”的概念，即利用学生已有认知结构中对“几个几”的理解来同化“几的几倍”。

教师应鼓励学生用自己的眼睛去观察，用自己的语言去表达，用自己的思考去解读“倍”的相关量的共性，使他们真正领悟每份数、份数与“几的几倍”的关系，这样学生对“倍”的概念会建立得更好，理解会更深刻。

另外，教师在引导学生理解和掌握数学概念的过程中，还可以借助丰富的数学史资料，展示概念的形成过程，让学生体验数学家们对数学知识、数学原理不畏艰难的探索过程。

例如，自然数概念形成的漫长过程、不同民族对自然数和表示方法的创造、祖冲之对圆周率的探索过程等。

二、在数学活动中引导学生深刻理解概念的本质所谓对数学概念的理解是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，这些需要教师循序渐进地引导学生理解。

如对一年级学生教学自然数的概念时要通过“数数”活动，而有些教师认为学生在幼儿园已有“数数”的经验了，忽视对“数数”的教学。

其实，学前儿童的“数数”还大多停留在念歌谣的层面上，对数缺乏深刻的认识。

没有“数”的过程，学生对数的理解是不深刻的。

因此，教师要先设计“数数”这一数学活动，充分挖掘“数数”的教育价值，让学生多形式地数数。

直观地揭示数学概念的本质及现实意义

□ 操作设想
反思认识
(1)函数概念的教学是否需要两个时间点? 函数概念的教学是否需要两个时间点? 函数概念文字表述是否可以分两步走? (2)函数概念文字表述是否可以分两步走? 是否可以减少函数过于形式化的试题? (3)是否可以减少函数过于形式化的试题?
□
认识提炼
相信学术形态结果形式化知识
□
剪绳实验
问题解决
图形被剪次数x 被剪次数 0 1 2 段数y 段数
(1)把下列表格的缺失部分补充完整
(2)写出段数y关于被剪次数x的函数解析式
3 …… …… x …… y=?
□
剪绳实验
图形层数x 层数x1
问题解决
被剪次数x 段数y 被剪次数x2 段数y
( 1 ) 把下列表格补充完整 ( 2 ) 试写出段数y关于层数x1 和被剪次数x 和被剪次数 x2的函数解析式
□
认识提炼
Байду номын сангаас
教育形态
抽象性 —— 直观性基础性 —— 本质
过程体验多元认识现实反思
发展性 —— 现实性
□
一次函数概念
问题拓展
教材定义
(中间形态)
淡化图象列表表示法分离概念与现实问题忽略模型的变化特征缺乏认识常数的意义
□
一次函数概念
问题拓展
认识过程呈现实际问题——观察变量关系观察变量关系——洞察关系 (1)呈现实际问题观察变量关系洞察关系相似性——描述相似性描述相似性——自变量增加(减少)1, 自变量增加( 相似性描述相似性自变量增加减少) 函数值变化值是个固定值——固定值现实意义 ( 单固定值现实意义函数值变化值是个固定值固定值现实意义( 速度, 月利率, 每平方米种玉米的数量, 价 , 速度 , 月利率 , 每平方米种玉米的数量 , 每分钟话费……)——一种均匀变化 ) 钟话费一种均匀变化 (2)均匀变化,一条直线,(一次函数〈数角均匀变化,一条直线,(一次函数〈 ,(一次函数线性函数〈均匀) 度〉——线性函数〈形角度〉,线性线性函数形角度〉线性——均匀)—— 均匀判别现实世界中线性变化——利用线性变化预测结果判别现实世界中线性变化利用线性变化预测结果

揭示数学概念本质促进学生主动建构——以“乘法分配律”一课的教学为例

× ２为什么相等？
这样立足概念本质由浅入深加以追问，学生能够凭借自使
网（）１数形感知：长方形植树地：，出示 — 这块地的周长
是多少？教师引导学生列出两种算式。
（）活感知：们班有男生３２生我２人，生２女０人，果每人如植树３棵，一共可以植树多少棵？学生用两种方法列式解答。让（）例感知：还能举出像上述这样的两个算式的例子３正你
多少人参加植树活动 ” ，师要求学生列式，后引导学生观后教然
师：３＋０ｘ（２２）３与３ｘ＋０３这两个式子为什么得数相等２３２￣呢？谁能结合植树情境，说说先算什么，再算什么？生左边先算出全班植树多少人，：再算出全班植树棵树。
实上，法分配律的本质是乘法意义的拓展乘和应用。那么，师应如何揭示这一 “ 魂 ”促进学生主动建教灵，
构？
考，致学生所形成的数学表象模糊，维导思缺乏深刻性。为此，们应由表及里， “ ” “ ” 从乘法分我变粗为细，配律的本质意义人手，引导学生对算式的内涵加以深入研究、
教苑时空・教例剖析
蜀
—
勰
—
厨
偶
垒勋固绚
以“ 乘法分配律” 一课的教学为例

数学教育概论重点

1.数学观的变化（1）公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但是数学不等于形式。

数学正在走出形式主义的光环。

（2）在计算机技术的支持下，数学注重应用。

（3）数学不等于逻辑，要做“好”的数学。

2. 20世纪我国数学教育观的变化（1）由关心教师的“教”转向也关注学生的“学”；（2）从“双基”与“三力”观点的形成，发展到更宽广的能力观和素质观；（3）从听课、阅读、演题到提倡实验、讨论、探索的学习方式；（4）从看重数学的抽象和严谨到关注数学文化、数学探究和数学应用。

3. 我国影响较大的几次数学教改实验（P38）第三章4.弗赖登塔尔的数学教育理论倡导数学教育研究要像研究数学一样，以科学论文的形式交流研究心得，并有详细文献支持，因而使数学教育研究不再只停留在经验交流的水平上。

5. 数学教育有五个主要特征:（1）情境问题是教学的平台；（2）数学化是数学教育的目标；（3）学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分（4）“互动”是主要的学习方式；（5）学科交织是数学教育内容的呈现方式。

这些特征可以用三个词加以概括：现实、数学化、再创造（指通过教师精心设计、创造问题情境，学生自己动手实验研究、合作商讨、探索问题的结果并进行组织的学习方式，其核心是数学过程的再现。

）6.现实数学教育所说的数学化有两种形式：（1）实际问题转化为数学问题的数学化（2）从符号到概念的数学化7.波利亚的数学教育观中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”。

主动学习。

数学老师必须具备数学内容知识和数学教学法的知识。

9.建构主义的数学教育理论10. 数学知识是什么建构主义学说认为，数学知识并非绝对真理，即不是现实世界的纯粹客观的反映。

数学只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，并将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，直至出现新的解释和假设。

11.儿童如何学习数学数学教学应该符合学生的年龄特征、知识基础以及个性特点，不能不顾教学对象盲目施教。

从《圆的认识》教学课例谈小学数学概念教学中如何恰当地揭示概念的本质属性

从《圆的认识》教学课例谈小学数学概念教学中如何恰当地揭示概念的本质属性【内容提要】由于小学生的认知水平和知识结构有限，对概念的学习大多停留在感性认识上，对概念的定义或描述只能用直观、形象、粗浅的语言来概括，还不能通过准确的数学语言进行描述。

但是，尽管如此教师在教学中却不能忽视对数学概念深刻内涵和外延的挖掘并揭示概念的本质属性。

小学数学概念教学中如何恰当揭示概念的本质属性可以从以下几方面入手。

一是从学生的生活实际入手，直观的理解概念的本质；二是层层递进，揭示概念本质；三是明确概念间的联系和区别，理解概念的内涵和外延。

【关键词】小学数学概念本质属性恰当揭示数学概念是数学大厦的奠基石，是小学生数学学习的精髓和灵魂，它反映了数学对象的本质属性。

没有清晰的数学概念，就像一座没有框架的大楼一样，永远也立不起来。

但是，就小学数学教学而言，由于小学生的认知水平和知识结构有限，对概念的学习大多停留在感性的认识上，对概念的定义或描述只能用直观、形象、粗浅的语言来概括，还有的是通过列举的方式来告诉学生这是什么，还不能通过准确的数学语言进行描述。

但是，尽管如此教师在教学中却不能忽视对数学概念深刻内涵和外延的挖掘并揭示概念的本质属性。

所以，在小学数学概念教学中如何恰当地揭示概念的本质属性是每一位小学数学教师应该研究的重要课题，也是为学生今后更进一步深入理解数学概念打下坚实的基础，为学生构建数学大厦奠定坚实的基石。

前期，我听了一节数学研究课，学的是人教版教材六年级下册《圆的认识》一课。

课中，授课教师对圆概念本质的巧妙揭示给了我很深的启示。

教材中没有对什么是圆给出明确的定义，只是用列举的方法列举了生活中各种各样的圆，让学生直观的了解什么是圆？然后就让学生画一画圆，再学习用圆规画圆并认识圆各部分名称及特点。

我们都知道圆概念的几何定义是：“圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。

”这一定义准确的揭示了圆概念的本质属性，一是“定点”就是圆心；二是“定长”就是半径，并且在同一圆内所有半径都相等；三是“点的集合”就是连点成线，线是无数点的集合。

对数学教学本质的认识

对数学教学本质的认识数学是一门重要的基础学科，它涉及到逻辑推理、问题解决、数据分析等多个方面。

在教育领域，数学教学的本质是什么？本文将从以下几个方面进行探讨。

数学教学的核心目标是培养学生的思维能力，包括逻辑推理、抽象思维、创新思维等方面的能力。

通过数学学习，学生可以掌握分析问题、解决问题的能力，同时也可以培养创新思维和解决问题的能力。

这些能力对于学生的未来发展非常重要，因此，数学教学应该注重培养学生的思维能力。

数学教学的内容应该符合学生的认知特点，根据学生的年龄段和认知水平来确定教学内容和教学方法。

例如，对于小学生，数学教学应该注重基础知识的掌握和基本技能的培养；对于初中生，数学教学应该注重数学思想和方法的渗透；对于高中生，数学教学应该注重数学思维和数学文化的培养。

因此，数学教学内容应该根据学生的认知特点来设计，以适应不同阶段学生的需求。

数学是一门实践性很强的学科，它涉及到很多实际问题和案例。

因此，数学教学应该注重实践和应用，通过案例教学、实验操作等方式让学生更好地理解数学知识，掌握数学技能。

同时，数学教学也应该注重与实际生活的，让学生更好地了解数学在生活中的作用和应用。

数学教学评价是衡量教学质量和学生学习效果的重要手段。

因此，数学教学评价应该多元化，包括考试成绩、平时表现、作业完成情况等多个方面。

教学评价也应该注重学生的个体差异和进步情况，以更好地激发学生的积极性和创造力。

数学教学的本质是培养学生的思维能力、符合学生的认知特点、注重实践和应用以及多元化评价。

只有把握好这些方面，才能更好地提高数学教学质量和学生的学习效果。

数学，作为人类智慧的结晶，其深远的意义和广泛的应用在人类社会的各个方面都得到了充分的体现。

然而，对于数学的本质，人们的理解却各有不同。

有的人认为数学是一种逻辑游戏，有的人认为数学是一种工具，还有的人认为数学是一种抽象艺术。

然而，在我看来，数学的本质在于其普遍性、抽象性和应用性的结合。

基于数学问题本质的揭示与思想方法理解及应用的复习——以抛物线定点弦问题的探究为例

基于数学问题本质的揭示与思想方法理解及应用的复习∗以抛物线定点弦问题的探究为例王礼勇1,㊀邵㊀达1,㊀李㊀芳2(1.温州中学,浙江温州㊀325014;2.温州外国语学校,浙江温州㊀325035)㊀㊀摘㊀要:基于数学问题本质的复习课教学,教师应挖掘数学思想方法,感悟数学思维方式,转变数学学习方式,并在此基础上引导学生在体验知识的过程中不断发现问题㊁解决问题,提升学生数学核心素养.关键词:问题本质;思想方法;复习课;解析几何中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)01-0025-04㊀㊀学习数学,不仅要学习数学的相关知识,更重要的是学习数学式的思维,学会分析问题,并进一步解决问题.基于数学问题本质的复习课教学,不仅要引导学生梳理已学的相关内容,而且要让学生积极参与问题的解决,努力分析问题的源与流 ,体现出对数学思想方法的挖掘,提高学生的运用和迁移能力.笔者有幸参加了浙江省高中数学优质课比赛,内容是基于数学问题本质的揭示与思想方法理解及应用的复习.下面以抛物线定点弦问题的探究为例,谈谈自己对于数学问题本质揭示的若干思考,与读者共享.1㊀课堂教学实录1.1㊀教学引例图1问题1㊀如图1,设直线l :y =kx +2(其中k ɪR )与抛物线C :y =x 2相交于点P ,Q ,其中点Q 在第一象限.若点M 是线段PQ 的中点,求点M 到x 轴距离的最小值.设计意图㊀从曲线与方程的关系入手,复习直线恒过定点问题,引出本节课的课题:抛物线定点弦问题的探究.与学生共同探究点M 到x 轴距离的最小值,通过几何与代数方法的运用与比较,让学生在本节课中感受到:几何问题可以用代数方法求解.师:给出抛物线方程C :y =x 2,有对应的抛物线;给出直线方程l :y =kx +2(其中k ɪR ),对应的直线l 具有怎样的特点?生1:直线l 过定点(0,2),交抛物线C 于点P ,Q ,得到弦PQ.师:能否从形上猜测点M 到x 轴距离的最小值?当过定点(0,2)的直线y =kx +2变化时,通过几何画板演示点M 到x 轴距离的最小值变化情况,其中当k =0时,点M 到x 轴距离的最小值为2.师:能否从代数角度严格说明?生2:运用线解析.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x m ,y m ),联立直线方程与抛物线方程y =x 2,y =kx +2,{得x 2-kx -2=0,由韦达定理得㊀㊀x 1+x 2=k ,㊀x 1x 2=-2.将距离问题化为关于k 的二次函数求解,即y M =y 1+y 22=k 2(x 1+x 2)+2=k 22+2ȡ2,当k =0时,y M =2.生3:运用点解析.先寻找点M 的轨迹方程.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x M ,y M ),将点的坐标代入抛物线方程,得y 1=x 21,y 2=x 22,{运用点差法,得y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2=2x M =y M -2x M,∗收文日期:2020-06-11;修订日期:2020-07-11作者简介:王礼勇(1987 ),男,浙江温州人,中学一级教师.研究方向:数学教育.从而y M =2x 2M+2ȡ2.1.2㊀自主探究问题2㊀从代数角度的研究过程中,你发现哪些是定值?设计意图㊀从代数的求解过程中,发现横坐标的乘积㊁纵坐标的乘积均是定值,斜率的乘积也是定值.师生共同探寻本源,并在本节课中第一次感受:可以用代数方法进一步发现几何性质.师:从代数角度的研究过程中,你发现哪些是定值?还有哪些是定值?商的几何意义是什么?生4:x 1x 2=-2,y 1y 2=x 21x 22=2,x 1x 2与y 1y 2的和㊁差㊁积㊁商均是定值,特别有k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=-2.师:一系列定值的产生,你认为引发的源头在哪里?生5:从代数的求解过程来看,若直线恒过定点(0,2),则横坐标的乘积㊁纵坐标的乘积㊁斜率的乘积均是定值;若直线恒不过定点,随意移动,则以上乘积不一定是定值.设计意图㊀从特殊到一般,直线恒过定点(0,2)推广至对称轴上的定点,斜率的乘积仍是定值.学生在本节课中第二次感受:研究几何问题可以用代数方法求解,也可以用代数方法进一步发现几何性质.师:换一个定点,不妨先迈一小步,在y 轴上任取一定点T (0,m ),过定点T 的直线交抛物线于点P ,Q,此时定值还成立吗?图2问题3㊀如图2,在y 轴上任取一定点T (0,m ),直线恒过定点T ,此时k OP k OQ 是定值吗?生6:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立直线方程与抛物线方程y =x 2,y =kx +m ,{得x 2-kx -m =0,由韦达定理得㊀x 1+x 2=k ,㊀x 1x 2=-m ,从而y 1y 2=m 2,进而k OP k OQ=y 1y 2x 1x 2=-m (定值).师生共同利用几何画板演示,从形上观察,直线恒过定点T ,斜率的乘积仍是定值.问题4㊀在平面上任取一定点,不妨取N (1,3),直线恒过定点N,此时定值还成立吗?图3设计意图㊀直线恒过平面上的任意一定点(定点不在对称轴上),通过探究可知k OP k OQ 不再是定值.师生继续共同探究:如图3,当直线恒过平面上的定点N 时,抛物线上是否存在定点A ,使得k AP k AQ 是定值?师:不在对称轴上取定点,在平面上任取一定点,此时定值还会成立吗?不失一般性,不妨设直线恒过定点N (1,3).生7:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立直线方程与抛物线方程y =x 2,y -3=k (x -1),{得x 2-kx +k -3=0,由韦达定理得㊀x 1+x 2=k ,㊀x 1x 2=k -3,从而y 1y 2=(k -3)2,于是k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=k -3.受参数k 的变化而变化,斜率的乘积不是定值!师:在平面上任取一定点(定点不在对称轴上),可知k OP k OQ 不是定值.抛物线C 上是否存在定点A ,使得k AP k AQ 为定值?高拍仪展示学生的解题过程,并作纠正.图4如图4,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),A (a ,a 2),联立直线方程与抛物线方程y =x 2,y -3=k (x -1),{得x 2-kx +k -3=0,由韦达定理得x 1+x 2=k ,㊀x 1x 2=k -3,从而y 1y 2=(k -3)2,于是㊀k AP k AQ =y 1-a 2x 1-a ㊃y 2-a 2x 2-a =(x 1+a )(x 2+a )=(a +1)k +a 2-3a ,当a =-1,即A (-1,1)时,k AP k AQ =-2.师生利用几何画板演示,从形上观察可得直线恒过定点A ,使得k AP k AQ 是定值.师生共同探究,先猜后证:当直线PQ 取极端情形,即斜率不存在,直线PQ 的方程为x =3,此时与抛物线的交点为P (1,1),Q 为无穷远点,即k AQ ңɕ,要使得k AP k AQ 是定值,此时k AP =0,A (-1,1).在此不再赘述.1.3㊀自主应用图5问题5㊀如图5,已知抛物线C :y 2=x 过点A (1,1),过点P (3,-1)的直线与抛物线C 交于两个不同的点M ,N (均与点A 不重合),设直线AM ,AN 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值.设计意图㊀引导学生类比前面的研究:当直线恒过平面上的定点时,抛物线上存在定点A ,使得k AP k AQ 是定值.分析㊀设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线l :x -3=n (y +1),联立方程x -3=n (y +1),y 2=x ,{得y 2-ny -n -3=0,从而y 1+y 2=n ,㊀y 1y 2=-n -3,于是x 1+x 2=n (y 1+y 2)+2n +6=n 2+2n +6,x 1x 2=(y 1y 2)2,故㊀㊀k 1k 2=y 1-1x 1-1㊃y 2-1x 2-1=y 1y 2-(y 1+y 2)+1x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-n -3-n +1(n +3)2-(n 2-2n -6)+1=-2n -24n +4=-12.问题6㊀抛物线上存在定点A ,使得k AP k AQ 是定值.这是偶然的还是必然?必然性体现在哪里?设计意图㊀师生共同探究k AP k AQ 是定值的本源.生8:回到代数方法的求解过程中,利用抛物线方程作代换,消元得(x 1+a )(x 2+a )=(k -3)+kt +t 2,应用韦达定理的过程中,发现两根和与积均划归为一个变量k 控制.师:两根和与积之间存在着怎样的关系?生9:通过消去参数k ,得到了两根和与积的线性关系x 1x 2+3=x 1+x 2,进一步化简可得(x 1-1)(x 2-1)=-2.师:推广到更一般的情形,已知抛物线C :x 2=2py (其中p >0),过点(x 0,y 0)的直线与抛物线C 交于两个不同的点P ,Q ,是否还有类似的线性关系?设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立直线方程与抛物线方程,得x 2=2py ,y -y 0=k (x -x 0),{从而x 2-2pkx -2p (y 0-kx 0)=0,由韦达定理得x 1+x 2=2pk ,㊀x 1x 2=-2p (y 0-kx 0),消去k ,可得㊀(x 1-x 0)(x 2-x 0)=x 20-2py 0.师生总结㊀从形上观察:直线恒过定点,交抛物线于两点;从代数上来看,横坐标的和与积间存在着线性关系.一般结论㊀过点(x 0,y 0)的直线与抛物线C 交于两个不同的点P ,Q ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则㊀㊀1)若抛物线C :y 2=2px (其中p >0),则(y 1-y 0)(y 2-y 0)=y 20-2px 0;2)若抛物线C :y 2=-2px (其中p >0),则(y 1-y 0)(y 2-y 0)=y 20+2px 0;3)若抛物线C :x 2=2py (其中p >0),则(x 1-x 0)(x 2-x 0)=x 20-2py 0;4)若抛物线C :x 2=-2py (其中p >0),则(x 1-x 0)(x 2-x 0)=x 20+2py 0.图6问题7㊀如图6,已知点P (1,3),Q (1,2).设过点P 的动直线与抛物线y =x 2交于点A ,B ,直线AQ ,BQ 与该抛物线的另一交点分别为C ,D.记直线AB ,CD 的斜率分别为k 1,k 2.当k 1ʂ2时,k 2-2k 1-2是否为定值?若是,求出该定值.设计意图㊀引导学生类比前面的研究,3条直线分别恒过定点,均存在着横坐标的和与积的线性关系.从形上观察,直线AB 恒过定点P ,交抛物线于两点;从代数上来看,有线性关系(x 1-1)(x 2-1)=-2,同理直线AC 恒过定点Q ,有线性关系(x 1-1)(x 3-1)=-1;直线BD 恒过定点Q ,有线性关系(x 2-1)(x 4-1)=-1,从而k 2-2k 1-2=x 3+x 4-2x 1+x 2-2,进一步消元可得结果.1.4㊀自主推广在这里,我们研究的是抛物线背景的问题,能否将问题推广至其他圆锥曲线呢?问题8㊀已知M(r,s)是椭圆C:x2a2+y2b2=1上的定点,P,Q是椭圆C上的两个动点,直线PQ过定点N(x0,y0),问:k MP k MQ为常数吗?1.5㊀课堂小结这节课教会我们几何问题可以用代数的方法求解.进一步,可以用代数的方法发现几何性质,如斜率的乘积是定值.法国数学家苏菲㊃姬曼曾说过: 代数不过是书写的几何,而几何不过是图形的代数.2㊀教学感悟‘普通高中数学课程标准(2017年版)“中指出:通过典型例子的分析和学生自主探究活动,使学生理解数学概念㊁结论逐步形成的过程,体会蕴含在其中的思想方法,追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.开展基于数学问题本质的复习课教学十分有意义:一方面,学生已经有了相对完整的知识块,便于开展学习;另一方面,把握数学问题本质,关注高阶思维,培养学生的核心素养.2.1㊀基于数学问题本质的复习课教学,该如何体现其一,揭示数学问题的本质,体现了对数学思想方法的挖掘.数学思想是以数学知识为载体,蕴含于表层知识之中,数学思想统帅着表层知识,是对知识㊁方法㊁规律的一种本质认识[1].本节课紧紧抓住抛物线的定点弦问题,从几何角度进行猜测,从代数角度严格论证.在形的方面:研究直线过抛物线对称轴上的定点;在数的方面:研究横坐标的乘积㊁纵坐标的乘积是定值㊁斜率的乘积是定值等.本节课充分挖掘条件和结论之间的内在联系,带领学生体会数形结合与类比等思想.其二,揭示数学问题的本质,体现了对数学独特思维方式的感悟[2].本节课中的观察发现㊁归纳类比㊁演绎证明㊁运算求解㊁反思感悟等都是数学思维的具体体现.本节课从抛物线定点弦问题入手,学生对于这一数学学习情境有着一定的理解,在相似的情境中做到举一反三,用线解析或者点解析进行问题的求解,进一步探究定值背后的本源.在形的方面:探究直线恒过定点;在数的方面:探究横坐标的和与积的线性关系;运用研究定点定值的一般处理策略(先猜后证).教师深入领悟典型题目的编写意图,这本身就是寻找解法之间的联系,挖掘数学问题的本质,进一步推广就可以揭示出问题的深层结构 .其三,揭示数学问题的本质,体现对数学学习方法的转变上.在揭示数学问题的本质过程中,确立以学生为本,倡导学生合作学习㊁探究体验式学习.本节课在似曾相识的情境中引导学生自主探究,以抛物线定点弦入手,将定点由(0,2)推广至全平面上的任意定点,探究定值是否改变,并挖掘定值产生背后的本源.在课程中加强问题探究与信息技术的有机整合,如学生板演展示思考过程,现场投屏展示思维过程,利用几何画板动态演示形成过程,努力揭示数学问题本质.师生间和谐高效互动,体验着创造的乐趣.这些新的学习方式促进学生了解数学产生的过程,感受创造的激情,培养学生勇于反思的习惯,提升发现问题和解决问题的能力,培养学生的创新意识.2.2㊀基于数学问题本质的复习课教学,需要怎么样的课堂布鲁纳在脚手架理论中指出:学生不是被动的知识接受者,而是积极的信息加工者.在课堂上,学生是否有深刻的数学思维活动,是否有探究的机会,是否有表达的机会?要让学生拥有这些机会,课堂教学应呈现以下4个特征:问题开放㊁思维多元㊁认知主动和建构丰富[3].基于数学问题本质的复习课教学,是指在教师的带领下,学生围绕着有挑战性的数学主题,积极参与,获得成功体验的有意义学习过程.在这个过程中,通过开放式留白,用问题驱动学生探究,发现问题,及时提问;提出有立意的问题,并留下有挑战的思考空间,把握数学问题的本质和思想方法,从而使得数学核心素养落地生根.在复习教学中把握数学问题本质学习,关注高阶思维和意义建构,并在此基础上引导学生在体验知识的过程中不断发现问题㊁解决问题,提升学生的数学核心素养,方能臻于知其然的化境.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀杨威.抓住数学本质,让数学教育找到回家的路[J].教育科学论坛,2015(10):42-44.[2]㊀张金良.名师面对面之数学核心素养谈[M].杭州:浙江教育出版社,2018.[3]㊀陈柏良.构建深度学习的数学课堂[J].中学数学教学参考:上旬,2017(11):14-17.。

个人对数学的理解,对数学教育的理解

个人对数学的理解1. 数学的本质数学是一门普适的科学，它不仅仅存在于我们日常生活的计算中，更是一种思维方式与逻辑推理的艺术。

数学是对人类认知世界的一种强大工具，通过它我们可以揭示世界的规律和本质。

数学被认为是最完美、最精确的科学。

2. 数学的美数学之美在于它的简洁和优雅。

数学语言的简洁和逻辑的严密性使得它成为一门令人着迷的学科。

数学所呈现的美学不仅仅在于它的结构和形式，更在于它的深刻和抽象。

3. 数学教育的重要性数学教育对于培养学生的逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力意义重大。

数学教育不仅仅是为了传授计算技能，更是培养学生的思维方式和解决问题的能力。

通过数学教育，学生可以培养自己的创造力和思维能力，这对于学生未来的发展非常重要。

4. 对数学教育的理解数学教育应该注重培养学生的数学兴趣和数学思维，而不仅仅是传授知识。

教师应该注重启发式教学，引导学生主动探索数学知识，培养他们的创造力和解决问题的能力。

数学教育也应该注重与现实生活的联系，使学生能够理解数学在实际中的应用，增强学生对数学的兴趣和学习动力。

总结：数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。

数学所呈现的美学和逻辑性使得它成为一门令人着迷的学科。

数学教育的目的不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教师在数学教育中应该注重培养学生的兴趣和思维能力，使他们能够更好地理解和应用数学知识。

个人观点：我认为数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。

数学教育应该注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，这样学生才能在未来的学习和工作中游刃有余。

教师在数学教育中应该注重启发式教学，引导学生主动探索数学知识，培养他们的创造力和思维能力。

数学是一门普适的科学，它存在于我们日常生活的方方面面。

从简单的加减乘除到复杂的微积分和线性代数，数学贯穿着我们的生活和工作。

但数学的本质远不止于此，它是一种思维方式与逻辑推理的艺术，是一种强大工具，可以揭示世界的规律和本质。

揭示数学本质是数学教学的灵魂

揭示数学本质是数学教学的灵魂——从“任意角的三角函数”的教学案例谈起张健（江苏省邳州市教育局教研室）《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“形式化是数学的基本特征之一。

在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里……高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。

”这一理念要求教师在教学中要揭示数学本质。

本人认为：揭示数学本质是数学教学的灵魂。

而在实际教学中，许多教师由于对所教授知识的数学本质感悟不深、理解不透，导致教学变成了漫无目的、信马由缰的活动——没有灵魂，徒具形式！下面针对这些问题，从所听的一节公开课“任意角的三角函数”谈起，并试图通过案例分析和重新设计，谈谈在数学教学中如何揭示数学本质的问题，愿与同行磋商。

一、教学案例师：在初中我们学习了锐角，并且研究了锐角三角函数。

上节课我们把锐角推广到了任意角，接下来我们应该研究什么？生：任意角的三角函数。

师：如图1，OA、OB分别是角α的始边和终边，怎样定义任意角α的三角函数呢？生1：连接AB，过点B作B C⊥OA，垂足为C，仿照锐角三角函数的定义可以定义任意角α的三角函数为sinα= BCOB,cosα=OC OB ,tanα=BCOC。

师：A、B两点怎么来的？生1：分别在OA、OB上任意取的。

师：O点能取吗？生1：这……（教师用几何画板演示角α的任意性，并组织学生继续讨论。

）生2：用角α的补角来定义。

如图2，在OB上任取一点E，过点E作EF OA交AO的延长线于点F。

在R t△OFE中，可以定义sinα= EFOE,cosα=OFOE,tanα=EFOF。

（学生误认为钝角∠AOB就是角α。

）师：角α的补角是谁？生2：∠EOF是角α的补角。

师：她说的有问题吗？生3：角α不一定是钝角，它是任意角，只是角α的终边在那个位置上！生（惊讶地）：对呀！它不一定有补角啊!生4：我是在平面直角坐标系下定义任意角的正弦的。

解题教学揭示数学本质深度探究提升核心素养——谈如何通过运算揭示解析几何变量结构不对称的本质

解题教学揭示数学本质　深度探究提升核心素养———谈如何通过运算揭示解析几何变量结构不对称的本质●廖如舟　曾丽华（衢州第二中学，浙江衢州　３２４０００）摘　要：解题是揭示数学本质的一个重要途径．解题教学形成闭环需３个重要环节：一是教师和学生独立解题，穷尽所有解法；二是教师基于标准，选择解法进行课堂教学；三是课后学生对于具体实例再思考．文章从一节高三解析几何复习课的解题教学重温上述３个环节，同时揭示解析几何变量结构不对称的本质，深度探究如何通过解题教学提升数学核心素养．关键词：解题教学；解析几何；变量结构不对称；核心素养中图分类号：Ｏ１２３．１文献标识码：Ａ文章编号：１００３６４０７（２０２０）０７００１００４习题是数学的一个载体，是数学思想方法的生长点；解题是数学的思考过程，是数学核心素养的落脚点，解题教学蕴含着巨大教育潜能．解题教学并不是一味地将教师探究好后的方法与过程直接传递给学生，也不是一味地追求巧妙的方法，而是化“神奇”为“平常”的过程，揭示数学本质的同时让学生深度探究的过程，以此来提升核心素养的目的．近期，在浙江省某中学教学开放周的活动中，笔者听了一节高三数学课，内容是对一道解析几何题目的解题教学，授课教师提前一天将题目发给学生思考，学生在上课之前已经做过题目，无论是题目本身还是课堂中教师和学生的表现都给笔者留下了深刻的印象，课后笔者从解题教学的本质和数学核心素养的提升这两个方面对“解析几何中的变量结构不对称如何处理”进行了深度思考．图１例１　如图１，已知椭圆Ｅ：ｘ２４＋ｙ２＝１的左、右顶点分别为Ａ，Ｂ，左、右焦点为Ｆ１，Ｆ２，直线ｙ＝１２ｘ＋ｍ交椭圆于点Ｃ，Ｄ，与线段Ｆ１Ｆ２交于点Ｍ．设直线ＡＤ与ＢＣ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，求ｋ１ｋ２的取值范围．本题考查直线与椭圆的位置关系，需联立直线方程和椭圆方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到ｋ１ｋ２的取值范围；考查学生推理论证、数据处理、转化化归等分析问题和解决问题的能力，能促进学生逻辑推理、数学运算、数据分析等数学核心素养的培养．学生甲给出了如下解法：解　设Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），由ｘ２＋４ｙ２＝４，ｙ＝１２ｘ＋ｍ，{得ｘ２＋２ｍｘ＋２ｍ２－２＝０，由Δ＞０得－槡２＜ｍ槡＜２．由于直线与线段Ｆ１Ｆ２交于点Ｍ，从而－槡３２≤ｍ≤槡３２．又ｘ１＋ｘ２＝－２ｍ，ｘ１ｘ２＝２ｍ２－２，ｙ１ｙ２＝１２（ｍ２－１），由Ａ（－２，０），Ｂ（２，０）得ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２，ｋ２＝ｙ２ｘ２－２，因此ｋ１ｋ２＝ｙ１（ｘ２－２）ｙ２（ｘ１＋２）＝１２ｘ１＋ｍ()（ｘ２－２）１２ｘ２＋ｍ()（ｘ１＋２）＝１２ｘ１ｘ２＋ｍｘ２－ｘ１－２ｍ１２ｘ１ｘ２＋ｍｘ１＋ｘ２＋２ｍ＝ｍ２－１＋（ｍ＋１）ｘ２ｍ２－１＋（ｍ－１）ｘ１＝（ｍ＋１）（ｍ－１＋ｘ２）（ｍ－１）（ｍ＋１＋ｘ１）＝（ｍ＋１）（ｍ－１－２ｍ－ｘ１）（ｍ－１）（ｍ＋１＋ｘ１）＝收文日期：２０２００３２６；修订日期：２０２００４２６作者简介：廖如舟（１９８６—），男，浙江衢州人，中学一级教师．研究方向：数学教育．１＋ｍ１－ｍ＝－１－２ｍ－１．又ｋ１ｋ２＝－１－２ｍ－１在－槡３２，槡３２[]上单调递增，于是ｋ１ｋ２∈［７－槡４３，７＋槡４３］．思考１　学生甲的解答过程是将ｋ１ｋ２＝ｙ１（ｘ２－２）ｙ２（ｘ１＋２）转化为ｍ２－１＋（ｍ＋１）ｘ２ｍ２－１＋（ｍ－１）ｘ１，再利用韦达定理反复变量转换，最后得到目标函数．解题过程流畅，学生基本功扎实．那么变量转化还有其他途径吗？由题意可知ｋ１ｋ２＝ｙ１（ｘ２－２）ｙ２（ｘ１＋２）＝ｙ１ｙ２·（ｘ２２－４）（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＝ｙ１ｙ２·－４ｙ２２（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＝－４ｙ１ｙ２（ｘ１＋２）（ｘ２＋２），因为ｘ１＋ｘ２＝－２ｍ，ｘ１ｘ２＝２ｍ２－２，所以ｋ１ｋ２＝１＋ｍ１－ｍ＝－１－２ｍ－１，从而ｋ１ｋ２∈［７－槡４３，７＋槡４３］．上述变量转换考虑到点在椭圆上，将ｘ２－２变为ｘ２２－４，将ｘ１＋２变为（ｘ１＋２）（ｘ２＋２），最后使得变量“地位相同”，从而达到消元的目的．若从这个角度考虑，则还有多种处理方法，也可以达到消元的目的．因为Ａ（－２，０），Ｂ（２，０），所以ｋ１＝ｙ１ｘ１＋２，　ｋ２＝ｙ２ｘ２－２，故　ｋ１ｋ２()２＝ｙ２１（ｘ２－２）２ｙ２２（ｘ１＋２）２＝１－ｘ２１４()（ｘ２－２）２１－ｘ２２４()（ｘ１－２）２＝（２－ｘ１）（２－ｘ２）（２＋ｘ１）（２＋ｘ２）＝４－２（ｘ１＋ｘ２）＋ｘ１ｘ２４＋２（ｘ１＋ｘ２）＋ｘ１ｘ２＝１＋ｍ１－ｍ()２，易知ｋ１ｋ２＞０，故ｋ１ｋ２＝１＋ｍ１－ｍ．对于如此对称的解析几何变量和图形，如果单纯从联立消元的思想去求解，甚至可以用求根公式直接代入，最后转化为关于ｍ的变量，也可以用ｘ１＝－２ｍ－ｘ２和ｍ＝－ｘ１＋ｘ２２的处理方法化简变量，只需要在化简过程中遵循变量的“地位相同”和“齐次性”，定能得到比较理想的结果．思考２　为什么“地位相同”的变量在ｋ１ｋ２＝ｙ１（ｘ２－２）ｙ２（ｘ１＋２）的表达式中体现得不明显呢？图２学生乙提出联结线段ＢＤ，如图２，由ｋ１ｋＢＤ＝－１４，将ｋ１转移到ｋＢＤ，这样ｋＢＤ与ｋ２＝ｋＢＣ对称．由ｋ１ｋＢＤ＝－１４，ｋ１ｋ２＝λ，得ｋ２ｋＢＤ＝－１４λ，故ｙ２ｘ２－２·ｙ１ｘ１－２＝－１４λ，代入得ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２－２（ｘ１＋ｘ２）＋４＝－１４λ，即１２（ｍ２－１）（２ｍ２－２）＋４ｍ＋４＝－１４λ，故ｋ１ｋ２＝λ＝１＋ｍ１－ｍ＝－１－２ｍ－１．这种处理变量的方法非常常见，通过点Ｄ在椭圆上的条件得到ｋＡＤｋＢＤ为定值，进而将斜率转化为ｋＢＣ，ｋＢＤ之间的关系，而点Ｂ为定点，点Ｃ，Ｄ为直线与椭圆的两个交点．由此问题的本质就被揭示了，这也是很多考题的命题根源．图３思考３　能否从共点曲线系的方式来解决本题？共点二次曲线系的简单表述为已知二次曲线Ｃ１：ｆ１（ｘ，ｙ）＝０，Ｃ２：ｆ２（ｘ，ｙ）＝０，则ｆ１（ｘ，ｙ）＋λｆ２（ｘ，ｙ）＝０，其中λ∈Ｒ表示经过Ｃ１：ｆ１（ｘ，ｙ）＝０与Ｃ２：ｆ２（ｘ，ｙ）＝０交点的二次曲线．如图３，图形中非常明显呈现出３个二次曲线，即椭圆方程和二次直线方程．可知直线ＡＤ的方程为ｘ＝ｔ１ｙ－２，直线ＢＣ的方程为ｘ＝ｔ２ｙ＋２，直线ＣＤ的方程为ｙ＝１２ｘ＋ｍ，直线ＡＢ的方程为ｙ＝０，从而ｘ２４＋ｙ２－１＋λ１２ｘ－ｙ＋ｍ()ｙ＝μ（ｘ－ｔ１ｙ－２）（ｘ－ｔ２ｙ＋２），对比系数可得１４＝μ，１－λ＝μｔ１ｔ２，１２λ＝１４（－ｔ１－ｔ２），λｍ＝μ（２ｔ２－２ｔ１），－１＝－４μ，故μ＝－１４，　ｔ１＋ｔ２ｔ２－ｔ１＝１ｋ１＋１ｋ２１ｋ２－１ｋ１，从而ｋ１ｋ２＝１＋ｍ１－ｍ＝－１－２ｍ－１．笔者听完整节课后作了深度思考，觉得这是一节难得的好课．这节解析几何的解题教学课虽然只有一道题目，但是实现了教师的教学目标，在课堂中不断有新的“生成”，学生通过事先思考，课堂交流，不断探究揭示问题的本质，提升了推理论证、数据处理、转化化归等分析问题和解决问题的能力，促进了逻辑推理、数学运算、数据分析等数学核心素养的培养．解析几何变量结构不对称问题的处理可以寻找中间变量，利用变量之间的关系，进行变量单元化处理；也可以考查几何图形结构，将问题转化为“齐次化”问题处理，突出变量的“地位相同性”；也可以用局部消元和整体消元相结合的方法进行变量处理；还可以考虑极点极线二次曲线系来处理．课后教师又留了一道作业题，笔者也尝试着用授课教师的思路，结合学生的思考，第一时间解决了这道与解析几何变量相关的问题．图４例２　如图４，已知直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋２，与椭圆Ｃ：ｘ２４＋ｙ２＝１交于两个不同的点Ａ，Ｂ．１）当ｋ＝１时，求△ＡＯＢ的面积（略）；２）设直线ＯＡ，ＯＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，且ｋ１＝λｋ２，求实数λ的取值范围．第１）小题解答略，第２）小题的两种解题思路如下：分析１　强调目标导向，用最本质的变量消元来处理．联立ｙ＝ｋｘ＋２，ｘ２４＋ｙ２＝１，{可得（４ｋ２＋１）ｘ２＋１６ｋｘ＋１２＝０，由Δ＝４ｋ２－３＞０，得ｋ２＞３４．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ１，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２＝－１６ｋ４ｋ２＋１，　ｘ１ｘ２＝１２４ｋ２＋１，可得１ｘ１＋１ｘ２＝－４３ｋ．又ｋ１＝ｋｘ１＋２ｘ１＝ｋ＋２ｘ１，同理可得ｋ２＝ｋ＋２ｘ２，由ｋ１＝λｋ２整理得１ｘ１－λｘ２＝λ－１２ｋ．由１ｘ１＋１ｘ２＝－４３ｋ，１ｘ１－λｘ２＝λ－１２ｋ，得ｘ１＝－６（λ＋１）（５λ＋３）ｋ，ｘ２＝－６（λ＋１）（３λ＋５）ｋ，从而ｘ１ｘ２＝３６（λ＋１）２（５λ＋３）（３λ＋５）ｋ２＝１２４ｋ２＋１，即１５λ２＋３４λ＋１５３（λ２＋２λ＋１）＝４ｋ２＋１ｋ２．因为４ｋ２＋１ｋ２＝４＋１ｋ２，且ｋ２＞３４，所以４＜１５λ２＋３４λ＋１５３（λ２＋２λ＋１）＜１６３，得１２（λ２＋２λ＋１）＜１５λ２＋３４λ＋１５，１５λ２＋３４λ＋１５＜１６（λ２＋２λ＋１），{从而λ＜３或λ＞－１３且λ≠１．此法可谓大力出奇迹．虽然我们习惯于利用韦达定理处理对称的代数结构，这也是高考命题的一种常见的逻辑．但是此法更一般性地阐明了一个观点：利用韦达定理完全可以处理不对称结构，求解二次方程组需要小心仔细．分析２　构造对偶式，突出变量“地位相同”和“齐次性”原则．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ１，ｙ１），则λ＋１λ＝ｋ１ｋ２＋ｋ２ｋ１＝ｙ１ｘ２ｘ１ｙ２＋ｙ２ｘ１ｘ２ｙ１＝ｙ２１ｘ２２＋ｙ２２ｘ２１ｘ１ｘ２ｙ１ｙ２＝（ｋｘ１＋２）２ｘ２２＋（ｋｘ２＋２）２ｘ２１ｘ１ｘ２（ｋｘ１＋２）（ｋｘ２＋２）＝２ｋ２ｘ２１ｘ２２＋４ｋｘ１ｘ２（ｘ１＋ｘ２）＋４（ｘ２１＋ｘ２２）ｘ１ｘ２［ｋ２ｘ１ｘ２＋２ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋４］＝４ｋ２３（１－ｋ２）－２，由ｋ２＞３４，得λ＋１λ∈－∞，－１０３()∪（２，＋∞），从而λ＜－３或λ＞－１３且λ≠１．面对不对称的代数结构，构造对偶式，恰好实现了将代数结构化作对称形式的目的，进而用韦达定理求解参数，此法容易效仿．思考３　双斜率问题，“齐次化”处理．联立ｙ＝ｋｘ＋２，ｘ２＋４ｙ２＝４，{得３ｙ２＋２ｋｘｙ＋（１－ｋ２）ｘ２＝０，即３ｙｘ()２＋２ｋｙｘ()＋（１－ｋ２）＝０，故ｋ１＋ｋ２＝－２ｋ３，　ｋ１ｋ２＝１－ｋ２３，Δ＝４ｋ２－１２（１－ｋ２）＞０，得ｋ２＞３４．因为λ＋１λ＝ｋ２ｋ１＋ｋ１ｋ２＝（ｋ２＋ｋ１）２ｋ１ｋ２－２＝４ｋ２３（１－ｋ２）－２，其中ｋ２＞３４，故λ＋１λ∈－∞，－１０３()∪（２，＋∞），得λ＜－３或λ＞－１３且λ≠１．从题目构思上，将并不对称的斜率比值形式利图５用已有的经验结论转化为对称的斜率形式，进而用韦达定理求解．这种方法精彩且轻巧，也考验学生是否具有足够的经验作为积累，实为高手之选．思考４　构造３个二次曲线，如图５，利用曲线系处理．因为（ｋｘ－ｙ＋２）（ｋｘ－ｙ－２）＋ｔｘ２４＋ｙ２－１()＝μ（ｋ１ｘ－ｙ）（ｋ２ｘ－ｙ），对比系数可得ｔ＝－４，μ＝－３，ｋ２－１＝－３ｋ１ｋ２，－２ｋ＝３（ｋ１＋ｋ２）．又λ＋１λ＝ｋ２ｋ１＋ｋ１ｋ２＝（ｋ２＋ｋ１）２ｋ１ｋ２－２＝４ｋ２３（１－ｋ２）－２，其中ｋ２＞３４，故λ＋１λ∈－∞，－１０３()∪（２，＋∞），得λ＜－３或λ＞－１３且λ≠１．通过对这节课中一道解析几何例题的研究和课后习题的思考，笔者认为本节课成功地通过运算揭示了解析几何变量结构不对称处理的本质，学生受益很大．罗增儒教授将解题分为４个水平，即“模仿、练习、领悟、理解”［１］．的确是这样，数学解题无禁区，数学教学有讲究，我们在解题教学中要重结果，更要重视过程；要重知识，更要重视能力；轻技巧，重通性通法，尊重学生个体的差异，关注学生的个性，有意积累知识方法链，让知识环环相扣、方法链链相连，唯有如此，我们的学生才能真正领悟数学的本质，提升数学核心素养，进而达到思维品质的提升．参　考　文　献［１］　罗增儒．解题分析：分析解题过程的四个方面［Ｊ］．中学数学教学参考，１９９８（６）：１８２０．。

数学的本质

量得有价值，有意义）（量得有价值，有意义）
4 4 17
例五。坐标活动（长宁）
将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴；坐标对应学生，请学生自己看坐标；两坐标都是非负的站起来；两坐标相等的站起来；换一个同学做坐标原点。换一个同学做坐标原点。这样活动，抓住了“坐标” 这样活动，抓住了“坐标”的数学实质。
4
交换后乘积不变。
4 11
例二。三角形内角和问题
姜伯驹院士在政协的提案指出 “三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”

不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。李大潜院士：“老是量，李大潜院士 “老是量，就倒退到尼罗河时代去了” 到尼罗河时代去了”
没有效率的教学理论是走不远的！
4 4 4
第一部分
关于数学本质的把握与呈现
4 4 5
数学教学成功的标志
主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性），包括：数学本质的理解；数学本质的理解；数学知识的掌握；数学知识的掌握；数学能力的形成。数学能力的形成。教育方式是手段（现在的标准：学生活跃？合作？用计算机？探究？……游离于数学本身）奇谈怪论：奇谈怪论：
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例7 方程概念
外在的逻辑形式：
含有未知数的等式叫方程。含有未知数的等式叫方程
内在的数学本质：内在的数学本质
方程是为了寻求未知数，方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。和未知数之间建立的一种等价关系。
“方程”思想的本质在于建立关系为了认识“未知数”先生，必须请已知数 “先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。

意识唤醒：揭示数学本质的有效策略——以苏科版课标教材“合并同类项”教学为例

学实践，谈谈运用意识唤醒的策略，让学生揭示数学本质
的一些做法与思考，意在抛砖引玉，以求教于同行．
一
、
案例回放
（用字母来表示）奠基，让学生在更高层次上思考问题，使
１．建构同类项概念
课堂数学味更浓．问题４你能写出下列式子的结果吗？
“ 合并同类项 ” 的模型，但小学里没有 “ 同类项 ” 的概念．另
一
学生来说是一个具有挑占戈陛的问题．但是通过上述 ■个问题的铺垫，从认知情感和知识结构上，学生应该有能力
单的加减运算，其实它是合并同类项最原始的生活模型．
解决这些问题．从本质上讲，问题４就是问题１的符号化表
的独到之处．事实上本问题可分两类来认识，一类是可以加减的，另一类是不可以加减的．因此，有必要弄清楚什么时候可以加减，什么时候不可以加减，这也有力地回答了在数学中研究同类项的必要性．问题５请你用一句或两句简明的话，概括下列两组式子所反映的特征．
述，唤醒学生在已学过用字母表示数的基础上，还可象的合并同类项的问
题．
字母来表示同类项，即用抽象的思想来认识生活中的
问题２你能解决 “ ３个人＋２个苹果＝？” 这样的问题
“ 物” 、认识数学中的“ 数” ，这是数学学习有别于其他活动
２．辨析同类项概念
认识每一道题中 “ ④” 、 “ 褥
辨析４算一算，若

初中数学新思维和新方法、新视野

初中数学新思维和新方法、新视野一、数学新思维1.探索数学本质：传统上，数学被认为是一门严谨而抽象的学科，但新思维将数学视为一种思维方式，通过思考和解决问题来揭示数学的本质。

2.强调实践性：新思维强调数学的实际应用和实践性，鼓励学生通过实际问题来理解数学概念，提高解决问题的能力。

3.培养合作和创新能力：新思维注重培养学生的合作与创新能力，通过合作解决问题，激发学生思维的多样性和创造力。

4.引入跨学科思维：新思维强调数学与其他学科的交叉融合，促进跨学科思维，使学生能够综合运用不同学科的知识解决问题。

5.重视数学素养：新思维不仅重视学生的数学知识水平，更注重培养学生的数学素养，包括数学思维、数学方法和数学态度等方面。

二、数学新方法1.引入情境教学：情境教学是一种以情境为背景，培养学生解决问题的能力的教学方法，通过模拟实际情境，激发学生的学习兴趣和动力。

2.注重实践操作：数学是一门实践性强的学科，新方法注重学生的实践操作能力，通过实际操作来理解和应用数学知识，提高学生的学习效果。

3.融合数字技术：数字技术在数学教学中的应用越来越广泛，新方法融合数字技术，利用计算机软件和网络资源来辅助教学，提高学生学习的效率和趣味性。

4.强调问题导向：新方法是以问题为导向的教学方法，通过问题引导学生思考和学习，培养学生独立解决问题的能力，促进学生的思维发展。

5.培养创新思维：新方法注重培养学生的创新思维，通过启发式教学和开放性问题，激发学生的创新能力，培养学生独立思考和解决问题的能力。

三、数学新视野1.拓展数学边界：传统上，数学被认为是一门封闭的学科，新视野拓展了数学的边界，关注数学与其他学科的交叉融合和相互影响，促进数学的发展和创新。

2.引入多元文化：新视野注重多元文化的融合，关注不同文化背景下的数学教育和研究，促进全球数学教育的多样性和丰富性。

3.推动可持续发展：新视野将数学与可持续发展理念结合，关注数学在解决环境、社会和经济问题中的作用，推动数学教育与可持续发展目标的结合。

数学的奥秘：本质与思考

数学的奥秘：本质与思考数学是一门神秘而又美妙的学科，它大致可以分为纯数学和应用数学两个方向。

纯数学更注重探究数学本身的规律和性质，而应用数学则将数学的方法和理论应用于实际问题的解决中。

无论是纯数学还是应用数学，数学的奥秘都源自于它的本质和思考的过程。

数学的本质数学是一种语言，一种描述和表达事物之间关系的工具。

它可以被看作是一种思维的工具，是人类用来理解和解释世界的一种形式。

数学存在于我们生活的方方面面，无论是自然界中的形态变化还是人类社会中的规律，数学都有所涉及。

它揭示了一切事物背后的本质规律，尤其是数量和形态之间的关系。

数学的本质可以追溯到古代，早在古埃及和古希腊时期，人们就开始探索各种数学问题。

而如今的数学已经发展成为一个庞大而精密的体系，包括了代数、几何、概率论、数论等多个分支。

数学的本质是逻辑性和严谨性，它要求推理的准确性和精确性，而这正是数学之美的一个方面。

数学的思考数学是一门需要思考的学科，它要求人们以逻辑和推理的方式来解决问题。

数学问题的解决过程通常包括以下几个步骤：问题的分析、模型的建立、定理的推导和解的求取。

这个过程需要借助数学知识和技巧，同时也需要运用创造性思维和逻辑思维。

数学问题的解决不仅需要掌握基本的运算和定理，还需要具备发现问题本质和解决问题的能力。

除了数学问题的解决，数学思维还可以应用于日常生活和其他学科领域。

数学的思考方法可以帮助我们从复杂的问题中找出规律和模式，进而提出解决方案。

在科学研究中，数学的思考可以帮助我们分析数据、建立模型和验证理论，从而推动科学的发展。

在经济和金融领域，数学的思考可以帮助我们分析市场走势、预测投资风险等。

数学的奥秘数学的奥秘在于它揭示了世界的本质规律和深层次的意义。

数学通过抽象和推理，将常人难以理解的现象转化为简洁而具有普遍性的表达形式，这种表达形式在不同领域中都具有广泛的适用性。

数学的奥秘在于它的发现和创造过程，数学家们通过不断的思考和探索，开拓了数学的边界。

深挖教材核心例题充分揭示数学本质——以人教版《数学(选修2-1)》“椭圆”为例

深挖教材核心例题充分揭示数学本质——以人教版《数学(选
修2-1)》“椭圆”为例
步一隽;徐剑
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2016(0)7
【摘要】课堂教学中“如何增强学生对数学本质的认识和理解”其中一个有效途径是做好课堂中的例题教学和习题练习.为此,文章提出一个“核心例题”的概念,通过对核心例题的开发与设计,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.【总页数】3页(P1-3)
【关键词】数学本质;核心例题;椭圆定义
【作者】步一隽;徐剑
【作者单位】杭州第四中学下沙校区,浙江杭州310018;杭州第十四中学凤起校区,浙江杭州310006
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
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3.高中数学人教A版和湘教版选修教材习题比较研究--以选修2-1“圆锥曲线与方
程”为例 [J], 吴木通
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