最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程
初三数学三角形知识点总结归纳
初三数学三角形知识点总结归纳三角形是初中数学中的重要内容，掌握三角形的相关知识是理解和解决相关问题的基础。
在初三数学学习中，我们需要对三角形的性质、分类、定理等内容进行总结和归纳，以便更好地应对考试和日常学习中的问题。
一、三角形的基本概念三角形是由三条边和三个内角组成的图形。
常见的表示方法有三个顶点的大写字母或者使用线段AB、BC、CA表示。
三角形的顶点分别为A、B、C，三边分别为a、b、c，对应的内角为∠A、∠B、∠C。
二、三角形的分类1. 根据边的长度分类：- 等边三角形：三条边的长度相等，对应的内角也相等，记作∆ABC。
- 等腰三角形：两条边的长度相等，对应的两个内角也相等，记作∆ABC。
- 普通三角形：三条边的长度均不相等，对应的内角也均不相等，记作∆ABC。
2. 根据角度的大小分类：- 直角三角形：一个内角为直角（90度角），记作∆ABC。
- 钝角三角形：一个内角大于90度，记作∆ABC。
- 锐角三角形：三个内角均小于90度，记作∆ABC。
三、三角形的性质1. 三角形内角和定理：一个三角形的内角和等于180度。
∠A + ∠B + ∠C = 180度2. 三角形的外角和定理：一个三角形的外角和等于无关角的内角和或补角。
∠D = ∠A + ∠B 或∠D = 180度 - ∠C3. 三角形的边与角关系：- 三角形两边之和大于第三边。
- 三角形两边之差小于第三边。
- 三角形内角的关系：最大的内角对应最长的边，最小的内角对应最短的边。
四、常见的三角形定理1. 直角三角形的性质：- 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
c^2 = a^2 + b^2- 余弦定理：直角三角形中，直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方。
a^2 = c^2 - b^2 或 b^2 = c^2 - a^22. 等腰三角形的性质：- 等腰三角形的底角相等。
∠A = ∠C- 等腰三角形的高度和斜边关系：等腰三角形的高度是斜边平分线的垂直平分线。
三角形的知识点归纳总结
三角形的知识点归纳总结三角形是平面几何中最基本的图形之一，它有着丰富的性质和知识点。
下面将对三角形的知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的边由三个非共线的点确定。
2. 三角形的元素：三角形有三条边和三个顶点，三角形的三个内角和为180度。
3. 三角形的分类：根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等多种类型。
二、边长关系1. 三角形边长的关系：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 等边三角形：等边三角形的三边长度相等。
3. 等腰三角形：等腰三角形的两边长度相等，两个底角也相等。
4. 直角三角形：直角三角形有一个内角是90度，满足勾股定理。
5. 锐角三角形：锐角三角形的三个内角都小于90度。
6. 钝角三角形：钝角三角形的一个内角大于90度。
三、角度关系1. 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180度。
2. 等角三角形：等角三角形的三个内角相等。
3. 外角和定理：三角形的一个内角的外角和等于180度。
4. 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角都是锐角，且最小的内角对应最小的边。
5. 钝角三角形的性质：钝角三角形的一个内角是钝角，且最大的内角对应最长的边。
四、重要定理1. 三角形的中线定理：三角形的三条中线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等，且等于中线的一半。
2. 三角形的高线定理：三角形的三条高线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等。
3. 三角形的角平分线定理：三角形的三条角平分线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等。
五、面积公式1. 三角形面积的计算：三角形的面积可以使用海伦公式或底边高公式进行计算。
2. 海伦公式：设三角形的边长为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S等于sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3. 底边高公式：设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S等于1/2 * b * h。
中考三角形知识点复习归纳总结
D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.⒉ 三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形21D C B A D CB A （2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．⒋ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.5 三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.图3 图4图5图6图7 图8三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
初中三角形知识点总结(最新整理)
图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
4、三角形的面积三角形的面积= 1 ×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“S A S”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“A S A”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AA S”）。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“H L”）3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
初三三角形的知识点归纳
初三三角形的知识点归纳一、三角形的定义和性质三角形是由三条线段组成的闭合图形，它有许多重要的性质和定义。
以下是三角形的一些基本知识点：1.三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的边界由三个顶点连接而成。
2.三角形的分类根据边的长度和角的大小，三角形可以分为以下几类：等边三角形、等腰三角形、直角三角形、一般三角形等。
3.三角形内角和外角的性质三角形的内角和为180度，外角与其对应的内角之和也为180度。
4.三角形的高和重心三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，重心是三条中线的交点，它将三角形分成三个面积相等的小三角形。
二、三角形的重要定理和公式三角形有许多重要的定理和公式，它们有助于我们求解三角形的各种问题。
以下是一些常用的定理和公式：1.三角形的面积公式三角形的面积可以用底边和高、两边和夹角的正弦、余弦、正切等函数关系来计算。
2.三角形的相似定理如果两个三角形的对应角相等，那么它们的对应边的比例也相等，这个性质被称为三角形的相似定理。
3.直角三角形的勾股定理直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，这个定理被称为勾股定理。
4.三角形的角平分线定理三角形中，角的平分线从顶点出发，平分对应角，并且与对边相交于一点。
5.三角形的中线定理三角形的三条中线交于一点，且这个交点到三个顶点的距离等于中线长度的二分之一。
三、三角形的应用三角形的知识点在实际中有许多应用。
以下是一些常见的三角形应用场景：1.三角测量三角形的知识在测量中有很多应用，比如利用三角形的正弦、余弦、正切函数求解难以测量的距离或高度。
2.建筑设计在建筑设计中，三角形的知识可以帮助设计师计算建筑物的高度、角度和斜率等。
3.地理测量地理测量中经常使用三角形的知识来计算地球上两点之间的距离、方位角等。
4.卫星定位卫星定位系统如G PS利用三角测量的原理来确定地理位置和导航方向。
结语初三的三角形知识点归纳了三角形的定义和性质、重要定理和公式以及应用场景。
初中数学知识归纳三角形的性质与定理
初中数学知识归纳三角形的性质与定理三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它具有丰富的性质与定理。
在本文中，我们将对初中数学中与三角形有关的性质与定理进行归纳总结。
一、三角形的基本性质1. 三角形的定义：一个平面内由三条不在同一直线上的线段所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的元素：三角形有三个顶点、三条边和三个内角。
3. 三角形的两个重要角度和角度和：三角形的角度和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
4. 三角形的边对应角：三角形的边与其对应角有对应关系，即边a对应∠A，边b对应∠B，边c对应∠C。
二、三角形的分类1. 三角形的按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等，如三边长都是5cm的三角形。
b. 等腰三角形：两条边的长度相等，如底边长度为4cm，两腰边长度都是3cm的三角形。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 三角形的按角度分类：b. 直角三角形：一个内角是90度的三角形。
c. 钝角三角形：一个内角是钝角的三角形。
三、三角形的诱导性质与定理1. 等腰三角形的性质与定理：a. 等腰三角形的底边上的两个角相等。
b. 等腰三角形的两条腰相等。
c. 等腰三角形的两条腰上的两个角相等。
d. 等腰三角形的底角和顶角互补，即底角 + 顶角 = 180°。
2. 直角三角形的性质与定理：a. 直角三角形中，直角的两条直角边相等。
b. 直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和，即c² = a² + b²。
c. 两个边长相等的直角三角形，两个锐角也相等。
3. 等边三角形的性质与定理：a. 等边三角形的三个角都是60度。
b. 等边三角形的三条边都相等。
4. 锐角三角形的性质与定理：b. 锐角三角形中，最长的一边是斜边，最长的一边的对角是最大的角。
5. 外角定理：三角形的一个外角等于其它两个内角的和。
6. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。
(完整版)初三三角形的知识点总结
(完整版)初三三角形的知识点总结初三三角形的知识点总结
本文将为大家总结初三阶段研究的三角形的知识点，帮助大家加深对该概念的理解。
1. 三角形的定义
三角形是由三条线段组成的图形，其中每个线段都与其他两个线段相交在一个顶点。
三角形有各种类型，包括等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 三角形的分类
- 等边三角形：三条边的长度都相等。
- 等腰三角形：两条边的长度相等。
- 直角三角形：一个角是直角（90度角）。
- 钝角三角形：一个角大于90度。
- 锐角三角形：三个角都小于90度。
3. 三角形的性质
- 三角形内角和等于180度，即三个角的度数加起来为180度。
- 等边三角形的三个角都是60度。
- 等腰三角形的底边上的两个角相等。
- 直角三角形的一个角是90度。
- 两个角相等的三角形一定是等腰三角形。
- 两个边长相等的三角形一定是等边三角形。
4. 三角形的计算
- 三角形的周长等于三条边长之和。
- 使用勾股定理可计算直角三角形的斜边长。
- 使用正弦定理和余弦定理可计算任意三角形的边长和角度。
5. 三角形的应用
三角形的概念在很多实际问题中都有广泛应用，例如测量建筑
物的高度、计算地形的起伏、解决航海和航空中的导航问题等。
总结：初三三角形的知识点包括三角形的定义、分类、性质、计算方法和应用。
理解三角形的概念对于解决实际问题和进一步学习数学都是重要的基础。
初中数学三角形知识点归纳大全
三角形是初中数学中的重要知识点，掌握好三角形知识对于学习初中数学具有重要意义。
下面将对初中数学中的三角形知识点进行全面归纳，以帮助学生对三角形有更深入的理解和掌握。
一、三角形的定义1. 三角形的定义三角形是由三条边和三个顶点组成的一个图形。
2. 三角形的性质（1）三角形的内角和为180度。
（2）任意一条边的长度都小于其它两条边的长度之和。
（3）任意两边之和大于第三边。
二、三角形的分类1. 根据角度分类（1）锐角三角形：三个内角都小于90度。
（2）直角三角形：有一个内角为90度。
（3）钝角三角形：有一个内角大于90度。
2. 根据边长分类（1）等腰三角形：有两条边相等。
（2）等边三角形：三条边都相等。
（3）一般三角形：三条边都不相等。
三、三角形的性质1. 三角形内角和公式三角形的内角和公式为：A + B + C = 180°，其中A、B、C分别代表三角形的三个内角。
2. 三角形的外角和三角形的外角和等于360度，即一个外角等于两个相对内角的和。
3. 三角形的重心、外心、内心和垂心（1）重心：三条中线的交点。
（2）外心：三条中垂线的交点。
（3）内心：三条角平分线的交点。
（4）垂心：三条高的交点。
4. 三角形的中线、中位线、高线（1）中线：一个三角形中连接一个顶点和中点的线段。
（2）中位线：一个三角形中连接两个顶点的中点的线段。
（3）高线：一个三角形中从一个顶点到对边的垂线段。
四、三角形的相似1. 三角形的相似性质两个三角形中，如果它们的三个内角相等，则它们是相似三角形。
相似三角形的对应边长成比例。
2. 调用相似三角形解决问题在实际问题中，我们经常可以利用相似三角形的性质来解决无法直接测量的长度或距离。
五、勾股定理1. 勾股定理的内容直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边之和的平方。
2. 应用勾股定理通过勾股定理，可以解决许多关于直角三角形的问题。
六、三角函数1. 正弦函数、余弦函数、正切函数（1）正弦函数：在直角三角形中，某个角的正弦等于对边与斜边的比值。
初三数学几何知识点归纳
初三数学几何知识点归纳一、三角形1. 三角形的基本概念- 三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成。
- 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
例如，若三角形三边为a、b、c，则a + b>c，a - b<c。
2. 三角形的分类- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形中斜边最长，两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理a^2+b^2=c^2，其中c为斜边，a、b为两直角边）。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形三线合一（底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合）。
- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形三个角都是60^∘，等边三角形是特殊的等腰三角形。
3. 三角形的内角和与外角- 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180^∘。
- 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
二、四边形1. 平行四边形- 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
- 性质：- 平行四边形的对边平行且相等。
- 平行四边形的对角相等，邻角互补。
- 平行四边形的对角线互相平分。
- 判定：- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2. 矩形- 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
- 性质：- 矩形具有平行四边形的所有性质。
解三角形知识点归纳总结
解三角形知识点归纳总结一、基本概念三角形：由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形的元素：三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c。
二、三角形的分类按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
锐角三角形：三个内角都小于90度。
直角三角形：有一个内角等于90度。
钝角三角形：有一个内角大于90度。
按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
等腰三角形：两边相等的三角形，相等的两边称为腰，另一边称为底边。
等边三角形：三边都相等的等腰三角形，也是特殊的等腰三角形。
三、三角形的性质三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。
四、解三角形的常用定理和公式正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中R是三角形的外接圆半径。
余弦定理：c² = a² + b² - 2ab·cosC（以及针对其他角的类似公式）。
面积公式：S = 1/2 * bc * sinA（以及针对其他角的类似公式），或者S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]，其中p是半周长，即p = (a + b + c) / 2。
五、解三角形的过程解三角形通常涉及已知三角形的几个元素（如两个角和一条边，或三条边等），然后利用上述定理和公式求出其他未知元素的过程。
六、应用解三角形在实际问题中有广泛应用，如在航海、测量、地理、工程等领域中，经常需要利用三角形的性质进行角度和距离的计算。
通过学习和掌握这些知识点，可以更深入地理解三角形的性质和应用，为解决实际问题提供有力工具。
同时，解三角形也是培养逻辑思维和空间想象能力的重要途径。
初三三角形的知识点总结
初三三角形的知识点总结1. 三角形的定义和表示方法- 三角形是由三条线段组成的图形，三条线段相交的点称为三角形的顶点。
- 三角形可以用字母表示，如ABC。
2. 三角形的分类- 根据边长：等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
- 根据角度：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形。
3. 三角形的性质- 三角形的内角和为180°。
- 等边三角形的三个角都是60°。
- 等腰三角形的底边的等角对应的底边是相等的。
- 直角三角形的两个锐角相加为90°。
4. 三角形的重要定理- 余弦定理：a²=b²+c²-2bc·cosA，b²=a²+c²-2ac·cosB，c²=a²+b²-2ab·cosC。
- 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC。
- 边角关系：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（半径）。
5. 三角形的面积计算公式- 面积公式1：S=1/2·b·h，其中b为底边长，h为高。
- 面积公式2：S=1/2·a·b·sinC，其中a，b为两边长，C为两边夹角。
6. 三角形的应用- 三角形的性质可以应用于解决实际问题，如测量高楼、桥梁等的高度。
- 三角形的定理可以用于解决角度和边长的求解问题。
7. 练题1. 已知三角形ABC中，AB=8cm，AC=10cm，BC=6cm，求三角形的面积。
2. 若一个三角形的两条边长分别为5cm和7cm，夹角为60°，求第三条边的长度。
3. 若一个三角形的三个角度分别为30°、60°和90°，其最长边为5cm，求其它两边的长度。
在解答这些问题时，可以运用前面所学到的三角形的知识点和公式。
初三三角形知识点总结
初三三角形知识点总结1. 三角形的基本概念：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连组成的平面图形。
类型：根据内角的大小分为锐角三角形（三个内角都小于90度）、直角三角形（有一个内角为90度）、钝角三角形（有一个内角大于90度）；根据边的关系可分为等腰三角形（至少有两边相等）、等边三角形（三边都相等且三个内角都为60度）、不等边三角形。
2. 三角形的元素及性质：边：三角形任何两边之和大于第三边（三角形不等式）。
角：三角形内角和为180度。
高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，这条垂线的长度就是该顶点对应的高。
中线：连接三角形一个顶点与它所对边中点的线段。
角平分线：将一个角平分为两个相等角的射线。
垂心：三角形三条高的交点。
重心：三角形三条中线的交点。
外心：三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
3. 特殊三角形性质：等腰三角形：两腰相等、底边上的高、中线、角平分线重合（三线合一）。
等边三角形：除了具有等腰三角形的所有性质外，所有角都是60度，所有边都相等，每条高同时也是中线和角平分线。
4. 三角形相似与全等：相似三角形：对应边成比例，对应角相等。
相似三角形的比例关系可以通过对应边长比得出，并满足面积比等于对应边长比的平方。
全等三角形：完全相同的两个三角形，它们的对应边相等，对应角也相等。
证明全等三角形通常使用SSS（三边对应相等）、SAS（两边夹一角对应相等）、ASA（两角夹一边对应相等）或AAS（两角及其中一角的对边对应相等）法则。
5. 勾股定理及其逆定理：在直角三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方。
若三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
6. 三角函数基础：初步接触正弦、余弦、正切等三角函数的概念，以及在直角三角形中的定义。
中考数学三角形知识点总结
中考数学三角形知识点总结一、三角形的定义和性质1.三角形是由三条边和三个内角组成的封闭图形。
2.三角形的内角和等于180度。
3.三条边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
二、三角形的分类1.根据角度分类：(1)锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。
(2)直角三角形：有一个内角为直角的三角形。
(3)钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。
2.根据边长分类：(1)等边三角形：三条边长度相等的三角形。
(2)等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。
(3)普通三角形：三条边长度都不相等的三角形。
三、三角形的重要性质1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。
2.三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于其两个不相邻内角。
3.三角形的角平分线：三角形的内角平分线上的点到三条边的距离相等。
4.三角形的中线：三角形的中线连接相邻顶点的中点，长度相等。
5.三角形的高：三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。
6.三角形的面积公式：S=1/2*底边长*高。
四、三角形的相似性质1.相似三角形的性质：(1)对应角相等：相似三角形的对应角相等。
(2)对应边成比例：相似三角形的对应边成比例。
(3)边角对应：相似三角形的角与边成比例。
2.判定相似三角形的定理：(1)AA相似判定定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们相似。
(2)SAS相似判定定理：如果两个三角形的一个角相等，并且两个对应边的比值相等，则它们相似。
(3)SSS相似判定定理：如果两个三角形的三条边的比值相等，则它们相似。
五、三角形的勾股定理1.勾股定理的形式：直角三角形中，较长的斜边的平方等于两直角边的平方和。
(1)a²=b²+c²(2)b²=a²-c²(3)c²=a²-b²2.利用勾股定理求三角形的边长：(1)已知直角边和斜边，可以求另一个直角边的长度。
(2)已知两个直角边的长度，可以求斜边的长度。
三角形九年级总复习知识点
三角形九年级总复习知识点三角形是我们数学学科中的一个重要概念，它在几何图形的研究中起着重要的作用。
本文将总结九年级的三角形知识点，帮助同学们进行复习。
1. 三角形的基本定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，每条线段称为三角形的边。
根据三条边的长度关系，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
- 等边三角形的三条边长度相等。
- 等腰三角形的两条边长度相等。
- 普通三角形的三条边长度都不相等。
2. 三角形的角度性质三角形的三个内角之和为180度。
同时，我们还可以根据角的大小将三角形进行分类。
- 锐角三角形：三个内角都小于90度。
- 直角三角形：一个内角为90度。
- 钝角三角形：三个内角中有一个大于90度。
3. 三角形的面积计算计算三角形的面积是我们经常需要处理的问题，其中最常用的方法是使用海伦公式：面积= √[p × (p - a) × (p - b) × (p - c)]其中，p是三角形的半周长，a、b、c分别是三角形的三条边的长度。
4. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的边与边之比保持一致，角与角之比也相等。
相似三角形的性质在实际问题的解决中具有重要的作用。
5. 三角形的勾股定理勾股定理是三角形中一个重要的定理，它描述了直角三角形中直角边的关系。
勾股定理表达式为：c² = a² + b²其中，a和b是直角三角形的两条直角边的长度，c是斜边的长度。
6. 三角形的角平分线与垂直平分线三角形的角平分线是指将三角形的一个角分成两个相等的角的线段。
垂直平分线则是指将三角形一边的中点与对边的垂直平分线的交点。
这些概念在三角形中有很多应用，例如定位角平分线的交点可以作为三角形内心，垂直平分线的交点可以作为三角形的垂心。
7. 应用题示例在实际问题中，我们常常需要运用三角形的知识进行解决。
下面是一个应用题的示例：甲、乙两位朋友分别站在一座塔的两端，他们之间的距离是200米，塔的高度为150米。
九年级解三角形知识点总结
九年级解三角形知识点总结解三角形是初中数学几何学的一项重要内容，也是几何学的基础知识之一。
通过解三角形的过程，我们可以得到三角形各个内角的度数、边长关系等重要信息。
在本文中，将对九年级解三角形的知识点进行总结和归纳。
一、三角形的内角和公式任意一个三角形的内角和等于180度。
这是我们解三角形的基本前提。
当我们已知一个三角形的两个内角的度数时，可以通过这个公式来求解第三个内角的度数。
例如，如果一个三角形的两个内角分别是40度和70度，那么第三个内角的度数可以通过180度减去已知两个内角的度数之和得到，即180度-40度-70度=70度。
二、三角形的角平分线角平分线是指从一个三角形内角的顶点出发，将角分为两个相等的角的线段。
在解三角形过程中，我们常常遇到需要求角平分线的情况。
利用三角形角平分线的性质，我们可以得到一些重要的结论。
例如，角平分线与对边所形成的两个小三角形，具有相似的性质，即两个小三角形的对边比相等，这是我们解三角形过程中常常利用的一个重要性质。
三、三角形的边长关系在解三角形的过程中，我们常常需要利用已知条件，通过三角形的边长关系来求解其他未知边长。
同样是利用角平分线的性质，我们可以得到一些重要的边长比例。
例如，如果已知一个三角形的一个角平分线将对边分成了p：q的两段，那么这两段与三角形的另外两个边的比例也是p：q。
根据这一关系，我们可以求解其他未知边长。
四、三角形的相似在解三角形的过程中，我们也经常利用三角形的相似性质来求解。
两个三角形相似的条件是：对应的角相等，对应的边比例相等。
利用三角形的相似性质，我们可以得到一些重要的结论。
例如，如果两个三角形相似，那么它们的对应边长比例相等。
这个性质在解三角形的过程中经常被应用。
五、勾股定理在解三角形的过程中，我们也经常用到勾股定理。
勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它为直角三角形的边长关系提供了一个重要的数学依据。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
2023年九年级中考数学复习讲义 三角形及其全等
2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一： 三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二： 三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四： 垂直平分线与角平分线的性质 【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五： 全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是 ．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上． （1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六： 三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥； （2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。
中考复习初中数学中的三角形知识点
中考复习初中数学中的三角形知识点三角形是初中数学中一个重要的几何形状，对于中考来说，掌握三角形的相关知识点是非常重要的。
在本文中，我们将从三角形的定义、分类、性质以及相关定理等方面，对中考复习中的三角形知识点进行整理和总结。
一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的闭合图形，这三条线段称为三角形的边，而将边两两相接的交点称为三角形的顶点。
根据三角形的边长的关系，三角形可以分为以下几种特殊情况：1. 等边三角形：三条边的长度相等的三角形称为等边三角形。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等的三角形称为等腰三角形。
3. 直角三角形：其中一个角度为90°的三角形称为直角三角形。
4. 钝角三角形：有一个角度大于90°的三角形称为钝角三角形。
5. 锐角三角形：没有角度大于90°的三角形称为锐角三角形。
二、三角形的性质1. 角度性质：a) 三角形的内角和为180°。
即三个内角度数的和等于180°。
b) 直角三角形中，一直角（90°）与一个锐角的和等于180°。
c) 三角形的三个内角必有一个大于90°。
2. 边长性质：a) 三角形的任意两边之和大于第三边。
即对于三角形的三边a、b、c来说，有a+b>c，a+c>b，b+c>a。
b) 三角形两边之差小于第三边。
即对于三角形的三边a、b、c来说，有|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a。
三、三角形的相关定理1. 直角三角形的性质：a) 勾股定理：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则成立a²+b²=c²。
b) 斜边上的中线等于直角边的一半。
即对于直角三角形的斜边c来说，斜边上的中线等于直角边的一半。
2. 等腰三角形的性质：a) 顶角定理：等腰三角形的底边上的两个角度相等。
b) 底边上的中线等于底边的一半。
解三角形最全知识点总结
解三角形最全知识点总结一、基本概念1. 三角形的定义三角形是由三条边和三个角组成的平面几何图形。
它是三边相交于三个顶点而成的基本图形，常用符号Δ表示。
2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形等5种类型。
3. 三角形的元素三角形的元素包括三边、三角、三个顶点、三个内角和三个外角等。
4. 三角形的性质三角形中的基本性质有：两边之和大于第三边、两角之和大于第三角、外角等于两个不相邻内角之和等。
二、性质定理1. 三角形内角和定理三角形内角和定理是几何学中的经典定理之一，它指出任意三角形内角的和等于180°。
2. 三角形外角和定理三角形的外角和定理是指三角形外角等于它对应内角的和，即三角形的一个外角等于与它相对的两个内角之和。
3. 直角三角形的性质直角三角形是一个内含有一个直角的三角形，它的两条边相对于直角的边长满足勾股定理。
4. 等腰三角形的性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形，它的两条边角度相等，即底角相等。
5. 等边三角形的性质等边三角形是指三条边和三个角都相等的三角形，它是所有内角相等的三角形。
6. 中位线定理在三角形中，连接边上中点的直线称为中位线，中位线定理指出中位线的中点构成的线段等于底边的一半。
7. 外心定理外心定理是指三角形外接圆的圆心，外接圆定理指出外心是三角形三边的平分线的交点。
8. 内切圆定理内切圆定理是指三角形内切圆和三角形三边接触点构成的线段等于三角形的半周长。
9. 海伦公式海伦公式是指用三角形三边的长度来求三角形面积的公式，其中s为半周长。
10. 正弦定理正弦定理是三角形中用角的正弦比例来求边长的公式，可表示为a/sinA=b/sinB=c/sinC。
11. 余弦定理余弦定理是三角形中用边长和角度的余弦比例来求边长的公式，可表示为a²=b²+c²-2bc*cosA。
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三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。
它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。
另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。
三角形中有三条边，三个角，三个顶点。
三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。
而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。
（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。
在以后我们可以给出具体证明。
今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形的按边分类三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。
所以三角形按的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例。
判定三条边能否构成三角形的依据△ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。
可知：△③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a△定理：三角形任意两边的和大于第三边。
△由②、③得b―a＜c，且b―a＞―c△故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。
从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边。
上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。
另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。
如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。
判定三条边能否构成三角形对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。
这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。
反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。
在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。
同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。
证明三角形的内角和定理除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路：方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，运用平行线的性质，可得∠B＝∠2，∠C＝∠1，从而证得三角形的内角和等于平角∠DAE。
方法2 如图，在△ABC的边BC上任取一点D，过D作DE‖AB，DF‖AC，分别交AC、AB于E、F，再运用平行线的性质可证得△ABC的内角和等于平角∠BDC。
三角形按角分类根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角。
三角形按角可分类如下：根据三角形的内角和定理可有如下推论：推论1 直角三角形的两个锐角互余。
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
同时我们还很容易得到如下几条结论：（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。
（2）一个三角形至少有两个内角是锐角。
（3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。
(4) 三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。
全等三角形的性质全等三角形的两个基本性质（1）全等三角形的对应边相等。
（2）全等三角形的对应角相等。
确定两个全等三角形的对应边和对应角怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角？其方法主要可归结为：（1）若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。
（2）若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角。
（3）两个对应角所夹的边是对应边。
（4）两个对应边所夹的角是对应角。
由全等三角形的定义判定三角形全等由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等，需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中，利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。
判定两个三角形全等的边、角、边公理内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（即SAS）。
这个判定方法是以公理形式给出的，我们可以通过实践操作去验证它，但验证不等于证明，这点要区分开来。
公理中的题设条件是三个元素：边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。
不能理解成两边和其中一个角相等。
否则，这两个三角形就不一定全等。
例如在△ABC和△A′B′C′中，如右图，AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=A′C′，但是△ABC不全等于△A′B′C′。
又如，右图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。
原因就在于两边和一角对应相等不是公理中所要求的两边和这两条边的夹角对应相等的条件。
说明：从以上两例可以看出，SAS≠SSA。
判定两个三角形全等的第二个公理内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）。
这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。
公理强调了两角和这两角的夹边对应相等，这里实质上包含了一个顺序关系。
千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边，而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。
如右图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，但这两个三角形显然不全等。
原因就是没有注意公理中“对应”二字。
公理一中的边、角、边，其顺序是不能改变的，即SAS不能改为SSA或ASS。
而ASA公理却能改变其顺序，可改变为AAS或SAA，但两个三角形之间的“对应”二字不能变。
同时这个公理反映出有两个角对应相等，实质上是在两个三角形中有三个角对应相等，故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了。
由公理二可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等判定两个三角形全等的边、边、边公理公理：三条边对应相等的两个三角形全等（即边、边、边公理）。
边、边、边公理在判定两个三角形全等时，其对应边就是相等的两条边。
这个公理告诉我们，只要一个三角形的三边长度确定了，则这个三角形的形状就完全确定了。
这就是三角形的稳定性。
判定两个三角形全等通过以上三个公理的学习，可以知道，在判定两个三角形全等时，无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等，而只需要其中三对条件。
三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。
无非有如下情况：（1）三边对应相等。
（2）两边和一角对应相等。
（3）一边和两角对应相等。
（4）三角对应相等。
HL公理我们知道，满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。
但是，对于两个直角三角形来说，这个结论却一定成立。
斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为HL）。
这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等，其本身包含了一个直角相等。
这种边、边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。
由于直角三角形是一种特殊的三角形，所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。
角平分线的性质定理和逆定理性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。
用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理性质定理：∵P在∠AOB的平分线上PD⊥OA，PE⊥OB∴PD＝PE逆定理：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上。
角平分线定义如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形角平分线性质三角形三条平分线交于一点，并且交点到三边距离相等。
互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
原命题和逆命题的真假性每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题，原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真。
互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。
每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理尺规作图限定用直尺（没有刻度）和圆规的作图方法叫尺规作图。
基本作图最基本最常见的尺规作图称之为基本作图，主要有以下几种：（1）作一个角等于已知角；（2）平分已知角；（3）过一点作已知直线的垂线；（4）作已知线段的垂直平分线；（5）过直线外一点作已知直线的平行线。
有关概念有两边相等的三角形称为等腰三角形。
三边都相等的三角形称为等边三角形，又称为正三角形。
有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形。
等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。
等腰三角形的有关概念等腰三角形中，相等的两边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角称为顶角，底边上的两个角称为底角。
等腰三角形的主要性质两底角相等。
如图，ΔABC中AB＝AC，取BC中点D，连结AD，容易证明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。
如图，ΔABC中为等边三角形，那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，由CA＝CB，得∠A＝∠B，于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°如图，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，那么由ΔABD≌ΔACD，可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，但∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，从而AD⊥BC，由此又可得到另外两个重要推论。
两个重要推论等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边；等边三角形各内角相等，且都等于60°。
等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法三角形中，相等的边所对的角相等。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一。
等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边。