角平分线定理

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平面几何中的角平分线定理

平面几何中的角平分线定理平面几何是数学中的一个分支，研究平面上的点、线、角及其之间的关系。其中一个重要的定理是角平分线定理。本文将详细介绍角平分线定理的定义、性质和应用，并通过例题演示其具体运用。

1. 角平分线定理的定义

角平分线定理是指在一个三角形中，一条线段将一个角分成两个相等的角，这条线段称为该角的角平分线。具体而言：

定理1：在一个三角形ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，则∠BAD ≈ ∠CAD。

这一定理是平面几何中的基本定理之一，也是余弦定理和角平分线法则的基础。

2. 角平分线定理的性质

角平分线定理具有以下性质：

性质1：角平分线所分的两个角相等。

由角平分线定义可知，一条角平分线将一个角分为两个相等的角。即∠BAD ≈ ∠CAD。

性质2：角平分线在三角形内部。

角平分线一般情况下与三角形的内部有交点。若角平分线与三角形的某边重合，则该边上的点也属于角平分线，但不会进入三角形的内部。

性质3：角平分线上的点到角的两边距离相等。

对于角平分线上的任意一点D，它到两条角的边AB、AC的距离相等，即AD = AD。

3. 角平分线定理的应用

角平分线定理在解决许多与角有关的几何问题时起到重要作用。以下是两个典型的应用示例：

应用1：证明三角形中的角平分线相交于一点

对于任意一个三角形ABC，分别取∠ABC和∠ACB的角平分线，设两条角平分线的交点为D。根据角平分线定理可知，∠BAD ≈

∠CAD，且∠CBD ≈ ∠ACD。根据角度相加定理，有∠BAD + ∠CBD = ∠BAC + ∠ACB = 180°。因此∠BAD + ∠CBD = 180°，说明∠BDC 为一条直线。故角平分线相交于一点D。

角平分线定理

角平分线定理是在三角形中，角平分线把一个角分成两个相等的角，同时把这个角的对边也按照相同的比例分成两个线段的定理。

具体表述为：三角形ABC中，如果从顶点A引一条线段AD，并且使其和边BC的交点为点D，那么这条线段AD就是角BAC的平分线。而且线段BD：DC = AB：AC。

下面将逐步证明这个定理。

证明：假设有三角形ABC，从顶点A引一条线段AD，并且使其和边BC的交点为点D。

首先证明角BAD等于角CAD。

因为AD是角BAC的平分线，所以角BAD等于角CAD（定义）。

接下来证明线段BD与线段CD的比等于线段AB与线段AC的比。

由正反比例进一步得证：

BD/DC=AB/AC

在两边同时乘上DC，得到BD = (AB/AC)×DC

使用角平分线定理，我们可以求解由诸如角度和线段比例之类的相关信息。

比如：如果我们知道一个角的平分线及其两个相邻的线段，那么我们就可以计算出剩下的三角形的角度和线段长度。

角角平分线定理

定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。

三角形的一个角（内角）的角平分线缴其对边的点所连成的线段，叫作这个三角形的一条角平分线。

定理1：

角平分线上的的边这个角两边的距离成正比。

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的.角平分线上。

定理2：

三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

逆定理：

如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

三角形的角平分线定理

三角形的角平分线定理是数学中的一个基本定理，可以用于解决与

角平分线相关的问题。本文将介绍角平分线的定义、角平分线定理以

及相关的推论和应用。

一、角平分线的定义

在一个三角形ABC中，如果从顶点A引出一条射线AD，使其把

∠BAC分成两个相等的角，则称AD为∠BAC的角平分线。

二、角平分线定理

角平分线定理指出，如果在一个三角形的两个角上分别作角平分线，那么这两条平分线所交的点与三角形的另外一条边所在的点连成的线

段长度相等。

具体来说，假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的平分线交

边BC于点D和点E，那么有以下结论：

1. BD/DC = BA/AC （角平分线定理的一个重要推论）

由角平分线定理推论可知，如果AD是∠BAC的角平分线，那么

BD/DC = BA/AC。这是因为根据相似三角形的性质，通过角平分线定

理的证明，可以得出BD/DC = BA/AC。

2. ∠BAD = ∠CAD

这是角平分线定义的要求，即角BAD和角CAD被角平分线平分，

所以它们本身相等。

三、角平分线定理的应用

角平分线定理在解决各种与角平分线相关的问题中起到重要的作用。以下是一些常见的应用场景：

1. 求角平分线的长度

已知三角形的两边长和夹角时，可以利用角平分线定理求出角平分

线的长度。根据角平分线定理，只需要用已知边长之比即可求得平分

线长度的比值。

2. 证明两个三角形相似

当两个三角形的两个对应角被角平分线分成相等的两部分时，可以

利用角平分线定理证明这两个三角形相似。根据角平分线定理的推论

可知，当两条角平分线分别通过两个三角形的两个对应角时，这两个

三角形的角平分线的定理

三角形的角平分线的定理是几何学中一个重要的定理，它描述了一个角的平分线将该角分成两个相等的角。本文将详细介绍这个定理的定义、证明以及一些相关的性质和应用。

一、定理的定义

三角形的角平分线的定理是说：在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。

二、定理的证明

为了证明这个定理，我们可以使用一些几何性质和定理。首先，我们需要了解一些三角形的基本性质。

1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。

2. 三角形外角和定理：三角形的一个内角和与其相邻的一个外角的和等于180度。

基于以上性质，我们可以进行如下证明：

设在三角形ABC中，AD是角A的平分线，D位于BC上。我们需要证明角BAD等于角DAC。

我们连接AC，然后延长AD，使其与BC相交于点E。根据三角形内角和定理，角DAC + 角CAD = 角CAD + 角EAD = 180度。因此，

我们得到角DAC = 角EAD。

接下来，我们需要证明角BAD = 角EAD。

根据三角形外角和定理，角BAD + 角EAD = 角BAC。又因为角DAC = 角EAD，所以角BAD + 角DAC = 角BAC。由于角DAC = 角BAD + 角CAD，我们可以得到角BAD + 角BAD + 角CAD = 角BAC。化简可得2角BAD + 角CAD = 角BAC。

又因为角CAD = 角DAC，所以2角BAD + 角DAC = 角BAC。

由于角BAC + 角BAD + 角DAC = 180度（三角形内角和定理），我们可以得到2角BAD + 角DAC + 角DAC = 180度。化简可得2角BAD + 2角DAC = 180度，即角BAD + 角DAC = 90度。

三角形角平分线的全部定理

内角平分线定理指出，三角形内一角的平分线所分对边成比例。换句话说，如果在三角形内部的一个角上作平分线，那么这条平分

线将三角形的对边分成的两部分的比例相等。

外角平分线定理指出，三角形外一角的平分线所分对边成比例。换句话说，如果在三角形外部的一个角上作平分线，那么这条平分

线将三角形的对边分成的两部分的比例相等。

角平分线定理指出，如果在三角形的一个内角上作平分线，那

么这条平分线将这个内角分成两个相等的角。

这些定理在解决三角形内角平分线、外角平分线和角平分线的

相关问题时非常有用。它们可以被用来证明三角形内部或外部的角

平分线所分对边的比例关系，或者用来证明两个角相等的问题。这

些定理在几何学中有着广泛的应用，并且对于理解和解决三角形相

关的问题非常重要。

角平分线的定理

角平分线是数学中的一种概念，又称为“垂直”或“弓箭折线”。它可以用来表示两个同心圆圆心之间的连线。直角平分线的定理认为，给定任意一个直角，该直角的对角线可以被垂直分割成两条相等的折线，称为“角平分线”。

在几何学中，角平分线最重要的作用是可以将给定的任何直角分成两个相等的角。这意味着，当绘制一个直角时，将绘制的对角线以等分的折线方式将整个直角分割，每一条折线都会落在与直角有着相同的角度的位置。

角平分线有多种用途，其中最重要的应用是可以用来计算复杂图形的位置，例如矩形，七边形，五边形等。比如，假设一个矩形要被绘制出来，我们可以通过使用角平分线来计算矩形的对角线的位置，从而绘制出带有最佳对称性的矩形。

另外，角平分线还可以被用来研究同心圆的性质。假设有两个同心圆在一起，通过使用角平分线，就可以计算出两个同心圆圆心之间的距离，而且它的位置也确定了，这样就可以方便地绘制出同心圆。

在三角形中，角平分线定理也被广泛使用。比如，它可以用来确定三角形的外心的位置，同时也可以确定三角形的内接圆的位置。此外，借助角平分线，还可以确定平行四边形和正多边形的形状，以及它们中心点的位置等等。

总之，角平分线的定理被广泛应用于数学和几何学中。它最重

要的作用在于可以帮助我们准确计算复杂图形之间的位置关系，为我们提供了许多方便的工具。

角平分线性质定理

定理说明

在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。

角平分线的性质

性质一：角平分线两侧的角相等

若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。

性质二：角平分线在三角形中的应用

在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。

性质三：角平分线长度关系

两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。

性质四：角平分线与外切圆关系

若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。

性质五：角平分线的唯一性

对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。

应用和分析

角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。

结论

角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中

有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。

角平分线定理

角平分线的定义

提供四种证明方法：

编辑本段角平分线的定义

■ 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。

■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC

编辑本段提供四种证明方法：

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC

已知和证明1图

证明：方法1：（面积法）

S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,

S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,

∴S△ABM：S△ACM=AB:AC

又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，

证明2图

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM

∴AB／AC=MB／MC

方法2（相似形）

过C作CN‖AB交AM的延长线于N

则△ABM∽△NCM

∴AB/NC=BM/CM

又可证明∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB／AC=MB／MC

证明3图

方法3（相似形）

过M作MN‖AB交AC于N

角平分线定理

角平分线定理，又称为角的平分线定理，是在几何学中非常重要的一个定理。它是指任意一个角的平分线能将该角分成两个大小相等的角。

在几何学中，一个角是由两条线段或射线的公共端点确定的，通常用字母来表示，如角ABC。下图是一个角的示意图：

（图片省略）

在图中，顶点为点B，角ABC由线段BA和线段BC确定。现在将角ABC的内部画一条直线AD，使得角BAD和角DAC的大小相等。即使得∠BAD=∠DAC。

根据角平分线定理，我们可以得出以下结论：

1. 任意一个角都有且仅有一个平分线。

2. 该平分线将角分成两个大小相等的角。

这个定理的证明有多种方法，下面我们将介绍一种简单的方式：首先，我们可以构造一个角ABC，并在内部画一条直线AD。我们假设∠BAD=∠DAC。

接下来，我们需要证明∠BAD=∠DAC。这可以通过以下步骤来实现：

1. 根据角的定义，∠BAD由线段BA和线段BD确定，∠DAC由线段DA和线段DC确定。我们可以得出∠BAD=∠BA和∠DAC=∠DA。

2. 因为∠BAD=∠DAC，所以∠BA=∠DA。

3. 由于角BAD和角DAC的两条边相等，根据三角形的性质，我们

可以得出∠BAD=∠DAC。

通过以上证明，我们可以得出结论：角ABC的平分线AD将角

ABC分成两个大小相等的角BAD和DAC。

在实际应用中，角平分线定理在解决各种几何问题时起着重要的作用。例如，在建筑工程中，我们需要确保两条墙壁的相交角度相等，

以保证建筑物的结构牢固。而角平分线定理提供了一个简单而可靠的

方法来实现这一目标。

总结来说，角平分线定理是几何学中的重要定理，它指出任意一个

角平分线定理

角平分线定理是高中数学中的重要定理之一。它描述了角平分线与

三角形内部的关系。在本文中，我们将简要介绍角平分线定理的定义、证明和应用。

角平分线定理是指：在一个三角形中，如果一条线段从一个顶点出发，将对角线平分成两条相等的线段，那么这条线段就是该角的平分线。

证明角平分线定理的一个常用方法是通过角的对等性。我们可以假

设在三角形ABC中，角BAD的平分线CE将角BAD平分成两个相等

的角，即∠CAE≅∠EAD。我们需要证明线段CE平分了角BAC。

首先，我们延长线段CE，使其与边BC相交于点F。根据三角形内

角和定理，可知∠CAF+∠BAC+∠BFA=180°。由于∠CAE≅∠EAD，

所以∠CAF≅∠EAF。将这个结论代入上述等式中得到

∠CAF+∠BAC+∠BFA=180°变为∠EAF+∠BAC+∠BFA=180°。

通过对等性，我们还可以得出∠EAD≅∠EAF。将这一事实代入上

述等式得到∠EAD+∠BAC+∠BFA=180°变为

∠EAD+∠BAC+∠BAD=180°。

由于∠BAC+∠BAD=180°（三角形内角和定理），可得

∠EAD+∠BAD=∠EAD+∠BAC+∠BAD。根据等式两边的角相等性，

我们可以得出∠EAD=∠EAD+∠BAC，进一步得出∠BAC=0°。

这说明线段CE平分了角BAC，从而证明了角平分线定理。

角平分线定理的应用非常广泛。在几何证明中，我们常常可以利用角平分线定理来证明一些关于三角形的性质。例如，利用角平分线定理可以证明等腰三角形的底角相等，证明三角形内角平分线交于一点等。

角平分线定理公式

角平分线定理公式是：l平分∠BAC且把BC分为两段线段x 和y。根据角平分线性质可得：a/b=x/y（证明略）而x=c-y，y=c-x: x=ac/(a+b)，y=bc/(a+b)根据斯特瓦尔特定理：l²=((a²bc/(a+b)+ab²c/a+b)/c)-(abc²/(a+b)²)=ab-(abc²/ (a+b)²)=ab/(a+b)²·((a+b)²-c²)l=(1/(a+b))√(ab(a+b+c)( a+b-c))。

其他角平分线公式：三角形内角平分线分线段成比例，三线交点分别链接顶点和所对边的中点，分别过两边的中点作对边的垂线，根据中位线等于底边的一半得到比例为2:1，中线等于底边一半时得到比例为1:1。

三角形角平分线的定理

角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线。在三角形中，角平分线起着重要的作用。本文将介绍三角形角平分线的定理以及其相关性质。

一、三角形角平分线的定理

三角形角平分线的定理是指：在一个三角形中，如果一条直线从一个顶点平分对角的两个角，那么这条直线将平分对角的对边。

具体而言，设△ABC为一个三角形，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D。那么有以下结论：

1.∠BAD = ∠DAC，即∠BAD和∠DAC是相等的。

2.∠ABD = ∠CAD，即∠ABD和∠CAD是相等的。

3.BD/CD = AB/AC，即BD与CD的比值等于AB与AC的比值。

二、三角形角平分线的证明

要证明三角形角平分线的定理，首先我们可以通过角平分线的定义得出∠BAD = ∠DAC和∠ABD = ∠CAD。接下来，我们需要证明BD/CD = AB/AC。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：

AB/AC = sin∠BAC/sin∠ABC

BD/CD = sin∠BAC/sin∠CBD

由于∠ABC = ∠CBD，所以sin∠ABC = sin∠CBD。因此，我们可以得出BD/CD = AB/AC。

三、三角形角平分线的应用

三角形角平分线的定理在几何学中有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：

1.角平分线定理可以用来解决三角形内角的问题。通过已知条件，我们可以利用角平分线的性质来求解未知角度的大小。

2.角平分线定理可以用来证明三角形的相似性。当两个三角形的角平分线相交于同一点时，我们可以利用角平分线的性质证明这两个三角形是相似的。

三角形角平分线的定理

三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它是指在一个

三角形中，如果一条直线从一个角平分另一个角，那么这条直线所在

的线段将把对边分成两个相等的线段。这个定理的主要内容包括以下

几个方面：

一、定理的表述

三角形角平分线的定理可以用以下的方式表述：

在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。其中，AB、AC、BD、CD分别表示三角形ABC中的边和角平分线。二、定理的证明

三角形角平分线的定理的证明可以通过以下的方式进行：

1. 假设BD是角B的平分线，那么∠ABD=∠CBD。

2. 由于∠ABD=∠CBD，所以三角形ABD与三角形CBD是全等的。

3. 因此，AB/BD=CB/BD，即AB/CB=BD/CD。

4. 所以，AB/AC=AB/(AB+CB)=BD/(BD+CD)=BD/CD。

5. 因此，BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。

三、定理的应用

三角形角平分线的定理在初中数学中有很多应用，其中最常见的应用包括以下几个方面：

1. 求角平分线所在的线段长度

如果已知一个三角形中的两个边和一个角的大小，可以通过三角函数求出第三条边的长度，然后再利用角平分线的定理求出角平分线所在的线段长度。

2. 求角平分线所在的点的坐标

如果已知一个三角形中的三个顶点的坐标，可以通过向量的方法求出角平分线所在的点的坐标。

3. 判断角平分线是否在三角形内部

如果一个三角形中的一个角的平分线不在三角形内部，那么这个三角形就不是一个普通的三角形，而是一个退化的三角形。

角平分线的定理

中外经典数学定理之一——直角平分线定理如下：

一．定理：

任一直角三角形，在斜边上的任一点，连结斜线的两个端点，将斜边平分两部分，其中，左右两部分的斜边长度之比等于斜腰到直角顶点的距离之比。

a :

b =

c :

d (其中a、b、c、d分别表示从斜腰到直角顶点的距离)。

三．证明方法：

1．几何图形法：以直角三角形，从斜腰延长线段AB，并以AB为边，在B点连结直角顶点C，此时B点为斜腰上的一点，将AB平分成BC和CD两段；

2．三角函数法：由于直角三角形ABC，以AB为斜腰，顶点A的角α的值为90°，则斜腰AB的正切值tanα=a/b，--（1）；以BC为斜腰，顶点B的角β的值

也为90°，则斜腰BC的正切值为tanβ=c/d，--（2）；

3．比例定理法：设AB=m，BC=n，CD=p，则m : n = c : d，--（3）；由（1）和（2）可知，a/b=c/d，--（4）；将（3）式代入（4）式，即m : n = a : b，--（5）；同理，m : p = c : d，--（6）；结合（5），（6），即可得 a : b = c : d。由此可证得直角平分线定理成立。

角平分线定理

角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

■三角形的角平分线定义:三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射

■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！（即内心）。

■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

如：在AABC 中，BD 平分ZABC,则AD： DC二AB： BC

提供四种证明方法：

已知，如图，AM为AABC的角平分线，求证AB/AOMB/MC

已知和证明1图

证明：方法1：(面积法)

SAABM=(l/2)・ AB ・ AM ・ sinZBAM,

SAACM=(l/2)・ AC ・ AM ・ sinZCAM,

A SA ABM： SA ACM 二AB: AC

XAABM和AACM是等高三角形，面积的比等于底的比,

证明2图

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ・•・ AB / AC二MB /MC 方法2 （相似形）

过C作CN II AB交AM的延长线于N 则厶ABM^ ANCM

・•・ AB/NC 二BM/CM

又可证明ZCAN=ZANC

・•・AC二CN

・・・ AB / AC 二MB /MC

证明3图方法3 （相似形）

角平分线定理

平面几何中的角平分线定理

角平分线 定理

角角平分线定理

三角形的角平分线定理

三角形的角平分线的定理

三角形角平分线的全部定理

角平分线的定理

角平分线性质定理

角平分线定理

角平分线定理

角平分线定理

角平分线定理公式

三角形角平分线的定理

三角形角平分线的定理

角平分线的定理

角平分线定理

角平分线定理