角平分线定理
角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理。
角平分线三个定理
角平分线三个定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：角平分线三个定理是几何学中非常重要的定理之一，它们可以帮助我们更好地理解和运用角平分线的性质。
本文将详细介绍这三个定理的含义和推理过程。
第一个定理是角平分线定理。
所谓角平分线定理指的是：如果一条直线将一个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。
换句话说，如果一条直线BD分割一个角ABC，且∠ABD≌∠CBD，则BD就是∠ABC的平分线。
证明这个定理的方法比较简单，可以通过相似三角形或等角相等辅助线的方法进行。
通过这三个定理，我们可以更深入地了解角平分线的性质，进而应用到解决各种与角平分线相关的几何问题中。
熟练掌握和灵活运用这三个定理对于提高我们的几何学水平至关重要。
希望通过本文的介绍，读者们能够更好地理解和掌握角平分线的性质，从而在学习和工作中取得更好的成绩。
愿大家在几何学的道路上不断进步，探索出更多有趣的数学定理和问题！第二篇示例：角平分线三个定理是解析几何中非常重要的定理，对于角平分线的性质进行了深入的研究和总结。
在平面几何中，角平分线是连接一个角的两边中点的线段，将这个角分成两个相等的角。
下面我们来详细介绍一下角平分线的三个定理。
第一个角平分线定理是角平分线定理，它的表述如下：若一条线段从一个角内的顶点引出，又将这个角分成两个相等的小角。
这个定理是解析几何中最基本的定理之一，也是很多其他定理的基础。
通过角平分线定理，我们可以得出许多结论和推论，解决很多关于角平分线的问题。
第二个角平分线定理是角平分线的长度比定理，它的表述如下：如果一条角平分线把一个角分成两个相等的小角，则这条角平分线上的一点到角的两边的距离分别等于这两条边的比值。
这个定理在解决角平分线长度问题时非常有用，能够帮助我们准确计算角平分线的长度。
通过这三个角平分线定理，我们可以更好地理解和运用角平分线的性质，解决各种与角平分线相关的问题。
在解析几何的学习中，掌握这些定理能够提高我们的解题能力和几何思维，帮助我们更好地理解平面几何知识，为进一步学习提供良好的基础。
角平分线定理
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。
角平分线性质定理
角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。
它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。
根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。
角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。
以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。
性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。
我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。
性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。
性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。
性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。
应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。
通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。
同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。
结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。
通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。
对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
角平分线定律
角平分线定律一、什么是角平分线定律角平分线定律是解决几何问题中常用的一个定理。
简而言之，角平分线定律说明了一个角的平分线可以将对立的两边分成相等的两部分。
这个定律在三角形中特别有用，可以用于计算角度或边长的比例关系。
二、角平分线定律的表述角平分线定律可以用以下两个等式表达：•在一个三角形中，角的平分线将对立边上的长度成比例分割，即：AB/BC = AC/CD•在一个三角形中，角的平分线将对立角所对的弦分成相等的两部分，即：BD/DC = AB/AC其中，A、B、C是三角形的三个顶点，AB、BC、AC是三角形的三条边，CD是角ABC 的平分线，BD、DC是对立角所对的弦。
三、角平分线定律的证明角平分线定律的证明可以通过几何推理或使用三角函数进行推导。
这里我们以几何推理的方式进行证明。
证明过程：步骤一：假设我们假设在三角形ABC中，角ABC的平分线CD将边AB和AC分别分割成AD和AE 两部分，如下图所示：B/ \/ \A ---- C ---- E\ /\ /D步骤二：证明∠CAD ≌ ∠BAD由于CD是角ABC的平分线，根据平分线的定义，我们可以得出∠CAD ≌ ∠BAD。
步骤三：证明△ACD ≌ △ABD根据步骤二，我们知道∠CAD ≌ ∠BAD，而∠CAD 和∠BAD 是三角形ACD和ABD的共同角。
另外，根据假设，我们已知AD ≌ AD，因此根据ASA（边-边-角）准则，我们可以得出△ACD ≌ △ABD。
步骤四：证明AD/BD = AE/CE根据步骤三，我们知道△ACD ≌ △ABD，因此对应的边也成比例。
即AD/BD =AE/CE。
至此，我们完成了角平分线定律的证明。
四、角平分线定律的应用角平分线定律在解决各种几何问题时非常有用。
下面是一些常见的角平分线定律的应用示例：1. 计算角度的比例关系在一个三角形ABC中，角ABC的平分线AD将边AB和AC分割成AD和AE两部分。
已知AD/BD = 2/5，求∠BAD 和∠CAD 之间的比例关系。
角平分线定理 - 副本
角平分线定理
角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。
角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
定理定义
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
定理1
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
定理2
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC
逆定理
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
角平分线长
由定理2和斯台沃特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式。
AD²= AB×AC-BD×DC。
初中数学定理：角的平分线定理
初中数学定理：角的平分线定理
定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
初中数学定理：等腰三角形性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
角平分线定理
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。
(完整版)角平分线定理
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。
证明角平分线定理
证明角平分线定理
角平分线定理是指：在三角形中，从某个角的顶点引一条直线，将其对角线分成两部分，使其中一部分与另一边的比等于另一部分与第三边的比，则该直线为该角的平分线。
要证明角平分线定理，可以从几何角度和数学角度两方面入手。
从几何角度来看，可以通过画图来证明角平分线定理。
假设有一个三角形 ABC，以角 A 为例，从 A 点引一条直线 BD，使得 BD 将角 A 分成两部分。
将直线 BD 延长至交于点 E，连接点 E 和点 C，分析三角形 ABE 和 BCD，可以得出它们的相似关系。
由此可以推出，AB/BC=AE/CD，即角 A 的平分线 BD 满足角平分线定理。
从数学角度来看，也可以通过对三角形的角度和边长关系进行推导，证明角平分线定理。
根据三角形内角和定理可知，三角形内角之和为180度，则有角 A + 角 B + 角 C = 180度。
又由三角形相似的性质可得出，角 ABD = 角 ABE，角 BDC = 角 EBC。
因此，角 ABD + 角 BDC = 角 ABE + 角 EBC，即角 A + 角 CBD = 角 C + 角 ABE。
再根据正弦定理，可以得到 AB/BE = AC/CD，即角 A 的平分线 BD 满足角平分线定理。
综上所述，无论从几何角度还是数学角度，都可以证明角平分线定理的正确性。
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角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L ×h初中数学圆的定理12不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
角平分线的定律
角平分线的定律
角平分线的定律是几何学中的一条重要定理，它可以被应用到平面和立体几何学中，并且非常有用。
它的定义是，在任意一个多边形的内部，任何一条角平分线都会将那个多边形分割成两个相等的部分，也就是说，任何一条角平分线都能够将多边形的角等分开。
角平分线的定律最早由希腊古代数学家们提出来的，他们认为，在一个三角形内，任意一条角平分线都会将这个三角形分割成两个等边三角形。
他们继续证明，对于任意多角形，任何一条角平分线都能把这个多角形分割成两个等面积的多角形，而且这两个多角形的面积的面积比等于多角形的面积。
17世纪的科学家们又进一步开发了角平分线的定理，这一次是
在平面几何学中，他们发现，任何一条角平分线都会将多边形分割成两个相等的部分，也就是说，任何一条角平分线都能够将多边形的角等分开。
到了19世纪后期，科学家们又在角平分线定理下发现了新的数
学定理，他们发现，如果将多边形的角等分开，那么这些多边形会形成一个平行四边形，也就是说，任何一条角平分线都会将多边形的角等分开，并且这些多边形会形成一个平行四边形。
角平分线的定理同样被应用到立体几何学中，科学家们发现，任何一个多面体的面都可以被分成两个等面积的多面体，而且这两个多面体的面积的比值等于多面体的面积。
以上就是角平分线定理的历史演变和定义，它由古代希腊数学家
们提出，后来又由17世纪的科学家们进一步发展和研究，19世纪后期科学家们发现了新定律，最后被应用到立体几何学中。
虽然角平分线定理在几种不同的几何学中都有广泛的应用，但是它最主要的作用还是在平面几何学中，在平面几何学中，角平分线定理可以被广泛的应用到图案的设计、角的测量、图纸的解释等方面，因此，角平分线定理在几何学中非常重要。
角平分线的定理及其逆定理
角平分线的定理及其逆定理在几何学中，角平分线是一条穿过一个角的中点，且与角的两条边平分的直线。
它也可以定义为一个不断变化的折线，它的关键特性是它的内部角平分线的链接。
角平分定理可以被描述为：穿过一个多边形上任意两点的直线，如果该直线将角分为两个部分，其中一部分是锐角，另一部分是钝角，则该直线与角的两条边平分。
角平分定理的逆定理可以这样表述：如果一条直线穿过一个多边形上的任意两点，并且将角分为两个部分，其中一部分由钝角构成，另一部分由锐角构成，则该直线与角的两条边不会平分。
角平分定理的形式有很多，可以有效地应用于不同的情境，也可以有助于帮助解决问题。
例如，角平分定理可以用来求解正多边形上两个点之间的距离，这对于解决建筑和绘图等应用场景是非常有用的。
角平分定理也可以用来求解圆周率π的值。
把圆分成四等份，用角平分定理就可以求出它的圆周率π的值，并且也是一种实用的应用场景。
角平分定理可以在几何构造中得到有效的应用，例如，可以使用它来构建一个正方形，也可以将正方形分割成四个角，使其分别被一条角平分线分割。
在三角形中，角平分定理也可以用来解决多项问题。
例如，如果想知道一个三角形中某个角的度数，那么可以使用角平分定理，来表达该角的度数。
另外，角平分定理也有助于解决三角形的角的余弦公式的计算问题。
在多边形的几何构造中，角平分定理也有着独特的应用，例如，可以使用角平分定理解决一个多边形内角的总和的问题，也可以利用角平分定理求解多边形的内角的度数。
角平分定理也可以在数学函数中得到应用，例如，可以使用它来解决弦长公式或圆周上任意两点间距离的求解问题，以及采用它解决抛物线等几何函数的计算问题。
综上所述，角平分定理及其逆定理在几何学中有着广泛的应用，可以帮助人们解决多种几何问题，甚至在数学函数中也有很多实用的应用场景。
角平分线长定理公式
角平分线长定理公式
角平分线长定理公式
角平分线长定理公式是用来求直角三角形的边长的。
该定理指出，一个直角三角形中，角平分线的长度为其对应的直角边的平方和。
角平分线长定理公式如下：
<b> AB+BC=AC </b>
其中，AB为直角三角形的斜边，BC为直角三角形的邻边，AC为直角三角形的对边。
角平分线长定理是一个重要的数学定理，它不仅可以用来求解直角三角形中的边长，而且还可以用来求解角平分线长度，以及求解给定一条边长和另一条边长的情况下，第三条边的长度。
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第二节角平分线定理
第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。
求CD的长。
例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。
求A D·DC的值。
（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。
计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。
例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。
求证：BCAC AB ID AI +=。
例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。
本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。
例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。
高中数学三角形角平分线长定理
高中数学三角形角平分线长定理
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
角平分线定理:从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
定理一:角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理二：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
三角形内角平分线性质定理：在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则BD/DC=AB/AC。
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1O
E D
A
B
C
第十一讲 角平分线定理
【学习目标】
1、掌握角平分线的定理和逆定理。
2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明。
3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
【知识要点】
1、 角平分线性质定理的证明及应用。
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理解释：“点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”，定理即表明这两条垂线段相等。
2、 角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。
逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
4、用尺规作角的平分线： 【典型例题】
例1、 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC 。
例2、已知，如图，CE ⊥AB ,BD ⊥AC ,∠B =∠C ，BF =CF 。
求证：AF 为∠BAC 的平分线。
例3、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A ）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.
例4、如右图，E 、D 分别是AB 、AC 上的一点，∠EBC 、∠BCD 的角平分线交于点M ，∠BE D 、∠EDC 的角平分线交于N . 求证：A 、M 、N 在一条直线上.
证明：过点N 作NF ⊥AB ，NH ⊥ED ，NK ⊥AC ，过点M 作MJ ⊥BC ，MP ⊥AB ，MQ ⊥AC
∵EN 平分∠BED ，DN 平分∠EDC ∴NF __________NH ，NH __________NK ∴NF __________NK ∴N 在∠A 的平分线上
又∵BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB
∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M 在∠A 的__________上 ∴M 、N 都在∠A 的__________上 ∴A 、M 、N 在一条直线上
例5、如图1，OC 平分∠A O B ，P 是OC 上一点，D 是OA 上一点，E 是OB 上一点，且PD =PE ，求证：∠+∠=︒
P D O P E O 180。
【经典练习】
一、填空题
1、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.
2、如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
图1 图2 图3
3、图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则
BC=____ cm.
4、图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
二、选择题
1、给出下列结论，正确的有（）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；
③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、下列结论正确的有（）
①如果(x－1)(x－2)=0，那么x=1；②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；
③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3、已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）
A.18
B.16
C.14
D.12
4、两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）
A.两个三角形全等
B.两个三角形一定不全等
C .如果还有一角相等，两三角形就全等
D .如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等 5、下列命题中是真命题的是
A .有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B .相等的角是对顶角
C .余角相等的角互余
D .两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
6、如图4，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠MON =α，∠BOC =β，则表示∠AOD 的代数式为（ ） A .2α－β
B .α－β
C .α+β
D .2α
图4 图5
7、如右上图5，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ，②△BDF ≌△CDE ， ③D 在∠BAC 的平分线上，以上结论中正确的是 （ ） A .只有①
B .只有②
C .只有①和②
D .①，②与③
三、解答题
1、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .
2、已知，如图，过菱形ABCD 的顶点C 作,CF AD CE AB ⊥⊥,分别交AB 、AD 的延长线于E 、F .试说明CE =CF
【课后作业】
一、填空题
1、如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
2、如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.
3、如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=____ ______.
（1）（2）（3）
4、已知，如图4，∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB= __________度.
5、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.
图4 图5
二、解答题
已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.。