康托尔集合论共17页
标准康托尔集的定义
标准康托尔集的定义康托尔集是德国数学家康托尔在19世纪提出的一个重要概念，它是集合论中的一个重要概念，对于集合论的发展有着重要的影响。
康托尔集的定义对于我们理解集合论和数学基础有着重要的意义，下面我们将对标准康托尔集的定义进行详细的介绍。
首先，我们来看一下康托尔集的定义。
康托尔集是指一个无限集合，其基数大于可数集合，但小于连续集合。
简单来说，康托尔集是介于可数集合和连续集合之间的一类集合。
康托尔集的特点是具有无限的基数，但不同于连续集合的基数。
康托尔集的定义对于我们理解无限集合的性质和分类有着重要的意义。
其次，我们来看一下康托尔集的构造。
康托尔集的构造是通过对实数区间的分割来实现的。
具体来说，我们可以通过二进制小数的表示来构造康托尔集。
例如，我们可以将实数区间[0,1]分割为三等分，然后取中间的那一部分，再将这一部分分割为三等分，取中间的部分，如此循环下去，我们就可以构造出一个康托尔集。
康托尔集的构造方法对于我们理解集合的构造和基数的概念有着重要的启发作用。
最后，我们来看一下康托尔集的性质。
康托尔集具有许多重要的性质，例如它是不可数的、紧致的、完全不连通的等。
这些性质对于我们理解集合的结构和性质有着重要的启发作用。
康托尔集的性质也为我们理解实数集合和拓扑空间提供了重要的范例。
总的来说，康托尔集是集合论中一个重要的概念，它对于我们理解集合的性质和结构有着重要的意义。
康托尔集的定义、构造和性质都为我们理解集合论和数学基础提供了重要的启发和范例。
通过对康托尔集的研究，我们可以更深入地理解集合论和数学基础的重要概念，对于我们的数学学习和研究有着重要的意义。
在数学领域中，康托尔集的定义是一个重要的概念，它对于我们理解集合的结构和性质有着重要的意义。
通过对康托尔集的研究，我们可以更深入地理解集合论和数学基础的重要概念，对于我们的数学学习和研究有着重要的意义。
康托尔集的定义、构造和性质都为我们理解集合论和数学基础提供了重要的启发和范例。
《康托尔的集合论》课件
康托尔的思想和方法对数学基础研究 产生了深远的影响，推动了数学的发 展。
02
集合论的起源
集合论的背景
数学基础的探讨
19世纪数学界开始对数学的基础 进行深入探讨，寻求数学知识的 内在一致性和完备性。
数学逻辑的兴起
数学逻辑的兴起为集合论的创立 提供了重要的思想基础，为数学 的发展提供了更加严谨的框架。
图论等。
数据结构和算法
集合论中的概念如并集、交集、 差集等，在数据结构和算法设计
中有着重要的应用。
形式化方法
在计算机科学中，形式化方法是 一种基于数学的证明和推理技术 ，而集合论为其提供了数学基础
。
06
康托尔集合论的影响与评 价
对数学发展的影响
革命性的概念引入
康托尔首次提出了无穷集合的概念，打破了传统数学对无穷的限 制，为后续数学理论的发展奠定了基础。
在物理学领域的应用
测度论
在物理学中，测度论是描 述物理量大小和变化的数 学工具，而集合论为其提 供了数学基础。
概率论
物理学中的随机现象可以 通过概率论来描述，而集 合论则为概率论提供了数 学框架。
量子力学
量子力学中的波函数和状 态空间都可以用集合论的 语言来描述。
在计算机科学领域的应用
离散数学
集合论在离散数学中有着广泛的 应用，如集合运算、集合划分、
集合论的应用
集合论不仅在纯粹数学领域有广泛应用，还涉及到物理学、计算机科学、经济 学等多个领域。
03
康托尔的集合论
集合论的基本概念
01
02
03
04
集合
由确定的、不同的部分组成的 整体。
元素
集合中的一个具体部分。
子集
康托与集合论
康托与集合论康托（Georg Cantor ，1845-1918）德国数学家，19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。
1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。
1856年全家迁居德国法兰克福。
康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集。
这是集合论研究的开端。
1874年，德国数学家康托尔在著名的《克雷尔数学杂志》上发表了关于无穷集合论的第一章革命性文章。
从1874年到1884年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。
他对集合所下的定义是：把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，其中各事物称为该集合的元素。
集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。
如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。
其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
但是如同每一个新事物的出现一样，集合论一经问世就遭到许多数学家及其他学者的激烈反对。
当时的权威数学家克罗内克(Kronecker)非常敌视康托尔的集合论思想，时间达整整十年之久，法国数学大家庞加莱(Poincare)则预测后一代人将把集合论当作一种疾病。
在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。
然而乌云遮不住太阳，经历二十余年后，集合论最终获得了世界公认。
到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。
数学家们乐观地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。
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2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
康托尔集合论共17页4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
ENDLeabharlann 16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
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31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
伟大的康托尔与集合论
简介集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体)的数学理论,包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。
在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要如何描述数学物件的语言.集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件.在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。
在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
对集合论的异议一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。
埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学,应该留给上帝"。
而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗—弗兰克尔集合论有关。
维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过. 对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。
拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。
拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案,如结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。
集合论（Set theory)作用按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。
从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础.历史集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一,是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。
但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前.无穷集合的早期研究概念集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。
集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。
康托尔与集合论
Word文档可进行编辑康托尔与集合论康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大得数学家,集合论得创立者.是数学史上最富有想象力,最有争议得人物之一.19世纪末他所从事得关于连续性和无穷得研究从全然上背离了数学中关于无穷得使用和解释得传统,从而引起了激烈得争论乃至严厉得责备.然而数学得进展最终证明康托是正确得.他所创立得集合论被誉为20世纪最伟大得数学制造,集合概念大大扩充了数学得研究领域,给数学结构提供了一个基础,集合论不仅妨碍了现代数学,而且也深深妨碍了现代哲学和逻辑.1．康托尔得生平1845年3月3日,乔治·康托生于俄国得一个丹麦—犹太血统得家庭.1856年康托和他得父母一起迁到德国得法兰克福.像许多优秀得数学家一样,他在中学时期就表现出一种对数学得特别敏感,并不时得出令人惊奇得结论.他得父亲力促他学工,因而康托在1863年带着那个目地进入了柏林大学.这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究得中心.康托非常早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着得世界数学中心之一.因此在柏林大学,康托受了外尔斯特拉斯得妨碍而转到纯粹得数学.他在1869年取得在哈勒大学任教得资格,不久后就升为副教授,并在1879年被升为正教授.1874年康托在克列勒得《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论得第一篇革命性文章.数学史上一般认为这篇文章得发表标志着集合论得诞生.这篇文章得制造性引起人们得注意.wwWcoM 在以后得研究中,集合论和超限数成为康托研究得主流,他一直在这方面发表论文直到1897年,过度得思维劳累以及强列得外界刺激曾使康托患了精神分裂症.这一难以消除得病根在他后来30多年间一直断断续续妨碍着他得生活.1918年1月6日,康托在哈勒大学得精神病院中去世.2．集合论得背景为了较清晰地了解康托在集合论上得工作,先介绍一下集合论产生得背景.集合论在19世纪诞生得差不多缘故,来自数学分析基础得批判运动.数学分析得进展必定涉及到无穷过程,无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪,由于无穷概念没有精确得定义,使微积分理论不仅遇到严峻得逻辑困难,而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶,柯西给出了极限概念得精确描述.在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数得理论.正是这19世纪进展起来得极限理论相当完美得解决了微积分理论所遇到得逻辑困难.然而,柯西并没有完全完成微积分得严密化.柯西思想有一定得模糊性,甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期得数学家们发觉使柯西产生逻辑矛盾得咨询题得缘故在奠定微积分基础得极限概念上.严格地讲柯西得极限概念并没有真正地摆脱几何直观,确实地建立在纯粹严密得算术得基础上.因此,许多受分析基础危机妨碍得数学家致力与分析得严格化.在这一过程中,都涉及到对微积分得差不多研究对象─连续函数得描述.在数与连续性得定义中,有涉及关于无限得理论.因此,无限集合在数学上得存在咨询题又被提出来了.这自然也就导致寻求无限集合得理论基础得工作.总之,为寻求微积分完全严密得算术化倾向,成了集合论产生得一个重要缘故.3．集合论得建立康托在柏林大学得导师是外尔斯托拉斯,库曼和克罗内克.库曼教授是数论专家,他以引进理想数并大大推动费马大定理得研究而闻名遐迩是.克罗内克是一位大数学家,当时许多人都以得到他得赞许为荣.外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家.他得演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定得基础.例如,微积分中闻名得观念确实是他首先引进得.正是由于这些人得妨碍,康托对数论较早产生兴趣,并集中精力对高斯所留下得咨询题作了深入得研究.他得毕业论文确实是关于++=0得素数咨询题得.这是高斯在《算术研究》中提出而未解决得咨询题.这片论文写得相当出色,它足以证明作者具有深刻得洞察力和对优秀思想得继承能力.然而,他得超穷集合论得创立,并没有受惠于早期对数论得研究.相反,他非常快同意了数学家海涅得建议转向了其他领域.海涅鼓舞康托研究一个十分有味,也是较困难得咨询题：任意函数得三角级数得表达式是否唯一?对康托来讲那个咨询题是促使他建立集合论得最直截了当缘故.函数可用三角级数表示,最早是1822年傅立叶提出来得.此后关于间断点得研究,越来越成为分析领域中引人注目得咨询题,从19世纪30年代起,很多杰出得数学家从事着对不连续函数得研究,同时都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩.这就为康托最终建立集合论制造了条件.1870年,海涅证明,假如表示一个函数得三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点得任意小邻域后剩下得部分上是一致收敛得,那么级数是唯一得.至于间断点得函数情况如何,海涅没有解决.康托开始着手解决那个以如此简洁得方式表达得唯一性咨询题.于,他跨出了集合论得第一步.康托一下子就表现出比海涅更强得研究能力.他决定尽可能多地取消限制,所以这会使咨询题本身增加难度.为了给出最有普遍性得解,康托引进了一些新得概念.在其后得三年中,康托先后发表了五篇有关这一题目得文章.1872年当康托将海涅提出得一致收敛得条件减弱为函数具有无穷个间断点得情况时,他差不多将唯一性结果推广到同意例外值是无穷集得情况.康托1872年得论文是从间断点咨询题过度到点集论得极为重要得环节,使无穷点集成为明确得研究对象.集合论里得中心,难点是无穷集合那个概念本身.从希腊时代以来,无穷集合非常自然地引起数学家们和哲学家们得注意.而这种集合得本质以及看来是矛盾得性质,非常难象有穷集合那样来把握它.因此对这种集合得理解没有任何进展.早在中世纪,人们差不多注意到如此得事实：假如从两个同心圆动身画射线,那么射线就在这两个圆得点与点之间建立了一一对应,然而两圆得周长是不一样得.16世纪,伽俐略还举例讲,能够在两个不同长得线段ab与cd之间建立一一对应,从而想象出它们具有同样得点.他又注意到正整数能够和它们得平方构成一一对应,只要使每个正整数同它们得平方对应起来就行了:1234……n……234……n……但这导致无穷大得不同得“数量级”,伽俐略以为这是不可能得因为所有无穷大都一样大.不仅是伽俐略,在康托之前得数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应得比较手段,因为它将出现部分等于全体得矛盾高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体,这在数学中是从来不同意得.无穷只是一种讲话得方式……”柯西也不承认无穷集合得存在.他不能同意部分同整体构成一一对应这件事.所以,潜无穷在一定条件下是便于使用得,但若把它作为无穷观则是片面得.数学得进展表明,只承认潜无穷,否认实无穷是不行得.康托把时刻用到对研究对象得深沉考虑中.他要用事实来讲明咨询题,讲服大伙儿.康托认为,一个无穷集合能够和它得部分构成一一对应不是什么坏事,它恰恰反应了无穷集合得一个本质特征.对康托来讲,假如一个集合能够和它得一部分构成一一对应,它确实是无穷得.它定义了基数,可数集合等概念.同时证明了实数集是不可数得代数数是可数得康托最初得证明发表在1874年得一篇题为《关于全体实代数数得特征》得文章中,它标志着集合论得诞生.随着实数不可数性质得确立,康托又提出一个新得,更大胆得咨询题.1874年,他考虑了能否建立平面上得点和直线上得点之间得一一对应.从直观上讲,平面上得点显然要比线上得点要多得多.康托自己起初也是如此认识得.但三年后,康托宣布：不仅平面和直线之间能够建立一一对应,而且一般得n维连续空间也能够建立一一对应！这一结果是出人意外得.就连康托本人也觉得“简直不能相信”.然而这又是明摆着得事实,它讲明直观是靠不住得,只有靠理性才能发觉真理,幸免谬误.既然n维连续空间与一维连续统具有相同得基数,因此,康托在1879到1884年间集中于线性连续统得研究,相继发表了六篇系列文章,汇合成《关于无穷得线性点集》.前四篇直截了当建立了集合论得一些重要结果,包括集合论在函数论等方面得应用.其中第五篇发表于1883年,它得篇幅最长,内容也最丰富.它不仅超出了线性点集得研究范围,而且给出了超穷数得一个完全一般得理论,其中借助良序集得序型引进了超穷序数得整个谱系.同时还专门讨论了由集合论产生得哲学咨询题,包括回答反对者们对康托所采取得实无穷立场得非难.这篇文章对康托是极为重要得.1883年,康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版.《集合论基础》得出版,是康托数学研究得里程碑.其要紧成果是引进了作为自然数系得独立和系统扩充得超穷数.康托清醒地认识到,他如此做是一种大胆得冒进.“我非常了解如此做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质得传统观念相对立得地位,但我深信,超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然得扩充.”《集合论基础》是康托关于早期集合理论得系统阐述,也是他将做出具有深远妨碍得特别贡献得开端.康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义得论文.在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数得方法,采纳集合作为差不多概念.他给出了超限基数和超限序数得定义,引进了它们得符号；依势得大小把它们排成一个“序列”；规定了它们得加法,乘法和乘方…….到此为止,康托所能做得关于超限基数和超限序数理论已臻于完成.然而集合论得内在矛盾开始暴露出来.康托自己首先发觉了集合论得内在矛盾.他在1895年得文章中遗留下两个悬而未决得咨询题：一个是连续统假讲；另一个是所有超穷基数得可比较性.他尽管认为无穷基数有最小数而没有最大数,但没有明显叙述其矛盾之处.一直到1903年罗素发表了他得闻名悖论.集合论得内在矛盾才突出出来,成为20世纪集合论和数学基础研究得动身点.4．对康托集合论得不同评价康托得集合论是数学上最具有革命性得理论.他处理了数学上最棘手得对象---无穷集合.因此,他得进展道路也自然非常不平坦.他抛弃了一切经验和直观,用完全得理论来论证,因此他所得出得结论既高度地另人吃惊,难以置信,又确确实实,毋庸置疑.数学史上没有比康托更大胆得设想和采取得步骤了.因此,它不可幸免地遭到了传统思想得反对.19世纪被普遍承认得关于存在性得证明是构造性得.你要证明什么东西存在,那就要具体造出来.因此,人只能从具体得数或形动身,一步一步通过有限多步得出结论来.至于“无穷”,许多人更是认为它是一个超乎于人得能力所能认识得世界,不要讲去数它,确实是它是否存在也难以确信,而康托难道“漫无边际地”去数它,去比较它们得大小,去设想没有最大基数得无穷集合得存在……这自然遭到反对和斥责.集合论最激烈得反对者是克罗内克,他认为只有他研究得数论及代数才最可靠.因为自然数是上帝制造得,其余得是人得工作.他对康托得研究对象和论证手段都表示强烈得反对.由于柏林是当时得数学中心,克罗内克又是柏林学派得首领人物,因此他对康托及其集合论得进展前途得阻碍作用是特别大得.另一位德国得知觉主义者魏尔认为,康托把无穷分成等级是雾上之雾.法国数学界得权威人物庞加莱曾预言：我们得“后一代将把（康托得）集合论当作一种疾病”等等.由于两千年来无穷概念数学带来得困难,也由于反对派得权威地位,康托得成就不仅没有得到应有得评价,反而受到排斥.1891年,克罗内克去世之后,康托得处境开始好转.另一方面,许多大数学家支持康托得集合论.除了狄德金以外,瑞典得数学家米大格---列夫勒在自己创办得国际性数学杂志上把康托得集合论得论文用法文转载,从而大大促进了集合论在国际上得传播.1897年在第一次国际数学家大会上,霍尔维次在对解析函数得最新进展进行概括时,就对康托得集合论得贡献进行了阐述.三年后得第二次国际数学大会上,为了捍卫集合论而勇敢战斗得希尔伯特又进一步强调了康托工作得重要性.他把连续统假设列为20世纪初有待解决得23个要紧数学咨询题之首.希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托为我们制造得乐园中驱逐出去.”专门自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格得测度理论充实了集合论之后,集合论得到了公认,康托得工作获得崇高得评价.当第三次国际数学大会于1904年召开时,“现代数学不能没有集合论”已成为大伙儿得看法.康托得声望差不多得到举世公认.5．集合论得意义集合论是现代数学中重要得基础理论.它得概念和方法差不多渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门,为这些学科提供了奠基得方法,改变了这些学科得面貌.几乎能够讲,假如没有集合论得观点,非常难对现代数学获得一个深刻得理解.因此集合论得创立不仅对数学基础得研究有重要意义,而且对现代数学得进展也有深远得妨碍.康托一生受过磨难.他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年.康托虽曾一度对数学失去兴趣,而转向哲学、文学,但始终不能放弃集合论.康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家得反对,坚决地捍卫超穷集合论,与他得科学家气质和性格是分不开得.康托得个性形成在非常大程度上受到他父亲得妨碍.他得父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教得妨碍下成长起来.是一位精明得商人,明智且有天份.他得那种深笃得宗教信仰强烈得使命感始终带给他以勇气和信心.正是这种坚决、乐观得信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功.今天集合论已成为整个数学大厦得基础,康托也因此成为世纪之交得最伟大得数学家之一.。
康托尔集合论
康托尔集合论-罗素悖论-公理化集合论-不完全性定理1. 第二次数学危机的解决---集合论成了全部数学的基础。
(第二次数学危机详细见参考中三次数学危机.)19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。
柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，19世纪70年代初，外尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理.从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
而严密的实数理论可以由集合论推出。
集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。
所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。
例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。
需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。
所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。
例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。
集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。
实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。
因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。
现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。
2. 康托尔集合论(现在有人也称之为朴素集合论)面料挑战.从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天衣无缝”。
伟大的康托尔与集合论
简介集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。
在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。
在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。
在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
对集合论的异议一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。
埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学，应该留给上帝”。
而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗-弗兰克尔集合论有关。
维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过。
对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。
拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。
拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案，如结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。
集合论（Set theory）作用按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。
从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。
历史集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。
但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。
无穷集合的早期研究概念集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。
集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。
康托尔定理证明
康托尔定理证明
（原创版）
目录
1.康托尔定理的概述
2.康托尔定理的证明方法
3.康托尔定理的应用领域
4.康托尔定理的意义和影响
正文
1.康托尔定理的概述
康托尔定理，又称康托尔的对角线论证，是集合论中的一个重要定理。
该定理由德国数学家格奥尔格·康托尔于 19 世纪末提出，它主要阐述了集合与集合的幂集之间的差异。
简单来说，康托尔定理表明，任何一个无穷集合的幂集都包含了比原集合更多的元素。
2.康托尔定理的证明方法
为了证明康托尔定理，康托尔采用了一种称为“对角线论证”的方法。
他首先构造了一个集合 A 的幂集 P(A)，然后通过对角线论证证明，P(A) 中存在一个元素不属于 A。
具体来说，康托尔构造了一个三元组 (x, y, z)，其中 x 和 y 属于 A，z 不属于 A。
然后，他证明了这个三元组不能与
P(A) 中的任何一个元素对应，因此，存在一个元素不属于 A，从而证明
了康托尔定理。
3.康托尔定理的应用领域
康托尔定理在数学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
在集合论的研究中，康托尔定理揭示了集合与集合的幂集之间的本质区别，为集合论的发展奠定了基础。
在计算机科学中，康托尔定理可以用于证明一些算法
的正确性，例如，在证明图灵机的计算能力时，康托尔定理起到了关键作
用。
4.康托尔定理的意义和影响
康托尔定理是集合论发展史上的一个重要里程碑，它不仅改变了人们对集合的认识，还对数学、计算机科学等领域产生了深远的影响。
康托尔定理证明了无穷集合的幂集与原集合之间存在差异，揭示了无穷集合的复杂性。
康托尔与集合论
康托尔与集合论【摘要】康托尔是现代集合论的创始人，他在数学上做出了重要贡献。
他提出了引人注目的无穷悖论，挑战传统数学观念。
康托尔还提出了连续统假设和基数理论，推动了集合论的发展。
他的工作对数学领域产生了深远影响，为后来的数学家提供了重要的理论基础。
康托尔集合论在数学界引起了广泛讨论和研究，探讨集合的性质和基数的问题。
康托尔的理论不仅影响了数学领域，也对哲学和科学产生了深远影响。
康托尔对于集合论的贡献不可忽视，他开创了一条全新的数学研究方向，为数学界带来了巨大的成就和启发。
【关键词】康托尔、集合论、无穷悖论、连续统假设、基数理论、影响、发展、深远影响、意义、思考、展望。
1. 引言1.1 康托尔与集合论的起源康托尔与集合论的起源可以追溯到19世纪末，当时德国数学家格奥尔格·康托尔重新定义了数学中的集合概念，提出了独特的集合论。
康托尔认为集合是数学中最基本的概念之一，可以用来描述数学中的各种对象和结构。
他开始探讨集合的性质和运算规则，并提出了许多富有洞察力的论断。
康托尔在集合论中引入了无穷悖论的概念，挑战了人们对于无限概念的传统理解。
他认为无穷是一个多样化和丰富的概念，远远超出了人们的直觉和既有的数学理论。
康托尔的研究成果在当时引起了极大的争议和讨论，但随着时间的推移，人们逐渐开始意识到他的贡献对数学领域的深远影响。
康托尔的集合论为今后数学领域的发展奠定了坚实的基础，成为了现代数学中不可或缺的重要理论之一。
1.2 康托尔对集合论的贡献康托尔对集合论的贡献可以说是开创性的。
他的工作为集合论的发展奠定了重要基础，影响深远。
康托尔引入了无穷悖论，证明了存在不可数无穷集合，这一悖论颠覆了人们对无穷的传统认识。
他的工作使得数学家们开始关注无穷的研究，并推动了集合论的发展。
康托尔提出了连续统假设，猜想不存在介于可数集合和连续集合之间的集合。
这一猜想激发了数学家们对集合论中未解问题的探讨，并推动了集合论的进一步发展。
康托尔 集合论
康托尔康托尔，G．F．L．Ph．(Cantor，Georg FerdinandLudwig Philipp)1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷．数学、集合论．康托尔的祖父母曾居住在丹麦的哥本哈根，1807年英国炮击哥本哈根时，他们家几乎丧失了一切，随后迁往俄罗斯的圣彼得堡，那里有康托尔祖母的亲戚．康托尔的父亲乔治·魏特曼·康托尔(George Wold emar Cantor)年轻时，曾在圣彼得堡经商．后来，在汉堡、哥本哈根、伦敦甚至远及纽约从事国际买卖．1 839年由于某种原因破产了．但不久，他又转到股票交易上，并很快取得了成功．1842年4月21日，魏特曼与们婚后有六个孩子，康托尔是他们的长子．1856年，康托尔随同全家移居德国的威斯巴登，并在当地的一所寄宿学校读书．后来在阿姆斯特丹读六年制中学．1862年，开始了他的大学生活．他曾就学于苏黎世大学、格丁根大学和法兰克福大学．1863年，他父亲突然病逝，为此，康托尔回到了柏林，在柏林大学重新开始学习．在那里，他从当时的几位数学大师K．W．T．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、E．E，库默尔(Kummer)和L．克罗内克(Kro-nechen)那里学到了不少东西．特别是受到魏尔斯特拉斯的影响而转入纯粹数学．从此，他集中全力于哲学、物理、数学的学习和研究，并选择了数学作为他的职业．可是，最初他父亲并不希望他献身于纯粹科学，而是力促他学工．但是，康托尔越来越多地受到数学的吸引．1862年，年轻的康托尔做出了准备献身数学的决定．尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑，但仍以极大的热情支持儿子的事业．同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识，他还极力培养康托尔在文学、音乐等方面的兴趣．康托尔在绘画方面表现出的才能使整个家庭为之自豪．由于康托尔一开始就具有献身数学的信念，这就为他创立超穷集合论，取得数学史上这一令人惊异的成就，奠定了基础．尽管19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责，但是他不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫了超穷集合论．也正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无反顾地走向数学家之路并真正取得了成就．1866年12月14日，康托尔的第三篇论文“按照实际算学方法，决定极大类或相对解”(In re mathema tica ars proponendlpluris facienda est quam solvendi)使他获得了博士学位．这时，他的主要兴趣在数论方面．1869年，康托尔在哈雷大学得到教职．他的授课资格论文讨论的是三元二次型的变换问题．不久，任副教授，1879年任教授，从此一直在哈雷大学担任这个职务直到去世．1872年以后，他一直主持哈雷大学的数学讲座．在柏林，康托尔是数学学会的成员之一．1864—1865年任主席．他晚年积极为一个国际数学家联盟工作．他还设想成立一个德国数学家联合会，这个组织于1891年成立，康托尔是它的第一任主席．他还筹办了1897年在苏黎世召开的第一届国际数学家大会．1901年，康托尔被选为伦敦数学会和其他科学会的通讯会员或名誉会员，欧洲的一些大学授予他荣誉学位．1902年和1911年他分别获得来自克里斯丁亚那(Ch ristiania)和圣安德鲁斯(St．Andrews)的荣誉博士学位．1904年伦敦皇家学会授予他最高的荣誉：西尔威斯特(Sylvester)奖章．1874年初，康托尔经姐姐G．索菲(Sophie)介绍，与瓦雷·古德曼(Vally Guttmann)订婚，并于同年仲夏结婚．他们共有五个孩子．那时，哈雷大学教授的收入很微薄，康托尔一家一直处在经济困难之中．为此，康托尔希望在柏林获得一份收入较高、更受人尊敬的大学教授的职位．然而在柏林，康托尔的老师克罗内克几乎有无限的权力．他是一个有穷论者，竭力反对康托尔“超穷数”的观点．他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击，还阻碍康托尔到首都柏林工作，使康托尔得不到柏林大学的职位．由于他的攻击，还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑的态度，致使康托尔在1884年患了抑郁症．最初发病的时间较短，1899年，来自事业和家庭生活两方面的打击，使他旧病复发．这年夏天，集合论悖论萦绕在他的头脑中，而连续统假设问题的解决仍毫无线索．这使康托尔陷入了失望的深渊．他请求学校停止他秋季学期的教学，还给文化大臣写信，要求完全放弃哈雷大学的职位，宁愿在一个图书馆找一份较轻松的工作．但他的请求没有得到批准．他不得不仍然留在哈雷，而且这一年的大部时间是在医院度过的．同时，家庭不幸的消息也不断传来．在他母亲去世三年后，他的弟弟G．康士坦丁(Constantin)从部队退役后去世．12月16日，当康托尔在莱比锡发表演讲时，得到了将满13岁的小儿子G．鲁道夫(R udolf)去世的噩耗．鲁道夫极有音乐天赋，康托尔希望他继承家族的优良传统，成为一个著名的小提琴家．康托尔在给F．克莱因(Klein)的信中不仅流露出他失去爱子的悲痛心情，而且使他回想起自己早年学习小提琴的经历，并对放弃音乐转入数学是否值得表示怀疑．到1902年，康托尔勉强维持了三年的平静，后又被送到医院．1904年，他在两个女儿的陪同下，出席了第三次国际数学家大会．会上，他的精神又受到强烈的刺激，他被立即送往医院．在他生命的最后十年里，大都处在一种严重抑郁状态中．他在哈雷大学的精神病诊所里度过了漫长的时期．1917年5月他最后一次住进这所医院直到去世．康托尔的工作大致分为三个时期，早期，他的主要兴趣在数论和经典分析等方面；之后，他创立了超穷集合论；晚年，他较多地从事哲学和神学的研究．康托尔的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域．这使他成为数学史上最富于想象力，也是最有争议的人物之一．1874年，29岁的康托尔就在《克雷尔数学杂志》(Crelles Jo-urnal für Mathematik)上发表了关于超穷集合理论的第一篇革命性文章，引入了震憾知识界的无穷的概念．这篇文章的题目叫：“关于一切代数实数Zahle n)．尽管有些命题被指出是错误的，但这篇文章总体上的创造性引起了人们的注意．康托尔的集合论理论分散在他的许多文章和书信中，他的这些文章从1874年开始分载在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》(M athemati-sche Annale)两种杂志上．后被收入由E．策梅罗(Zermelo)编的康托尔的《数学和哲学论文全集》(Gesammelte Abhandlangenmathematischen und philosophischen Inhelts)中．1879年至1884年间，康托尔相继发表了六篇系列文章，并汇集成《关于无穷线性点集》其中前四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果．1883年，康托尔认识到，要想对无穷的新理论作进一步推广，必须给出较前四篇系列文章更为详尽的阐述．随后他又发表了第五和第六两篇文章，简洁而系统地阐述了超穷集合论．他在第五篇文章里，还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题，其中包括回答反对者们对实无穷的非难．这篇文章非常重要，后来曾以《集合通论基础，无穷理论的数学和哲学的探讨》(Grundlageneiner allgemeinen Mannigfaltigkeits lehre，ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen)(以下简称《集合通论基础》)为题作专著单独出版．康托尔最著名的著作是1895—1897年出版的《超穷数理论基础》(共两卷)．下面分述康托尔的主要工作．1．三角级数康托尔早年对数论、不定方程和三角级数极感兴趣．似乎是微妙的三角级数激发他去仔细研究分析的基础．与三角级数和傅里叶级数唯一性有关的问题，促使他研究E．海涅(Heine)的工作．康托尔从寻找函数的三角级数表示的唯一性的判别准则开始了他的研究．后来，他在H．施瓦兹(Schwarz)的启发下证明了：假定对同一函数f(x)，存在两个对每个x都收敛到同一值的三角级数表达式，将两式相减，得到一个0的表达式，同样对所有x的值收敛：0=C0+C1+C2+...+C n+ (1)1870年3月，康托尔发表了一个关于唯一性定理所需要的初步结果．后来，人们把它叫康托尔-勒贝格(Lebesgue)定理．同年4月，康托尔证明了(pp．80—83)：当f(x)用一个对一切x都收敛的三角级数表示时，就不存在同一形式的另一级数，它也对每个x收敛并且代表同一函数f(x)．在另一篇论文(pp．84—86)中，他给出了上述结果的一个更好的证明．康托尔还证明了唯一性定理可以重新叙述为：如果对一切x，有一个收敛的三角级数等于零，则系数a n和b n都是零．1871年，康托尔将这个结果推广到可以存在着有穷多个例外的点．到了1872年，他又将结果进一步推广到无穷多个例外的点([8]，pp．92—108)．为了描述这种点所构成的集合，他引进了点集的导出集的概念．为了说明这些无穷例外点的性质，他以一集合的导出集的性质为标准，对无穷集作了一次分类．2．无穷集的分类(Ⅰ)设给定一集合P，P的一阶导出集为P＇，二阶导出集为P″，…，v阶导出集为P(v)．P为第二种集合，如果P′，P″…P(v)，…皆为无穷．此处，P′可不包含于P，但P″，，…中的点皆属于P′．P为第一种集合，如果P(v)只含有有穷多个点．在第二种集合的情况下，P＇可含有不属于P的点，而高阶导出集并没有引入新点．他还定义P(∞)为包括那些属于一切P(v)的点集，称为“p的∞次导出集”．3．无理数理论由于定义导出集要用到极限的概念，而极限的存在又必须以实数系为前提，因之，康托尔在不预先假定无理数存在的条件下，利用有理数，建立了一个令人满意的无理数理论．他通过“基本级数”(现在我们叫做基本序列或柯西序列)引入了无理数．他的作法与R．戴德金(Dedekind)从几何方面作的处理截然不同．对于有理数，他在1883年的一篇文章([8]，pp．165—204)中说，巳经没有必要去讨论它，因为这方面的工作已经由H．G．格拉斯曼(Grassmann)在他的《算术教本》(Lehrbuch der Arithmetik，1861)和J．H．T．缪勒(Müller)在他的《一般算术教程》(Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik，1855)中完成了．康托尔在他的《关于无穷线性点集(5)》中，给出了无理数理论较详细的内容．他引进一个新的数类——实数，它既包含有理数又包含无理数．他从有理数序列｛a n｝开始研究，这种序列满足：对于任何一个给定的正有理数ε＞0，序列中除去有限个项以外，彼此相差都小于ε，亦即对于任意的正整数m一致地有lim(a n+m-a n)=0成立．这样的序列叫基本序列．每个这样的序列定义一个实数，记作b．在这篇文章里，康托尔还定义了实数的四则运算和两个实数的不等关系，证明了：实数系是完备的．康托尔进一步得到：任意的正实数r可以通过如下形式的级数来表示：其中系数c r，满足不等式：0≤c r≤r-1．(2)式现在叫做康托尔基数．实数系建立以后，可知直线上每一点都有对应的实数．但是，对每一实数，是否直线上都有一相应的点？这必须通过公理才能保证．康托尔在这篇论文里把它作为公理提了出来．因此这条公理又被称为康托尔公理．据此，实数集与直线上的点集就有了一一对应．4．无穷集的分类(Ⅱ)康托尔对无穷集的第二种分类标准是建立在集合论中的．他的这种思想出自1873年11月他给在布伦兹维克的伙伴戴德金的一封交流信中，并在1874年的论文“关于一切代数实数的一个性质”里正式提出．他以“一一对应”为标准，对于凡能和正整数构成一一对应的集合都称为可数集．这是最小的无穷集．不久，康托尔证明了：有理数是可数的；而全体实数是不可数的．1873年11月他给出了有理数集合可数的第一个证明([8]，pp．115—118)；但他的第二个证明([8]，pp．2 83—356)是现在常采用的．康托尔把有理数排列成如下的形式(下图)：在一个半平面上，最上面一排称为第一行，标以数1，从上而下，分别称为第二行，第三行，…，顺次标以数2，3，…．每行正中间为0列，标以数0．从中间开始向右，顺次为1列，2列，…，从0列向左，顺次为－1列，－2列，…等等．在m 行n列相交处放置有理数集与正整数集构成一一对应．这就证明了有理数集可数．更让人惊讶的是，康托尔还证明了所有代数数的全体所构成的集也是可数的．这里所谓代数数就是满足下面代数方程a0x n+a1x n-1+…+a n=0的数，其中a i(i=0，1，2，…，n)都是整数．为了证明这一点，康托尔对任一个n次代数方程指定一个数(叫高)N如下：N=(n-1)+|a0|+|a1|+…+|a n|．其中a i(i=0，1，…，n)都是这个方程的系数．数N是一个正整数．对每一个N，以N为高的代数方程只有有限个．因此它们的全部解也只有有限个，除去重复的之外，所对应的代数数也只有有限个，设为φ(N)．他从N=1开始，对于所对应的代数数从1到n1给以标号；对应于N=2的代数数从n1+1到n2给以标号；依次下去．由于每一个代数数一定会编到号，并且必与唯一的一个正整数相对应，从而所有代数数的集合是可数的．1873年12月7日，康托尔还成功地证明了实数集和正整数集之间不存在一一对应．他曾给出两个证明，第一个证明在前面提到过的1874年的那篇文章里．第二个证明([8]，pp．278—281)比第一个证明复杂得多，但它不依赖于无理数的技术．今天大多数教科书中采用的是他的第二个证明．其实，他主要证明区间(0，1]中的点不可数．在十进制下，0与1之间的每个实数都可以写成0．p1p2p3…这样形式的无穷小数．并约定将有理数写成无穷小数，如假设实数集(0，1]是可数的，将其元素全部枚举出来，得到序列 a1，a2，a3，...，a n， (3)于是正整数集与实数集(0，1]之间可构成一一对应：现在构造一个数b=0．b1b2b3…b k…，其中则b是0与1之间的其数字都是4或5的一个无穷小数．并且它的第K位数字b k≠p KK，所以b与(3)中任何一个数都不相同．这就是说，数列(3)并没有把(0，1]中的数枚举完．因此，假设(0，1]可数是错误的．故(0，0]不可数．值得注意的是：上述证明中，康托尔在构造数b时，那里的数字4和5并不起什么特殊的作用．只用了b的一种性质：即b的第K位数字b k与(3)式中第K个数的第K位数字p kk不同．其实，与p kk不同的其余九个数字都可以作为b k．在证明中起决定作用的是对角线上的数字p kk．这种证明方法称为康托尔对角线法．在发现了两个不同的无穷集(整数集和实数集)以后，康托尔开始考虑是否还有更大的无穷．他首先想到，平面上的所有的点构成的集合是否就是那更大的无穷．三年之后，他证明了：一条直线上的点和整个R n(n维空间)中的点可以构成一一对应．这个结果和他始料的相反．1877年6月他写信给戴德金，请审查他的证明，并说：“我见到了，但是简直不能相信它．”(Briefweichsel Cantor-Dedekind，p．34)康托尔关于一直线中的点和R n中的点构成一一对应的思想是：把单位正方形中的点和(0，1)线段上的点之间构成一一对应．设(x，y)是单位正方形内的一个点．x是(0，1)中的点．设x，y都表示成无穷小数(当为有限小数时，写成9的无限循环)．我们把x和y的小数分成一组一组的，每一组都终止在第一个非零的数字上．例如令 z=0.3 01 02 7 4 06 005 8 6 04 …其中各组数字是：先排x的第一组，再排y的第一组，然后排x的第二组，y的第二组，依次下去．如果两个x或两个y有不同的小数位数字，则所对应的两个x不同．这说明(x，y)→z是一对一的．反之，对于任意的z∈(0，1)，把z的小数也像上面那样分组，并把上述过程倒过去使用，作出相应的x和y，则(x，y)是单位正方形中的点，所以上述映射是一一的．但它是不连续的．粗略地说，对应于彼此靠近的x点的(x，y)点不一定靠近，反之亦然．5．点集理论康托尔的点集理论，包含了大量的定义、定理和例子．例如，“闭包”、“稠密集”和“良定义集”等概念．康托尔还把一个闭的并且在它自身是稠密的集合叫“完备的”．他还给出了一个著名的三分集的例子，后来人们把它叫做“康托尔集”，它是一个完备的不连续集．这个集合被定义在[0，1]区间，它的所有点满足公式其中C r取值0或2．他还给出了“处处稠密”集的定义，指出了处处稠密集和导集之间的联系．康托尔点集理论中的第二个重要问题是：讨论无穷集合的基数，并按基数对集合进行分类．他给出了一些很重要的结果．另外，康托尔的可除容度理论使一些数学家感兴趣，并将其应用到微积分的某些定理的推广上．6．初等集合论康托尔把集合定义为“把我们的感觉或思维所确定的不同对象(称之为集合的元素)汇合成一个总体”(《数学年竖》，1895，pp．481—512)．在他早年的论文中，他有时使用“杂多”(Mannig-faltigkeit)一词代替集合．一个集合包含它的元素(或分子)，反过来这些元素属于集合．一给定集合S的一个子集是：它的所有元素都是S的元素；子集与元素不同，它是S的一部分．一个集合可以用列出它所有元素的方法来表示，如集合｛1，2｝；或者用一个性质来刻画它的元素．在每一种情况下，有相同元素的两个集合A和B，称为相等．记作A=B．至此可以看到，康托尔的集合论类似于G．布尔(Boole)的类理论，但更加复杂．两个集合S和T称之为等价的，如果在它们之间存在一一对应，记作S T．一个集合的基数是一切等价集合所共有而其他集合不具有的东西．集合P的基数被记作．这里两道水平线表示双重抽象．如果P有穷，就是一个自然数；如果P无穷，不是自然数，这个推广可借助对无穷所下的新定义而极易达到．我们说，一个集合是无穷的，当且仅当它能与它的一个真子集一一对应．正如有穷集合的基数可比较，无穷集合的基数也可比较．因为如果任一集合S等价于集合T的某一子集但不等价于T本身，那么S的基数小于T的基数．康托尔还借已知集合定义了构成新集合的并、交、笛卡儿积和嵌入等运算．除此之外，还定义了一种特别重要的集合，叫集合S的幂集．它是S的一切子集的集合(在S的子集中包括S本身和空集)，他常用“S”表示，这里的字母取自德文词Untermenge．现在人们则喜欢用P(S)表示S的幂集．引进集合的运算以后，康托尔又定义了基数的一般算术，包括加、乘和幂运算．当考虑无穷集时，由定义所得的结果在许多方面与自然数算术不同．7．超穷数康托尔关于良序集和序数的理论，发表在1879年到1884年的《数学年鉴》杂志上．后来这些文章都被收入题为《关于无穷线性点集(5)》中．康托尔指出：自然数序列1，2，3，…是从1开始，并通过相继加1而产生的．他把这种通过相继加1定义有穷序数的过程概括为“第一生成原则”．将全体有穷序数集称为第一数类，用(Ⅰ)表示，显然其中无最大元．但康托尔觉得，用一个新数ω来表示它的自然顺序没有什么不妥，这个新数ω是紧跟在整个自然数序列之后的第一个数——第一个超穷序数．从ω出发运用第一生成原则，可以得到一个超穷序数序列：ω，ω+1，ω+2，...，ω+n， (4)在(4)里，没有最大数．不妨用2ω来表示它．继续使用第一生成原则，得2ω，2ω+1，2ω+2，…，2ω+n，…在这一过程中，可以把ω看成自然数(单增序列)的一个永远达不到的极限．不过，康托尔仅仅强调ω是作为紧跟在全体自然数n∈N之后的第一个序数．它比所有的自然数n都大．第二生成原则是：给定任意有特定顺序、但其中无最大元素的集合，可以作为原集合的极限或后继者而得一新序数．反复运用这两个生成原则，就能产生无穷多个序数，如ω，ω+1，…，n0ωμ+n1ωμ-1+…+nμ-1ω+nμ，…，ω∞，…等等．它们的全体构成第二数类，记为(Ⅱ)．这些序数的基数都是可数的．接着，康托尔证明了：第二数类的基数不可数，他把这个基数记作，第二数类中也无最大序数．根据第二生成原则，在这些新序数之后又有一新序数ω1．这是第三数类的始数．如此逐步上升可以得到一系列的始序数ω1，ω2，ω3，…，与其相应的基数为：1，2，3，…．如果无限制地使用第一和第二生成原则，第二数类似乎不存在最大元素．为此，康托尔引出了第三生成原则——限制原则．限制原则的目的在于保证，一个新数类的基数大于前一数类的基数而且是满足这个条件的最小数类．值得注意的是，康托尔的超穷数理论，不同于以往数学家们在变量意义下使用的无穷．他说，有穷集和无穷集的重要差别在于：在有穷集的情况下，不论其中元素的顺序如何，所得的序数相同；对无穷集来说，由于元素顺序不同，从一无穷集可以形成无穷多个不同的良序集，因而得到不同的序数．为了强调超穷序数是一种实无穷，是被看作象实数那样具有真实数学意义的数，在这篇文章中，他选用了ω代替∞．他还期望所引进的这些超穷序数能像无理数、复数那样，最终被数学家们所接受．限制原则引进后，康托尔考虑了数集的顺序和它们的基数．他指出：(Ⅰ)和(Ⅱ)的重要区别在于(Ⅱ)的基数大于(Ⅰ)的基数．(Ⅰ)和(Ⅱ)的基数分别称为第一种基数和第二种基数，康托尔在引进超穷基数以及相应的超穷算术的过程中，用了一个很重要的概念——良序集．定义给定良定义集，如果它的元素按确定的顺序排列．依照这个顺序，存在这个集合的第一个元素，而且对每个元素都存在一个确定的后继(除非它是最后一个元素)．这样的集合称为一个良序集．显然，自然数集是良序的．数类(Ⅰ)与(Ⅱ)都是良序的．良序集的概念对于区别有穷集和无穷集起了重要的作用．接下来，康托尔引进了无穷良序集的编号——它用于刻画给定集合中元素出现的顺序．他还指出，这个新概念赋予超穷数一种直接的客观性．他证明了：给定任何一个可数无穷的良序集，总存在(Ⅱ)中的一个数能够唯一地表示它的顺序或编号．因此，从一个简单的可数集出发，就可以产生不同的良序集，如正整数这个可数无穷集，可以形成序数为ω，ω+1，ω+2，…，2ω，…，ωω，…等无穷多个良序集．如果两个良序集相似，则它们有相同的编号．因此，给定任意的(Ⅰ)或(Ⅱ)中的数α，按照自然顺序选出先于α的所有元素，则所有与之相似的良序集的编号由α唯一确定．以下三个良序集｛α1，α2，α3，…，αn，αn+1，…｝，｛α2，α1，α4，…，αn+1，αn，…｝，｛1，2，3，4，…，n，…｝的编号均为ω．下面的三个良序集｛α2，α3，…，αn，…，α1｝，｛α3，α4，…，αn+1，…，α1，α2｝，｛α1，α3，…，α2，α4，…｝的编号分别为ω+1，ω+2和2ω．康托尔还用数和编号之间的差别，给出了有穷集和无穷集的新解释．有穷集中不管元素怎样排列，编号总是相同的．有趣的是，具有相同基数的无穷集，其元素的个数相同，也可有不同的良序并产生不同的编号．因此，集合的编号完全依赖于集合无素所选取的顺序．他还强调，有穷集的基数和编号的概念是一致的．对于无穷集，基数和编号之间的区别是重要的．康托尔还把编号看成是计数概念的一种推广．一个无穷集的编号由它的一个超穷数给定．另外，良序的概念还为定义超穷算术提供了基础． 8．康托尔定理和边续统假设n维空间的点与直线上的点相比，并不是更大的无穷．那么，是否能从已知的无穷集合出发，根据正确的数学运算，构成更大的无穷集呢？康托尔在1891年的论文“集合论的一个根本问题”(Über eine elem entare Frage der Mannigfaltig keitslehre)里作了肯定的回答．他用对角线方法证明1899年，康托尔在给戴得金的信中说，1891年论文里的结果可以表示成：2a＞a．这里a为某一集合的基数，不管这个集合是什么，这个命题在康托尔的理论中都具有重要意义．它还被叙述为：一集合的幂集，其基数比原集合的基数大．因此，给定一集合，我们可以通过其幂集来形成一更大的集合；给定一基数，我们可以得到一更大的基数．所以没有最大的集合，也没有最大的基数．给定集合S，用求幂集的方法，可得下面一系列一个比一个大的集合：S，P(S)，PP(S)，…．如果S的基数为a，其相应的一个比一个大的基数为：a，2a，22a，…．。
康托尔的集合论
康托尔的集合理论(2011-08-18 06:39:53)标签：杂谈分类：杂七杂八康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教（1869-1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
1872年成为该校副教授，1879年任教授。
由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。
1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。
早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。
除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
集合论的建立19世纪由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，并对无理数理论、不连续函数理论进行认真考察，这方面的研究成果为康托尔后来的工作奠定了必要的思想基础。
康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。
康托尔的集合论
康托尔与集合论克罗内克，德国数学
家。对代数和代数数 论，特别是椭圆函数 理论有突出贡献。他 的主要贡献在于努力 统一数论、代数学和 分析学的研究。克罗 内克的数学观对后世 有极大影响。
• 亨利· 庞加莱，法国数
学家、天体力学家、 数学物理学家、科学 哲学家。他被公认是 19世纪后四分之一和 二十世纪初的领袖数 学家，是对于数学和 它的应用具有全面知 识的最后一个人。
集合论的漏洞
二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们乐观 地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以 建造起整个数学的大厦。在1900年第二次国际数学大会上，著 名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。 我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而这种自 得的情绪并没能持续多久。英国哲学家罗素(Russell)就很怀疑 数学的这种严密性，他经过三年的苦思冥想，于1902年找到了 一个能证明自己观点的简单明确的“罗素悖论”。不久，集合 论是有漏洞的消息迅速就传遍了数学界。
启发
无论是康托尔，还是牛顿或者莱布尼兹， 他们所创立的理论或者定理并非开始就趋 于完善的。都是经过后来无数专业人士不 断实验和改正后才形成了现在的学科。质 变的发生必然需要量变达到一定程度才能 发生，进而说明无论是数学或者其他学科 都是如此，前方并不一帆风顺，只有那些 坚持不懈，勇于挑战的人才会走向最后的 成功！
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖
康托尔集合论
康托尔集合论TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-（1）0P 是一个闭集，不含有任何区间。
这是显然的，0G 是任意个开集的并，所以0G 仍是开集，0P 是0G 的补集，所以0P 是闭集。
这表明不含有任何区间的闭集是存在的。
（2）0P 是完全集证明：要证0P 是完全集即证它不含有孤立点。
假设0P 有一孤立点0x ，则存在（α，β）使（α，β）中不含0P 中除0x 以外的任一点。
所以（α，0x ）⊂0G ，（0x ，β）⊂0G 。
于是0x 将成为0G 的某两个区间的公共端点，但由于0G 的做法是不可能的。
所以不存在这样的点0x ，与假设矛盾，所以得证0P 是完全集。
（3）0P 是不可列的证明：假设0P 是可列的，将0P 中点编号成点列1x ，2x ，…，k x …，也就是说，0P 中任一点必在上述点列中出现。
显然，10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦与2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦中应有一个不含有1x ，用1I 表示这个闭区间。
将1I 三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含2x ，用2I 表示它。
然后用3I 表示三等分2I 时不含3x 的左或右的那个闭区间，如此等等。
这样，根据归纳法，得到一个闭区间列N k k I ∈}{。
由所述取法知，1I ⊃2I ⊃…⊃k I ⊃…，k x k I ，k ∈N ， 同时，易见k I 的长为13k →0（k →∞）。
于是根据数学分析中区间套定理，存在点k I ，k N 。
可是是k I 等的端点集的聚点，从而是闭集0P 的聚点，故0P 。
由于上面已指出k x k I ，k ∈N ，故k x ，k N 。
这是一个矛盾。
故0P 不可列。
（4）0P 的势等于与0,1同势证明：引进0,1中小数的三进表示来考察区间（13，23）中每个点x 可表示成x=2x 3x …，其中2x ，3x ，…是0，1，2三个数字中之一。
这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：13=…，23=…，区间（213，223），（273，283）中的点x 可表示成x=3x 4x …或x=3x 4x …，其中3x ，4x ，…是0，1，2中任一数字。
康托尔集合论的评价认识
康托尔集合论的评价认识康托尔集合论是数学中一门重要的分支，以其严密的逻辑和深刻的思考方式而闻名于世。
它由德国数学家康托尔在19世纪末和20世纪初提出，对于集合的研究和理解产生了深远的影响。
本文将对康托尔集合论进行评价，探讨其在数学领域中的重要性和应用。
康托尔集合论为数学提供了一种独特的观点和方法，使得我们能够更好地理解集合的本质和性质。
集合作为数学中的基本概念，是研究对象的总称，具有广泛的应用。
康托尔通过创造性地提出了集合的概念，并引入了集合的基数和势的概念，从而为集合的研究打下了坚实的基础。
康托尔集合论的出现，为集合和集合运算提供了一种新的解释和理解方式，使得我们能够更加深入地探索集合的内涵和外延。
康托尔集合论对于数学的发展起到了重要的推动作用。
康托尔不仅仅提出了集合论的基本概念和原理，还通过引入一系列新的概念和方法，如可数集和不可数集，连续统假设等，推动了数学的发展。
康托尔集合论的出现，不仅仅是对集合概念的深入研究，更是对整个数学体系的重构和完善。
康托尔集合论的思想和方法，对于数学的各个分支都具有重要的启示作用，为数学家们提供了新的研究思路和方法论。
康托尔集合论对于解决数学中的一些难题和悖论起到了积极的作用。
在康托尔提出集合论之前，数学中存在着一些悖论和困难，如罗素悖论、连续统假设等。
康托尔通过创造性地引入集合的概念和原理，解决了这些悖论和困难，为数学的发展铺平了道路。
康托尔集合论的出现，不仅仅是对数学体系的完善，更是对数学思想的革命和突破。
它为数学家们提供了一种新的思考方式和解决问题的工具，使得数学的发展更加系统和全面。
康托尔集合论的应用领域非常广泛，不仅仅局限于数学领域。
康托尔集合论的思想和方法，被广泛运用于计算机科学、物理学、哲学等众多领域。
例如，在计算机科学中，康托尔集合论的概念和原理被用来描述和研究数据结构、算法等问题；在物理学中，康托尔集合论的思想和方法被用来研究分形结构、混沌现象等；在哲学中，康托尔集合论的观点和理论被用来思考现实世界的本质和结构。
康托尔与集合论
康托尔与集合论康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。
是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。
19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。
然而数学的发展最终证明康托是正确的。
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
1．康托尔的生平1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。
1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。
康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。
1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。
这篇文章的创造性引起人们的注意。
在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。
这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。
1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
2．集合论的背景为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。
数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。
康托尔集合的概念
康托尔集合的概念康托尔集合是德国数学家Georg Cantor于19世纪末提出的一种特殊的数学集合。
它在数学上具有很多神奇的性质和深刻的理论意义。
康托尔集合的概念源于对于无理数和可数性的研究，通过构造一种既无理又不可数的集合，揭示出了现代集合论的重要内容。
为了理解康托尔集合的概念，我们首先需要明确什么是集合。
在数学中，集合是由一些特定元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，符合某种特定的规则。
集合是数学的基础概念之一，我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
康托尔集合是通过一种特殊的构造方法来定义的。
这个构造方法被称为Cantor 的势标记法（Cantor's diagonal argument），它以Cantor的名字命名，是康托尔首次引入并证明了可数集和不可数集的概念。
在介绍康托尔集合之前，我们要先了解一下可数集和不可数集的概念。
一个集合被称为可数集，如果它的元素可以一一对应到自然数集(N)，也就是说，可以按照一定的顺序，将集合中的每个元素与自然数一一对应。
例如，整数集和有理数集都是可数集。
而一个集合如果不是可数的，就称为不可数集。
最经典的不可数集就是实数集(R)，其中包含了所有的实数。
回到康托尔集合的构造方法。
康托尔集合的构造方法是通过二进制小数来构造的。
二进制小数是指小数部分只包含0和1的小数。
康托尔集合可以被看作是由所有的二进制小数组成的集合。
具体来说，我们可以将实数区间[0,1)内的所有二进制小数按照以下的形式排列起来：0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000......其中，每一行都是一个二进制小数，每一位都可以是0或1。
康托尔集合就是由这个表格中的所有二进制小数组成的集合。
这里需要注意的是，康托尔集合与我们通常理解的自然数集不同，自然数集是无穷可数的，而康托尔集合是无穷不可数的。