5概率论与数理统计doc - 沈阳农业大学
(完整word版)概率论与数理统计知识点总结(良心出品必属精品)
（14）独 立性
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与
B 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x x
n
A Bi
2°
， i1
（15）全 概公式
则有 P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公
式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某
事件的概率，就用全概率公式；
不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不
可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基
本事件是互不相容的。
..
2
.. -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。 它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB) （11）减
关于概率与数理统计教学探讨
关于概率与数理统计教学探讨孙标沈阳师范大学数学与系统科学学院【摘要】《概率论与数理统计》是一门基础课，也是最能够反映数学应用性的课程。
本文对本课程的教学方式进行了探讨。
【关键词】概率统计教学改革案例教学目前高职教育的改革开展得红红火火，其中一个基本问题就是教学安排如何进行适当调整以更好地适应社会、用人单位的需要，真正实现学校、企业和学生各方的共赢?实施项目化教学是目前采用的解决方法的途径之一。
课程项目化教学是对传统教学方式的一次改革，不再以教师为主体“，我讲你听”，而是强调学生的自主性、师生的互动性和理论的应用性紧密结合，使课堂气氛变得活跃，在教学过程中使学生得到专业化训练。
对于项目化教学，不再拘泥于课程传统的理论体系、内容结构，教学顺序按照项目的编排来展开，一般在专业课程教学过程中采用。
对于基础课而言，采用项目化教学存在一定的困难，可简化为案例教学。
概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科。
是我国本科教育中一门重要数学课程。
概率论与数理统计是实际应用性很强的一门数学学科，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入产出分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用。
与别的数学课程不同的是概率论更强调直观和背景知识，如何根据学生的数学基础调整教学方法，以适应学生基础，培养其能力，并与其后续课程及专业应用结合，便成为任课教师面临的首要任务。
概率论教学要把直观和实际背景跟数学教育中的理论性，严谨性和逻辑性结合起来。
传统的数学教育对于学生对理论知识的理解和灵活运用以及解决实际问题能力的培养有所忽视。
对于培养各类人才的综合院校，概率论与数理统计课程教学的基本目标是把数学方法和应用有机地结合起来。
不但为本专业其他课程的学习打好理论基础，还要为在实际工作中如何应用打好基础，概率论与数理统计教育不仅是知识教育，而且是一种分析能力的训练，一种实际应用能力的培养，概率论与数理统计的教学要从培养学生科学素质和创新能力出发。
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Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB AB，AB AB
（7）概率 的公理化 定义
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L()
（10）加法+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 AB 不相容 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1、 f (x) 0 。
f (x)dx 1
2、
。
（3）离散 与连续型
3、 P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)
x2 f (x)dx
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
（9）几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
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概率论与数理统计.doc第一章矩阵与行列式第一节矩阵及其运算一、矩阵的概念人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时, 会获得许多重要的数据资料, 将这些数据排成一个矩形的数表111212122212n nm m mn a a a a a a a a a L L M M M L以便于进行储存、运算和分析, 这种矩形的数表就是矩阵.定义1 由m n ?个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成m 行n 列的矩形数表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ??L L M M M L称为m 行n 列矩阵, 简称为m n ?矩阵, 其中ij a 称为矩阵的位于第i 行、第j 列的元素. 通常, 我们用大写字母,,A B L 表示矩阵. 例如, 记111212122212.n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ?L L M M M L其中小括号“()” 也可用方括号“[]”代替. 有时, 矩阵也简记为()ij m nA a ?=或()ij A a =. 特别地, 当m n =时, 称A 为n 阶矩阵或n 阶方阵, 其中一阶方阵()a 是一个数, 括号可略去.元素全为实数的矩阵称为实矩阵, 元素全为复数的矩阵称为复矩阵. 本书主要在实数范围内讨论问题.对于由n 个未知量、m 个方程组成的线性方程组：11112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??+++=?L L L L L L L L L L L L L (1.1.1) 称矩阵A 11121121222212n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ??= ?LL M M M M L(1.1.2)为线性方程组(1.1.1)的增广矩阵；称矩阵A =111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ??L L M M M L(1.1.3) 为线性方程组(1.1.1)的系数矩阵；矩阵12m b bB b ?? ? ?= ? ???M (1.1.4)称为线性方程组(1.1.1)的常数项矩阵.显然, 线性方程组(1.1.1)由矩阵(1.1.2)完全地确定.下面介绍一些特殊的矩阵.(1) 零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记为O . (2) 列矩阵、行矩阵在矩阵A 中, 如果1n =, 则11211m a a A a ?? ? ?= ? ???M , 称这种只有一列的矩阵为列矩阵；同样, 如果1m =, 则()11121n A a a a =L ,称这种只有一行的矩阵为行矩阵.我们也将列矩阵和行矩阵分别称为列向量和行向量. 列向量和行向量统称为向量. 向量的元素称为分量, 有n 个分量的向量称为n 维向量. 矩阵与向量有密切的联系, 矩阵()ij m nA a ?=可以看成由n 个m 维列向量12,1,2,,j j mj a a j n a ?? ?= ? ? ???L M 组成, 也可以看成由m 个n 维行向量()12,1,2,,i i in a a a i m =LL 组成.(3) 负矩阵如果矩阵()ij m nA a ?=, 则()ij m nA a ?-=-称为矩阵A 的负矩阵.(4) 行阶梯形矩阵如果矩阵每一行的第一个非零元素所在的列中, 其下方元素全为零, 则称此矩阵为行阶梯形矩阵. 例如矩阵10234023450056700018A ?? ?= ? ???, 12102032210003100000B --?? ?- ?= ?- ???均为行阶梯形矩阵, 而矩阵10232023450056700418C ?? ?= ? ??? 则不是行阶梯形矩阵.(5) 行最简形矩阵如果行阶梯形矩阵中, 非零行的第一个非零元素均为1, 且其所在列的其余元素均为0, 则称此矩阵为行最简形矩阵. 例如, 矩阵1060301205000110000??- ?是行最简形矩阵.(6) 上(下)三角矩阵 n 阶方阵的左上角到右下角元素的连线称为主对角线, 左下角到右上角元素的连线称为次(副)对角线. 如果方阵的主对角线下(上)方元素全为0, 则称此矩阵为上(下)三角矩阵. 矩阵11121222000n n nn a a a a a a ?? ? ? ? ?L L M M M L 为上三角矩阵, 矩阵11212212000n n nn a a a a a a ?? ? ? ? ???LL M M M L 为下三角矩阵.(7) 对角矩阵如果方阵中除主对角线上的元素外, 其余元素全为0, 则称此矩阵为对角矩阵. 例如, 矩阵12000000n λλλ?? ? ? ? ???L L M M M L 为对角矩阵.(8) 单位矩阵在对角矩阵中, 如果()11,2,,i i n λ≡=L , 即为 100010001?? ? ? ? ???L L M M M L, 则称此矩阵为单位矩阵. 单位矩阵一般用E 或I 表示.定义2 如果两个矩阵()ij A a =, ()ij B b =的行数相同、列数也相同,则称矩阵A 与B 为同型矩阵.定义3 如果两个同型矩阵m n A ?, m n B ?的对应元素均相等, 即()1,2,,;1,2,,ij ij a b i m j n ===L L , 则称矩阵A 与B 相等, 记作A B =.二、矩阵的运算 1. 矩阵的加法定义4 由两个同型矩阵()m n ij m nA a ??=, ()m n ij m nB b ??=对应元素的和,即ij ij a b +()1,2,,;1,2,,i m j n ==L L 组成的m n ?矩阵称为矩阵A 与B 的和,记作A B +, 即111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ?+++ ?+= ? ?+++??L L M M M L . 由此定义及负矩阵的概念, 我们定义矩阵A 与B 的差为()A B A B -=+-.注只有同型矩阵才能相加(减). 2. 数与矩阵相乘(简称数乘)定义5 数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵称为数k 与矩阵A 的积, 记作kA , 即111212122212.n n m m mn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka ?? ? ?= ? ???L L M M M L 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算, 其满足如下性质：(1) A B B A +=+； (2) ()()A B C A B C ++=++； (3) ()()A A λμλμ=；(4) ()A A A λμλμ+=+；(5) ()A B A B λλλ+=+； (6) A O A +=；(7) 1A A =；(8) ()A A O +-=.上面的λ, μ都是任意常数.例1 设112034A -??= , 403123B -??= ?--??, 求A B +和23A B -.解14102(3)5110(1)3(2)43117A B +-++---+== ? ?+-+-+-；224120923068369A B ---=- ? ?--102133121--??= ?-??.3. 矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法)n 个变量12,,,n x x x L 与m 个变量12,,,m y y y L 之间的关系式11111221221122221122,,.n n n nm m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++??=+++??=+++?L L L L L L L L L L L L (1.1.5) 表示一个从变量12,,,n x x x L 到变量12,,,m y y y L 的线性变换.设有两个线性变换11111221332211222233,.z a y a y a y z a y a y a y =++??=++? (1.1.6)和111112222112223311322,,.y b x b x y b x b x y b x b x =+??=+??=+? (1.1.7) 若要求出从12,x x 到12,z z 的线性变换, 可将(1.1.7)代入(1.1.6), 得 111111221133111112122213322221112221233112112222223322()(),()().z a b a b a b x a b a b a b x z a b a b a b x a b a b a b x =+++++??=+++++? (1.1.8) 线性变换(1.1.8)可看作是先作线性变换(1.1.7)、再作线性变换(1.1.6)的结果, 我们称线性变换(1.1.8)为线性变换(1.1.6)与(1.1.7)的乘积, 相应地, 我们将线性变换(1.1.8)所对应的矩阵定义为(1.1.6)与(1.1.7)所对应的矩阵的乘积,即 111211121321222122233132bb a a a b b a a a b b ???? ? ? ??? ???111112211331111212221332211122212331211222222332.a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++??= ?++++??一般地, 我们有：定义6 设有矩阵()ij m sA a ?=和()ij s nB b ?=, 规定矩阵A 与B 的乘积是一个m n ?矩阵()ij m nC c ?=, 记为C AB =. 其中11221,1,2,,;1,2,,.ij i j i j is sjsik kj k C a b a b a b a b i m j n ==+++===∑L L L注只有当前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘, 且乘积矩阵C 中的元素ij C 就是A 的第i 行与B 的第j 列的对应元素乘积的和.例2 设201131012A -?? ?=- ? ?-??, 100221B ?? ?= ?,求AB .解AB 201101310201221-???? ? ?=- ? ? ? ?-2100(1)22002(1)11130121032110110(2)20012(2)1?+?+-??+?+-??? ?=-?+?+?-?+?+? ? ??+?+-??+?+-??? 0117.40-?? ?= ? ?-??例3 求矩阵1111A -??= ?-??与1111B --??=的乘积AB 及BA .解111122;111122AB ---== ??? ?---??111100.111100BA ---== ??? ?-??由以上例题可以看出矩阵乘法与数的乘法有两点显著不同：(1) 矩阵乘法不满足交换律：AB 与BA 未必同时有意义(如例2, BA 没有意义)；即使都有意义也未必相等(如例3). 因此为明确起见, 称AB 为A 左乘B , 或B 右乘A . 只有在一些特殊情况下才有AB BA =, 这时称A 与B 是乘法可交换的. 容易验证数量矩阵aE 与任何同阶方阵A 乘法可交换, 即()().aE A A aE aA ==(2) 矩阵乘法不满足消去律：由AB O =不能得出A O =或B O =(如例3), 即,A O B O ≠≠但AB 有可能为O .有了矩阵相等和乘法的定义, 我们可以把线性方程组(1.1.1)写成矩阵形式：AX B =, 其中A =111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ??L L M M M L, 1122,.n m x b x b X B x b ???? ? ? ? ?== ? ? ? ?????M M若B O =, 则称(1.1.1)为齐次线性方程组；若B O ≠, 则称(1.1.1)为非齐次线性方程组. 也可以把线性变换(1.1.5)写成矩阵形式：Y AX =, 其中12,m y y Y y ?? ? ?= ? ???MA 与X 同上所设.可以证明矩阵的乘法有下列性质： (1) ()()AB C A BC =；(2) ()A B C AB AC +=+；()B C A BA CA +=+； (3) ()()()AB A BA B λλλ==, λ为任意常数； (4) ()().m m n m n m n n aE A aA A aE ==定义7 设A 为n 阶方阵, k 为正整数, 称k 个A 的连乘积为方阵A 的k次幂, 记作k A , 即.k kA AA A =L 14243当,k l 都为正整数时, 由矩阵乘法的性质, 得(1) k l k l A A A +=；(2) ()lk kl A A =.注由于矩阵乘法不满足交换律, 所以, 一般地()kk k AB A B ≠. 例4 设1101A ??=, 求nA (n 为正整数).解1101A ??= ；2111112010101A ==； 3121113010101A ==；一般地, 有101n n A ??=.其正确性可由数学归纳法证得, 证明略.4. 矩阵的转置定义8 把m n ?矩阵A 的行与列互换得到的一个n m ?矩阵, 称为A 的转置矩阵, 记作T A . 例如, 矩阵120311A ??= ?-??的转置矩阵为1321.01T A ?? ?=- ?矩阵的转置也是一种运算, 满足下述运算规律：(1) ()TT A A = ；(2) ()TT T A B A B +=+ ；(3) ()TT A A λλ=, λ为一个数；(4) ()TT T AB B A = .例5 已知201132A -??= , 171423201B -??= ? ?,求().T AB解法1 因为1712010143423132171310201AB -??--???? ?== ? ?,所以()0171413310TAB ?? ?= ? ?-??. 解法214221017()72003141313112310T T T AB B A=== ??? ? ??? ?---??????.定义9 设A 为n 阶方阵, 如果满足T A A =, 即 ,,1,2,,.ij ji a a i j n ==L则称A 为对称矩阵. 对称矩阵的特点是：关于主对角线对称的对应元素相等.定义10 设A 为n 阶方阵, 如果满足T A A =-, 即ij ji a a =-, ,1,2,,.i j n =L则称A 为反对称矩阵. 反对称矩阵的特点是：主对角线上的元素全为0, 其余关于主对角线对称的对应元素则互为相反数.习题1-11. 设111210111A ?? ?=- ? ?-??, 120124051B -?? ?=-- ? ???, 求23AB A -及T A B .2. 已知两个线性变换113212331232,232,45.x y y x y y y x y y y =+??=-++??=++? 和 1122133233,2,.y z z y z z y z z =-+??=+??=-+? 求从1z , 2z , 3z 到1x , 2x , 3x 的线性变换. 3. 计算下列乘积：(1) 401123520-?? ?- ? 421??-??；(2) ()123321?? ?；(3) 321?? ?()123；(4) 121232*********-???? ???-- ???.4. 设A =1203-?? ???, B =2032??-??, 问(1) AB BA =吗?(2) ()2A B +=2A +2AB +2B 吗? (3) ()A B +()A B -=2A 2B -吗? 5. 举反例说明下列命题是错误的： (1) 若2A O =, 则A O =； (2) 若2A A =, 则A O =或A E =； (3) 若AX AY =, 且A O ≠, 则X Y =.6. 设A =1111?? ?-??, 1111B ??=, 求2()AB , 22A B .第二节矩阵的初等变换与初等矩阵一、初等变换的概念中学里, 已经学过用加减消元法解二、三元线性方程组.例1 解三元线性方程组1231231232344,23,226 2.x x x x x x x x x --+=??+-=-??+-=-? (1.2.1) 解为叙述方便, 方程组的第i 个方程记为(1,2,3)i r i =. i j r r ?表示对调第i 、第j 个方程, (0)i kr k ≠表示用k 乘第i 个方程的两边, i j r kr +表示第j 个方程的两边乘以k 然后加到第i 个方程上.方程组(1.2.1)12312r r r →12312312323,2344,3 1.x x x x x x x x x +-=-??--+=??+-=-? (1.2.2)21311232232323,22,2 2.r r r r x x x x x x x +-+-=-??→+=-??--=? (1.2.3)321232323,22,00.r r x x x x x ++-=-→+=-??=?(1.2.4)方程组(1.2.4)呈阶梯状(其增广矩阵为行阶梯形矩阵), 称为阶梯形方程组. 方程组(1.2.4)有3个未知量但有效方程只有2个, 因此有1个未知量可以任意取值, 称为自由未知量. 我们不妨取3x 为自由未知量. 先由方程组(1.2.4)中的2r 得：2322x x =--, 再代入(1.2.4)中的1r 得：1351x x =+.方程组(1.2.4)与方程组(1.2.1)是同解的, 由于3x 取值的任意性, 因此方程组(1.2.1)有无穷多组解, 其一般形式(通解)是13233351,22,.x x x x x x =+??=--??=? 若令3x c =, 即得123x X x x ?? ?= ? =5122c c c +?? ?-- ? ??=521c ?? ?- ? +120??- ? ???,其中c 为任意常数.解方程组(1.2.1)的过程中施行了3种变换：(1) 换位变换即互换两个方程的位置；(2) 倍乘变换即用一个非零常数乘某一方程；(3) 倍加变换即把一个方程乘以常数后加到另一个方程上去. 这三种变换统称为线性方程组的初等变换.首先, 我们用换位、倍乘和倍加变换得到的新方程组可以用同类型变换变回原方程组(例如方程组(1.2.2)1232r r r →方程组(1.2.1)), 因此线性方程组的初等变换是同解变换；其次, 可以证明：任何线性方程组都可以用初等变换化为阶梯形方程组, 而阶梯形方程组很容易判定是否有解, 且有解时容易通过自下而上的“回代”得到解.由于线性方程组AX B =和其增广矩阵A 相互唯一地确定, A 的每一行对应AX B =中的一个方程, 因此线性方程组的初等变换就对应着其增广矩阵的相应行变换.定义1 对矩阵施行的下列3种变换统称为矩阵的初等行变换： (1) 换位变换对调矩阵的第i 行和第j 行, 记为i j r r ?； (2) 倍乘变换用常数0k ≠乘第i 行, 记为i kr ；(3) 倍加变换把第j 行的k 倍加到第i 行上去, 记为i j r kr +.把上述定义中的“行”换成“列”(所有记号只要把""r 换成""c )即为矩阵的初等列变换. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.回顾例1, 方程组(1.2.1)的初等变换(消元)过程可以用增广矩阵的初等行变换表示如下：234412132262A --?? ?=-- ? ?--??12312r r r →121323441131--?? ?-- ? ?--??=A 121312r r r r +-→121301220122--?? ?- ? ?--??=A 232r r +→121301220000--??- ? ???=A 3 122r r -→105101220000-??- ? ??=A 4,A 3是行阶梯形矩阵, A 4是行最简形矩阵, A 4对应的方程组为132351,22,00.x x x x -=??+=-??=?取3x 为自由未知量, 并令3x c =, 即得1235122x c X x c x c +???? ? ?==--=521c ?? ?- ? +120??- ? ???, 其中c 为任意常数.利用初等行变换, 把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 是一种很重要的运算. 行阶梯形矩阵不是唯一的, 但其非零行的行数是唯一确定的(第五节将给出证明). 在解线性方程组AX B =时, 将增广矩阵A 化为行阶梯形矩阵, 就可以看出原方程组中是否有矛盾方程, 从而判断AX B =是否有解；在有解时, 进一步地将A 化为行最简形矩阵, 即可写出方程组AX B =的解.例2 将矩阵A =212341352012?? ? ? ???化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.解A =212341352012?? ?21312212301110111r r r r --??→--- ? ?---??32212301110000r r -?? ????→--- ? ???(行阶梯形矩阵)1212(1)r r ??-→1311220111000?? ? ? ? ? ??12121101201110000r -?? ? ????→ ? ? ???. (行最简形矩阵)例3 求解方程组123423412341234231,41,234,23 6.x x x x x x x x x x x x x x x +++=??+-=??++-=??+--=-?解11231011411231423116A ?? ?-= ?- ?---??31412111231011410114301578r r r r A --?? ?-→= ?- ?---??3242211231011410000200639r r r r A --?? ?-→= ? ?---??34311231011410063900002r r A ??? ?-→= ?---,矩阵3A 是行阶梯形矩阵, 其对应的方程组为123423434231,41,639,0 2.x x x x x x x x x +++=??+-=??--=-??=? 第四个方程为02=, 这是不可能的, 故原方程组无解. 例4 求解方程组1234123412341234231,234,324,23 6.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=??++-=-??---=-??+--=-? 解11231123143112423116A ?? ?-- ?= ?---- ?---?? 213141321112310114504711701578r r r r r r A ---?? ?--→= ?---- ?---?? 3242421123101145003272700633r r r r A +-??--→= ?------??4323112310114500327270005151r r A -?? ?-- →= ?--- ?1331451()411231011450019900011r r A ?---→= ?34241494351120201101001000011r r r r r r A -+--??-→= ?231312261000101001001000011r r r r r r A ----??-→= ?,3A 是行阶梯形矩阵, 6A 是行最简形矩阵, 6A 对应的方程组为12341,1,0,1.x x x x =-??=-?=?=?故原方程组有唯一解, 即12341101x x x x -- ? ?= ? ? ? ???. 二、初等矩阵定义2 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵. 对应于三类初等行、列变换, 有下列三种类型的初等矩阵：(1) 初等换位矩阵对调单位矩阵的第i , j 两行或第i , j 两列而得到的矩阵, 即为11011(,)11011E i j ?? ?= ?O L M O M L O i j ←←第行第行 (2) 初等倍乘矩阵用常数0k ≠乘单位矩阵的第i 行或第i 列而得到的矩阵, 即为11(())11E i k k i ?? ?=← ? ? ?O O 第行(3) 初等倍加矩阵把单位矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上而得到的矩阵, 即为11(,())11k i E i j k j ?? ? ? ?← ?= ?← ?O L O M O 第行第行 (,())E i j k 也可看作是把单位矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列上而得到的矩阵.下面我们用一个初等矩阵左乘或右乘一个矩阵. 例如。
概率与数理统计教案 (2)
《概率论与数理统计》教案东北农业大学信息与计算科学系第一次课（2 学时）教学内容：教材1-6页，主要内容有引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的：（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。
教学的过程和要求：（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；(i)概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B•Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
《概率论与数理统计》.doc
《概率论与数理统计》.doc《概率论与数理统计》是数学专业中非常重要的一门基础课程，通常在大一或大二就会开设，也是很多其他学科中的必修课程。
本文将介绍一下《概率论与数理统计》这门课程的涉及内容。
概率论是从某些可重复实验中得到一些变量的值或者某些事件的发生情况，从而得到不确定性的描述。
因此，概率论主要研究的是随机变量和随机事件的性质。
数学上，概率论主要涉及的内容包括随机变量的定义、分布和密度函数、期望、方差等。
在此基础上，就可以进一步研究随机变量之间的相关性以及一些随机过程的性质，如随机游走、马尔可夫过程等。
概率论是很多其他学科的重要基础，如统计学、金融学、生物学等。
数理统计是从已知的数据出发推断出总体的性质和规律，从而得到预测和决策的依据。
因此，数理统计主要研究的是如何从样本中推断总体的性质和规律。
数学上，数理统计主要涉及的内容包括概率分布的参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等。
在此基础上，统计学家可以进一步研究一些更加细致和复杂的问题，如非参数统计、贝叶斯统计等。
《概率论与数理统计》课程的主要目的就是让学生系统地学习概率论和数理统计这两门基础课程的主要内容。
在掌握这些基础知识之后，学生可以更加深入地学习其他相关学科，并且在实际工作中可以进行数据分析、预测和决策。
这些都是现代社会中非常重要的能力，所以学生们在学习《概率论与数理统计》的时候一定要认真对待，努力去掌握这些基础知识。
总的来说，《概率论与数理统计》是数学专业中非常重要的一门基础课程，它的内容非常广泛，包括概率论和数理统计的基础知识以及一些高级概念和工具。
只有通过深入的学习和理解，我们才能真正将这些知识应用到实际生活和工作中。
概率论与数理统计(农科类)教学大纲
模板4：东北农业大学本科课程（含课内实验）教学大纲课程名称概率论与数理统计（农科类）英文名称 Probability Theory and MathematicalStatisticas(Agricultural)课程编号：20600008g适用专业：农科类各专业总学时数：48 理论学时：40 实验学时：8总学分：3课程类型：数理化类课程先修课程：高等数学（农科类）、线性代数（农科类）大纲主撰人：任永泰内容简介本课程主要学习概率论的基本知识、随机事件发生的规律，以随机变量为线索讨论各种分布的性质及与之相关的应用和计算；在概率理论的基础上介绍数理统计的基本概念，数理统计的主要推断方法，并利用统计方法解决相应的统计问题。
教学大纲一、课堂讲授部分（一）各章节要点及授课时数第一章随机事件与概率（12学时）1、概率论的性质与任务2、样本空间与随机事件3、事件之间的关系和运算规律4、概率的定义及性质5、条件概率6、全概率公式7、事件的独立性第二章一维随机变量及其分布（8学时）1、随机变量、分布函数的定义2、离散型随机变量的分布列3、连续型随机变量、分布密度4、随机变量的数学期望和方差5、常见分布：二点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布。
第三章二维随机变量及其分布( 6学时)1、二维及多维随机变量的定义及分布函数2、边缘分布函数和随机变量的独立性3、二维随机变量的数字特征第五章描述性统计（4学时）1、统计学的基本概念2、样本的特征数、经验分布3、抽样分布第六章参数估计（6学时）1、点估计之矩法2、点估计之极大似然法3、点估计的优良性评价标准第七章假设检验（4学时）1、假设检验的基本概念2、正态总体均值的双侧检验、单侧检验3、频率的双侧检验和单侧检验4、方差的双侧和单检验（二）教材及主要参考书1．教材：《概率统计方法与应用》主编：邓华玲中国农业出版社2．主要参考书：《概率论与数理统计》主编：程述汉葛家麒中国农业出版社二、实验部分（一）实验课程简介（实验课程的特点，发展现状）本课程实验以国际通用数学软件SAS为操作平台，SAS 系统全称为Statistics Analysis System，最早由北卡罗来纳大学的两位生物统计学研究生编制，并于1976年成立了SAS软件研究所，正式推出了SAS软件。
概率论与数理统计(word版)
自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记第一章随机事件与随机事件的概率第二章随机变量及其概率分布第三章多维随机变量及概率分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理第六章统计量及其抽样分布第七章参数估计第八章假设检验第九章回归分析预备知识概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。
共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。
重点是参数估计。
一、加法原则引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。
问北京到上海的交通方法共有多少种。
解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。
它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
一般地有下面的加法原则：办一件事，有m类办法，其中：第一类办法中有n1种方法；第二类办法中有n2种方法；……第m类办法中有n m种方法；则办这件事共有种方法。
二、乘法原则引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？解：从北京经天津到上海的交通方法共有：①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。
共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
一般地有下面的乘法原则：办一件事，需分m个步骤进行，其中：第一步骤的方法有n1种；第二步骤的方法有n2种；……第m步骤的方法有n m种；则办这件事共有种方法。
三、排列（数）从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。
(完整word版)概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)(word文档良心出品)
（16）贝叶 斯公式
若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独
立。
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
4 / 27
（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F(x) P(X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。分布
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（14）独立 性
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
概率论与数理统计人大版本
概率论与数理统计人大版本
一、概率论与数理统计的概述
概率论是研究随机现象的理论体系，它通过对随机现象的规律性进行研究，为我们预测和决策提供依据。
数理统计则是一种基于数据的研究方法，它通过对数据的分析和处理，提取出数据背后的信息，为实际问题的解决提供支持。
二、概率论与数理统计的基本概念
在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，而样本空间则包含了所有可能的结果。
概率分布描述了随机变量取值的概率规律，而概率密度函数则用于描述连续型随机变量的概率分布。
三、常见概率分布及其应用
常见的概率分布有二项分布、泊松分布和正态分布等。
二项分布用于描述一系列伯努利试验的结果，泊松分布用于描述单位时间内随机事件的次数，正态分布则广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术领域。
四、数理统计的基本方法
数理统计的基本方法包括描述性统计、推断性统计等。
描述性统计用于概括和描述数据的集中趋势、离散程度等信息，而推断性统计则通过抽样数据对总体参数进行估计和检验。
五、参数估计与假设检验
参数估计是通过对样本数据的研究，估计总体参数的值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等，区间估计则通过构建置信区间来估计参数。
假
设检验则是通过检验统计量与临界值之间的关系，对总体参数进行推断。
六、应用领域与发展趋势
概率论与数理统计在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
随着大数据时代的到来，概率论与数理统计的研究方法和技术也在不断发展，包括机器学习、数据挖掘等领域。
在我国，概率论与数理统计的研究和应用也取得了显著成果，为各个领域的创新发展提供了有力支持。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律的数学学科，它在自然科学、工程技术、社会科学、经济金融等众多领域都有着广泛的应用。
以下是对概率论与数理统计主要知识点的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
我们通常用大写字母A、B、C 等来表示。
随机事件的关系包括包含、相等、互斥（互不相容）和对立等。
2、概率的定义概率是用来度量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的古典定义是：如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
概率的统计定义是：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定地接近于某个常数 p，就把 p 称为事件 A 的概率。
3、概率的性质概率具有非负性（0 ≤ P(A) ≤ 1）、规范性（P(Ω) ＝ 1，其中Ω 表示样本空间）和可加性（对于互斥事件 A 和 B，有 P(A∪B) ＝ P(A) ＋P(B)）。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为 P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件A 和B 同时发生的概率。
2、乘法公式乘法公式有两种形式：P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 和 P(AB) ＝P(B|A)P(A) 。
三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式设 B₁，B₂，，Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝1, 2,， n），则对于任意事件 A，有 P(A) ＝Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) 。
2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A) 和 P(Bᵢ)、P(A|Bᵢ)（i ＝ 1, 2,，n），则对于任意事件 Bᵢ（i ＝ 1, 2,， n），有 P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)／Σ P(Bₙ)P(A|Bₙ) 。
沈阳农业大学参考书目
│沈阳农业大学参考书目│├────────────────────────────────────────┤│321《高等数学》惠淑荣编（农业版）、《概率论与数理统计》吴素文编（农业版）。
322 ││《普通化学》王伊强编（中国农大版）。
《有机化学》陈有民编（林业版）、《花卉学》鲁涤非编（农业版）。
401《理论力学》（上册）哈工││大编第4版或第5版(高教版), 《材料力学》刘鸿文编第3版或孙训方编第3版(高教版)。
402 ││《工程热力学》严家禄编第3版(高教2000版),《传热学》余佐平编第3版(高教版1999)。
40││3《电路》邱关源编第4版(高教版)。
406《水力学》吴持恭编第2版(高教版)或李炜等编第1││版(武水版)。
407《土壤侵蚀原理》张洪江编（林业版2000）。
408《水文水利计算》叶守泽││编第1版（水电版）。
410《食品化学》李合生编(高教版)。
415《基础生物化学》徐祝龄编（气象版1994）、《气候学》高国栋编（气象版1990）。
418《普通生态学》││孙儒泳等编（高教版2000）、《景观生态学原理及应用》傅伯杰等编（科学版2001）。
420││《遗传学》朱军编第3版（农业版2002）或第2版。
422《农业推广学》王惠军编（农业版200││3）。
425《生态学》李博编（高教版2000）。
428 《地质与地貌学》梁成华编（农业版2002││）。
436《土地资源学》王秋兵编（农业版2003 ）。
439《家畜生理学》陈杰编第4版（农││业版）、《动物生物化学》周顺伍编第2版（农业版）。
440《动物营养学》杨风编第2版、││《饲料学》王成章编。
442《兽医微生物学》陆承平编21世纪教材、《兽医免疫学》杜念兴││编。
451《森林生态学》李景文主编第2版（林业版）。
452 《园林艺术》过元炯编（农业版││）、《城市园林绿地规划》杨赉丽编（林业版）、《中国古典园林史》周维权编（清华版）││、《西方园林》郦芷若编（河南科技版）、《园林规划设计》戴德明编（人大版）、《会计学基础》李翀编第3版（中山大学版）、《西方经济学》高鸿业编第2版（人大││版2000）。
概率论与数理统计复习题册答案(西农版)
第一章 随机事件与概率 §1.1 随机试验 随机事件 一、选择题1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”，C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC .于是对立事件 {}A B C ==U 甲产品滞销或乙产品畅销，故选D.2. 由A B B A B B A AB =⇔⊂⇔⊂⇔=ΦU ，故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间 1.{}3,420L ，， 2[]0,100 3.z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω分别表示折后三段长度。
三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， ；则{}246,,A ωωω=，{}36,B ωω=（2）{}135,,A ωωω=，{}1245,,,B ωωωω=，{}2346,,,A B ωωωω=U ，{}6AB ω=，{}15,A B ωω=U四、（1）ABC ；（2）ABC ；（3）“A B C 、、不都发生”就是“A B C 、、都发生”的对立事件，所以应记为ABC ；（4）A B C U U ；（5）“A B C 、、中最多有一事件发生”就是“A B C 、、中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：AB AC BC U U .又这个事件也就是“A B C 、、中至少有二事件不发生”，即为三事件AB AC BC 、、的并，所以也可以记为AB AC BC U U .§1.2 随机事件的概率 一、填空题1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设{}A =指定的3本书放在一起，所以A 中包含的样本点数为8!3!⋅，即把指定的3本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。
故8!3!1()10!15P A ⋅==。
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概率论与数理统计
Probability and Functional Statistics
课程代码：L204011
学时数：72学分数：4
执笔人：吴素文讨论参加人：惠淑荣, 吴素文, 鲁春铭，张阚等
审核人：惠淑荣
一、教学目的
通过对本课程的学习，要求学生掌握概率论的基本理论和计算方法，明确数理统计的基本原理，熟练掌握数理统计的多种方法。
让学生了解数理统计与生物统计、农业经济管理等学科间的密切联系。
在教学过程中，注重该门课程在农业中的应用，加强培养学生的统计计算能力。
为进一步学习有关专业课程打下较好的基础。
二、教学内容、教学目标及学时分配
绪论：该门课程的性质、研究对象、历史发展、学习目的、任务及学习方法。
第一部分概率论
第一章事件与概率（9学时）
理解概率的定义，明确有关概率的性质及基本定理，从而掌握概率的基本运算。
1.随机试验、样本空间及随机事件的定义
2.事件的概率及概率的公理化体系
3. 条件概率，事件的独立性
4.全概率公式、贝叶斯（Bayes）公式、贝努里概型
第二章一维随机变量及其分布（8学时）
理解随机变量的定义和作用，掌握一维离散型随机变量和一维连续型随机变量的概率分布及其表示方法，明确分布函数和密度函数在概率分布中所起的作用。
熟练掌握一维随机变量中几种常见的分布并会计算有关求概率的问题。
1.随机变量的概念
2.离散型随机变量及其概率分布
3.随机变量的分布函数
4. 连续型随机变量及其分布
5.一维随机变量函数的分布
第三章二维随机变量及其分布（10学时）
掌握二维随机变量的联合概率分布、边缘概率及条件分布，明确多维随机变量相互间独立的概念，并会求几种简单的随机变量函数的分布。
1.二维随机变量的联合概率分布及边缘分布；
2. 随机变量的独立性及条件分布；
3.两个随机变量函数的分布。
第四章随机变量的数字特征（6学时）
明确随机变量主要的数字特征的意义、作用，掌握其性质与计算方法，并熟知几个常见分布的数字特
1
征。
1.数学期望与方差
2. 协方差与相关系数、矩与协方差阵
第五章大数定律与中心极限定理（3学时）
会用契比雪夫不等式估计概率，了解几个常用的大数定律及中心极限定理，掌握隶莫弗——拉普拉斯中心极限定理的内容、意义及其应用。
1.大数定律
2.中心极限定理
第二部分数理统计
第六章数理统计的基本概念（6学时）
了解数理统计与概率论的区别与联系，深刻理解总体、个体及样本的基本概念，掌握几种样本统计量的分布，熟练掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算方法。
1. 总体、样本及样本的分布
2. 抽样分布（统计量的分布）
第七章参数估计（8学时）
了解参数估计的基本思想，掌握参数点估计和区间估计的两种方法和在具体问题中的应用。
1.点估计，包括矩估计和极大似然估计。
评价估计量的标准
2.区间估计，包括：基本概念、正态总体均值与方差的区间估计、总体分布未知时均值μ的区间估计、两总体均值差的区间估计及总体频率的区间估计
第八章假设检验（10学时）
χ检验的数学原明确假设检验的基本思想、小概率原理及两类错误，掌握u检验、t检验、F检验及2
理及方法。
1.假设检验的一般概念
2.总体均值的假设检验
3.正态总体方差的假设检验
4.关于分布的假设检验
5.适合性检验与独立性检验
第九章方差分析（6学时）
掌握方差分析中的平方和分解公式及方差分析基本原理，掌握单因素方差分析方法，了解双因素方差分析及多重比较方法。
1. 单因素试验的方差分析；
2.多重比较；
3. 双因素试验方差分析。
第十章回归分析（6学时）
了解最小二乘法原理。
掌握一元线性回归方程的建立、检验和用回归方程进行估计预测的方法，了解曲线回归及多元线性回归的建立方法和具体应用。
1.一元线性回归
2.一元非线性回归
3. 多元线性回归
2
三、课程教学的基本要求
本课程的教学环节主要包括:课堂讲授、习题课及课外作业。
重点培养学生的自学能力、分析问题和解决问题的能力。
（一）课堂讲授
主要教学方法：启发式教学，鼓励和培养学生自学能力。
让学生明确统计知识在各自专业中的应用，可以举一反三。
原则性建议：在条件成熟时，可在数理统计部分引入计算机辅助手段教学，介绍简单的统计软件的使用。
（二）其它教学环节
1.习题课：计划每章各有一次。
但主要根据学生的掌握情况而定。
2.作业：主要以计算题为主。
3.考试：平时成绩30%，期末成绩70%。
期末考试主要采取闭卷考试形式。
试题类型为：填空题、选择题、是非题、计算题、证明题和应用题等。
四、参考教材
[1]《概率论与数理统计》，吴素文、张丽梅主编，中国农业出版社，2002
[2]《概率论与数理统计》，盛骤等主编，高等教育出版社，1995
[3]《概率论与数理统计教程》，茆诗松等编，高等教育出版社，2004
五、本课程的先修课程
本课程的先修课为《高等数学》。
通过该课程的学习，为各管理类专业后续课程奠定基础。
六、教学大纲修订说明
该课程计划学时数（72学时）不变，适用于我校管理类各专业学生使用。
各章节在教学内容上将去掉比较烦琐的理论推导（方差分析和回归分析的数学模型），重点讲解实际应用。
第八章中“关于分布的假设检验”和“适合性检验与独立性检验”两节内容和第十章“一元非线性回归”、“多元线性回归”及“多项式回归”讲清基本思想即可。
3。