专题08 寒假综合提高训练(1)(解析版)

专题08 寒假综合提高训练（1）实战演练一、精心选一选1．（2018秋•邗江区期末）在实数227，−√6，√93，0，π，−√25中，无理数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【点拨】根据无理数的定义进行解答即可．【解答】解：在实数227，−√6，√93，0，π，−√25中，无理数有：−√6、√93、π， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．2．（2019春•呼和浩特期末）关于“√10”，下列说法不正确的是（ ）A ．它是一个无理数B ．它可以表示面积为10的正方形的边长C ．它是与数轴上距离原点√10个单位长度的点对应的唯一的一个数D ．若a ＜√10＜a +1，则整数a 的值为3【点拨】依据无理数的概念，绝对值的定义，算术平方根的定义，夹逼法估算无理数大小的方法进行判断即可．【解答】解：A 、√10是一个无理数，故A 正确，不符合题目要求；B 、√10可以表示面积为10的正方形的边长，故B 正确，不符合题目要求；C 、数轴上距离原点√10个单位长度的点表示的数是±√10，故C 错误，符合题目要求；D 、∵9＜10＜16，∴3＜√10＜4，故整数a 的值为3，故D 正确，不故符合题目要求．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．3．（2019•齐齐哈尔）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数【点拨】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较小明和小强同学自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩的稳定程度，应选用的统计量是方差．【解答】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，故选：C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．4．（2018秋•贵阳期末）在下列图形中，由∠1＝∠2一定能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．【点拨】根据同位角相等两直线平行判断即可．【解答】解：如下图，∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．5．（2019•深圳模拟）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【点拨】先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【解答】解：如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1＝20°，∠F ＝30°，∴∠BEF ＝∠1+∠F ＝50°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠BEF ＝50°，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．6．（2018秋•即墨区期末）已知关于x ，y 的方程组{2x +3y =0.5m −3x +2y =−2m +2的解x 和y 互为相反数，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【点拨】将m 看做常数解二元一次方程组求得x 和y ，再根据x +y ＝0列出关于m 的方程，解之可得．【解答】解：解方程组{2x +3y =0.5m −3x +2y =−2m +2得：{x =7m −12y =−4.5m +7， ∵x 和y 互为相反数，∴x +y ＝0，则7m ﹣12﹣4.5m +7＝0，解得：m ＝2，故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组．7．（2019•闵行区二模）已知直线y ＝kx +b 经过第一、二、四象限，那么直线y ＝bx +k 一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【点拨】由直线经过一、二、四象限可分析k ＜0，b ＞0，由此判定y ＝bx +k 不经过第二象限．【解答】解：∵直线y ＝kx +b 经过第一、二、四象限，∴k ＜0，b ＞0，∴直线y ＝bx +k 一定不经过第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，关键要知道k 和b 对图象的决定作用．8．（2019•武汉模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x 尺，绳子长为y 尺，则下列符合题意的方程组是（ ）A ．{y =x +4.512y =x +1 B ．{y =x +4.512y =x −1 C ．{y =4.5−x 12y =x +1 D ．{y =x −4.512y =x −1 【点拨】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．【解答】解：由题意可得，{y =x +4.512y =x −1， 故选：B ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．9．（2018秋•碑林区校级月考）如图，在一次函数y ＝﹣x +5的图象上取点P ，作P A ⊥x 轴于A ，PB ⊥y 轴于B ，且长方形OAPB 的面积为6，则这样的点P 个数共有（ ）A．4B．3C．2D．1【点拨】设点P的坐标为（x，y），由图象得|x||y|＝6，再将y＝﹣x+5代入，即可得出关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的判别式，判断点P的个数即可．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），由图象得|x||y|＝6，再将y＝﹣x+5代入，得x（﹣x+5）＝±6，则x2﹣5x+6＝0或x2﹣5x﹣6＝0，∴方程有两个不相等的实数根，∴这样的点P个数共有4个．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．（2019•无锡一模）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤b≤13B．12≤b≤15C．13≤b≤16D．15≤b≤16【点拨】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A 点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出，进而得出答案．【解答】解：如图，连接BO，AO，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高，即a＝12；当吸管底部在A 点时吸管在罐内部分a 最长，即线段AB 的长，在Rt △ABO 中，AB =√AO 2+BO 2=√52+122＝13，故此时a ＝13，所以12≤a ≤13，则吸管的总长度b （罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是：15≤b ≤16．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．二、细心填一填11．（2019春•江北区校级期中）二元一次方程x +y ＝5的正整数解个数有 4 个．【点拨】方程变形后，确定出正整数解即可．【解答】解：方程x +y ＝5，解得：y ＝﹣x +5，当x ＝1时，y ＝4；x ＝2时，y ＝3；x ＝3时，y ＝2；x ＝4时，y ＝1，则方程的正整数解个数有4个，故答案为：4【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．12．（2019•九江二模）若|2a ﹣b ﹣4|+√a +b −5=0，则（b ﹣a ）2019＝ ﹣1 ．【点拨】根据非负数的性质得出a 、b 的方程组，解之可得a 、b 的值，代入求值即可得．【解答】解：∵|2a ﹣b ﹣4|+√a +b −5=0，∴{2a −b =4a +b =5，解得：{a =3b =2， ∴（b ﹣a ）2019＝（2﹣3）2019＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和非负数的性质，根据题意得出方程组是解题的关键．13．（2017秋•宁德期末）已知函数y ＝kx +b 的部分函数值如表所示，则关于x 的方程kx +b +3＝0的解是 x＝2 ．x… ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 5 3 1 ﹣1 …【点拨】首先根据表格数据可得当x ＝0时，y ＝1，当x ＝1，y ＝﹣1，把这两组值代入y ＝kx +b 可得关于k 、b 的方程组，进而可得函数解析式，然后再把方程kx +b +3＝0变形可得kx +b ＝﹣3，进而利用函数解析式求出y ＝﹣3时x 的值即可．【解答】解：∵当x ＝0时，y ＝1，当x ＝1，y ＝﹣1，∴{b =1k +b =−1， 解得：{k =−2b =1， ∴y ＝﹣2x +1，当y ＝﹣3时，﹣2x +1＝﹣3，解得：x ＝2，故关于x 的方程kx +b +3＝0的解是x ＝2，故答案为：x ＝2．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确确定一次函数解析式．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2AC ＝4，分别以点C ，B 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点P ，Q ，作直AB ，BC 于点M ，N ，连接AN ，CM ，AN 与CM 相交于点D ，则△ACD 的面积是 43 ．【点拨】由作法得MN 垂直平分BC ，则CN ＝BN ＝2，MN ⊥BC ，所以MN 为△ABC 的中位线，MN =12AC ，根据平行线分线段成比例定理得到AD ：ND ＝2：1，然后根据三角形的面积公式利用S △ACD ：S △ACN ＝2：3进行计算．【解答】解：由作法得MN 垂直平分BC ，∴CN ＝BN ＝2，MN ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴MN ∥AC ，∴MN 为△ABC 的中位线，∴MN =12AC ，∵MN ∥AC ，∴AD ：ND ＝AC ：MN ＝2：1，∴AD ：AN ＝2：3，∴S △ACD ：S △ACN ＝2：3，∴S △ACD =23×12×2×2=43．故答案为43． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．15．（2018秋•埇桥区期末）若一次函数y ＝2x +6与y ＝kx 图象的交点到x 轴的距离为2，则k 的值为 ﹣1或12 ． 【点拨】首先根据一次函数y ＝2x +6与y ＝kx 图象的交点到x 轴的距离为2，得到两直线的交点的纵坐标为2或﹣2，代入一次函数求得交点坐标为（﹣2，2）或（﹣4，﹣2），然后代入y ＝kx 求得k 值即可．【解答】解：∵一次函数y ＝2x +6与y ＝kx 图象的交点到x 轴的距离为2，∴两直线的交点的纵坐标为2或﹣2，∴2＝2x +6或﹣2＝2x +6，解得：x ＝﹣2或，x ＝﹣4，∴交点坐标为（﹣2，2）或（﹣4，﹣2），代入y ＝kx 得k ＝﹣1或12， 故答案为：﹣1或12． 【点睛】本题考查了两条直线平行或相交问题，解题的关键是能够分类讨论．16．（2018春•西城区校级期中）实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简：√(a −5)2+√(a −13)2= 8 ．【点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示：6＜a ＜12，则√(a 2+√(a −13)2＝a ﹣5+13﹣a＝8．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．17．（2019春•永昌县期末）对于任意实数a ，b ，定义关于“⊕”的一种运算如下：a ⊕b ＝2a +b ．例如：3⊕4＝2×3+4＝10．若x ⊕（﹣y ）＝2，且2y ⊕x ＝﹣1，则x +y ＝ 13 ．【点拨】利用题中的新定义化简已知等式列出方程组，求出方程组的解即可求出所求．【解答】解：根据题中的新定义得：{2x −y =2①x +4y =−1②， ①+②得：3x +3y ＝1，则x +y =13，故答案为：13 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（2019•锦州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 的最小值是 √10−1 ．【点拨】由折叠的性质可得AM ＝A 'M ＝1，可得点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值，由勾股定理可求MC 的长，即可求A ′C 的最小值．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值，∵MC =√MD 2+CD 2=√10∴A ′C 的最小值＝MC ﹣MA '=√10−1故答案为：√10−1【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质、勾股定理，解题的关键是分析出A ′点运动的轨迹．19．（2018秋•白云区期末）一个正方形的边长增加了2cm ，它的面积就增加44cm 2，这个正方形的边长是：10cm ．【点拨】设正方形的边长是xcm ，根据面积相应地增加了44cm 2，即可列方程求解．【解答】解：设正方形的边长是xcm ，根据题意得：（x +2）2﹣x 2＝44，解得：x ＝10．故答案为：10cm ．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、耐心做一做20．（2019秋•九龙坡区校级月考）计算：（1）（1﹣π）0﹣（﹣1）2018﹣（−12）﹣3+√643 （2）|√5−√8|5（√2+1）2−√12 【点拨】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、乘方和立方根的定义计算；（2）利用绝对值、完全平方公式计算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝1﹣1+8+4＝12；（2）原式＝2√2−√5+√5−（2+2√2+1）−√22 ＝2√2−3﹣2√2−√22 ＝﹣3−√22．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21．（2018秋•罗湖区期末）解方程（1）{y =5−2x 3x +2y =4（2）{3x +4y =11x+32−y =0 【点拨】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）{y =5−2x①3x +2y =4②， 把①代入②得：3x +10﹣4x ＝4，解得：x ＝6，把x ＝6代入①得：y ＝﹣7，则方程组的解为{x =6y =−7； （2）方程组整理得：{3x +4y =11①y =x+32②， 把②代入①得：3x +2x +6＝11，解得：x ＝1，把x ＝1代入①得：y ＝2，则方程组的解为{x =1y =2． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．22．（2019春•陆川县期末）某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示．（1）本次共抽查学生 50 人，并将条形图补充完整；（2）捐款金额的众数是 10元 ，平均数是 13.1元 ，中位数为 12.5元 ．（3）在八年级600名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？【点拨】（1）有题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；（2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将50人的捐款总额除以总人数可得平均数，求出第25、26个数据的平均数可得数据的中位数；（3）由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占比例估计总体中的人数．【解答】解：（1）本次抽查的学生有：14÷28%＝50（人），则捐款10元的有50﹣9﹣14﹣7﹣4＝16（人），补全条形统计图图形如下：（2）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10元；这组数据的平均数为：5×9+10×16+15×14+20×7+25×450=13.1（元）； 中位数是10+152=12.5（元），故答案为：10元、13.1元、12.5元．（3）捐款20元及以上（含20元）的学生有：7+450×600＝132（人）；答：在八年级600名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有132人．【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23．（2018秋•顺义区期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于点E ，EF ∥AB 交AC于点F ．求证：△FEC 是等腰三角形．【点拨】利用平行线以及角平分线的定义证明∠2＝∠3，再根据等角的余角相等证明∠4＝∠5即可解决问题；【解答】证明：如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EF∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵CE⊥AD于点E，∴∠AEC＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，∴FE＝FC，∴△FEC是等腰三角形．【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（2019•广西一模）某景区在同一线路上顺次有三个景点A，B，C，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离景点A的路程s（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．（1）甲的速度是60米/分钟；（2）当20≤t≤30时，求乙离景点A的路程s与t的函数表达式；（3）乙出发后多长时间与甲在途中相遇？（4）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？【点拨】（1）由图象可得甲行走的路程和时间，即可求甲的速度；（2）由待定系数法可求乙离景点A 的路程s 与t 的函数表达式；（3）两人相遇实际上是函数图象求交点；（4）由乙从B 景点开始行走的路程+360＝景点B 和景点C 之间的距离，可列方程解即可．【解答】解：（1）甲的速度=540090=60米/分钟，故答案为：60（2）当20≤t ≤30时，设s ＝mt +n ，由题意得{0=20m +n 3000=30m +n解得{m =300n =−6000∴s ＝300t ﹣6000（3）当20≤t ≤30时，60t ＝300t ﹣6000，解得t ＝25，∴乙出发后时间＝25﹣20＝5，当30≤t ≤60时，60t ＝3000，解得t ＝50，∴乙出发后时间＝50﹣20＝30，综上所述：乙出发5分钟和30分钟时与甲在途中相遇；（4）设乙从B 步行到C 的速度是x 米/分钟，由题意得5400﹣3000﹣（90﹣60）x ＝360，解得x ＝68，所以乙从景点B 步行到景点C 的速度是68米/分钟． 【点睛】本题是一次函数实际应用问题，考查了对一次函数图象代表意义的分析和从方程角度解决一次函数问题．25．（2018秋•萧山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．（1）求m的值和点C的坐标；（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a 的值．【点拨】（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1即可得到m的值，然后求出b的值，得到直线L2的函数表达式；（2）由（1）得到直线l2的解析式为y＝﹣x+4，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，得到D（a，3a+1），E（﹣a+4），列方程即可得到结论．【解答】解：（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1得，m＝4，∴B（1，4）将点B（1，4）代入y＝﹣x+b中，得4＝﹣1+b，∴b＝5，令x＝0，得y＝5，∴点C的坐标为：（0，5）；（2）由（1）得，直线l2的解析式为：y＝﹣x+5，∵过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，∴D（a，3a+1），E（a，﹣a+5），∵DE＝6，∴|3a+1﹣（﹣a+5）|＝6，∴a=52或a=−12．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行，正确理解直线相交和平行时解析式的关系是解题的关键．26．（2019春•雨花区校级期中）通程电器商城购3台空调、2台彩电需花费2.32万元．购2台空调、4台彩电需，花费2.48万元．（1）计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？（2）已知一次性购进空调、彩电共30台，购进资金不超过12.8万元，购进空调不少于10台，写出符合要求的进货方案；（3）在（2）的情况下，原每台空调的售价为6100元．每台彩电的售价为3900元，根据市场需要，商城举行“庆五一优惠活动”，每台空调让利a 元（0＜a ＜350），设商城计划购进空调x 台，空调和彩电全部销售完商城获得的利润为y 元．试写出y 与x 的函数关系式，选择哪种进货方案，商城获利最大？【点拨】（1）根据商城购3台空调、2台彩电需花费2.32万元．购2台空调、4台彩电需，花费2.48万元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得相应的进货方案；（3）根据题意，可以写出y 与x 的函数关系式，并求得选择哪种进货方案，商城获利最大．【解答】解：（1）设每台空调与彩电的进价分别是x 元、y 元，{3x +2y =2.322x +4y =2.48，得{x =0.54y =0.35， 答：每台空调与彩电的进价分别是0.54万元、0.35万元；（2）设购进空调m 台，则购进彩电（30﹣m ）台，{0.54m +0.35(30−m)≤12.8m ≥10， 解得，10≤m ≤12219，∵m 为整数，∴m ＝10，11，12，∴共有三种进货方案，方案一：购进空调10台，购进彩电20台，方案二：购进空调11台，购进彩电19台，方案三：购进空调12台，购进彩电18台；（3）由题意可得，y ＝（6100﹣5400﹣a ）x +（3900﹣3500）（30﹣x ）＝（300﹣a ）x +12000，∵0＜a ＜350，x ＝10，11，12，∴当0＜a ＜300时，x ＝12时，y 取得最大值，此时y ＝﹣12a +15600，当a＝300时，三种方案获利一样多，当300＜a＜350时，x＝10时，y取得最大值，此时y＝﹣10x+15000，答：y与x的函数关系式是y＝（300﹣a）x+12000，当0＜a＜300时，选择方案三：购进空调12台，购进彩电18台，商场获利最大；当a＝300时，三种方案商场获利一样；当300＜a＜350时，选择方案一：购进空调10台，购进彩电20台，商场获利最大．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．27．（2019•抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为BP+QC＝EC．（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．【点拨】（1）由ASA证明△PEQ≌△EGD，得出PQ＝ED，即可得出结论；（2）由ASA证明△PEQ≌△EGD，得出PQ＝ED，即可得出结论；（3）①当点P在线段BC上时，点Q在线段BC上，由（2）可知：BP＝EC﹣QC，求出DE＝2，EC＝4，即可得出答案；②当点P在线段BC上时，点Q在线段BC的延长线上，由全等三角形的性质得出PQ＝DE＝2，求出PC＝1，得出BP＝5；即可得出答案．【解答】解：（1）BP+QC＝EC；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，由旋转的性质得：∠PEG ＝90°，EG ＝EP ，∴∠PEQ +∠GEH ＝90°，∵QH ⊥GD ，∴∠H ＝90°，∠G +∠GEH ＝90°，∴∠PEQ ＝∠G ，又∵∠EPQ +∠PEC ＝90°，∠PEC +∠GED ＝90°，∴∠EPQ ＝∠GED ，在△PEQ 和△EGD 中，{∠EPQ =∠GEDEP =EG ∠PEQ =∠G， ∴△PEQ ≌△EGD （ASA ），∴PQ ＝ED ，∴BP +QC ＝BC ﹣PQ ＝CD ﹣ED ＝EC ，即BP +QC ＝EC ；故答案为：BP +QC ＝EC ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：由题意得：∠PEG ＝90°，EG ＝EP ，∴∠PEQ +∠GEH ＝90°，∵QH ⊥GD ，∴∠H ＝90°，∠G +∠GEH ＝90°，∴∠PEQ ＝∠G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB ＝90°，BC ＝DC ，∴∠EPQ +∠PEC ＝90°，∵∠PEC +∠GED ＝90°，∴∠GED ＝∠EPQ ，在△PEQ 和△EGD 中，{∠EPQ =∠GEDEP =EG ∠PEQ =∠G，∴△PEQ ≌△EGD （ASA ），∴PQ ＝ED ，∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，即BP+QC＝EC；（3）分两种情况：①当点P在线段BC上时，点Q在线段BC上，由（2）可知：BP＝EC﹣QC，∵AB＝3DE＝6，∴DE＝2，EC＝4，∴BP＝4﹣1＝3；②当点P在线段BC上时，点Q在线段BC的延长线上，如图3所示：同（2）可得：△PEQ≌△EGD（AAS），∴PQ＝DE＝2，∵QC＝1，∴PC＝PQ﹣QC＝1，∴BP＝BC﹣PC＝6﹣1＝5；综上所述，线段BP的长为3或5．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．28．（2019春•南岸区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3cm，点D为AC边上一点（不与点A、C重合），以CD为边，在三角形内作矩形CDEF，在三角形外作正方形CDMN，且顶点E、F分别在边AB、BC上，连接CE．设AD的长为xcm，矩形EFMN的面积为y1cm2，△ACE的面积为y2cm2（1）填空：y1与x的函数关系式是y1＝﹣3x+9，y2与x的函数关系式是y2=32x，自变量x的取值范围是0＜x＜3；（2）在平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时，x的取值范围是2＜x＜3．【点拨】（1）证出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AD＝x，求出CD＝AC﹣AD＝3﹣x，由正方形的性质得出MN＝DN＝CD＝x﹣3，EN＝AC＝3，由矩形和三角形面积公式即可得出y1＝﹣3x+9，y2=32x；自变量x的取值范围是0＜x＜3；（2）由函数关系式和自变量的取值范围画出图象即可；（3）结合图象即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∵四边形CDEF是矩形，∴∠CDE＝90°，∴∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝x，∴CD＝AC﹣AD＝3﹣x，∵四边形CDMN是正方形，∴MN＝DN＝CD＝x﹣3，∴EN＝AC＝3，∴矩形EFMN的面积为y1＝EN×MN＝3（3﹣x）＝﹣3x+9，即y1＝﹣3x+9；△ACE的面积为y2c=12AC×DE=12×3x=32x；即y2=32x；自变量x的取值范围是0＜x＜3；故答案为：y1＝﹣3x+9，y2=32x，0＜x＜3；（2）两个函数的图象是不包括两个端点的线段，如图所示：（3）由图象可知，当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时，x的取值范围是2＜x＜3；故答案为：2＜x＜3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的图象以及性质等知识；本题综合性强，有一定难度．。