专题06 常见三角形的旋转模型(原卷版)
专题06 直角三角形的妙用(原卷版)
专题06 直角三角形的妙用实战训练一．直角与斜中线1．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，且BD=12AC，则△ABC顶角的度数为．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．80°3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，O为BC的中点，连接OD、OE，则∠DOE的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．65°4．若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是．5．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．6．求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC=12AB．7．如图，△ABC，点E是边AB上的中点，AD是边BC上的高，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE．8．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是．9．如图，在Rt△ABC中，点D为AB的中点，连接CD，若∠B＝60°，则∠ACD＝°．10．已知：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB＝6，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF⊥AD．二．直角与30度---二分之一或2倍11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝．12．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线OC上的任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，如果OD＝8cm，求PE的长．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E 求证：AE＝2CE．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．15．如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求证：BE＝EF．17．同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题；（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？三．直角与勾股18．勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝．勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（）个．A．1B．2C．3D．419．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．20．公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（）A．1B．3C．4D．921．小明打算测量学校旗杆的高度，他发现旗杆顶部的绳子垂到地面后还多出1m，当他把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是m．22．如图，点B，C，D共线，∠C＝∠ABE＝∠D＝90°，BC＝DE．（1）求证：AB＝BE；（2）连接AE，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．23．如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．（1）判断△ACD的形状；（2）求这块绿地ABCD的面积．24．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝8m，AD＝6m，CD＝24m，BC＝26m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．25．如图，货船和快艇分别从码头A同时出发．其中，货船沿着北偏西54°方向以15海里/小时的速度匀速航行，快艇沿着北偏东36°方向以36海里/小时的速度航行．1小时后，两船分别到达B、C点，求B、C两点之间的距离．26．为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A处60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A处100m的B处．（1）求BC的长；（2）已知该段城市街道的限速为70km/h，这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明．27．学过《勾股定理》后，八年级某班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为8m，（如图2）．于是，他们很快算出了旗杆的高度，请你也来试一试．。
专题06 平移、旋转问题(原卷版)
决战2020年中考典型压轴题大突破模块二中考压轴题几何变换综合专题考向导航在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。
动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。
这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。
此类试题的显著特点是以动手为基础的手脑并用的形式，有助于创新能力的培养和实践能力的提高，改变了以往一只笔一张纸的学习方式，是新课程改革的基本理念之，在中考中越来越受到关注。
常见的有折叠、旋转和平移操作。
操作型问题是指通过动手测量作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情合理和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准，特别强调发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。
专题06 旋转类问题方法点拨旋转类问题证明问题，既体现此类题型的动手能力、又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明。
精典例题（2019•大同二模）综合与实践问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，并连接CE，BD．操作发现：（1）当等腰Rt△ADE绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了：①线段CE与线段BD之间的数量关系是．②直线CE与直线BD之间的位置关系是．类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若△ABC与△ADE都为直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AC＝2AB，AE＝2AD，请你写出CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线AB上方时，若DE ∥AB，且AB=√5，AD＝1，其他条件不变，试求出线段CE的长．（直接写出结论）【点睛】（1）如图2中，延长BD交AC于点O，交EC于H．证明△EAC≌△DAB（SAS），即可解决问题．（2）结论：CE＝2BD，CE⊥BD．如图3中，延长BD交AC于点O，交EC于点H．证明△ABD∽△ACE，即可解决问题．（3）如图4中，当DE∥AB时，设DE交AC于H，易证AC⊥DE．求出EH，CH，理由勾股定理即可解决问题．巩固突破1．（2019•邓州市二模）阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDF＝90°，且点D在AB边上，AB、EF 的中点均为O，连接BF、CD、CO，显然，点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，所以BF＝CD．解决问题：（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转到图②的位置，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB＝∠EDF＝α，BF与CD之间的数量关系如何（用含α的式子表示出来）？请直接写出结果．2．（2019•中原区校级四模）问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC ＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重台时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．3．（2019•宛城区二模）【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．4．（2019•中原区校级三模）等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4√2，E为AC中点，以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED．（1）观察猜想：如图1所示，过D作DF⊥AE于F，交AB于G，线段CD与BG的关系为；（2）探究证明：如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）拓展延伸：如图3所示，当E、D、G共线时，直接写出DG的长度．5．（2019•金水区校级模拟）如图，△ABC与△CDE为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接AD，取AD中点P，连接BP，并延长到点M，使BP＝PM，连接AM、EM、AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．（1）如图①，当点D在BC上，E在AC上时，AE与AM的数量关系是，∠MAE＝；（2）将△CDE绕点C顺时针旋转到如图②所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）若CD=12BC，将△CDE由图①位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当ME=√62CD时，请直接写出α的值．6．（2019•镇平三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．7．（2019•葫芦岛模拟）在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，作∠ABC的平分线交AC于点D，∠MDN＝135°，将∠MDN绕点D旋转，使∠MDN的两边交直线BA于点E，交直线BC于点F．（1）当∠MDN绕点D旋转到如图①的位置时，请直接写出三条线段AE，CF，AD的数量关系；（2）当∠MDN绕点D旋转到如图②的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）若BC＝2+√2，当∠CDF＝15°时，请直接写出线段CF的长度．8．（2019•北辰区二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点点A（3，4）点B（6，0）．（Ⅰ）如图①，求AB的长；（Ⅱ）如图②，把图①中的△OAB绕点B顺时针旋转，使点O的对应点M恰好落在OA延长线上，N 是点A旋转后的对应点．①求证：BN∥OM；②求点N的坐标；（Ⅲ）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点在△OAB绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围（直接写出结果）9．（2019•南岗区四模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，a ），B （b ，0），且a ＞0，b ＜0，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ．（1）如图1，用a ，b 表示点C 的坐标；（2）如图2，连接BC 并延长交y 轴于点D ，点E 在x 轴上，连接CE ，DE ，且BE ＝CE ，求证：∠BDE ＝45°；（3）如图3，在（2）条件下，过点D 作BD 的垂线DF ，点F 在第一象限内，连接BF 交CE 于点G ，若BG ：BC ：DF ＝3：3：4，BF ＝17，求AO 的长．10．（2019•洛阳三模）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，D ，E 两点分别是AC ，CB 上的点，且CD ＝6，DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，AD EB = ；②当α＝90°时，AD EB= ． （2）拓展探究 请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，AD EB 是否发生变化？根据图2证明你的猜想．（3）问题解决 在将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，当AD ＝2√13时，BE ＝ ，此时α＝ ．11．（2019•碑林区校级二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）至△AB′C′的位置．问题探究：（1）如图1，当旋转角为60°时，连接C′C与AB交于点M，则C′C＝，CM＝．（2）如图2，在（1）条件下，连接BB′，延长CC′交BB′于点D，求CD的长．问题解决：（3）如图3，在旋转的过程中，连线CC′、BB′，CC′所在直线交BB′于点D，那么CD的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大值：如果没有，请说明理由．12．（2019•洛阳二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC 的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α＝0°时，CEBD=；β＝°．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．13．（2019•苏家屯区二模）已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，点F是AE的中点，连接DF，CF．（1）如图1，点D，E分别在AB，BC边上，填空：CF与DF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2，请判断（1）中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3，如果BD＝2，AC＝3√2，请直接写出CF的长．14．（2019•博罗一模）有一块含30°角的直角三角板OMN，其中∠MON＝90°，∠NMO＝30°，ON＝2√3，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC的顶点B与点O重合，BC边落在OM上，点A恰好落在斜边MN上，将等边△ABC从图1的位置沿OM方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与斜边MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）（0＜t＜6）．（1）等边△ABC的边长为；（2）在运动过程中，当时，MN垂直平分AB；（3）当0＜t＜6时，求直角三角板OMN与等边△ABC重叠部分的面积S与时间t之间的函数关系式．15．（2019•海州区一模）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．16．（2019•建昌一模）已知：点A、B在∠MON的边OM上，作AC⊥OM，BD⊥OM，分别交ON于C、D两点．（1）若∠MON＝45°．①如图1，请直接与出线段AB和CD的数量关系．②将△AOC绕点O逆时针旋转到如图2的位置，连接AB、CD，猜想线段AB和CD的数量关系，并证明你的猜想．（2）若∠MON＝α（0°＜α＜90°），如图3，请直接写出线段OC、OD、AB之间的数量关系．（用含α的式子表示）17．（2019•南漳模拟）在四边形ABCD 中，点E 为AB 边上的一点，点F 为对角线BD 上的一点，且EF ⊥AB ．（1）若四边形ABCD 是正方形①如图1，直接写出AE 与DF 的数量关系 ；②将△EBF 绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE ，DF ，猜想AE 与DF 的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形ABCD 为矩形，AB BC =√22，其它条件都不变，将△EBF 绕点B 顺时针旋转α（0o＜α≤90o ）得到△E 'BF '（E 、F 的对应点分别为E '、F '点），连接AE '、DF '，请在图3中画出草图，并判定AE′DF′的值是否随着α的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出AE′DF′的值．18．（2019•徐州一模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C ＝90°，∠EDF ＝90°，∠B ＝60°，∠F ＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ，与AC 相交于点G ，BC ＝4√3cm ．（1）求DG 的长；（2）如图2．将△DEF 绕点D 按顺时针方向旋转，直角边DF 经过点C ，另一直角边DE 与AC 相交于点H ，分别过点H ，D 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N ．猜想HM 与CN 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF 两边DE ，DF 与△ABC 两边AC ，BC 分别交于K 、T 两点，则KT 的最小值为 ．19．（2019•太原一模）综合与实践数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC沿折痕DE剪开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N，线段DG与边AC交于点P．数学思考：（1）求DC的长；（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC时，求AM的长；②如图3，当GF经过点B时，AM的长为；③当△DEC绕点D旋转至DE平分∠FDG的位置时，试在图4中作出此时的△DFG和射线GF，并直接写出AM的长．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）11/ 11。
三角形旋转全等常见模型
1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC（2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC（7） GF ∥AC变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHCHFG E DEBD变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC(3)AE 与DC 的夹角为60。
（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解：1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.(1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ‚ ②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。
旋转模型专题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】旋转模型专题一、等线段共点二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型4、与勾股定理结合5、费马点问题 例题精讲 一、手拉手模型等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形M DNEC B FAA BCD1、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM∆、CBN∆是等边三角形．常见结论：（1）AN BM=（2）CD CE=（3）CF平分AFB∠（4）CDE△是等边三角形．（5）∠AFM=60°且保持不变2、如图，在凸四边形ABCD中，30BCD∠=︒,60DAB AD AB∠=︒=，．求证：222AC CD BC=+3、已知ABC∆，以AC为边在ABC∆外作等腰ACD∆，其中AC AD=。
⑴如图①，若2DAC ABC∠=∠，AC BC=，四边形ABCD是平行四边形，则_____ABC∠=⑵如图②，若30ABC∠=︒，ACD∆是等边三角形，3AB=，4BC=，求BD 的长；⑶如图③，若ACD∠为锐角，作AH BC⊥于H，当2224BD AH BC=+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。
③②①AH CBDDCBADCBA二、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明．5、在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°，（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图1， 求证：△AEG ≌△AEF ；（2）若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M,N ，如图2， 求证：222NF ME EF +=图1ABCDE图2AB CDE（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系。
专题06 三角形(原卷版)【2022春北师大版七下数学压轴题突破专练】
【2022春北师大版七下数学压轴题突破专练】专题06 三角形一、选择题1．（2021七下·锦江开学考）如图所示，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E 如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （图③）；那么A EF ∠'的度数为（ ）A ．60°B ．67.5°C ．72°D ．752．（2021七上·龙凤期末）如图所示，90E F ∠=∠=︒，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ≌，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2021七上·龙凤期末）如图，BM 是△ABC 的角平分线，D 是BC 边上的一点，连接AD ，使AD=DC ，且∠BAD=120°，则∠AMB=（ ）A ．30°B ．25°C ．22.5°D ．20°4．（2021七上·东平月考）如图，已知//,AB CF E 为DF 的中点，若12,7, 4.5AB cm CF cm FE cm ===，则BD =（ ）A．5cm B．6cm C．7cm D．4,5cm 5．（）下图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD．∠1=120°．∠3=40°，那么∠2的度数为( )A．80°B．90 C．100°D．102°6．（2021七下·丽水期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。
若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是( )A．25°B．30°C．50°D．65°7．（2021七下·垦利期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB ＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．18．（2021七下·锦江期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是AC 上一点，连接BD ，将△BDA 沿BD 对折得到△BDE，若BE 恰好经过点C ，则下列结论错误的是（ ）A ．DA ＝DEB ．∠CDE＝2∠ABDC ．∠BDE﹣∠ABD＝90°D ．S △ABD ：S △CDE ＝BC ：CE9．（2021七下·巴南期中）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH 的角平分线EG 交BH 于点G.若∠BEG＝40°，则∠DEH 的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．100°D ．125°10．（2020七上·沂源期中）如图， BEF ∆ 的内角 EBF ∠ 平分线 BD 与外角AEF ∠ 的平分线交于点 D ，过 D 作 //DH BC 分别交 EF EB 、 于 G H 、 两点．下列结论：①::EBD FBD S S BE BF ∆= ；②EFD CFD ∠=∠ ；③HD HF = ；④BH GF HG -= ，其中正确的结论有（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有③④D ．①②③④二、填空题11．（2021七上·双辽期末）如图，点A 、B 在直线l 上，点C 是直线l 外一点，可知CA+CB ＞AB ，其依据是 ．12．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝15cm ，BC ＝8cm ，AX⊥AC 于A ，P 、Q 两点分别在边AC 和射线AX 上移动.当PQ ＝AB ，AP ＝ 时，△ABC 和△APQ 全等.13．如图，D 、C 、F 、B 四点在同一条直线上，BC ＝DF ，AC⊥BD 于点C ，EF⊥BD 于点F ，如果要添加一个条件，使△ABC≌△EDF，你添加的条件是 （注：只需写出一个条件即可）.14．（2021七上·长春期末）如图所示，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若30BAD ︒∠='，则AED ∠'等于 .15．（）如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为AB ，CD ．若CD∥BE，且∠1=46°，则∠2=16．（2021七下·成都期末）如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形.AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D.下列结论：①AN＝BM；②EF∥AB；③CE＝EF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB.其中正确的是.（填所有正确结论的序号）17．（2021七下·泉州期末）如图，在ABC中，点D在BC边上，∠BAC＝80°，∠ABC ＝50°，射线DC绕点D逆时针旋转一定角度α，交AC于点E，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P.下列结论：①∠C＝50°；②∠P＝12∠BAD；③α＝2∠P﹣∠BAD；④若∠ADE＝∠AED，则∠BAD＝2α.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）18．（2021七下·杭州开学考）如图所示是一个33⨯的正方形，则1239∠+∠+∠++∠=.19．（2020七下·中期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D，则下列结论：①若BD ＝4，则AC＝8；②AB＝CD；③∠DBA＝∠ABC；④S△ABE＝S△ACE；⑤∠D＝∠AEC；⑥连接AD，则AD＝CD．其中正确的是．（填写序号）20．（2020七下·济南期末）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝．三、解答题21．（2021七上·杜尔伯特期末）如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？△ACB与△ADB呢？请说明理由．22．如图，直线AB，CD交直线MN于点E，F，过AB上的点H作HG⊥MN于点G，若∠EHG=27°，∠CFN=117° ，判断直线AB，CD是否平行？并说明理由．23．（2021七上·龙口期中）如图，点E为ABC的中线AD上一点，连接CE，过点B作BF∥CE交AD的延长线于点F．线段DE与DF相等吗？请说明理由．24．（2021·泰安期中）如图，AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC，∠B=38°，∠C=64°。
专题01 旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)(原卷版)
专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。
结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠AFD 。
4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。
结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。
例1．（2022·黑龙江·中考真题）ABC V 和ADE V 都是等边三角形．(1)将ADE V 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE V 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE V 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．例2．（2023·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE．(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．例3．（2023·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE V 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
专题06 板块模型(原卷版)
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题06 板块模型【特训典例】 一、高考真题1．（2021全国卷）水平地面上有一质量为1m 的长木板，木板的左端上有一质量为2m 的物块，如图（a ）所示。
用水平向右的拉力F 作用在物块上，F 随时间t 的变化关系如图（b ）所示，其中1F 、2F 分别为1t 、2t 时刻F 的大小。
木板的加速度1a 随时间t 的变化关系如图（c ）所示。
已知木板与地面间的动摩擦因数为1μ，物块与木板间的动摩擦因数为2μ，假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g 。
则（）A ．111=F m g μB ．2122211()()m m m F g m μμ+=-C ．22112m m m μμ+>D ．在20~t 时间段物块与木板加速度相等2．（2019全国卷）如图（a ），物块和木板叠放在实验台上，物块用一不可伸长的细绳与固定在实验台上的力传感器相连，细绳水平．t =0时，木板开始受到水平外力F 的作用，在t =4s 时撤去外力．细绳对物块的拉力f 随时间t 变化的关系如图（b ）所示，木板的速度v 与时间t 的关系如图（c ）所示．木板与实验台之间的摩擦可以忽略．重力加速度取g =10m/s 2．由题给数据可以得出A ．木板的质量为1kgB ．2s~4s 内，力F 的大小为0.4NC ．0~2s 内，力F 的大小保持不变D ．物块与木板之间的动摩擦因数为0.23．（2022河北卷）如图，光滑水平面上有两个等高的滑板A 和B ，质量分别为1kg 和2kg ，A 右端和B 左端分别放置物块C 、D ，物块质量均为1kg ，A 和C 以相同速度010m /s v =向右运动，B 和D 以相同速度0kv 向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C 与D 粘在一起形成一个新滑块，A 与B 粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为0.1μ=。
中考数学常见几何模型专题06 相似模型-母子型(共角共边模型)和A(X)字型(原卷版)
专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的母子模型与A （X ）字模型．模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。
“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA . 1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:42．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DE AB的值可能为（ ） A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC 中，AD 是BAC ∠的角平分线，2,AB AD ADE B =∠=∠．求证：ABD △与ADE 互为母子三角形．（3）如图2，ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE 与ADC 互为母子三角形．求AG GF 的值．4．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，CD∠AB ．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B、P、Q为顶点的三角形与∠ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模型2. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，∠ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DE1BC4=．(1)若8AB=，求线段AD的长．(2)若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC 中，4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：DF =；(2)如图2，将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB ⊥时，求DN 的长．模型3. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN∠MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若EFBF＝2，求ANND的值；(3)若MN∠BE，求ANND的值．3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ， 则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∠1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG••=••=． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB⋅⋅=． (2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），∠CDE∠∠CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此∠CDE和∠CAB 互为顺相似；如图（2），∠CDE∠∠CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此∠CDE和∠CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∠CD，则∠AOB∠∠COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB于点D，则∠ABC∠，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD∠CE于点F，则∠ABD∠，它们互为相似；（2）如图（6），若∠AOB∠∠COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在∠ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截∠ABC ，使截得的一个三角形与∠ABC 相似，则满足的截线共有 条．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△．∠ABC DBC S S =．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∠ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒， ∠AE ∥ ．∠AEM △∽ ．∠AE AM DF DM=． 由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∠ABC DBC S AM S DM =△△． (3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为 ．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ． （1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND△△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S ∠ADE ，S ∠ABC 和a ，b ，c ，d 之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∠BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以∠ADE ∠∠ABC ，可得比例式：a ca b c d=++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得()22ADE ABCS a Sa b =+．根据上述这两个式子，可以推出：()()()22ADE ABCS a a a a c ac Sa b a b a b c d a b c d a b ==⋅=⋅=+++++++． （2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：()()ADE ABCSacSa b c d =++？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在∠ABC 的边上，做AH ∠BC 于H ，可得：1212ABD ADCBD AHS BD SDC DC AH ⋅==⋅．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABCSS= ．（2）如图6，E 在∠ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABCSS= ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，∠ABCD 的面积为30，则∠AEF 的面积是 ．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12⋅=⋅S OC ODS OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S 值．8．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D ，E ，F 依次是∠ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交∠ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ． 过点C 作CM ∠DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AFDM FC=（依据）， ∠BE AD EC DM ⋅＝BD AFDM FC⋅， ∠BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=．情况②：如图2，直线DE 分别交∠ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ． …（1）情况①中的依据指： ； （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是∠ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :F A ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．9.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中,5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES△ODB的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长； （3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ∠∠=、, 求线段OC 的长．10.（2022松江中考模拟）如图，已知在△ABC 中，BC ＞AB ，BD 平分△ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE ＝BA ，过点A 作AG △DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：AB 2＝BG •BC ；（3）若AB ＝AC ，BG ＝CE ，联结AE ，求ADEABCS S ∆∆的值．11．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，△BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE ＝6，AE2＝AB•AD，且DC△AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．12．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证∠ACD∠∠ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．13．（2021·广西百色·中考真题）如图，∠ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．14．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC 与A B C '''中，点D 、D 分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．。
2023年数学中考复习专题 三角形中的旋转模型(原卷)
2023年数学中考复习专题三角形中的旋转模型【题型一：常见旋转模型之邻补模型】条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角。
∠DAB+∠DCB=180°，AD=AB常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=√2AC②60°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=AC③120°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=√3AC补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断【例】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4√3，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．【练2】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．【练3】如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC>AC，点E在BC上，点D在AB上，CE=CA，连接DE，∠+∠=︒，CH⊥AB，垂足为H．证明：DE AD180ACB ADE+=．【题型二：旋转与全等三角形的构造】【例】问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2√2，则∠BPC＝°（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：√2BD＝AD+DC．②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．【练1】如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．（1）求证：AD＝DE；（2）求∠DCE的度数；（3）若BD＝1，求AD，CD的长．【练2】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．【练3】如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．下面的证法供你参考：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞√2AD．（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．创新应用：（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC ＝180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．【题型三：旋转与相似三角形的构造】【例】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【练1】如图，正方形ABCD的边长为8，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tan∠ECB=______．【练2】如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．【练3】在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°．（观察猜想）（1）如图①，当α=60°时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．（探究证明）（2）如图②，当α=90°时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=2√5，请直接写出△BDE的面积．。
旋转模型(初中数学典型模型六)
＝
，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．
变式练习
二、半角模型中旋转
例3.（1）正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ＝45°，证明： DQ+BP＝PQ； （2）在（1）题中，连接BD分别交AP、AQ于点M、N，求BM、MN、ND的数量关系．
证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°， 则AD与AB重合，得到△ABE，如图2， 则∠D＝∠ABE＝90°，∵∠ABP＝90°， ∴∠ABE+∠ABP＝180°∴点E、B、P共线， 由旋转知，∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ， BE＝DQ，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAE＝45°， ∴∠PAQ＝∠PAE， 在△APE和△APQ中
几何模型六：旋转模型
一、等线段共点类型
引例：如图，点P是等边△ABC内一点，且AP＝6，BP＝8，CP＝10；若将
△APC绕点A逆时针旋转后得△AP'B；
求：AP'＝ ，∠APB＝
度．
解：连接PP′，根据旋转的性质可知， 旋转角∠PAP′＝∠CAB＝60°，AP＝AP′， ∴△APP′为等边三角形， ∴AP′＝AP＝6； 由旋转的性质可知，BP′＝PC＝10， 在△BPP′中，PP′＝6，BP＝8， 由勾股定理的逆定理得，△BPP′是直角三角形， ∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．
∴△ABC≌△ADC′（SAS）， ∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′ 的面积， 所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝2
四、费马点
例5.△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC内部有一点P，连接 PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
三角形旋转全等常见模型
1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：自旋转构造放方法：①遇60°旋60°，构造等边三角形；②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形；③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等；④遇中点180°，构造中心对称。
（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC（2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：Array(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解：1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.(1) 如图1，当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ‚②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。
2023年中考数学几何模型(全国通用版)：图形变换中的重要模型之旋转模型(原卷版)
专题16图形变换中的重要模型之旋转模型几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。
在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
模型1.三角形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝，AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ，当A B 恰好经过点D 时，△B CD 为等腰三角形，若B B ＝2，则A A ＝（）AB ．C D 变式1．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =6，AC =8．直角三角板EDF 中∠EDF =90°，将三角板的直角顶点D 放在Rt △ABC 斜边BC 的中点处，并将三角板绕点D 旋转，三角板的两边DE ，DF 分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M 为边AB 的中点时，试判断四边形AMDN 的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当B MDB 时，求线段CN 的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM =AN 时，直接写出线段AN 的长．2）最值（范围）型例1．（2022·江苏常州·一模）如图，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠BAC ＝∠DCE ＝90°，AB ＝AC ＝4，CD ＝CE ＝2，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．若将△CDE 绕点C 旋转一周，则线段AF 的最小值是______．变式1．（2021·四川成都·中考真题）在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC △，其中点A ，C 的对应点分别为点A ，C ．（1）如图1，当点A 落在AC 的延长线上时，求AA 的长；（2）如图2，当点C 落在AB 的延长线上时，连接CC ，交A B 于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ，直线CC 交AA 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．3）综合证明型例1．（2021·黑龙江·中考真题）在等腰ADE 中，AE DE ，ABC 是直角三角形，90CAB ，12ABC AED ，连接CD BD 、，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD ．（2）当45EAD ，把ABC 绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．变式1．（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA ≌△BFE ；（2）①CD +DF +FE 的最小值为；②当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．模型2.平行四边形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·浙江宁波·一模）如图，一副三角板如图1放置，AB CD E 重合，将DEC 绕其顶点E 旋转，如图2，在旋转过程中，当75AED ，连接AD ，BC ，此时四边形ABCD 的面积是________．变式1．（2022·广东广州·一模）如图，将▱ABCD 绕点A 逆时针旋转到▱AB ′C ′D ′的位置，使点B ′落在BC 上，B ′C ′与CD 交于点E ．若AB ＝3，BC ＝4，BB ′＝1，则CE 的长为___．2）最值（范围）型例1．（2022·广东·深圳九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是_____．变式1．（2022·河南洛阳·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，6AB ，10BC ，=60B ，点E 在线段BC 上运动（含B 、C 两点）．连接AE ，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转60°得到AF ，连接DF ，则线段DF 长度的最小值为______．3）分类讨论型例1．（2022·江西·寻乌县二模）如图，在平行四边形ABCD 中，10AB ，15BC ，4tan 3A ．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90 得到线段PQ ．若点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边所在的直线上，则BQ 的长为______________．变式1．（2022·江苏·九年级专题练习）在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，高AH ＝4，点E 是边AD 上任意一点，现将点B 绕着点E 逆时针旋转90°到点B ，若点B 恰好在平行四边形的边上，则AE ＝______．4）综合证明型例1．（2022·广西·九年级期中）如图，在ABCD Y 中，60BAD ，将ABCD Y 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，此时点D 在AE 上，连接AC AF CF EB 、、、，线段EB 分别交CD AC 、于点H 、K ，则下列四个结论中：①60CAF ；②DEH △是等边三角形；③23AD HK ；④当2AB AD 时，47ACF ABCD S S △；正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③变式1．（2022·山西阳泉·一模）综合与实践【问题背景】如图1，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝8．点E 、G 分别是AD 和DC 边的中点，过点E 、G 分别作DC 和AD 的平行线，两线交于点F ，显然，四边形DEFG 是平行四边形．【独立思考】(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．①求AE的长；②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；【问题解决】(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．模型3.菱形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·安徽黄山·二模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，OD＝2，将BC绕点B逆时针旋转得到BE，交CD于点F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，则CF＝___．的位置，变式1．（2022·安徽·模拟预测）如图，将边长为3的菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB C D使点B 落在BC上，B C 与CD交于点E．若1BB ，则CE的长为_______．2）最值（范围）型例1．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60 ，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2变式1．（2022·江苏苏州·校联考一模）如图，菱形ABCD 的边长为∠ABC ＝60°，对角线AC 、BD 交于点O ．点E 为直线AD 上的一个动点，连接CE ，将线段EC 绕点C 顺时针旋转∠BCD 的角度后得到对应的线段CF （即∠ECF ＝∠BCD ），DF 长度的最小值为_________．3）综合证明型例1．（2022·江苏南京·模拟预测）【探究发现】(1)如图1，正方形ABCD 两条对角线相交于点O ，正方形111A B C O 与正方形ABCD 的边长相等，在正方形111A B C O 绕点O 旋转过程中，边1OA 交边AB 于点M ，边1OC 交边BC 于点N ．①线段BM 、BN 、AB 之间满足的数量关系是________；②四边形OMBN 与正方形ABCD 的面积关系是OMBN S 四边形________ABCD S 正方形；【类比探究】(2)如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“含60°的菱形ABCD ”，即1160B OD DAB ，且菱形111OB C D 与菱形ABCD 的边长相等．当菱形111OB C D 绕点O 旋转时，保持边1OB 交边AB 于点M ，边1OD 交边BC 于点N ．请猜想：①线段BM 、BN 与AB 之间的数量关系是_________________；②菱形OMBN 与菱形ABCD 的面积关系是OMBN S 四边形________ABCD S 菱形；请你证明其中的一个猜想．【拓展延伸】(3)如图3，把（2）中的条件“1160B OD DAB ”改为“11DAB B OD ”，其他条件不变，则①BM BN BD________；（用含α的式子表示）②OMBN ABCD S S 四边形菱形________．（用含α的式子表示）变式1．（2022·重庆·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC．（1）如图1，探究PG 与PC 的位置关系，写出你的猜想并加以证明；（2）如图1，若PG PC ，2BE ，求菱形BEFG 的面积．（3）如图2，将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的边BG 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，若60ABC BEF ，请直接写出PG 与PC 的数量关系．模型4.矩形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·江西·统考三模）如图，矩形ABCD 中，4AB ，2BC ，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转得到矩形AFGE ，当点F 落在边CD 上时，连接BF 、DE ，则ADE ABF S S （）A ．12B ．13C ．14D ．23变式1．（2022·江苏无锡·校考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，AB ′交CD 于点E ，且DE ＝B ′E ，则AE 的长为_____．2）最值（范围）型例1．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BC =2AB ，点P 为边AD 上的一个动点，线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP '，连接PP '，CP '．当点P '落在边BC 上时，∠PP 'C 的度数为________；当线段CP '的长度最小时，∠PP 'C 的度数为________变式1．（2022·江苏·江阴市华士实验中学一模）如图，在矩形ABCD 中，3AB cm ，6AD cm ，点P 为边AD 上一个动点，连接CP ，点P 绕点C 顺时针旋转90 得到点P ，连接CP 并延长到点E ，使2CE CP ，以CP 、CE 为邻边作矩形PCEF ，连接DE 、DF ，则DEF 和DCE △面积之和的最小值为______．3）分类讨论型例1．（2022·江苏·一模）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．（1）当点E在BD上时，求证：AF∥BD；（2）当GC＝GB时，求θ；（3）当AB＝10，BG＝BC＝13时，求点G到直线CD的距离．4）综合证明型例1．（2022·重庆·一模）矩形ABCD中．∠ADB＝30°，△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AE12BD．连接EC，点G是EC中点．将△AEF绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．(1)如图1，若A恰好在线段CE延长线上，CD＝2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F 恰好落在线段EC 上，连接BG ．证明：2（GC ﹣GB ）3；(3)如图3，若点F 恰好落在线段BA 延长线上，M 是线段BC 上一点，3BM ＝CM ，P 是平面内一点，满足∠MPC ＝∠DCE ，连接PF ，已知CD ＝2，求线段PF 的取值范围．变式1．（2022·四川·眉山市东坡区模拟预测）如图，Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，过D 作DC ⊥BE 交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分∠HDC ；②DO=OE ；③H 是BF 的中点；④BC-CF=2CE ；⑤CD=HF ，其中正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个模型5.正方形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·河南·平顶山市模拟预测）如图，正方形ABCD 的顶点B 在原点，点D 的坐标为（4，4），将AB 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点B ′处，DE ⊥BB ′于点E ，则点E 的坐标为（）A ． 31B ． 31C ． 31D ．31 变式1．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是OD的中点，连接CE 并延长交AD 于点G ，将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，连接EF ，点H 为EF 的中点．连接OH ，则GE OH的值为_______．2）最值（范围）型例1．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF ＋CF 的最小值是（）A ．B ．C ．D ．变式1．（2022·安徽合肥·二模）正方形ABCD 中，4 AD ，点E 为AB 边上一动点（不与A 、B 重合），将DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到DCF ，过E 作EG DF ∥交BC 于点G ．则GC 的最小值为（）．A ．2BC ．D ．33）路径（轨迹）型例1．（2022·浙江·九年级期末）如图所示，正方形ABCD 的边长为4，点E 为线段BC 上一动点，连结AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EF ，连结BF ，取BF 的中点M ，若点E 从点B 运动至点C ，则点M 经过的路径长为（）A．2B．C．D．4变式1．（2022·山西·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为O为正方形的中心，点，垂足为点E，F为边AB的中点，点G为线段AF上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE GO当点G从点A运动到点F时，点E所经过的路径长是（）A．12πB．C． D．224）分类讨论型例1．（2022·云南昆明·统考二模）如图，大正方形ABCD中，3AB ，小正方形AEFG中，AE正方形绕A点旋转的过程中，当C，F，G三点共线时，线段CF的长为_______．变式1．（2022·湖北模拟预测）如图，以AB为边作边长为8的正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD 的边上运动，且PQ＝8，若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，点Q只能在线段AD 上运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长为_____．5）综合证明型例1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt △ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD ≌△FGM ；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．变式1．（2022·南充·中考真题）如图，正方形ABCD 边长为1，点E 在边AB 上（不与A ，B 重合），将ADE V 沿直线DE 折叠，点A 落在点1A 处，连接1A B ，将1A B 绕点B 顺时针旋转90 得到2A B ，连接112,,A A AC A C ．给出下列四个结论：①12ABA CBA ≌△△；②145ADE ACB ；③点P 是直线DE 上动点，则1CP A P 的④当30ADE 时，1A BE 的面积36．其中正确的结论是_________．（填写序号）课后专项训练1．（2022·浙江·九年级期末）如图，在ABCD Y 中，=45ABC ，2AB ，将点B 绕点A 逆时针旋转120 得到点E ，点E 落在线段BD 上，在线段BE 上取点F ，使BF DE ，连结AE ，CF ，则EF 的长为（）A ．2B ．2C ．2D ．32．（2022·河南·模拟预测）如图，在菱形OBCD 中，OB=1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD 绕顶点O 顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′，则点C′的坐标为（）A ．（32B ．-32）C ．（32，D ．32）4．（2022·山东·滕州市一模）在矩形ABCD 中，AD =2AB =4，E 为AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC （或它们的延长线）于点M 、N ，设∠AEM =α（0°＜α＜90°），给出四个结论：①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE③BN －AM ＝2④22cos EMN S.上述结论中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．（2020·湖北孝感·中考真题）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将ADE V 绕点A 顺时针旋转90 到ABF △的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若3BG ，2CG ，则CE的长为（）A ．54B ．154C ．4D ．926．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，将EDC △绕点C 逆时针旋转90 至HBC ，点D ，B ，H 在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，2HB ，3HG ．以下结论：①135EDC ；②2EC CD CF ；③HG EF ；④2sin 3CED ．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC 和等边△CDE 中，AB ＝6，CD ＝4，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．若将△CDE 绕点C 旋转一周，则线段AF 的最小值是______．8．（2022·山东济南·九年级统考期末）如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，∠A ＝60°，E 是边AD 上且AE ＝2DE ，F 是射线AB 上的一个动点，将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°，得到EG ，连接BG 、DG ，则BG －DG 的最大值为________．9．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）ABCD Y 中，2CD ，4BC ，BD ，对角线AC ，BD 交于点O ，将CDO 绕点O 顺时针旋转，使点D 落在AD 上'D 处，点C 落在'C 处，'C O 交AD 于点P ，则'OPD 的面积是___________．10．（2022·山西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD 中，AB ＝12，∠ABC ＝60°，点E 在AB 边上，且BE ＝2AE ，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60°至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为___．11．（2022·新疆·中考真题）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，以点D 为中心将DCE △绕点D 顺时针旋转90 与DAF △恰好完全重合，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于点Q ，连接BQ ，若·AQ DP BQ ______．12．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求CF BG的值；(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别取CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．13．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形ABCD 中，4,3AB AD ，点E 在折线BCD 上运动，将AE 绕点A 顺时针旋转得到AF ，旋转角等于BAC ，连接CF ．(1)当点E 在BC 上时，作FM AC ，垂足为M ，求证AM AB ；(2)当AE时，求CF 的长；(3)连接DF ，点E 从点B 运动到点D 的过程中，试探究DF 的最小值．14．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边BC 、AB 、AD 的中点，连接EF 、DF ，H 为DF 的中点，连接GH ．将△BEF 绕点B 旋转，线段DF 、GH 和CE 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕点B 顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB =BC ，此时点E 落在AB 的延长线上，点F 落在线段BC 上，连接AF ，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB =2，BC =3，则GH CE ；(3)当AB =m ,BC =n 时．GH CE ．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC ，并沿对角线AC 剪开，得△ABC （如图④)．点M 、N 分别在AC 、BC 上，连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折，使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上，若PM 平分∠APN ，则CM 长为．15．（2022·福建泉州·九年级统考期末）如图1，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心，将菱形ABCD 逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形'''AB C D ，''C D 交对角线AC 于点M ，边AB 的延长线交''B C 于点N ．（1）当''D M B N ＝时，求α的度数；（2）如图2，对角线B 'D '交AC 于点H ，交AN 于点G ，延长''C D 交AD 于点E ，连接EH ，若菱形ABCD 的周长为正数a ，试探索：在菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，'EHD △的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．16．（2022·重庆·二模）如图1，在平行四边形ABCD 中，AD AC ，AD AC ，等腰Rt CEF 绕点C 旋转，90ECF ，连接BF ．(1)当4AD AC ，CE CF ，1tan2ACE 时，求BF 的长．(2)如图2，若P 、Q 、H 分别是AF 、EF 、AB 的中点，连接PQ 、QH ，猜想线段PQ 、QH 的数量关系并证明；(3)如图3，若AD AC ，CE CF CEF 在旋转过程中，连接AE 、BE ，当BE AE 有最大值时，把BFC 沿着BC 翻折到与BFC 同一平面内得到BHC ，连接EH ，请直接写出BEH 的面积．17．（2021·山东济南·中考真题）在ABC 中，90BAC ，AB AC ，点D 在边BC 上，13BD BC ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为 ，连接BE ，CE ，以CE 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形CEF ．连接AF ．（1）如图1，当180 时，请直接写出．．．．线段AF 与线段BE 的数量关系；（2）当0180 时，①如图2，（1）中线段AF 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B ，E ，F 三点共线时，连接AE ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由．18．（2020·重庆·中考真题）△ABC 为等边三角形，AB =8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长；（2）如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN ．在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出△ADN 的面积．。
专题6 常见的旋转模型【8年级(下)专题】
专题6 常见的旋转模型类型1 等边三角形的旋转1．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．（1）求证：AD＝DE；（2）若BD＝1，求AD，CD的长．2．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．（1）如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；（2）如图2．若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想．类型2 等腰直角三角形的旋转3．在△RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC上一点．（1）如图1，过C作CE⊥AB于E，连接AD，DE．若AD平分∠BAC，CD＝2，求DE的长；（2）如图2，以CD为直角边，点C为直角顶点，向右作等腰直角三角形△DCM，将△DCM 绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜45），连接AM，BD，取线段AM的中点N，连接CN．求证：BD＝2CN；类型3 其他类型的旋转4．在等腰△ABC中，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转α至CD的位置，连结AD．点E 为边BC上一动点，连结DE交AC于点F．（1）如图1，若∠BAC＝90°，AB＝1，且α＝90°，点B与点E重合，求BD的长；（2）如图2，连结AE，若AC＝DE，AC⊥DE．求证：；5．在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转120°得到线段AD，连接CD．（1）如图1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延长BA，CD交于点K，求四边形ABCD 的面积；（2）如图2，点E是CA延长线上一点，点G是AE的中点，连接BE，BG，点F在线段AC上，点H在线段BG上，连接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求证：BC+CD＝AC；。
(完整版)旋转模型专题
旋转模型专题一、等线段共点二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型4、与勾股定理结合5、费马点问题等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形M D NEC BFAABCD例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形． 常见结论： （1）AN BM = （2）CD CE = （3）CF 平分AFB ∠ （4）CDE △是等边三角形． （5）∠AFM=60°且保持不变2、如图，在凸四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒,60DAB AD AB ∠=︒=，． 求证：222AC CD BC =+3、已知ABC ∆，以AC 为边在ABC ∆外作等腰ACD ∆，其中AC AD =。
⑴如图①，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则_____ABC ∠=⑵如图②，若30ABC ∠=︒，ACD ∆是等边三角形，3AB =，4BC =，求BD 的长； ⑶如图③，若ACD ∠为锐角，作AH BC ⊥于H ，当2224BD AH BC =+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。
③②①AH CBDDCBADCBA二、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明．5、在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°， （1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图1， 求证：△AEG ≌△AEF ；（2）若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M,N ，如图2， 求证：222NF ME EF +=（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系。
三角形旋转全等常见模型
1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC（2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC（7） GF ∥AC变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC(3)AE 与DC 的夹角为60。
（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△A CM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解：1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.(1)?如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①?BD=CF???②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； ?(3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。
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八下数学思维解法技巧培优小专题
专题6 常见三角形的旋转模型
题型一等边三角形的旋转
【典例1】（2019•凤山县期中）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC ＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
【点拨】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE是等边三角形即可；
（2）利用四边形的内角和即可求出结论；
（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出结论．
【典例2】（2019•金湖县期末）问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，P A＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．
简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝3，PC＝2√2，则∠BPC＝°
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：√2BD＝AD+DC．
②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．
【点拨】简单应用：（1）先利用旋转得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2√2，再根据勾股定理得出PP'=√2CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论；
拓展廷伸：①先利用旋转得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点D'在DC的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
题型二等腰直角三角形的旋转
【典例3】（2020•新宾县二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
【点拨】（1）由旋转的性质可得△BCD'≌△ACE，可得BC＝AC，即可求旋转角的度数；
（2）由全等三角形的性质可得∠DBC＝∠EAC，由直角三角形的性质可求∠AND＝90°，即可得AE⊥BD；
（3）由勾股定理可求DE的长，再由勾股定理可求AE＝BD的长．
题型三一般等腰三角形的旋转
【典例4】（2019•武侯区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，连接AD，BE，延长BE交AD于点F．
（1）求证：∠DEF＝∠ABF；
（2）求证：F为AD的中点；
（3）若AB＝8，AC＝10，且EC⊥BC，求EF的长．
【点拨】（1）根据等角的余角相等证明即可．
（2）如图1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．利用全等三角形的性质证明即可．（3）如图1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．想办法求出FM，EM即可．
【典例5】（2019•汉川市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO．BO．CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°．以点B为旋转中心，将△AOB 绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求：
（1）∠OBO′的度数；
（2）OA+OB+OC的长．
【点拨】（1）根据旋转的性质即可得出结论；
（2）先判断△BOO′为等边三角形，所以OO′＝BO，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，再证明点C、O、O′、A′共线，从而得到A′C＝OC+OB+OA，然后利用勾股定理计算A′C即可．
巩固练习
1．（2019•北京）在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A 绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用
含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．
2．（2019•西湖区校级月考）将Rt△ABC绕点直角顶点C逆时针旋转90°后得到△A'B'C，A'B'的延长线与AB交于点D，连接DC．
①求证：AB⊥A'D；
②求∠A'DC的度数．
3．（2019•盐田区校级期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．现有一块足够大的三角板，其直角顶点D是BC边上一点，AD平分∠BAC，两直角边分别交AB，AC于点E，F．
（1）当DE⊥AB（如图1）时，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）将三角板绕点D旋转一定的角度（如图2），求证：AE+AF=√2AD．
4．（2019•延庆县一模）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．
下面的证法供你参考：
把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∵AD＝AE，
∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD
实践探索：
（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：
如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞√2AD．（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？
直接写出结论．
创新应用：
（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC＝180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
5．（2019•和平区期末）已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，OB＝4．将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°．得到Rt△ODC．点A、B的对应点分别为点D，C．连接BC．
（Ⅰ）如图①，OD的长＝，∠BOC的大小＝（度），∠OBC的大小＝（度）；
（Ⅱ）动点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，动点M沿O→C→B路径匀速运动，动点N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时，运动停止．已知点M的运动速度为1.5个单位/秒，点N的运动速度为1个单位/秒，设运动时间为t秒（t＞0），△OMN的面积为S．
①如图②，当点M在边OC上运动，点N在边OB上运动时，过点N作NE⊥OC，垂足为点E，试用含
t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②求当t为何值时，S取得最大值，并求出S的最大值（直接写出结果即可）．。