最新华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳精编WORD版
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=0 5．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华东师大初中数学八年级下册《函数及其图象》全章复习与巩固—知识讲解(基础)(精选)
《函数及其图象》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解变量与常量、变量与函数、直角坐标系、函数图象、平面直角坐标系的概念，能正确画出平面直角坐标系，根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征；2.了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；3.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能用待定系数法确定一次函数与反比例函数的解析式；4.能写出实际问题中一次函数关系与反比例函数关系的解析式及自变量的取值范围，并能应用它们解决简单的实际问题；运用数形结合的方法，深刻理解和掌握函数的性质，学会用数学建模的方法与技巧．【知识网络】【要点梳理】要点一、变量与函数1. 常量、变量、函数（1）常量：在问题研究过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量.（2）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.（3）函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数.y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、平面直角坐标系1. 有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．2. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.3. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．4. 坐标平面（1）象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.（2）坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 5. 坐标的特征（1）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． （2）象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a ，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a ，-a)． （3）关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a ，b)关于x 轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a ，b)关于y 轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a ，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． （4）平行于坐标轴的直线上的点平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同.要点三、一次函数 1、一次函数的定义一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数.2、一次函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b |个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化. 3、一次函数的性质掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象.4、求一次函数的表达式待定系数法：先设待求函数表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法. 5、用函数的观点看方程（组）与不等式要点四、反比例函数 1.反比例函数的定义一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 要点诠释：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.2.反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k xky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=， 当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.（2）反比例函数的性质①图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大. ②若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.③正比例函数与反比例函数的性质比较④反比例函数y ＝中k 的意义过双曲线xky =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x ky =(k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点五、实践与探索 1.数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.2.正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3.选择最佳方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、函数的概念1.下列说法正确的是：（ ）A.变量,x y 满足23x y +=，则y 是x 的函数；B.变量,x y 满足x y =||，则y 是x 的函数；C.变量,x y 满足x y =2，则y 是x 的函数； D.变量,x y 满足221y x -=，则y 是x 的函数.【答案】A ；【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的x 的值，都有两个y 值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B；类型二、平面直角坐标系2.已知点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B 的坐标．【思路点拨】由“点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B 到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝-3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝-3．∴点B的坐标是(-3，3)或(-3，-3)．【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（-5,2）；（5，2），（-5,2），（5，-2），（-5，-2）.类型三、一次函数3.（2015春•高新区期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=6，O为坐标原点，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=6时，求P点坐标．【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）根据（1）中函数关系式及点P在第一象限即可得出结论；（3）把S=6代入（1）中函数关系即可得出x的值，进而得出y的值．【答案与解析】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（4，0）、（x，y），∴S=×4×y=2y．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函数关系式为：S=﹣2x+12．（2）由（1）得S=﹣2x+12＞0，解得：x＜6；又∵点P在第一象限，∴x＞0，综上可得x的范围为：0＜x＜6．（3）∵S=6，∴﹣2x+12=6，解得x=3．∵x+y=6，∴y=6﹣3=3，即P（3，3）．【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2015秋•南京校级期末）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，5），并且与y轴相交于点P，直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求△ABP的面积．【答案】解：（1）当x=0时，y=﹣x+3=3，则Q（0，3），∵点Q恰与点P关于x轴对称，∴P（0，﹣3），把P（0，﹣3），A（﹣2，5）代入y=kx+b得，解得，所以这个一次函数解析式为y=﹣4x﹣3；（2）当y=0时，﹣x+3=0，解得x=6，则B（6，0），当y=0时，﹣4x ﹣3=0，解得x=﹣，则直线y=﹣4x ﹣3与x 轴的交点坐标为（﹣，0）， 所以△ABP 的面积=×（6+）×5+×（6+）×3=27．4.已知正比例函数y kx =（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =+的图象大致是图中的（ ）．【答案】B ；【解析】∵y 随x 的增大而减小，∴ k ＜0．∵y x k =+中x 的系数为1＞0，k ＜0， ∴经过一、三、四象限，故选B ．【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k ＞0时，函数值随自变量x 的增大而增大．举一反三：【变式】已知正比例函数()21y m x =-的图象上两点A(1x , 1y ), B(2x ,2y )，当 12x x <时,有12y y >,那么m 的取值范围是( ) A ． 12m <B ．12m >C ． 2m <D ．0m > 【答案】 A ；提示：由题意y 随着x 的增大而减小，所以210m -<，选A 答案.类型四、反比例函数5.如图所示，P 是反比例函数ky x=图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式．【思路点拨】要求函数关系式，必须先求出k 的值，P 点既在函数的图象上又是矩形的顶点，也就是说，P 点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长． 【答案与解析】解：设P 点的坐标为(x ，y )，由图可知，P 点在第二象限，∴ x ＜0，y ＞0．∴ 图中阴影部分矩形的长、宽分别为－x 、y ．∵ 矩形的面积为2，∴ －xy ＝2，∴ xy ＝－2．∵ xy ＝k ，∴ k ＝－2．∴ 此反比例函数的关系式是2y x=-． 【总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线所得矩形面积为|k |这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．举一反三： 【变式】如图，过反比例函数)(0x x2y >=的图象上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足为''B A 、，连接OA ，OB ，'AA 与OB 的交点为P ，记△AOP 与梯形B B PA ''的面积分别为21S S 、，试比较21S S 与的大小.【答案】解：∵AOP AOA A OP S S S ''∆∆∆=-，OB A OP A PBB S B S S ''''∆∆=-梯形且AOA 112122A A S x y '∆==⨯=，OB 112122B B B S x y '∆==⨯= ∴21S S =.类型五、实践与探索6.（2016•临沂）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？【思路点拨】（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y 甲关于x 的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y 乙关于x 的函数关系式；（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．【答案与解析】解：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3．（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：1＜x＜4．综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．【总结升华】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系得出函数关系式；（2）根据费用的关系找出一元一次不等式或者一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式是关键．举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为．（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）。
华师大版数学八年级下册17..反比例函数的图像和性质课件
位置
二、四象限
二、四象限
增减性
从左到右降落 y随x的增大而减小
从左到右上升 y随x的增大而增大
随堂练习
1.下列图象中是反比例函数图象的是（ C ）
A
B
C
D
2.如图是下列四个函数中哪一个函数的图象（ C ）
A. y = 5x
B. y = 2x + 3
C. D.
y y
4
x
3
x
3.如果点（3， – 4）在反比例函数
2 反比例函数的图像和性质
华东师大·八年级数学下册
温故知新
复习导入
下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？
√ （1）y = 4x； （2）xy 3；
（3）y
2； x
（4）y
=
6x+1；（5）y
=
x2-1；（6） y
1； x2
√ （7）xy = 123 ．
函数
一次函数
解析式
y=kx+b（k≠0）
归纳小结：
一般地，反比例函数 y k 的图象是双曲线， x
它具有以下性质： （1）当 k > 0 时，函数图象分别位于第一、第
三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. （2）当 k < 0 时，函数图象分别位于第二、第
四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
函数 图象形状 k＞0
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
x … ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 1 2 3 6 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣6 … 6 3 2 1 …
描点连线
y
10
y 6 x
华师大版八年级数学下册第十七章《函数及其图像 小结复习 》公开课课件
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/232021/7/232021/7/232021/7/23
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/7/2 32021/ 7/23Fri day, July 23, 2021
(华东师大版)数学初二下册 《函数及其图象》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《函数及其图象》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解变量与常量、变量与函数、直角坐标系、函数图象、平面直角坐标系的概念，能正确画出平面直角坐标系，根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征；2.了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；3.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能用待定系数法确定一次函数与反比例函数的解析式；4.能写出实际问题中一次函数关系与反比例函数关系的解析式及自变量的取值范围，并能应用它们解决简单的实际问题；运用数形结合的方法，深刻理解和掌握函数的性质，学会用数学建模的方法与技巧．【知识网络】【要点梳理】要点一、变量与函数 1. 常量、变量、函数（1）常量：在问题研究过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量. （2）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.（3）函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，那么我们就说是自变量，是因变量，也称是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、平面直角坐标系 1. 有序数对定义：把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a ，b)． 要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a ，b)与(b ，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 2. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).x y x y x y y x y x x a y b b a要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.3. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．4. 坐标平面（1）象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.（2）坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 5. 坐标的特征（1）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． （2）象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a ，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a ，-a)． （3）关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a ，b)关于x 轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a ，b)关于y 轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a ，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． （4）平行于坐标轴的直线上的点平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同.要点三、一次函数 1、一次函数的定义一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.2、一次函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 3、一次函数的性质掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =k y kx b =+y kx =b b b y kx b =+y kx =要点诠释：理解、对一次函数的图象和性质的影响：（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行； ，且与重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.4、求一次函数的表达式待定系数法：先设待求函数表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法. 5、用函数的观点看方程（组）与不等式k b y kx b =+k y kx b =+αb y k b y kx b =+1l 11y k x b =+2l 22y k x b =+12k k ≠⇔1l 2l 12k k =12b b ≠⇔1l 2l 12k k =12b b =⇔1l 2l x a =y b =要点四、反比例函数 1.反比例函数的定义一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 要点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.2.反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线； ky x=k 0k ≠x y x ky x=k x y 、k ky x=x k y x=()0ky k x=≠x y x y )0(≠=k xky x y x y -==和②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.注：正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.（2）反比例函数的性质①图象位置与反比例函数性质当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. ②若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.③正比例函数与反比例函数的性质比较④反比例函数y ＝中的意义)0(≠=k x ky xky x k y -==和x y x k y 1=xk y 2=021<⋅k k 021>⋅k k 0k >x y 、y x 0k <x y 、y x a b ，ky x=a b --，k过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点五、实践与探索 1.数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.2.正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3.选择最佳方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、函数的概念1.下列说法正确的是：（ ）A.变量满足，则是的函数；B.变量满足，则是的函数；C.变量满足，则是的函数；D.变量满足，则是的函数.【答案】A ；【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的的值，都有两个值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）xky =k x y k x ky =k 2k ,x y 23x y +=y x ,x y x y =||y x ,x y x y =2y x ,x y 221y x -=y x x y【答案】B；类型二、平面直角坐标系2.已知点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B 的坐标．【思路点拨】由“点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B 到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝-3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝-3．∴点B的坐标是(-3，3)或(-3，-3)．【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（-5,2）；（5，2），（-5,2），（5，-2），（-5，-2）.类型三、一次函数3.（春•高新区期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=6，O为坐标原点，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=6时，求P点坐标．【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）根据（1）中函数关系式及点P在第一象限即可得出结论；（3）把S=6代入（1）中函数关系即可得出x的值，进而得出y的值．【答案与解析】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（4，0）、（x，y），∴S=×4×y=2y．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函数关系式为：S=﹣2x+12．（2）由（1）得S=﹣2x+12＞0，解得：x＜6；又∵点P在第一象限，∴x＞0，综上可得x的范围为：0＜x＜6．（3）∵S=6，∴﹣2x+12=6，解得x=3．∵x+y=6，∴y=6﹣3=3，即P（3，3）．【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2015秋•南京校级期末）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，5），并且与y轴相交于点P，直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求△ABP的面积．【答案】解：（1）当x=0时，y=﹣x+3=3，则Q（0，3），∵点Q恰与点P关于x轴对称，∴P（0，﹣3），把P （0，﹣3），A （﹣2，5）代入y=kx+b 得，解得，所以这个一次函数解析式为y=﹣4x ﹣3；（2）当y=0时，﹣x+3=0，解得x=6，则B （6，0），当y=0时，﹣4x ﹣3=0，解得x=﹣，则直线y=﹣4x ﹣3与x 轴的交点坐标为（﹣，0）， 所以△ABP 的面积=×（6+）×5+×（6+）×3=27．4.已知正比例函数（≠0）的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是图中的（ ）．【答案】B ；【解析】∵随的增大而减小，∴ ＜0．∵中的系数为1＞0，＜0， ∴经过一、三、四象限，故选B ．【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，＞0时，函数值随自变量的增大而增大．举一反三：【变式】已知正比例函数的图象上两点A(, ), B(,)，当 时,有,那么 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】 A ；提示：由题意随着的增大而减小，所以，选A 答案.类型四、反比例函数5.如图所示，P 是反比例函数图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式．y kx =k y x y x k =+y x k y x k =+x k k x ()21y m x =-1x 1y 2x 2y 12x x <12y y >m 12m <12m >2m <0m >y x 210m -<ky x=【思路点拨】要求函数关系式，必须先求出的值，P 点既在函数的图象上又是矩形的顶点，也就是说，P 点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长．【答案与解析】解：设P 点的坐标为(，)，由图可知，P 点在第二象限，∴ ＜0，＞0．∴ 图中阴影部分矩形的长、宽分别为－、．∵ 矩形的面积为2，∴ －＝2，∴ ＝－2．∵ ＝，∴ ＝－2．∴ 此反比例函数的关系式是． 【总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线所得矩形面积为||这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．举一反三：【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A 、B ，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA ，OB ，与OB 的交点为P ，记△AOP 与梯形的面积分别为，试比较的大小.【答案】解：∵，且， ∴.类型五、实践与探索6.（2016•临沂）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22k x y x y x y xy xy xy k k 2y x=-x y k )(0x x2y >=x ''B A 、'AA B B PA ''21S S 、21S S与AOP AOA A OP S S S ''∆∆∆=-OB A OP A PBB S B S S ''''∆∆=-梯形AOA 112122A A S x y '∆==⨯=OB 112122B B B S x y '∆==⨯=21S S =元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？【思路点拨】（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式；（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．【答案与解析】解：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3．（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：1＜x＜4．综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．【总结升华】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系得出函数关系式；（2）根据费用的关系找出一元一次不等式或者一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式是关键．举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为．（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）。
(完整word版)华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华东师大版八年级下册第17章函数及其图象小结与复习课件(共25张)
变式6．已知一次函数y＝(2m＋4)x＋m－3，求： (1)当m为何值时，y随x的增大而增大？ (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？ (3)当m为何值时，函数图象经过原点？ (4)当m为何值时，这条直线平行于直线y＝－x?
解：（1）2m＋4＞0，所以m＞－2. （2）m－3＜0，且2m＋4≠0， ∴ m＜3，且m≠－2. （3）m－3＝0且2m＋4≠0， ∴m＝3. （4）2m＋4＝－1， ∴m＝－52.
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
5.函数的三种表示方法：
列表法 解析法
图象法.
例1．(1)设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的
高h的关系式是V＝πR2h，在这个变化过程中常量和
变量分别是什么？解：（1）常量是π和R，变量是V和h.
(2)设圆柱的高h不变，在圆柱的体积V与圆柱的底面半
则 k＝_____3_______．
例 10 ． 一 次 函 数 y ＝ 5x － 10的 图 象 与 x 轴 的 交 点 坐 标 是 ____(_2_，__0_) ___，与y轴的交点坐标是_(0_，__－__1_0_)．
例11、一次函数y＝kx－k(k<0)的大致图象是( A )
例12、已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b)，两个函数的
y2＝kx2(k2≠0)的图象交于 A(4，1)，B(n，－2)两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式
(2)请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围． 解：（1）将 A(4，1)的坐标代入 y2＝kx2得 k2＝4，所以反 比例函数的表达式为 y2＝4x. （将2）B根(n据，图－象2)的可坐以标看代出入y1＜y2y＝2时4x得x的n取＝值－范2，围所为以x点<－B2的或0<x<4. 坐标为(－2，－2)．将 A(4，1)，B(－2，－2)的坐标分 别代入 y1＝k1x＋b 得4－k12＋k1b＋＝b1＝，－2，解得kb1＝＝－12，1.所 以一次函数的表达式为 y1＝12x－1.
华师大版八年级数学下函数与其图像知识点归纳
反比例关系是小学学过的概念：如果xy=k﹙k是常数k≠0﹚〃那么x与y这两个量成反比例关系〃这里x与y既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式〃例如y+3与x成反比例那么有y+3= 成反比例〃那么y=例关系。
k,y与x2xkk,成反比例关系不一定是反比例函数〃但是反比例函数y=中的两个变量必定成反比xx2第5/6页〔六〕反比例函数y=k﹙k≠0﹚中的比例系数k的几何意义x11S矩形=|k|。
221?如图〃过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON面积为|k|。
2?连结PO,那么S△POM=六?函数的应用1?利用图像比拟两个函数值的大小在同一直角坐标系中的两个函数图像〃如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方〃那么该函数值就比另一个函数值大〃假设在下方〃那么该函数值就比另一个函数值小〃而其交点的横坐标就是分界点。
2?两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系如果两个一次函数的图像相交〃那么交点坐标必定同时满足两个函数解析式〃故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。
3?一次函数与方程、不等式的关系〔1〕一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0〃反映在函数解析式就是函数值等于0〃那么其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解。
〔2〕一次函数y=kx+b在x轴上方的图像〃任意一点的纵坐标都大于0〃反映在函数解析式就是函数值y＞0〃那么对应的横坐标〃也就是自变量的值即为不等式kx+b＞0的解集。
〔3〕一次函数y=kx+b在x轴下方的图像〃任意一点的纵坐标都小于0〃反映在函数解析式就是函数值y＜0〃那么对应的横坐标〃也就是自变量的值即为不等式kx+b＜0的解集。
----。
华师大版八年级下册18.2.2函数的图像
$x in R$且$x neq 0$。
反比例函数的值域
3
$y in R$。
反比例函数的图像特点
当$k > 0$时，反比例函数的 图像位于第一象限和第三象限；
当$k < 0$时，反比例函数的 图像位于第二象限和第四象限；
反比例函数的图像是双曲线， 且随着$k$的取值不同，图像 的位置和形态也会发生变化。
华师大版八年级下册 18.2.2函数的图像
目录
CONTENTS
• 函数图像的引入 • 一次函数的图像 • 二次函数的图像 • 反比例函数的图像 • 函数图像的变换
01
函数图像的引入
函数的概念
函数
在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的 值与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数可以用来描 述一些物理量之间的关系，如电流与 电阻的关系、电容与电压的关系等；
在实际生活中，反比例函数的应用还 有很多，如电路设计、建筑设计等领 域。
在经济学中，反比例函数可以用来描 述一些经济量之间的关系，如生产成 本与生产量的关系、价格与需求量的 关系等；
关于y轴的对称
将函数图像关于y轴进行对称 ，即y和-x互为对称点。
THANKS
感谢您的观看
函数的定义域
使函数有意义的自变量的取值范围。
函数的值域
函数值的集合。
函数图像的意义
01
02
03
直观反映函数关系
函数图像能够直观地表示 出变量之间的关系，使我 们能够快速理解函数的性 质和变化规律。
比较不同函数
华师大版八年级数学下函数的图像
物理问题
在物理学中，复合函数常被用 来描述物体的运动状态。例如 ，物体的位移可以看作是时间 和速度的复合函数。
工程问题
在工程学中，复合函数常被用 来描述各种物理量之间的关系 。例如，电路中的电流可以看 作是电压和电阻的复合函数。
THANK YOU
感谢聆听
02
二次函数
图像是一条抛物线，开口方向、顶点坐标和对称轴是 抛物线的主要特征。
03
反比例函数
图像是双曲线，两支曲线分别位于第一、三象限或第 二、四象限，且关于原点对称。
04
指数函数
图像是一条从左到右上升的曲线，底数决定了曲线的 上升速度。
05
对数函数
图像是一条从下到上上升的曲线，底数决定了曲线的 上升速度。
抛物线的对称轴是$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
开口方向、对称轴和顶点
开口方向
由系数$a$决定，$a > 0$时开口向上，$a < 0$时 开口向下。
对称轴
对于一般形式的二次函数，对称轴方程为$x = frac{b}{2a}$。
双曲线的两支分别位于第一、三象限和第二、四象限，且关于原点对称。
实际问题中反比例函数应用
在电学中，反比例函数可以描述电阻、电流和电压之间的关系。例如，当电压一定 描述成本、收益和产量之间的关系。例如，当其他条 件不变时，某种产品的成本和产量成反比关系。
通过建立二次函数模型，可以方便地 找到问题的最优解或近似最优解。
04
反比例函数图像与性质
反比例函数表达式与图像关系
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$ (k ≠ 0)，其图像 位于第一、三象限或第二、四象
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一.变量与函数1 .函数的定义:一般的,在某个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应,我们说x叫做自变量,y叫做因变量,y叫做x的函数。
2.自变量的取值范围:(1)能够使函数有意义的自变量的取值全体。
(2)确定函数自变量的取值范围要注意以下两点:一就是使自变量所在的代数式有意义;二就是使函数在实际问题中有实际意义。
(3)不同函数关系式自变量取值范围的确定:①函数关系式为整式时自变量的取值范围就是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围就是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围就是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 .函数值:当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题:(1)当已知自变量的值求函数值就就是求代数式的值。
(2)当已知函数值求自变量的值就就是解方程。
(3)当给定函数值的一个取值范围,欲求自变量的取值范围时实质上就就是解不等式或不等式组。
二.平面直角坐标系:1.各象限内点的坐标的特征:(1)点p(x,y)在第一象限→ｘ＞0,y＞0、(2)点p(x,y)在第二象限→ｘ＜0,y＞0、(3)点p(x,y)在第三象限→ｘ＜0,y＜0(4)点p(x,y)在第四象限→ｘ＞0,y＜0、2 .坐标轴上的点的坐标的特征:(1)点p(x,y)在x轴上→ｘ为任意实数,y=0(2)点p(x,y)在y轴上→x=0,y为任意实数3 .关于x轴,y轴,原点对称的点的坐标的特征:(1)点p(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)、(2)点p(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)、(3)点p(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)4 .两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征:(1)点p(x,y)在第一、三象限夹角平分在线→x=y、(2)点p(x,y)在第二,四象限夹角平分在线→x+y=05.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征:(1)位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华东师大版八年级数学(下册)课件：17.函数及其图象
使分母不为零的实数.
3.当函数解析式是二次根式时，自变量的取值范围是
使被开方数不小于零的数
8
二.实际问题的函数解析式中自变量取值范围：
1. 函数自变量的取值范围既要使实际问题有意义,同时又要使解析 式有意义.
2.实际问题有意义主要指的是：
取值符合问题的实际背景. 取值保证几何图形存在.
华东师大版八年级（下册）
一课时
1
复习：什么叫函数？
一般地,在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一 个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是因变量,此 时也称y是x的函数.
函数概念包含：
两个变量;
两个变量之间的对应关系.
做一做
1.购买单价为每本10元的书籍,付款总金额y(元),购买本数x(本).
BQ
P
C MAN
y=
1 2
x²
(0 ≤ x≤10 )
y M xA
5
思考:如何列函数解析式?
1.对于简单问题的函数解析式,往往可通过利用已有的公式列出.
例如:底边a一定,三角形的面积s与高h的函数关系 2.一些实际问题的函数解析式
先找出自变量x与函数y之间的等量关系
S＝1/2.ah
列出关于x, y的二元一次方程
14
15
3.函数自变量的取值范围: 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做函数自变量的取 值范围. 4 求自变量取值范围的方法： 根据使函数表示的实际问题有意义的条件,以及使函数解 析式中的数学式子有意义的条件,列出不等式或不等式组,求出 它或它们的解集,即为自变量的取值范围.
13
课本P33 第2、3、4题
初中数学华东师大版八年级下册17.函数的图象课件
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
例1.画出函数 y 1 x2 的图象： 2
分析：从函数解析式可以看出，x的取值范围是 全体实数
.
第一步：①列表：从x的取值范围中选取一些简洁的数值， 算出y的对应值，填写在表格里：
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
从丙港(B)返回到出发点甲港(E)用了2个小时.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
(2)轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快，还是轮船返回的平均速度快呢？ 轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快.
(3)如果轮船往返的机器速度是一样的，那么从甲港到乙港是顺水还是逆水？ 从甲港到乙港是顺水.
学习目标
概念剖析
典型例题
1.函数y=x的图像大致是( A )
当堂检测
课堂总结
A
B
C
D
分析：将函数y=x，按图象的一般步骤画出可大致得出图象，可以通过代入 法求知，当x=1时，y=1,这个点在第一象限，x=-1时，y=-1这个点在第三象 限,因此A正确.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
2.画出下列函数的图象：
课堂总结
②描点：分别以表中对应的 x、y为横纵坐标,在坐标系中
y
·
5 4
·y 1 x2 2
描出对应的点. ③连线：用光滑的曲线把这些
3
·2 · · · · 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点依次连接起来.
华师大版数学八年级下册17.函数的图象课件
题组一：函数图象的辨认及画函数图象 1．下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是
()
【解析】选B．B图象上对于某些x的取值有两个y值对应．所 以B不是函数．其他图象对于取值范围内x的任意取值都有唯一 确定的y值和它对应．
2.周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其 高度与时间关系的图象大致是( )
【解析】选D.∵乌鸦在寻思的这段时间内水位没有变化， ∴排除C；又∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上 升，∴排除A；又∵乌鸦喝水后的水位应高于一开始的水位， ∴排除B；∴D正确.
2.如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y(千 米)与时间t(分钟)之间的函数图象，根据图象信息，下列说法 正确的是( ) A.张大爷去时所用的时间少于回家的时间 B.张大爷在公园锻炼了40分钟 C.张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路 D.张大爷去时的速度比回家时的速度慢
【总结提升】从图象中获取信息的方法 弄清函数图象横、纵坐标分别表示的含义，图象上最高点、最 低点的意义. 上升线表示函数值随自变量的增大而增大；降落线表示函数值 随自变量的增大而减小；水平线表示函数值不随自变量的变化 而变化. 直线倾斜程度大表示函数值随自变量变化迅速，直线倾斜程度 小表示函数值随自变量变化缓慢.
知识点 2 函数图象的应用 【例2】小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小 文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀 速前行.他们的路程差s(m)与小文出发时间t(min)之间的函数 关系如图所示.下列说法：
①小亮先到达青少年宫；
②小亮的速度是小文速度的2.5倍；
③a=24；
画函数的图象，要把所有的点都描出来吗？ 提示：不必要，表示函数对应关系的点有无数个，只需描出其 中有限个点，根据其变化的趋势便可得到函数的大致图象.
华师大版数学八年级下册17.函数的图像课件
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y
5
(-3,4.5) 4
3 2
画图象大的家步自骤己 可以概总括结为一三下, 步 连:线列,这表看在函种、看做数画描我这图函点们个象 、 数图象的的时方候法都
1
叫做描经点过法了. 哪
些步骤?
-5 -4 -3 -2 -1 o
3．一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中
能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的
函数关系的是（
）.
4.小明从家里出发，外出漫步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续漫步了 一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在漫步过程中离家的距离s（米）与漫 步所用时间t（分）之间的函数关系.请你由图具体说明小明漫步的情况.
平面直角坐标系
1、能够正确画出直角坐标系。 2、能在直角坐标系中，根据坐标作出点，
由点求出坐标。 3、掌握各象限上及x轴，y轴上点的坐标的
特点： 第一象限（+，+） 第二象限（－，+） 第三象限（－，－）第四象限（+，－） x轴上的点纵坐标为0，表示为（x，0） y轴上的点横坐标为0，表示为（0，y）
4、平行于横轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于纵轴的直线上的点的横坐标相同；
5、点P(a,b)关于x轴、y轴、原点对称点的坐标:
y
P3(-a,-b)
P1(a,-b)
O
x
P2(-a,b)
P(a,b)
6、点P(a,b)到x轴的距离为 b ,
到y轴的距离为 a .
引例:如图是某地一天内的气温变化图．
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华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
（2）位于平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同。
6．点到坐标轴及原点的距离：（1）点p（x,y）到轴的距离为｜y︱.（2）点p（x,y）到y轴的距离为∣x∣.22（3）点p（x,y）到原点的距离为（4）同在x轴上的两点A（x1,0）与B（x2,0）之间的距离为AB=|x1-x2|（5）同在y轴上的两点C（0,y1）与D（0,y2）之间的距离为CD=|y1-y2|三．函数的图像函数图像上的点与其解析式的关系1．函数图像上任意一点p﹙x,y﹚中的x、y满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值﹙x,y﹚都在函数的图像上。
2．判断点p﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。
四．一次函数（一）一次函数的定义1．定义:含有自变量的式子为一次整式，即形如式子y＝kx+b(其中k和b为常数，k≠0)叫做一次函数。
正比例函数：在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx(其中k≠0)，这样的函数叫做正比例函数。
2．注意：（1）由一次函数和正比例函数的定义可知;①函数是一次函数→解析式为y＝kx+b的形式。
②函数是正比例函数→解析式为y=kx的形式。
（2）一次函数解析式y=kx+b的结构特征：① k≠0 ②x的次数是1 ③常数b为任意实数（3）正比例函数解析式y=kx的结构特征① k≠0 ②x的次数是1 ③常数b=03．说明：在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。
4．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。
第2/6页一次函数y=kx+b，当b=0时为正比例函数一次函数y=kx+b，当b≠0时一般的一次函数（二）一次函数的图像1．一次函数图像的形状：一次函数y=kx+b的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b正比例函数y=kx的图像也是一条直线，称为直线y=kx2．一次函数图像的主要特点:一次函数y=kx+b的图像经过点﹙0，b﹚的直线，正比例函数y=kx+b的图像是经过原点﹙0，0﹚的直线注意：点﹙0，b﹚是直线y=kx+b与y轴的交点。
①当b＞0时，此时交点在y轴的正半轴上，②当b＜0时，此时交点在y轴的负半轴上，③当b=0时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。
3．一次函数图像的画法：根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。
那么，先描出哪两点比较好呢？选两点应以计算和描点简单为原则，一般来说，当b≠0时，一般的一次函数y=kx+b的图像，应选取b,0﹚；当b=0时，画正比例函数y=kx的图像，通常取﹙0，0﹚与k22﹙1，k﹚两点，个别情况下可以做些变通，例如画函数y=x的图像，可以取﹙0，0﹚与﹙1，﹚两点，33它与两个坐标轴的交点﹙0，b﹚与﹙-也可以取﹙0，0﹚与﹙3，2﹚两点。
4．直线y=kx+b与坐标轴的交点（1）令x=0,则y=b所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标为﹙0，b﹚（2）令y=0,则kx+b=0所以x=-b kb,0﹚注意：此时直线y=kx+b与x轴，y轴围成的三角形面积k所以直线y=kx+b与x轴的交点坐标为﹙- S=1b×∣-∣×∣b∣ 2k5．两直线在直角坐标系内的位置关系:（1）两直线的解析式中当k相同时，其位置关系是平行，其中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是“左减右加，上加下减”（2）两直线的解析式中当b相同时，其位置关系是相交，交点坐标为﹙0，b﹚.第3/6页（三）一次函数的性质1．正比例函数的性质（1）当k＞0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，直线y=kx从左到右上升。
（2）当k＜0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，直线y=kx从左到右下降。
2．一次函数y=kx+b的性质（1）当k＞0时，直线y=kx+b从左到右上升，此时y随x的增大而增大。
（2）当k＜0时，直线y=kx+b从左到右下降，此时y随x的增大而减小。
（3）当b＞0时，直线y=kx+b与y轴正半轴相交。
（4）当b＜0时，直线y=kx+b与y轴负半轴相交。
3．直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的，其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势，b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴，还是负半轴，还是原点。
k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况：①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限；②当k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限；③当k＜0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限；④当k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限；⑤当k＞0，b=0时，直线经过第一、三象限；⑥当k＜0，b=0时，直线经过第二、四象限。
（四）正比例函数与一次函数解析式的确定1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。
2．待定系数法：先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚，再根据已知条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
其中的未知系数也称待定系数，如正比例函数y=kx中的k，一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数。
3．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式；（2）把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数；（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。
第4/6页注意：通常正比例函数解析式设y=kx，只有一个待定系数k，一般只需一对x与y的对应值即可；一次函数解析式设y=kx+b，其中有两个待定系数k和b，因而需要两对x与y的对应值，才能求出k和b的值。
五．反比例函数（一）反比例函数定义1．一般的，函数y=k-1﹙k是常数，k≠0﹚叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成y=kx的形x 式，其中k叫做比例系数。
2．反比例函数解析式的主要特征：（1）等号左边是函数y,右边是一个分式，分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1，若写成y=kx的形式，则x的指数是-1。
（2）比例系数“k≠0”是反比例函数定义的重要组成部分。
（3）自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。
（二）反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点成中心对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以它的图像与x轴和y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
（三）反比例函数的性质1．当k＞0时，图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减小。
2．当k＜0时，图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大。
（四）反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=-1k中只有一个待定系数，因此只需要一对x与yx 的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
（五）“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系反比例关系是小学学过的概念：如果xy=k﹙k是常数k≠0﹚，那么x与y这两个量成反比例关系，这里x 与y既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式，例如y+3与x成反比例则有y+3= 成反比例，则y=例关系。
k,y与x²xkk,成反比例关系不一定是反比例函数，但是反比例函数y=中的两个变量必定成反比xx2第5/6页（六）反比例函数y=k﹙k≠0﹚中的比例系数k的几何意义x11S矩形=|k|。
221．如图，过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON面积为|k|。
2．连结PO,则S△POM=六．函数的应用1．利用图像比较两个函数值的大小在同一直角坐标系中的两个函数图像，如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方，则该函数值就比另一个函数值大，若在下方，则该函数值就比另一个函数值小，而其交点的横坐标就是分界点。
2．两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系如果两个一次函数的图像相交，则交点坐标必定同时满足两个函数解析式，故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。