专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(解析版)

专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用

【高考地位】

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。

类型一 分段函数

例1 函数 ，若实数a 满足=1，则实数a 的所有取值的和为（ ） A ．1 B ．

C

． D ． 【答案】C

【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类：

令0log 2=a 和0142

=++a a 得，，，32321+-=--==a a a

第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 若1>a 则()a a f 2log =，所以()()()1log log 22==a a f f ，所以4=a ； 若10≤

2=++=a a a f f ，

22

log ,0()41,0

x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩(())f f a 1716-15

16

--2-

所以0log 2=a 或-4log 2=a ，即1=a 或16

1=

a ； 若032≤<+-a 则()142++=a a a f ，所以()()()

114log 2

2=++=a a a f f ，

所以52+-=a （舍）或52--=a （舍）；

若3232+-≤≤--a 则()142

++=a a a f ，所以()()()

()

111441422

2=++++++=a a a a a f f ，

所以32+-=a 或32--=a ；

若32--

114log 2

2=++=a a a f f ，

所以52+-=a （舍）或52--=a ； 第三步 得出结论.

所以a 所有可能值为16

1

,

32,32,1,52,4+-----，其和为51615--，故选C ．

【变式演练1】在函数22, 1

, 122, 2x x y x x x x +≤-⎧⎪

=-<<⎨⎪≥⎩

中，若()1f x =，则x 的值是（ ）

A ．1

B ．312

或 C ．1± D

【答案】C 【解析】

试题解析：当1x ≤- 时，211x x +=⇒=-；当12x -<<时，211x x =⇒=；当2x ≥时，1

212

x x =⇒=

（舍）.

考点：本题考查函数性质

例2 已知函数()[)()

232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是

（ ）

A ．()1,2

B ．(][),12,-∞+∞

C ．[]1,2

D ．()(),12,-∞+∞

【答案】C

【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类： 由题意可得自变量的分界点为0；

第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解：

易判断2

y x =在区间[)0,+∞单调递增，因为()f x 在(),-∞+∞上是增函数，所以函数3

2

32y x a a =+-+

在(),0-∞单掉递增； 第三步，得出结论：

所以只需满足2320a a -+≤，解得：12a ≤≤，所以答案为C ． 考点：1．分段函数；2．函数的单调性．

点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）. 【变式演练2】【甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数

12

12log ,18()2,12x x x f x x ⎧

+≤<⎪

=⎨⎪≤≤⎩

，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

B ．70,4

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

C ．90,8

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

D ．150,

8⎛⎤

⎥⎝⎦

【答案】B 【分析】

根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<，可得

1

1,128

a b ≤<≤≤且122log 2b a +=，令

12

2log 2b a k +==，则24k <≤，然后用k 表示,a b ，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果.

【详解】

因为函数()f x 在1

[,1)8

上递减，在[1,2]上递增，又()()()f a f b a b =<，

所以

1

1,128

a b ≤<≤≤，且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤，

所以2

12k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭

，2log b k =，

所以2

21log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

，

设函数2

21()log 2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，(2,4]x ∈，

∵()g x 在(]2,4上单调递增， ∵(2)()(4)g g x g <≤，即70()4

g x <≤

， ∵70,4

b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝

⎦

，

故选：B ．

例3 ⎪⎩

⎪

⎨⎧>++≤-=,

0,1

,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 【答案】D