极值控制与极大值原理(关肇直等编著)思维导图
最优控制--极大值原理
线，则必存在不 为0的n维向量 λ(t) ，满足: 1、规范方程：
X = f ( X,U, t) ∂H λ =− ∂X
• •
2、边界条件：
X (t0 ) = X0
λ(t f ) =
∂φ[ X (t f ), t f ] ∂X (t f )
∂gT [ X (t f , t f )] ]µ +[ ∂X (t f )
_
H[ X (t), λ(t),U (t)] = m H[ X * (t), λ(t), u(t)] ax
* * u(t )
_
_
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。 一般:对于实际系统
根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小
1
所以 U* (t)
λ >1 λ <1
•
0.5
由协状态方程: λ(t) = − ∂H = −[1+ λ(t)]; λ(t) = ce−t −1 ∂X
由横截条件: 显然:当
λ(1) = ce−1 −1 = 0; c = e; λ(t) = e1−t −1
λ(ts ) = 1时， * (t) 产生切换 U
1、问题提出（时变系统） 问题提出 时变系统）
最优控制-极大值原理
VS
局限性
极大值原理需要求解非线性偏微分方程， 计算复杂度高，对于大规模系统可能难以 实现。此外，极大值原理对于某些特殊问 题可能无法得到唯一解。
05
极大值原理的扩展与应 用
极大值原理的扩展
动态规划方法
将极大值原理与动态规划方法相 结合，解决了多阶段决策问题， 使得在复杂的动态系统中寻找最 优控制成为可能。
03
极大值原理
极大值原理的概述
极大值原理是现代控制理论中的基本原理之一，它为解决最 优控制问题提供了一种有效的方法。该原理基于动态系统的 状态和性能之间的关系，通过寻求系统状态的最大或最小变 化，来达到最优的控制效果。
在最优控制问题中，极大值原理关注的是在给定的初始和终 端状态约束下，如何选择控制输入使得某个性能指标达到最 优。它适用于连续和离散时间系统，以及线性或非线性系统 。
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极大值原理的应用场景
• 极大值原理在许多领域都有广泛的应用，例如航空航天、机 器人控制、电力系统、经济和金融等。在航空航天领域，极 大值原理用于指导航天器的轨道优化和姿态控制；在机器人 控制领域，极大值原理用于实现机器人的路径规划和运动控 制；在电力系统领域，极大值原理用于实现电力系统的最优 调度和控制；在经济和金融领域，极大值原理用于实现资产 配置和风险管理等。
第七章 最优控制：最大值原理
满足 和
y f (t, y , u ) y (0) A
f (t , y , u ) H
以上两个方程右边相同，因此左边相等：
y
推导得到最大值 原理的条件之一
以上推导得到：
H ( t , y , u , ) y ( t ) dt ( T ) y
T 0
T
(0) y0
步骤3 推导新目标泛函 的另一种形式
上页推导得到：
V
T 0
( t ) f ( t , y , u ) y dt
0
T
F ( t , y , u ) ( t ) f ( t , y , u ) y dt 把汉密尔顿函数定义为：
H (t , y , u , ) F (t , y , u ) (t ) f (t , y , u )
把这些代入(7.41)、(7.40)和(7.39)得：
y (t )
*
1 1 e
2
e
t
e
2 2
1 e
e
t
(t )
*
4e
2 2
1 e
e
t
u (t )
*
2e
2 2
1 e
e
t
第三节 变分法与最优控制的比较
电路理论思维导图-简单高清脑图_知犀
电阻电路的等效变换
串并联
电阻的串并联 电源的串并联
串联电阻相加，并联电导相加
对称电路
对称面通过端口的情况 对称面垂直端口的情况
垂直通过对称面的支路的电流为零，可以断开该支路， 对称结点是等位点对，可以短接这些等位点
当电路存在垂直于端口的对称面时，对称面上的各结点 为等位点，可以短接这些结点
电桥电路
电桥电路图 平衡条件
R₁R₃=R₂R₄对臂电阻之积相等 R₁/R₄=R₂/R₃邻臂之比相等
星三角变换
三角to星 星to三角
电源变换
戴维南支路（独立电压源＋线性电阻）与 诺顿支路互换（独立电流源＋线性电阻）
变换注意事项
戴维南支路与诺顿支路的电阻相等 电压源、电流源、电阻三者的值满足类似于欧姆定律的关系 电压源与电流源的方向类似于非关联参考方向
受控电源的电源变换类似，不过要注意控制量转移
正弦稳态电路
正弦稳态电路分析
正弦稳态电路的功率 三相正弦稳态电路
相量法 阻抗与导纳 相量图
动态电路
元件
电容 电感
电路暂态分析
一阶电路暂态分析 二阶电路暂态分析
理想运放：虚短虚断
运算放大器
叠加定理 替代定理 戴维南定理和诺顿定理 最大功率传输定理 特勒根定理 互易定理
电路定理
网孔法 结点法 回路方程
电路分析方程
2023高等数学考试大纲思维导图,脑图
高等数学
函数极限连续
函数
极限
求极限（60）
函数求极限 45
数列15
n项和极限（夹逼准则）
递推关系求极限 难
无穷小量阶的比较
子主题 1
连续
间断点的类型（0）
一元函数微分学
导数的定义【25】
定义求导
导数定义求极限难点 定义判断可导性
求导数（隐函数、参数方程、高阶导数）【25】
参数方程求导
隐函数求导
函数性态（单调、极值与最值、凹凸与拐点、渐近线）【17】
凹凸区间
渐近线
方程的根【10】
存在性
个数
不等式【0】
微分中值定理证明【34】泰勒公式展开
几次泰勒展开式拉格朗日 罗尔 柯西
一元函数积分学
不定积分、定积分与反常积分【45】
定积分的定义反常积分的计算
定积分的计算
反常积分敛散性的判定
计算常考
积分不等式【15】
被积函数比大小定积分应用【10】
旋转体的体积
界面区域的面积固定公式
常微分函数
解方程【20】
（可分离、齐次、线性、高阶线性常系数）
欧拉方程 冷门
高阶线性常系数固定公式
综合题【24】应用题【0】
几何题
无穷级数
数项级数敛散性【0】幂级数收敛域展开求和【36】
向量代数与空间解析几何
多元积分计算【25】
二型线面常考重点一型和三重
多元应用三个度
子主题 1多元函数积分学
而二重积分的计算【75】
极坐标法
累次积分计算 交换次序
直角坐标
二型线面积分的计算【25】一型线面积分、三重积分计算
多元积分应用、梯度 旋度 散度【5
多元函数微分学
求偏导、求微分【30】
通过偏导求最值
计算极值与最值【53】
求极值图形 最值题不等式求最值
高等数学考研复习思维导图 脑图
高等数学函数
特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性
反函数、复合函数、分段函数
初等函数
极限
无穷小
两个重要极限
间断点
连续
零点定理、介值定理
洛必达法则、泰勒公式
导数和微分
求导
反函数求导
复合函数求导
高阶导数
隐函数求导
参数方程求导
拐点、凹凸性
最大值、最小值
微分微分中值定理
罗尔定理
朗格拉日中值定理
*柯西中值定理
曲率、弧微分
不定积分
换元法
分部积分法
定积分反常积分
微分方程
可分离变量的微分方程
齐次方程
一阶线性微分方程
齐次
非齐次
伯努利方程
可降阶的高阶微分方程
高/二阶线性微分方程解的结构
常系数齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
欧拉方程
空间解析几何
向量
数量积
向量积
混合积
曲面
一次曲面
二次曲面
柱面
圆柱面
椭圆住吗
抛物柱面
椭圆锥面
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面(马鞍面)
空间曲线
空间曲线的一般方程
空间曲线的参数方程
空间曲线在坐标面上的投影
平面及方程
平面一般方程
两平面夹角
平面束方程
空间直线及方程
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程
空间直线的参数方程
两直线夹角
直线与平面的夹角
多元函数微分法
多元函数
点集
极限
连续性
偏导数
全微分
多元函数复合求导
隐函数求导
一个方程的情况
方程组的情况
几何应用
一元向量值函数及导数
空间曲线的切线和法平面
曲面的切平面和法线(偏导数有关)
方向导数和梯度(偏导数有关)
多元函数的极值(偏导数有关)
条件极值
重积分
二重积分
性质
极坐标计算二重积分
三重积分
柱面坐标计算三重积分
球面坐标计算三重积分
曲线积分
对弧长的曲线积分(线密度)
对坐标的曲线积分(力做功)
两类曲线积分之间的关系
格林公式
路径无关
原函数的一个全微分
最大值原理和极值原理
最大值原理和极值原理
最大值原理指出，如果一个函数在一个区间内连续且有界，那么它在这个区间内必定有一个最大值。也就是说，一个连续有界函数在一定条件下一定能取到最大值。
极值原理则是在函数的导数上进行的。如果一个函数在某个点处取得了极值，那么它的导数在这个点处为0。也就是说，如果一个函数在某个点处有导数为0，那么它可能是这个点处的极值。
这两个原理在数学分析中经常被用到，有助于研究函数的性质和特点。同时，它们也有一定的应用价值，可以用来解决实际问题。例如，最大值原理可以用来优化某些工程设计，而极值原理可以用来研究某些自然现象的最值。
- 1 -
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
y 12x3 24x2 12x 12x(x 1)2.
令y 0，得驻点x1 0, x2 1， y在(,)内存在.
x (,0) 0 (0, 1) 1 (1,)
y –
0
+
0
+
y
极小0
非极值
可知x=0为y的极小值点, 极小值为0.
例2. 解: (1) f(x)在( )内连续 除x1外处
4，f
(3)
1， 3
所以: f(x)在[0,3]上的最大值为f(2)=1.
最小值为 f (0) 1 2 3 4. 3
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
于观察者的眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多远处看
图才最清楚(视角 最大) ?
解: 设观察者与墙的距离为x(m),
1.4
则 arctan1.4 1.8 arctan1.8,
x (0, ) x
x
x 1.8
3.2 x2 3.22
1.8 x2 1.82
1.4(x2 5.76) (x2 3.22 )(x2 1.82 )
23考研高数命题点思维导图
原函数
定义 原函数存在定理
1)连续函数必有原函数 2)含跳跃、可去、无穷间断点的f(x)在此区间无原函数 3)含振荡间断点的f(x)在此区间可能有也可能没有原函数
不定积分
定义 记作
性质
f (x)dx = F (x) + C
设函数 f ( x )及 g ( x )的原函数存在，
(1) [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx (2) kf ( x )dx = k f ( x )dx , k为非零常数
解法
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法
函数的连续性 偏导数 二阶偏导数
可微
若 lim
x→ y→
xy00
f (x, y) =
f ( x0 , y 0 ), 则称 f ( x, y)在点 ( x0 , y 0 )处连续
z
=
f (x, y)在点(x0 , y0 )处对x的偏导数存在 ⇔
lim
Δx→0
f (x0
参数方程
一阶导数 二阶导数
隐函数
特殊的求导方法
高阶导数
和、差 积
设 函 数 y = y ( x )由 方 程 F ( x , y ) = 0 确 定 ① F (x, y) = 0两 边 对 自 变 量 x 求 导 ② 解 方 程 求 得 y′ 多项相乘、除、开方、乘方→对数求导法 幂指函数→对数求导法&幂指函数求导法
第三章极大值原理（MaximumPrinciple）（MaximumPrinciple）
u(t)有界一般可以考虑为是分段连续函数，对不等式约束则要设法转化 为等式约束处理。
引进新变量Z(t)和w(t)，取
[ Z ( t )]2 g[ x ( t ), u( t ), t ], Z ( t 0 ) 0 w ( t ) u(t ), w ( t0 ) 0
（3-2-6） （3-2-7）
{ x
T
x
F x
}
tf
0
（3-2-21）
F w
tf
0
F Z
tf
0
（3-2-22） （3-2-23）
将 F ( x, x , w , Z , , , t) H ( x, , w , t) Tx T [g( x, w , t) Z 2 ] 代入以上各式，可得泛函极值必要条件为：
*i (t f ) i , i 1, 2, , n k
Jx
x
T f
{
x
T
x
F x
}
tf
（3-2-14）
( x T
F x
)
tf
tf
tf t0
x T[ F x
d dt
F x
]dt
J w
(w T
F w
)
tf
tf t0
w T
d dt
F w
]dt
J Z
(Z
最大值原理ppt课件
0, L 1, J (u)
tf 0
1dt
t
f
2. t f , L 0, J (u) t f 39
J (u) (x(t f ),t f )
tf L(x,u,t)dt
t0
31
min J (u) u
s.t.
x f (x,u,t)
x(t0
)
x0
则：u 为最优控制的必要条件：
（1）和（2）与定理1相同。 （3）边界条件：
32
x(t0 ) x0
(t f
)
r, x(60) 3000
解正则方程中的协状态方程：(t) (0)ert
1.如果 1 (0) 0 ，则 (t) 1 ，
u 40000
(t) r(0)ert 0
x(t) x(0)ert t 40000er(t )d 0
注：前面讲过的无约束最优控制中的
必要条件只是最大值原理的特殊情
况。H 关于 u
（ H 0）是
u的使梯H度取得Hu 在极值u 的处必为要0 条
u
件。
30
因此前面的无约束最优控制问题均可
利用最大值原理来求解.
PMP有的参数书上也称之为最小值原
理，实质上没有什么区别，只要稍加
高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值
§ 3.4 函数的极值与最值
本节利用导数讨论函数的极值与最值的问题， 具体来说， 讨论函数在局部与 全局的最大值、最小值(简称最值)问题，它在实际应用中有着重要的意义。
一、函数的极值 1. 极值的定义
观察图 3.11 ，可以发现，函数 y f(x)在点 x 1, x 4的值比其邻近点的值都大， 曲线在该点处达到“峰顶” ；在点 x 2,x 5的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处 达到“谷底”。对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念
意一点 x ( x ≠ x 0 )，恒有
f (x) f(x 0) (或 f(x) f(x 0) )，
则称 f (x 0)是函数 f ( x)的极大值(或极小值) ，称x 0是函数 f (x) 的极大值点(或 极小值点)。
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 . 注：(1)函数的极值是一个局部性的概念，如果 f(x 0)是函数 f (x)的极大值
(或极小值)，只是就 x 0邻近的一个局部范围内， f (x 0) 是最大的(或最小的) ， 而对于函数 f
(x) 的整个定义域来说就不一定是最大的(或最小的)了
(2)函数的极值只能在定义域内部取得。
定义 3.3
2. 极值的判别法
继续观察图 3.4 可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在 (即函数的导数存在)，则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。由此，有下面的定理 .
定理 3.4 (极值存在的必要条件 ) 如果函数f(x)在点x0可导，且在x0处取得极值，则f (x0 ) =0.
第3章 极大值原理
（3-2-14’）
δJ w = (δw Ｔ δJ Z = (δZ Ｔ
tf d ∂F ∂F ) t f − ∫ δw Ｔ ]dt t 0 & & dt ∂w ∂w tf ∂F d ∂F ) t f − ∫ δZ Ｔ ]dt t & & 0 dt ∂Z ∂Z
（3-2-15） （3-2-16）
30
由泛函极值必要条件 δJ a = 0 及 δ t f , δx f , δx, δw, δZ 的任意性，得此泛函 问题的极值必要条件为： 欧拉方程：
t0 tf
（3-1-1）
若用 p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则可以证明泛函增量可表示为
& (t ), p( x, t ), t ] dt ∆J ( x) = ∫t E[ x(t ), x
0
tf
（3-1-2）
其中
&, p, t ] = L[ x, x &, t ] − L[ x, p, t ] − [ x & − p] E[ x, x ∂ L[ x, p, t ] ∂p
J a (u ) = Φ[ x(t f ), t f ] + ν Ｔ (t )ψ [ x(t f ), t f ]
tf & 2 ]}dt & , t ) + λ Ｔ [ f ( x, w & , t) − x & ] + γ Ｔ [ g ( x, w & , t) − Z + ∫ {L( x, w t0
极大值原理
极大值原理
极大值原理极大值原理 maximum principle 最优控制理论中用以确定使受控系统或运动过程的给定性能指标取极大或极小值的最优控制的主要方法。在工程领域中很大一类最优控制问题都可采用极大值原理所提供的方法和原则来定出最优控制的规律。在理论上极大值原理还是最优控制理论形成和发展的基础。极大值原理是对分析力学中古典变分法的推广能用于处理由于外力源的限制而使系统的输入即控制作用有约束的问题。极大值原理是20世纪50年代中期苏联学者Л.С.庞特里亚金提出的有关这一原理的主要结果及其严格的数学证明都发表在后来出版的《最优过程的数学理论》一书中。我今天的讲座就是讲自动控制的发展。从开始阶段的发生到形成一个控制理论讲整个这个进程。我们讲自动控制就是指这样的反馈控制系统这是有一个控制器跟一个控制对象组成的把这个控制对象的输出信号把它取回来测量回来以后跟所要求的信号进行比较。根据这误差告诉控制器这就是机器内部的工作了。让控制器完成这个控制作用使得这个偏差消除或者说使得控制对象的输出跟踪我所需要的要求的信号。控制对象的输出量一般来说都是一个物理量比如说我控制一个机器的转速就是需要把速度测量出来才能进行控制。自动控制系统从一开始出现的时候大家假如接触到这门学科的话可能都知道是瓦特的离心调速器。这是离心调速器的几种方案的示意图什么叫离心调速器呢就是有两个飞球一转起来以后因为离心力飞球就往外胀。飞球胀开以后这个下面的套筒就往上升这个套筒在移动就带动执行机构动作这是最早的瓦特的离心调速器。实际上这个离心调速器不是瓦特发明的一般我们叫瓦特的离心调速器它实际上不是瓦特的发明。这是什么呢就是在那个时期大家看到风力磨坊就是相当于离心调速器的那个飞球实际上在那个时候已经有这样的调速器。瓦特是发明了蒸汽机用了这样的一个调速器但是现在很多人都愿意把这个离心调速器挂在瓦特的名下。所以一般的书上大家看到
3 极大值原理
(1)设u*(t)是最优控制，x*(t)为由此最优控制产生的最优轨线，则存在 与其相对应的协态向量λ*(t)，使x*(t)和λ*(t)满足规范方程组
H [ x * ( t ), * ( t ), u* ( t ), t ] * * * * (t ) H [ x ( t ), ( t ), u ( t ), t ] x * (t ) x
由泛函极值必要条件 J a 0 及 t f , x f , x , w , Z 的 任意性，得此泛函极值的必要条件为：
欧拉方程： 横截条件： T F d F T F F x { }t 0 （3-2-20） 0 （3-2-17） t f t f x x dt x F T d F （3-2-21） { }t 0 0 （3-2-18） x x x dt w F （3-2-22） d F （3-2-19） 0 t 0 w dt Z F （3-2-23） 0
（3-2-9） （3-2-10）
, , , t ) H ( x, , w 2] , w , Z , t ) T x T [ g( x , w , t) Z F ( x, x
Leabharlann Baidu
则有
, , , t )dt , w , Z J a ( u) [ x( t f ), t f ] ( t ) [ x( t f ), t f ] F ( x , x
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