二阶系统的阶跃响应
二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼状态曲线
二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼状态曲线
一、引言
在控制理论中，二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼状态曲线是一个重要
的概念。它反映了一个系统在欠阻尼状态下对输入信号的响应情况，
是探讨系统稳定性、振荡特性和动态响应的重要工具。本文将从二阶
系统的定义开始，逐步深入探讨其单位阶跃响应欠阻尼状态曲线的特
点和意义。
二、二阶系统的定义
二阶系统是指具有两个自由度的动态系统，它可以用微分方程描述其
动态特性。在控制理论和工程实践中，二阶系统的表现形式多种多样，例如振动系统、电气系统、机械系统等等。在对二阶系统进行分析时，常常需要了解它的单位阶跃响应欠阻尼状态曲线，以便全面理解系统
的动态特性。
三、单位阶跃响应欠阻尼状态曲线的特点
对于一个欠阻尼的二阶系统，其单位阶跃响应曲线常常呈现出以下特点：
1. 振荡幅度大：由于缺乏阻尼，系统在受到单位阶跃输入后会出现明
显的振荡，振荡幅度通常较大。
2. 振荡频率高：欠阻尼状态下，系统的自然频率对振荡频率的影响比较明显，常常表现为振荡频率较高。
3. 衰减缓慢：缺乏阻尼导致单位阶跃响应的振荡幅度衰减较慢，系统的响应时间较长。
以上特点使得欠阻尼的二阶系统在实际控制和工程应用中需要特别注意，因为它的振荡特性可能对系统的稳定性和性能产生重要影响。
四、单位阶跃响应欠阻尼状态曲线的意义
通过对欠阻尼的二阶系统单位阶跃响应曲线的分析，我们可以深刻理解系统的振荡特性和动态响应特点。这对于控制系统的设计和优化具有重要意义。在实际工程中，我们常常需要针对欠阻尼的系统进行补偿和控制，以确保系统的稳定性和性能。了解单位阶跃响应欠阻尼状态曲线的意义是至关重要的。
自动控制原理 二阶系统的响应
荡。
0
Re
t × − jωn
c.∵e(t) = r(t) −c(t) =
1
1−ζ
2
e−ζωnt
sin(ωdt
+
β)
8
∴ess = e(∞) = 0
即系统带有一个积分环节，对单位阶跃输 入，稳态误差为零。
2、临界阻尼情况 (ζ = 1)
此时
G(S)
=
C(S) R(S)
=
(S
ωn2 + ωn )2
而
R(S)
16
1、上升时间 tr
定义：响应曲线第一次达到稳态值的时间。
即
c(tr ) = 1−
1
1−ζ
2
e−ζωntr
sin(ωd tr
+β)
=1
sin(ωdtr + β ) = 0
ωdtr + β = π
∴tr
=π −β ωd
=
π −β ωn 1− ζ
2
17
其中：
β = cos−1 ζ
jω
σ S1+
β
ωn
由于ζ 与调整时间的实际关系曲线是非连
续的，因而ζ 值通常由系统允许的最大过
调量来确定,由调整时间确定ωn 。即
− ζπ
σ % = e 1−ζ 2 ×100%
实验二 二阶系统阶跃响应
实验二二阶系统阶跃响应
一、实验目的
1．研究二阶系统的特征参数如阻尼比ζ和无阻尼自然频率ω
n
对系统动态性能
的影响；定量分析ζ和ω
n 与最大超调量Mp、调节时间t
S
之间的关系。
2．进一步学习实验系统的使用方法。
3．学会根据系统阶跃响应曲线确定传递函数。
二、实验仪器
1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台
2．PC计算机一台
三、实验原理
1．模拟实验的基本原理：
控制系统模拟实验采用复合网络法来模拟各种典型环节，即利用运算放大器不同的输入网络和反馈网络模拟各种典型环节，然后按照给定系统的结构图将这些模拟环节连接起来，便得到了相应的模拟系统。再将输入信号加到模拟系统的输入端，并利用计算机等测量仪器，测量系统的输出，便可得到系统的动态响应曲线及性能指标。若改变系统的参数，还可进一步分析研究参数对系统性能的影响。
2.时域性能指标的测量方法：超调量%
σ：
1)启动计算机，在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。
2)测试计算机与实验箱的通信是否正常,通信正常继续。如通信不正常
查找原因使通信正常后才可以继续进行实验。
3)连接被测量典型环节的模拟电路。电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1
输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入。检查无误后接通电源。
4)在实验课题下拉菜单中选择实验二[二阶系统阶跃响应] 。
5)鼠标双击实验课题弹出实验课题参数窗口。在参数设置窗口中设置相
应的实验参数后鼠标单击确认等待屏幕的显示区显示实验结果。
6)利用软件上的游标测量响应曲线上的最大值和稳态值，带入下式算出
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应
一、实验目的
通过实验观察和分析阶跃响应曲线，了解二阶系统的动态特性，掌握用MATLAB仿真二阶系统阶跃响应曲线的绘制方法，提高对二阶系统动态性能指标的计算与分析能力。
二、实验原理
1.二阶系统的传递函数形式为：
G(s)=K/[(s+a)(s+b)]
其中，K为系统增益，a、b为系统的两个特征根。特征根的实部决定了系统的稳定性，实部小于零时系统稳定。
2.阶跃响应的拉氏变换表达式为：
Y(s)=G(s)/s
3.阶跃响应的逆拉氏变换表达式为：
y(t)=L^-1{Y(s)}
其中，L^-1表示拉氏逆变换。
三、实验内容
1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定，并记录实际的参数数值。
2.使用MATLAB绘制二阶系统的阶跃响应曲线，并与实际曲线进行对比分析。
四、实验步骤
1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定。根据实验要求，选择适当的数字电路元件组合，如电容、电感、电阻等，在实际电路中搭建二阶系统。
2.连接模拟输入信号。在搭建的二阶系统的输入端接入一个阶跃信号发生器。
3.连接模拟输出信号。在搭建的二阶系统的输出端接入一个示波器，用于实时观察系统的输出信号。
4.调整增益和特征根。通过适当调整二阶系统的增益和特征根，使系统达到稳定状态。记录实际调整参数的数值。
5.使用MATLAB进行仿真绘制。根据实际搭建的二阶系统参数，利用MATLAB软件进行仿真，绘制出二阶系统的阶跃响应曲线。
6.对比分析实际曲线与仿真曲线。通过对比分析实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性。
实验2二阶系统的阶跃响应及稳定性分析实验
实验室二二阶系统的阶跃响应及稳定性分析实验
一．实验目的
1.熟悉二阶模拟系统的组成。
2.研究二阶系统分别工作在等几种状态下的阶跃响应。
3.学习掌握动态性能指标的测试方法，研究典型系统参数对系统动态性能和稳定性的影响。
二，实验内容
1.ZY17AutoC12BB自动控制原理实验箱。
2.双踪低频慢扫示波器。
四．实验原理
典型二阶系统的方法块结构图如图2.1所示：
图2.1
其开环传递函数为，为开环增益。
其闭环传递函数为，其中
取二阶系统的模拟电路如图2.2所示：
该电路中
该二阶系统的阶跃响应如图所示：图2.3.1，2.3.2，2.3.3，2.3.4和2.3.5分别对应二阶系统在过阻尼，临界阻尼，欠阻尼，不等幅阻尼振荡（接近于0）
和零阻尼（=0）几种状态下的阶跃响应曲线。
改变元件参数Rx大小，可研究不同参数特征下的时域响应。当Rx为50k时，二阶系统工作在临界阻尼状态;当Rx<50K时，二阶系统工作在过阻尼状态;当Rx>50K时，二阶系
统工作在欠阻尼状态;当Rx继续增大时，趋近于零，二阶系统输出表现为不等幅阻尼振荡；当=0时，二阶系统的阻尼为零，输出表现为等幅振荡（因导线均有电阻值，各种损耗总是存在的，实际系统的阻尼比不可能为零）。
五. 实验步骤
1.利用实验仪器，按照实验原理设计并连接由一个积分环节和一个惯性环节组成的二阶闭环系统的模拟电路。此实验可使用运放单元（一），（二），（三），（五）及元器件单元中的可调电阻。
（1）同时按下电源单元中的按键开关S001，S002，再按下S003，调节可调电位器W001,使T006（-12V—+12V）输出电压为+1V，形成单位阶跃信号电路，然后将S001,S002再次按下关闭电源。
自动控制原理实验一：二阶系统阶跃响应
实验一 二阶系统阶跃响应
一． 实验目的
1. 研究二阶系统的两个重要参数：阻尼比ξ和无阻尼自振角频率n ω对系统动态性能的影响。
2. 学会根据模拟电路，确定系统传递函数。
二． 实验内容
二阶系统模拟电路如图2-1所示。
系统特征方程为22
10T s KTs ++=，其中T RC =，0
1
R K R =。根据二阶系统的标准形式可知，=/2K ξ，通过调整K 可使ξ获得期望值。 三． 实验预习
1. 分别计算出0.5,0.25,0.5,0.75T ξ==时，系统阶跃响应的超调量p σ和过渡过程
时间s t 。
2. 分别计算出0.25,0.2,0.5,1.0T ξ==时，系统阶跃响应的超调量p σ和过渡过程时
间s t 。
教材P55给出了计算公式：
超调量100%p e
σ=⨯
过渡过程时间4
4s n
T
t ξωξ
=
=
（近似值，只适合二阶系统的欠阻尼状态）。
另外，为对实验结果做误差分析，还需计算0.5,1T ξ==时的p σ和s t 。此时系统为临界阻尼状态，0p σ=，s t 若再用上面给出的式子计算则会使得误差较大。我们将根据定义采用数值计算的方法计算出s t 。
临界阻尼状态下，二阶系统的单位阶跃响应为()1(1)n t
n y t t e
ωω-=-+，令
1
()0.98,2n y t T
ω==
=，计算得 2.917()t s =。 根据以上公式计算，将计算结果整理成下表：
四． 实验步骤
1. 通过改变K ，使ξ获得0,0.25,0.5,0.75,1.0等值，在输入端加同样幅值的阶跃信号，
观察过渡过程曲线，记下超调量p σ和过渡过程时间s t ，将实验值和理论值进行比较。
二阶系统的阶跃响应
解之得 c(t p ) 1 e / 1 2 ，因为 c() 1
则超调量为 % e / 1 2 100%
二、二阶系统的动态过程分析
由上式表明，
%仅是阻尼比 的函数， 与自然频率n 无关。
超调量与阻尼比的关系曲线 如图。
可见，阻尼比越大，超调量 越小，反之亦然。一般取 阻尼比在0.4-0.8时，超调量介于1.5%-25.4%之间。
二、二阶系统的动态过程分析
5、调节时间 ts 的计算
在 c(t) 1
中， 1
1
2
e nt
sin( dt
)
1 1 ent
1 2
是对称于 c() 1 的 一对包络线，
整个响应过程都是在这一对包络线内进行的，为计算
方便，常采用包络线代替实际响应曲线，来估算调节
时间则 1 ent 0.05或0.02
)2
d2
拉氏反变换得
c(t) 1
1
1
2
e nt
sin( dt )
其中 arccos
c(t) 1
1
1
2
e nt
sin( dt
)
由上式看出，二阶系统的单位阶跃响应由两 部分组成:
稳态分量为1，表明系统在单位阶跃信号 作用下不存在稳态位置误差；
c(t) 1
二阶过阻尼系统的阶跃响应
二阶过阻尼系统的阶跃响应
过阻尼系统是一种结构十分普遍的一种机械系统，它经常被用来描述众多物理系统和电子系统的运行行为。在该系统中，有一个智能控制器，可以根据设定的输入信号控制系统的运行。其中最重要的一种反馈控制方式便是阶跃响应，它是一种常见的反馈技术，可以用来控制二阶过阻尼系统的运行状态。
二阶过阻尼系统由发动机、滑动变结构和过阻尼器组成，发动机的作用是输出外力，提供系统的运动能量；滑动变结构的作用是利用其内部变结构的拉力来改变系统的驱动或抗扰能力；而过阻尼器则起着抵消冲力和阻尼力的作用，能够减小系统运动时的误差，从而达到良好的系统性能。
为了更好地控制二阶过阻尼系统的运行状态，阶跃响应技术就应运而生。它的实质是在某一时刻，从系统外部施加一个跳变型的脉冲信号，以此触发系统的状态转换，通过迭代的过程，最终把系统调节至一种安定的状态。
阶跃响应技术可以有效地控制二阶过阻尼系统的运行状态，使其能够在一定时间内达到指定值，比如在机械系统中，阶跃响应技术可以控制机械系统的位置和位置速度，以此来达到控制机械系统的目的；在电子系统中，可以用阶跃响应技术来控制电压或电流，以此来实现电子系统的控制。
在实际工程应用中，阶跃响应技术经常伴随着一系列问题，比如在慢速过程中，在迭代过程中产生的扰动会影响系统的稳定性，
同时还可能会在响应过程中产生抖动现象；此外，该技术也存在一定的抗扰能力，系统中的扰动会导致系统响应变慢，最终会使系统失去控制能力。
为了克服阶跃响应技术中的问题，有许多不同的改进方法可以采用，比如可以采用状态反馈技术，通过传感器检测系统的状态，及时反馈系统的参数，以此来改善系统的传递函数；另外还可以采用模型反馈技术，将系统状态描述为一个数学模型，然后利用模型反馈来改善系统的精度和可靠性。
二阶系统的阶跃响应
1 s
s2
2
ns
s 2 ( n )2
n
(
n
)2
2 n
1
s n n
s (s n )2 ( 1 2n )2
1
s n
n
s (s n )2 ( 1 2n )2 (s n )2 ( 1 2n )2
6
3.3 二阶系统的阶跃响应
sa (s a)2 b2
eat
cos(bt)
整理得：
tg (d t p
) d n
n
1 n
2
1 2 tg
dtp n (n 0,1,2,...)
由于t p出现在第一次峰值时间，取n=1，有：tp n
1 2
d
21
3.3 二阶系统的阶跃响应
nt
25 p
ntr
20
衰减振荡瞬态过程的性能指标
15
10
tp
5
tr
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
100 80
60 δ%
40
20
0 0
25
30 60 β
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
90 0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
二阶系统的阶跃响应
⼆阶系统的阶跃响应
第3章辅导
控制系统典型的输⼊信号
1. 阶跃函数
阶跃函数的定义是
=<>0
,00
,)(t t A r t x
式中A 为常数。A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所⽰。它表⽰为
x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)
单位阶跃函数的拉⽒变换为
X r (s)=L[1(t)]=1/s
在t ＝0处的阶跃信号，相当于⼀个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加⼀突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数
这种函数的定义是
<>=0
,00
, )(t t t A t x r 式中A 为常数。该函数的拉⽒变换是
X r (s)=L[At]=A/s 2
这种函数相当于随动系统中加⼊⼀按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所⽰。
3. 抛物线函数
如图所⽰，这种函数的定义是
<>=0 ,00
, t )(2
t t A t x r
式中A 为常数。这种函数相当于随动系统中加⼊⼀按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。抛物线函数的拉⽒变换是
X r (s)=L[At 2]=2A/s 3
当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。
4. 脉冲函数
这种函数的定义是
→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt A
t t t x r
式中A 为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉⽒变换是
A A L s X r =??
自控原理实验二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应
一、实验目的
1. 通过实验了解参数ζ(阻尼比)、n ω(阻尼自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响；
2. 掌握二阶系统动态性能的测试方法。
二、实验内容
1. 观测二阶系统的阻尼比分别在0<ζ<1，ζ=1和ζ>1三种情况下的单位阶跃响应曲线；
2. 调节二阶系统的开环增益K ，使系统的阻尼比2
1=ζ，测量此时系统的
超调量p δ、调节时间t s (Δ= ±0.05)；
3. ζ为一定时，观测系统在不同n ω时的响应曲线。
三、实验原理
1. 二阶系统的瞬态响应
用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为
22
2
2)()
(n
n n S S S R S C ωζωω++= (2-1)
闭环特征方程：022
2=++n n S ωζω
其解 12
2,1-±-=ζωζωn n S ，
针对不同的ζ值，特征根会出现下列三种情况： 1）0<ζ<1（欠阻尼），2
2,11ζ
ωζω-±-=n n j S
此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图2-1的(a)所示。它的数学表达式为：
)(111)(2
βωζζω+--
=-t Sin e t C d t n
式中2
1ζωω-=n d ，ζ
ζβ2
1
1-=-tg
。
2）1=ζ（临界阻尼）n S ω-=2,1
此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图2-1中的(b)所示。
3）1>ζ（过阻尼），122,1-±-=ζωζωn n S
此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图2-1的(c)所示。
二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应
二阶系统阶跃响应
一.实验目的
1. 研究二阶系统的特征参数，阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn对系统动态性能的影响，定量分析ζ和ωn与最大超调量σp和调节时间t s之间的关系。
2. 进一步学习实验系统的使用
3. 学会根据系统的阶跃响应曲线确定传递函数
4. 学习用MATLAB仿真软件对实验内容中的电路进行仿真。
二.实验原理
典型二阶闭环系统的单位阶跃响应分为四种情况：
1）欠阻尼二阶系统
如图1所示，由稳态和瞬态两部分组成：稳态部分等于1，瞬态部分是振荡衰减的过程，振荡角频率为阻尼振荡角频率，其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率ωn决定。
图1 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线
（1）性能指标：
调节时间t S: 单位阶跃响应C(t)进人±5%(有时也取±2%)误差带，并且不再超出该误差带的最小时间。
超调量σ% ；单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。
峰值时间t P ：单位阶跃响应C(t)超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。
结构参数ξ：直接影响单位阶跃响应性能。
（2）平稳性：
阻尼比ξ越小，平稳性越差
（3）快速性：ξ过小时因振荡强烈，衰减缓慢，调节时间t S长，ξ过大时，系统响应迟钝，调节时间t S 也长，快速性差。ξ＝0.7调节时间最短，快速性最好。ξ＝0.7时超调量σ%<5％,平稳性也好，故称ξ＝0.7为最佳阻尼比。
2）临界阻尼二阶系统（即ξ＝1）
系统有两个相同的负实根，临界阻尼二阶系统单位阶跃响应是无超调的，无振荡单调上升的，不存在稳态误差。
3）无阻尼二阶系统（ξ＝0时）
此时系统有两个纯虚根。
实验二 二阶系统阶跃响应
实验二 二阶系统阶跃响应
一、实验目的
（1）了解典型二阶系统模拟电路的构成方法及二级闭环系统的传递函数标准式。
（2）研究二阶闭环系统的结构参数--无阻尼振荡频率ωn 、阻尼比ζ对过渡过程的影响。
（3）掌握欠阻尼二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp 、tp 、ts 的计算。
（4）观察和分析二阶闭环系统的欠阻尼，临界阻尼，过阻尼的瞬态响应曲线，及在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp 、tp 、ts 值，并与理论计算值对比。
二、实验设备
（1）XMN-2型学习机；
（2）CAE-USE 辅助实验系统
（3）万用表
（4）计算机
三、实验内容
本实验用于观察和分析二阶系统瞬态响应的稳定性。
二阶闭环系统模拟电路如图2-1所示，它由两个积分环节（OP1和OP2）及其反馈回路构成。
图2-1 二阶闭环系统模拟电路图
OP1和OP2为两个积分环节，传递函数为s
T s G i 1)(-
=（时间常数RC T i =）。二阶闭环系统等效结构图如图2-2所示。
图2-2 二阶闭环系统等效结构图 该二阶系统的自然振荡角频率为RC T n 11==ω，阻尼为i
f R R K 22==ζ。 四、实验步骤
（1）调整Rf=40K ，使K=0.4（即ζ=0.2）；取R=1M ，C=0.47μ，使T=0.47秒（ωn=1/0.47），加入阶跃输入信号x(t)=1V ，记录阶跃响应曲线①；
（2）保持ζ=0.2不变，阶跃信号不变，取R=1M ，C=1.47μ，使T=1.47秒（ωn=1/1.47），记录阶跃响应曲线②；
（3）保持ζ=0.2不变，阶跃信号不变，取R=1M ，C=1μ，使T=1秒（ωn=1/1），记录阶跃响应曲线③；
二阶系统阶跃响应
Fx
实验题目典型系统阶跃响应
姓名：班级：学号：指导老师：
同组学生：时间：2019-10-10
一、实验目的
1．学习瞬态性能指标的测试技能。
2．学习二阶系统阶跃响应曲线的实验测试方法。ui
3．研究二阶系统的两个重要参数ζ,ωn与最大超调量Mp和调节时间t S之间的关系。二、实验仪器
1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台
2．计算机一台
三、实验原理
1．模拟实验的基本原理：
控制系统模拟实验采用复合网络法来模拟各种典型环节，即利用运算放大器不同的输入网络和反馈网络模拟各种典型环节，然后按照给定系统的结构图将这些模拟环节连接起来，便得到了相应的模拟系统。再将输入信号加到模拟系统的输入端，并利用计算机等测量仪器，测量系统的输出，便可得到系统的动态响应曲线及性能指标。若改变系统的参数，还可进一步分析研究参数对系统性能的影响。
2．域性能指标的测量方法：
超调量σ%：
1)启动计算机，在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。
2)测试计算机与实验箱的通信是否正常,通信正常继续。如通信不正常查找原因使通信
正常后才可以继续进行实验。
3)连接被测量典型环节的模拟电路。电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的
输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入。检查无误后接通电源。
4) 在实验课题下拉菜单中选择实验二[二阶系统阶跃响应] 。
5) 鼠标单击实验课题弹出实验课题参数窗口。在参数设置窗口中设置相应的实验参数后
鼠标单击确认等待屏幕的显示区显示实验结果。
6) 利用软件上的游标测量响应曲线上的最大值和稳态值，带入下式算出超调量： %%max ∞
二阶系统的阶跃响应的解析解
二阶系统的阶跃响应的解析解
二阶系统的阶跃响应是指当输入信号为阶跃函数时，系统的输出信号随时间的变化情况。阶跃响应是研究系统动态特性的重要指标之一，可以反映系统的稳定性、动态特性以及对输入信号的响应能力。本文将从二阶系统的定义、阶跃响应的解析解推导以及实际应用等方面进行论述。
我们先来了解二阶系统的定义。二阶系统是指系统的传递函数为二次多项式的系统，一般形式为：
H(s) = K/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)
其中，K为系统的增益，ζ为阻尼比，ωn为系统的自然频率，s为复变量。
阶跃响应的解析解是指通过对传递函数进行解析运算，得到的系统输出与时间的函数关系。对于二阶系统的阶跃响应，可以通过拉普拉斯变换和反变换的方法进行求解。具体求解过程如下：
1. 将传递函数H(s)进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数表达式：
H(s) = K/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)
2. 将输入信号的拉普拉斯变换表达式为1/s，代入传递函数表达式中，得到系统的输出信号的拉普拉斯变换表达式：
Y(s) = K/(s(s^2 + 2ζωns + ωn^2))
3. 对上述表达式进行部分分式分解，将其分解为多个简单分式的和的形式：
Y(s) = A/s + (Bs + C)/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)
4. 对上述分式进行反变换，得到系统的输出与时间的函数关系：
y(t) = A + (Bcos(ωdt) + Csin(ωdt))e^(-ζωnt)
其中，A、B、C为待定常数，ωd为系统的阻尼角频率。
二阶系统单位阶跃响应曲线
二阶系统单位阶跃响应曲线二阶系统单位阶跃响应曲线是描述二阶系统对单位阶跃输入信号的响应特性的一种表示方法。在控制系统理论中，二阶系统是一种常见的系统类型，其具有较为复杂的动态特性。对于控制系统的设计和分析来说，了解二阶系统单位阶跃响应曲线的形态和特性具有重要的意义。
首先，我们来研究二阶系统单位阶跃响应曲线的基本形态。通常情况下，二阶系统的单位阶跃响应曲线呈现出一种振荡的形态。这是因为二阶系统具有两个自由度，存在两个特征根，所以在系统响应中会出现两个频率成分。这种振荡的形态通常可以用峰值超调量、峰值时间等指标来描述。
其次，我们需要了解二阶系统单位阶跃响应曲线的参数对其形状的影响。对于一个给定的二阶系统，其单位阶跃响应曲线的形态主要由系统的阻尼比和角频率来决定。阻尼比描述了系统的阻尼程度，而角频率则决定了系统的振荡频率。可以通过调节这两个参数来控制二阶系统单位阶跃响应曲线的形状，以达到我们所需的控制效果。
此外，我们还需要关注单位阶跃响应曲线的稳态误差特性。单位阶跃输入信号的阶跃函数是一个理想的信号，因此我们希望系统在单位时间内能够达到稳态并输出正确的数值。单位阶跃响应曲线的稳态误差可以通过观察单位阶跃响应曲线在无穷大时间后的稳定值来评
估。对于理想的二阶系统，稳态误差应该为零，即在无穷大时间后，系统输出应该收敛到单位阶跃信号的幅值。
最后，了解二阶系统单位阶跃响应曲线对于控制系统设计和分析具有重要的指导意义。通过观察和分析单位阶跃响应曲线的形态和特性，我们可以判断系统的稳定性、阻尼程度、振荡频率等，并根据需求进行参数调节和控制器设计。这有助于我们更好地理解和掌握二阶系统的动态特性，从而提高控制系统的性能和可靠性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
该恒速度为 A 。当 A ＝ l 时，
1
3. 抛物线函数
如图 所示，这种函数的定义是
xr (t )
0, t 0 At2, t 0
式中 A 为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒
加速度为 A 。抛物线函数的拉氏变换是
2
3
X r(s)=L[At ]=2A/s
当 A ＝ 1/2 时，称为单位抛物线函数，即 X r(s)=1/s3。
tr
由此式可见，阻尼比 ζ越小，上升时间 t r 越小，反之则 t r 越大。
d
n1
2
tr 则越小； ζ 越大则 t r 越大。固有频率 ω n 越大，
1
。
2 nTm
二阶系统的闭环特征方程为
其特征根为
s2 +2ζ ω ns+ω 2n=0
4
s1,2
21 n
1. 临界阻尼 (ζ=1)
其时域响应为
上式包含一个衰减指数项。
c t 1 e nt (1 nt)
c(t) 为一无超调的单调上升曲线，如图
3-8b 所示。
(a)
(b)
(c)
ζ≥ 1 时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应
％ h(t p ) h( ) 100％ h( )
在上述动态性能指标中， 工程上最常用的是调节时间
述“匀”）以及峰值时间 t p 。
ts （描述 “快”），超调量
％（描
2 稳态性能指标
稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，
是系统控制精度或抗
干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。
函数，因而 e nt 为发散的，系统是不稳定的。
显然， ζ ≤ 0 时的二阶系统都是不稳定的，
而在 ζ ≥ 1 时，系统动态响应的速度又太慢，
所以对二阶系统而言， 欠阻尼情况是最有实际意义的。 下面讨论这种情况下的二阶系统的动
态性能指标。
欠阻尼二阶系统的动态性能指标
1. 上升时间 tr
上升时间 tr 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。
4. 脉冲函数
这种函数的定义是
A , 0 t ( 0)
xr (t) 0, t 0, t ( 0)
式中 A 为常数， ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是
A
Xr (s) L lim
A
0
当 A ＝ 1，ε → 0 时，称为单位脉冲函数 δ (t) ，如图 所示。单位脉冲函数的面积等于 l，
即
2
(t )dt 1
在 t＝ t0 处的单位脉冲函数用 δ (t-t0)来表示，它满足如下条件 幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。 单位脉冲函数 δ (t) 可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即 反之，单位脉冲函数 δ (t)的积分就是单位阶跃函数。
控制系统的时域性能指标
第 3 章 辅导
控制系统典型的输入信号
1. 阶跃函数
阶跃函数的定义是
xr ( t)
0, t 0 A, t 0
式中 A 为常数。 A 等于 1 的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为
单位阶跃函数的拉氏变换为
xr(t) ＝ l(t) ，或 xr(t)=u(t)
X r(s)=L[1(t)]=1/s 在 t＝ 0 处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当
4. 无阻尼 (ζ ＝ 0)
其时域响应为 在这种情况下，系统的响应为等幅
Cs
2
n
s(s2
2 n
)
c t 1 cos nt
(不衰减 )振荡，
5
图 ζ＝ 0 时特征根的分布
图 ζ＝ 0 时二阶系统的阶跃响应
5. 负阻尼（ ζ＜ 0）
当 ζ ＜0 时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的
e 的指数将是正的时间
一阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的阶跃响应
典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：
s
Cs Rs
K v / s(Tm s 1)
Kv
1 K v / s(Tm s 1) Tm s2 s K v
2 n
s2 2 n s
2 n
式中
K v-- 开环增益；
ω n--无阻尼自然频率或固有频率，
Kv源自文库
n
；
Tm
ζ --阻尼比，
2. 过阻尼 (ζ ＞ 1)
具有两个不同负实根 [ s1 , s2 (
2 1) n ] 的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换
式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。
图为其特征根分布图。
3. 欠阻尼（ 0<ζ ＜1）
图 3-9 0<ζ ＜ 1 时二阶系统特征根的分布
图 3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应
对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给 出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
1 动态性能指标
动态性能指标通常有如下几项：
延迟时间 td 阶跃响应第一次达到终值 h( ) 的 50％所需的时间。 上升时间 tr 阶跃响应从终值的 10％上升到终值的 90％所需的时间； 对有振荡的系统，
3
一阶系统的阶跃响应
一. 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如 发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。
因为单位阶跃函数的拉氏变换为 R(s)=1/s，故输出的拉氏变换式为
RC 网络、
C (s)
取 C(s)的拉氏反变换得
1 11 T (s) R( s)
于给定值突然变化或者突然变化的扰动量； 对于随动系统， 相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数
这种函数的定义是
xr (t)
0, t 0 At, t 0
式中 A 为常数。该函数的拉氏变换是 X r(s)=L[At]=A/s 2
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，
称为单位斜坡函数，如图所示。
也可定义为从 0 到第一次达到终值所需的时间。
峰值时间 t p 阶跃响应越过稳态值 h( ) 达到第一个峰值所需的时间。 调节时间 ts 阶跃响到达并保持在终值 h( ) 5 ％误差带内所需的最短时间； 有时也用 终值的 2 ％误差带来定义调节时间。 超调量 ％ 峰值 h(t p ) 超出终值 h( ) 的百分比，即
Ts 1 s s Ts 1
1 t
c(t) 1 e T
或写成
c(t) css ctt
式中， css=1，代表稳态分量； ctt
1 t
e T 代表暂态分量。当时间
t 趋于无穷，暂态分
量衰减为零。 显然， 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始， 按指数规律上升并最终
趋于 1 的曲线，如图所示。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。