概率论
概率论全部
24.設正態總體X～N（μ,σ2）,σ2未知, ,S2是樣本平均值和樣本方差,給定顯著性水準α,檢驗假設Ho：σ2= ,H1：σ2≠ 應使用的檢驗用統計量是（A： ）。
11、設X～b（3，0.5），則P(X≥1)的值是（D:0.875）。
12、已知(X ,Y )的分佈律為
0
1
1
0
1/6
2
1/12
1/6
3
1/2
1/12
則X的邊緣分佈律為（C:
X
0
1
P
13、設連續型隨機變數X的分佈函數為F(x)= 則A的值為（C:0.5）。
14、設X的分佈律為
則E(X)=(C:0.8)
53．设X1，X2，…Xn是总体X的一个样本，g（X1，X2，…Xn）是X1，X2，…Xn的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数，则称g（X1，X2，…Xn）是一个统计量。
54．设A与 互为对立事件，则 。
55．若二维随机变量（X，Y）在平面区域D中的密度函数为 其中A为D的面积，则称（X，Y）在区域D上服从均匀分布。
19．设随机测得某化工产品得率的5个样本观察值为82，79，80，78，81，则样本平均值 80。
20．设总体X~N（μ，σ2），x1，x2，…，xn是来自总体X的样本，则σ2已知时，μ的1-a置信区间为 。
21．假设检验可能犯的两类错误是弃真错误和纳伪错误。
22．设总体X～N（μ，σ2），对假设 做假设检验时，所使用的统计量是 它所服从的分布是 。
X
0
1
P
0.2
0.8
15、已知X～b（n, 0.2）則E(X) =(D:0.2n)
概率论知识点
第一章随机事件及其概率§ 1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是，在相同的条件下重复观察时，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先不能断言将出现哪种结果•例如,投掷一枚五分硬币，可能国徽”向上,也可能伍分”向上；从含有5件次品的一批产品中任意取出3件，取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一•指在科学研究或工程技术中，对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察（包括试验、实验、测量和观测等）,事先不能精确地断定其结果，而且在相同条件下可以重复进行，这种试验就称为随机试验。
样本空间：概率论术语。
我们将随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为1。
样本空间的元素，即E的每一个结果，称为样本点。
随机事件：实际中，在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E的样本空间I ■■的子集为E的随机事件，简称事件•在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.样本空间门包含所有的样本点，它是门自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.空集？不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，亦即A B =①，则称事件A与事件B是互斥（或互不相容）事件。
互逆事件：事件A与事件B满足条件A B =①，A B =1 ,则称A与B是互逆事件，也称A与B是对立事件，记作B （或A = B ）。
互不相容完备事件组：若事件组A,A2,…A满足条件A i A j二①，（i,i=t n ）,nA-、_:，则称事件组A, A2,…A n为互不相容完备事件组（或称A, A2,…A n为样本空i=1间门的一个划分）。
§ 1.2 随机事件的概率概率：随机事件出现的可能性的量度。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中的一门重要分支，用于研究随机事件的发生概率和规律性。
下面是概率论中的一些常用公式和定理，供参考：1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的情况数，n(S)表示样本空间中所有事件发生的情况数。
2.加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B发生的概率。
3.乘法定理：P(A∩B)=P(B，A)×P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.互斥事件的概率：若事件A和事件B互斥（即不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B) 5.条件概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6.贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=∑[P(A∩B_i)]其中，事件B_1,B_2,...,B_n互斥且构成样本空间，P(B_i)不为0，P(A∩B_i)表示事件A和事件B_i同时发生的概率。
8.期望值：E(X)=∑[x_i×P(X=x_i)]其中，X为随机变量，x_i为随机变量X的取值，P(X=x_i)为随机变量X取值为x_i的概率。
9.方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，X为随机变量。
10.协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) × (Y - E(Y))]其中，X和Y为两个随机变量。
11.独立事件的概率：若事件A和事件B独立，即P(A∩B)=P(A)×P(B)12.独立随机变量的期望值：E(XY)=E(X)×E(Y)其中，X和Y为独立随机变量。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是一门应用广泛的数学学科，它主要是研究不确定性、随机性的现象。
概率论的研究分为理论概率论和应用概率论两大部分。
应用概率论解决问题的解决办法，而理论概率论主要研究概率论本身和其它与之相关的数学。
本文将主要介绍概率论的基本概念和相关概念，以及概率统计中常用的公式和计算方法。
首先，概率论的基本概念是概率空间（Probability Space），即一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是样本空间，F是一个满足数学定义的概率事件集，P是一个满足概率性质的概率度量。
概率空间的不同的选择，可以根据实际应用的需要来确定合理的概率空间。
其次，可以使用概率空间来描述不确定性的情况，即可以通过概率空间来表示不确定性的发生概率。
在概率论中，概率函数可以将概率空间中每个事件的发生概率确定下来，从而形成一个完整的概率模型。
此外，概率论中还有几个概念需要重点介绍：关联性，即两个事件之间存在依赖关系；随机变量，即将概率空间中每个样本点映射到实数空间中的函数。
概率分布，表示随机变量取某一值时发生的概率；期望，表示一组数据集中取某一值时发生的概率。
此外，概率统计中使用的公式也很重要，常见的有贝叶斯公式、估计量、样本量和样本均值的公式。
贝叶斯公式的形式为：P(A|B) = [P(B|A)P(A)]/P(B)，其中P(A|B)为A事件在B事件发生的条件下发生的概率； P(B|A)为B事件在A事件发生的条件下发生的概率；P(A)为A事件发生的概率；P(B)为B事件发生的概率。
估计量可以将概率密度函数中的几个参数估计出来，一般使用极大似然估计的方法。
此外，样本量公式的形式为：n = (zα/2σ)2/ε2，其中zα/2为α/2置信水平的z分布值；σ为总体标准差；ε为样本平均值的允许误差。
最后，样本均值的计算公式是：X =X/n，其中X为样本均值；ΣX为样本总和；n为样本总数。
总结一下，概率论是一门应用广泛的数学学科，其基本概念主要包括概率空间、概率函数及其它相关概念，以及概率统计中常用的公式和计算方法，在许多实际应用中，概率论都发挥着重要的作用。
概 率 论
概率论概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
基本起源概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。
16世纪，意大利的学者吉罗拉莫•卡尔达诺（Girolam oCardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。
17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家（相当于赌场）赢。
按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。
后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2个骰子连续掷24次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。
当时人们普遍认为，2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6，因此6倍于前一种规则的次数，也既是24次赢或输的概率与以前是相等的。
然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。
有人对博弈中的一些问题发生争论，其中的一个问题是“赌金分配问题”，他们决定请教法国数学家帕斯卡（Pascal)和费马（Fermat）基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。
概率的三大公式
概率的三大公式一、加法定理加法定理是概率论中最基本的公式之一，用于计算两个事件同时发生的概率。
假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∪B)，其中∪表示并集。
加法定理的公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
举个例子来说明加法定理的应用。
假设有一个袋子里有红球和蓝球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。
现在我们从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据加法定理，我们可以计算出P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 1。
因此，抽到红球或者蓝球的概率为1。
二、乘法定理乘法定理是概率论中另一个重要的公式，用于计算两个事件同时发生的概率。
假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∩B)，其中∩表示交集。
乘法定理的公式如下：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
举个例子来说明乘法定理的应用。
假设有一个扑克牌的牌组，牌组中有52张牌。
现在我们从牌组中依次抽取两张牌，求第一张牌是红心的概率，且第二张牌是黑桃的概率。
根据乘法定理，我们可以计算出P(第一张牌是红心∩第二张牌是黑桃) = P(第一张牌是红心) × P(第二张牌是黑桃|第一张牌是红心) = 1/4 × 13/51 = 1/12。
因此，第一张牌是红心且第二张牌是黑桃的概率为1/12。
三、全概率公式全概率公式是概率论中用于计算复合事件概率的重要公式。
假设B1、B2、B3...是一组互不相容的事件，并且它们的并集构成了样本空间。
那么对于任意一个事件A，全概率公式的公式如下：P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + P(A|B3) × P(B3) + ...其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是一门研究随机现象的数学分支，它使用概率来描述和解释随机事件发生的规律性。
在实际应用中，我们常常需要使用一些基本概率公式来计算和分析各种随机现象。
以下是一些常见的概率论公式：1.概率的定义公式：P(A)=N(A)/N(S)其中P(A)表示事件A的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中发生的总次数。
2.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B至少发生一个的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)某P(B，A)其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
5.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bi)某P(Bi)其中P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bi求和。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/ΣP(A，Bj)某P(Bj)其中P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bj)表示在事件Bj发生的条件下事件A发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bj求和。
7.期望值的公式：E(X)=ΣXi某P(Xi)其中E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示随机变量X的可能取值，P(Xi)表示随机变量X取值为Xi的概率，Σ表示对所有可能的取值Xi求和。
8.方差的公式：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X^2)表示随机变量X的二阶矩，[E(X)]^2表示随机变量X的期望值的平方。
概率论 概念
概率论概念一、什么是概率论概率论是一门研究随机现象的科学，主要探讨随机现象背后的数学规律和结构。
在概率论中，随机现象是指结果无法在事前确定的现象，它们的发生具有一定的不确定性。
而概率则是衡量随机事件发生可能性的数值表示。
二、概率论的发展简史概率论的发展始于17世纪，最初主要是用来解决赌博问题。
随着时间的推移，概率论的应用范围逐渐扩大，涉及到诸多领域，如统计学、经济学、生物学、物理学等。
在现代社会，概率论已经成为许多学科的重要基础。
三、概率论的基本概念1.样本空间与样本点：样本空间是指随机实验所有可能结果组成的集合，而样本点则是样本空间中的具体元素。
例如，在一次抛掷硬币的实验中，样本空间可以包含正面和反面两种结果，即{正面，反面}，而每个结果则是样本点。
2.事件：事件是由样本空间中某些样本点组成的集合。
事件可以包含一个或多个样本点。
例如，在抛掷硬币的实验中，事件可以包括{正面}和{反面}两个集合。
3.概率：概率是一个描述随机事件发生可能性的数值，通常用P来表示。
根据定义，一个事件的概率P(A)满足以下三个条件：0≤P(A)≤1；对于不可能事件，P(A)=0；对于必然事件，P(A)=1。
4.条件概率：条件概率是指在某个已知条件下，某个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5.独立性：如果两个事件A和B相互独立，则一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生概率。
如果A和B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)。
6.随机变量：随机变量是用来描述随机实验结果的数学工具。
随机变量可以分为离散型和连续型两种类型。
离散型随机变量是在可数范围内取值的变量，而连续型随机变量则是取值范围无法列举完的变量。
7.分布函数：分布函数是用来描述随机变量取值概率的函数。
对于离散型随机变量，分布函数是所有可能取值的概率之和；对于连续型随机变量，分布函数则是一条连续曲线。
8.期望与方差：期望值是随机变量所有可能取值的加权平均值；方差则是描述随机变量取值分散程度的数值，方差越小说明随机变量的取值越集中。
概率论的公式大全
概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。
P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。
P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。
P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。
P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。
以下是概率论中常用的公式。
1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。
2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。
概率论公式
概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k kB A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = p nk p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kkn n k n k n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x td 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f xf x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y fy x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X E X 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数 )()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
(完整版)概率论公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式P( A | B) P( AB)P( B)F ( x) P( X x)P( X k)k x概率的乘法公式P( AB) P( B) P(A | B)P( A) P(B | A)全概率公式：从原因计算结果nP( A)P(B k )P( A | B k )k 1Bayes 公式：从结果找原因P(B i )P( A | B i )P (B k | A)nP( B k )P( A | B k )k 1第二章二项分布（ Bernoulli 分布）—— X~B(n,p) P(X k) C n k p k(1 p)n k，(k 0,1,...n,)泊松分布—— X~P( λ)kP( X k)e，( k0,1,...)k!概率密度函数f (x)dx 1怎样计算概P(a X b) 率P (a X b) b f (x) dxa均匀分布 X~U(a,b)1f ( x)( a x b)b a指数分布 X~Exp ()对连续型随机F ( x) P( X x) xf (t )dt 变量分布函数与密度函数的重要关系：F ( x) P( X x) xf (t )dt二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度联合分布f(x, y)F ( x, y)函数函数f ( x, y)0f ( x, y)dxdy 1联合密度与边缘密度f X (x) f (x, y)dyf Y (y) f (x, y)dx失散型随机变量的独立性P{ X i, Y j } P{ X i } P{Y j} 连续型随机变量的独立性f ( x, y) f X ( x) f Y ( y)第三章数学希望失散型随机变量，数学希望定义E( X)xkPkk连续型随机变量，数学希望定义E( X )x f ( x)dxE(a)=a，其中 a 为常数E(a+bX)=a+bE(X) ，其中 a、b 为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量随机变量 g(X) 的数学希望E(g (X ))g ( x k ) p kk常用公式E(X)E(XY)xiyjpij xipij iji jE( X ) xf ( x, y)dxdy E( X Y) E( X ) E(Y ) E( XY) xyf ( x, y)dxdy 当 X与 Y独马上 , E( XY )E( X ) E(Y )方差定义式 D ( X )x E( X ) 2 f ( x) dx常用计算式 D (X ) E( X 2 ) E( X ) 2常用公式D ( X Y ) D ( X ) D (Y) 2E{( X E( X ))( Y E(Y ))}当 X、Y 相互独马上： D ( X Y ) D ( X ) D (Y )方差的性质D(a)=0，其中 a 为常数D(a+bX)= abD(X) ，其中 a、b 为常数当X、Y 相互独马上， D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数E X E ( X ) Y E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y) Cov( X,Y)XY协方差的性质D(X)D(Y)Cov( X , X ) E( X 2 ) E( X ) 2 D ( X )Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y)独立与相关独立必然不相关、相关必然不独立、不相关不用然独立第四章正态分布1 ( x ) 2e 2 2 E( X ), D ( X ) 2 (a) 1( a)f ( x) X ~ N ( , 2 )2标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P(Z a) P(Z a)(a)P(Z a) P( Z a) 1(a)P(a Z b)(b)(a)P( a Z a)(a)( a) 2 (a) 1一般正态分布的概率计算X ~ N ( , 2 )Z X~ N (0,1)一般正态分布的概率计算公式P( X a) P( X a) ( a)P( X a) P( X a) 1a) (P(a X b) ( b) (a)。
概率论知识
概率论知识概率论知识概率论是数学的一个分支，主要研究随机事件的规律性和统计规律。
它是一种量化分析随机现象的工具，被广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
一、基本概念1. 随机事件：指在一定条件下可能发生或不发生的事情，如掷骰子出现1点或2点等。
2. 样本空间：指所有可能发生的随机事件组成的集合，如掷骰子样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 事件：指样本空间中一个或多个元素组成的集合，如掷骰子出现偶数为事件A={2, 4, 6}。
4. 概率：指某个事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，且所有事件概率之和为1。
二、基本公式1. 加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A∩B表示A和B同时发生的事件。
2. 条件概率公式：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中A|B表示在B发生的条件下A发生的概率。
3. 乘法公式：P(A∩B)=P(B)×P(A|B)，其中A∩B表示A和B同时发生的事件。
4. 全概率公式：P(A)=Σi=1nP(A|Bi)×P(Bi)，其中Bi为样本空间的一个划分，且所有的Bi不相交且并起来等于样本空间。
5. 贝叶斯公式：P(Bi|A)=P(A|Bi)×P(Bi)/Σj=1nP(A|Bj)×P(Bj)，其中Bi 为样本空间的一个划分，且所有的Bi不相交且并起来等于样本空间。
三、概率分布1. 离散型随机变量：指取有限个或可数个值的随机变量，如掷骰子点数就是一个离散型随机变量。
其概率分布可以用概率质量函数（PMF）表示，即p(x)=P(X=x)，其中X是随机变量，x是它可能取到的值。
2. 连续型随机变量：指取无限多个可能值的随机变量，如身高、体重等。
其概率分布可以用概率密度函数（PDF）表示，即f(x)，满足f(x)≥0且∫f(x)dx=1。
3. 期望：指随机变量的平均值，通常用E(X)表示。
概率论
S 7 : { ( x , y ) | T 0≤ x ≤ y ≤ T 1 }
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第一章 概率论的基本概念
2、 随 机 事 件
定义： 定义： •随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件 随机事件； 可能发生，也可能不发生） 随机事件； 可能发生，也可能不发生） ( •基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 基本事件 有一个样本点组成的单点集； ( •必然事件 : 样本空间 S 本身； 必然发生） 必然事件 本身； 必然发生） •不可能事件 : 空集∅。 不可能事件 空集∅ (必然不发生） 必然不发生）
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第一章 概率论的基本概念 2 ） 频率的稳定性 n=500时 时 nA 251 249 256 253 251 246 fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492
244 0.488
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 实验者 德•摩根 摩根 蒲 丰 n 2048 4040 nH 1061 2048 6019 fn(H) 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005
A U A = A, A I A = A
A U B = B U A, A I B = B I A
( A U B ) U C = A U (B U C ) ( A I B ) I C = A I (B I C )
A U (B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) Morgan定律 定律: De Morgan定律: U A α = I Aα , I A α = U A α
不能同时发生 与 不能同时发生” 50 互不相容 A I B = ∅ “A与B不能同时发生” 60 对立（互逆）事件 A I B = ∅ 且 A U B = S 对立（互逆）
第一章 概率论的基本理论
第一章 概率论的基本理论前苏联数学家柯尔莫哥洛夫，1933年创立概率公理化体系。
⎧⎨⎩确定现象随机现象§1. 随机试验例：1E ：抛一枚硬币，观察正反面出现情况； {}1,H T Ω=2E ：将一枚硬币抛三次，观察正反面出现情况；{}2,,,,,,,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT Ω=3E ：抛两颗色子，观察出现点数和； {}32,3,4,,12Ω=4E ：在一批灯管中任取一只，测试它的寿命； {}40t t Ω=≥ 5E ：将一尺之棰折成三段，观察各段长度；(){}5,,0,0,0,1x y z x y z x y z Ω=>>>++=特点：()()()123⎧⎪⎨⎪⎩试验可以在相同条件下重复进行；试验结果具有多种可能性，但能事先知道所有可能结果；进行试验前不能确定哪一结果出现。
满足上述特点的试验称之为随机试验，通过随机试验来研究随机现象。
§2. 样本空间 随机事件一、 样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。
样本空间通常用S 或Ω来表示。
（见上节）样本空间的元素——样本点。
二、 随机事件样本空间S 的子集——随机事件（事件），用,,A B C 表示；基本事件，必然事件，不可能事件。
事件A 发生⇔A 中有一样本点出现。
例1、 2E 2S1A ：第一次出现H {}1,,,A H H H H H T H T H HT T = 2A ：三个均出现T {}2A T T T =三、 事件间关系与事件的运算E S ,A B k A S ⊂1. A B ⊂ 事件B 包含事件A A 发生导致B 发生 A B =⇔A ⊂B 且B A ⊂。
2. A B ⋃1nk k A =1k k A ∞=3. A B A B ⋂1nk k A =1k k A ∞=4. A B A B -=5. A B ⋂=∅ ,A B 不相容，互斥6. A B S ⋃=且A B ⋂=∅——,A B 互逆，或对立事件 A B = A S A =- 算律同集合论例 设,,A B C 表示三个随机事件：○1 A 出现，,B C 都不出现 ABC ○2 ,A B 都出现，C 不出现 ABC ○3 三个事件均出现 ABC ○4 三个事件至少有一个出现 A B C ⋃⋃ ○5 三个事件均不出现 A B C ○6 不多于一个事件出现 ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC○7 不多于两个事件出现 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC or ABC ○8 三个事件至少有两个出现 ABC ABCABCABC○9 ,A B 至少有一个出现,C 不出现 ()A B C +⋅ ○10 ,,A B C 中恰好有两个出现 ABC ABC ABC§3. 频率与概率一、 排列、组合复习1. 不可重复排列（不放回） ()()()()!121!rn n A n n n n r n r =---+=-2. 可重复排列 (放回)n 个不同元素取r 个（未必不同）组成的排列种数 rn 3. 不可重复组合rnC n r ⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 乘法原理、加法原理二、 频率1、E, n 次，A, A n()An n f A n=2、性质11121.0()12()13()()()()n n k n k n n n k f A f S A A f A A f A f A f A ≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩=++……、、均不相容………… 例1， P8 例2， P9可见，n 逐渐增大-------()n f A 逐渐趋于一个常数-------------------频率稳定性-------- 统计规律性------- 概率（事件发生可能性的） -----------------概率定义三、 概率 Probability1. 定义： E S A E ⊂ 实数()P A 满足：()()()()()()()1210213,,,,,n i j P A P S A A A i j A A ⎧≥⎪⎪=⎨⎪≠⋅=∅⎪⎩非负性规范性设两两互不相容，即：时则()()()()1212nn P A A A P A P A P A =++++（可列可加性）则称P 为概率，()P A 为事件A 的概率。
概率论公式
概率论公式
概率论中常用的公式有：
1. 总概率公式：对于事件A和B，如果A和B构成一个完备事件组，则P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')，其中B'
表示事件B的补集。
（该公式可以推广到多个事件的情况）
2. 乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B) = P(A|B)P(B) =
P(B|A)P(A)。
3. 加法公式：对于不互斥的事件A和B，P(A∪B) = P(A)
+ P(B) - P(A∩B)。
4. 条件概率公式：对于事件A和B，如果P(B) > 0，则
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
5. 贝叶斯公式：对于事件A和B，如果P(A) > 0和P(B) > 0，则P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)。
6. 期望值公式：对于一个离散型随机变量X，其期望值E(X) = ΣxP(X=x)，其中x为X的所有可能取值。
7. 方差公式：对于一个离散型随机变量X，其方差Var(X) = E[(X-E(X))^2] = Σ(x-E(X))^2P(X=x)，其中E(X)为X的期望值。
请注意，以上公式只是概率论中的一部分常用公式，还有
许多其他公式可根据具体概率问题的性质和假设来使用。
概率论知识点
概率论知识点概率论是数学的一个分支，研究的是随机事件的发生规律和概率性质。
在现实生活中，概率论的应用广泛，涵盖了统计学、经济学、计算机科学等各个领域。
本文将介绍概率论的一些基本概念和常见应用。
一、基本概念1. 随机事件：随机事件是指在一次试验中可能发生的事件，具有不确定性和不可预测性。
例如，抛一枚硬币的正反面结果就是一个随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指一次随机试验中所有可能结果的集合。
以掷一枚骰子为例，样本空间就是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 事件：事件是样本空间的一个子集，表示一些可能的结果的集合。
例如，掷一枚骰子得到的结果是偶数的事件就是{2, 4, 6}。
4. 概率：概率是描述事件发生可能性大小的数值，范围在0到1之间。
概率越大，事件发生的可能性越高。
例如，正常情况下抛一枚硬币出现正面和反面的概率都是1/2。
二、常见应用1. 条件概率：条件概率是指在一定条件下，某一事件发生的概率。
以抽取一张扑克牌为例，已知抽到一张红心牌的条件下，再次抽到红心牌的概率就是条件概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中A和B为事件。
2. 独立事件：独立事件是指两个事件之间互不影响，一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
例如，抛一枚硬币与掷一颗骰子的结果无关。
若事件A和B是独立事件，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 期望值：期望值是对某个随机变量的平均数的度量。
在离散型随机变量的情况下，期望值的计算公式为E(X) = Σ(x×P(X=x))，其中x为可能的取值，P(X=x)为该取值的概率。
4. 正态分布：正态分布是概率论中最重要的分布之一，也称为高斯分布。
在统计学中，很多现象都符合正态分布，例如人的身高、智商等。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ√(2π)) × exp(-(x-μ)² / (2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差。
概率论集合公式
概率论集合公式
一、基本集合运算公式。
1. 并集公式。
- 对于任意两个事件A和B，P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B)。
- 如果A和B是互斥事件（即A∩ B = varnothing），那么P(A∪
B)=P(A)+P(B)。
2. 交集公式。
- P(A∩ B) = P(A)P(BA)（当P(A)>0时），这是条件概率下的交集公式，也可以写成P(A∩ B)=P(B)P(AB)（当P(B)>0时）。
3. 补集公式。
- 对于事件A，P(¯A) = 1 - P(A)，其中¯A表示A的补集。
二、多个事件的公式。
1. 三个事件的并集公式。
- P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩ B)-P(A∩ C)-P(B∩ C)+P(A∩ B∩ C)。
2. 容斥原理（一般形式）
- 设A_1,A_2,·s,A_n是n个事件，则P(bigcup_i = 1^nA_i)=∑_i=1^nP(A_i)-
∑_1≤slant i
这些公式在解决概率论中的各种问题，如计算事件发生的概率、分析事件之间的关系等方面有着广泛的应用。
在人教版教材中，这些内容通常在高中数学选修2 - 3或者大学的概率论与数理统计教材中出现，通过大量的例题和练习可以加深对这些公式的理解和运用。
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1.1.1 确定性现象在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象．确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象．例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；⋯⋯确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识．如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力⋯⋯这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果．对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点：(1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一；(2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的．换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变．1.1.2 随机现象随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象．例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；⋯⋯随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上．1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验：从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法．1.1.4 统计规律性(2)--其他实验我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子．1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1．2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线．1.1.5 统计规律性(3)--规律描述从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科．既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点：(1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的；(2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的．一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小．通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的．统计规律性的这两点基本特点，是人们认知和学习概率论与数理统计的起点，也是从确定性思维转换到随机性思维的关键点．打个比方，确定性规律就像物理学中的宏观物体，它只有粒子性，无波动性；而统计规律就像微观粒子（如光子），它既有波动性也有粒子性．此比喻可能有失严谨，但可以较形象地描述统计规律与确定性规律的区别．1.1.6 概率的初步认知我们已经知道，在相同条件下大量重复观察时，随机现象会呈现出统计规律性，即频率的稳定性．频率的稳定性客观地刻画了随机现象存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小．在概率统计中，概率就是用来刻画每个结果出现可能性大小的数量指标，它介于0∼1之间．通俗地讲，概率就是随机现象中每个结果发生的内在固定比例．既然概率刻画了每个结果出现的可能性大小，而该可能性大小是由频率的稳定性来体现，故概率的度量工具就是频率．这就好比物体的长度，它的度量工具的尺．对于测量长度的尺，它越精细，则测量就越精确；对于度量概率的工具\space频率，它重复观察（或实验）的次数越多，则度量结果就越精确．概率这个概念的出现，说明了统计规律性可以通过数量关系来描述，因此，我们对随机现象的研究就转化为对某种（统计规律性的）数量关系的研究．通过以上的分析，我们对随机现象有了基本的认知：概率与数理统计就是针对这个基本模型，运用数学这个强有力的工具，发展成为了理论性强与应用性广泛的一门学科．1.1.7 随机试验(1)--定义为了叙述方便，我们常把对某种现象的一次观察、测量，或一次科学实验，统称为一个试验；而对随机现象所进行的试验称为随机试验．例如，观察某射击手对固定目标进行射击；抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验；⋯⋯随机试验具有以下共同特征：(1)可重复性试验在相同的条件下可以重复进行；(2)可观察性每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；(3)不确定性每次试验都只出现一个结果，但具体出现哪个结果无法确定．在概率论与数理统计中，所涉及的都是随机试验，故常常简称为试验，记为E．1.1.8 随机试验(2)--说明随机试验可以从以下几个方面来理解．1. 为什么要定义随机试验这么一个概念？答人们为了研究某随机现象，就得对该随机现象进行相关实践活动，这些活动可能是观察，或测量，或记录，或在实验室里进行科学实验．虽然这些行为是不相同的实践活动，但它们的目的都是：都要研究随机现象的统计规律性．于是，人们根据活动目的的同一性来统一定义这些行为，称为随机试验．2. 随机试验只是现实中随机现象的模型化处理，即把随机现象进行简单化或理想化．而其简化的依据往往就是人们过去累积的经验，或是公认的道理．例如，抛一枚硬币的试验，我们只认为它只会出现两种结果：要么正面朝上，要么反面朝上．可实际上，抛出的硬币在掉下来时，不一定是正面朝上或反面朝上，有可能是滚掉不见了，也可能笔直地站立着．然而经验告诉我们，硬币发生滚掉或笔直站着的情况微乎其微，以至于我们可以忽略不计，于是我们只考虑正面朝上或反面朝上这两种情况．当只考虑正面朝上或反面朝上时，我们就已经把现实情况给简单化和理想化了，即进行了某种模型化处理．3. 由2的分析可知，当我们把随机现象进行模型化处理时，在简化的过程中就已经明确了试验的所有可能结果，并且每个结果都是单一的，不可再分解的．4.为了研究方便，有时需要把几次试验作为一个整体合起来看成是一次随机试验．例如，可以把连续掷3次骰子看成是一次试验．1.1.9 样本空间(1)--定义在1.1.8节已经分析出，当提到某随机试验E时，我们已经明确了E的所有可能结果．于是，我们把随机试验E的所有可能结果称为样本空间，样本空间中每一个元素，即每一个可能结果，称为样本点．样本点常记为ω，样本空间常记为Ω(或S)．对于具体的试验E，样本点常表述为ω=(*)，其中*为每一个结果的表述，然后，样本空间可以描述为Ω={ω}(列举或描述所有的ω)．例如，在抛掷一枚硬币的试验中，只有两种结果：出现正面，出现反面．则样本空间有两种结果：一种是出现正面，另一种是出现反面．于是样本点和样本空间可如下表达．ω1=(正面)，ω2=(反面)；Ω={正面，反面}={ω1,ω2}．1.1.10 样本空间(2)－例例如，\space在抛掷一枚骰子的试验中，有6个样本点：ω1=(1点)，ω2=(2点)，ω3=(3点)，ω4=(4点)，ω5=(5点)，ω6=(6点)．样本空间可简记为Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}．(2)观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有无穷多个：ωi=(i次呼叫)(i=0,1,2,⋯)．则样本空间可简记为Ω={ωi:i=0,1,2,⋯}．(3)在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命，其样本点也有无穷多个(且不可数)：t小时(0≤t<+∞)．则样本空间可简记为Ω={t∣0≤t<+∞}．(4)设随机试验为从装有三个白球(记号为1,2,3)与两个黑球(记号为4,5)的袋中任取两球．①若观察取出的两个球的颜色，则样本点为e00=(两个白球)，e11=(两个黑球)，e01=(一白一黑)，于是样本空间为Ω={e00,e11,e01}．②若观察取出的两个球的号码，则样本点为eij=(取出第i号与第j号球)，1≤i<j\le5$< span=""></j\le5$<>(由于两球号码不同，故可假定i<j$< span=""></j$<>)，且样本空间共有C52=10个样本点，于是样本空间为Ω={eij\space∣1≤i<j\le5\}$< span=""></j\le5\}$<>．注①例(3)中，我们无法一一列举试验的所有可能结果，但是可以知道这些试验结果的范围，故用这个范围作为该试验的所有可能结果．②例(4)表明，同一个随机试验，样本点与样本空间是根据试验的目的来确定的．1.1.11 随机事件(1)--定义在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，往往还关心试验的结果是否具备某种特征的情况．例如，①在相同的条件下抛掷同一枚骰子，有时我们仅关注出现的点数是大还是小；②观察某城市某个月内交通事故发生的次数，往往还特别关注出现死亡事故的次数；③对某只灯泡做实验，观察其使用寿命，试验者往往只关注寿命是否达到合格规定的寿命时间（如寿命达到1500小时算合格）；⋯⋯在概率论中，称具有某种特征的试验结果为随机事件．跟样本点一样，随机事件在随机试验中可能发生也可能不发生．1.1.12 随机事件(2)--特殊事件为了的更好地研究随机事件，还需要把随机事件的特殊情况与极端情况都有所定义．特殊情况：只含有一个样本点的随机事件称为基本事件．相对于基本事件，称含有多个样本点的随机事件为复合事件．极端情况：(1)在试验中必然发生的事件称为必然事件；(2)在试验中一定不发生的事件称为不可能事件．必然事件与不可能事件都是随机事件的极端情况，都是可以事先预知的(故也称为确定性事件)，因而已不属于随机事件，但为了方便起见，常常将它们作为极端事件合并到随机事件中．在概率统计中，常把随机事件简称为事件，事件通常记为A,B,C,⋯，A1,A2,⋯．如，记A表示事件“*”，或记事件A为“*”，或记事件“*”为A”，或记事件A={*}，其中*为事件A的特征描述．1.1.13 随机事件(3)－例1例1.1-1在抛掷一枚骰子的试验中，我们知道6个样本点为ω1=(1点)，ω2=(2点)，ω3=(3点)，ω4=(4点)，ω5=(5点)，ω6=(6点)；样本空间为Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}．(1)(基本事件)若记A={出现3点}，则A={ω3}，即A为一个基本事件．所有的基本事件为{ωi}(i=1,2,⋯,6)．(2)(复合事件)记B为事件“出现偶数点”，则B={ω2,ω4,ω6}，即B为一个复合事件．同样地，还可以定义其它复合事件，如C={出现的点数大于4}，等等．(3)(必然事件)若记事件D={出现的点数小于7}，显然事件D在每次试验中必然发生，故D为一个必然事件．还可以有其它的必然事件，如“出现的点数为整数”，“出现的点数大于零”，等等．(4)(不可能事件)如记Q={出现的点数为0}，显然，事件Q在每次试验中一定不发生，故Q为一个不可能事件．其它的不可能事件有“出现的点数为7”，“出现的点数大于10”，等等．■注事件的记法一般有两种：①B为事件“出现偶数点”；②B={出现偶数点}．1.1.14 本章小结对于随机现象，我们有了一个基本的认知：进一步，为了研究随机现象，我们对其进行模型化为随机试验，并以随机试验为平台定义了样本空间、随机事件等重要的概念．于是，对随机现象的基本认知可以进一步提升到如下的模型：至此，我们已经清楚的看出，随机现象的研究就转化为对样本空间及随机事件的研究，最终目的就是求随机事件的概率．为了更好的求解事件的概率，需要把随机事件及概率进行数学抽象化处理，以便于运用强大的数学工具来分析研究．本卷主要探讨样本空间的集合化处理，以及概率的公理化定义（数学抽象化），然后运用这些数学工具来处理随机事件之间的关系和运算，及其概率计算．⋯⋯。