平面力系的简化
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平面一般力系向一点的简化
理论力学
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
第六节 平面力系的简化
e F
O·
F M
O·
均布力系的等效集中力
Pq
大小: P=q·l
方向:与q相同
l
作用点:
分布区域的几何中心
注意:计算时按等效集中力计算,画受力图时必 须按分布力来画。这是因为P与q只有在研究 外效应时才等效；内效应是不等效的。
二、平面任意力系的简化
1、平面任意力系向一点简化的过程
主矢：
FR = F1 + F2 + ···Fn
= F1 + F2 + ··· Fn = ∑F
Mo = M1+M2+··主···矩·+Mn
= ΣM
二、平面任意力系的简化
根据平移定理，每个力平移到简化中心， 要同时附加一个力偶。原力系化为一个汇交 力系和一个力偶系。汇交力系的合成结果为 一个力称为原力系的主矢，力偶系 的合成 结果为一个力偶，称为原力系的主矩。
作用于物体上的力，可以平移到物体内任一 指定点，但必须同时附加一个力偶，此附加 力偶的矩等于原力对指定点的矩。
一、力的平移定理
由力的平移定理，可以将一个力分解为一个力
和一个力偶；反之，也可以将同一平面内的一个力 和一个力偶合成一个力。
F
F″
O
F A
=
F″
Od
A
F′
= O MA
(a)
(b)
(c)
图 2.31 牛腿柱
第六节 平面力系的简化
第9讲
授课日期
班级
章节及 课题
复习旧课 要点
本讲教学 目的与要求
第二章
第六节 平面力系的简化
约束反力，力矩，力偶
对简单的力系能简化。
教学设计 （方法、 教具、 手段、 内容）
O·
F M
O·
均布力系的等效集中力
Pq
大小: P=q·l
方向:与q相同
l
作用点:
分布区域的几何中心
注意:计算时按等效集中力计算,画受力图时必 须按分布力来画。这是因为P与q只有在研究 外效应时才等效；内效应是不等效的。
二、平面任意力系的简化
1、平面任意力系向一点简化的过程
主矢：
FR = F1 + F2 + ···Fn
= F1 + F2 + ··· Fn = ∑F
Mo = M1+M2+··主···矩·+Mn
= ΣM
二、平面任意力系的简化
根据平移定理，每个力平移到简化中心， 要同时附加一个力偶。原力系化为一个汇交 力系和一个力偶系。汇交力系的合成结果为 一个力称为原力系的主矢，力偶系 的合成 结果为一个力偶，称为原力系的主矩。
作用于物体上的力，可以平移到物体内任一 指定点，但必须同时附加一个力偶，此附加 力偶的矩等于原力对指定点的矩。
一、力的平移定理
由力的平移定理，可以将一个力分解为一个力
和一个力偶；反之，也可以将同一平面内的一个力 和一个力偶合成一个力。
F
F″
O
F A
=
F″
Od
A
F′
= O MA
(a)
(b)
(c)
图 2.31 牛腿柱
第六节 平面力系的简化
第9讲
授课日期
班级
章节及 课题
复习旧课 要点
本讲教学 目的与要求
第二章
第六节 平面力系的简化
约束反力，力矩，力偶
对简单的力系能简化。
教学设计 （方法、 教具、 手段、 内容）
平面力系简化的四种结果
平面力系简化的四种结果
1. 平面力系简化为一个力
当一个平面力系的合力和力矩等于零时，可以简化为一个力。
这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。
简化为一个力后，可以用这个力来计算物体的平衡条件，减少计算的复杂性。
2. 平面力系简化为两个力
当平面力系中的合力不为零，但力矩等于零时，可以简化为两个力。
这两个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。
简化为两个力后，可以将平面力系分解为两个简单的力，便于计算物体的平衡条件。
3. 平面力系简化为一个力和一个力矩
当平面力系中的合力和力矩均不为零时，可以简化为一个力和一个力矩。
这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩不为零的条件决定。
简化为一个力和一个力矩后，可以通过力的作用点和力矩的大小和方向来计算物体的平衡条件。
4. 平面力系无法简化
当平面力系中的合力和力矩均不为零，且无法简化为一个力和一个力矩时，需要保持平面力系的复杂性进行计算。
在这种情况下，需要考虑力的合成、力矩的叠加等复杂计算方法，以求得物体的平衡
条件。
总结起来，平面力系简化的四种结果为：简化为一个力、简化为两个力、简化为一个力和一个力矩，以及无法简化。
这些简化结果的应用可以大大简化平面力系的计算过程，提高计算的效率和准确性。
在实际应用中，根据平面力系的特点和计算需求，选择合适的简化方法可以更好地解决力学问题。
平面任意力系的简化
F' F" F
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
2、力的平移
F
F
A
B
A
B
F
A
B
MB
A rBA
B
力的平移定理:作用在刚体上某一点的 力F可以平移到刚体内任一点，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
❖ 平移定理分析：平面内的一个力和一个力偶也可以合成一个 力。
2、平面任意力系向一点简化
Fn
o
据力的平移定理
An
A2
O
O
A1
F2
F1 O为简化中心
FR 为一个作用在O点上的力。 MO 为一个作用在刚体上的力偶。
•主矢
•主矩
（与简化中心O无关）
（与简化中心O有关）
结论：平面任意力系向作用面内任一点简化， 可得到一个力和一个力偶，该力的作用线通过 简化中心，其大小原力系的主矢，该力偶的力 偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
机械设计基础
平面任意力系的简化
❖ 1、力的平移定理
加减平衡力系原理：
在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理
F
A
F
B
若 {P1, P2,, Pm} {0} 则 {F1, F2,, Fn}
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
力沿作用线移动 力的可传性： F
(F2
F3 )
j
n
MO ri Fi
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
2、力的平移
F
F
A
B
A
B
F
A
B
MB
A rBA
B
力的平移定理:作用在刚体上某一点的 力F可以平移到刚体内任一点，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
❖ 平移定理分析：平面内的一个力和一个力偶也可以合成一个 力。
2、平面任意力系向一点简化
Fn
o
据力的平移定理
An
A2
O
O
A1
F2
F1 O为简化中心
FR 为一个作用在O点上的力。 MO 为一个作用在刚体上的力偶。
•主矢
•主矩
（与简化中心O无关）
（与简化中心O有关）
结论：平面任意力系向作用面内任一点简化， 可得到一个力和一个力偶，该力的作用线通过 简化中心，其大小原力系的主矢，该力偶的力 偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
机械设计基础
平面任意力系的简化
❖ 1、力的平移定理
加减平衡力系原理：
在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理
F
A
F
B
若 {P1, P2,, Pm} {0} 则 {F1, F2,, Fn}
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
力沿作用线移动 力的可传性： F
(F2
F3 )
j
n
MO ri Fi
平面力系简化
x
A
O的合力 R' ,且
R' = Fi = Yi
o
x
(2) R' = 0 , Mo 0 原力系简化为一个力偶.此力偶
即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo ,且
MO = mo(Fi) = F x
(3) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R
R = R' = Fi = Yi
y
3m
C
P1
1.5m
F1
3.9m P2
F2
O B
A
x
5.7m
22
解: (1)取O为简化中心
ACB arctan AB 16.70 CB
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin
670.1kN
y
3m
C
P1
1.5m
原力系对于简化中心O的主矩.
Mo = m1 + m2 +...+ mn = mo(F1) + mo(F2) +...+ mo(Fn) Mo = mo(Fi)
7
结论:平面任意力系简化为主矢和主矩
力系的主矢 R'只是原力系中各力的矢量和,所以 它的大小和方向与简化中心的位置无关 .
力系对于简化中心的主矩Mo ,一般与简化中心的 位置有关.
(c) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R ,其 大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中
心点O的距离为: d M o
R
9
(d) R' = 0 , Mo = 0 原力系为平衡力系.其简化 结果与简化中心的位置无关.
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
第四章 平面力系简化平衡方程
第四章 平面力系的简化与平衡方程
工程实例：
厂房吊车梁实例：
平面任意力系：
本章任务：
（1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 （2）掌握平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）
一、平面一般力系向一点(简化中心O点)简化：
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；
（2）列平衡方程， 求解未知力。 ∑X=0，XA +qL =0 XA A
1.5L
q
B
NB
L
X
∑Y=0，YA +NB
=0
YA
∑ mA（Fi）=0 1.5LNB -0.5L×qL =0
XA =-qL(←)
NB =qL/3
YA = -qL/3(↓)
[例4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在 水平力P的作用下各支座的约束反力。
[例4-1] 在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有 F1、 F2 、 F3 、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N， F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。
解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7N R′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1N R′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4N cos=60.7/122.4 , =60.27°
1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态。
平衡
2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩。并且简化结 果与 简化中心位置无关。
工程实例：
厂房吊车梁实例：
平面任意力系：
本章任务：
（1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 （2）掌握平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）
一、平面一般力系向一点(简化中心O点)简化：
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；
（2）列平衡方程， 求解未知力。 ∑X=0，XA +qL =0 XA A
1.5L
q
B
NB
L
X
∑Y=0，YA +NB
=0
YA
∑ mA（Fi）=0 1.5LNB -0.5L×qL =0
XA =-qL(←)
NB =qL/3
YA = -qL/3(↓)
[例4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在 水平力P的作用下各支座的约束反力。
[例4-1] 在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有 F1、 F2 、 F3 、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N， F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。
解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7N R′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1N R′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4N cos=60.7/122.4 , =60.27°
1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态。
平衡
2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩。并且简化结 果与 简化中心位置无关。
2平面任意力系简化2-25
为机床上夹持工件的夹盘，夹盘对工件的约 束就是固定端约束；图2-6c所示为一端镶嵌 在建筑物墙内的门或窗户顶部的雨罩，墙对 于雨罩的约束也属于固定端约束。
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：
平面力系最终简化结果
平面力系最终简化结果
平面力系的简化结果可以包括以下几点：
1. 找出前后的冗余力：当前后同时存在多个外力，而其中部分是相互抵消的，可以通过相互抵消取消该力；
2. 找出同向的冗余力：当前后存在多个相同方向上的外力时，可以将其合并为一个总力；
3. 减少力的数量：当可以由多个外力合并为一个力时，可以减少拆解成基本力的数量；
4. 将三角形面力系拆解成两个把手：在三角形面受力系中，可以将三个外力组合为两个把手，并把其中一个把手的力合并成一个力；
5. 将外力组合为平行力系：在分析中，一般外力都是偏斜的，而只有当其方向一致时，才可以将多个外力合并为一个力；
6. 将冗余力组合成复杂力：冗余力可以通过将其组合成复杂力而减少其方向，从而显著减少冗余力的数量；
7. 将冗余力组合成把手力：将冗余力组合成一个把手力可以减少多个的冗余力，从而显著减少冗余力的数量。
8. 合并多个外力：当多个外力的方向正确时，就可以将多个外力合并为一个力，从而显著减少多个外力的数量；
9. 将外力组合成悬空力：当受力情况中满足悬垂条件或平衡条件时，可以将多个外力组合成一个悬空力，从而减少外力数量。
平面力系的简化
平面 力系 的简
化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx，Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足
下式要求。
Rx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fix Ry=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy
（2-12）
由合力的投影可以求出合力的大小和方向。
大小：
（2-13）
方向：
（2-14）
平面 力系 的简
化
力系的主矢是由原力系中的各分力的大小 和方向决定的，与简化中心的位置无关；而主 矩等于原力系中的各力对简化中心力矩的代数 和，当简化中心的位置不同时，得到的主矩的 大小和转向一般是不同的，即主矩与简化中心 的位置有关。
平面 力系 的简
化
2.平面任意力系简化结果的分析
平面任意力系向其作用面内的任意一点简化，得到 一个主矢R和一个主矩MO，但实际力系的作用情况不同 时，简化的结果也不一样，具体情况包括下面几种。
平面 力系 的简
化
1.几何法
如图2-4（a）所示，在刚体上作用一汇交力系，汇交点 为刚体上的O点。根据力的可传性原理，将各力沿作用线移 至汇交点，成为共点力系，然后根据平行四边形法则，依次 将各力两两合成，求出作用在O点的合力R。也可以连续应用 力的三角形法则，逐步合成求出合力R，如图2-4（b）所示。
平面汇交力系的简化的合力的大小和方向等于各分
力的矢量和，即R=F1+F2+…+Fn=∑Fi
（2-15）
平面 力系 的简
化
1.平面任意力系向一点的简化
平面任意力系向其作用面内任意一 点简化，可得到一个力和一个力偶。该 力作用于简化中心，其大小和方向等于 原力系的各力的矢量和；该力偶的力偶 矩等于原力系中各力对简化中心力矩的 代数和。
化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx，Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足
下式要求。
Rx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fix Ry=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy
（2-12）
由合力的投影可以求出合力的大小和方向。
大小：
（2-13）
方向：
（2-14）
平面 力系 的简
化
力系的主矢是由原力系中的各分力的大小 和方向决定的，与简化中心的位置无关；而主 矩等于原力系中的各力对简化中心力矩的代数 和，当简化中心的位置不同时，得到的主矩的 大小和转向一般是不同的，即主矩与简化中心 的位置有关。
平面 力系 的简
化
2.平面任意力系简化结果的分析
平面任意力系向其作用面内的任意一点简化，得到 一个主矢R和一个主矩MO，但实际力系的作用情况不同 时，简化的结果也不一样，具体情况包括下面几种。
平面 力系 的简
化
1.几何法
如图2-4（a）所示，在刚体上作用一汇交力系，汇交点 为刚体上的O点。根据力的可传性原理，将各力沿作用线移 至汇交点，成为共点力系，然后根据平行四边形法则，依次 将各力两两合成，求出作用在O点的合力R。也可以连续应用 力的三角形法则，逐步合成求出合力R，如图2-4（b）所示。
平面汇交力系的简化的合力的大小和方向等于各分
力的矢量和，即R=F1+F2+…+Fn=∑Fi
（2-15）
平面 力系 的简
化
1.平面任意力系向一点的简化
平面任意力系向其作用面内任意一 点简化，可得到一个力和一个力偶。该 力作用于简化中心，其大小和方向等于 原力系的各力的矢量和；该力偶的力偶 矩等于原力系中各力对简化中心力矩的 代数和。
理论力学 第2章 平面力系的简化和平衡
l 0
xq
(
x ) dx
FR'0，MO0；故可合成为一个合力，且
FR=
FR'=
l 0
q
(
x ) dx
FR大小等于分布载荷图形的面积
合力FR的作用线到O的距离为：
h=MO/FR'=
l xq
0
(x)dx
/
lq
0
(x ) dx
FR的作用线通过分布载荷图形的形心。 33
情况 向O点简化的结果 力系简化的最终结果
分类 主矢FR' 主矩MO （与简化中心无关）
1
FR’=0 MO=0 平衡状态（力系对物体的移动
和转动作用效果均为零）。
2
FR'=0
MO0 一个合力偶，M=MO。
3
FR0
MO=0 合力FR=FR，作用线过O点。
4
FR‘0
MO0 一个合力，其大小为 FR=FR，
m
求得： RA AB cos30 144N
0.24
对CD杆：m 0 m Rc 0.182 0.242 0.2322 0
§2–3 平面任意力系的合成与平衡
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 又不相互平行的力系叫∼。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
现mo (R ) mo (F1)mo (F2 )证毕
3、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
R 0 Rx2 Ry2 0
Rx X 0 Ry Y 0
平面力系的简化
cos
FRy FR
式中： ， ——分别是 与x轴和y轴的夹角
固定端（插入端）约束。
它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全 固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。
例
（a）
图 2-13
（b）
固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个 分布力系。如图所示
O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则 d | MO | / | FR |。
情况（3）证明 其中 O 为合力 FR 的作用点，
（a）
（b）
（c）
FR FR FR M (FR ，FR) MO
图 2-15
另外，由图2-15（b）及证明过程知
n
MO (FR ) FR d MO MO (Fi ) i 1
注意
固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。 从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动， 而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动； 从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样， 用一对正交分力表示约束力的主矢之外， 还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。
点A处的力F就由点B处的力 F F 及附加力偶等效代替了， 而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。
意义
在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。 在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。
例
攻螺纹用的铰杠丝锥
图 2-11 （a）
图 2-11 （b）
二、平面力系的简化 主矢与主矩
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，
第二章 平面力系的简化与合成
第二章平面力系的简化与合成引言在工程实际中，作用于物体上的力系往往是较为复杂的。
研究物体的平衡问题，就必须在保证作用效应完全相同的前提下，将复杂力系简化为简单力系，这就是力系的简化。
而力系的合成则是将一个力系简化成一个力，用一个力代替一个力系。
因此，力系的简化与合成是研究平衡问题的前提和基础。
本章将研究平面力系的简化与合成，为研究平衡问题打下基础。
基本要求1、掌握投影及力矩的求法；2、理解力偶的概念及性质；3、掌握各种平面力系的简化方法；4、理解力的平移定理，掌握固定端约束的约束反力画法。
第一节平面汇交力系的合成各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。
一、投影的概念及求法力的作用效应取决于其大小、方向和作用点（对刚体而言是作用线），其大小、方向对作用效应的影响，可用力在坐标轴上的投影来描述。
力在坐标轴上的投影不仅表征了力对物体的移动效应，而且还是平面汇交力系合成的基础。
在力的作用面内任选一坐标轴，由力的作用线的始端和末端分别向该轴做垂线，所得的两垂足间的线段冠以适当的正负号，就称为该力在该坐标轴上的投影。
具体说明如下：设力Ｆ作用于物体上的Ａ点，其作用线为ＡＢ，在力Ｆ的作用线所在的平面内建立直角坐标系Oxy 。
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从力Ｆ的两个端点Ａ、Ｂ分别作x 轴的垂线，得垂足a 、b ，在线段ab 前冠以适当的正负号，就称为力Ｆ在x 轴上的投影，记作F x ；同样从Ａ、Ｂ分别作y 轴的垂线，得垂足'a 、'b ，在线段'a 'b 前冠以适当的正负号，就称为Ｆ在y 轴上的投影，记作F y 。
力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定如下：若从始端对应的垂足（a 或a ¢）到末端对应的垂足（b 或b ¢）的趋势（指向）与坐标轴的正向一致，则力在坐标轴上的投影为正，反之为负。
如图2-1中，F x 取正值，F y 取负值。
说明平面任意力系向任意一点简化的结果。
平面任意力系向任意一点简化的结果1. 概述任意力系是指作用在一个物体上的多个力, 这些力可能来自于不同的方向, 具有不同的大小和作用点。
在实际工程应用中, 经常需要对这些力进行简化, 以便于分析和计算。
对于平面任意力系向任意一点的简化, 是一种常见的力学分析方法, 本文将对其进行详细的说明。
2. 平面任意力系的简化平面任意力系是指作用在同一个平面内的多个力组成的力系。
当需要对平面任意力系作用在一点进行简化时, 可以采用以下方法：3. 平行力的合成如果平面任意力系中的多个力都是平行的, 则可以使用平行力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。
合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。
这种简化方法在实际应用中非常常见, 如对梁上的多个集中力进行简化。
4. 共点力的合成当平面任意力系中的力作用在同一点上时, 可以利用共点力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。
合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。
这种方法常用于对物体受到的多个外力进行简化。
5. 一般情况下的简化如果平面任意力系中的力不具有上述特殊情况, 则可以使用力的分解和合成原理进行简化。
具体来说, 可以将各力分解为水平方向和垂直方向的分力, 然后分别对水平方向和垂直方向的力进行合成, 最终得到合力的大小和方向。
这种方法在一般情况下都适用, 但需要注意力的方向和正负问题, 以保证简化后的结果是正确的。
6. 结论平面任意力系向任意一点简化的结果, 可以通过平行力的合成、共点力的合成和力的分解和合成等原理进行。
在实际应用中, 需要根据具体情况选择合适的简化方法, 并注意力的大小和方向的计算。
通过简化,可以简化分析和计算过程, 提高工程设计的效率和准确性。
7. 应用举例为了更好地理解平面任意力系向任意一点简化的结果，我们可以通过一些实际的力学问题来进行举例说明。
（1）桥梁的力简化假设一座桥梁上受到多个施加力，有些力是水平方向的，有些力是垂直方向的，这时我们可以利用力的分解和合成原理来简化这些受力。
工程力学平面力系
例3-9
求杆BD、CD和CE的内力
Ⅰ
Ⅰ
40
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例3-10
求1杆内力。 Ⅰ
Ⅰ
41
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F
A
Ⅲ
I
B
例3-11 F Ⅲ Ⅱ ② Ⅰ
E C
求指定4根杆的内力。 可以求出杆2内力
①
J
D
I-I Ⅱ Ⅰ
③
K
④
F
II-II 可以求出杆3、4内力
III-III 可以求出杆1的内力
∑Fix =0 ∑ Fiy =0
35
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空间汇交力系：
∑Fix =0
∑ Fiy =0
∑ Fiz =0
36
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例3-8
用节点法求各杆内力
零杆——内力为零的杆件
零杆判断：
②
①
1.如有三根杆件在某一节点相交，其中两根在同一直线上，且该节点不 受外力作用，则第三根杆（不必与另两根杆垂直）必为零杆； 2.如只有两根不共线的杆件相交于一节点，节点上无外力，则该两杆必 37 均为零杆。
25
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按材料分：
木桁架
钢桁架
钢筋混凝土桁架
26
HOHAI UNIVERSITY
按空间形式分： 平面桁架：所 有杆件的轴线 在同一平面内。
空间桁架
27
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按内力计算分： 静定桁架
超静定桁架
28
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木桁架的榫接节点
21
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分布力系合力的大小等 于力系分布图形的面积
解 ： 先求合力的大小。在梁上距左端为x处取一微段dx， 其上作用力大小为qxdx。将分布力系向合力作用点简化，分布 载荷的合力为
x 1 FR = ∫ q x d x = ∫ q d x = ql 0 0 l 2
l l
目录
再求合力作用线位置。设合力FR的作用线距左端的距离为h， 微段dx上的作用力对点A的矩为–(qxdx) x。由合力矩定理，
目录
五、合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩，等于 力系中各力对同一点之矩的代数和。即： O ( FR ) = ∑ M O ( Fi ) M 证明：
平面汇交力系是平面一般力系的特例，对平面汇交力系， 合力矩定理成立。
目录
例2-2
三角形分布载荷作用在水平梁AB上，最大载荷
集度为q，梁长l。试求该力系的合力。
tan α =
′ FR y ′ FR x
α = 70 . 84 °
M O = ∑ M O ( F ) = −3F1 − 1.5W1 − 3.9W2 = −2355 kN⋅ m
目录
′ FR x = 232.9 kN
′ FR y = −670.1kN
M O = −2355 kN⋅ m
（2）求合力： FR= FR’ = 709.4 kN
点的矩为： 力F对B点的矩为： 对 点的矩为
M B ( F ) = M B ( Fx ) + M B ( Fy ) = − Fx b = − Fb cos α = − 3Fb 2
目录
实例
二、力偶 1、力偶的定义
大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系， 大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系，称为 力偶。 力偶。记作(F，F ′)
M = ∑Mi
目录
3.平面一般力系的简化 力系向一点简化： 主矢量：
F' R = ∑ Fi
主矩： MO = ∑ MO (Fi ) 力系简化最后结果： （1）合力； （2）合力偶； （3）平衡。
目录
讨论题
1、汇交力系简化的依据是什么？ 、汇交力系简化的依据是什么？ 简化结果是什么？ 简化结果是什么？ 2、力偶系简化的依据是什么？ 简化结果是什么？ 、力偶系简化的依据是什么？ 简化结果是什么？ 3、平面力系简化的依据是什么？ 、平面力系简化的依据是什么？ 向一点简化结果是什么？ 向一点简化结果是什么？ 可能得到的最后简化结果是什么？ 可能得到的最后简化结果是什么？ 4、平面力系和合力等效的条件是什么？ 、平面力系和合力等效的条件是什么？ 5、平面力系和合力偶等效的条件是什么？ 、平面力系和合力偶等效的条件是什么？ 6、如何计算分布在直线上的分布力系的合力？ 、如何计算分布在直线上的分布力系的合力？
第二章 平面问题的受力分析
——平面力系的简化
第一节 平面汇交力系的简化 第二节 平面力偶系的简化 第三节 平面一般力系的简化
本章重点：
平面汇交力系简化的解析法。 平面汇交力系简化的解析法。 平面一般力系向一点简化的方法。 平面一般力系向一点简化的方法。
第一节
平面汇交力系的简化
平面汇交力系：力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。 平面汇交力系：力的作用线在同一平面内且汇交于一点的系。 一、平面汇交力系简化的几何法 （力多边形法则） 简化依据：力的平行四边形法则
目录
4．力偶的矢量表示
力偶作用面不共面时，可用矢量表示力偶。 力偶作用面不共面时，可用矢量表示力偶。 根据右手 法则，用右手四指顺力偶转动方向握拳， 法则，用右手四指顺力偶转动方向握拳，大拇指的方向表示 力偶矩矢量。 力偶矩矢量。
目录
5、力偶的性质
性质1 力偶无合力。 性质2 力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩。 性质3 力偶矩相等的两力偶等效。 •推论 只要保持力偶矩不变，力偶 推论1 只要保持力偶矩不变， 推论 可在其作用面内任意移动和转动。 可在其作用面内任意移动和转动。 •推论 可任意改变力的大小和力偶 推论2 推论 平面问题中力偶 的常用表示方法 臂的长短， 臂的长短，而不改变它对刚体的作 用效应。 用效应。
平移
F
F M ，
目录
二、平面力系向一点的简化
问： 1、主矢和合力的异同？ 2、主矩是力矩还是力偶？ 3、主矢和主矩与简化中心的选择有无关系？
目录
三、力系简化结果分析 1、力系的主矢量FR’不等于零，力系简化为一个合力。
2、 2、力系的主矢量FR’等于零，主矩MO不等于零，力系简化为 F ’ M 一个合力 偶。 3、主矢量FR’等于零，主矩MO等于零，力系平衡。 、
AB θ = ∠ACB = arctan = 16.7° CB
′ FR x = ∑ Fx = F1 − F2 cos θ = 232.9 kN
′ FR y =∑Fy =−W −W2 − F2 sinθ =−670.1kN 1
′ FR = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 = 709.4 kN
目录
4、力矩为零情况
当力的作用线通过矩心时，力臂 当力的作用线通过矩心时，力臂h=0，则MO(F)=0。 ， 。
5、平面汇交力系的合力矩定理 平面汇交力系的合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数 和。
M O ( FR ) = M O ( F1 ) + M O (F2 ) + L + M O ( Fn ) = ∑ M O ( Fi )
FR x = F1x + F2 x + L + Fnx = ∑ Fx FR y = F1 y + F2 y + L + Fny = ∑ Fy
合力的大小：
FR = F
2 Rx
+F
2 Ry
合力与x 轴所夹锐角：
tanθ= 目录
例2-1 图示平面汇交力系，已知F1 = 1.5kN，F2 = 0.5kN， F3 = 0.25kN，F4 = 1kN，试求力系的合力。 解：计算合力在x、y轴上的投影： ： FRx = ∑Fx = (0 - 0.5 + 0.25cos60°+1 cos45°) kN= 0.332kN ° ° FRy = ∑Fy = (-1.5 + 0 + 0.25sin60°- 1 sin45°) kN= -1.99kN ° °
目录
例1-1 如图所示，曲杆上作用一力F，已知 ＝a，CB＝b， 如图所示，曲杆上作用一力 ，已知AB＝ ， ＝ ， 试分别计算力F对点 和 的矩 的矩。 试分别计算力 对点A和B的矩。 对点
解： 用合力矩定理，将力F分解为Fx和Fy，则力F对A点的矩为 用合力矩定理， 点的矩为
M A (F ) = M A (Fx ) + M A (Fy ) = −Fxb + Fy a = −Fb cosα + Fa sinα Fb 3 1 =− + Fa 2 2
M O ( FR ) = M O ( FR x ) + M O ( FR y )
合力作用线到O点的距离
MO x= = 3.514 m FRy
主矢和主矩
合力
目录
小
1.平面汇交力系的简化 合力 FR =∑Fi i =1,2,…，n
结
合力过汇交点。
合力的大小： FR =
FR2 x + FR2 y
合力与x 轴所夹锐角： tanθ= 2.平面力偶系的简化 合力偶
目录
第二节 平面力对点之矩 平面力偶
一、力对点之矩
1、力矩的定义 力使物体绕某点转动的效应的度量。 力使物体绕某点转动的效应的度量。 2、力矩的计算
MO (F) = Fh
点 O： 矩心， h：力臂， OAB：力矩平面。 ： 矩心， ：力臂， ：力矩平面。 力矩的常用单位N·m或 kN·m。 或 力矩的常用单位 。 3、平面问题中力矩的表达：力矩 MO(F)=±Fh ： ± 大小： 大小： MO(F)； ； 转向：在力矩平面内逆时针转为正， 转向：在力矩平面内逆时针转为正，顺时针转为负。
目录
FRx = 0.332kN，
FRy = -1.99kN
作出合力的两个正交分力， 合力的大小为：
2 2 FR = FR x + FR y = 0.332 2 + (−1.99) 2 kN = 2.02kN
合力和x轴所夹锐角： α = tan
FRy FRx
=
1.99 = 5.994 α= 80°34′ 0.332
目录
6、平面力对点之矩 平面力偶
各分力偶的力偶平面重合的力偶系称为平面力偶系。 各分力偶的力偶平面重合的力偶系称为平面力偶系。 根据力偶的性质，平面力偶系可简化为一个合力偶， 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M = ∑Mi
目录
第三节 平面力系的简化
各分力的作用线在平面上任意分布的力系称为平面一般力系 一、力的平移定理 定理 作用在刚体上某点A的力F可平行移到任一点B， 平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于力F对 平移点B的矩。
合力作用线不通过简化中心， 位置可进一步确定。 合力作用线不通过简化中心，其位置可进一步确定。 可进一步确定
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F 矢量式： R =F1 + F2+ F3+ F4 矢量式： 一般： 一般： FR =∑Fi i =1,2,…，n
结论：平面汇交力系的简化结果为过汇交点的一个合力。 讨论: 讨论 若FR=0，平面汇交力系平衡，力多边形应满足什么条件？ ，
目录
2、平面汇交力系简化的解析法 平面汇交力系简化的解析法 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各 分力在同一轴上投影的代数和。 将汇交力系的合力向 x、y轴投影，