平面力系的简化
平面力系简化的四种结果
平面力系简化的四种结果
1. 平面力系简化为一个力
当一个平面力系的合力和力矩等于零时，可以简化为一个力。这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。简化为一个力后，可以用这个力来计算物体的平衡条件，减少计算的复杂性。
2. 平面力系简化为两个力
当平面力系中的合力不为零，但力矩等于零时，可以简化为两个力。这两个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。简化为两个力后，可以将平面力系分解为两个简单的力，便于计算物体的平衡条件。
3. 平面力系简化为一个力和一个力矩
当平面力系中的合力和力矩均不为零时，可以简化为一个力和一个力矩。这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩不为零的条件决定。简化为一个力和一个力矩后，可以通过力的作用点和力矩的大小和方向来计算物体的平衡条件。
4. 平面力系无法简化
当平面力系中的合力和力矩均不为零，且无法简化为一个力和一个力矩时，需要保持平面力系的复杂性进行计算。在这种情况下，需要考虑力的合成、力矩的叠加等复杂计算方法，以求得物体的平衡
条件。
总结起来，平面力系简化的四种结果为：简化为一个力、简化为两个力、简化为一个力和一个力矩，以及无法简化。这些简化结果的应用可以大大简化平面力系的计算过程，提高计算的效率和准确性。在实际应用中，根据平面力系的特点和计算需求，选择合适的简化方法可以更好地解决力学问题。
平面任意力系的简化
A
B
MO
O
F'R FR
x C
M O M O ( Fi )
3、最后合成结果
F2 cos 60 3 F3 2 F4 sin 30 3 0.5kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。 合力FR到O点的距离 d
MO 0.11m FR
y
P2
F'Rx Fx P 3 200N
4
解： 1、建立如图坐标系
P1
A 6
FR
B
3 C
F'Ry Fy P 1P 2 100 50 150N
∴主矢
P3
x
( F' Rx )2 ( F' Ry ) 2 2002 1502 250 N FR
F'R F'Rx + F'Ry Fx i Fy j
主矢FR'的大小及方向余弦为
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 FR
Fx cos( F'R , i ) FR
主矩的大小为
Fy cos(F'R , j ) FR
MO MO (Fi )
实例 分析
F1 C O
3m
F4
30° x
第二章-平面力系
平面任意力系的平衡方程及其应用 10
例2-5 简易压榨机由两端铰接的杆AB、BC和压板D组 成，如图。各构件的重量不计。已知AB=BC，杆的倾 角为 ，点B 作用有铅垂压力FP，求水平压榨力FN。
平面任意力系的平衡方程及其应用 10A
解：先取销钉作为研究对象，其受力如由下图所示。 在图示坐标系中，有
M ( F ) 0 Q x G ( a + b ) 0 A m a x
由此可解得:
Q G ( a +) bx 5 0 0 ( 3 + 1 . 5 )6 m a x= 3 7 5 ( k N )
平面任意力系的平衡方程及其应用 13D
因此，要保证起重机不至于翻倒，平衡锤重Q必须在下 面的范围内：
再取压板D为研究对象，其受力见右下图。在图示坐 标系中，平衡方程
F 0 :
ix
cos( F ) F 0 NB C N
由于
F F NB C NB C (为什么？)
故
ctg ( ) cos( F F ) F cos( ) F N NBC NBC P 2 分析讨论：可以看出，影响水平压榨力的(主要)因素 是FP和。在FP不变的的情况下, 越小, 压榨力越大。
其中，A、B、C为平面内不共线的的任意三点。
平面任意力系的平衡方程及其应用 3
平面一般力系的简化
13
工程力学
③ F'R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。 这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR =F'R 。 （此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
9
④ F'R ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续 化为一个合力 FR 。
FR
O MO O
(a)
FR O FR FR O
(b)
O d FR O
(c)
合力 FR 的大小等于原力系的主矢 合力 FR 的作用线位置
10
⑤ 结论
平面一般力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力FR
⑵合力矩定理
FR
FR
O MO O
O FR FR O
O d FR O
(a)
(b)
(c)
∵
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之 矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。 11
O m2
F1
m1
x
F2
(a)
(b)
1.简化方法
向一点简化
一般力系（任意力系）
（未知力系）
FR O MO
(c)
汇交力系+力偶系 （已知力系）
汇交力系合力
4
附加力偶的合力偶矩
2.主矢与主矩
平面力系-平面汇交力系的简化与平衡方程(常用版)
平面力系-平面汇交力系的简化与平衡方程（常用版）
(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）
第2章平面力系19
2.1 平面汇交力系的简化与平衡方程 (19)
2.2 力对点之矩合力矩定理 (24)
2.3 力偶及其性质 (27)
2.4 平面力偶系的合成与平衡方程 (30)
2.5 平面一般力系的简化与平衡方程 (32)
2.6 物体系统的平衡 (40)
*附录Ⅱ：机械应用实例 (49)
第2章平面力系
本章主要介绍平面力系的简化与平衡问题，平面状态下物系平衡问题的解法。
按照力系中各力的作用线是否在同一平面内，可将力系分为平面力系和空间力系。若各力作用线都在同一平面内并汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系。按照由特殊到一般的认识规律，我们先研究平面汇交力系的简化与平衡规律。
2.1 平面汇交力系的简化与平衡方程
2.1.1 概述
设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、F n，各力汇交于A点（图2-1a）。根据力的可传性，可将这些力沿其作用线移到A点，从而得到一个平面共点力系（图2-1b）。故平面汇交力系可简化为平面共点力系。
a ）
b ）
图2-1
连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力。在图2-1b 中，先合成力F 1与F 2（图中未画出力平行四边形），可得力F R1，即 F R1＝F 1+ F 2；再将F R1与F 3合成为力F R2，即F R2＝F R1+ F 3；依此类推，最后可得
F R ＝F 1+ F 2+…+ F n ＝∑F i （2-1）
式中 F R 即是该力系的合力。故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。
平面力系最终简化结果
平面力系最终简化结果
平面力系的简化结果可以包括以下几点：
1. 找出前后的冗余力：当前后同时存在多个外力，而其中部分是相互抵消的，可以通过相互抵消取消该力；
2. 找出同向的冗余力：当前后存在多个相同方向上的外力时，可以将其合并为一个总力；
3. 减少力的数量：当可以由多个外力合并为一个力时，可以减少拆解成基本力的数量；
4. 将三角形面力系拆解成两个把手：在三角形面受力系中，可以将三个外力组合为两个把手，并把其中一个把手的力合并成一个力；
5. 将外力组合为平行力系：在分析中，一般外力都是偏斜的，而只有当其方向一致时，才可以将多个外力合并为一个力；
6. 将冗余力组合成复杂力：冗余力可以通过将其组合成复杂力而减少其方向，从而显著减少冗余力的数量；
7. 将冗余力组合成把手力：将冗余力组合成一个把手力可以减少多个的冗余力，从而显著减少冗余力的数量。
8. 合并多个外力：当多个外力的方向正确时，就可以将多个外力合并为一个力，从而显著减少多个外力的数量；
9. 将外力组合成悬空力：当受力情况中满足悬垂条件或平衡条件时，可以将多个外力组合成一个悬空力，从而减少外力数量。
理论力学02平面力系的简化和平衡
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程：
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
i 1
n
mO ( R ) Rd M O (主矩)
———合力矩定理
d MO R
M O ( R ) mO ( Fi )
i 1
n
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。 用来计算合力矩
2.
l l qo l FR 2 2
已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示 坐标系
F
x
0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F
y
0 F F cos 30 F cos 60 0 BC 1 2
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
平面力系最终简化结果
平面力系最终简化结果
力学是自然科学的基础学科之一，它研究物体运动的原因和规律。平面力系是力学中的一个重要概念，它是指在同一平面内的多个力的叠加效应。平面力系的研究对于理解物体的运动和力的作用有着重要的意义。本文将介绍平面力系的基本概念和最终简化结果。
一、平面力系的基本概念
平面力系是指在同一平面内的多个力的叠加效应。在平面力系中，每个力都有大小、方向和作用点等属性。作用点是指力的作用位置，方向是指力的作用方向，大小是指力的大小，通常用牛顿（N）作为
单位。
平面力系的研究可以分为两个方面，一是力的平衡问题，二是力的合成问题。力的平衡问题是指在平面力系中，多个力的合力为零的情况，此时物体处于静止状态。力的合成问题是指在平面力系中，多个力的合力不为零的情况，此时物体会产生运动。
二、平面力系的最终简化结果
在平面力系中，多个力的合力可以通过向量的加法求解。向量是一种有大小和方向的数学量，可以用箭头表示。向量的加法是指将两个向量的末端连接起来，然后从起点到终点的向量就是这两个向量的和。
平面力系的最终简化结果是指将多个力合成为一个力的过程。这个过程可以通过向量的加法求解，即将多个力的向量相加，得到它们的合力向量。合力向量的大小和方向可以通过三角形法则或平行四边
形法则求解。
三角形法则是指将多个力的向量首尾相连，形成一个三角形，合力向量的大小和方向就是这个三角形的第三条边。平行四边形法则是指将多个力的向量首尾相连，形成一个平行四边形，合力向量的大小和方向就是这个平行四边形的对角线。
平面力系的最终简化结果可以用以下公式表示：
理论力学 第2章 平面力系的简化和平衡
0.4 1.2
1 3
SCD
sin
450
P cos450
tg
4.24
kN
；
RA
SCD
cos450
cos
3.16 kN
14
[例2.5] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力
ND=？ 解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
X 0 T2cos T10 ①
Y 0T2 sin Q N D 0
解：取坐标如图。
合力在坐标轴上的投影为：
Rx=X=-400+250cos45-200×4/5 =-383.2 N
Ry=Y=250sin45-500+200×3/5 =-203.2N
y
F4 =200N
F3=500N
F 2 =250N
5
3 4
45 F1 =400N
O
x
R
合力为： R Rx2 Ry2 =433.7N;
l 0
xq
(
x ) dx
FR'0，MO0；故可合成为一个合力，且
FR=
FR'=
l 0
q
(
x ) dx
FR大小等于分布载荷图形的面积
合力FR的作用线到O的距离为：
h=MO/FR'=
平面任意力系的简化结果
平面任意力系的简化结果
平面任意力系是力学中的重要概念，它描述了作用在一个平面上的多个力的组合。通过对平面任意力系的分析和简化，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高工程设计和实验研究的效率。本文将生动地介绍平面任意力系的简化结果，并探讨其在实际应用中的指导意义。
首先，平面任意力系的简化结果可以分为两个主要方面：合力和力矩的简化。合力是指力系所有力的合力向量，它代表了力系的整体作用。力矩是指力系相对某个点的力矩矢量的合，它代表了力系对该点的转动效果。
对于合力的简化，我们可以通过矢量图形法或使用力的三角形法则来求解。通过绘制力的矢量图形，我们可以直观地观察和分析力系的合力方向和大小。而力的三角形法则则是借助三角形法则计算力系合力的方法，通过将力的矢量进行相加，然后按照三角形法则构造合力矢量。这样，我们就可以将平面任意力系中的多个力简化为一个合力，从而减少问题的复杂度。
对于力矩的简化，我们可以通过计算力系相对某个点的力矩之和来求解。力矩的计算公式为力的大小乘以力与旋转中心的距离。通过将平面任意力系中的多个力的力矩按照右手规则进行矢量相加，我们可以得到力系的总力矩，进而了解力系的转动效果。通过对力矩的简
化，我们可以确定力系的旋转方向和转动速度，为实际应用中的工程
设计提供重要参考。
平面任意力系的简化结果在实际应用中有着广泛的指导意义。首先，它帮助我们理解和分析平衡与稳定问题。通过求解平面任意力系
的合力和力矩，我们可以判断力系是否会平衡（合力为零）和是否具
有稳定性（力矩为零）。这对于建筑结构、桥梁设计等领域非常重要，能够保证工程的安全性和可靠性。
平面一般力系的简化
（2-12）
平面一般力系的简化
1.2 平面任意力系简化结果的讨论
（1）当F′R=0,MO≠0时，简化为一个力偶。显见：作用在 简化中心O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n是一个平衡力系， 可以减去。原力系等效为平面力偶系M1、M2、…、Mn，此时的 合力偶矩与简化中心的位置无关，主矩MO为原力系的合力偶。
（2-11b）
平面一般力系的简化
结论：平面任意力系向力系所在平面内任意一点简化，得到主 矢和主矩，如图2-8(c)所示，主矢的大小和方向只与原力系中各力 的大小和方向有关，与简化中心的位置无关，其作用线经过简化中 心；而主矩的大小和转向不仅与原力系中各力的大小和方向有关， 一般还和简化中心的位置有关。
F′1=F1,F′2=F2,…,F′n=Fn M1=MOF1,M2=MOF2,…,Mn=MOFn
（2-10a） （2-10b）
平面一般力系的简化
平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n可以合成为一个力F′R，F′R的作 用线通过简化中心O点，此力称为主矢。根据公式（2-10a），可 知
（2-11a） 平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成一个力偶，其矩为MO， 此力偶称为主矩。代入公式（2-10b），得
工程力学
平面一般力系的简化
1.1 平面任意力系向作用面内任意一点简化：主矢与主矩
理论力学 第二章 平面力系的等效简化
—
与简化中心有关
18
结论： 平面一般力系向其作用面内任一点简化，一般可得到 一个力和一个力偶： 力：此力作用于简化中心，其矢量为原力系的主矢量，它 等于力系中各力的矢量和； 力偶：此力偶之矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于 力系中各力对简化中心之矩的代数和，力偶作用面就是力 系所在的平面。
19
2 . 简化结果的讨论• 合力矩定理
一、平面汇交力系的简化（合成）
1.几何法 回顾前面所学内容： (1) 平行四边形法则求合力
R F1 F2
(2)力三角形法
F1
F2
R
R
F1
F2
10
•n 个共点力的合成
1）由力的可传性原理，将各力沿作用线移到汇 交点 A。
2）由力的三角形法则，求合力。
（1） （2）
F2 c
b
FR1
F3
d
FR1 F1 F 2 FR2 FR1 F 3
F1
c
F3 b F2
12
2.解析法
在直角坐标系内，所 有力可用分量表示：
根据对应关系，可得合力的 两个分量：
平面汇交力系的合力在某一轴上的分量 （投影）等于各分力在同一轴上分量（投 影）的代数和——合力投影定理 13
合力的大小和方向余弦分别为：
14
二、平面力偶系的简化（合成）
平面任意力系的简化.
(1) FR 0, MO 0
(2) FR 0, MO 0
(3) FR 0, MO 0
(4) FR 0, MO 0
1.主矢不等于零，主矩等于零，即
FR 0, MO 0
F1
F'R
F'R
O
F2 =
MO
=
O
O
Fn
F'R 就是原力系的合力，而合力的作用线过简化中心 O 。
其作用线位置的 d 值为
d MO 2355kN m 3.32m FR 709.4kN
y C
d O
A 70.84º x
FR
MO≠0 MO＝0
FR 0, MO 0
最后结果
合力 合力
合力偶 平衡
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心
d
Mo FR'
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
例：已知：P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求 力系简化的结果。
解：（1）先将力系向点 O 简化
FR = 0, MO 0
F1
O Fn
F2 =
F'R
MO
=
O
MO O
则原力系合成为合力偶。合力偶矩为
n
MO MO (Fi ) i1
平面力系的简化
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
情况（2） FR 0，MO 0 ，说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力 的作用线恰好通过简化中心（否则 ）。这个力就是原力系的合力。 在这种情况下，记为 FR FR ，以将它与一般力系的主矢相区别。
情况（3） FR 0，MO 0 ，这种情况还可以进一步简化：由力的平移定理 知，FR与 MO可以由一个 等效代替。这个力 ，但作用线不通过简化中心
理论力学
平面力系的简化
一、力平移的定理 作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任一点B，但必须同时附加
一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。 这就是力线平移定理。
F F F
证 设刚体上A点作用着一个力F，在刚体内任选B点，现在把力F平移到B点。
根据加减平衡力系公理
在B点处加上一对平衡力 F ，F ，使得 F F F 故
设刚体上作用着一个平面力系F1 ，F2 ， ，Fn ，如图2-12所示。
图 2-12
（1）在平面力系内任选一点O，称为简化中心。
（2）将平面汇交力系中的各个力作矢量和，得到一个合力矢，称为原
力系的主矢，记为 FR 。由简化过程知
n
n
FR Fi Fi
i 1
i 1
（3）附加的平面力偶系中各力偶的力偶矩由力线平移定理知
注意
固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。 从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动， 而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动； 从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样， 用一对正交分力表示约束力的主矢之外， 还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。
平面一般力系的简化
⒊ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。
这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）, R R 。（此
时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
⒋ R ≠ 0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续 化为一个合力 R 。
大小：FR FRx FRy 702 1502 165.53N
方向： arctg FRy arctg 150 650
FRx
70
3、求力系的主矩
y
F2
450 F2X
F2y
F1y
(-3,2) MO(2,1)
θ
O
F/R
F1 5 β 12 F1X
x
cosβ=12/13 sinβ=5/13
mo (F1) mo (F2 ) mo (Fn )
主矢与主矩：
mo (Fi )
1. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和 Fi 。
即
主矢 R 的
解析求法
R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
方向： tg1 Ry tg1 Y
第一节 平面一般力系的简化
观察试验：手推粉笔盒
第六节 平面力系的简化
.
例题
.
例题
先求主矢：
∑Fx = FQ – FP *cos400 = 176N-320N* 0.766 = -69KN ∑FY = - FG – FP *sin400 = -400N-320N* 0.643 = -606KN
Fy F=√ Fx2 + =610KN tan α= =606/69=8.78 Fx 由于∑Fx和∑FY均为负，故FR指向第三象限
二、平面任意力系的简化
根据平移定理，每个力平移到简化中心， 要同时附加一个力偶。原力系化为一个汇交 力系和一个力偶系。汇交力系的合成结果为 一个力称为原力系的主矢，力偶系 的合成 结果为一个力偶，称为原力系的主矩。 主矩 主矢： Mo = FR = F1 + F2 + · · · Fn M +M +· · · · · · +M 1 2 n = F1 + F2 + ··· Fn = ∑F
题2.31，2.32 对以前学过的知识有些遗忘。
平面力系：作用线位于同一平面内，但不全
概念 相交于一点，也不会互相平行的一些力所组
成的力系称为平面任意力系，简称为平面力 系。它包括了： 平面汇交力系：各力作用线汇交于一点的平 面力系。 平面力偶系：由同一平面上若干个力偶构成 的平面力系。 平面平行力系：各力的作用线相互平行的平 面力系。
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M O ( FR ) = M O ( FR x ) + M O ( FR y )
合力作用线到O点的距离
MO x= = 3.514 m FRy
主矢和主矩
合力
目录
小
1.平面汇交力系的简化 合力 FR =∑Fi i =1,2,…，n
结
合力过汇交点。
合力的大小： FR =
FR2 x + FR2 y
合力与x 轴所夹锐角： tanθ= 2.平面力偶系的简化 合力偶
目录
例1-1 如图所示，曲杆上作用一力F，已知 ＝a，CB＝b， 如图所示，曲杆上作用一力 ，已知AB＝ ， ＝ ， 试分别计算力F对点 和 的矩 的矩。 试分别计算力 对点A和B的矩。 对点
解： 用合力矩定理，将力F分解为Fx和Fy，则力F对A点的矩为 用合力矩定理， 点的矩为
M A (F ) = M A (Fx ) + M A (Fy ) = −Fxb + Fy a = −Fb cosα + Fa sinα Fb 3 1 =− + Fa 2 2
Leabharlann Baidu
M = ∑Mi
目录
3.平面一般力系的简化 力系向一点简化： 主矢量：
F' R = ∑ Fi
主矩： MO = ∑ MO (Fi ) 力系简化最后结果： （1）合力； （2）合力偶； （3）平衡。
目录
讨论题
1、汇交力系简化的依据是什么？ 、汇交力系简化的依据是什么？ 简化结果是什么？ 简化结果是什么？ 2、力偶系简化的依据是什么？ 简化结果是什么？ 、力偶系简化的依据是什么？ 简化结果是什么？ 3、平面力系简化的依据是什么？ 、平面力系简化的依据是什么？ 向一点简化结果是什么？ 向一点简化结果是什么？ 可能得到的最后简化结果是什么？ 可能得到的最后简化结果是什么？ 4、平面力系和合力等效的条件是什么？ 、平面力系和合力等效的条件是什么？ 5、平面力系和合力偶等效的条件是什么？ 、平面力系和合力偶等效的条件是什么？ 6、如何计算分布在直线上的分布力系的合力？ 、如何计算分布在直线上的分布力系的合力？
目录
五、合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩，等于 力系中各力对同一点之矩的代数和。即： O ( FR ) = ∑ M O ( Fi ) M 证明：
平面汇交力系是平面一般力系的特例，对平面汇交力系， 合力矩定理成立。
目录
例2-2
三角形分布载荷作用在水平梁AB上，最大载荷
集度为q，梁长l。试求该力系的合力。
第二章 平面问题的受力分析
——平面力系的简化
第一节 平面汇交力系的简化 第二节 平面力偶系的简化 第三节 平面一般力系的简化
本章重点：
平面汇交力系简化的解析法。 平面汇交力系简化的解析法。 平面一般力系向一点简化的方法。 平面一般力系向一点简化的方法。
第一节
平面汇交力系的简化
平面汇交力系：力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。 平面汇交力系：力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。 一、平面汇交力系简化的几何法 （力多边形法则） 简化依据：力的平行四边形法则
tan α =
′ FR y ′ FR x
α = 70 . 84 °
M O = ∑ M O ( F ) = −3F1 − 1.5W1 − 3.9W2 = −2355 kN⋅ m
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′ FR x = 232.9 kN
′ FR y = −670.1kN
M O = −2355 kN⋅ m
（2）求合力： FR= FR’ = 709.4 kN
平移
F
F M ，
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二、平面力系向一点的简化
问： 1、主矢和合力的异同？ 2、主矩是力矩还是力偶？ 3、主矢和主矩与简化中心的选择有无关系？
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三、力系简化结果分析 1、力系的主矢量FR’不等于零，力系简化为一个合力。
2、 2、力系的主矢量FR’等于零，主矩MO不等于零，力系简化为 F ’ M 一个合力 偶。 3、主矢量FR’等于零，主矩MO等于零，力系平衡。 、
AB θ = ∠ACB = arctan = 16.7° CB
′ FR x = ∑ Fx = F1 − F2 cos θ = 232.9 kN
′ FR y =∑Fy =−W −W2 − F2 sinθ =−670.1kN 1
′ FR = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 = 709.4 kN
合力作用线不通过简化中心， 位置可进一步确定。 合力作用线不通过简化中心，其位置可进一步确定。 可进一步确定
返 回
返 回
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6、平面力对点之矩 平面力偶
各分力偶的力偶平面重合的力偶系称为平面力偶系。 各分力偶的力偶平面重合的力偶系称为平面力偶系。 根据力偶的性质，平面力偶系可简化为一个合力偶， 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M = ∑Mi
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第三节 平面力系的简化
各分力的作用线在平面上任意分布的力系称为平面一般力系 一、力的平移定理 定理 作用在刚体上某点A的力F可平行移到任一点B， 平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于力F对 平移点B的矩。
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4．力偶的矢量表示
力偶作用面不共面时，可用矢量表示力偶。 力偶作用面不共面时，可用矢量表示力偶。 根据右手 法则，用右手四指顺力偶转动方向握拳， 法则，用右手四指顺力偶转动方向握拳，大拇指的方向表示 力偶矩矢量。 力偶矩矢量。
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5、力偶的性质
性质1 力偶无合力。 性质2 力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩。 性质3 力偶矩相等的两力偶等效。 •推论 只要保持力偶矩不变，力偶 推论1 只要保持力偶矩不变， 推论 可在其作用面内任意移动和转动。 可在其作用面内任意移动和转动。 •推论 可任意改变力的大小和力偶 推论2 推论 平面问题中力偶 的常用表示方法 臂的长短， 臂的长短，而不改变它对刚体的作 用效应。 用效应。
分布力系合力作用线通 过分布图形的形心。 过分布图形的形心。
x 1 2 − FR h = −∫ qx x d x = −∫ q x d x = − ql 0 0 l 3
l l
2 解得： h = l 3
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例2-3 重力坝受力如图。设W1= 450 kN，W2=200 kN， F1=300 kN， F2=70 kN。求力系的合力。 解 ：(1)取点O为简化中心，求主矢和主矩。
F 矢量式： R =F1 + F2+ F3+ F4 矢量式： 一般： 一般： FR =∑Fi i =1,2,…，n
结论：平面汇交力系的简化结果为过汇交点的一个合力。 讨论: 讨论 若FR=0，平面汇交力系平衡，力多边形应满足什么条件？ ，
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2、平面汇交力系简化的解析法 平面汇交力系简化的解析法 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各 分力在同一轴上投影的代数和。 将汇交力系的合力向 x、y轴投影，
。力偶使物体产生转动效应。 力偶使物体产生转动效应。
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2、力偶的计算
将力偶的一个力向另一个力作用线上任一点 取矩，力偶矩： 取矩，力偶矩：
M = M ( F，F ′) = Fd
d :力偶臂，F 、F’ 组成的平面：力偶作用面。 力偶臂， 组成的平面：力偶作用面。 力偶臂
3、力偶的表达
1.平面问题中各力偶作用面共面，力偶可用代数量表达： 平面问题中各力偶作用面共面，力偶可用代数量表达： 平面问题中各力偶作用面共面 力偶矩： 力偶矩： M =±Fd， ± ， 大小： 大小： M = Fd，转向：逆时针为正，顺时针为负。 ，转向：逆时针为正，顺时针为负。
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FRx = 0.332kN，
FRy = -1.99kN
作出合力的两个正交分力， 合力的大小为：
2 2 FR = FR x + FR y = 0.332 2 + (−1.99) 2 kN = 2.02kN
合力和x轴所夹锐角： α = tan
FRy FRx
=
1.99 = 5.994 α= 80°34′ 0.332
FR x = F1x + F2 x + L + Fnx = ∑ Fx FR y = F1 y + F2 y + L + Fny = ∑ Fy
合力的大小：
FR = F
2 Rx
+F
2 Ry
合力与x 轴所夹锐角：
tanθ= 目录
例2-1 图示平面汇交力系，已知F1 = 1.5kN，F2 = 0.5kN， F3 = 0.25kN，F4 = 1kN，试求力系的合力。 解：计算合力在x、y轴上的投影： ： FRx = ∑Fx = (0 - 0.5 + 0.25cos60°+1 cos45°) kN= 0.332kN ° ° FRy = ∑Fy = (-1.5 + 0 + 0.25sin60°- 1 sin45°) kN= -1.99kN ° °
点的矩为： 力F对B点的矩为： 对 点的矩为
M B ( F ) = M B ( Fx ) + M B ( Fy ) = − Fx b = − Fb cos α = − 3Fb 2
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实例
二、力偶 1、力偶的定义
大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系， 大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系，称为 力偶。 力偶。记作(F，F ′)
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第二节 平面力对点之矩 平面力偶
一、力对点之矩
1、力矩的定义 力使物体绕某点转动的效应的度量。 力使物体绕某点转动的效应的度量。 2、力矩的计算
MO (F) = Fh
点 O： 矩心， h：力臂， OAB：力矩平面。 ： 矩心， ：力臂， ：力矩平面。 力矩的常用单位N·m或 kN·m。 或 力矩的常用单位 。 3、平面问题中力矩的表达：力矩 MO(F)=±Fh ： ± 大小： 大小： MO(F)； ； 转向：在力矩平面内逆时针转为正， 转向：在力矩平面内逆时针转为正，顺时针转为负。
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4、力矩为零情况
当力的作用线通过矩心时，力臂 当力的作用线通过矩心时，力臂h=0，则MO(F)=0。 ， 。
5、平面汇交力系的合力矩定理 平面汇交力系的合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数 和。
M O ( FR ) = M O ( F1 ) + M O (F2 ) + L + M O ( Fn ) = ∑ M O ( Fi )
分布力系合力的大小等 于力系分布图形的面积
解 ： 先求合力的大小。在梁上距左端为x处取一微段dx， 其上作用力大小为qxdx。将分布力系向合力作用点简化，分布 载荷的合力为
x 1 FR = ∫ q x d x = ∫ q d x = ql 0 0 l 2
l l
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再求合力作用线位置。设合力FR的作用线距左端的距离为h， 微段dx上的作用力对点A的矩为–(qxdx) x。由合力矩定理，