2020年江苏省南通市启东中学创新班高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.当z=-时，z100+z50+1的值等于（）A. 1B. -1C. iD. -i2.（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10．则a1+a2+a3+…+a10=（）A. 1B. -1C. 1023D. -10233.从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为（）A. B. C. D. 14.设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{-1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A. 60B. 90C. 120D. 1305.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案（）A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种6.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有( )种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 3607.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是（）A. P（X=4）B. P（X≤4）C. P（X=6）D. P（X≤6）8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A. 24B. 18C. 12D. 99.在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A. B. 7 C. D. 2810.一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．12.已知a＞0，（ax-1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为______．13.计算：+++++…++=______．14.武汉臭豆腐闻名全国，某人买了两串臭豆腐，每串3颗（如图）．规定：每串臭豆腐只能至左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该人将这两串臭豆腐吃完，有______种不同的吃法．（用数字作答）15.在三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3，j=1，2，3），从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是______．16.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有______种．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），．（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．18.已知复数z=1+i（i为虚数单位）．（1）设ω=z2+3-4，求|ω|；（2）若=2-i，求实数a的值．19.7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（1）其中甲不站排头，乙不站排尾；（2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；（3）其中甲、乙中间有且只有1人；（4）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．20.已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n的值；（2）求展开式中所有二项式系数的和；（3）求展开式中所有的有理项．21.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．22.已知函数f n（x）=（1+λx）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R，n∈N．（1）若λ=-2，n=2018，求a0+a2+a4+…+a2018的值；（2）若n=8，a7=1024，求a i（i=0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ=-1，求证：x k f n-k（x）=x．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z=-得，，∴z100+z50+1=（-i）50+（-i）25+1=-1-i+1=-i，故选：D．由已知求得z2=-i，代入z100+z50+1得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i得运算性质，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．【解答】解：令x=1代入二项式（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，得（2-1）10=a0+a1+…+a10=1，令x=0得a0=，∴+a1+a2+…+a10=1，∴a1+a2+…+a10=-1023，故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，古典概型概率的求法，考查计算能力．分别求解椭圆的离心率，然后求解概率即可．【解答】解：从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则m=2时：椭圆为：，离心率为：e===，方程，表示圆；m=8时，椭圆方程，离心率为：e===，方程表示离心率为的椭圆的概率为：．故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题看似集合题，其实考查的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从-1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从-1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从-1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，故最多有种栽种方案.故选D.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的=，即可得出结论．【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的=，∴不同的排法种数共有=480种．故选B．7.【答案】A【解析】解：由可得：此为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便的概率，故选：A．由古典概型及其概率计算公式得：此概率为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属简单题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查组合与分步乘法计数原理的简单应用，属基础题．假设向上的方向为北，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段向东，另2段向北，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法有3种，利用分步乘法计数原理可得结论．【解答】解：假设向上的方向为北，从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段向东，另2段向北，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n,利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：依题意+1=5，∴n=8，二项式为（）8，其展开式的通项为，令，解得r=6，故常数项为=7，故选B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查古典概型概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先求出从5个小球中取出2个的个数，然后求出事件：取出的两个球上编号之积为奇数的个数，由概率计算公式，可得结论．【解答】解：设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A，则Ω={（1，2）,（1，3）,（1，4）,（1，5）,（2，1）,（2，3）,（2，4）,（2，5） (5)1）,（5，2）,（5，3）,（5，4）}共包含20个基本件其中事件A={（1，3）,（1，5）,（3，1）,（3，5）,（5，1）,（5，3）}包含6个基本事件，所以P（A）==.故选：B．11.【答案】1080【解析】【分析】第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，由分步与分类计数原理计算即可.本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，属于中档题.【解答】解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次、第六次或第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有=1080种.故答案为：1080．12.【答案】【解析】解：（ax-1）4（x+2）=（1-ax）4（x+2）=（1-4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为-4a+12a2=1，即12a2-4a-1=0，解得a=或a=-（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．利用二项展开式定理求出多项式的展开式，再求x2的系数，列方程求得a的值．本题考查了二项展定理的应用问题，是基础题．13.【答案】1140【解析】解：+++++…++=+++++…++，∵C n+13-C n3=C n2，∴C22+C32+C42+…+C192=C33+（C43-C33）+（C53-C43）+…+（C203-C193）=C203==1140，故答案为：1140．利用组合数公式的性质C n+13-C n3=C n2，可得C22+C32+C42+…+C192=C33+（C43-C33）+（C53-C43）+…+（C203-C193），化简得到结果．本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质C n+13-C n3=C n2，即C n2+C n3=C n+13，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法共有•=20种，故答案为20．总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法共有•种．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，学生不易找到入手点：将6口转化为顺序不变的两个3口问题，属于中档题．15.【答案】【解析】解：从9个数a ij（i=1，2，3，j=1，2，3），从中任取3个数共=84种取法，则这3个数中既不同行也不同列的取法共有=6种，即这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1-=，故答案为：．由古典概型及其概率计算公式得：这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1-=，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属中档题．16.【答案】141【解析】解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种．故答案为141．由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果．本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．17.【答案】解：（1）解法一：∵w（1+2i）=4+3i，∴，∴．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），a+bi-4=3i-2ai+2b，得，∴∴w=2-i，以下解法同解法一．（2）∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，∴（3+i）2-p（3+i）+q=0（8-3p+q）+（6-p）i=0，∵p，q为实数，∴，解得p=6，q=10．解方程x2-6x+10=0得∴实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i．【解析】（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出．（2）把z=3+i代入关于x的方程x2-px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由复数z=1+i，得．则ω=z2+3-4=（1+i）2+3（1-i）-4=1+2i-1+3-3i-4=-1-i．故|ω|=；（2）===2-i，由复数相等的充要条件得：，解得a=3．【解析】（1）把z=1+i代入ω=z2+3-4，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简左边，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．19.【答案】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有种排法，②、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有种排法，乙不能在排尾，也有5个位置可选，有种排法，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法，则此时有种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有+=3720种．（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有种情况，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有A53种情况，则共有=1440种排法．（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，有种情况，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有=1200种排法．（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有A74种排法，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A74=840种．【解析】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用．（1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，②、甲不站在排尾，依次分析甲、乙以及剩余5人的排法数目，结合乘法原理可得其排法数目，最后由分类计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．20.【答案】解：二项式（x+）n展开式的通项公式为T r+1=•x n-r•=••，（r=0，1，2，…，n）；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得•=•，即n=•，解得n=5；（2）展开式中所有二项式系数的和为+++…+=25=32；（3）二项式展开式的通项公式为T r+1=••，（r=0，1，2，…，5）；当r=0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T1=••x5=x5，T3=••x5-3=x2，T5=•x5-6=．【解析】本题考查了二项式展开式中二项式系数和的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，是综合性题目．写出二项式（x+）n展开式的通项公式，（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；（2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n，即可求出结果；（3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．21.【答案】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．【解析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．22.【答案】解：（1）λ=-2，n=2018时，=，令x=1得，（1-2）2018=a0+a1+a2+…+a2017+a2018=1，令x=-1得，（1+2）2018=a0-a1+a2-a3+，可得；（2）=，，解得λ=2，不妨设a i中a t（t=01，2，3，…8）最大，则，即，所以，5≤t≤6，则t=5或6，因此，a i的最大值为；（3）若λ=1，，=+∵，所以，==+=x[x+（1-x）]n-1=x．【解析】（1）分别令x=1，x=-1，利用二项展开式展开f（1）和f（-1），将两式相加可得出a0+a2+a4+…+a2018；（2）先由a7=1024求出λ=2，设a i中a t最大，由，求出t的取值范围，确定t的值后，可求出a i的最大值；（3）利用组合数公式计算，并在代数式x k f n-k（x）中提公因式x，再结合二项式定理可证明结论．本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题．。