互协方差函数
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
互协方差函数
互协方差函数
答案：
互协方差函数(cross-covariance functions )，是反映两个随机向量X与Y相似关系的重要数量特征，也称为“互相关”，通常用于通过与已知信号做比较从来寻找未知信号的特点。
在统计学中，互协方差函数表示两个随机向量X 与Y之间的协方差cov(X,Y)，以区别于随机向量X的“协方差”即X的各个标量元素之间的协方差矩阵。
在信号处理领域，互协方差函数是两个信号(信息论)之间相似性的度量，它也称为“互相关”。
互协方差函数通常用于通过与已知信号做比较从来寻找未知信号的特点。
它是信号之间相对于时间的函数，有时也称为滑动点积，在模式识别与密码分析学中都有应用。
Excel高级函数使用CORREL和COVAR计算相关系数和协方差
Excel高级函数使用CORREL和COVAR计算相关系数和协方差Excel是一款功能强大的电子表格软件，可以帮助我们进行复杂的数据分析和计算。
在Excel中，CORREL函数和COVAR函数是两个用于计算相关系数和协方差的高级函数。
本文将详细介绍这两个函数的使用方法和计算原理。
一、相关系数的计算相关系数用于衡量两个变量之间的相关程度，取值范围在-1到+1之间。
相关系数为+1表示完全正相关，相关系数为-1表示完全负相关，相关系数为0表示无相关关系。
在Excel中，可以使用CORREL函数来计算相关系数。
CORREL函数的语法如下：CORREL(array1, array2)其中，array1和array2是需要进行相关系数计算的两个数据数组。
可以是单个一维数组，也可以是由多个一维数组组成的二维数组。
下面我们通过一个例子来演示CORREL函数的使用：假设我们有两个一维数组，分别表示两个变量x和y的取值。
x的取值为{1, 2, 3, 4, 5}，y的取值为{2, 4, 6, 8, 10}。
我们要计算x和y之间的相关系数。
首先，在Excel中输入数据，如下图所示：```A B1 x y2 1 23 2 44 3 65 4 86 5 10```然后，在单元格C2中输入以下公式：=CORREL(A2:A6, B2:B6)按下回车键，即可得到相关系数的计算结果。
在本例中，计算结果为1，表示x和y之间存在完全正相关关系。
计算结果如下图所示：```A B C1 x y 相关系数2 1 2 13 2 44 3 65 4 8```二、协方差的计算协方差用于衡量两个变量之间的总体变化趋势，可以判断两个变量的运动方向是否一致。
协方差的取值范围没有限制，可以是任意实数。
在Excel中，可以使用COVAR函数来计算协方差。
COVAR函数的语法如下：COVAR(array1, array2)其中，array1和array2是需要进行协方差计算的两个数据数组。
协方差
1. 协方差与相关系数的定义 量 E{[ X E( X )][Y E(Y )]} 称为随机变量
X与Y的协方差, 记为 cov( X ,Y ),
covX ,Y EX EX Y EY
称ρXY
cov( X ,Y ) 为随机变量X与Y的 D( X ) D(Y )
相关系数.
2. 相关系数的意义 当 ρXY 接近1时,表明X ,Y的线性关系联系较紧密. 当 ρXY 接近0时, X ,Y线性相关的程度较差. ρXY 0, 则称X和Y不相关.
σ1n σ2n σnn
为n 维随机变量 ( X1, X2, , Xn ) 的协方差阵.
2. 二维随机变量的协方差矩阵
设X1, X2 为二维随机变量 , 其协方差矩阵为
σ11 σ12 , σ21 σ22 其中
σ11 E[ X1 E( X1)]2 DX1 ,
σ21 E{[ X2 E( X2 )][ X1 E( X1)]} σ12,
1
2πσ1σ 2 1 ρ2
( x μ1)( y μ2 )
e
x μ1 2σ12
2
e
2
1 1 ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
2
dydx
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 , u x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
σ1
cov(X ,Y )
1
2π (σ1σ 2
σ12 E{[ X1 E( X1)][ X2 E( X2 )]},
σ22 E[ X2 E( X2 )]2 DX2 .
注10 由于cij = cji i, j 1,2, n,所以
协方差矩阵为对称的非负定矩阵. 注20 协方差矩阵的应用.
方差,自相关,互相关,协方差等代表的物理意义
方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义2010-05-31 09：201.均值：信号幅度的平均值，物理含义是不是信号的直流电平?2.方差：信号幅度偏离均值的程度，是不是在某种意义上代表了信号振荡的趋势?比如波峰和波谷 3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗?那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢?4.还有协方差?1.在matlab里，协方差的计算是在计算相关之前减去了均值，是不是就是指减去了信号的直流分量，如果信号的均值为0的话，协方差的结果和相关的结果应该是一样的吧。
正弦波交流信号的直流分量为零，但不能说其均值为零，因为均值是衡量随机信号的一个统计参量，而正弦波是确定性信号。
其它概念同样如此。
这些统计参量的精确定义书上都有，建议好好领会。
对随机变量来说，"平均"包含"无限"的含义，任意长的有限样本都不能替代随机信号的整体特点，这是和确定性信号特征描述的主要区别。
3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗?那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢?互相关指2个信号之间的相似程度，时间轴表示"挪"了多少的"距离"，比如一个信号不动，另一个以起点开始"错动"，"挪"到某点时，两个信号的相似程度在函数值上体现，而"挪动"的"距离"在时间轴上体现。
自相关表示信号的周期性--自相关极值点间的距离就是周期；对于随机信号，自相关表示该信号的变化快慢--如果自相关函数平滑，说明变化慢；我知道：对于随机信号，因为不能确知它在每个时刻的值，所以我们从统计平均的观点来认识它。
如果已知其概率分布(包括一维和多维概率分布)，我们就可以认为这个随机信号在统计意义上已充分理解或描述了。
在实际过程中，要得知一个随机过程各点上的随机变量的分布函数并不是很方便，但随机过程的各种统计特征量从各个侧面间接的反映了概率分布特性，所以通过某些特征量就足够描绘这些过程了。
自相关函数与协方差函数的关系
自相关函数与协方差函数的关系
自相关函数和协方差函数都是用于描述随机变量之间的相关性的
工具。
它们都是常用的统计学概念，在很多领域，如金融、经济学、
物理学等都有重要的应用。
自相关函数是用来衡量随机变量自身的相关性，也叫做自相关系数。
它是一个时间序列与其自身的滞后版本之间的相关系数。
如果一
个时间序列的自相关函数显示出明显的周期性，则它被称为具有周期性。
另一方面，协方差函数用于衡量两个不同随机变量之间的相关性。
协方差函数度量两个变量之间的线性关系。
如果两个变量的协方差为正，则它们可能呈现正相关，而如果协方差为负，则它们可能呈负相关。
在这种情况下，变量之间的关系更可能是非线性的。
尽管自相关与协方差之间存在差异，但它们之间确实存在某种程
度的联系。
如果两个随机变量具有线性相关性，则它们的自相关函数
和协方差函数将会具有相同的形状。
然而，如果其相关性是非线性的，则两种函数之间的联系就会劣化。
这就表明了两种函数的差异之处。
自相关函数中忽略其他变量的影响，只考虑变量自身的相关性，而协
方差函数则反映了两个变量的整体相关性。
综上所述，自相关系数主要用于度量并描述时间序列数据自身的
相关性，而协方差系数则主要用于描述两个变量（或多个变量之间）
之间的相关性。
两种函数的具体用途会有所不同，但它们都是经常被
用于分析随机变量之间的相关性的重要工具。
cov函数
cov函数对于任何两个随机变量 X 和 Y，我们可以用协方差来描述它们之间的线性关系。
协方差函数是一种度量两个随机变量之间线性关系的函数，通常用 symbol Cov(X,Y) 表示。
当 Cov(X,Y) > 0 时，表示 X 和 Y 之间存在正线性关系；当 Cov(X,Y) < 0 时，表示 X 和 Y 之间存在负线性关系；而当 Cov(X,Y) = 0 时，表示 X 和 Y 之间不存在线性关系。
协方差函数在统计学、金融学、工程学、地理学等领域广泛应用。
例如，在统计学中，协方差函数是许多统计学模型的关键要素，如自回归模型、移动平均模型、随机游走模型等。
在金融学中，协方差函数用于计算资产的风险，例如在投资组合中选择资产，我们需要考虑不同资产的协方差，以平衡风险和收益。
在工程学中，协方差函数也常用于描述随机噪声的特性。
在地理学中，协方差函数可以用于在地理数据中找到空间相关性模式，例如对气象数据进行插值。
协方差函数的计算方法为：Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]其中，E[] 表示数学期望。
如果我们有一个样本，可以用样本协方差来估计总体协方差：其中，Xi 和 Yi 分别是样本的第 i 个观测值，Xmean 和 Ymean 分别是样本平均值，n 是样本大小。
协方差函数的值受到量纲的影响，因此，人们通常使用相关系数来衡量两个随机变量之间的相关性。
相关系数是协方差函数的标准化形式，用直观的方式表示两个随机变量之间的线性关系。
相关系数的计算方法为：其中，sigmaX 和 sigmaY 分别是 X 和 Y 的标准差。
相关系数具有以下优点：一是无量纲；二是取值范围在 -1 到 +1 之间，方便进行比较；三是可以消除量纲造成的影响，使得不同变量之间的比较更加公平、准确。
协方差函数和相关系数的计算中，需要注意的是：一是随机变量的独立性，如果 X和 Y 是相互独立的，则协方差函数和相关系数均为零；二是样本量的大小，如果样本量太小，估计出的协方差函数和相关系数会较不可靠。
随机信号分析
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
换言之，随机信号是指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。
其统计特性：概率分布函数、概率密度函数。
统计平均：均值、方差、相关。
随机信号分为平稳和非平稳两大类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
1） 各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。
2） 平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。
注：各态历经信号一定是随机信号，反之不然。
工程上的随机信号通常都按各态历经平稳随机信号来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
平稳随机信号在时间上的无限的，故其能量是无限的，只能用功率谱密度来描述随机信号的频域特性。
1. 随机信号的数字特征 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)的均值可表示为：⎰→∞==TT x dt t x Tt x E 0)(1lim)]([μ均值描述了随机信号的静态分量（直流）。
随机信号x(t)的均方值表达式为：dt t x TTT x)(1lim22⎰→∞=ψ2xψ表示信号的强度或功率。
随机信号x(t)的均方根值表示为：⎰→∞=T T x dt t x T 02)(1limψ x ψ也是信号能量的一种描述。
随机信号x(t)的方差表达式为：⎰-==-→∞Tx T x x dx t x Tx E 0222])([1lim])[(μσμ2xσ是信号的幅值相对于均值分散程度的一种表示，也是信号纯波动分量（交流）大小的反映。
随机信号x(t)的均方差（标准差）可表示为⎰-=→∞T x T x dx t x T 02])([1limμσ 它和2x σ意义相同。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(t)无限长，而实际上只能用一个样本即有限长序列来计算。
matlab 计算协方差
matlab 计算协方差计算协方差是统计学中的一项重要任务，它用于衡量两个变量之间的关系强度和方向性。
在MATLAB中，我们可以使用内置的cov 函数来计算协方差矩阵。
本文将介绍协方差的概念，解释如何使用MATLAB计算协方差，并给出一个实际例子来说明协方差的应用。
一、协方差的概念协方差是用来衡量两个变量之间关系的统计量。
它可以用来判断两个变量是正相关、负相关还是不相关。
协方差的计算公式如下：cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]其中，X和Y分别是两个变量的取值，E[X]和E[Y]分别是X和Y的期望值。
协方差的值可以为正、负或零，分别代表正相关、负相关和不相关。
二、MATLAB中计算协方差的方法在MATLAB中，可以使用cov函数来计算协方差。
cov函数的语法如下：C = cov(X)其中，X是一个矩阵，每一列代表一个变量的取值。
cov函数将返回一个协方差矩阵C，C(i,j)表示第i个变量和第j个变量的协方差。
三、示例：计算股票收益的协方差为了更好地理解协方差的应用，我们以股票收益为例进行计算。
假设我们有两只股票A和B的收益数据，我们想要计算它们之间的协方差。
我们需要准备好股票收益数据。
假设我们有两个向量A和B，分别表示股票A和B的每日收益。
我们可以使用MATLAB中的随机数函数来生成这些数据：A = randn(1,100); % 生成100个服从正态分布的随机数B = randn(1,100); % 生成100个服从正态分布的随机数接下来，我们将这两个向量合并成一个矩阵X：X = [A; B];然后，我们可以使用cov函数计算协方差矩阵：C = cov(X);我们可以打印出协方差矩阵C的值：disp(C);这样，我们就得到了股票A和B收益的协方差矩阵。
四、结论协方差是用来衡量两个变量之间关系的统计量，它可以判断两个变量是正相关、负相关还是不相关。
在MATLAB中，我们可以使用cov函数来计算协方差矩阵。
协方差及相关系数及其性质
3. 说明
(1) X 和 Y 的相关系数又称为标准协方差, 它是一个 无量纲的量. (2) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov(X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
E[X E( X )]E[Y E(Y )] 0. (3) 若随机变量 X 和 Y 相互独立
协方差及相关系数及其性质
一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相互独立,那么 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
若随机变量 X 和 Y 不相互独立 D( X Y ) ?
D( X Y ) E( X Y )2 [E( X Y )]2 D( X ) D(Y ) 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}. 协方差
例1
设
( X ,Y
)
~
N
(
μ1
,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ),
试求
X
与Y
的
相关系数.
解 由 f (x, y)
1
2πσ1σ2 1 ρ2
1 exp2(1 ρ2 )
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
x
μ1)( y σ1σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
fX (x)
1
e ,
(
x μ1 2σ12
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ).
协方差的意义和计算公式
协方差的意义和计算公式学过概率统计的孩子都知道，统计里最基本的概念就是样本的均值，方差，或者再加个标准差。
首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出这些概念的公式描述，这些高中学过数学的孩子都应该知道吧，一带而过。
很显然，均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的，而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。
以这两个集合为例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3，后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。
之所以除以n-1而不是除以n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。
而方差则仅仅是标准差的平方。
为什么需要协方差？上面几个统计量看似已经描述的差不多了，但我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。
面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子欢迎程度是否存在一些联系啊，嘿嘿~协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，我们可以仿照方差的定义：来度量各个维度偏离其均值的程度，标准差可以这么来定义：协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，也就是说一个人越猥琐就越受女孩子欢迎，嘿嘿，那必须的~结果为负值就说明负相关的，越猥琐女孩子越讨厌，可能吗？如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。
从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：协方差多了就是协方差矩阵上一节提到的猥琐和受欢迎的问题是典型二维问题，而协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算 n! / ((n-2)!*2) 个协方差，那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。
excel计算协方差矩阵
excel计算协方差矩阵在统计分析和金融建模中，协方差矩阵是一个非常重要的概念，用来描述随机变量之间的相互关系。
协方差矩阵可以用于计算标准差、相关系数和回归分析等很多统计学上的问题。
而Excel提供了方便且易于使用的协方差函数，下面我们来介绍如何使用Excel计算协方差矩阵。
1. 计算协方差在Excel中，协方差可以使用COVARIANCE函数计算，语法为COVARIANCE(array1,array2)。
其中array1和array2代表两个数组或数据区域，分别表示两个随机变量的数值。
COVARIANCE函数会返回这两个变量的协方差，也就是它们之间的关系强度和方向。
2. 计算协方差矩阵假设我们有三个随机变量X、Y和Z，它们的数据存储在Excel的A列、B列和C列。
为了计算它们之间的协方差矩阵，我们首先需要将它们重新排列为一个矩阵。
具体来说，我们需要用TRANSPOSE函数将每个数组转置成一个行向量，然后再将它们合并成一个矩阵。
步骤如下：1）在Excel中选定一个单元格范围，用于存储协方差矩阵。
2）在第一个单元格中输入以下公式，用于计算X和X之间的协方差：=COVARIANCE(A:A,A:A)3）将公式复制到第二个单元格，用于计算X和Y之间的协方差：=COVARIANCE(A:A,B:B)4）将公式复制到第三个单元格，用于计算X和Z之间的协方差：=COVARIANCE(A:A,C:C)5）将公式复制到第四个单元格，用于计算Y和X之间的协方差：=COVARIANCE(B:B,A:A)6）将公式复制到第五个单元格，用于计算Y和Y之间的协方差：=COVARIANCE(B:B,B:B)7）将公式复制到第六个单元格，用于计算Y和Z之间的协方差：=COVARIANCE(B:B,C:C)8）将公式复制到第七个单元格，用于计算Z和X之间的协方差：=COVARIANCE(C:C,A:A)9）将公式复制到第八个单元格，用于计算Z和Y之间的协方差：=COVARIANCE(C:C,B:B)10）将公式复制到第九个单元格，用于计算Z和Z之间的协方差：=COVARIANCE(C:C,C:C)11）选中这九个单元格，按Ctrl+C复制。
第二章随机过程的基本概念3随机过程的联合分布和互相关函数_随机信号分析与处理
' 1
' m
2.4 随机过程的联合分布和互相关函数
平稳相依：如果X(t)与Y(t)的联合统计特性不随时间 起点的平移而变化，则称X(t)与Y(t)是严 格联合平稳的(joint stict sense stationary)。即
' f XY ( x1,, xn , t1 , tn , y1,, ym , t1' ,, tm )
互相关函数不是 偶函数
2 RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 K XY ( ) K X (0) KY (0)
若X(t)与Y(t)是联合平稳的，则 Z(t)= X(t)+Y(t)是平稳过程，且
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
Y (t ) cos(0t )
其中0 为常数， 在(0，2)上均匀分布，求互协方差函数。
1 解、 E{ X (t )} E{sin(0t )} sin(0t )d 0 2 1 E{Y (t )} E{cos(0t )} cos(0t )d 0 2
K XY (t1 , t 2 ) RXY (t1 , t 2 ) mX mY
1 E{sin( 0 t1 0 t 2 2 ) sin 0 (t1 t 2 )} 2
1 sin 0 2
t1 t 2
xyfXY ( x, y, t1 , t2 )dxdy
互协方差函数(cross covariance function)：
K XY (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
随机过程基本概念
注释：(1) 随机过程{X(t), ∈T}是定义在 ×T上的 ),t ( ),
二元函数，因此可以从两个角度去理解, 因而有如上的 两个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际 测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。
(2)通常将随机过程{X(t), ∈T }解释为一个物理系统， ( ), ),t X(t)表示系统在时刻t所处的状态,X(t)的所有可能状 () () 态所构成的集合称为状态空间，记为I，对于给定的 t0 ∈T，及x ∈I,X(t0)= 说成是在时刻t0，系统处于状态 ( )=x x. (3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的 推广.
它在任一确定时刻的值是随机变量.
二、随机过程的分类
1．按状态空间I和时间是可列集还是连续集分类： 按状态空间I和时间是可列集还是连续集分类：
(1). 连续型随机过程:T是连续集,且∀t∈T,X(t)是连续型 () 随机变量,则称过程{X(t),t∈T}为连续型随机过程. () (2).离散型随机过程:T是连续集，且∀t∈T,X(t)是离散型 () 随机变量，则称过程{X(t),t∈T}为离散型随机过程。 () (3).连续型随机序列: T是可列集,且∀t∈T,X(t)是连续型 () 随机变量，则称过程{X(t),t∈T}为连续型随机序列. ()
例4:(热噪声电压)电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电 压，在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内 的热噪声电压要对信号产生持续的干扰，为要消除这种 干扰（假设没有其他干扰因素），就必须考虑热噪声电 压随时间变化的过程，现以电阻的热噪声电压为例说明 这种变化过程的描述方法，我们通过某种装置对电阻两 端的热噪声电压进行长时间的测量，并把结果记录下来， 作为一次试验结果，便得到一个电压-时间函数（即电压 关于时间t的函数）V1(t),如图.
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解
2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。
求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度？解：221~(0,1)..........()2A a A N f a e π-=21211()~(0,1)(0)2t X x X t A N f x eπ-==⇒=；，2223203A 12()~(0,)()242X t x X t N f x e πωπωπ-==⇒；＝， 002323()0()()t X t f x x πωπωδ==＝，；(离散型随机变量分布律)2-2 如图2.23所示，已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组成，出现的概率为1131,,,8484。
t()X t 1234561t 2t 1()x t 2()x t 3()x t 4()x t o图2.23 习题2-2在1t 和2t 两个时刻的分布律如下：1ζ 2ζ 3ζ 4ζ1()X t 1 2 6 3 2()X t 5 4 2 1 1212(,)k k p t t1/8 1/4 3/8 1/4求 ？ 1212[()],[()],[()()]E X t E X t E X t X t ()41129[()]8k k k E X t x p t ===∑221[()]8E X t =()()(){}121212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑2－23[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程，其中（均匀分布）。
求,,？[][][][][][][][][][][]()()()22221212221121222()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XYD aE X t E A t XH t EA XHD X tE X t E X t D X t D A t XH D A t D XH tt DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=⋅+⎡⎤=-⎣⎦=+=+=⋅=++⎡⎤⎣⎦+==+=+++公式：＋b =Ｙ方法：()2212s cos cos 2XH t t t XH +++()()()()22cos 022~,322cos 022~,cos 0()2122,cos 2cos cos cos c 21322,(;)cos o 2s 2X k t k t tX t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XHk t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t ππππππππππππππππππδ-+<<+>+<<+<=+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示(),20H t k x XH else ππ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪⎩2-4 已知随机过程()X t A Bt =+，其中,A B 皆为随机变量。
协方差及相关系数
=0
ρX X
所以 X 与 X 不相关
( 3 ) 独立性由其定义来判断
对于任意的常数 a > 0 , 事件 ( X < a ) ( X < a ), 且 P ( X < a ) > 0 , P ( X < a ) < 1,因此有 P( X < a, X < a) = P( X < a) P ( X < a)P( X < a) < P( X < a) 所以 P ( X < a , X < a ) ≠ P ( X < a ) P ( X < a ) 故 X 与 X 不独立
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) EXEY = pq Cov ( X , Y ) ρ XY = =1 DX DY
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, σ12,μ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解
令 x μ1
Cov ( X ,Y ) = ∫
σ1 y μ2 =t σ2
=s
ξ ,η 为 X , Y的线性组合
所以 ξ ,η 都服从正态分布 N ( 0, + b )σ ) (a
2 2 2
在正态分布中 , 不相关与独立是等价的
所以当 a = b 时, ξ ,η 独立 当 a ≠ b 时, ξ ,η 不独立
( 3) 当ξ ,η 相互独立时 , 即a 2 = b 2 , ξ ,η 都服从
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y 1 0 p 0 0 q 1 0 0 < p <1 p+q=1
求 Cov (X ,Y ), ρXY 解 X P 1 p 0 q Y P 1 p 0 q XY P 1 p 0 q
协方差函数-功率谱密度-Read
任何一个向量到另一个向量的投影为零
两个向量互不干扰
14
正交的两个典型应用
1.在多址通信技术中的应用 通信理论的基本结论：若多个用户的信号可以做到正交， 则这些用户可共享一个发射媒介。
时分多址（TDMA:time-division multiple access):
Pxx ( f )df E x(t ) 2 Rxx (0)
7
自相关函数与功率谱密度(续)
白噪声：
Pxx ( f ) N （常数） 0
功率（或能量）与频率无关，具有与白色光相同的能量分布性质
有色噪声：功率谱不等于常数的噪声
8
互相关函数与互功率谱密度
两个平稳随机信号 互相关数：
x Ex(t )
(3) C xx ( ) C xx (0),
5
自相关函数与功率谱密度(续)
考虑一有限时间段取值随机过程 x(t ),T t T 的Fourier变换：
XT ( f )
x(t ) x e j 2ft dt T
T
功率谱分布的总体平均为：
2
内 容
随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计
3
内 容
自相关函数与功率谱
互相关函数与互功率谱密度 两个随机信号的统计关系 随机信号的高阶特征
4
自相关函数与功率谱密度
单个平稳随机信号 x(t ) 自相关函数： Rxx ( ) E x(t ) x* (t )
协方差cov计算公式
第一篇协方差cov计算公式:协方差与协方差矩阵标签协方差协方差矩阵统计引言最近在看主成分分析（PCA），其中有一步是计算样本各维度的协方差矩阵。
以前在看算法介绍时，也经常遇到，现找了些资料复习，总结如下。
协方差通常，在提到协方差的时候，需要对其进一步区分。
（1）随机变量的协方差。
跟数学期望、方差一样，是分布的一个总体参数。
（2）样本的协方差。
是样本集的一个统计量，可作为联合分布总体参数的一个估计。
在实际中计算的通常是样本的协方差。
随机变量的协方差在概率论和统计中，协方差是对两个随机变量联合分布线性相关程度的一种度量。
两个随机变量越线性相关，协方差越大，完全线性无关，协方差为零。
定义如下。
cov(X,Y)=E[(XE[X])(YE[Y])]当X，Y是同一个随机变量时，X与其自身的协方差就是X的方差，可以说方差是协方差的一个特例。
cov(X,X)=E[(XE[X])(XE[X])]或var(X)=cov(X,X)=E[(XE[X])2]由于随机变量的取值范围不同，两个协方差不具备可比性。
如X，Y，Z分别是三个随机变量，想要比较X与Y的线性相关程度强，还是X与Z的线性相关程度强，通过cov(X,Y)与cov(X,Z)无法直接比较。
定义相关系数η为η=cov(X,Y)var(X)var(Y)通过X的方差var(X)与Y的方差var(Y)对协方差cov(X,Y)归一化，得到相关系数η，η的取值范围是[1,1]。
1表示完全线性相关，1表示完全线性负相关，0表示线性无关。
线性无关并不代表完全无关，更不代表相互独立。
样本的协方差在实际中，通常我们手头会有一些样本，样本有多个属性，每个样本可以看成一个多维随机变量的样本点，我们需要分析两个维度之间的线性关系。
协方差及相关系数是度量随机变量间线性关系的参数，由于不知道具体的分布，只能通过样本来进行估计。
设样本对应的多维随机变量为X=[X1,X2,X3,...,Xn]T，样本集合为{xj=[x1j,x2j,...,xnj]T|1jm}，m为样本数量。
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x1x2
p
x1,
x2
;
m
dx1dx2
16
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
rxx m mx 2
17
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
自相关函数或自协方差函数是时域内表 征一个随机过程最重要的统计量。
1．什么是随机信号？
收音机接收的信号 电阻上的热噪声电压 飞机轰炸目标的着地点 抛硬币的观测结果
1
随机信号的描述方法
概率分布函数，概率密度函数
{ 随机信号
统计平均量：mx
,
2 x
,
rxx
等
信号模型
2
随机信号的概念
随机信号是状态、时间的二元函数 （1）t定，一个随机变量 （2）s定，一个时间函数 （3）t, s定，确定值 （4）t, s不定，随机信号
性质1 : Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
23
性质2：
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
E
xn
2
mx
2
2 x
24
性质3：
rx*x m rxx m
Cx*x m Cxx m
11
中心距
离散信号
E
xn
E
xn
l
i
xi
E
xi
l
p
xi
连续信号
E (xn E[x])l
(x E[x])l p(x)dx
12
特征函数
C p xe jxdx
13
常用的数字特征量
均值 ： mxn Exn xi pxi
i
均方值： E xn2 xi2 p xi
i
方差：
rx*y m mxm*y
Cyx m E ( y n my )*(xn m mx ) ryx m m*ymx m*ymx m*ymx rx*y m mxm*y
28
性质5：
rxx m rxx 0 Cxx m Cxx 0
29
性质5证明:
E
x
n
x
n
m
2
0
E xn x* n xn m x* n m xn x* n m x* n xn m
A rxx xt xt Ext xt rxx (2)
(1)式表示均值具有遍历性
2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
E
xn
E xn
2
E xn2 mx2n
直流分量 平均功率 交流功率
14
自相关函数的定义
rxx m E xn x* n m rx'x m E xn x* n m rx''x m E x* n xn m
15
实平稳信号
rxx m rx'x m rx''x m
rxx m E xn1 , xn1m
3
S
t
4
2．随机信号的特点
（1）随机序列中的任何一个点上的取值都 是不能事先精确确定的随机变量；
（2）随机序列可以用它的统计平均来表征； （3）平稳随机序列是无限持续期，无限能
量的时间序列。
5
§1.2 随机信号的时频 域（统计）表达
6
一、平稳过程与 严平稳过程
7
严平稳随机序列
, FX (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn ) FX (x1, x2,L , xn;t1 ,t2 ,L ,tn )
25
性质4
rx*y m ryx m Cx*y m Cyx m
26
性质4证明:
rx*y m E x* n y n m *
E xn y* n m ryx m
27
Cx*y m E (xn mx )*(yn m my *
rxy m m*xmy m*xmy m*xmy *
其统计特性与所选取的时间起点无关。
8
（宽）平稳随机序列
E x(t) 常数
rxx (t1, t2 ) E x (t1)x(t2 ) rxx (t2 t1) E x2 (t)
9
二．统计平均量
10
原点距
离散信号 连续信号
E xnl xil p xi i
E xnl
xl p(x)dx
18
互相关函数
rxy m E xn* ynm
x* y p x, y;mdxdy
19
互协方差函数
Cxy m E xn mx *
ynm my
rxy m m*xmy
20
一般信号的处理
信号 预处理 均值为零的处理 后续处理
21
三.自相关函数与自协 方差函数的性质
22
NN
kik j rxx ti t j 0
i 1 j 1
当 xt 是复函数, 相对应的自相关函数也是复数
NN
ki
k
r*
j xx
ti t j
0
i1 j1
34
四、遍历性、时间平均
35
随机过程具备遍历性，可以理解为随机 过程各样本函数都同样地经历了随机过程 的各个状态。
36
1.时间平均
则 ryy m rxx m Cyy m Cxx m
31
性质7:
lim
m
Cxx
m
lim
m
rxx
m
mx
2
0
lim
m
rxy
m
m*xmy
lim
m
Cxy
m
0
lim
m
rxx
m
E xn*xnm E xn* E
xnm
mx 2
32
如果随机过程为一向量 X= x1,x2 ,L , xN T
时间均值
A
xt
x t lim
1
T
x t dt
T 2T T
时间自相关函数
A
rxx t,t
x t x t
lim
T
1 2T
T
T
x
t
x t
dt
37
2.严遍历过程的意义
x t 的各种时间平均(T足够长)依概率
1收敛于相应的集合平均。
38
3．宽遍历过程
A
xt
xt Ext mx
(1)
其均值向量 EX Ex1,Ex2,L ,ExN T
自协方差矩阵CovX E X E X T X E X 互协方差矩阵 CovX,Y E X EX T Y EY
33
性质8. 非负性
当 x t 是实函数,取一组离散时刻 t1 , t2 ,L , tN
和一组对应任意实数 k1 , k2 ,L , kN ，则必有
2rxx 0 rxx m rxx m
2rxx 0 rxx m rx*x m 0
rxx m rxx m e j rx*x m rxx m e j
rxx 0 rxx m cos
rxx 0 rxx m
30
性质6： 若 y n xn k