数理统计14(方差分析)

合集下载

数理统计单因素方差分析

由因素A的各个不同的水平引起的差异。
4、 S A 和 S E 的统计特性
1 y ij y i ni 1 j 1
ni

2
2 N ( , ) 的样本是来自正态总体 i
yi 1 , yi 2 , yini 的样本方差，所以：
1
2
j 1
( yij yi )2 ~ 2 ( ni 1)
试验指标的条件称为因素，因素所处的不同的状态称为因素的不同的水平。
因素一般分为两类，可控因素和不可控因素。例如反应温度、原料剂量等是可以控制的，而测量误
差、气象条件是不可控制的因素。
若在一个试验中，只有一个因素在改变，称为单因素试验，否则称为多因素试验
二、一元方差分析
A1 , A2 , As 设试验因素A 有 s 个水平：
当 H 0 不真时，
SE 2 而不管 H 0 是否为真， E n s
当 H 0 为真时:
S A ( s 1) F 不能过大 S E (n s)
当 H0
S A ( s 1) ~ F ( s 1, n s ) 为真时: F S E (n s)

( yij yi )2 ( yi y )2
i 1 j 1

SE S A
ST S E S A

《数理统计》教案——方差分析

第6 章方差分析

在科学试验和生产实际中在科学试验和生产实际中，，影响某一事物的因素往往很多。如在化工生产中如在化工生产中，，需要考虑原料成分需要考虑原料成分、、原料剂量原料剂量、、反应温度应温度、、反应时间等因素对产品得率的影响反应时间等因素对产品得率的影响，，有些因素的影响较大影响较大，，有些因素的影响较小有些因素的影响较小，，为了寻找最优生产条件，就有必要找出对产品得率有显著影响的那些因素就有必要找出对产品得率有显著影响的那些因素，，为此，就需要进行试验就需要进行试验。。方差分析就是根据试验结果进行分析，以鉴别各个因素对试验结果的影响是否显著的一种统计推断方法计推断方法，，其理论实质上是检验多个正态总体均值是否有显著性差异的问题有显著性差异的问题。。

方差分析也可看作是研究自变量与因变量相互关系的问题。我们把试验结果我们把试验结果（（常称为试验指标试验指标））视为因变量(也称响应变量),它是定量的、不可控不可控（（随机随机））的，把因素视为自变量变量，，它是可控它是可控（（非随机非随机））的、定性变量定性变量。。方差分析的变量类型

自变量：定性、非随机

因变量：定量、随机变量

因素所处的状态因素所处的状态（（所取的离散值所取的离散值））称为水平，如让温度分别取60o c 、70o c 、80o c ，则称温度有三个水平则称温度有三个水平。。在一个试验中在一个试验中，，如果只有一个因素在改变如果只有一个因素在改变，，称该试验为单因素试验；多于一个因素在改变的试验多于一个因素在改变的试验，，称为多因素试验。

方差分析(ANOVA)

因素也称为处理因素（factor）每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”
）。
完全随机设计：
将实验对象随机分配到不同处理组的单因素设计方法。针对一个处理因素，通过比较该因素不同水平组均值，推断该处理因素不同水平组的均值是否存在统计学差异。
例在评价某药物耐受性及安全性的I期临床试验中，对符合纳入标准的30名健康自愿者随机分为 3组每组10名，各组注射剂量分别为0.5U、1U、 2U，观察48小时部分凝血活酶时间（s）试问不同剂量的部分凝血活酶时间有无不同？
方差分析适合于任何多组独立均衡可比的数据
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按照 BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不同年龄组的体重指数有无差异。
项目
样本量平均值标准差
18~岁 21.65 20.66
H1：三个总体均数不等或不全相等 a=0.05
（2）计算检验统计量F值
变异来源
SS 自由度（df）
MS
F
组间组内总变异
143.406 363.86 507.36
2
71.703
8.87
45
8.09
47
（3）确定p值，作出统计推断
P2,45=3.20-3.21<8.87，本次F值处于F界值之外，说明组间均方组内均方比值属于小概率事件，因此拒绝H0，接受H1，三个总体均数不等或不全相等

统计学之方差分析

随机误差
方差分析中考虑了随机误差，即观测值与模型预测值之间的差异。随机误差反映了实验误差和其他未被模型考虑的因素。
假设检验
假设检验
在方差分析中，通常会提出关于自变量对因变量影响的假设，然后通过统计检验来验证这些假设。
显著性检验
显著性检验用于判断自变量对因变量的影响是否显著。如果检验结果显著，则说明自变量对因变量的影响不可忽视。
组内方差
组内方差反映了随机误差和其他未被模型考虑的因素对数据变异的影响。组内方差越大，说明实验误差和其他未被控制的因素对结果的影响越大。
效应大小
效应大小
效应大小用于量化自变量对因变量的影响程度。效应大小可以帮助我们了解自变量对因变量的实际意义和重要性。
效应量指标
效应量指标如Cohen's d和eta squared用于衡量效应大小。这些指标提供了有关自变量影响大小的量化信息，有助于我们更好地理解数据和结果的解释。
数据的方差齐性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数据的方差是否齐性，以确保各组数据具有可比性。
VS
详细描述
方差齐性检验可以通过图形法、统计量和非参数检验等方法进行。如果数据的方差不齐，可以考虑采用适当的调整方法或非参数检验等方法进行分析。
数据的独立性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数据是否独立，以确保分析结果的可靠性。

数理统计-方差分析

§5.1
单因素方差分析
例1 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示. 表5.1 铝合金板的厚度机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 试验指标: 薄板的厚度因素: 机器
单因素试验方差分析的数学模型需要解决的问题 1.检验假设
H 0 : 1 2 s , H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
2
2.估计未知参数1 , 2 ,, s , .
数学模型的等价形式
1 记n ni , ni i n i 1 i 1
自由度 2
12 14
均
方
F
比
素A 0.00105333
0.00052667 32.92
0.000016
随机误差 0.000192 总和 0.00124533
F 32.92 F0.05 ( 2,12) 3.89.在水平0.05下拒绝 H 0 . 各机器生产的薄板厚度有显著差异.
在MATLAB中的求解函数:anova1 格式:p=anova1(x) 说明:对样本X中的多列数据进行单因素方差分析, 比较各列的均值,返回“零假设”成立的概率值,如果概率值接近于零,则零假设值得怀疑,表明各列的均值事实上是不同的. 源程序: x=[0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.257,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262]; p=anova1(x’) 助程序运行结果方差分析表 Box 图检验帮

概率论与数理统计复习题14

概率论与数理统计复习题

一、选择题

1、设0()1P A <<,0()1P B <<,(|)(|)1P A B P A B +=,则（C ）（A ）事件A ，B 不相容；（B ）事件A ，B 为对立事件；（C ）事件A ，B 相互独立；（D ）事件A ，B 不相互独立。

2、甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙命中目标，用A 、B 、C 的运算关系表示事件“恰好有一人命中目标”，下列表达式正确的是（ C ） A.C B A B.C B A C. C B A C B A C B A D. C B A BC A C AB

3、 X 为随机变量，()E X μ=,()2

D X σ=,则对任意常数k,必有（B ）

（A ） ()()2

E X k E X

-=-；（B ） ()()22

E X k E X μ-≥-；

（C ） ()()2

E X k E X μ-<-；（D ） ()()2

E X k E X μ-=-。

4、设随机变量X 服从正态分布()2

,N μσ，则随着σ的增大，概率()

P X μσ-<（C ）

（A ）单调减少；（B ）单调增大；（C ）保持不变；（D ）增减不定。

5、设 0，2，2，3，3为来自均匀分布总体),0(θU 的样本观察值，则θ的矩估计值为（D ）。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6、设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量

1123131ˆ5102X X X μ

=++，2123115ˆ3412X X X μ

研究生课程数理统计习题及答案

数理统计习题答案第一章

1.解： ()

()

()()()()()122

2222219294103105106100

11100519210094100103100105100106100534

n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤

=-+-+-+-+-⎣

⎦=∑∑∑

2. 解：子样平均数 *

1l i i i X m x n ==∑

()1

1834061026260

⨯+⨯+⨯+⨯=

子样方差 ()

1l i i i S m x x n ==-∑

()()()()2222

18144034106422646018.67⎡⎤

⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣

⎦=

子样标准差

4.32S ==

3. 解：因为

i i x a

y c

所以 i i x a cy =+

i i x x n ==∑

()1

111n

i i n

i i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

∑∑

i c a y n a c y

==+=+∑ 所以 x a c y =+ 成立

()

1n x i i s x x n ==-∑

()

(

)

()

11n

i i i

i i n

i a cy a c y n cy c y

n c y y n

====+--=-=-∑∑∑

因为 ()

i i s y y

n ==-∑ 所以

222

x y

s c s = 成立

()()()()()17218120

3.2147.21

1.2

e n n e n

方差分析ppt

由于 x ji 的取值既受不同水平 Ai 的影响，又受 Ai 固定下随机因素的影响，所以将它分解为
x ji i ji ， i 1,, r ， j 1,, n
2 其中 ji ~ N (0, ) ，且相互独立。记 1 r ， i i ， i 1,, r
人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。
A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断 A 取不同水平
时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。
（13）
为检验 H ，给定显著性水平，记 F 分布的 1 分位数为
0
F1 (r 1, r(n 1)) ，检验规则为 F F1 (r 1, r(n 1)) 时接受 H 0 ，否则拒绝。
以上对 S
A
, S E , S 的分析相当于对组间、组内等方差的分析，所以
我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。

方差分析 PPT

主要参考教材与书籍
➢ 盛骤、谢式千、潘承毅.概率论与数理统计（第四版）.高等教育出版社，2008. ➢ 方匡南、朱建平、姜叶飞. R数据分析方法与案例详解. 电子工业出版社，2015
➢ 张良均、云伟标、王路、刘晓勇. R语言数据分析与挖掘实战. 机械工业出版社，2015.
§1.1 基本概念
因素（factor)
H0: 1 =2 … H0: 1 =2 …
假定原假设成立
r
2 i
i1 ＝0
1
E(S A ) =
SS A 2 1
SSA ＝ SSe
1 (r 1)
FA SA / Se 1
说明条件引起的波动与试验误差引起的波动差不多。
§1.2 单因素方差分析
方差分析的原理
➢ （5）统计量的分布
误差效应（error effect)
误差给试验结果带来的影响。
§1 方差分析
基本思想
❖R.A.Fisher 提出的方差分析的理论基础：将总变异分解为由研究因素所造成的部分和由
抽样误差所造成的部分，通过比较来自于不同部分的变异，借助F分布作出统计推断。后人又将线性模型的思想引入方差分析，为这一方法提供了近乎无穷的发展空间。
单因素方差分析的数学模型
（1）模型的结构
由 yij i ij i ，可得
yi.
i1j

方差分析

方差分析是一种用于比较多个样本之间差异的统计方法。它通过

比较各个样本之间的方差大小来推断它们是否具有显著的差异。方差

分析可以应用于各种领域的研究中，比如教育、医学、经济等。

方差分析的基本思想是将总体的方差分解为不同来源的方差，通

过对比它们的大小来判断不同因素（组别）对总体的影响程度。在进

行方差分析之前，需要明确研究的目的和假设，然后选择相应的方差

分析模型和计算方法。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。单因素方

差分析适用于只有一个自变量（组别）的情况，它将数据按照不同的

组别分组，然后计算各组之间的方差，并比较它们的大小。如果各组

之间的方差较大，那么可以认为它们之间存在显著差异。多因素方差

分析适用于有多个自变量（组别）的情况，它可以同时考虑多个因素

对总体的影响。

方差分析的原假设是各组之间的均值相等，备择假设是各组之间

的均值不等。通过计算统计量F值，可以得到方差分析的结果。若F

值大于临界值，就能拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异；反之，无法拒绝原假设，认为各组之间的差异不显著。

在进行方差分析时，还需要注意一些前提条件。首先，各个样本

之间应独立，互不影响；其次，各个样本应满足正态性和方差齐性的

假设；最后，应确认所用的统计方法是否适用于样本数据。

方差分析的结果可以为研究者提供一些重要的信息。比如，研究

者可以通过方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响；医学研

究者可以通过方差分析来比较不同治疗方法对患者生存率的影响；市

场营销研究者可以通过方差分析来比较不同广告策略的销售效果。

数理统计方差分析

三、方差分析的原理
3、如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4
• 四种颜色饮料销售的均值都相等 • 没有系统误差
这意味着每个样本都来自均值为m、差为2的同一正态总体
f(X)
X
m1 m2 m3 m4
三、方差分析的原理
4、如果备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全相等 • 至少有一个总体的均值是不同的 • 有系统误差
二、单因素方差分析的步骤
①假第定i个从总第体i个的总样体本中均抽值取为一该个样容本量的为全ni部的观简察单值随总机和样除本，以观察值的个数
②计算公式为
ni
xij
xi
j1
ni
(i 1,2,,k)
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
二、单因素方差分析的步骤
j1
j1
j1
相互独立；
于是
n1
n2
nk
(X1, (X1j X1)2),(X2, (X2j X2)2),,(Xk, (Xkj Xk )2)
j1
j1
j1
相互独立；因2此 k个随机变量
n1
n2
nk
(X1, X2,,, Xk， (X1j X1)2), (X2j X2)2,, (Xkj Xk )2

stat14

方差分析中的多重比较（基于统计量xi-xj的LSD方法）
1. 通过判断样本均值之差的大小来检验 H0 2. 检验的统计量为：xi – xj 3. 检验的步骤为
▪ 提出假设
▪
• H0: mi = mj (第i个总体的均值等于第j个总体的均值) • H1: mi mj (第i个总体的均值不等于第j个总体的均值) 计算LSD
136.6
表2
超市 (j)
1 2 3 4 5
合计
四种颜色饮料的销售量及均值
粉色(A2)
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
147.8
橘黄色(A3)
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
132.2
绿色(A4)
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
157.3 573.9
水平均值
总均值 x1 =27.32 x2=29.56 x3=26.44 x4=31.46 x =28.695 观察值个数 n1=5 n2=5 n3=5 n4=5
(计算总离差平方和 SST)
1. 全部观察值 xij 与总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1 2
构造检验的统计量
▪ 前例的计算结果：
SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2 =115.9295

ANOVA统计学之方差分析

ANOVA（公认的Analysis of Variance缩写）是一种常见的统计学方法，用于分析多个组之间的差异。在实际应用中，ANOVA广泛用于比较不同组别或处理条件下的均值差异，通常将数据分为多个组别，然后通过方差分析来确定组别之间的显著性差异。

ANOVA通过计算组间方差与组内方差的比值来确定组别之间的显著性差异。在这种方法中，均方（Mean Square）是计算这两种方差的关键统计量。ANOVA计算了组间均方（MSbetween）和组内均方（MSwithin），然后通过比较这两个均方值来确定组别是否有显著差异。

方差分析产生的重要统计量是F值，可以用来检验组间方差与组内方差之比是否统计显着。F统计量的计算方法是将组间均方除以组内均方。具体而言，F值=组间均方/组内均方。如果组间均方远远大于组内均方，即F值较高，那么就意味着组别之间存在显著差异。

事实上，ANOVA有多种类型，包括单因素方差分析、多因素方差分析等。下面将介绍其中的两种常见类型。

1.单因素方差分析：单因素方差分析适用于只有一个操纵变量（也称为因子）的情况。比如，我们想要比较不同教育程度的学生之间的成绩差异，那么教育程度就是我们的单因素。通过单因素方差分析，我们可以检验不同教育程度组别之间成绩的是否有显著差异。

2.多因素方差分析：多因素方差分析适用于有两个或多个操纵变量的情况。比如，我们想要同时考察教育程度和性别对学生成绩的影响，那么我们需要进行多因素方差分析。这种方法可以帮助我们了解不同操纵变量之间的交互作用是否显著。

方差分析定义和应用-方差分析

3. 主要原理：将各组数据的总变异按设计及研究目的分为若干部分，再计算各部分的均方，两均方之比为F值。 F值与F临界值比较，决定P值大小，并根据P值大小推断结论。
第1章绪论4章方差分析
第6 （二）主要用途及百度文库用条件有：
页
1. 进行两个或两个以上样本均数的比较； 2. 可以同时分析一个、两个或多个因素对试验结果的作用和影响； 3. 分析多个因素的独立作用及多个因素之间的交互作用； 4. 进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 5. 应用条件：方差分析对分析数据的要求及条件比较严格，即要求各样
2. 设有k个相互独立的样本，分别来自k个正态总体X1，X2，…Xk，且方差相等。
第1章绪论4章方差分析
第8 页
3. 假设的意义为：在某处理因素的不同水平下，各样本的总体均数相等。这就意味着处理因素不起作用。
4. 设某因素有多个水平，即试验数据产生多个样本。由多个样本的全部数据可以计算出总变异，称为总的离均差平方和。即SS总。
5. 数理统计证明，SS总可以由几个部分构成。单因素方差分析中， SS总由组间变异和组内变异构成。SS总＝SS组间＋SS组内。
第1章绪论4章方差分析
第9 页
4. 组间变异主要受到处理因素和个体误差两方面影响，组内变异主要受个体误差的影响。当H0 为真时，由于处理因素不起作用，组间变异只受个体误差的影响。此时，组间变异与组内变异相差不能太大。两部分的均方（方差）也相差不大。其比值F值接近1。

概率论与数理统计方差分析与回归分析

第八章方差分析与回归分析

第一节单因素试验的方差分析

在科学试验、生产实践和社会生活中，影响一个事件的因素往往很多。例如，在工业生产中，产品的质量往往受到原材料、设备、技术及员工素质等因素的影响；又如，在工作中，影响个人收入的因素也是多方面的，除了学历、专业、工作时间、性别等方面外，还受到个人能力、经历及机遇等偶然因素的影响. 虽然在这众多因素中，每一个因素的改变都可能影响最终的结果，但有些因素影响较大，有些因素影响较小. 故在实际问题中，就有必要找出对事件最终结果有显著影响的那些因素. 方差分析就是根据试验的结果进行分析，通过建立数学模型，鉴别各个因素影响效应的一种有效方法.

内容分布图示

★ 引言

★ 基本概念 ★ 例1

★ 例2

★ 假设前提 ★ 方差分析的任务

★ 偏差平方和及其分解 ★ E S 和A S 的统计特性 ★ 检验方法

★ 例3

★ 例4

★ 习题8-1 ★ 返回

内容要点：

一、基本概念

在方差分析中，我们将要考察的对象的某种特征称为试验指标. 影响试验指标的条件称为因素. 因素可分为两类，一类是人们可以控制的（如上例的原材料、设备、学历、专业等因素）；另一类人们无法控制的（如上例中员工素质与机遇等因素）.

今后，我们所讨论的因素都是指可控制因素。因素所处的状态，称为该因素的水平. 如果在一项试验中只有一个因素在改变，则称为单因素试验；如果多于一个因素在改变，则称为多因素试验. 为方便起见，今后用大写字母,,,C B A 等表示因素，用大写字母加下标表示该因素的水平，如 ,,21A A 等.

anova方差分析

ANOVA（方差分析）

ANOVA（analysis of variance），即方差分析，是一种统计方法，

用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异。ANOVA分析可以帮助研究人员确定是否存在群组间差异，进而推断原因并做出相应

的决策。本文将介绍ANOVA的基本概念、原理和具体应用。

一、ANOVA的基本概念

1. 方差

方差是指一组数据离其均值的平均偏差平方之和除以观测次数的结果。方差分析就是通过比较组间方差和组内方差的大小来判断样本均

值是否存在显著差异。如果组间方差显著大于组内方差，说明样本均

值之间存在显著差异。

2. 方差分析的假设

方差分析中有以下两个基本假设：

- 原假设（H0）：样本的总体均值相等，即各组样本均值没有差异。

- 备择假设（H1）：样本的总体均值不全相等，至少有一组样本均

值存在差异。

3. 方差分析的类型

方差分析一般分为单因素方差分析和双因素方差分析：

- 单因素方差分析（One-Way ANOVA）：用于比较一个自变量对一个因变量的影响。

- 双因素方差分析（Two-Way ANOVA）：用于比较两个自变量对一个因变量的影响，并考虑两个自变量之间的交互效应。

二、ANOVA的原理

1. 总平方和（SST）

总平方和是各个观测值与总体均值之差的平方和。计算SST的目的是用来衡量数据的总体变异程度。

2. 组间平方和（SSB）

组间平方和是各组均值与总体均值之差的平方和，它反映了不同组别之间的差异。计算SSB的目的是用来衡量组间均值的变异程度。

3. 组内平方和（SSW）