最新九年级二次函数讲义

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人教版新课标九年级上册二次函数讲义

第二十二章二次函数

22．1 二次函数的图象和性质

22．1.1 二次函数

1．设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y＝_______，其中变量是____，____是____的函数．

2．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(_________________)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别为二次项系数、一次项系数、常数项．

知识点1：二次函数的定义

1．下列函数是二次函数的是( )

A．y＝2x＋1B．y＝－2x＋1 C．y＝x2＋2 D．y＝0.5x－2

2．下列说法中，正确的是()

A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数

B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数

C．y＝1

2(x－1)(x＋4)不是二次函数

D．在y＝1－2x2中，一次项系数为1

3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是_________．

4．已知二次函数y＝1－3x＋2x2，则二次项系数a＝_____，一次项系数b＝_____，常数项c＝_______．

5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.

(1)当_________时，x，y之间是二次函数关系；

(2)当_______________时，x，y之间是一次函数关系．

6．已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)x m2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．

知识点2：实际问题中的二次函数的解析式

7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为( )

九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质课件(新版)北师大版

二次函数，图象是_______________________ 抛物线在第一象限的部分，顶点 _____ （0，100）坐标是___________.
课堂探究
探究一在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
10
y
x y=2x2
-2 8
-1 2
0 0
1 2
2 8
8
6
4 2 -4 -2 0 2
北师大版九年级下册数学
2.2.2二次函数图像与性质
情境导入
y=x2
y
函数y=x²和y=-x²的图象
4
2
函数
-2
o -2
-4
2
x
y=x²
图象形状开口方向对称轴顶点坐标抛物线向上 y轴 (O,0)
抛物线
y=-x²
向下
y轴
(O,O)
y=-x2
本节目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象． 2．使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
函数关系式
图象开口方向对称轴顶点坐标
y=ax2
抛物线抛物线
a>0向上,a<0向下
y轴 y轴
（0，0）（0，c）
y=ax2+c
a>0向上,a<0向下

人教版九年级上册数学讲义二次函数的图像与性质

【例2】二次函数的图象可由的图象（）
、向左平移个单位，再向下平移个单位得到、向左平移个单位，再向上平移个单位得到
、向右平移个单位，再向下平移个单位得到、向右平移个单位，再向上平移个单位得到
考点四：二次函数y＝ax2＋bx＋c及图象的认识
【例1】与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）
第三讲二次函数的图像与性质
一、知识点梳理：
1、二次函数的图像及其性质：二次函数的图像是一条抛物线。是轴对称图形。
2、函数性质（函数增减性）：当 >0时，且 >h，随的增大而增大（对称轴右边的图象从左自右上升），当 <h，随的增大而减小（对称轴左边的图象从左自右下降），函数有最小值最小值=k。当a<0时，且 >h，随的增大而减小（对称轴右边的图象从左自右下降），当 <h，随的增大而增大（对称轴左边的图象从左自右上升）函数有最大值：最大值=k
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
【例1】在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－ (x－1)2 的图象大致是( )
【例2】在同一直角坐标系中，函数与的图象大致如图（）
考点六：二次函数与一元二次不等式
【例1】若A ，B ，C 为二次函数y＝x2＋4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )

新人教九年级数学上册第二十二章二次函数复习课件

的函数解析式是 y=2x2+1
.
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴为直线x=1 .
5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（-3，
0）两点，与y轴交于点C（0,3）. （1）求该抛物线的解析式； y=-x2-2x+3 Q（-1，2）
x=1
B -1 O
1
A
x
源自文库
解析 ①2a＋b＝0,
想到对称轴 x
b 1 ,得b=-2a,故2a＋b＝0正确； 2a
② 4a－2b＋c>0，想到当x=-2时结合图象可知y<0,故4a－2b＋c>0
不正确； ③abc＞0，由图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧，根据
“左同右异”，则b>0,又易知c>0,故abc＞0不正确； ④当y＜0时， x＜-1或x＞3，根据对称性可知A点的坐标是（2，0），结合图象可知当y＜0时，x＜-1或x＞3，故正确，所以选C. 知识点复习抛物线y=ax2+bx+c中的符号问题: ① a的符号决定开口方向；
m2 5 m 8
3
是关于x的二次数.
(1) 求满足条件的m的值，并写出解析式；（2）抛物线有最高点和最低点吗？二次函数有最大值还是最小值？最值是多少？

九年级二次函数讲义

二次函数

一．知识梳理

1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax 2

+bx+c=0 （a≠0）其中： ax 2

叫做二次项， bx 叫做一次项， c 叫做常数项 a 是二次项系数，b 是一次项系数2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax 2

+bx+c=0 （a≠0）中△=b 2

-4ac

△=b 2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x 1,x 2 △=b 2

-4ac=0 <====> 方程

有两个相等的实数根，即：x 1=x 2 △=b 2

-4ac<0 <====> 方程没有实数根。注：“<====>” 是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<03、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。

ax 2

+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x 1,x 2,那么有：

因为：

ax 2

+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得

，所以：韦达

定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍

去一个跟。5、一元二次方程的求根公式：

注：任何一元二

次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。

一、求二次函数的三种形式：

1. 一般式：y=ax 2

+bx+c ，（已知三个点）

顶点坐标（－2b a

九年级数学上册二次函数讲义

初三数学二次函数讲义

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

九年级数学二次函数PPT优秀课件

远为正数，那么m的取值范围是( D )
A m≤9 B m≥9 C m<9
D m>9
(2)二次函数y=ax2+bx+C的图象如图则a，b，c，b2-4ac，
2a+b，a+b+c的值为正数的有( C )
A 6个
B 5个 C 4个 D 3个
-1
1Leabharlann Baidu
(3).已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c
第十二讲二次函数(一)
一.知识回顾： 1对当当.二称aa<>次轴00时时函是，，数_直_开开y_=线_口口a_x_向向x2_+___b___下x上___+2___bac__，(，，a函≠顶函0数)点数的有坐有图最标最象_是__小是__大(__一____值 _2条b_a值_,__4_a__4_抛_c44__a_aa_c4__c_b物_a__2_)b__，b线2_，2 _。
(10)图象在x轴上截得线段长为2。
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
(5)图象与y轴交点坐标(0，3)
(6)最大值或最小值：当x=-2时，y有最小值-1
(7)图象与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为(-4，3)
(8)当x=3或x=-1时，y=0，当-3<x<-1时，y<0，当x>-1或 x<-3时，y>0

九年级数学人教版(上册)课件：22.2二次函数与一元二次方程(共16张PPT)

二次函数与一元二次方程之间的联系
1.画出下列二次函数图象(1)y=x2+x-2；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2-x+1，2.观察其图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点横坐标是多少?3.当x取公共点的横坐标时, 函数的值是多少?4.你得出相应的一元二次方程的解吗?
思考
二次函数
y=x2+x-2
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）
与x轴没有交点
有两个不同的解x=x1，x=x2
没有实数根
小结
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。
利用函数图象求一元二次方程的实数根
情景思考
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解. 例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x 的值.就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值.
【分析】观察图象，二次函数与方程有两个交点，所以选择D.
课堂测试
4.若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则关于x的方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1

(名师整理)最新人教版数学九年级上册第22章第1节《二次函数》精品课件

m∴nm3==02/
∴
mm=-n2=/ 2 3
n=2/ n=-
3
4/3
学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？
课堂小结
二次函数
定义一般形式
右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a ≠0.
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
特殊形式
y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
例1、下列函数中，哪些是二次函
数？若是,分别指出二次项系数,一
次项系数,常数项。 (1) y=3(x－1)²+1
_1 _x (2) y=x+
(3) s_1=_ 3－2t²
(4)
y=(x+3)²x－x²
(5)y²= －x
(6)
v=8π r²
驶向胜利 Fra Baidu bibliotek彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx ＋c＝0（a≠0）有什么联系联和系(区1)等别式？一边都是ax2＋bx
奥运赛场腾空的篮球
问题: 正方体的六个面是全等
的正方形,设正方形的棱长为x,表面积
为y,显然对于x的每一个值,y都有一个
对应值,即y是x的函数,它们的具体关

九年级数学人教版第二十二章二次函数整章知识详解(同步课本知识图文结合例题详解)

产量为：
y=20(1+x).2
即：y=20x2+40x+20.
此式表示了两年后的产量y与计划增产数x之间的关系，
对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
九年级数学第22章二次函数
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
九年级数学第22章二次函数
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值，来自百度文库成
下表：
x … -3 -2 -1 0
y=x2 … 9 4 1 0
12
14
3…
9…
九年级数学第22章二次函数
描点,连线

新人教版九年级上册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)

新人教版九年级上册初中数学

重难点有效突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、二次函数的定义

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

要点二、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①

；②

；③

；④

，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

当

(轴) (

轴)

(

，

)

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛

物线的开口大小、形状相同. (2)平行于

轴(或重合)的直线记作

.特别地，轴记作直线.

3.抛物线2

0()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与

中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线

，故：①

时，对称轴为

轴；②

(即、同号)时，对称轴在

轴左侧；③

(即

、异号)时，对称轴在轴右侧.

九年级二次函数综合——图形的存在性问题(讲义及答案)

1 / 11

九年级二次函数综合——图形的存在性问题（讲义）

➢ 知识点睛

1. 二次函数的学习框架

⎧⎧⎪⎪⎨⎪

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪

⎧⎨⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪

⎪⎪

⎩⎩一般式表达式顶点式交点式抛物线图象轴对称图形二次函数增减性

性质对称性

最值已知坐标计算表达式——待定系数法计算已知表达式计算坐标——联立表达式、坐标代入表达式函数与几何综合——从关键点坐标出发，横平竖直的线 2. 二次函数与方程、不等式的综合——数形结合 3. 二次函数与几何综合

（1）函数与几何综合问题处理的两个原则

①坐标系中处理问题的原则——作横平竖直的线，坐标和线段长互转 ②函数与几何综合问题的处理原则——从关键点坐标出发（2）二次函数与几何综合问题的处理思路

①已知表达式，设点坐标，转线段长，借助几何特征列方程 ②几何特征比较明显，设线段长、表达点坐标、代入表达式

注：实际解决问题的时候，往往①②结合使用

4. 存在性问题的处理框架

（1）研究背景图形

（2）根据不变特征，确定分类标准

（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证

➢精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)

三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得以P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

九年级数学上册《二次函数》优秀课件

回顾
二次函数的图象是什么样子的？
一次函数的图象
一条直线
双曲线反比例函数的图象
前面的实际问题中……
y = (100+x)(600－5x) =－5x²+ 100x + 60 000
x … 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
y … … 60 375 60 420 60 455 60 480 60 495 60 500 60 495 60 480 60 455 60 420 60 375
y轴当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,与x轴相交(经过一、二、三、四象限).
向上在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
y=ax2 +c(a<0)
（0，c）
y轴
当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限); 当c>0时,与x轴相交(经过一、二、三、四象限).
二次函数左右平移的口决
例如：
y = 2(x+1)2
左加右减
向左平移
1 y = 2x2
个单位
向右平移
1 y = 2(x－1)2
个单位
一般：向左平移h个单位
y = a (x＋h)2 ＋k
y = ax2 ＋k

九年级二次函数知识点讲义

九年级二次函数知识点讲义二次函数是初中数学中非常重要的一个概念，也是进入高中数学学习的基础。本文将为大家简要介绍九年级二次函数的相关知识点，希望能对大家的学习有所帮助。

一、二次函数的定义和特点

二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。二次函数的图像一般呈现抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负值。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

二次函数的特点有以下几个方面：

1. 对称性：二次函数的抛物线是关于直线x = -b/(2a)的对称图形，对于任意一点(x, y)在抛物线上，与它关于对称轴的另外一个点(x', y')，有x + x' = -b/a。

2. 零点：二次函数的零点也叫作方程ax^2 + bx + c = 0的根，是使得二次函数取值为0的x值。一般情况下，二次函数有两个零点。

3. 最值：二次函数的最值是指在定义域内的最大值或最小值，这个最值出现在抛物线的顶点处。当a>0时，抛物线的顶点是最小值；当a<0时，抛物线的顶点是最大值。

二、二次函数的图像与参数

1. 平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换得到。对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过f(x - h) + k来实现。其中，h表示横向平移的大小，k表示纵向平移的大小。当h和k为正值时，二次函数图像向右上方平移；当h和k

为负值时，二次函数图像向左下方平移。

2. 缩放变换：通过改变二次函数的参数a的值，可以实现对图像的缩放操作。当a的绝对值越大，抛物线越瘦长；当a的绝对值越小，抛物线越扁平。

人教版九年级数学《二次函数》总复习课件(公开课)

对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧对称轴是y轴
a、b同号 a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点与x轴有一个交点与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
B 所示，则a、b、c的符号为（）
4a
例2：已知二次函数
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
(4) 由图象可知：当-3 < x < 1时，y < 0
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
引申：y=2(x+3)2-4