多项式的整除问题
数学中的多项式函数与整除性理论
数学中的多项式函数与整除性理论多项式函数作为基本的数学概念，在数学的各个分支中都有着广泛的应用。
而整除性理论是现代数学中的一个重要理论体系，它探究了数字之间的整除关系及其相关性质。
本文将探究多项式函数与整除性理论的关系，以及多项式函数在整除性理论中的应用。
1. 多项式函数的定义及性质多项式函数是指以自变量x为变量，系数为任意实数或复数的一次或多次幂的和。
即P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn，其中a0,a1,a2,…,an为实数或复数。
多项式函数的阶次为最高幂的次数，而且一般情况下只考虑最高幂的系数不为零的多项式函数。
多项式函数具有以下性质：（1）多项式函数加法和乘法都满足结合律、交换律和分配律。
（2）多项式函数的导数是其各项系数与下标同时减一的多项式函数。
（3）多项式函数的零点是指使其取值为零的自变量值。
每个n 次多项式函数最多有n个不同的零点。
2. 整除性理论中的多项式函数应用整除性理论探究了数字之间的整除关系及其相关性质，其应用范围覆盖了数论、代数及解析几何等许多分支。
在整除性理论中，多项式函数有着重要的应用。
（1）多项式的因式分解与整数相似，多项式也可以进行因式分解。
多项式的因式分解指的是将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式，即P(x)=a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)，其中b1，b2，…，bn为多项式的根。
（2）最大公因数和最小公倍数多项式的最大公因数是指可以整除每个给定的多项式的最高公共因式。
最小公倍数是指可以被每个给定的多项式除尽的最小公倍式。
（3）整处关系的判定多项式的整除关系也可以像整数一样判定。
如果一个多项式f(x)能够被另一个多项式g(x)整除，则在f(x)除以g(x)的余数为零的情况下，f(x)可以表示为g(x)与余数r(x)的乘积。
即f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，其中q(x)为商，r(x)为余数。
如果r(x)为零，则f(x)能够被g(x)整除。
多项式的除法
多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。
()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。
定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。
若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。
定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。
推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。
关于多项式的综合算式练习题
关于多项式的综合算式练习题题一：多项式的整除性质已知多项式$P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4$，求：1. $P(2)$的值；2. $P(-1)$的值；3. 化简$P(2x)$。
解析：1. 将$x$替换为2，得到：$P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2(2) - 4 = 8 - 12 + 4 - 4 = -4$。
2. 将$x$替换为-1，得到：$P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) - 4 = -1 - 3 + (-2) - 4 = -10$。
3. 化简$P(2x)$，将$x$替换为$2x$，得到：$P(2x) = (2x)^3 - 3(2x)^2 + 2(2x) - 4 = 8x^3 - 12x^2 + 4x - 4$。
题二：多项式的运算已知多项式$Q(x) = 3x^2 - 5x + 2$和$R(x) = 2x^2 - x + 3$，求：1. $Q(x) + R(x)$的结果；2. $Q(x) - R(x)$的结果；3. $Q(x) \cdot R(x)$的结果。
解析：1. 将$Q(x)$和$R(x)$对应的系数相加，得到：$Q(x) + R(x) = (3x^2 - 5x + 2) + (2x^2 - x + 3) = 5x^2 - 6x + 5$。
2. 将$Q(x)$和$R(x)$对应的系数相减，得到：$Q(x) - R(x) = (3x^2 - 5x + 2) - (2x^2 - x + 3) = x^2 - 4x - 1$。
3. 将$Q(x)$和$R(x)$进行乘法运算，得到：$Q(x) \cdot R(x) = (3x^2 - 5x + 2) \cdot (2x^2 - x + 3) = 6x^4 - 11x^3 + 4x^2 - 14x + 6$。
题三：多项式的因式分解已知多项式$S(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$，求其因式分解。
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
多项式的整除性和带余除法
• 整除性的几个常用性质:
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 • 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则 f(x)=cg(x)(c≠0); • 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 f(x)|h(x); • 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x) 都有 g(x)|u(x)f(x); • 5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意 多项式u(x),v(x) 都有 f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
• 补充:综合除法
设 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a 0 f ( x) ( x c)q( x) r q ( x ) bn 1 x
n 1
bn 2 x
n2
b1 x b0
比较系数, 有 a n bn 1 , a n 1 bn 2 cbn 1 , , a 0 r cb0 我们得到综合除法 c | an a n 1 cbn 1 bn 1 bn 2 an2 cbn 2 bn 3 a1 cb1 b0 a0 cb0 r
由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式 f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除 f(x)的余式为零.
EXAMPLE1 . 实数 m, p, q 满足什么条件时, 多项式 x mx 1 能 整除 x px q ?
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
2.2多项式的整除性
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出 是否有 g( x) f ( x).
多项式的除法
多项式的除法多项式的除法是初中数学中的重要内容，也是中学数学的基础知识之一。
掌握多项式的除法方法，对于解决实际问题和解题能力的提升都有着重要的作用。
本文将从多项式的定义和基本性质开始，逐步介绍多项式的除法步骤、常见技巧以及应用实例，帮助读者更好地理解和应用多项式的除法。
一、多项式的定义和基本性质多项式是由常数项、一次项、二次项等有限个单项式相加或相减得到的代数表达式。
例如，3x^2 + 2x - 1就是一个多项式，其中3x^2、2x和-1分别是它的三个单项式。
多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式的过程。
在进行多项式的除法时，需要注意以下几个基本性质：1. 除数不为零：在进行多项式的除法运算时，除数不能为零，否则运算结果将无意义。
2. 次数规则：当被除式的次数大于或等于除数的次数时，商式的次数等于被除式的次数减去除数的次数再加一。
3. 余式规则：余式的次数要小于除数的次数。
二、多项式的除法步骤多项式的除法步骤可以总结为以下几个基本步骤：1. 将除数和被除式按照降幂排列，确保每一项的次数从高到低排列。
2. 比较被除式的首项与除数的首项，将它们的系数相除得到商的首项。
3. 用商的首项乘以除数，得到一个新的多项式。
4. 将新的多项式与被除式进行相减，得到一个新的多项式。
5. 重复以上步骤，直到新的多项式的次数小于除数的次数为止。
6. 最后得到的商式就是多项式的商，剩下的多项式就是多项式的余式。
三、多项式除法的常见技巧1. 试商法：在进行多项式的除法时，可以通过试商法来确定商的首项。
试商法的基本思想是，通过猜测一个合适的商的首项，使得乘积的结果与被除式的首项相等或接近。
2. 零系数法则：当进行多项式的除法时，如果某一项的系数为零，可以直接省略该项，简化运算过程。
3. 余式为零的判断：当进行多项式的除法时，如果得到的余式为零，说明被除式可以整除除数，即两个多项式存在整除关系。
四、多项式除法的应用实例1. 求多项式的因式：通过多项式的除法，可以将一个多项式分解为若干个一次或二次的因式，从而更好地理解和运用多项式的性质。
多项式的整除性
4.3 多项式的整除性教学内容：4.3多项式的整除性教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。
理解和掌握带余除法。
授课时数：2学时教学重点：多项式整除的概念及基本性质教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明）教学过程：在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。
一、多项式整除的概念及性质1. 定义定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。
此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是)(x f 的倍式。
如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x .由定义1知：1︒0|)(],[)(x f x F x f ∈∀;特别地，0|0.2︒)(|,x f c F c ∈∀.3︒,c d F ∀∈,0≠c ，有d c |.如2|0。
4︒高次多项式不能整除低次多项式。
课堂思考题：1）能整除任何多项式的多项式是什么？2）能被任何多项式整除的多项式是什么？2. 整除的基本性质我们可以将整数的整除性质平移过来1） 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f ;2） 若)(|)(),(|)(x g x h x f x h ,则))()((|)(x g x f x h ±;3） 若)(|)(x f x h ,则对任意)(x g ,有)()(|)(x g x f x h ；4） 若)(x h |i f )(x ,()(),1,2,3,,,i c x F x i n ∀∈= 则|)(x h ∑=n i i i x f x c 1)()(； (整除倍式和)5） 对任一多项式(),()|(),|()(0,)f x cf x f x c f x c c F ≠∈;6） 若),(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则存在0,≠∈c F c ,使)()(x cg x f =.二.带余除法⒈ 实例（中学中的多项式除多项式）例2 322()26,()1f x x x x g x x x =+++=++，求()g x 除()f x 所得商式()q x 及余式()r x 。
多项式的整除运算方法
多项式的整除运算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊多项式的整除运算方法，这可真是个有趣又实用的玩意儿呢！你看啊，多项式就像是一群小伙伴，它们在一起玩耍，而整除运算呢，就像是给它们排排队，分分组。
比如说，一个多项式能不能被另一个多项式整除，就好像一群小朋友能不能被分成整齐的小组一样。
咱先来说说多项式整除的基本概念吧。
这就好比你有一堆糖果，你要看看能不能正好分成几个相同的小堆。
如果能，那就是整除啦！比如说，x²+2x 能不能被 x 整除呢？那当然能啦，就像把那些糖果正好能按一定规则分好一样。
还有啊，多项式整除也有一些小窍门呢！就像你找东西有诀窍一样。
比如，你可以通过观察系数啦，次数啦等等来判断。
这多有意思呀！再说说多项式整除的运算规则吧。
这就好像玩游戏有游戏规则一样。
咱得按照规则来，不能乱来呀！比如说，两个多项式相乘的结果要是能被另一个多项式整除，这中间可就有大学问了。
你想想，这就像搭积木，要把一块块积木搭得稳稳当当的，不能随便乱搭。
在多项式的整除运算里，我们得细心，得认真，不能马虎哟！不然可就搭不好啦。
还有一个特别重要的点，就是要多练习呀！就像你学骑自行车，不练习怎么能行呢？只有多做几道题，多尝试几次，才能真正掌握这个神奇的多项式整除运算方法呀！咱可别小看这多项式的整除运算，它在好多地方都有用呢！比如在数学研究中，在解决实际问题中，都能看到它的身影。
你说神奇不神奇？所以啊，朋友们，好好学一学多项式的整除运算吧！它会给你带来很多惊喜和收获的。
别觉得它难，只要你用心，肯定能学会。
就像那句话说的：世上无难事，只怕有心人嘛！相信自己，你一定能行的！。
高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念
![高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念](https://img.taocdn.com/s3/m/e6002d24b4daa58da0114a2b.png)
若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中，这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知， 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有 证：
f x
第二章
多项式
作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。 证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证： 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算（一）多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法∴)52()320796(2245--÷+-+-xxxxxx163323-+-=xxx……………………………余29-x．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴)52()320796(2245--÷+-+-xxxxxx163323-+-=xxx……………………………余29-x．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+xxx．因为除法只对系数进行，和x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数． 规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式的运算是一种基本的数学运算，其步骤与一般的除法类似，只不过这里的除数和被除数都是多项式。
具体步骤如下：首先，我们需要理解多项式。
多项式是包含多个项的数学表达式，每个项都由一个系数和一个变量的幂组成。
例如， 3x2+2x−5 是一个多项式，其中 3x2、2x 和−5 是它的项。
在多项式除以多项式的运算中，我们首先要确定一个除数多项式和一个被除数多项式。
例如，我们选择 3x2+2x−5 作为被除数，选择 x2−3x+2 作为除数。
接下来，进行以下步骤：1.确定可以相除的项：只有当被除数的每一项都能被除数的每一项整除时，才能进行多项式除以多项式的运算。
在这个例子中，被除数的每一项都能被除数的每一项整除。
2.计算商的系数：这是被除数每一项与除数每一相应项的系数相除的结果。
例如，(3x2)÷(x2)=3，因为 3 是 3x2 的系数， x2 是 x2 的系数。
类似地，(2x)÷(x)=2 和(5)÷(1)=5。
将这些结果相加，得到 3+2+5=10，因此，商是 10。
3.计算余数：将商乘以除数，得到结果后减去被除数，得到余数。
在这个例子中，余数是 (10(x2−3x+2))−(3x2+2x−5)=4x−13。
最后，商和余数共同构成了多项式除以多项式的结果。
在这个例子中，结果是10+(4x−13)=4x−3。
需要注意的是，多项式除以多项式的运算和普通除法有一个主要区别：在多项式除法中，余数可以是任何形式的多项式，而不一定是常数。
而在普通的除法中，余数一般是常数。
另外，要注意在进行多项式除以多项式的运算时，我们要把每一个步骤都看作一个整体，然后对它们进行整理和简化。
在上述例子中，步骤是先计算商的系数，再计算余数，最后得到结果。
这些步骤并不是独立的，而是相互关联的。
在进行每一步时，我们都要考虑到下一步的需要和上一步的结果。
例如，在计算商的系数时，我们不仅要得到正确的结果，还要考虑到这个结果会对余数的计算产生影响。
多项式的除法原理(综合除法)与练习
1 2 41 3 3 7＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x)q(x)g(x)r (＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則 (1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？ Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋[1] 試求以x – 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1餘式為0[2] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[3] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[4] 試求以x + 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 餘式為0[5] 試求以x + 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[6] 試求以x +3 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[7])4()431273234567-÷+-+x x x 的商式與餘式。
第一章 多项式
第一章 多项式§1多项式的整除一、含单位根多项式的整除问多项式12++x x 能否整除1717++x x? 若∑=++++305234)(|1i i ix x f x x x x ，则)(|1x f x i -，3,2,1,0=i设n 为非负整数，则1222)1(1++++++n n x xx x 122)1()(+++-=n n n x x x f ，证明1))(,1(2=++x f x x n设i a 为非负整数，问∑=++n i a i xx x 121的充要条件是什么？ 设m 为大于1的整数，∑-==10)(m i i x x f ，且c x f x f m +)(|)(，试求常数c 。
设∑-==10)(n i i x x g ，n n x x x g x f -+=2))(()(，则)(|)(x f x g（苏州大学2002）设,,,k m r s 都是非负整数。
设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。
证明：()f x 整除()g x 。
苏州大学（2000）设多项式)(),(),(x h x g x f 满足0)()2()()1()()1(4=-+-++x h x x g x x f x ，0)()2()()1()()1(4=+++++x h x x g x x f x证明：)(|14x g x +§2最大公因式与互素如果)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式，且)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
如果1))(),((=x g x f ，证明1))()(),()((=+x g x f x g x f（南京大学2001）设1F ,2F 是数域,且1F F ⊆,f (x),g (x)F ∈[x].(1) 证明:如果在1F [x]中有g (x)| f (x),则在F [x],也有g (x)| f (x)(2) 证明: f (x)与g (x)在F [x]中互素当且仅当f (x) 与g (x)在1F [x]中互素.(3) 证明:设f (x)是数域F 的不可约多项式,则f (x)全是单根.证明n n n x g x f x g x f ))(),(())(),((=（大连理工2005 ）设)(x f ，)(x g 是数域P 上的多项式，若33)]([)]([x g x f ，证明)()(x g x f 。
高等代数考研辅导第1讲多项式
(1)零多项式只能整除零多项式 4.说明 (2) f ( x), cf ( x)有相同的因式和倍式
例1.1: 证明：x2 +x 1| x3m +x3n 1 x3 p 2 (m, n, p N ).
(1)( x 1) | f ( x n ) x n 1| f ( x n ) 同理可证明 (2) x 2 x 1| f ( x 3 ) xf ( x 3 ) ( x 1) | f ( x), ( x 1) | f ( x). 1 2 1 2
r 标准分解式:f ( x) cp1r1 ( x) p22 ( x) psrs ( x), c是f ( x)的首项系数,p1 ( x)， ，ps ( x)是首项系数为1的
互不相同的不可约多项式,ri是正整数.
k l r 1 (1) f ( x) ap1k1 ( x) prkr ( x) prk11 ( x) pmm ( x), g ( x) bp1l1 ( x) prlr ( x) qrlr1 ( x) qnn ( x), 其中pr 1 ( x), , pm ( x)与
(1)找u ( x), v( x), 使u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1; (2)证明f ( x), g ( x)的任一公因式都是非零常数； (3)证明( f ( x), g ( x)) 1的方法： (3)反证法； (4) f ( x)的均不是g ( x)的根.
2.因式分解定理及唯一性定理:P上每个次数 1的多项式f ( x )都可以唯一 分解成P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性指 f ( x ) p1 ( x ) ps ( x ) q1 ( x ) qt ( x ), 那么s t且适当调序后有pi ( x ) ci qi ( x )(ci 0)
多项式的整除
证明：由f(x)=
1 c
(cf(x)),可得。
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F)
g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
若是 r(x)r(x)0 那么，
q(x)q(x)0
这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左 边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。 因此必有：
r(x)r(x)0
因而 q(x)q(x)0
即 r(x ) r(x )q ,(x ) q (x )
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定 义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一 个多项式。
若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x).
若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是，
（(x) (x)）=0，从而（(x)）=0，
（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
则有：f(x)=cg(x).
说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项 式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质 判定两首项系数为1的多项式是否相等。
二 带余除法定理
三 定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两 个多项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中 可以找到多项式g(x)和r(x),使
四
f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*）
多项式的综合除法
多项式的综合除法多项式的综合除法是一种用于求解多项式除法的方法。
多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
常用的多项式除法有长除法、综合除法和因式分解法。
综合除法在多项式的除法中是一种比较简便的方法，因为它直接使用多项式的系数进行计算，而不需要花费额外的时间去计算每一次的乘法。
使用综合除法时，我们需要先将两个多项式按照降幂排列，再将除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，并将其作为商的第一个系数。
然后将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式。
重复这个过程直到除式的次数比余数的次数低为止。
下面我们以一个例子来说明综合除法的具体步骤：例题：求解 f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 被 g(x) = x - 2 整除的商和余数。
步骤一：将两个多项式按照降幂排列，得到：f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5g(x) = x - 2步骤二：计算除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，得到：1/1 × x = x将其作为商的第一个系数，得到：q(x) = x步骤三：将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式，得到：x(x-2) = x^2 - 2xf(x) - x(x-2) = (x^3 - 3x^2 + x + 5) - (x^2 - 2x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5步骤四：重复步骤二和步骤三，得到：1/1 × (x^2 - 2x) = x - 2q(x) = x + 1(x^3 - 4x^2 + 3x + 5) - (x^2 - 2x)(x + 1) = -x - 5步骤五：最后余数为 -x - 5 。
因此， f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中商为 q(x) = x + 1，余数为 r(x) = -x - 5。
综合除法的优点在于它简便易行，只需要按照一定的步骤计算即可得到答案。
多项式的整除性
4）若h( x)| fi ( x),ci ( x) F ( x), i 1,2,3, , n,
n
则h( x) | ci ( x) fi ( x)； (整除倍式和) i 1
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5） f (x) F[x],c F,c 0 c | f (x);cf (x) | f (x). 6）若 f ( x) | g( x), g( x) | f ( x),,则存在c F ,c 0,
使 f ( x) cg( x). 二.带余除法
1.实例（中学中的多项式除多项式）
重复对 f1( x)的同样讨论，由于
( f ( x)) ( f1( x)) ( f2( x)) ，
而( f (x))有限，因此在进行了有限步后，必有 fk ( x) 适合 fk ( x) 0或( fk ( x)) ( g( x))。于是可得到
一串等式：
f ( x) g( x) a0b01 xnm f1( x), f1( x) g( x) a10b01 xn1m f2( x),
a b x , 1 nk1m k1,0 0
r(x)
fk ( x)
适合式（1），并且r( x) 0，或
(r( x)) (g( x))
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3）现证唯一性
设还能找到F[ x]的多项式q1( x), r1( x)，使
f ( x) g( x)q1( x) r1( x)
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但 ( g( x)(q( x) q1( x)) ( g( x))， 而显然有 (r1( x) r( x)) ( g( x))，
多项式的整除性
1.3多项式的整除性1.用()g x 除()f x ,求商式()q x 和余式()r x : (1) 322432123(),()f x x x x g x x x =-+-=-+ (2) 4322323(),()f x x x x g x x x =-+-=-+(1) 45164516()()(),(),()f x g x x q x x r x =+-=+=-(2) 221391731391732488824888()()(),(),()f x g x x x x q x x x r x x =--++=--=+2.确定,a b 的值,使223()g x x x =-+能整除43236()f x x x x ax b =-+++,得2153()()()()f x g x x x a x b =-++++-,所以53,a b =-=3.下列命题是否成立,为什么?(1)成立,否则由()(),()|()()h x f x h x f x g x +,则()|[()()]()()h x f x g x f x g x +-=导致矛盾;(2)不成立,例如11(),(),()h x x f x x g x x ==+=-,但2|x x ,即()|()()h x f x g x + (3) 不成立,例如22(),(),()h x x f x x g x x ===,但222|x x ,即()|()()h x f x g x (4)成立,由于()(),()()f x g x f x g x ∂=∂,所以(),()f x g x 只相差一个常数因子,所以()|()g x f x 成立.(),()f xg x 被()h x 除得的余式相等.()⇒设1122()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中1100()()()r x or r x h x =≤∂<∂和2200()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是1212()()()[()()][()()]f x g x h x q x q x r x r x -=-+-,由()[()()]h x f x g x -⇒ 12()()()h x r x r x -但1212[()()]m ax{(),()}()r x r x r x r x h x ∂-≤∂∂<∂,这显然不可能,除非120()()r x r x -=,即12()()r x r x =()⇐设12()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中 00()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是12()()()[()()]f x g x h x q x q x -=-()[()()]h x f x g x ⇒-5.常数,,a b c 满足什么条件时,21()g x x ax =++能整除4()f x x bx c =++?2222121()()()()f x g x x ax a b a a x c a =-+-++-++- 所以222010,b a a c a +-=+-=所以221a b c a +=+=1()()()()()g x h x f x q x p x =,2()()()f x h x p x = 所以2112()()()()()()()()()()g x h x h x p x q x p x g x q x p x p x =⇒=()()q x g x ⇒7.证明：对任意非负整数n,都有222111|()n n x x x x ++++++n 用数学归纳法: 当0n =时,结论显然成立;假设结论在一切不大于n 的非负整数成立,那么在1n +时,3232212121111()[()]()[()]n n n n n xx x xx x x x +++++++=+++++-221212111[()]()()n n n x x x x x x +++=++++++由归纳假设有222111|()n n x x x x ++++++,同时2212111|()()n x x x x x ++++++所以232311|()n n x x xx ++++++8.设k 是任意正整数,证明|()|()kx f x x f x ⇔,下面证明必要性用反证法:若|()x f x ,则10()(),f x xf x c c =+≠,那么1()[()]()kkkf x xf x c xg x c =+=+,由|()|k kx f x x c ⇒矛盾.9.证明：|()()x f x f x ⇔的常数项为011100(),n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠ 于是由于111|nn n n x a x a xa x --+++ ,1110|()n n n n x f x a x a xa x a --=++++所以111000|()()|n n n n x f x a x a x a x x a a ---+++⇒⇒= 反过来,若00a =,显然有|()x f x 10.证明：11||d n x x d n --⇔()⇐设n dq =,则1211111()()[()()]n dq d q d d q d q x x x x x x ---=-=-=-+++11|dnx x ⇒--()⇒若|d n ,设0,n dq r r d =+<<,于是 11111()()ndq rdqr r r r dqrx xxx x x x xx +-=-=-+-=-+-由于111111|,|[()]|d n d r d q d r x x x x x x x ----⇒--,但0r d <<,这显然不可能.所以,必然有0r =,即|d n .。
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浅谈多项式的整除问题摘要:研究多项式以及多项式的整除理论，并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法关键词:多项式；整除；整除理论；判别方法Discusses the multinomial shallowly the aliquot questionAbstract:Research multinomial as well as many item of aliquot theory,and using these theories,inquisition multinomial aliquot distinction method Key words:Multinomial;Aliquot;Aliquot theory;Distinguished method本文引入和研究多项式的整出问题，研究的主要内容有：研究多项式以及多项式的整除理论[1]；并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法.1.利用单位根及因式定理此方法的关键是熟练掌握因式定理[2]和单位根的性质.例1 证明2331321m n p x x x x x ++++|++（.证明 可求得210x x ++=的根为112-+ω=，212-ω=，所以 2121()()x x x x ++=-ω-ω又因321(1)(1)0i i i i ω-=ω-ω+ω+= (1,2)i =，知31i ω=,从而333m n p i i i ω=ω=ω设33132()m n p f x x x x ++=++则有331322()10,(1,2)m n p i i i i i i f i ++ω=ω+ω+ω=+ω+ω== 故由因式定理知12()()()x x f x -ω-ω|，即21()x x f x ++|.2.利用熟知的乘法公式此方法的关键是在于熟练的掌握乘法公式，（例如：(1)(2)1()1(1)(1)n m s m m s m s m x x x x x x ---=-=-++++[3] 等）理解公式包涵的整除意义，再去解题.例2 证明1d x -整除1n x -当且仅当d 整除n .证明 充分性 设d n |，假定n dt =，则有(1)(2)1()1(1)(1)n d t d d t d t d x x x x x x ---=-=-++++从而有11d n x x -|-必要性 已知11d n x x -|-，假定n dt r =+，0r d ≤<，则111(1)(1)n dt r dt r r r dt r r x x x x x x x x x +-=-=⋅-+-=-+-有充分性的证明之11d dt x x -|-，从而有11d n x x -|-得11d r x x -|-.因为0r d ≤<，所以必有10r x -=，即0r =，故得d n |.3.利用整除的判别定理利用这种方法解题的关键是把整除转化为带余除法中所得余式为零. 对于多项式()()[],f x g x F x ∈，且()0g x ≠，则()()g x f x |的充要条件是()g x 除()f x 的余式()0r x =.[4]例3 确定m ，p 的值，使324222x x x mx px ++∣+-+.232x x ++ 422x mx px +-+ 3(7)()x x m q x -++= 43232x x x ++323(2)2x m x px -+--+32396x x x ---2(7)(6)2m x p x +--+2(7)3(7)2(7)m x m x m +++++()(315)(212)r x m p x m = -++-+令()0r x = 可得：(315)0m p -++=，2(6)0m -+=解得：6m =-，3p =4.利用不可约多项式的性质利用这种方法求解问题的关键是熟知不可约多项式的性质.例4 证明：次数>0且首项系数为1的多项式()f x 是一个不可约多项式的方幂的充要条件为：对任意的多项式()g x 必有((),())1f x g x =，或者对某一正整数m ，()()m f x g x |.证明 必要性设()()m f x p x =，其中()p x 是不可约多项式，则对于任意多项式()g x ，有((),())1p x g x =或()()p x g x |.当((),())1p x g x =时，有((),())1f x g x =；而当()()p x g x |时，有()()m m p x g x |，即()()m f x g x |.充分性 设()()()k f x p x q x =，其中k ≥1，()p x 不可约，且()p x 不是()q x 的因式，(())0q x ∂>.取()()g x q x =，则((),())()1f x q x q x =≠；且对于任意正整数m ，()f x 不能整除()m q x ，这是因为，若()()m f x q x |，则由()()p x f x |得()()m p x q x |，又由()p x 不可约得()()p x q x |，与假设矛盾.故()f x 必为一不可约多项式的方幂.5.利用待定系数法此方法关键是利用两边多项式的各系数相等来求解.例5求出4322342x x x x +++-除以21x x -+的商式和余式并把结果写成一个整式与分式的和的形式.解 设4322342x x x x +++-除以21x x -+的商式为2ax bx c ++，余式为a xb ''+，则 4322223422(1)()x x x x x x x ax bxc a x b ''+++-/-=-+++++=432()()()ax b a x a b c x b c a x b c '+-+-++-+'++∴ 2a =，3b a -=，4a b c -+=，1b c a '-+=，2b c '+=-。
解得 2a =，5b =，7c =，3a '=，9b '=-即所求商式为2257x x ++，余式为39x -.6.利用最大公因式的性质利用这种方法求解问题的关键是深刻理解最大公因式的概念及性质. 例6 设1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =。
证明：若((),())()f x g x d x =，且()f x 和()g x 不全为零，则11((),())1f x g x =；反之，若11((),())1f x g x =，则()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式.证明 因为((),())()f x g x d x =，故存在()u x ，()v x ，使得()()()()()f x u x g x v x d x +=即11()()()()()()()d x f x u x d x g x v x d x +=由于()f x ，()g x 不全为零，故()0d x ≠，两边消去()d x 得：11()()()()1f x u x g x v x +=即11((),())1f x g x =反之，1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =,知()d x 是()f x ，()g x 的公因式，因11((),())1f x g x =，故存在()u x ，()v x 使11()()()()1f x u x g x v x +=两边乘以()d x 得()()()()()f x u x g x v x d x +=若()h x 是()f x ，()g x 的任一公因式，则有()()h x d x |，从而()d x 是()f x ，()g x 的一个最大公因式7.利用互素的性质此方法关键在于熟练的掌握互素多项式的性质，并灵活应用.例7 证明22()()g x f x |的充要条件是()()g x f x |.证明 充分性显然,现证 必要性.若22()()g x f x |，()()0f x g x ==，那么()()g x f x |.如果()f x ，()g x 不全为零，令((),())()f x g x d x =，则1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =，且11((),())1f x g x =.那么2221()()()f x d x f x =，2221()()()g x d x g x =，故由22()()g x f x |，可得2211()()g x f x |，故211()()g x f x |，又11((),())1f x g x =，根据互素多项式的性质知，11()()g x f x |，从而1()g x c =（常数）.于是()()g x cd x =，()()g x f x |8.利用余数定理此方法关键在于熟知余数定理[5]的概念且灵活应用.例8 证明如果(1)()n x f x -|，那么(1)()n n x f x -|.证明 因为(1)()n x f x -|，所以1是()n f x 的根，于是(1)(1)0n f f ==，(1)()x f x -|故存在多项式()g x ，使得：()(1)()f x x g x =-，从而有()(1)()n n n f x x g x =-，此即(1)()n n x f x -|.9.利用矩阵判别法此方法关键在于求出多项式系数所构成的行列式的秩相等.定理：多项式()g x 整除()f x 的充要条件是秩()B =秩()1g m n B =-+.[6] 例9 设3()f x x px q =++,2()1g x x mx =+-,求m ,p ,q 满足什么条件时()g x 整除()f x .解 令(01)f q p A =，110011g m m -⎛⎫B = ⎪-⎝⎭ 11001101m m q p -⎛⎫ ⎪B =- ⎪ ⎪⎝⎭对B 作初等列变换3221312442()()10001000100001101101001111C m C C m C C C C C C C m m q p mq q q p p mq q q m p mq +-++/+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪B =−−−−→- −−−→ -−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据定理有()g x 整除()f x ,Z 秩(B)=秩(B )1g m n =-+0321210q m Z p mq -=⎧=-+=⎨++=⎩, 解得 当q m =，21p m =--时，()g x 整除()f x .以上是我总结的多项式整除的九种判别方法.但这些方法都是建立在多项式整除的基本性质上，故我们必须熟练的掌握这些基本性质，才能灵活运用这些方法来处理多项式的整除问题.参考文献[1] 徐利治.现代数学手则·经典数学卷[M].武汉:华中科技大学出版社,2000:120-124[2] 张禾瑞,郝鈵新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社(第5版),2007:31-55[3] 赵云.高等代数思想方法和疑难解析[M].兰州:甘肃民族出版社(第1版),2008:4[4] 张禾瑞,郝鈵新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社(第3版),1983:33[5] 王萼芳,丘维生.高等代数讲义[M].北京:北京大学出版社,1984:22[6] 陈惠汝.多项式整除的矩阵判别法[J].河池学院学报,2005,4(02)。