2.6麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组推导过程麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程组，由麦克斯韦提出，描述了电磁场的运动规律。
下面我们通过推导的过程来了解麦克斯韦方程组的由来和含义。
我们从麦克斯韦方程的第一个方程开始推导。
这个方程是高斯定律，描述了电场与电荷之间的关系。
根据高斯定律，电场通过一个闭合曲面的通量与这个曲面内的电荷量成正比，且与曲面的形状无关。
这个方程可以表示为：∮E·dA = 1/ε₀ ∫ρdV其中，∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，ε₀为真空中的电介质常数，ρ为曲面内的电荷密度。
接下来，我们推导麦克斯韦方程的第二个方程。
这个方程是法拉第电磁感应定律，描述了磁场变化时引起的感应电场。
根据法拉第定律，磁场的变化率与感应电场的环路积分成正比。
这个方程可以表示为：∮E·dl = -dφB/dt其中，∮E·dl表示感应电场E沿闭合回路的环路积分，dφB/dt表示磁场B的变化率。
接下来，我们推导麦克斯韦方程的第三个方程。
这个方程是安培环路定律，描述了电流与磁场之间的关系。
根据安培环路定律，沿闭合回路的磁场的环路积分等于通过回路的电流与真空中的电介质常数的乘积。
这个方程可以表示为：∮B·dl = μ₀I + μ₀ε₀dφE/dt其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，μ₀为真空中的磁导率，I为通过回路的电流，dφE/dt表示电场E的变化率。
我们推导麦克斯韦方程的第四个方程。
这个方程是电磁场的无源性方程，描述了电场和磁场的耦合关系。
根据电磁场的无源性，闭合回路上的电场的环路积分和磁场的环路积分之和为零。
这个方程可以表示为：∮B·dl = 0其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分。
通过以上的推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组，它们是描述电磁场的基本方程。
这四个方程分别描述了电场与电荷的关系、磁场与电流的关系、电场与磁场的耦合关系，以及磁场的无源性。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。
它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。
更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。
许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。
这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。
这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。
若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。
用五分钟了解一下“麦克斯韦方程组”，这个世上最伟大的公式
用五分钟了解一下“麦克斯韦方程组”，这个世上最伟大的公式英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式里，有著名的E=mc2、复杂的傅立叶变换、简洁的欧拉公式……但“麦克斯韦方程组”排名第一，成为“世上最伟大的公式”。
小编将带领大家一起来欣赏这个方程组的背后的故事和含义。
万有引力般的超距作用力很久以前，人类就对静电和静磁现象有所发现，但在漫长历史岁月里，两者井水不犯河水。
由于摩擦起电，在古希腊及地中海区域的古老文化里，早有文字记载，将琥珀棒与猫毛摩擦后，会吸引羽毛一类的物质，“电”的英文语源更是来自于希腊文“琥珀”一词。
发现电与磁之间有着某些相似规律，则要追溯到物理学家库仑的小小野心。
1785年，库仑精心设计了一个扭秤实验，如图所示，在细银丝下悬挂一根秤杆，秤杆挂有一个平衡小球B和一个带电小球A，在A旁还有一个和它一样大小的带电小球C。
A球和C球之间的静电力会使得悬丝扭转，转动悬丝上端的悬钮，进而使小球回到原来位置。
在这个过程中，可通过记录扭转角度、秤杆长度的变化，计算得知带电体A、C之间的静电力大小。
库仑扭秤实验库仑扭秤实验实验结果正如库仑所料，静电力与电荷电量成正比，与距离的平方反比关系。
这一规律后来被总结为“库仑定律”。
随后，库仑对磁极进行了类似的实验，再次证明：同样的定律也适用于磁极之间的相互作用。
这就是经典磁学理论。
库仑发现了磁力和电力一样遵守平方反比律，却并没有进一步推测两者的内在联系。
和当时大多数数学物理学家一样，他相信物理中的“能量、热、电、光、磁”甚至化学中所有的力都可描述成像万有引力般的超距作用力，而力的强度取决于距离。
只要再努力找到几条力学定律，那整个物理理论就能完整了！库仑这种天真的想法很快就被迅速打脸，万有引力般的超距作用显然没有那么强大，但是库仑定律的提出还是为整个电磁学奠定了基础。
终成眷属的电与磁最先发现电和磁之间联系的，是丹麦物理学家奥斯特。
麦克斯韦方程组的理解
麦克斯韦方程组的理解
麦克斯韦方程组是描述电磁现象的方程组，由19世纪苏格兰物理
学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1864年提出，对于理解电磁现象和
应用电磁技术具有重要的意义。
麦克斯韦方程组由四个方程式组成，分别是电场高斯定理、磁场
高斯定理、法拉第定律和安培环路定理。
这四个方程式描述了电荷与
电磁场之间的相互作用。
其中，电场高斯定理描述了电场线从正电荷
流向负电荷，其数目等于电荷的量；磁场高斯定理则描述了磁场的起
源和磁通量的守恒规律；法拉第定律则描述了电场线和磁场线的产生
关系；而安培环路定理则表明了电磁场的感应和电流的守恒。
麦克斯韦方程组对于解决电磁波的传播、电磁感应现象、电磁场
的波动等问题有着深刻的影响。
它的应用广泛，包括无线通信、光学、电动机、变压器等领域。
例如，电磁波的传播和调制是无线通信的基础；电磁感应的原理则是发电机和变压器等设备的基础；而电动机则
是利用电磁场的力产生动力的基础。
麦克斯韦方程组的提出，不仅推动了物理学的发展，也为电磁技
术的应用提供了理论基础。
它提供了一种深刻的理解电磁现象和应用
电磁技术的视角，对于我们认识和应用电磁现象的过程有着举足轻重
的意义。
麦克斯韦方程组及意义
麦克斯韦方程组及意义麦克斯韦方程组及其意义麦克斯韦方程组是电磁学的基础，描述了电磁场的产生、传播和相互作用的规律。
它由詹姆斯·麦克斯韦在19世纪提出，将电场和磁场统一起来，奠定了电磁理论的基础。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是高斯定律、法拉第定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。
这些方程不仅描述了电磁场的行为，还揭示了电磁波的存在和性质，对于现代科技的发展有着重要的意义。
麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述了电场通过一个闭合曲面的总电通量与该闭合曲面内的电荷量之间的关系。
这个定律说明了电荷是电场的源，电场线从正电荷流向负电荷，形成了电场的分布。
高斯定律的意义在于揭示了电荷与电场的密切关系，为理解电荷与电场的相互作用提供了基础。
麦克斯韦方程组的第二个方程是法拉第定律，它描述了磁场的变化率与通过一个闭合回路的电流之间的关系。
法拉第定律说明了电流是磁场的源，磁场线围绕电流形成环状分布。
这个定律的意义在于揭示了电流与磁场的相互作用，为理解电流与磁场的相互转换提供了依据。
麦克斯韦方程组的第三个方程是安培定律，它描述了电场的闭合回路积分与通过该闭合回路的电流之间的关系。
安培定律说明了电流产生的磁场的环状分布，磁场线围绕电流形成环状分布。
这个定律的意义在于揭示了电流与磁场的相互作用，为理解电流与磁场的相互转换提供了依据。
麦克斯韦方程组的第四个方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场的闭合回路积分与通过该闭合回路的变化磁通量之间的关系。
法拉第电磁感应定律说明了磁场的变化可以产生电流，电磁感应的现象是电磁场相互作用的结果。
这个定律的意义在于揭示了电磁场的相互作用，为理解电磁感应的原理提供了依据。
麦克斯韦方程组的意义在于揭示了电磁场的行为规律，将电场和磁场统一起来，为电磁学的发展奠定了基础。
它不仅解释了电磁场的起源和性质，还揭示了电磁波的存在和传播。
电磁波是一种由电场和磁场相互耦合所形成的波动现象，包括无线电波、微波、可见光、红外线、紫外线、X射线和γ射线等。
麦克斯韦关系式的推导
麦克斯韦关系式的推导1. 引言麦克斯韦关系式是电磁学中的一个重要公式，描述了电场、磁场和电流之间的相互关系。
它由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出，并成为了电磁学理论的基础之一。
本文将对麦克斯韦关系式进行推导，以便更好地理解其物理意义和应用。
我们将从基本的电场和磁场定律出发，逐步推导得到麦克斯韦关系式。
2. 推导过程2.1 安培定律安培定律是描述电流与磁场之间关系的基本定律。
根据安培定律，通过一个闭合回路的磁场积分等于该回路所包围的电流乘以真空中的磁导率μ₀。
数学表达为：∮B⃗ ⋅dl=μ0I其中，∮表示对闭合回路上路径积分，B⃗ 表示磁场强度，dl表示微元路径长度，μ0表示真空中的磁导率，I表示通过闭合回路的电流。
2.2 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是描述磁场变化引起感应电动势的定律。
根据法拉第电磁感应定律，一个闭合回路中的感应电动势等于该回路所包围的磁通量变化率的负值。
数学表达为：ε=−dΦdt其中，ε表示感应电动势，Φ表示磁通量，t表示时间。
2.3 麦克斯韦-安培定律麦克斯韦-安培定律是描述电场和磁场之间关系的基本定律。
根据麦克斯韦-安培定律，一个闭合回路中的电场积分与该回路所包围的时间变化率的负值成正比。
数学表达为：∮E⃗⋅dl=−dΦdt其中，E⃗表示电场强度。
2.4 法拉第旋度定理法拉第旋度定理是描述旋度与闭合环路上的环流之间关系的定理。
根据法拉第旋度定理，一个闭合回路上的环流等于该回路所包围的磁场旋度积分。
数学表达为：∮B⃗ ⋅dA=μ0I enc其中，B⃗ 表示磁场强度，dA表示微元面积矢量，I enc表示通过被闭合曲面所包围的电流。
2.5 麦克斯韦方程组将安培定律和法拉第旋度定理结合起来，可以得到麦克斯韦方程组：∇×E⃗=−∂B⃗ ∂t∇×B⃗ =μ0J+μ0ε0∂E⃗∂t其中，∇表示梯度算子，×表示向量叉乘，J表示电流密度，ε0表示真空中的介电常数。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
麦克斯韦电磁场理论的基本思想是：相对时间变化的磁 场会激发感生电场，而相对时间变化的电场会激发磁场.根据 这一思想，如果在空间某一区域内有变化的电场(如电荷做加 速运动)，那么在邻近区域内就会产生变化的磁场.这个变化的 磁场又会在较远处产生变化的感生电场.这样产生出来的电场 也是随着时间变化的，它必然要产生新的磁场.这样，在充满 变化的电场空间，同时也充满变化的磁场，两者相互联系、 相互转化.电场和磁场的统一体称为电磁场.前面讨论的静电场 和稳恒磁场都只不过是电磁场的两种特殊表现形式.
麦克斯韦方程组
这样，无论选择S1或S2作为以L为边界的曲面来计算H 的环流都得到相同的确定值，不会出现图10-26所示的矛盾 结果了.
对于任何电路，全电流永远是连续的.对图10-26中由S1 和S2组成的封闭曲面S来说，传导电流I流入S1而等量的位移 电流Id流出S2，所以
（10-24） 式（10- 24）就是全电流连续性方程.
激发磁场，位移电流也激发磁场.虽然两种电流的性质不同，但激发磁
场的性质却完全相同.
引入全电流定律，上述非稳恒电路中的矛盾就得到了解决.穿过图
10-26中以L为边界的曲面S1和S2的电流都应为全电流.在S1处位移电流 几乎为零，只剩下传导电流；而在S2处不存在传导电流，只有位移电 =I全=I
麦克斯韦方程组
图10- 27 电容器充、放电电路
麦克斯韦方程组
由此可见，导线中的传导电流I虽然在电容器极 板间中断了，可以替换它，可以等价地替换传导电 流密度j.若将电流的概念扩大，那么就解决了图1026所示电路中电流的连续性问题.
麦克斯韦提出，就电流的磁效应而言，变化的 电场也应该是一种电流.这种电流密度与电位移矢量 相联系，所以称为位移电流.
麦克斯韦方程组
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数，在求解时，不必 再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面采用复数形式的电磁场定律 是较为方便的。 注记 采用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同 的常数会出现在方程内部不同位置。 国际单位制是最常使用的单位制，整个工程学领域都采用这种单位制，大多数化学家也都使 用这种单位制，大学物理教科书几乎都采用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、 洛伦兹-赫维赛德单位制（Lorentz-Heavisideunits）和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生 的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程看起来更简单、更易懂。洛伦兹-赫维 赛德单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学；普朗克单位制是一种自然单位 制，其单位都是根据自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非 常有用的工具，能够给出很大的启示。在本页里，除非特别说明，所有方程都采用国际单位 制。 这里展示出麦克斯韦方程组的两种等价表述。第一种表述如下：
注意： (1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程组有同样的形式。 (2)应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在均匀各向同 性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：
在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用 t=0时场量的初值条件， 原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即 E(x,y,z,t)和 B(x,y,z,t)。
1855年至 1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的 基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 方程组成 麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的：[1] 高斯定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。 计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。 更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。 高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初 始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场 线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个 无源场。 法拉第感应定律：该定律描述时变磁场怎样感应出电场。电磁感应是制造许多发电机的理论 基础。例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭 合电路因而感应出电流。 麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠传导电流（原本的 安培定律），另一种是靠时变电场，或称位移电流（麦克斯韦修正项）。 在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着时变电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，时变 磁场又可以生成电场。这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间。 麦克斯韦电磁场理论的要点可以归结为： ①几分立的带电体或电流，它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传 递的，不论中间区域是真空还是实体物质。 ②电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中，其大部分分布在周围的电磁场中。 ③导体构成的电路若有中断处，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通，即全 电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同。 ④磁通量既无始点又无终点，即不存在磁荷。 ⑤光波也是电磁波。 麦克斯韦方程组有两种表达方式。 1.积分形式的麦克斯韦方程组是描述电磁场在某一体积或某一面积内的数学模型。表达式 为：
深入浅出讲解麦克斯韦方程组
深入浅出讲解麦克斯韦方程组前一段时间给大家发过一篇《世界上最伟大的十个公式》，排在第一位的是麦克斯韦方程，它是电磁学理论的基础，也是相对论假定光速不变的依据，可见排在十大公式之首，理所应当！为了让大家更好地理解该方程，我们找到了一篇由孙研发表在知乎上的关于麦克斯韦方程的非常完美的讲解，呈现个大家。
在文章的最后，我们还为大家附上了一段讲解麦克斯韦方程的英文动画视频，如果你英文比较好，不妨看一下。
以下是正文：有人要求不讲微积分来讲解一下麦克斯韦方程组？感觉到基本不太可能啊，你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。
1. 力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。
比如牛顿力学的核心就是F=m a 这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。
但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。
很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。
能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。
分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。
在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。
我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B) 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。
那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。
也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。
具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。
lecture4 (麦克斯韦方程组2)
由高斯定理：
20
两带电极性相反的带电面的电场（叠加原理）
由叠加原理，两面板外电场为 零，板内电场加倍
21
均匀带电球的电场-1（积分高斯定理）
电荷体密度 由于对称性，电场只在射线方向存在分量 球坐标！当0<r<a时
1. 画一个半径为r球形状的高斯面
2. 流出面的电通量为： 3. 高斯面包围的电荷：
8
引子： 引子：静态电磁场简介
9
静电场和恒定磁场
假设我们将研究对象设定在与时间无关的情况下 那么， 我们将得到电场和磁场的两组互相间独立、 那么 ， 我们将得到电场和磁场的两组互相间独立 、 不 存在耦合关系的方程
电场仅有电荷 电荷产生 1. 电场仅有电荷产生 静电场问题： 2. 静电场问题： 电荷分布与电场
思考：在球内挖掉半径r<a的球 1、同球心 2、两球心不在一个点上
24
均匀带电球的电场-4（微分高斯定理）
高斯定理的微分形式：
两边各乘 r 2 ，并且0到r 积分
两边各乘 r 2 ，并且a到r 积分
25
电偶极子的电场（叠加原理）
考虑两个带电量相等但 极性相反的点电荷： 坐标原点为两点电荷连 线的中心： 运用球坐标
17
环电荷（叠加原理）
问：沿z轴点P的电场矢量值？ 另：点p 在x和y轴方向上的电场矢量值？ 由于对称性（=零） 答案：沿z轴线元 对点P的贡献之代数和
当
时，该电场就表现为电量为
的单点电荷：
18
线电荷（叠加原理）
问：沿z轴点P的电场矢量值？ 另：点p 在x和y轴方向上的电场矢量值 由于对称性（=零） ？ 答案：沿z轴线元 dz对点P的贡献之代数和
r ∇⋅ B = 0
麦克斯韦方程组公式及其物理意义
麦克斯韦方程组公式及其物理意义麦克斯韦方程组，这可是物理学中的大宝贝！咱们先来瞧瞧这几个公式到底长啥样。
麦克斯韦方程组包含四个方程，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培-麦克斯韦定律。
高斯定律说的是，电场的散度等于电荷密度除以介电常数。
这就好比在一个大房间里，电荷就像一群调皮的小孩子，如果孩子多了，电场向外扩散的趋势就会更强烈。
高斯磁定律呢，它表明磁场的散度总是零。
想象一下，磁场就像是一条首尾相接的绳子，没有开头也没有结尾，不会有地方突然“冒出来”或者“消失不见”。
法拉第电磁感应定律讲的是，变化的磁场会产生电场。
这就好像你在骑自行车，车轮快速转动的时候，会带动链条让后面的小齿轮也跟着转起来。
磁场的变化就像是转动的车轮，带动了电场这个“小齿轮”。
安培-麦克斯韦定律说，电流和变化的电场都会产生磁场。
这好比是一条热闹的街道，来来往往的车辆（电流）和人群的流动（变化的电场）都会让周围的气氛（磁场）发生变化。
我还记得有一次，在给学生们讲解麦克斯韦方程组的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这玩意儿到底有啥用啊？”我笑了笑，从兜里掏出一块磁铁和一根导线，当场做起了实验。
当我快速移动磁铁的时候，导线里居然产生了电流！小家伙们都惊呆了，我告诉他们，这就是麦克斯韦方程组在起作用。
麦克斯韦方程组的物理意义那可真是太重要啦！它把电学和磁学统一了起来，让我们知道电和磁并不是孤立的现象，而是相互关联、相互影响的。
这就像是找到了一把神奇的钥匙，打开了电磁世界的大门。
在现代生活中，麦克斯韦方程组的应用无处不在。
从我们每天用的手机、电脑，到卫星通信、电力传输，都离不开它的功劳。
没有麦克斯韦方程组，我们可能还生活在一个通信不畅、电力匮乏的世界里呢。
而且，麦克斯韦方程组不仅仅是一些公式，它更是一种思维方式，教会我们如何去理解和探索自然界中复杂的电磁现象。
它让我们明白，看似毫无关联的事物之间，可能隐藏着深刻的内在联系。
麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较
麦克斯韦方程组的几种推导方法及其比较摘要：介绍麦克斯韦方程组的几种推导方法。
从经典、能量守恒、拉格朗日方程的方面推导得出现有的麦克思维方程组，从侧面说明了麦克斯韦的普遍适用性和有其他一些普遍存在的定理定律的等价性。
通过分析三种方法的优缺点，从而加深对麦克斯韦方程组的物理意义的理解，培养科学求真的探索精神。
关键词：拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律目录引言： (4)1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 (4)1.1 第一方程式的推导 (4)1.2第二方程式的推导 (5)1.3第三方程式的推导 (6)1.4第四方程式的推导 (7)2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 (8)3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。
(10)4_三种方法的比较 (14)4.1经典方法的优势 (14)4.2能量方法推导的优缺点 (14)4.3拉格朗日方程推导的特点 (15)结束语： (15)参考文献： (15)引言：麦克斯韦方程组是电磁理论的基本方程，在电磁学中有很重要的地位，在与很多工业领域有很多应用。
关于它的推导建立，有我们熟知的经典方法，还有后来的根据拉格朗日方程等分析力学方法推导，以及由能量守恒的方法推导等诸多方法。
下面我们来一一推导证明1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 1.1 第一方程式的推导 电荷的库仑定律：F =0ε41πr r q q 3'此电荷的场强为：E =0ε41πr rq 3对电荷的场强沿着球面求面积分，得到：⎰SdS E =∑0εi Q =⎰V1dV ρε电场强度通过面元d S的通量为：dS E •=Ecos θds=204rQ πεcos θds 。
θ是d S与E 的夹角，cos θds/2r 位球面的立体角元。
所以包裹电荷的闭合曲面和球面的积分是相同的。
由于对电荷的场强求面积分只与包裹着的电荷有关系，所以积分的面没有关系。
又因为电荷的体密度的定义：ρ=V q根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度的体积分：⎰•∇VdV E=ρV/0ε得到：0/ερ=•∇E等效都是在真空下的方程式，如果在介质下的束缚电荷密度p ρ，那么：E•∇=（ρ+p ρ）/0ε。
麦克斯韦方程组微分
麦克斯韦方程组微分麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程，描述了电磁场在空间中的行为。
它由4个方程组成，包括4个基本的电磁学定律，即电场高斯定律、磁场高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这些方程可以通过微分形式表示，用于描述电磁场的空间和时间变化。
电场高斯定律是麦克斯韦方程组的第一个方程，它表示了电场的散度与电荷密度之间的关系。
微分形式可以表示为：∇·E=ρ/ε₀其中∇·E表示电场E的散度，ρ表示电荷密度，ε₀为真空中的介电常数。
该方程表明电场是由电荷密度产生的，并且电场的散度与电荷密度之间存在线性关系。
磁场高斯定律是麦克斯韦方程组的第二个方程，它表示了磁场的散度为零。
微分形式可以表示为：∇·B=0其中∇·B表示磁场B的散度。
该方程表明磁场没有单极子，磁场线是闭合的。
法拉第电磁感应定律是麦克斯韦方程组的第三个方程，它表示了磁感应强度B的旋度与电场E的变化率之间的关系。
微分形式可以表示为：∇×E=-∂B/∂t其中∇×E表示电场E的旋度，∂B/∂t表示磁感应强度B随时间的变化率。
该方程表明变化的磁场可以引起电场的旋度。
安培环路定理是麦克斯韦方程组的最后一个方程，它表示了磁场强度H的旋度与电流密度J以及电场E的变化率之间的关系。
微分形式可以表示为：∇×H=J+∂D/∂t其中∇×H表示磁场强度H的旋度，J表示电流密度，∂D/∂t表示电位移矢量D随时间的变化率。
该方程表明变化的电场或电流可以引起磁场的旋度。
通过这4个微分方程，我们可以描述电场和磁场在空间和时间中的变化规律。
这些方程不仅是电磁学的基础，也是许多应用领域的基础，包括电磁波传播、电磁场分析和电磁场辐射等。
需要注意的是，这些微分方程通常是在连续介质中成立的，而真空中的情况可以看作是连续介质的特例。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的边界条件和初始条件来求解这些微分方程，以获得电磁场的具体解析表达式或数值解。
麦克斯韦方程组四个方程
麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是描述电磁场（包括静电场、静磁场以及电磁波）律动基本规律的四个基本方程。
这四个方程分别是高斯电场定理、高斯磁场定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
在积分形式下，麦克斯韦方程组如下：1. 高斯电场定理：∮ E • dA = Q / ε₀表示：电场 E 与穿过某一闭合曲面 A 的总电荷量 Q 的关系，ε₀是真空中的电介质常数。
1. 高斯磁场定理：∮ B • dA = 0 表示：穿过任意闭合曲面 A 的磁通量总和为零，即没有磁单极子的存在。
1. 法拉第电磁感应定律：∮ E • dl = -dΦB/dt 表示：电场 E 沿闭合路径 L 的线积分等于负的磁通量ΦB 的时间变化率。
1. 安培环路定律（含位移电流项）：∮ B • dl = μ₀(I + ε₀\*dΦE/dt) 表示：磁场 B 沿闭合路径 L 的线积分等于真空磁导率μ₀(经过曲面 A 的总电流 I 加上位移电流项)。
在微分形式下，麦克斯韦方程组如下：1. 高斯电场定理：∇ • E = ρ / ε₀表示：电场 E 的散度（divergence）与电荷密度ρ的关系。
1. 高斯磁场定理：∇ • B = 0 表示：磁场 B 的散度总是为零，即不存在磁单极子。
1. 法拉第电磁感应定律：∇ × E = -∂B / ∂t 表示：电场 E 的旋度（curl）与磁场 B 随时间变化的关系。
1. 安培环路定律（含位移电流项）：∇ × B = μ₀ (J + ε₀∂E / ∂t) 表示：磁场 B 的旋度与电流密度 J 及位移电流项的关系。
这四个方程构成了电磁学的基础，几乎包含了所有电磁现象的信息。
麦克斯韦方程组五个公式和含义
麦克斯韦方程组及其含义麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程组，它描述了电磁场的运动规律和电磁辐射现象。
麦克斯韦方程组包含了五个基本公式，分别是麦克斯韦方程的四个方程和库仑定律。
1. 麦克斯韦方程的四个方程1.1. 麦克斯韦第一定律（电荷守恒定律）[ = ]麦克斯韦第一定律描述了电场()的散度和电荷密度()之间的关系。
它表明，电场的散度等于单位体积内的电荷密度与真空介电常数(_0)的比值。
1.2. 麦克斯韦第二定律（电磁感应定律）[ = 0]麦克斯韦第二定律说明了磁感应强度()的散度为零。
这意味着在没有磁荷存在的情况下，磁感应线不会产生起始或终止于某个点的情况。
1.3. 麦克斯韦第三定律（安培定律）[ = -]麦克斯韦第三定律指出了电场()的旋度与磁感应强度的时间导数之间的关系。
它表明，电场的旋度等于磁场随时间变化的负导数。
1.4. 麦克斯韦第四定律（法拉第电磁感应定律）[ = _0 + _0_0 ]麦克斯韦第四定律描述了磁感应强度()的旋度和电流密度()以及电场的时间导数之间的关系。
它表示，磁感应强度的旋度等于电流密度和电场随时间变化的贡献之和。
2. 库仑定律库仑定律描述了电荷之间的相互作用，是电磁学的基本定律之一。
[F = ]其中，(F)表示电荷之间的力，(q_1)和(q_2)分别表示两个电荷的电荷量，(r)表示两个电荷之间的距离，(_0)为真空介电常数。
库仑定律表明两个电荷之间的力与它们的电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个定律是电磁场力学的基础，它解释了电磁相互作用现象。
总结麦克斯韦方程组是电磁学中非常重要的方程组，它描述了电磁场的运动规律和电磁辐射现象。
其中麦克斯韦方程的四个方程描述了电场和磁场的分布和变化规律，库仑定律则描述了电荷之间的相互作用。
通过这些方程，我们可以深入理解电磁场的本质以及电磁现象的产生和变化过程。
关于麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组▽-----乐天10518关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。
麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。
它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。
麦克斯韦方程组Maxwell's equations麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。
方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。
该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。
麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。
麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的电磁场理论体系。
这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。
以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。
它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。
另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。
[编辑本段]历史背景1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。
场概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。
1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、安培—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。
电荷电流电场磁场运动
S b 2 π ez z e E (r ) d d 2 2 3/2 4π 0 a 0 ( z )
对库仑定律的进一步讨论 大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上
多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即
qi F Fi Ri , Ri r ri 3 4 0 i Ri i q
连续分布电荷系统的静电力必须进行矢量积分
只给出了作用力的大小和方向，没有说明传递方式或途径
Js lim hJ 0
线电流密度
h 0 J
当电流沿一横截面可以忽略的曲线流动，电流被称为线电流。 长度元dl上的电流Idl称为电流元。
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）
电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。
0 t
J 0、 J dS 0
S
例1 1： ： 例 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电 荷，球体以均匀角速度 绕一直径旋转。
求：球内的电流密度
J
。
z
i v s.h s.vt J v s s.t s.t s.t
x
解： 建立球面坐标系。 解： 建立球面坐标系。
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：
i lim ( q t ) dq dt
t 0
单位: A （安） 电流方向: 正电荷的流动方向
形成电流的条件： • 存在可以自由移动的电荷 • 存在电场 说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
• 电场力服从叠加定理 真空中的N个点电荷 q1、q2、 、qN （分别位于 r1、r2、 、rN ） 对点电荷 q （位于 r）的作用力为
麦克斯韦方程组(彩图完美解释版)
麦克斯韦方程组关于热力学的方程,详见“麦克斯韦关系式”.麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描写电磁场的根本方程组.它含有四个方程,不但分别描写了电场和磁场的行动,也描写了它们之间的关系.麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描写电场与磁场的四个根本方程.在麦克斯韦方程组中,电场和磁场已经成为一个不成朋分的整体.该方程组体系而完全地归纳分解了电磁场的根本纪律,并预言了电磁波的消失.麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的焦点思惟是：变更的磁场可以激发涡旋电场,变更的电场可以激发涡旋磁场;电场和磁场不是彼此孤立的,它们互相接洽.互相激发构成一个同一的电磁场（也是电磁波的形成道理）.麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有纪律分解起来,建立了完全的电磁场理论体系.这个电磁场理论体系的焦点就是麦克斯韦方程组.麦克斯韦方程组,是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描写电场.磁场与电荷密度.电流密度之间关系的偏微分方程.从麦克斯韦方程组,可以推论出光波是电磁波.麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基本方程.从这些基本方程的相干理论,成长消失代的电力科技与电子科技.麦克斯韦1865年提出的最初情势的方程组由20个等式和20个变量构成.他在1873年测验测验用四元数来表达,但未成功.如今所运用的数学情势是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量剖析的情势从新表达的.麦克斯韦方程组的地位麦克斯韦方程组在电磁学中的地位,如同牛顿活动定律在力学中的地位一样.以麦克斯韦方程组为焦点的电磁理论,是经典物理学最引以骄傲的成就之一.它所揭示出的电磁互相感化的完善同一,为物理学家建立了如许一种信心：物资的各类互相感化在更高层次上应当是同一的.别的,这个理论被广泛地运用到技巧范畴.1845年,关于电磁现象的三个最根本的试验定律：库仑定律（1785年）,安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年）,法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来,法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已成长成“电磁场概念”.场概念的产生,也有麦克斯韦的一份功绩,这是当时物理学中一个巨大的创举,因为恰是场概念的消失,使当时很多物理学家得以从牛顿“超距不雅念”的约束中摆脱出来,广泛地接收了电磁感化和引力感化都是“近距感化”的思惟.1855年至1865年,麦克斯韦在周全地审阅了库仑定律.安培—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基本上,把数学剖析办法带进了电磁学的研讨范畴,由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生.麦克斯韦方程组的积分情势:（1）描写了电场的性质.电荷是若何产生电场的高斯定理.（静电场的高斯定理）电场强度在一关闭曲面上的面积分与关闭曲面所包抄的电荷量成正比.电场 E （矢量）经由过程任一闭曲面的通量,即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包抄的总电荷量.静电场（见电场）的根本方程之一,它给出了电场强度在随意率性关闭曲面上的面积分和包抄在关闭曲面内的总电量之间的关系.依据库仑定律可以证实电场强度对随意率性关闭曲面的通量正比于该关闭曲面内电荷的代数和经由过程随意率性闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包抄的所有电荷量的代数和与电常数之比.电场强度对随意率性关闭曲面的通量只取决于该关闭曲面内电荷的代数和,与曲面内电荷的散布情形无关,与关闭曲面外的电荷亦无关.在真空的情形下,Σq是包抄在关闭曲面内的自由电荷的代数和.当消失介质时,Σq应懂得为包抄在关闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和.在静电场中,因为天然界中消失着自力的电荷,所以电场线有起点和终点,只要闭合面内有净余的正（或负）电荷,穿过闭合面的电通量就不等于零,即静电场是有源场;高斯定理反应了静电场是有源场这一特征.凡是有正电荷的地方,必有电力线发出;凡是有负电荷的地方,必有电力线会聚.正电荷是电力线的泉源,负电荷是电力线的尾闾.高斯定理是从库仑定律直接导出的,它完全依附于电荷间感化力的二次方反比律.把高斯定理运用于处在静电均衡前提下的金属导体,就得到导体内部无净电荷的结论,因而测定导体内部是否有净电荷是磨练库仑定律的重要办法.对于某些对称散布的电场,如平均带电球的电场,无穷大平均带电面的电场以及无穷长平均带电圆柱的电场,可直接用高斯定理盘算它们的电场强度.电位移对任一面积的能量为电通量,因而电位移亦称电通密度.（2）描写了变更的磁场激发电场的纪律.磁场是若何产生电场的法拉第电磁感应定律.（静电场的环路定理）在没有自由电荷的空间,由变更磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线.在一般情形下,电场可所以库仑电场也可所以变更磁场激发的感应电场,而感应电场是涡旋场,它的电位移线是闭合的,对关闭曲面的通量无进献.麦克斯韦提出的涡旋电场的概念,揭示出变更的磁场可以在空间激发电场,并经由过程法拉第电磁感应定律得出了二者的关系,上式标明,任何随时光而变更的磁场,都是和涡旋电场接洽在一路的.（3）描写了磁场的性质.阐述了磁单极子的不消失的高斯磁定律（稳恒磁场的高斯定理）在磁场中,因为天然界中没有单独的磁极消失,N极和S极是不克不及分别的,磁感线都是无头无尾的闭合线,所以经由过程任何闭合面的磁通量必等于零.因为磁力线老是闭合曲线,是以任何一条进入一个闭合曲面的磁力线确定会从曲面内部出来,不然这条磁力线就不会闭合起来了.假如对于一个闭合曲面,界说向外为处死线的指向,则进入曲面的磁通量为负,出来的磁通量为正,那么就可以得到经由过程一个闭合曲面的总磁通量为0.这个纪律相似于电场中的高斯定理,是以也称为高斯定理.（4）描写了变更的电场激发磁场的纪律.电流和变更的电场是如何产生磁场的麦克斯韦-安培定律.（磁场的安培环路定理）变更的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场雷同,都是涡旋状的场,磁感线是闭合线.是以,磁场的高斯定理仍实用.在稳恒磁场中,磁感强度H沿任何闭合路径的线积分,等于这闭合路径所包抄的各个电流之代数和.磁场可以由传导电流激发,也可以由变更电场的位移电流所激发,它们的磁场都是涡旋场,磁感应线都是闭合线,对关闭曲面的通量无进献.麦克斯韦提出的位移电流的概念,揭示出变更的电场可以在空间激发磁场,并经由过程全电流概念的引入,得到了一般情势下的安培环路定理在真空或介质中的暗示情势,上式标明,任何随时光而变更的电场,都是和磁场接洽在一路的.合体：式中H为磁场强度,D为电通量密度,E为电场强度,B为磁通密度.在采取其他单位制时,方程中有些项将消失一常数因子,如光速c等.上面四个方程构成：描写电荷若何产生电场的高斯定律.描写时变磁场若何产生电场的法拉第感应定律.阐述磁单极子不消失的高斯磁定律.描写电流和时变电场如何产生磁场的麦克斯韦-安培定律.分解上述可知,变更的电场和变更的磁场彼此不是孤立的,它们永久亲密地接洽在一路,互相激发,构成一个同一的电磁场的整体.这就是麦克斯韦电磁场理论的根本概念.麦克斯韦方程组的积分情势反应了空间某区域的电磁场量(D.E.B.H)和场源(电荷q.电流I)之间的关系.麦克斯韦方程组微分情势：式中J为电流密度,,ρ为电荷密度.H为磁场强度,D为电通量密度,E为电场强度,B为磁通密度.上图分别暗示为：（1）磁场强度的旋度（全电流定律）等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和;（2）电场强度的旋度（法拉第电磁感应定律）等于该点处磁感强度变更率的负值;（3）磁感强度的散度处处等于零（磁通持续性道理） .（4）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度（高斯定理） .在电磁场的现实运用中,经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷.电流之间的关系.从数学情势上,就是将麦克斯韦方程组的积分情势化为微分情势.上面的微分情势分别暗示：（1）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度（高斯定理） .（2）磁感强度的散度处处等于零（磁通持续性道理） .（3）电场强度的旋度（法拉第电磁感应定律）等于该点处磁感强度变更率的负值;（4）磁场强度的旋度（全电流定律）等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和;运用矢量剖析办法,可得：(1)在不合的惯性参照系中,麦克斯韦方程有同样的情势.(2) 运用麦克斯韦方程组解决现实问题,还要斟酌介质对电磁场的影响.例如在各向同性介质中,电磁场量与介质特征量有下列关系：在非平均介质中,还要斟酌电磁场量在界面上的边值关系.在运用t=0时场量的初值前提,原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场,即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t).科学意义经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大试验定律并把它与力学模子进行类比的基本上创立起来的.但麦克斯韦的重要功绩恰好是他可以或许跳出经典力学框架的约束：在物理上以"场"而不是以"力"作为根本的研讨对象,在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符.这两条是发明电磁波方程的基本.这就是说,现实上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架,只是因为当时的汗青前提,人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去懂得电磁场理论.现代数学,Hilbert空间中的数学剖析是在19世纪与20世纪之交的时刻才消失的.而量子力学的物资波的概念则在更晚的时刻才被发明,特殊是对于现代数学与量子物理学之间的不成朋分的数理逻辑接洽至今也还没有完全被人们所懂得和接收.从麦克斯韦建立电磁场理论到如今,人们一向以欧氏空间中的经典数学作为求解麦克斯韦方程组的根本办法.我们从麦克斯韦方程组的产生,情势,内容和它的汗青进程中可以看到：第一,物理对象是在更深的层次上成长成为新的正义表达方法而被人类所控制,所以科学的提高不会是在既定的前提下演进的,一种新的具有熟悉意义的正义体系的建立才是科学理论提高的标记.第二,物理对象与对它的表达方法固然是不合的器械,但假如不依附适合的表达办法就无法熟悉到这个对象的"消失".第三,我们正在建立的理论将决议到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,这恰是现代最前沿的物理学所给我们带来的迷惑.麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场互相转化中产生的对称性幽美,这种幽美以现代数学情势得到充分的表达.但是,我们一方面应当承认,适当的数学情势才干充分展现经验办法中看不到的整体性(电磁对称性),但另一方面,我们也不应当忘却,这种对称性的幽美是以数学情势反应出来的电磁场的同一本质.是以我们应当熟悉到应在数学的表达方法中"发明"或"看出" 了这种对称性,而不是从物理数学公式中直接推表演这种本质.。
麦克斯韦方程组的推导
麦克斯韦方程组的推导麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组，包括四个方程：高斯定律、法拉第定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。
首先推导高斯定律，即电场的高斯定理。
根据高斯定律，电场从闭合曲面内流出的电通量与该曲面所包围的电荷量成正比，即：∮ E · dA = Q/ε₀其中，∮表示对闭合曲面的面积分，E为电场强度，dA为曲面的面积微元，Q为闭合曲面内的总电荷，ε₀为真空中的介电常数。
其次推导法拉第定律，即电磁场的高斯定理。
根据法拉第定律，磁感应强度的散度等于磁场中的总电流密度，即：∮ B · dA = 0其中，B为磁感应强度，dA为曲面的面积微元。
再次推导安培定律，即电场中的环路定理。
根据安培定律，电场强度沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的电流磁场的总磁通量的变化率，即：∮ E · dl = - d(∮ B · dA) / dt其中，∮表示对闭合回路的环路积分，E为电场强度，dl为回路的位移微元，B为磁感应强度，dA为回路所包围的面积微元，t为时间。
最后推导法拉第电磁感应定律，即磁场中的环路定理。
根据法拉第电磁感应定律，磁感应强度沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的总电流磁场的磁通量的变化率与由电场引起的涡旋电场的环路积分之和，即：∮ B · dl = μ₀(∮ J · dA + ε₀ d(∮ E · dA) / dt)其中，∮表示对闭合回路的环路积分，B为磁感应强度，dl为回路的位移微元，μ₀为真空中的磁导率，J为回路所包围的总电流密度，dA为回路所包围的面积微元，ε₀为真空中的介电常数，E为电场强度，t为时间。
这样，通过以上推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组的表达式。
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限定形式的麦克斯韦方程
D H J t B E t B 0 D
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E H E t H E t （理想媒质） H 0 E
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ic CU m cos(t )，故得：
2πrH CU m cos(t )
CU m H e H e cos(t ) 2πr
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
10
例 2.6.2 在无源 ( J 0、 0) 的电介质 ( 0) 中，若已知 电场强度矢量 E ex Em cos(t kz ) V/m ，式中的E0为振幅、ω为角 频率、k 为相位常数。试确定 k 与 ω 之间所满足的关系，并求出 与 E 相应的其它场矢量。 解： E 是电磁场的场矢量，应满足限定形式的 ME。因此， 利用 ME 可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与 E 相应的 其它场矢量。
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
11
B = H
H ey
kEm
cos( t kz)
D E
D e xE m cos( t kz )
以上各个场矢量都应满足 ME ，则： H D t ex ey ez H y k 2 Em H ex ex sin( t kz ) x y z z Hx H y Hz
J 0, 0
两个方程的右边相差一个负号， 而正是这个负号使得电场和磁 场构成一个相互激励又相互制 约的关系。当磁场减小时，电
场的旋涡源为正，电场将增大；
而当电场增大时，使磁场增大，
磁场增大反过来又使电场减小。
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
7
小结： 麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。
（ME Ⅰ） （ME Ⅱ） （ME Ⅲ） （ME Ⅳ）
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
3
2.6.2 非限定形式麦克斯韦方程组（微分形式）
D H J t E B t B 0 D
麦克斯韦方程组 时变场
0 t
静态场
0 t
迅变场
B 0 t
缓变场
D 0 t
电磁场 (EM)
准静电场 (EQS)
准静磁场 (MQS)
静电场 (ES)
恒定电场 (SS)
静磁场 (MS)
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
8
例 2.6.1 正弦交流电压源 u U m sin t 连接到平行板电容器 的两个极板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流 与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。 解：( 1 ) 导线中的传导电流为
du d ic C = C [U m sin(t )] dt dt CU m cos(t )
忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板 之间的电场为 E = u / d ，则：
ic
r C
u
P
平行板电容器与交 流电压源相接
D E
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U m sin(t )
d
电磁场与电磁波
第2章
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
2
2.6.1 非限定形式麦克斯韦方程组（积分形式）
D ) dS C H dl S (J t B dS C E dl S t S B dS 0 S D dS V ρdV
B E (ex ey ez ) ex Ex t x y z Ex e y ey Em cos(t kz ) ey kEm sin(t kz ) z z
积分得： B
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kEm B t dt ey cos(t kz )
Dx D ex ex Em sin( t kz ) t t
k 2 Em
Em
k
2 2
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（ME Ⅰ）表明真实的电流和变化 的电场都能产生磁场 （ME Ⅱ）表明变化的磁场产生电场 （ME Ⅲ）表明磁场是无源场， 磁感线总是闭合曲线磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
4
2.6.3 媒质的本构关系
理想媒质（均匀、线性、各向同性媒质）的本构关系为： D E B H J E 代入麦克斯韦方程组中可得：
电磁场的基本规律
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则极板间的位移电流为:
D id J d dS dS S S t U m cos(t ) S0 CU m cos(t ) ic d
式中的S0为极板的面积，而
S0
d
C
( 2 ) 由导线本身的轴对称性，则：
C
H dl 2πrH i ic
电磁场与电磁波
第2章
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时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变 磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和 磁场互为激发源，相互激发。 时变电磁场的电场和磁场不
再相互独立，而是相互关联，
构成一个整体 —— 电磁场。 电场和磁场分别是电磁场的
两个分量。
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密 度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形 成电磁振荡并传播，这就是电磁波。
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2.6 麦克斯韦方程组（Maxwell’s Equation, ME） 麦克斯韦方程组 —— 宏观电磁现象所遵循的基本规律，
是电磁场的基本方程。
本节内容
2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式 2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式 2.6.3 媒质的本构关系
中国矿业大学
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在理想介质（不导电）、无源空间中
， 为常数， 0
限定形式的麦克斯韦方程
D E H t t B H E t t H 0 E 0