数学建模案例分析
数学建模模型案例
数学建模模型案例
一、旅行商问题(TSP)
旅行商问题是一个典型的数学优化问题，在旅行商问题中，旅行商需要在给定的一系列城市之间找到一条最短路径，使得他能够只经过每个城市一次并最终回到起点城市。这个问题可以用图论和线性规划等方法来进行建模和求解，可以应用于物流配送、路径规划等领域。
二、股票价格预测模型
股票价格预测是金融领域中的一个重要问题。可以使用时间序列分析、机器学习等方法来建立股票价格预测模型。模型需要考虑多个因素，如历史股价、经济指标、市场情绪等，以预测未来股票价格的趋势和波动。
三、疫情传播模型
疫情传播模型是在流行病学领域中使用的一种数学模型，用于研究疾病在人群中的传播规律。常见的疫情传播模型有SIR模型、SEIR 模型等，这些模型可以用来预测疫情的传播速度、感染人数以及制定相应的防控策略。
四、能源优化调度模型
能源优化调度模型用于优化电力系统、能源系统等中的能源调度问
题。这种模型需要考虑电力需求、能源供应、能源转换效率等因素，以最小化成本或最大化效益，并且满足各种约束条件。
五、机器学习分类模型
机器学习分类模型用于将数据集中的样本分为不同的类别。这种模型可以使用各种机器学习算法，如逻辑回归、决策树、支持向量机等，以根据样本的特征来预测其所属的类别。
六、交通拥堵预测模型
交通拥堵预测模型用于预测城市交通网络中的拥堵情况。这种模型可以使用历史交通数据、天气数据、道路网络数据等进行建模，以预测未来某个时刻某个路段的交通状况，并提供相应的交通管理建议。
七、供应链优化模型
供应链优化模型用于优化供应链中的物流和库存管理等问题。这种模型需要考虑供应商、生产商、分销商之间的关系，以最小化库存成本、运输成本等，并满足客户需求。
数学建模竞赛成功经验分享与案例分析
数学建模竞赛成功经验分享与案例分析
在数学建模竞赛中，取得成功并非易事。除了扎实的数学基础和分析能力外，团队合作与沟通、解题思维的总结与拓展、时间管理等方面的因素同样重要。本文将分享一些数学建模竞赛的成功经验，并分析一些经典的案例。
一、团队合作与沟通
在数学建模竞赛中，团队合作和沟通是关键。合理分工，高效协作可以提高团队整体的工作效率。团队成员之间需要及时沟通与交流，将个人的想法和观点分享出来，以便找到最佳的解决方案。同时，团队需要制定明确的计划与目标，并进行有效的组织与调度。
案例分析：在某数学建模竞赛中，一支团队面对一个复杂的实际问题，团队成员通过深入讨论，在共同努力下确定了问题的解决思路，并把该思路转化为数学模型。通过团队成员之间的合作与沟通，大大提高了解题的效率，并且最终获得了竞赛的好成绩。
二、解题思维的总结与拓展
数学建模竞赛中的问题往往是实际问题，需要将问题进行数学化建模，设定适当的假设和变量，确定合适的求解方法。有效的解题思维总结与拓展是成功的关键。
案例分析：在一场数学建模竞赛中，一支团队面对一个涉及交通拥堵的问题。他们通过总结以往的经验，提出了一种创新的解题思路：将交通拥堵问题看作流体力学问题，并借鉴计算机模拟技术进行仿真
实验。这种新颖的思路帮助他们从一个全新的角度解决问题，并在竞赛中获得好成绩。
三、时间管理
数学建模竞赛的时间限制通常较为紧张，在有限的时间内完成解题过程是一项挑战。因此，良好的时间管理能力对于竞赛中的成功非常重要。合理规划时间，掌握解题进度，合理分配时间用于建模、求解和分析是必备的能力。
数学建模竞赛案例分析
数学建模竞赛案例分析
数学建模竞赛是一项旨在培养学生创新思维、动手能力和团队合作
精神的活动。参与竞赛的学生需要运用数学理论和方法解决实际问题，并通过建立模型、分析数据和验证结果等步骤，最终得出科学可行的
结论。本文将从一个具体的数学建模竞赛案例出发，进行深入分析。
案例介绍
该案例是关于城市交通流量优化的问题。某城市的交通拥堵问题日
益严重，市政府决定通过优化交通信号灯的配时方案来减轻拥堵程度。但是，在使用传统方式设置配时方案时，往往难以真实反映实际交通
状况，造成传统方式不够准确和高效的问题。因此，这个案例要求参
赛队伍通过建模分析，给出一种更科学、更精确的交通信号灯优化方案。
建模分析
团队成员首先分析了交通拥堵问题的原因，确定了车流量和信号灯
配时之间的关系。然后，他们在分析的基础上建立了一个数学模型，
将交通信号灯的配时问题转化为优化问题。针对所建模型，他们设计
了相应的算法，并利用计算机进行模拟实验。
结果验证
为了验证模型的准确性和有效性，他们选择了某主干道进行实地测试。对于测试数据的采集，他们设计了专门的采样方案并进行了多次
采样。通过对数据的统计分析，他们得出了不同交通流量下的最优配
时方案，并与之前的传统方案进行了对比。结果表明，他们提出的优
化方案在减轻拥堵程度、提高道路通行效率方面效果明显，证明了所
建模型的准确性和可行性。
问题讨论
在结果验证过程中，团队成员对模型的局限性和可扩展性进行了深
入讨论。他们提出了一些可能改进的方案，如增加交通流量的动态性、考虑多种车辆类型等。同时，他们还针对模型的实用性进行了讨论，
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解
最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。这个问题可以通过数学建模来解决。以下是一个关于最短路径的案例及详解：
案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。
解决方案：
1. 定义变量和参数：
- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径
长度。这个变量需要求解。
- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。
设长度矩阵为A。
2. 建立数学模型：
- 目标函数：最小化总路径长度。可以定义目标函数为：min x[i, j]。
- 约束条件：
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长
度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下
面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。这个约束条件保证了路径长度的传递性。即，如果从i到j的
路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。
3. 求解：
- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。
- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。
总结：
通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。
一个数学建模案例的教学设计
一个数学建模案例的教学设计
教学设计：数学建模案例分析
一、教学目标：
1.理解数学建模的基本概念、原理以及应用范围；
2.掌握数学建模的基本方法和步骤；
3.能够分析和解决实际问题，应用数学建模的方法进行数学建模。
二、教学内容：
1.数学建模的基本概念、原理；
2.数学建模的基本方法和步骤；
3.案例分析：以城市交通拥堵问题为例进行数学建模。
三、教学过程：
第一步：引入
1.老师介绍数学建模的基本概念、原理，引导学生了解数学建模的定义和意义；
2.提出数学建模的主要应用领域，如交通、环境、经济等。
第二步：数学建模的基本方法和步骤
1.老师介绍数学建模的基本方法，如建立数学模型、验证模型等；
2.老师介绍数学建模的基本步骤，如问题分析、建立数学模型、求解模型、验证模型等。
第三步：案例分析
1.老师介绍城市交通拥堵问题，并引导学生分析问题的背景和目标；
2.老师指导学生进行问题分析，如提出问题、确定变量、分析关系等；
3.老师指导学生建立数学模型，如定义变量、列方程等；
4.老师指导学生求解模型，如解方程组、优化函数等；
5.老师指导学生验证模型，如比对模型结果和实际情况等。
第四步：讨论与总结
1.学生分组讨论，交流自己的建模过程和结果；
2.每组学生代表向全班汇报自己的建模过程和结果；
3.老师进行点评和总结，引导学生从案例中的收获和经验。
四、评价方式：
1.群体评价：根据学生的讨论和汇报情况，评价学生的分析和解决问
题的能力；
2.个体评价：针对每个学生的建模过程和结果进行评价，考察每个学
生的数学建模能力。
五、教学资源：
1.教师所准备的案例分析教案；
数学建模经典案例分析以葡萄酒质量评价为例
数学建模经典案例分析以葡萄酒质量评价为例
一、本文概述
本文旨在通过深入剖析数学建模在葡萄酒质量评价中的应用，展示数学建模的经典案例。我们将首先简要介绍数学建模的基本概念及其在各个领域的应用，然后聚焦葡萄酒质量评价这一具体问题，阐述如何通过数学建模对其进行科学、客观的分析。文章将详细分析数据的收集与处理、模型的建立与求解、模型的验证与优化等关键环节，并探讨不同数学模型在葡萄酒质量评价中的优缺点。我们将总结数学建模在葡萄酒质量评价中的实际应用效果，展望其在未来葡萄酒产业中的发展前景。
通过阅读本文，读者将能够了解数学建模在葡萄酒质量评价中的重要作用，掌握相关数学建模方法和技术，为类似问题的解决提供有益的参考和借鉴。本文也将促进数学建模在葡萄酒产业中的应用与发展，推动葡萄酒产业的科技进步和产业升级。
二、数学建模基础
数学建模是一种将实际问题抽象化、量化的过程，通过数学工具和方法来求解问题的近似解。在葡萄酒质量评价这一案例中，数学建模提供了从复杂的实际生产环境中提取关键信息，并建立预测模型的
可能。这需要我们具备一定的数学基础，如统计学、线性代数、微积分等，同时也需要理解并掌握数据处理的基本技术，如数据清洗、特征提取和选择等。
在葡萄酒质量评价问题中，我们首先需要收集大量的葡萄酒样本数据，这些数据可能包括葡萄品种、产地、气候、土壤、酿造工艺、化学成分等多个方面的信息。然后，我们需要对这些数据进行预处理，如去除缺失值、异常值，进行数据标准化等，以提高模型的稳定性和准确性。
接下来，我们可以选择适合的模型进行训练。在这个案例中，我们可以选择线性回归、决策树、随机森林、神经网络等模型进行尝试。我们需要根据数据的特性和问题的需求，选择最合适的模型。同时，我们还需要进行模型的训练和验证，通过调整模型的参数，提高模型的预测能力。
数学建模案例分析【精选文档】
案例分析1：自行车外胎的使用寿命
问题：
目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学,而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损,致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦,如何估计自行车外胎的寿命,及时更换?
分析：
分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题,因此需要我们自己做出合理判断.若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。
产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析,首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较），降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上,外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用（寿命越长，在一定意义上更换费用越低）也达到了最大限度的节省。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析
假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。为了建立一个数
学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。
基本假设：
1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。
2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。
已知信息：
1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。
2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。
3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。
接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。假
设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微
分方程：
dN/dt = rN - dN
这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌
的死亡速率。如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则
上述方程可以进一步简化为：
dN/dt = (r-d)N
解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。
根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：
N(t) = N0 * exp((r-d)t)
上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。这与我们的
基本假设相符。
然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。常见的数值方法包括欧拉法、改
进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。这些方法基于近似计算的原理，通过
迭代逼近解。
在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随
数学建模及典型案例分析_2022年学习资料
例2湖水污染浓度-有一个小湖，水容量为2000m3,分别有一-入水口和出水口，水流量都为0.1m3/s.在 上午11：05时，因交通事故一个盛有毒性-入水▣-化学物质Z的容器倾翻，在入口处注入湖-中.于11：35时 故得到控制，但己有数量-不详的化学物质泻入湖中，初步估计为-5~20m3.建立一个模型，估计湖水污染程-度 时间的变化规律，并估计-1.湖水何时到达污染高峰；-2.何时污染程序可降至安全水平<0.05%
取r1=1,I2=1/2,Po=0,Vo=10,p1=5,得到的解的图像如下-1.5-0.5
列最优捕鱼策略-为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开-发必须适度。一种合理、 化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追-求最大产量或最佳效益。-考虑对鳀鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4 年龄组，称为1龄鱼，2龄-鱼，3龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.8 ，-22.99克，各年龄组的自然死亡率为0.8/年，这种鱼为季节性集中产卵繁-殖，平均每条4龄鱼的产卵量为 .109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的-一半，2龄和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月 卵孵化并-成活为1龄鱼，成活率1龄鱼条数与产卵量n之比为-1.22×101/1.22×1011+n。-·渔 管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。-如果每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数等 固定不变，这时单位时-间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。-通常使用13m网眼 拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞-强度系数之比为0.42：1。渔业上称这种方式为固定努力量捕 。-·请建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄-组鱼群条数不变，并且在此前提下得 最高的年收获量（捕捞总重量）。
数学建模获奖作品范例
数学建模获奖作品范例
一、引言
数学建模是一门综合性较强的学科，它不仅需要对数学理论有深入的理解，还需要具备良好的实际问题分析和解决能力。在数学建模比赛中，获奖作品往往能够有效地解决实际问题，具有一定的创新性和实用性。本文将以数学建模获奖作品为例，介绍一种利用数学建模解决实际问题的方法。
二、问题描述
本次数学建模比赛的题目是关于城市交通拥堵问题的研究。城市交通拥堵一直是人们生活中的一大难题，如何合理规划道路网和交通流量成为了重要的研究方向。本次比赛要求参赛者通过建立数学模型，分析城市交通拥堵的原因和影响因素，并提出相应的解决方案。
三、模型建立
为了解决城市交通拥堵问题，我们首先需要对城市交通流量进行建模。我们可以利用流体力学中的连续性方程和动量方程，对道路上的车辆流进行描述。通过对实际交通流的数据采集和分析，我们可以获得车辆流密度、流速等参数，并建立数学模型进行计算和预测。
四、模型求解
利用建立的数学模型，我们可以对城市交通拥堵问题进行求解。首先，我们需要确定交通拥堵的评价指标，如平均车速、车辆停滞时
间等。然后，通过对不同交通流量条件下的模拟计算，得到不同交通状况下的评价指标数值。最后，我们可以对不同的解决方案进行比较，选择最优的方案来缓解交通拥堵问题。
五、结果分析
通过模型求解，我们可以得到不同交通状况下的评价指标数值。通过对这些数据的分析，我们可以发现交通拥堵的主要原因和影响因素。比如，交通信号灯的设置、道路的通行能力、交通流量的分布等都会对交通拥堵产生较大影响。根据这些分析结果，我们可以提出相应的解决方案，如优化信号灯的设置、增加道路的通行能力等。
数学建模比赛例题解析
数学建模比赛例题解析
数学建模比赛通常提供一些实际问题，要求参赛者使用数学方法进行分析和解决。以下是一个典型的数学建模比赛例题以及解析示例：
例题：某城市树木的生长速度问题
问题描述：某个城市的市政部门想要了解该城市内树木的生长速度，以便合理安排树木修剪和绿化工作。为了解答该问题，需要参赛者进行如下任务：
1. 收集并分析该城市内树木的生长数据；
2. 建立数学模型，描述树木生长的规律；
3. 根据模型，预测未来某个时间点树木的高度；
4. 提出合理的树木修剪和绿化方案。
解析示例：
1. 收集并分析数据：参赛者可以通过实地调查和测量，收集不同树木在不同时间点的高度数据。例如，可以选择20棵树木
作为样本，每个月测量它们的高度，记录在数据表中。
2. 建立数学模型：参赛者可以通过分析数据，找到树木生长的规律，建立数学模型描述树木的高度与时间的关系。例如，可以假设树木的生长速度是线性增加的，即高度随时间的增加而增加。
3. 预测未来高度：根据建立的数学模型，参赛者可以使用已有数据预测未来某个时间点树木的高度。例如，可以根据已有数据的拟合曲线，计算未来6个月后树木的预计高度。
4. 提出修剪和绿化方案：参赛者可以根据已有数据和预测结果，提出合理的修剪和绿化方案。例如，可以根据树木的生长速度
和最佳高度范围，制定修剪方案，并根据城市规划要求，提出绿化方案。
总结：数学建模比赛的例题通常要求参赛者通过数据分析和数学建模，解决实际问题。参赛者需要收集数据、建立模型、预测结果和提出解决方案。
中国研究生数学建模竞赛优秀工作案例集
中国研究生数学建模竞赛优秀工作案例集
1.引言
中国研究生数学建模竞赛是中国教育部学位与研究生教育发展中心主办的全国性学科竞赛，旨在提高研究生解决实际问题的能力，培养创新思维和团队合作精神。本案例集收录了五篇优秀工作案例，展示了参赛者在竞赛中的卓越表现和实际应用价值。
2.案例一：优化资源配置问题
本案例关注资源优化配置问题，通过建立数学模型，对有限的资源进行合理分配，以最大化效益。参赛者运用线性规划、整数规划等数学方法，解决了实际问题，为决策者提供了有力支持。
3.案例二：金融风险评估
本案例涉及金融风险评估问题，通过建立风险评估模型，对金融机构面临的风险进行量化分析。参赛者运用统计分析、机器学习等方法，对风险进行准确评估，为金融机构的风险管理提供了科学依据。
4.案例三：交通流预测
本案例针对交通流预测问题，通过建立数学模型，对城市交通流量进行预测。参赛者运用时间序列分析、神经网络等方法，提高了预测精度，为城市交通管理提供了决策支持。
5.案例四：智能推荐系统
本案例研究智能推荐系统，通过建立推荐模型，为用户提供个性化的推荐服务。参赛者运用协同过滤、深度学习等方法，提高了推荐准确率，为用户提供了更好的使用体验。
6.案例五：医学影像分析
本案例研究医学影像分析问题，通过建立图像处理和识别模型，对医学影像
进行自动分析和识别。参赛者运用图像处理、机器学习等技术，提高了医学影像分析的效率和精度，为医学诊断和治疗提供了有力支持。
以上五篇优秀工作案例展示了中国研究生数学建模竞赛的多样性和广泛的应用价值。通过解决实际问题，参赛者不仅提高了解决实际问题的能力，也培养了创新思维和团队合作精神。希望本案例集能够对广大研究生和数学建模爱好者提供有益的参考和启示。
小学生数学建模的案例分析
小学生数学建模的案例分析
在现如今的教育体系中，数学建模已经逐渐成为培养学生创新能力
和解决实际问题能力的重要手段之一。尤其是对小学生来说，通过数
学建模的学习，可以培养孩子们的观察力、分析能力和问题解决能力。本文将通过分析一个小学生数学建模的案例，探讨数学建模对于小学
生学习的意义和作用。
案例：小明的帽子
小明是一个小学三年级的学生，他喜欢戴帽子。有一天，他在帽子
店捡到了一个袋子，里面有一些帽子。小明好奇地打开袋子，发现里
面没有标签，也没有告诉他帽子的数量。于是小明决定通过数学建模
的方法来解决这个问题。
第一步，观察和收集信息。小明先将帽子逐个取出，并用一张纸记
录下每个帽子的特征，如颜色、形状、大小等。同时，他还用一个小
本子记录下袋子里帽子的数量。
第二步，分析问题。小明在观察后发现，每个帽子的特征都不同，
但是某些特征可能会重复出现，如颜色和形状。他决定以颜色和形状
为主要特征进行分类，并将每个帽子分到相应的类别中。
第三步，构建模型。小明将问题简化为将帽子分成不同的类别，即
颜色和形状。他用彩色的纸条代表不同的颜色，用不同形状的图案代
表帽子的形状。然后，他用这些纸条和图案在桌上进行组合排列，找
到合适的分类方法。
第四步，解决问题。通过观察彩色纸条和图案在桌上的排列，小明发现可以将帽子分为四类：红色、蓝色、绿色和黄色；三种形状：圆形、方形和三角形。于是他得出结论，袋子里有四顶红色的帽子、三顶蓝色的帽子、五顶绿色的帽子和两顶黄色的帽子。同时，他还计算出袋子里共有14顶帽子。
通过这个案例，我们可以看出数学建模对于小学生的学习是有着积极意义和作用的。
勾股定理在数学建模中的应用案例分析
勾股定理在数学建模中的应用案例分析
勾股定理是数学中的基本定理之一，它在几何学以及相关的数学建
模中有着广泛的应用。本文将通过分析几个具体的案例，来探讨勾股
定理在数学建模中的应用和作用。
一、地理测量中的距离计算
地理测量中常常需要计算两点之间的距离，而勾股定理是解决这一
问题的基础工具之一。假设我们要计算两个坐标点A(x1, y1)和B(x2,
y2)之间的直线距离，首先可以计算两个点在水平和垂直方向上的距离
差值，然后根据勾股定理计算两点之间的距离。
二、三角形边长的计算
在一些数学建模中，需要确定一个三角形的边长。这时候可以利用
勾股定理来计算。例如，如果我们已知一个直角三角形的两条边的长度，在建模过程中需要确定第三条边的长度，就可以利用勾股定理来
求解。通过将已知边长代入勾股定理的公式中，可以求得第三条边的
长度。
三、碰撞问题的建模
碰撞问题在物理学和工程学中是一个重要的研究领域。在建模碰撞
问题时，勾股定理可以应用于计算物体间的相对速度以及撞击的角度。通过利用勾股定理，可以精确地计算出物体撞击的瞬间速度和角度，
从而为防止碰撞事故和工程设计提供参考依据。
四、图像处理中的旋转计算
在图像处理中，常常需要对图像进行旋转操作。而旋转操作可以通过勾股定理来实现。具体地说，利用勾股定理可以在图像旋转过程中计算旋转后的像素位置，从而实现图像的旋转变换。
总结：
勾股定理在数学建模中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决距离计算、三角形边长计算、碰撞问题建模以及图像处理中的旋转计算等一系列问题。勾股定理的应用不仅仅局限于数学领域，还延伸到了物理学、工程学和计算机科学等各个领域。通过灵活运用勾股定理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提升数学建模的准确性和效率。
数学建模案例分析
令
4 f ( x) C 6 5(0.997) x x
则
4 x f ( x) 2 5(0.997) ln 0.997 x
易知，对 x>0， f ( x ) 有唯一零点，且此零点就是 f ( x ) 的最小值点。用
n
随机变量C的期望值是
E (C ) (4 n)0.997 (4 n) 5n (1 0.997 )
n n
(4 n) 5n(1 0.997 )
n
4 6n 5n 0.997
n
每一个二极管的平均检验费用为
4 C 6 5(0.997) n n
4 n 数值方法可得 f ( x ) 的最小值点 x 16.92 。由此可得 C 6 5(0.997) n 的最小值点为 17， C 的最小值为 1.48(分／二极管)。
*
5、结果分析
对于检验次品二极管的质量控制步骤可以使用分组检验的方法做得非常 经济．逐个检验的花费是5分/个。次品的二极管出现得很少，每一千中只有 三个。使用每一组17个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可 以将检验的费用降低到三分之一(1.5分/二极管)。质量控制步骤的实行将依 赖于若干模型范围之外的因素。也许由于我们操作的特殊性对于10个或20个 一批的二极管或者n是4或5的倍数时检验起来更容易。好在对于我们的问题来 说，在n=10和n=35之间时检验的平均花费A没有明显的变化。在操作过程中的 次品率q＝o.003同样也是必须考虑的。例如，这个数值可能会随着工厂内的 环境条件而发生变化。
数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载
数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载
在物流运输中，分派与装载是一项重要的任务，旨在最大化运输效益
并降低成本。在这个案例分析中，我们将使用最优化方法来解决一个分派
与装载的问题。
问题描述：
一家货运公司负责将货物从一处仓库运输到多个目的地。仓库具有不
同类型的货物，每个目的地需要不同类型的货物，并且每个货物具有不同
的重量和体积。公司有多辆不同载重和容量的卡车可供选择。目标是通过
合理地分派和装载货物，使得每辆卡车的装载量最大，并且所有货物都被
及时运送到目的地。
数据收集与整理：
1.仓库中可用货物的类型和数量。
2.每个目的地所需货物的类型和数量。
3.每种货物的重量和体积。
4.每辆卡车的载重和容量。
问题思路及数学建模：
1.首先，我们将定义一些决策变量，包括每辆卡车所装载的每种货物
的数量。令x[i,j]表示第i辆卡车所装载的第j种货物的数量
（i=1,2,...,m，j=1,2,...,n，其中m为卡车数量，n为货物类型数量）。
2. 其次，我们需要定义一些约束条件，确保每辆卡车所装载的货物
不超过其载重和容量。例如，对于每辆卡车i，其载重约束可表示为
∑(j=1 to n) (x[i,j] * weight[j]) ≤ max_weight[i]，其中
weight[j]表示第j种货物的重量，max_weight[i]表示第i辆卡车的最大
载重量。
3. 我们还应该确保每个目的地所需货物的数量都能够得到满足。例如，对于每个目的地k，其需求约束可表示为∑(i=1 to m) x[i,k] = demand[k]，其中demand[k]表示目的地k所需货物的数量。
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案例二：连续概率模型
问题
“I 型计数器”可以用来测量可裂变物质的样品放射性的衰变。衰变是 以未知的速率随机发生的，计数器的目的就是测量衰变率。每一次放射性
衰变就是要把计数器锁住 3109 秒，在这段时间内所发生的任何衰变都
不会被计数。如何调整计数器接收的数据以考虑丢失的信息?
1、符号说明
：衰变率(每秒) ；Tn ：第 n 次观测到衰变的时间。
F (t) 1 et
其密度函数是
f (t) et
指数分布的一个非常重要的性质是“无记忆性”。对于任何的
t>０和ｓ>0，我们有
p{X s t
X
s}
P{X
s T}
P{X s}
e ( st ) es
et
P{X t}
换句话说，对于下一次到达现象发生这件事情来说，我们已经等待的s单位的
时间并不影响直到下一次到达现象发生的时间的(条件)分布。指数分布会“忘 记”我们已经等待了多长的时间。我们假设放射性衰变以一个未知的速率久。
X1 X2 L Xn a 1
n
显然，这个式子不是绝对成立的。虽然当 n 时它是收敛的，随机的波动将
使得经验性的速率在均值附近变化。
案例三：公共地的悲剧
问题： 有一个关于牧民与草地的故事，说的是当村庄的草地向村民
完全开放时，每一个村民都想多养一头牛，因为多养一头牛增加 的收益大于其购养成本，是有利润的。尽管因为平均草量下降， 增加一头牛可能使整个草地的牛的单位收益下降。试问村民应该 如何养羊才能使收益最大呢？
从 n 我们算得
Tn na
d 2
da
则 对 a 的灵敏性是
S
(
,
a)
2
a
a
这也是在计数器闭锁的时间内衰变次数的期望值。于是我们
就可以得到一个对于不太强烈的放射源的 的一个(相对来说)较
好的估计值。达到这一点的一个简单的方式就是只取很少一点放 射性材料作为样品。另一个潜在误差的来源就是假设
以假定当 G＜Gmax 时， v(G) 0, v(G) 0 。v(G)的图形如下图所示。
村民 i（博弈的参与者 i）所选择的战略就是他放养的羊的头数 gi。假定购买 一只羊羔和照看一头羊的成本为 c，当其他村民养羊的数量为
( g1 , g2 , , gi1 , gi1 , , gn ) 时，村民 i 放养 gi 头羊的收益函数为
由强大数定律可知，如果一直使用每组有n个二极管的分组检验 的方法，这个公式提供了平均的检验费用，这时我们需要作为n的 函数来极小化A。
令
f (x) C 4 6 5(0.997)x
x
则
f
(x)
4 x2
5(0.997)x
ln 0.997
易知，对 x>0， f (x) 有唯一零点，且此零点就是 f (x) 的最小值点。用 数值方法可得 f (x) 的最小值点 x* 16.92 。由此可得 C 4 6 5(0.997)n
数学建模之—— 数学建模案例分析
重庆邮电大学 杨春德 教授
案例一：离散概率模型
问题：
一个电子器件工厂生产一种二极管。质量控制工程师负责保证在产品 出厂前检测出次品的二极管。估计这个厂生产的二极管有0.3％是次品。可 以对每个二极管逐个进行检验，也可以把若干二极管串联起来成组进行检 验。如果检验通不过，也就是说其中有一个或几个二极管是次品。已知检 验一个单个的二极管的花费是5分钱，检验一组n>1个二极管的花费是4+n 分钱。如果成组检验没有通过，则这一组的每一个二极管必须逐个重新检 验以便于找出这些次品。要求寻求检测次品二极管的质量控制的步骤使得 用于检验的花费最少。
3、建模
考虑随机一个变量X，它可以取一个离散数值集合中的任何一个数值
X {x1, x2 , }
同时假设 X xi 的概率是 p i ,我们记为 P{X= x i }＝p i ，显然这时有∑p i ＝1。因为 X 以
概率 p i 取数值 x i ，所以 X 的平均或期望值一定是所有可能的 x i 的加权平均，权值就是相应
的概率值 pi ．可以写为 E( X ) xi pi 。这一组概率值{ p i }表明了随机变量 X 的分布。
i
•对于我们的问题，任何的n>1，随机变量C 取两个可能数值中的一个：如果所有 的二极管都是好的，则
C＝4+n 否则
C＝(4+n)+5n
因为我们必须重新检验每一个二极管。用p表示所有的二极管都是 正品的概率，剩下的可能性(有一个或更多的次品二极管)一定有概 率1-p。则C的平均或期望值是
lim X1 X 2 L X n a 1
n
n
以概率1成立
（二）、建立数学模型
数学模型的建立与建模目的密切相关
几类常见建模目的:
1. 描述或解释现实世界的各类现象(常采用机理分析的方法,探索研究对象的 内在规律性)； 2. 预测感兴趣的事件是否会发生,或者事物的发展趋势 (常采用数理统计或模拟的 方法)； 3. 优化管理、决策或者控制 (事物需合理地定义可量化的评价指标及评价方法)
2、问题分析
村民可以从增加的羊只上获得所有的利益负面：草地的承载力因为额外增 加的羊只有所耗损。然而，关键性在于这两者的代价并非平等：村民获得 所有的利益，但是资源的亏损却是转嫁到所有村民的身上。因此，就理性 观点考量，每一位村民势必会衡量如此的效用，进而增加一头头的羊只。 但是当所有的村民皆做出如此的结论，并且无限制的放牧时，草地负载力 的耗损将是必然的后果。于是每一个个体依照理性反应所做出的决定将会 相同，毕竟获得的利益将永远大于利益的耗损。
换句话说，有 Tn a 1 。当 n 很大时近似地有
n
Tn a 1
n
关于 求解，可得
n
Tn na
5、结果分析
我们得到了一个衰变率的公式，它矫正了由于计数器的闭锁产生的衰变
现象的丢失。全部所需要的资料是记录观测衰变的时间和所记录的衰变的次
数。在观测间隔内的那些衰变的分布对于确定 是不必要的。灵敏性分析应 考虑闭锁的时间 a，它是依经验确定的。确定 a 的精确度将影响到 的精确度。
尽管因为平均草量下降，增加一头牛可能使整个草地的牛的单位收益下降 。但对于单个村民来说，他增加一头牛是有利的。可是如果所有的村民都 看到这一点，都增加一头牛，那么草地将被过度放牧，从而不能满足牛的 需要，导致所有牧民的牛都饿死。这个故事就是公共资源的悲剧。
3、建模与求解
当最初草地上的羊不太多时，再增加一头不会对已经放养的羊产生太大的影 响，但当草地上羊的数量不断增加时，每头羊的平均价值就会急剧下降，因此可
衰减之间的时间，因为它开始于闭锁时间的末尾不是在衰变的时间。然而，指数
分布的无记忆性保证了Yn 仍然是带有速率参数 的指数分布。由此得
X n a Yn
4.模型求解
因为 X n a Yn ，则 E Xn a E Yn ，其中
E(Yn
)
0
tet
dt
1
即
E
Xn
a
1
Baidu Nhomakorabea
。强大数定律告诉我们
n 的最小值点为 17， C 的最小值为 1.48(分／二极管)。
5、结果分析
对于检验次品二极管的质量控制步骤可以使用分组检验的方法做得非常 经济．逐个检验的花费是5分/个。次品的二极管出现得很少，每一千中只有 三个。使用每一组17个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可 以将检验的费用降低到三分之一(1.5分/二极管)。质量控制步骤的实行将依 赖于若干模型范围之外的因素。也许由于我们操作的特殊性对于10个或20个 一批的二极管或者n是4或5的倍数时检验起来更容易。好在对于我们的问题来 说，在n=10和n=35之间时检验的平均花费A没有明显的变化。在操作过程中的 次品率q＝o.003同样也是必须考虑的。例如，这个数值可能会随着工厂内的 环境条件而发生变化。
必须使上式最大化。这一最优化问题的一
阶微分条件为
ui
g1 ,L
,
gi1,
gi
,
g i 1
,L
, gn
0
gi
也就是
v( g1*
g2*
g
* i 1
gi*1
gn* )
giv( g1* g2* gi*1 gi*1 gn* ) c 0
将村民
i
的最优战略
g
* i
代入上式，就有
v(G* ) gi*v(G* ) c 0, (i 1,2, , n)
1、符号假设
n：每个检验组内二极管的数目；C：一组元件的检验费用(分)；A：平均 检验费用(分／二极管)。
2、问题的分析 变量n是决策变量，同时随便选取n＝1,2,3,…，变量C是我们所
选择的质量控制步骤的随机的结果。C是一个随机变量。然而量A不 是随机的。它表示随机变量C／n的平均或期望值。显然如果n＝1， 则A=5分，否则(n>1)，当分组检验结果全部二极管都是好的，则 C=4+n，当检验结果有次晶，则C＝(4+n)+5n，A＝(C的平均值)／n。 其目标就是求n的数值，使A最小 。
1、假设与符号说明
假设村庄有 n 个的村民，每个村民都有在草地上放牧的自由。每年春天， 每个村民要决定自己养多少头羊，用 gi∈[0，＋∞]表示村民 i 放养的羊头数（i
＝1,2,…,n）。那么村庄里放羊的总头数 G g1 g2 gn 。用 v 表示每头
羊的平均价值，一个重要的假设数 v 是 G 的函数。羊要生存，需要一定数量的 青草，这片草地可以放羊的羊的总量的上限为 Gmax。当 G＜Gmax 时，v(G)＞0； 当 G≥Gmax 时，v(G)＝0。
令
X n Tn Tn1
表示相继两次观测到放射性衰变之间的时间。自然，由于计数器闭锁时间的
原因，X n 与相继两次衰减之间的时间的分布是不同的。事实上，X n 3109 秒
以概率 1 发生 1 对于指数分布来说这确实不是真的。
随机时间 X n 由两部分组成。首先我们必须等待 a 3109 ，这时计数器被 锁住了，同时我们还要多等待 Yn 秒直到下一次衰变发生。现在的 Yn 不只是两次
二极管全部是正品的概率为 p 0.997n 。
随机变量C的期望值是
E(C) (4 n)0.997n (4 n) 5n(1 0.997n )
(4 n) 5n(1 0.997n )
4 6n 5n 0.997n
每一个二极管的平均检验费用为
C 4 6 5(0.997)n n
E(C) (4 n) p [(4 n)5n](1- p)
于是模型为：
min E(C) 1 (4 n) p [(4 n) 5n](1- p)
nn n
4、模型求解
一共有 n 个二极管，一个二极管为次品的概率是 0.003。换句话说，一个二极管 是正品的概率为 o.997，假设每个二极管都是相互独立的，于是一个检验组内的 n 个
2. 问题的分析
假设放射性的衰变以速率 随机发生，对于任何 n,Tn1 Tn 3109 ， 其目标就是根据有限的观测值 T1,T2 ,L ,Tn 求出 。
3. 建模
假设 X 是在实数轴上取值的随机变量。假设一次射性的衰变以速率 随机出
现，同时令 X 表示两次连续到达现象之间的随机时间，所有相继两次放射性衰变之 间的时间是独立的，而且都服从带有速率参数丸的指数分布。则 X 有分布函数
将我们上面的模型推广，我们有
C 4 6 5(1 q)n n
在n＝17时我们有灵敏度：
S(C, q) dC q 0.16 dq C
于是，q的微小的改变很可能不会导致检验费用大的变化。更一般的稳健性
分析要考虑独立性的假设。我们这里必需要假设在操作过程中接连出现次品的次 数之间是无关的。事实上，有可能由于生产环境中的一些异常的原因，如工作台 的颤动或电压变化的冲击，使得次品的二极管趋向于出现在一些批次中。这时， 独立随机变量模型的数学分析就不能完全处理这个问题。
再把上式全部相加，并除以n，可得
v(G* )
1 n
Gi*v(G* )
c
0
其中， G*
g1* g2*
g
* n
，即纳什均衡的总放养量。
从全村放养总量G的最优选择考虑，则应最大化全村养羊的总收益，即
max
0G
Gv
G
Gc
它的一价微分条件为
ui ( g1 , g2 , , gn ) gi v( g1 g2 gi1 gi1 gn ) cgi
这样，如果 ( g1* ,
g
* 2
,
,
gn* ) 为博弈的纳什均衡，那么对村民
i
来说，当其他村民选
择 ( g1* , g2* ,
,
g
* i 1
,
gi*1
,
,
g
* n
)
时，
g
* i