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高二数学上学期开学考试试题 文1

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四川省内江市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题(含简单答案)

四川省内江市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题(含简单答案)

内江一中2023—2024学年高二上学期开学考试试题数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 2. 在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（ ）A. B. C. D 3. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值(单位：)变化的折线图，关于日均值说法正确的是（ ）A. 这10天日均值的分位数为60B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C. 前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差 D. 这10天的日均值的中位数为414. 已知的外接圆圆心为O ，且，在向量上的投影向量为（ ）.z ()2,1--z z =2i --2i -+2i +2i-()()120,0,1,1e e == ()()121,2,5,10e e =-=- ()()123,5,3,5e e ==-- ()1232,3,2,4e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2.5PM 2.5PM 335g /m μ2.5PM 33575g /m μ~ 2.5PM 375g /m μ2.5PM 3g /m μ 2.5PM 80%ABC V 2AO AB AC =+ CA = CA CBA. B. C. D. 5. 已知，则（ ）A. B. 或 C. D. 或6. 已知，是不共线的向量，且，，，则（ ）A. B ，C ，D 三点共线B. A ，B ，C 三点共线C. A ，C ，D 三点共线D. A ，B ，D 三点共线7. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）A. 8B. 4C. 16D. 128. 八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH 和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（ ）A. 39B. 48C. 57D. 60二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表，如图甲、乙所示，下列说法正确的是（）34CB 12CB 13CB 14CB ππ24,,sin24425αα⎫⎛∈-=- ⎪⎝⎭tan α=34-34-43-343434-a b 28AB a b =-+ 33BC a b =- 5CD a b =+ ABC V ,,A B C ,,a b c 222b c bc a ++=A 2AD =BA AC ⋅ O O P Q OO OA =O O O PA QC ⋅A. 2022年农村居民人均可支配收入增长额超过城镇居民人均可支配收入增长额B. 2022年城镇居民收入增长率快于农村居民C. 从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕D. 2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%10. 从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（ ）A. “三个都为偶数”和“三个都为奇数”B. “至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C. “至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D. “一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”11. 对于△ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A. 若，则△ABC 为等腰三角形B. 若，，则符合条件△ABC 有两个C. 若，则△ABC 为等腰直角三角形D. 若，则△ABC 是钝角三角形12. 已知函数，以下说法中，正确是（ ）A. 函数关于点对称B. 函数在上单调递增C. 当时，的取值范围为D. 将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）的的L cos cos A B =a =b =30A = cos cos a A b B =222sin sin sin 0A B C +-<()2cos 2sin 2f x x x x =+-()f x π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x (]2,1-()f x π12()2sin 21g x x =-13. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是______.14. 某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取__________人．15. 一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长等于___________；该圆锥的体积等于___________.16. 在中，由以下各个条件分别能得出为等边三角形的有：______.①已知且；②已知且；③已知且；④已知且.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，求下列式子的值．（1）为第二象限角，求；（2）．18. 已知向量的夹角为，且，，．（1）求；（2）当时，求的值．19. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”，黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一､明代旅行家､地理学家徐霞客两游黄山，赞叹说：“登黄山天下无山，观止矣!”又留“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求x 的值；()()3i 2i z m =+-+2π3ABC V ABC V 2a b c +=2A B C +=sin A =b c =2a b c +=2222a b c +=cos cos a B b A=60A =︒()1tan π3α+=-αsin cos αα-22sin cos cos ααα-,a b π32a = 3b = 2c a b λ=- 3a b - b c ⊥λ（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；（3）若2022年黄山景区累计接待进山游客约140万人，试估计满意度评分不低于70分的人数.20. 已知函数（1）求函数的最小正周期及函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．21. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B 同在水平面内的两个测点C 与D .在C 点测得塔底B 在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D ，测得此时塔底B 在北偏东方向.（1）求点D 到塔底B 距离；（2）若在点C 测得塔顶A 的仰角为，求铁塔高.22 已知平面向量，，函数．（1）求的单调增区间．（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，，求△ABC 周长的取值范围．的.()2sin cos f x x x x =+()f x ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦45︒15︒BD 30︒AB ()sin a x x = ()2sin ,sin b x x = ()1f x a b =⋅+ ()f x ()4f A =2a =内江一中2023—2024学年高二上学期开学考试试题数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ABD【12题答案】【答案】BCD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】21【15题答案】【答案】 ①.②. 【16题答案】【答案】①③四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【17题答案】【答案】（1（2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）（2）（3）万人【20题答案】【答案】（1）最小正周期；单调递减区间为， （2）【21题答案】【答案】（1）米213m<<2π32-6λ=0.03x =83.33119π5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）米【22题答案】【答案】（1） （2）⎛ ⎝πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(]4,6。

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z 34A x x x =∈+<，{}1,2,5B =-，则A B 中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据并集的定义，即可求解.【详解】因为{}()(){}{}{}2Z 34Z 140Z 413,2,1,0A x x x x x x x x =∈+<=∈-+<=∈-<<=---，{}1,2,5B =-，所以{}3,2,1,0,2,5A B =--- ，有6个元素.故选：C.2.命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是（）A.x ∀∈Q ，2tan x ∉QB.x ∀∈Q ，2tan x ∈QC.x ∃∈Q ，2tan x ∈QD.x ∀∉Q ，2tan x ∈Q【答案】A 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.【详解】命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是x ∀∈Q ，2tan x ∉Q .故选：A.3.已知i 是虚数单位，则复数12i1i--的虚部是（）A.12-B.12C.32-D.32【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算得出结果.【详解】()()()()12i 1i 12i 3i 31i 1i 1i 1i 222-+--===---+，所以复数12i1i --的虚部为12-，故选：A.4.函数()ln e exxx f x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的定义域，排除CD 选项，再由函数()f x 的为偶函数，排除A 选项，即可求解.【详解】由函数()ln e exxx f x -=+，可得其定义域为{}0x x ≠，可排除C 、D 选项，又由()()ln ln e ee exxxxx x f x f x ----===++，所以函数()f x 为偶函数，排除A 选项.故选：B.5.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则13x y+的最小值是（）A.8B.12C.16D.10+【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.【详解】解：lg 2lg8lg 2x y +=()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x >，0y >()1313333101016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当14x y ==时取等号.故选：C【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.6.已知随机事件A ，B ，C 中，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B = （）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72【答案】B 【解析】【分析】由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 可知只需求出()(),P B P AB 即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.【详解】()1()0.4P B P C =-=，()()()0.30.40.12P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()0.30.40.120.58P A B P A P B P AB =+-=+-= .故选：B.7.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】甲乙丙丁甲得奖乙得奖丙没得奖丁没得奖由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8.设5log 2a =，0.60.5b =，0.50.6c =，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.b a c>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出12a <，12b >，即可判断出b a >，再利用作差法比较,c b 的大小关系即可求解．【详解】解：551log 2log 2a =<=，10.620.150.5b ==>，b a ∴>，350.610.52b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，120.530.65c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，10351011264b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∴==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，101210324353125c ⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，10102431124270312564200000c b -=-=> ，c b ∴>，c b a ∴>>，故选：A ．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象B.直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴C.()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】CD 【解析】【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可.【详解】对于A ，由()f x 的图象向左平移π6个单位得：ππππsin 2=sin 26362f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不相同，故A 错误；对于B ，将π3x =代入得：πππ5πsin 2=sin 3366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时既不是最高点，也不是最低点，所以直线π3x =不是()f x 图象的一条对称轴，故B 错误；对于C ，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由于sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而2π7ππ3π,,3622⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ，将5π12x =代入得：5π5ππsin 2=sinπ012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时是函数零点，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确；故选：CD ．10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s ．记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212[()][()]m n s s x s y m n m nωω=+-++-++．A.男生样本容量为50 B.每个女生被抽到的概率110C.抽取的样本的均值为165D.抽取的样本的方差为43【答案】ABD 【解析】【分析】根据抽样比即可求解人数判断A ，根据概率公式即可求解B ，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD.【详解】对于A ，男生被抽的人数为5009050900⨯=，故A 正确，对于B ，每个女生被抽到的概率为40090190040010⨯=，故B 正确，对于C166=，故C 错误，对于D ，样本的方差为22254[19(170166)][28(161166)]4399s =+-++-=，故D 正确，故选：ABD11.如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为4，M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且||1PC '=，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A 到点PB.保持PM 与BD '垂直时，点M的运动轨迹长度为C.若保持||PM =，则点M 的运动轨迹长度4π3D.平面AD P '截正方体ABCD A B C D -''''所得截面为等腰梯形【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面展开即可判断A ；过P 做平面//PEF 平面ACB '，即可判断B ；根据点M 的轨迹是圆弧，即可判断C ；作出正方体ABCD A B C D -''''被平面AD P '所截的截面即可判断D ．【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则AP ==<A 错误；对于B ，如图：DD ' 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，AC ∴⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B ',AC BD '∴⊥，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A '= ，AC ，AB '⊂平面ACB '．BD '∴⊥平面ACB '．∴过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊂/平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，//PG ∴平面ACB '，同理可得//GF平面ACB '，,,PG GF G PG GF ⋂=⊂平面PGF ，则平面//PGF 平面ACB '．设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且||1PC '=，可得||||1DG DF ==，//EF B C'∴34EF AD ==，故B 正确；对于C ，如图：若||PM =，则M 在以P 为球心，为半径的球面上，过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，则||1D Q '=，此时||2QM =．∴点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M 的运动轨迹长度2π4π×2=33，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，∴平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '．~PCH D DH ' ，∴||||||3||||||4PH PC HC D H DD DH ===''，~ICH ADH ，∴||||||3||||||4CI HC IH DA DH AH ===，∴||||||3||||||4PH IH PI D H AH AD ===''，//PI AD '∴，且||||PI AD '≠，∴截面AIPD '为梯形，||||AI PD '===，∴截面AIPD '为等腰梯形，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，若a b a b ⋅=-⋅ ，则m 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量,a b的夹角为πθ=，设(0)b a λλ=< ，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】设向量,a b的夹角为θ，因为a b a b ⋅=-⋅ ，可得cos 1θ=-，因为[0,π]θ∈，所以πθ=，即向量a 与向量b反向，又因为向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，设(0)b a λλ=< ，可得)((,13),1m m m λ-+=，可得3m m m λλλ=⎧⎨+=-⎩且0λ<解得1,1m λ=-=-.故答案为：1-.13.如图60°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB ，6AC BD ==，8AB =，则CD =__________．【答案】10【解析】【分析】过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，先证明BDE V 为等边三角形，从而得到DE ，再证明CE DE ⊥，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，则60DBE ∠=︒，又6BD BE ==，所以BDE V 为等边三角形，所以6DE =，则四边形ABEC 为矩形，即CE AB =，由AC AB ⊥，则EB AB ⊥，又BD AB ⊥，且BD EB B = ，所以AB ⊥平面BDE ，所以CE ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，所以CE DE ⊥，则由勾股定理得10CD ==．故答案为：10．14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t ，其中*N t ∈，则t 的一个取值可以为______．【答案】25（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据*N t ∈求解.【详解】如图所示的三棱锥中，5,21,23,29,8AB AC BC BD CD =====,在,ABC BCD 中，三边关系符合三角形的边角关系，设AD t =，则1329AC CD AD AC CD AD -<<+⇒<<且2434BD AC AD BD AC AD -<<+⇒<<，因此2429AD <<，由于*N t ∈，故可取25t =，故答案为：25（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设锐角ABC V 的内角、、A B C 的对边分别为,2sin a b c c A =,,，（1）求角C ；（2）若边7c =，面积为，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3；（2）20.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到sin 2C =，求出π3C =；（2）由三角形面积得到40ab =，根据余弦定理得到13a b +=，从而得到周长.【小问1详解】由2sin c A 及正弦定理，得2sin sin C A A =，又π02A <<，得sin 0A >，所以3sin 2C =，又C 为锐角，所以π3C =；【小问2详解】由（1）得13sin 24ABC S ab C ab ===△40ab =，由余弦定理，得()()222222cos 22cos 3c a b ab C a b ab ab C a b ab =+-=+--=+-，所以()223169a b c ab +=+=，所以13a b +=，所以ABC V 的周长为13720l a b c =++=+=．16.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm 以上（含176cm ）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm 以上（含176cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率．【答案】（1）0.05；169.5（2）6（3）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解a 的值，再结合百分位数的定义即可求解结果；（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，()0.010.020.020.080.0741a +++++⨯=，解得0.05a =.因为()0.050.0740.48+⨯=，0.0840.32⨯=，所以第60百分位数落在[)168,172区间内，设第60百分位数为x ，则()1680.080.12x -⨯=，解得169.5x =，即第60百分位数为169.5.【小问2详解】由图知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数频率为0.0340.12⨯=，则身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为500.126⨯=.【小问3详解】由（2）知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为6，则身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为1623⨯=，男生中身高在[)176,180内的人数为4，令身高在[)176,180内编号为1,2,3,4，身高在[)180,184内编号为5,6，则样本空间为()()()()(){()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()}3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，所以该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率为815.17.如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，点E ，F 分别为棱BC ，PD 的中点，Q 是线段PC 上的一点．（1）若Q 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PQ PC 的值；（2）若三棱锥C EQA -的体积为6，求直线AQ 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）23（2）14【解析】【分析】（1）根据线线平行可得平面BNMK //平面AEF ,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解AQH ∠的余弦值，根据AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角即可求解.（2）根据体积公式可得Q 是PC 中点，进而根据线线垂直证明PD ⊥平面AEF ，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解【小问1详解】取PA 中点为K ，取PF 中点M ，过M 作//MN PQ ,连接BN ，由于1//,,2KF AD KF AD =且1//,2BE AD BE AD =，故//,KF BE BE KF =,故四边形BEFK 为平行四边形，故//BK EF ，BK ⊄平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,故//BK 平面AEF又//KM AF ,KM ⊄平面AEF ,AF ⊂平面AEF ,故//KM 平面AEF ,,,KM BK K KM BK ⋂=⊂平面BNMK ，故平面BNMK //平面AEF ,由于平面PBC 与平面BNMK 相交于BN ,于平面AEF 相交于EQ ，故//EQ BN ，又//MN PQ ，M 是PF 的中点，N 是BC 的中点，所以,NQ QC NQ PN ==,故Q 是PC 靠近于C 处的三等分点，故23PQ PC =【小问2详解】由于三棱锥C EQA -36，由于60,2ABC AB BC ∠=︒==,故ABC V 为等边三角形，故,3,AE BC AE ⊥=则11111331332326C EQA Q ECA ACE Q Q Q V V S h AE EC h h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⋅= ,故1Q h =，即Q 到平面ABCD 的距离为1，由于2PA =,故Q 是PC 中点，由于PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,故PA AE ⊥,又,//AE BC AD BC ⊥,则AE AD ⊥，,,PA AD A PA AD ⋂=⊂平面PAD ，故AE ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故AE PD ⊥,又,PA AD F =为中点，故AF PD ⊥,,,AF AE A AF AE ⋂=⊂平面AEF ，故PD ⊥平面AEF ，取CD 的中点H ，连接HQ ,则//HQ PD ,故HQ ⊥平面AEF ，22221111222,2222222AQ PC QH PD ==+===+=,223AH AD DH =-=,则2222231cos 24222AQ QH AH AQH AQ QH +-+-∠===⋅⨯⨯,由于AQH ∠为锐角，且AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角，因此AQ 与平面AEF 所成角的正弦值为1418.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称非零向量(),p a b = 为()f x 的“特征向量”，()f x 为p 的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sin cos 36h x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的“特征向量”；（2）若函数()f x 的“特征向量”为(3p = ，求当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）若)3,1p = 的“特征函数”为()f x ，11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦且方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2433-（3）(]()1,34,5 ．【解析】【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可；（2）由已知可得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程()()()2230f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-且31a -≠，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，11π[0,]6x ∈的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的的范围．【小问1详解】因为()3131312cos sin cos sin cos sin 222222h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ℎ的“特征向量”为13,22p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意知()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()85f x =得π82sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【小问3详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ,2π66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．由()()()2230f x a f x a +-+-=得()()()()()130f x f x a ---=，所以()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或2π3x =，即()1f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，因为方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，所以当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，因为方程()()34f x a a =-≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即当且仅当函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线()34y a a =-≠有两个公共点，由图像可知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数G 的取值范围是(]()1,34,5⋃．个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题.19.在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c = ，点0000(,,)P x y z ．若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1α：210x y --=，平面1β：3210y z -+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}P x y z x y z =≤≤≤，{(,,)|||||||2}Q x y z x y z =++≤，{(,,)|||||2,||||2,||||2}T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤．记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W ．（ⅰ）求1V 和2V 的值；（ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．【答案】（1）()1,2,3（2）（ⅰ）1323V =；2203V =；（ⅱ）316V =，12-【解析】【分析】（1）根据直线l 满足方程，对y 进行合理取值两次，求出,x z 即可求解；（2）（ⅰ）根据分析得到P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可；（ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可．【小问1详解】直线l 是两个平面210x y --=与3210y z -+=的交线，所以直线l 上的点满足2103210x y y z --=⎧⎨-+=⎩，不妨设1y =，则1,2x z ==，不妨设3y =，则2,5x z ==，∴直线l 的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3---=；【小问2详解】（ⅰ）记集合Q ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ，考虑集合Q 的子集{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，即为三个坐标平面与2x y z ++=转成的四面体，四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323Q V '=⨯⨯⨯⨯=，由对称性知13283Q V V '==，考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}P x y z x y z '=≤≤≤≤≤≤，{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，P Q ''∴ 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为41231111(11)326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=，P Q ''∴ 的体积为412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= ，∴由对称性知22083P Q V V ''== ．（ⅱ）①记集合T 中所有点构成的几何体为W，如图，其中，正方体ABCD LIJM -即为集合P 所构成的区域，E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，W ∴的体积34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=．②由题意面EBC 的方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量为1(1,0,1)n = ，面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n = ，1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ ，由图知两个相邻面所成的角为钝角，∴所成二面角的余弦值为：12-．【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决．。

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案

2024—2025学年郑州市高二（上）开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a ，b ，c 满足2b ac =，则a c bb a c+++的最小值为（）A.1 B.32C.2D.522.已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（）A.c b a<< B.a b c<< C.a <c <bD.c <a <b3.已知1133log (1)log (1)a b -<-，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.1120222021ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.n 0()l a b -> D.若AC abAB =，则点C 在线段AB 上4.已知函数()π37π5sin 2,0,63f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()4F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<< ，则1231222n n x x x x x -+++++= （）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos a cC C b+=+，则a cb +的最大值为（）C.328.已知12,z z 是复数，满足124z z +=，13=z ，12z z -=12⋅=z z （）A.32B.3C. D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若12z z =，则12Rz z ∈B.若112z =-+，则202411i22z =-C.若12=z z ，则2212z z =D.若12z z z z -=-，且12z z ≠，则z 在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC 的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC.()f x 的单调增区间是ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O 截得的弦长为④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是.13.若函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =，则()y f x =和()y g x =在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式()(3)0t g t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[)0,20，[]80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.17.（15分）ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π==+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且2AD BC =，8PA PB AD ===，5CD =，点E ，F 分别为棱PD ，AD 的中点.(1)若平面PAB ⊥平面ABCD ，①求证：PB AD ⊥；②求三棱锥P ABE -的体积；(2)若8PC =，请作出四棱锥P ABCD -过点B ，E ，F 三点的截面，并求出截面的周长.19.（17分）已知平面向量π2sin 3cos 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数.(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a ，b ，c 为正数且满足2b ac =，所以2a c b +≥=，当且仅当a b c ==时等号成立，令a c t b+=，[)2,t ∈+∞，则1a cb t b ac t ++=++，令1y t t =+，[)2,t ∈+∞，又1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取得最小值为15222+=，所以a c bb a c+++的最小值为52，当且仅当a b c ==时取得.故选D.2.【答案】D 【解析】293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯=()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x xπ>10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a >∴c<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log (1)log (1)a b -<-，则101011a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即1a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为12022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且a b >，所以1120222022ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1b >，所以by x =在()0,+∞单调递增，所以1120222021bb⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以1120222021a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为1a b >>，所以0a b ->，当01a b <-<时，()ln 0a b -<，当1a b ->时，()ln 0a b ->，故C 错误；又1a b >>，所以1ab >，由AC abAB =可得点C 在AB 延长线上，故D 错误；故选B.4.【答案】A【解析】函数()π5sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，可得1ππ()23x k k =+∈Z ，即函数的对称轴方程为1ππ()23x k k =+∈Z ，又()f x 的周期为πT =，37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1π37ππ=233k +，可得24k =，所以函数在37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366n n x x x x x x -+=⨯+=⨯+=⨯ （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312π5π8π71π22226666n n x x x x x -⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+7124π876π==292π323⨯⨯=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A 与C 互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B 与D 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369P A P D P AD ===-===，显然()()()P A P D P AD ≠，所以A 与D 不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612P B P C P BC ====，显然()()()P B P C P BC =，所以B 与C 相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，所以()5π3π18k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()5ππ6k k ϕ=-∈Z ，又因为ππ22ϕ-<<，所以6ϕ=π，所以()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()πcos 306f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()ππ3π62x k k +=+∈Z ，解得ππ39k x =+，因为[]0,πx ∈，所以π9x =，4π9，7π9.即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有2cos a cC C b++由正弦定理得sin 2sin sin sin cos A C B C B C +=+，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin 2sin sin B C C B C +=，因为sin 0C ≠，所以cos 2B B -=，即π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ62B -=，即2π3B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()222a c ac a c ac=++=+-()()222324a c a c a c +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则233a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，所以33a cb b +≤=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()z z z z z z z z z z +=+⋅+=+⋅+，且124z z +=，13=z ，即221211121222212129||()16z z z z z z z z z z z z z z +=+++=+++=，得221212||7z z z z ++=；同理因为21212121212()()()z z z z z z z z z z -=-⋅-=-⋅-，且12z z -=即221211121222212129||()10z z z z z z z z z z z z z z z -=--+=+-+=，得：221212||1z z z z --=；联立可得：224z =，22z =，1212||326z z z z ⋅=⋅=⨯=.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i ,R z m n m n =+∈，则1i z m n =-，所以2212R z z m n =+∈，故A 正确；对于B，由112z =-，得2211122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22421111i i 2222z z⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以450220462112z z ⨯-==，故B 错误；对于C，若121,i z z ==，则12=z z ，而22121,1z z ==-，故C 错误；对于D，因为12z z ≠，设12,z z 对应的点为,A B ，若12z z z z -=-，则z 在复平面内对应点到A 和B 的距离相等，即z 在复平面内对应点在线段AB 的垂直平分线上，所以z 在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x =时，()π02tan 24OC f ===，因为2ABC S π= ，所以122ABCS OC AB π== ，得π2AB =，即函数()f x 的最小正周期为π2，由πT ω=得2ω=，故A 不正确；B：由选项A 可知()π2tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ242k x +=，k ∈Z ，解得ππ48k x =-，k ∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,048k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故B 不正确；C：由ππ3ππ2π242k x k +<+<+，k ∈Z ，得π5ππ8282πk k x +<<+，k ∈Z ，故C 正确；D：将函数()f x 图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 不正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()1,0,0E 、()2,2,1F 、()1,1,1O ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于①，()1,1,1OD =-- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，若存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ，只需OD EF ⊥，OD EG ⊥，则1210OD EF ⋅=-+-= ，10OD EG a ⋅=-+=，解得1a =，此时，G 为BC 的中点，故当点G 为BC 的中点时，OD ⊥平面EFG ，①对；对于②，当点G 与点B 重合时，A ∈平面EFG ，②错；对于③，()0,1,1EO = ，()1,2,1EF =，则3cos 2EO EF OEF EO EF ⋅∠==⋅，因为0πOEF ≤∠≤，则π6OEF ∠=，所以，点O 到EF的距离为π12sin 622d EO === ，所以，直线EF 被球O截得的弦长为=对于④，设点O 在EF 上的射影为点M ，过直线EF 的平面为α，当直线OM 与平面α垂直时，平面α截球O 所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为22=，因此，半径最小的圆的面积为2ππ22⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令πsin cos )4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,]4-.13.【答案】3π【解析】因为()7tan f x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，()5sin 2g x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以两函数的交点也关于π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭对称，k ∈Z ，又因为函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，且123456x x x x x x <<<<<，其中13,x x 关于()0,0对称，20x =，46,x x 关于()π,0对称，5πx =，所以1234563πx x x x x x +++++=.故答案为：3π.14.【答案】3/【解析】正四棱台1111ABCD A B C D -的对角面为11ACC A 是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACC A 中，11AC A C ==，因为1AA =h =所以该棱台的体积为()221442233V =+⨯+⨯.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2a b ==；(2)43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227x f x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ，最小值为420a b -++=，解得1,2a b ==.（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310t g t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-，而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增.由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=.因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C 1C 10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.17.（15分）【答案】（1）2.【解析】（1）在ABC中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a BAb ==.（2）由2B A π=+得cos cos sin 2()B A A π=+=-=A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)232 6.2+【解析】（1）①因为平面PAB ⊥平面,ABCD 平面PAB ⋂平面,ABCD AB =又因为底面ABCD 为直角梯形，其中//,AD BC 所以,AD AB ⊥又因为AD ⊂面,PAD 所以AD ⊥面.PAB 又因为PB ⊂面,PAB 所以.PB AD ⊥②由①知AD ⊥面,PAB 取PA 的中点设为,Q 连结,QE 则,QE AD //则QE ⊥面,PAB 则点E 到面PAB 的距离为14.2AD =又因为在ABCD 直角梯形ABCD 中4BC =，8PA PB AD ===，5,CD =解得3,AB =所以在等腰三角形PAB 中PAB S =△3247.4三棱锥P ABE -的体积132474247.34V =⨯⨯=（2）取线段PC 的中点H ，连接,EH HB ，因为DN BC =，且//DN BC ，所以四边形NDCB 为平行四边形，所以//DC NB ，又,E H 分别为线段,PD PC ，所以//EH DC ，所以//EH NB ，则四边形EHBN 为四棱锥P ABCD -过点,B E 及棱AD 中点的截面，则5BN CD ==，142EN PA ==，1522HE CD ==，在PBC 中，14,4,2BC HC PC ===，21cos 84PCB ∠==，所以22212cos 161624424.4BH BC HC BC HC HCB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则 6.BH =，所以截面周长为523546622BN EN HE HB +++=++=+19.（17分）【答案】(1)3π；(3)max ()2f x =，5π12x =【解析】（1）解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭ ，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝ ，π13322f a b ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭==.解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅)2sin212sin x x =-sin2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π.（3）当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =.。

四川省遂宁2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题含答案

四川省遂宁2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题含答案

四川省遂宁市2024-2025高二上开学考数学试卷（答案在最后）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设252i1i i z +=++，则z =（）A.12i - B.12i+ C.2i- D.2i+【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.2.sin 70sin 40sin 50cos110︒︒-︒︒=（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】sin 50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；cos110cos(18070)cos70︒=︒-︒=-︒；∴原式sin 70sin 40cos 40cos 70︒︒+︒︒=()cos 7040cos302=︒-︒=︒=.故选：C3.函数()ln(2)f x x =-的定义域为（）A.()1,2 B.[)1,2C.(]1,2 D.[]1,2【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式，列出关于x 的不等式组，求出解集即可．【详解】解：因为()ln(2)f x x =-，则1020x x -≥⎧⎨->⎩，解得12x ≤<，所以所求函数的定义域为[)1,2．故选：B4.已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若//m α，m n ⊥，则n α⊥B.若//m α，βα⊥，则//m βC.若//m α，n α⊥，则m n ⊥D.若//m α，m β⊥，则v/【答案】C 【解析】【分析】AB 可举出反例，C 选项，由线面垂直的定义得到结论；D 选项，先得到线面垂直，结合面面垂直判定定理得到D 错误.【详解】若//m α，不妨设m 在α内的投影为m '，则//m m '，对于选项A ：若//m α，m n ⊥，则n m '⊥，结合线面垂直判定定理可知，n 不一定垂直α，n 可能与α平行，也可能斜交，故A 错误；对于选项B ：若//m α，βα⊥，此时m 与β可能相交、平行或m 在β上，故B 错误；对于选项C ：因为n α⊥，m α'⊂，则n m '⊥，又m //m '，从而m n ⊥，故C 正确；对于选项D ：因为//m α，m β⊥，则m β'⊥，又m α'⊂，结合面面垂直判定定理可知，βα⊥，故D 错误．故选：C.5.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为em，众数为o m ，平均值为x ，则（）A.e o m m x ==B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x<<【答案】D 【解析】【分析】根据直方图，结合中位数、众数、平均数的定义求出对应值，比较大小即可.【详解】由图，得分从小到大，中位数为第15和16名的平均值，则565.52e m +==，而众数为5o m =，平均数6125036211618205.9730x +++++++=≈，所以o e m m x <<.故选：D6.已知向量a ＝（3，1），b ＝（2，2），则cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝（）A.117B.1717C.55 D.55【答案】B 【解析】【详解】分析：利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得|a ＋b|，|a －b|，（a ＋b ）·（a －b ），从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解．详解：因为a ＝（3，1），b ＝（2，2），所以a ＋b ＝（5，3），a －b ＝（1，－1），则|a ＋b|＝＝，|a －b|＝＝，（a ＋b ）·（a －b ）＝5×1＋3×（－1）＝2，所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝＝＝.故选B.7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，1144AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG = （）A.1122AD AB -B.1122AB AD -C.3142AD AB - D.3142AB AD -【答案】B 【解析】【分析】利用向量加减法的几何意义将DG 转化为AB 、AD即可.【详解】1122DG DE DF=+113()224DA AE DC =++⋅113()248AD AB AB =-++1122AB AD =-.故选：B8.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约为7 2.65≈）（）A.931.010m ⨯B.931.210m ⨯ C.931.410m ⨯ D.931.610m ⨯【答案】C 【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =++=⨯⨯⨯+⨯'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的函数是（）A.y x =B.1y x =+C.23y x = D.1y x=-【答案】BC 【解析】【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解【详解】对于A ：()f x x =的定义域为R ，且()()f x x f x -=-=-，所以()f x x =为奇函数，故A 错误；对于B ：()1f x x =+的定义域为R ，且()()11f x x x f x -=-+=+=，所以()1f x x =+为偶函数，当()0,x ∈+∞时()1f x x =+，由一次函数的性质可知，()1f x x =+在()0,∞+上单调递增，即()1f x x =+在()0,∞+上单调递增，故B 正确；对于C ：()23f x x ==R ，且()()f x f x -===，所以()23f x x =为偶函数，由幂函数的性质可知，()23f x x =在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ：()1f x x =-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且()()11f x f x x x-=-==--，所以()1f x x=-为奇函数，故D 错误；故选：BC10.我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{|S A x x S =∈ð且}x A ∉，类似地，对于集合A 、B 我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉，叫做集合A 和B 的差集，记作A B -，例如：{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，则有{1,2,3}A B -=，{6,7,8}B A -=，下列解析正确的是（）A.已知{4,5,6,7,9}A =，{3,5,6,8,9}B =，则{3,7,8}B A -=B.如果A B -=∅，那么A B⊆C.已知全集、集合A 、集合B 关系如上图中所示，则U B A A B-=⋂ðD.已知{|1A x x =<-或3}x >，{|24}B x x =-≤<，则{|2A B x x -=<-或4}x ≥【答案】BD 【解析】【分析】根据集合新定义判断A 、B ，应用韦恩图确定B A -判断C ，由U A B A B -=⋂ð求集合判断D.【详解】A ：由B A -={|x x B ∈且}x A ∉，故{3,8}B A -=，错误；B ：由A B -={|x x A ∈且}x B ∉，则A B -=∅，故A B ⊆，正确；C ：由韦恩图知：B A -如下图阴影部分，所以U B A B A -=⋂ð，错误；D ：{|2U B x x =<-ð或4}x ≥，则{|2U A B A B x x -=⋂=<-ð或4}x ≥，正确.故选：BD11.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为正方形，2AB =，1AA =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点.则（）A.1A E DF⊥ B.点1A ､E ､F ､1C 四点共面C.直线1C D 与平面11BB C C所成角的正切值为 D.三棱锥1E C DF -的体积为22【答案】BCD 【解析】【分析】利用反证法判断A ；利用直线平行判断B ；利用线面角的定义判断C ；利用锥体体积公式判断D.【详解】对于A ，假设1A E DF ⊥，由题意知⊥BC 平面11AA B B ，1A E ⊂平面11AA B B ，1A E BC ∴⊥，又BC DF F =I ，1A E ∴⊥平面ABCD ，由长方体性质知1A E 与平面ABCD 不垂直，故假设不成立，故A 错误；对于B ，连接EF ，AC ，11A C ，由于E ，F 分别为AB ，BC 的中点，//EF AC ∴，又因为长方体1111ABCD A B C D -，知11//A C AC ，11//EF A C ∴，所以点1A ､E ､F ､1C 四点共面，故B 正确；对于C ，由题意可知DC ⊥平面11BB C C ，1DC C ∴∠为直线1C D 与平面11BB C C 所成角，在直角1DCC中，1CC =，2CD =，则11tan DC DC C C C ∠===C 正确；对于D ，连接DE ，1C E ，2AB AD == ，则DEF ABCD ADE BEF CDF S S S S S =---V W V V V 1113222111122222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=，利用等体积法知：1111123332E C DF C DEF DEF V V S CC --==⋅⨯⨯=⋅=V ，故D 正确故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合{}|01A x x =<<，{}|03B x x =<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要"）.【答案】充分不必要【解析】【分析】根据集合的包含关系直接得到答案.【详解】{}|01A x x =<<，{}|03B x x =<<，A B Ü，故“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的理解能力，转化为集合的包含关系是解题的关键.13.如果用半径为3R =___________.【答案】3【解析】【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高.【详解】半径为23R =23π，圆锥的底面圆的周长为23π，3()()222333-=，故答案为：3.14.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进60m 到达点B ，在点B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是______m.【答案】30【解析】【分析】作出图形，设柱CD 的高度为h ，结合三角函数得到AC h =，BC =，在ABC V 中，由余弦定理得到方程，求出30h =，得到答案.【详解】如图所示，设水柱CD 的高度为h ，在Rt △ACD 中，∵45DAC ∠=︒，∴AC h =，∵30BAE ∠=︒，∴60CAB ∠=︒，又∵B ，A ，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以C 为直角顶点的直角三角形，在Rt △BCD 中，30CBD ∠=︒，∴BC =，在ABC V 中，由余弦定理可得2222cos 60BC AC AB AC AB =+-⋅︒，∴)2221602602h h =+-⨯⋅，即23018000h h +-=，解得30h =，∴水柱的高度是30m ．故答案为：30四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）计算：132327log 3log 4lg 2lg508-⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭；（2）已知tan 2α=，求()3cos cos 2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）143（2）25-【解析】【分析】（1）根据指数与对数的运算性质化简计算.（2）用诱导公式化简式子，再用22sin cos 1αα+=把式子转化成一个齐次式，在把分子分母同时除以2cos α，就可得到关于tan α的式子，代入tan 2α=即可得到答案.【详解】（1）11333232327log 3log 4lg 2lg50=log 32log lg100=+2+23214+2+23=38--⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅++⨯⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()()2223sin cos tan 2cos cos sin cos 25sin cos tan 1πααααπαααααα--⎛⎫+⋅-=⋅-===- ⎪++⎝⎭.16.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)[50,60),,[90,100]⋅⋅⋅，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；（2）已知落在[)50,60的平均成绩是56，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030a =，第80百分位数为86，平均数为74；（2）62z =，223s =.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解；（2）由[)50,60和[)60,70组的平均数和方差即可求得总平均数z 和总方差2s .【小问1详解】∵每组小矩形的面积之和为1，∴(0.0050.0100.0200.0250.010)101a +++++´=解得：0.030a =成绩落在[40,80)内的频率为(0.0050.0100.0200.030)100.65+++⨯=．落在[40,90)内的频率为(0.0050.0100.0200.0300.025)100.9++++⨯=．设第80百分位数为m由0.65(80)0.0250.80m +-⨯=，得86m =，故第80百分位数为86.设平均数为x ，由图中数据可知：10(450.005550.010650.020750.030850.025950.010)x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.25 5.51322.521.259.574=+++++=.【小问2详解】由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[60,70)的市民人数为1000.220⨯=．故10566520621020z ⨯+⨯==+,222110(5662)10720(6562)204231020s ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯-+⨯=⎣⎦+.所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 为棱BC 的中点．（1）证明：1AC ∥平面1AB D ；（2）求点1A 到平面1AB D 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）255【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明（2）由等体积法求解【小问1详解】证明：连接1A B 交1AB 于O ，连接OD ，正三棱柱111ABC A B C -中，易得O 为1AB 中点，又D 为BC 的中点，所以OD ∥1AC ，因为1A C ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ，所以1AC ∥平面1AB D ；【小问2详解】因为1AC ∥平面1AB D ，所以C 与1A 到平面1AB D 的距离相等，由题意得1AB =，1DB =，AD =，因为22211AD DB AB +=，所以AD ⊥DB 1，所以111522ADB S == ，13122ADC S =⨯=△，设C 到平面ADB 1的距离为h ，则11C ADB B ACD V V --=，所以11233=，所以255h =，即点A 1到平面AB 1D 的距离为255．18.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，已知())1cos ,sin ,,m A B n b =+=且m n ∥.（1）求角A 的大小；（2）若D 是BC 的中点，1AD =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）π3A =（2）3【解析】【分析】（1）根据向量共线坐标满足公式列出方程，结合正弦定理化简，即可得到结果；（2）由()12AD AB AC =+ ，结合向量的模长公式，根据基本不等式以及三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由())1cos ,sin ,,m A B n b =+= 且m n ∥得：()1cos sin A b B +=，由正弦定理得()1cos sin sin A B A B +=，()π0,π,sin 0,1cos ,2sin 1,6B B A A A ⎛⎫∈∴≠∴+=∴-= ⎪⎝⎭Q 又()ππ5πππ0,π,,,66666A A A ⎛⎫∈-∈-∴-= ⎪⎝⎭Q ，即π3A =；【小问2详解】由()12AD AB AC =+ ，得到()222124AD AB AC AB AC =++⋅ ，则2242cos b c bc BAC ∠=++，化简得22442,3b c bc bc bc +=-≥∴≤，当且仅当b c =时，等号成立，ABC ∴ 面积114sin 22323S bc A =≤⨯⨯=，即ABC V 面积的最大值为3；19.某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足520t ≤≤，N t ∈，经测算.该路无人驾驶公交车载客量()p t 与发车时间间隔t 满足：()()26010,51060,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中N t ∈.（1）求()5p ，并说明()5p 的实际意义：（2）若该路公交车每分钟的净收益()62410p t y t +=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.【答案】（1）()535p =；发车时间间隔为5分钟时，载客量为35（2）发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．【解析】【分析】（1）将5t =代入函数()y p t =的解析式，可计算出()5p ，结合题意说明()5p 的实际意义；（2）求出函数()612410p y t +=-的解析式，分别求出该函数在区间[)5,10和[]10,20上的最大值，比较大小后可得出结论.【小问1详解】()()256051035p =--=，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；【小问2详解】()62410p t y t +=- ，∴当510t £<时，()23606102421610110611038t y t t t --+⎛⎫=-=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当2166t t=，即6t =时，等号成立，所以，当6t =时，y 取得最大值38；当1020t ≤≤时，660243841010y t t⨯+=-=-，该函数在区间[]10,20上单调递减，则当10t =时，y 取得最大值28.4．综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．。

黑龙江省龙东十校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

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黑龙江省龙东十校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知空间向量()()1,3,5,2,,a b x y =-=r r ，且a r ∥b r ，则x y +=（ ）A ．10B ．6C ．4D ．4- 2．若32i i z =+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i -+C ．12i --D ．12i + 3．若向量()()1,2,1,2a b m =-=+r r ，且()a b a +⊥r r r ，则m =（ ） A ．−8 B ．8 C ．−2 D ．24．某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[]70,100内.现将所有学生的体能测试成绩按[)[)[]70,80,80,90,90,100分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[)70,80内的被抽取的学生人数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105．已知,αβ是两个不同的平面，l ，m 是α内两条不同的直线，则“//l β，且//m β”是“//αβ”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V =（ ） A ．29π B ．31π C ．87π D ．93π7．图，在九面体ABCDEFGH 中，平面AGF ⊥平面ABCDEF ，平面AGF ∥平面,HCD AG GF CH HD AB ====，底面ABCDEF 为正六边形，下列结论错误的是（ ）A ．GH ∥平面ABCDEFB ．GH ⊥平面AFGC ．平面HCD ⊥平面ABCDEFD ．平面ABG ⊥平面ABCDEF8．如图，在棱长为12的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱11,CD BC 的中点，平面1A EF 与直线1CC 交于点N ，则NF =（ ）A ．10B ．15C ．D ．二、多选题9．已知甲组数据为4,3,2，乙组数据为6,7,8，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ）A ．丙组数据的中位数为5B ．甲组数据的70%分位数是2C ．甲组数据的方差等于乙组数据的方差D ．甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数10．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且s i ns i n 5s i n ,1a B c A A b c b c +==++，ABC V的面积为ABC V 的周长可能为（ ）A ．8B ．5C ．9D ．511．已知边长为ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，P 为球O 表面上一动点，且P 不在平面ABC 上，当三棱锥P ABC -的体积最大时，直线PA 与平面ABC 所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（ ）A ．球O 的表面积为64πB ．PA 的最大值为10C ．三棱锥P ABC -体积的最大值为D ．当三棱锥P ABC -的体积最大时，若点Q 与点P 关于点O 对称，则三棱锥Q ABC -的体积为三、填空题12．已知空间向量()()()1,0,0,0,1,0,1,1,a b c m ===r r r ，若,,a b c r r r 共面，则m =.13．已知数据1,1,3,,4,7m 的极差为6，且80%分位数为220m -，则m =.14．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为12,,,AB AD AA 两两所成夹角均为60o ，点,E F 分别在棱11BB ,DD 上，且112,2BE B E D F DF ==，则EF =u u u r ；直线1AC 与EF 所成角的余弦值为.四、解答题15．7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[]90,100内，并将部分数据整理如下表：(1)估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；(2)估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知222,a b c a =+=.(1)求B ；(2)若a =BC 边上存在一点D ，使得DA AC ⊥，求AD 的长.17．如图，在三棱锥P ABC -中，O 为AC 的中点，平面POB ⊥平面,ABC ABC △是等腰直角三角形，,AB BC AC PA PB ⊥===(1)证明：PA PC =；(2)求二面角C PA B --的正弦值.18．如图，甲船在点M 处通过雷达发现在其南偏东60o 方向相距20海里的N 处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N 处向南偏西60o 的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距P 处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H 处会合．(1)求PN 的长；(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？19．将菱形ABCD 绕直线AD 旋转到AEFD 的位置，使得二面角E AD B --的大小为π3，连接,BE CF ，得到几何体ABE FDC -.已知π4,,,3AB DAB M N ∠==分别为,AF BD 上的动点且(01)AM BN AF BDλλ==<<.(1)证明：MN ∥平面CDF ；(2)求BE 的长；(3)当MN 的长度最小时，求直线MN 到平面CDF 的距离.。

山东省济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题含答案

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2024年新高二开学考试数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z -=+，则i z =（）A.2i +B.2i- C.i- D.i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果.【详解】由i 1i z -=+可得12z i =+，所以()2212i i 12i i 2i i 22i i i i 1z +++====-+=--.故选：B2.有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（）A.11B.12C.16D.17【答案】D 【解析】【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数.【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因为上四分位数是第75%分位数，则1275%9⨯=，所以这组数据的上四分位数为1618172+=.故选：D.3.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（）A.都是蓝球B.都是黄球C.恰有一个蓝球D.至少有一个蓝球【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可.【详解】事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”，所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”.故选：A4.已知向量(1,2),(3,1)a b =-=- ，则a 在b上的投影向量为（）A.31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C.,55⎛- ⎝⎭D.1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的公式求解.【详解】根据题意，a 在b上的投影向量为：131,222||||a b b b b b ⋅⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故选：A5.已知向量p 在基底{},,a b c 下的坐标是(2,3,1)-，则p 在基底{},,a a b b c ++下的坐标为（）A.(2,4,1)--B.(2,5,2)C.(2,5,1)-D.(2,4,1)-【答案】A 【解析】【分析】由题意可知23p a b c =+-，设p 在基底{},,a a b b c ++ 下的坐标为(),,x y z ，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.【详解】由题意可知23p a b c =+-，设p 在基底{},,a a b b c ++ 下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p xa y a b z b c x y a y z b zc =++++=++++，所以223411x y x y z y z z +==-⎧⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以p在基底{},,a a b b c ++ 下的坐标为()2,4,1--.故选：A6.如图，已知四棱锥M ABCD -，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E 为CD 的中点，则异面直线CM 与AE 所成的角的余弦值为（）A.35B.540C.515D.3520【答案】D 【解析】【分析】取MD 有中点F ，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦.【详解】取MD 的中点F ，连接,EF AF ，由E 为CD 的中点，得//EF MC ，122EF MC ==，则AEF ∠是异面直线CM 与AE 所成的角或其补角，正方形ABCD 中，225AE AD DE =+=，在△MAD 中，4MD MA ==，112cos 4AD ADF MD ∠==，2212222264AF =+-⨯⨯⨯，于是22235cos 220252AE EF AF AEF AE EF +-∠===⋅⨯，所以异面直线CM 与AE 所成的角的余弦值为3520.故选：D7.某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（）A.这部分同学是高分人数多还是低分人数多B.这部分同学是男生多还是女生多C.这部分同学的总人数D.全年级是男生多还是女生多【答案】B 【解析】【分析】根据平均数意义可判断A ；利用分层平均数公式可求出女生所占比例，可判断BC ；分析题中样本的抽取方式可判断D .【详解】对于A ，平均数描述平均水平，所以无法判断高分和低分人数，A 错误；对于B ，设这部分同学的平均分为x ，其中有男生m 人，女生n 人，平均分分别为12,x x ，根据分层平均数公式有12112m n n nx x x x x x m n m n m n m n=+=-+++++，整理得()211nx x x x m n-=-+，即121x x n m n x x -=+-，即根据两个平均数可求出这部分同学中女生所占比例，故B 正确；对于C ，由B 可知，只能求出男女生所占比例，无法确定总人数，C 错误；对于D ，因为题干并没有告诉这部分学生的抽取是否按照比例抽取，所以无法全年级是男生多还是女生多，D 错误.故选：B8.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin a A b c B =+，则a bc-的取值范围是（）A.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.1,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由()sin sin a A b c B =+，利用正弦定理得到()2a b c b =+，再利用余弦定理结合两角和的正弦公式得到2A B =，进而得到π03B <<，然后利用正弦定理和三角恒等变换，由sin sin sin a b A B c C --=12cos 1B =+求解.【详解】解：因为()sin sin a A b c B =+，由正弦定理得()2a b c b =+，由余弦定理得()222cos b c bc A b c b +-=+，即2cos c b b A -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=，又()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，所以sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A +-=，所以()sin sin cos sin cos sin B A B B A A B =-=-，又()0,πA ∈，()0,πB ∈，则()π,πA B -∈-，所以B A B =-或()πB A B +-=，即2A B =或πA =（舍去），则ππ3C A B B =--=-，所以02π,0π3π,B B <<⎧⎨<-<⎩解得π03B <<，则1cos 12B <<．所以()sin sin sin2sin sin2sin sin sin 3sin3a b A B B B B Bc C B Bπ----===-，()2sin cos sin 2sin cos sin sin 2sin2cos cos2sin B B B B B BB B B B B B--==++，()()22sin 2cos 1111,2cos 1322sin cos 2cos 1sin B B B B B B B -⎛⎫==⎪++-⎝⎭，即a b c -的取值范围是11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到2A B =，从而利用02π0π3πB B <<⎧⎨<-<⎩确定角B 的范围，由此得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：同学第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中个数）67564389乙（投中个数）84676575记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙.则下列结论正确的是（）A.x x >甲乙B.x x =乙甲 C.22s s <甲乙D.22s s >甲乙【答案】BD 【解析】【分析】根据给定的数据，利用平均数、方差的定义计算判断即可.【详解】依题意，6756438968x +++++++==甲，8467657568x +++++++==乙，所以x x =乙甲，A 错误，B 正确；2222222221[(66)(76)(56)(66)(46)(36)(86)(96)] 3.58s =-+-+-+-+-+-+-+-=甲，2222222221[(86)(46)(66)(76)(66)(56)(76)(56)] 1.58s =-+-+-+-+-+-+-+-=乙，所以22s s >甲乙，C 错误，D 正确.故选：BD10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点（不包括端点），则（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.二面角11Q A C D --的余弦值为13【答案】BD【解析】【分析】A 选项，由//PQ BD 推出//BD 平面11A C B ，矛盾；B 选项，建立空间直角坐标系，证明出11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，得到线面垂直，进而当Q 为1BC 的中点时，1//PQ A B ，此时PQ ⊥平面11AB C D ，故B 正确；C 选项，假设体积为定值，得到1//BC 平面APD ，求出平面的法向量，证明出1//BC 平面APD 不成立，C 错误；D 选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【详解】对于A ，若//PQ BD ，因为BD ⊄平面11A C B ，PQ ⊂平面11A C B ，所以//BD 平面11A C B ，矛盾，故A 错误．对于B ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()1112,0,0,2,2,2,2,0,2,2,2,0,0,2,2A B A B C ，因为()()()()()()112,2,22,0,00,2,2,2,2,02,0,20,2,2AB A B =-==-=-，()()()110,2,22,2,22,0,0B C =-=-，故()()110,2,20,2,2440AB A B ⋅=⋅-=-= ，()()1112,0,00,2,20B C A B ⋅=-⋅-=，故11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，因为1111AB B C B ⋂=，111,AB B C ⊂平面11AB C D ，故1A B ⊥平面11AB C D ，当Q 为1BC 的中点时，1//PQ A B ，此时PQ ⊥平面11AB C D ，故B 正确．对于C ，Q 在线段1BC 上运动，若三棱锥Q APD -的体积为定值，则1//BC 平面APD ，()()()()1,1,2,1,1,22,0,01,1,2P AP =-=-，D=2,0,0，设平面APD 的法向量为 =s s ，则()()()(),,2,0,020,,1,1,220m DA x y z x m AP x y z x y z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-++=⎪⎩ ，解得0x =，令1z =得2y =-，故()0,2,1m =-，故()()12,0,20,2,12BC m ⋅=-⋅-= ，故1BC 与()0,2,1m =-不垂直，故1//BC 平面APD 不成立，故C 错误；对于D ，二面角11Q A C D --即二面角11B A C D --，连接BP ，DP ，BD ，由于1111,A BC A DC 为等边三角形，则11BP A C ⊥，11DP AC ⊥，所以BPD ∠为所求二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则1111,A BC A DC的棱长为，故BP DP ==，BD =，由余弦定理可得2221cos 23BP DP BD BPD BP DP +-∠===⋅，二面角11Q A C D --的余弦值为13，故D 正确．故选：BD11.掷一枚质地均匀的骰子两次，设A =“第一次骰子点数为奇数”，B =“第二次骰子点数为偶数”，C =“两次骰子点数之和为奇数”，D =“两次骰子点数之和为偶数”，则（）A.C 与D 互为对立事件B.A 与D 相互独立C.1()4P AC =D.1()2P B D =【答案】ABC 【解析】【分析】根据对立事件的定义即可求解A ，利用列举法，求解对应事件包含的样本点，即可根据古典概型的概率公式求解CD ，结合独立事件的定义即可求解B.【详解】对于A,事件C 与事件D 不能同时发生，且并起来是全部的样本空间，故互为对立事件，A 正确；对于B ，抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，事件A的样本点为()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共18种，事件D的样本点为()()()()()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,2,6,3,1,3,3,3,5,4,2,4,4,4,6,()()()()()()5,1,5,3,5,5,6,2,6,4,6,6共有18种，事件AD 的样本点为()()()()()()1,1,1,3,1,5,3,1,3,3,3,5,()()()5,1,5,3,5,5共有9种，所以111(),(),()224P A P D P AD ===,由于()()()P AD P A P D =，故,A D 相互独立，B 正确，对于C ，事件AC 的样本点为()()()()()()1,2,1,4,1,6,3,2,3,4,3,6,()()()5,2,5,4,5,6共9种，故1()4P AC =,C 正确，对于D，事件B D的样本点为()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,2,2,4,2,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()()()()()()()4,2,4,4,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,2,6,4,6,6共27种，故273()364P B D == ，故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图：估计该校高二学生数学成绩的平均数为___________.【答案】75.5##1512【解析】【分析】由频率分布直方图的面积和为1求出a ，再根据平均数计算公式求解即可.【详解】由频率分布直方图的面积和为1得()100.0200.0350.0251a a ⨯++++=，解得0.01a =，所以该校高二学生数学成绩的平均数为550.1650.2750.35850.25950.175.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：75.5.13.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点M ，N 分别在棱BC ，AB 上，且满足AN BM =，当1D MNB V -的体积最小时，1B M 与平面1A MN 所成角的正弦值是______．【答案】4515【解析】【分析】设()02AN x x =≤≤，结合等积法，可求出当1D MNB V -的体积最小时，M ，N 分别是所在棱的中点；法一，根据1111M A B N B A MN V V --=，可求出点1B 到平面1A MN 的距离为h ，结合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.【详解】设()02AN x x =≤≤，则()()()1111222222222222DMN S x x x x x x =⨯-⨯---⨯-=-- ．由等体积法，得()112141412221333332D MNB B DMNDMN x x V V S x x ---+⎛⎫==⨯⨯=--≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当2x x -=，即1x =时，等号成立．所以当1D MNB V -的体积最小时，M ，N 分别是所在棱的中点．方法一易知11A N B M ==，13A M =，MN =．由余弦定理，得22213cos2A MN+-∠=，所以1sin2AMN∠=，所以1133222A MNS=⨯=．设点1B到平面1A MN的距离为h．根据1111M A B N B A MNV V--=，得11132213232h⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得43h=．所以1B M与平面1ANM所成角的正弦值为14315hB M==．方法二以点D为原点，以DA，DC，1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则()2,1,0N，()1,2,0M，()12,0,2A，()12,2,2B．所以()1,1,0MN=-，()11,2,2A M=--，()11,0,2MB=．设平面1A MN的法向量为 =s s，则10,0,n MNn A M⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,220.x yx y z-=⎧⎨-+-=⎩令1x=，得1y=，12z=，则11,1,2n⎛⎫= ⎪⎝⎭．设1B M与平面1A MN所成的角为θ，则1111111022sin cos,15n MBn MBn MBθ⨯+⨯+⨯⋅===．故答案为：1514.如图，在四边形ABCD中，ABCV的面积为()222134S AC ABBC=--，记ACD的面积为2S，CD=，设30CAD∠=︒，120BCD∠=︒，若存在常数λ，使12S Sλ=成立，则λ的值为___________【答案】333【解析】【分析】利用余弦定理及三角形面积公式，求得tan B 的值，得ABC ∠的大小，再设ACB α∠=，利用正弦定理得关于α的代数式，解出α，利用三角形面积公式，求出λ的值.【详解】在ABC V 中，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，因为222131()sin 42S AC AB BC AB BC B =--=⋅，所以3sin B B =，即tan 3B =-，又因为(0,180)B ∈︒︒，所以120ABC ∠=︒.设ACB α∠=，则120ACD α∠=︒-，30D α=︒+，60CAB α∠=︒-，在ACD 中，由正弦定理，sin sin CD AC CAD D=∠，在ABC V 中，由正弦定理，sin sin BC AC CAB B =∠，两式作商，得1sin(60)sin(30)cos(30)sin(30)4αααα︒-︒+=︒+︒+=，即1sin(602)2α︒+=，因为(0,120)α∈︒︒，所以602150α︒+=︒，45α=︒，11sin 452S AC BC =⋅︒，21sin(12045)2S AC DC =⋅︒-︒，假设12S S λ=，所以12132122222222AC BC AC DC λ⋅⋅=⋅⋅⋅⨯+⨯，解得333λ-=.故答案为：333四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平行四边形ABCD 中，4,2,120AB BC DAB ∠=== ，点E 是线段BC 的中点.（1）求AB AD ⋅的值；（2）若AF AE AD λ=+ ，且BD AF ⊥ ，求λ的值.【答案】（1）4-（2）2【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可求解，（2）根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求解.【小问1详解】1cos 4242AB AD AB AD DAB ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭【小问2详解】BD AD AB =- ，11(22AF AE AD AB AD AD AB AD λλλ=+=++=++ ，,0BD AF BD AF ⊥∴⋅= ，22111022AD AB AB AD λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-+-+⋅= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，即()114164022λλ⎛⎫⎛⎫+-+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2λ=.16.已知函数()()425x x f x a a a =-⋅-+∈R .（1）若2a =，求()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值；（2）若()0f x ≥在(),∞∞-+上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()min 2f x =，()max 3f x =（2）(,2⎤-∞⎦【解析】【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；（2）参变分离可得621221x x a ≤++-+在R 上恒成立，利用基本不等式求出62121x x +++的最小值，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】若2a =，()()242232223x x x x f x =-⨯+=-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x u =，因为[]1,1x ∈-，所以1,22u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()222312g u u u u =-+=-+，1,22u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()g u1上单调递减，在()1,2上单调递增，又()12g =，()23g =，1924g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()min 2g u =，()max 3g u =，所以()()min 02f x f ==，()()max 13f x f ==；【小问2详解】因为()0f x ≥在(),∞∞-+上恒成立，即()()2212216456212212121x x x x x x x a +-+++≤==+++++在R 上恒成立，又62122221x x ++-≥-=-+，当且仅当62121x x+=+，即)2log 1x =时等号成立，所以2a ≤，即a 的取值范围是(,2∞⎤-⎦.17.已知在ABC V 中，2,CA CB ABC ⋅=-△（1）求角C 的度数；（2）若2,,BC D E =是AB 上的动点，且DCE ∠始终等于30︒，记CED α∠=．当DE 取到最小值时，求α的值．【答案】（1）120C ∠=︒；（2）75︒．【解析】【分析】（1）设,CA b CB a ==，则1cos 2,sin 2ab C ab C =-=（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到DE =，根据角的范围求解即可．【小问1详解】设,CA b CB a ==，则cos 2ab C =-，又1sin 2ab C =tan C =，由C 为ABC V 的内角，所以120C ∠=︒.【小问2详解】由（1）知，1sin1202ab ︒=2a =，则2b =，因此2,30CA CB A B ==∠=∠=︒，在ACE △中，由正弦定理得sin sin 30CA CE α=︒，即1sin CE α=，在CDE 中，由正弦定理得sin sin 30CE DE CDE =∠︒，sin 301sin 2sin sin(150)CE DE CDE αα⋅︒===∠︒-2222=显然30120α︒≤≤︒，则有0260180α≤-︒≤︒，因此当sin(260)1α-︒=时，DE 取到最小值，此时26090α-︒=︒，即75α=︒，所以α的值75︒.18.已知()()2sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.（1）若π4ϕ=，函数=的最小正周期T 为4π，求函数=的单调减区间；（2）设函数=的部分图象如图所示，其中12AB AC ⋅=，(0,D ，求函数的最小正周期T ，并求=的解析式.【答案】（1）()π5π4π,4π22k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）4T =，()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据2πT ω=求出ω，求出()f x 的解析式，利用整体代换法计算即可求解；（2）由图可知,42T AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，,42T AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出4T =，进而求ω，将点D 代入解析式计算即可求解.【小问1详解】由题，2π4πT ω==，解得12ω=，故()1π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令()π1π3π2π2π2242k x k k +≤+≤+∈Z ，所以()f x 的单调减区间为()π5π4π,4π22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】由题，可得,42T AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，,42T AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此，2164T AB AC ⋅=-+ ，又12AB AC ⋅= ，得4T =.由2π4T ==ω，得π2=ω.再将(0,D 代入=，即2sin ϕ=.由π2ϕ<，解得π3ϕ=-.因此=的解析式为()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.19.已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，其中实数0a ≥.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若()f x 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围；（3）当0a =时，证明：()1ex f x x ->-.【答案】（1）0y =；（2）1a ≥；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）按0,01,1a a a =<<≥分类，利用导数探讨函数()f x 的单调性，确定最值情况即可.（3）把0a =代入，等价变形不等式，再构造函数()()1eln 1x g x x -=-+，利用导数求出最小值并判断大于0即可.【小问1详解】函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，求导得1()11f x ax x '=--+，则(0)0f '=，而(0)0f =，所以函数()f x 图象在0x =处的切线方程为0y =.【小问2详解】当0x ≥时，21()ln(1)2f x x ax x =--+，(1)()1x ax a f x x +-'=-+，当0a =时，()0f x '≥，当且仅当0x =时取等号，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，无最大值；当01a <<时，由()0f x '>，得10a x a -<<，函数()f x 在1[0,a a -上单调递增，1(0,a x a-∀∈，()(0)0f x f >=，则0不可能是()f x 在[0,)+∞上的最大值；当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，当且仅当0x =时取等号，因此函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，[0,)x ∀∈+∞，()(0)0f x f £=，即0是()f x 在[0,)+∞上的最大值，所以a 的取值范围1a ≥.【小问3详解】当0a =时，()ln(1)f x x x =-+，不等式()()11e e ln 10x x f x x x -->-⇔-+>，令函数()()1e ln 1x g x x -=-+，求导得()11e 1x g x x --'=+，显然函数()g x '在(1,)-+∞上单调递增，而11(0)10,(1)0e 2g g ''=-<=>，则存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，即()010001e 1ln 11x x x x -=⇔-=-++，当01x x -<<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>，即函数()g x 在0(1,)x -上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，因此()()()010000min 0011e ln 1112011x g x g x x x x x x -==-+=+-=++->++，所以()1e ln 10x x --+>恒成立，即()1e x f x x ->-成立.。

河北省盐山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

河北省盐山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

河北省盐山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题8．下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，m，1m+，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5 C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数D．甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ^====，M 为BC 中点.，N 为AB 的中点，(1)求证：1A N //平面1AMC ；(2)求平面1AMC 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；(3)求点C 到平面1AMC 的距离．1．A【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M x x x x =+³=³-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-£<I .故选：A2．A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.3．D【分析】根据向量的坐标运算求出a b l +r r ，a b m +r r，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==-r r ，所以()1,1a b l l l +=+-r r ，()1,1a b m m m +=+-r r，由()()a b a b l m +^+r r r r 可得，()()0a b a b l m +×+=r r r r ，即()()()()11110l m l m +++--=，整理得：1lm =-．故选：D ．4．B。

2025年山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学高二上学期9月开学分班考试数学试题+答案解析

2025年山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学高二上学期9月开学分班考试数学试题+答案解析

2024-2025学年山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学高二上学期9月开学分班考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数，若是实数，则实数()A.3B.C.6D.2.已知集合，，若，则()A.B. C.D.3.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为()A. B.C. D.4.函数，若对任意，，都有成立，则实数a 的取值范围为()A.B.C.D.5.两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.已知，则()A.B.C.D.57.某圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为()A.B.C.D.8.已知函数的定义域为R ，，则()A.B.C.为偶函数D.为奇函数二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数，下列结论正确的是()A.B.C.若，则的最小值为4D.在复平面内，所对应的向量分别为，其中O为坐标原点，若，则10.设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是()A.若A，B是互斥事件，则B.若，则C.若A，B是相互独立事件，则D.若，则A，B是相互独立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，则下列说法中正确的是()A.若点O为的中点，则平面B.连接BM，则直线BM与平面所成角正弦值为C.若点N为线段BC上的动点包含端点，则的最小值为D.若点Q在侧面正方形内包含边界，且，则点Q的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知集合{}24A x x =<，{}41B x x =−<≤，则A B = （ ） A. {}2x x < B. {}21x x −<≤ C. {}41x x −<≤ D. {}42x x −<< 【答案】B【解析】 【分析】先借助不等式求出集合A ，再运用交集的运算求A B ∩. 【详解】由{}{}2422A x x x x =<=−<<， 则{}{}{}224121A B x x x x x x ∩=−<<∩−<≤=−<≤， 故选：B .2. 记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得z ，再由z z =可得. 【详解】由()2i 24i z +=−得()()()()22224i 2i 24i i 2i 4i 41i i 2i 2i 802225i 1z −−−−−−+=++−====−+， 所以2zz ==，故选：C. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74【答案】C【解析】【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.【详解】设甲中靶为事件A ， 乙中靶为事件B ，()0.6,()0.7,P A P B ==则两人都中靶的概率为()()0.70.60.42P A P B ×=×=，两人都不中靶的概率为()()1()1()0.30.40.12P A P B −×−×，恰有一人中靶的概率为()()1()()()1()0.30.60.70.40.46P A P B P A P B −×+−=×+×=，至少一人中靶的概率为10.30.40.88−×=.故选：C4.已知向量1,2a b = ，若()()a b a b λµ++ ∥，则（）A. 1λµ=B. 1λµ=−C. 1λµ+=−D. 1λµ+=【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得.【详解】1122a b λλ+=+=+，1122a b µµµ+=+++由()()a b a b λµ++ ∥，则1122µµ+，化简得1λµ=.故选：A.5. 已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= ，则“//n m ”是“//n α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 【分析】借助长方体模型，判断线线与线面位置即可.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −中，平面ABCD ⊥平面11D C CD ，令平面ABCD 为α，平面11D C CD 为β，则平面ABCD 平面11,D C CDDC m DC αβ=== ， ①令AB n =，//AB CD ，即//n m ，但AB ⊂平面ABCD ，n ⊂α，故AB 不与平面ABCD 平行，即//n α不成立故//n m ⇒//n α，所以“//n m ”是“//n α”的不充分条件；②令11n B C =，11//B C 平面ABCD ，即//n α，但11B C DC ⊥，11B C 不与DC 平行，即//n m 不成立.故//n α⇒//n m ，所以“//n m ”是“//n α”的不必要条件；综上所述“//n m ”是“//n α”的既不充分也不必要条件.故选：D.6. 设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ）A. 1,2727B. 10,27C. ()0,27D. ()27,+∞【答案】B【解析】【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为RR 上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为332log log 3x x <−，化简求解可得..【详解】()f x x x =，xx ∈RR ，则22,0(),0x x f x x x ≥= −<， 作出函数()f x 的图象，可知()f x 是RR 上的增函数.又()()f x x x x x f x −=−−=−=−，()f x ∴是奇函数. 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<可化为()()332log 3log f x f x <−−，所以()()332log log 3f x f x <−，则332log log 3x x <−，即3log 3x <−，解得1027x <<， 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是10,27. 故选：B.7. 已知函数()π4f x x =+ 的定义域为[],a b ，值域为 ，则b a −的取值范围是（ ） A. π24π,3B. π5π,23C. 5π5π,63D. 2433ππ, 【答案】D【解析】【分析】根据π4x ≤+≤5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由此可得b a −的最大、最小值.【详解】由函数()π4f x x =+ 的值域为 ，得π4x ≤+≤，得1πsin 124x −≤+≤ ， 6π24π7ππ2π6k k x −≤≤++()k ∈Z ，得5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由()f x 定义域为[],a b ， 所以max 11π5π4π()2π2π12123b a k k −=+−−= ()k ∈Z ， min 11π5π2π2π2π1212()23k k b a +−− −==()k ∈Z ， 所以b a −的取值范围是2π4π,33. 故选：D.8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1//A F 平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ）①二面角1F AD E −−的大小为常数②二面角1F D E A −−的大小为常数③二面角1F AE D −−的大小为常数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,0,D a ，,,02a E a， 又F 是侧面11BCC B 上的动点，设()00,,F x a z ，[][]000,,0,x a z a ∈∈，则()100,,A F x a a z a =−− ，设平面1AD E 的法向量为nn 1����⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，又()1,0,AD a a =− ，,,02a AE a =−， 则11100AD n AE n ⋅= ⋅= ，即1111002ax az a x ay −+= −+= ，令11x =，则112y =，11z =， 即111,,12n =， 又1//A F 平面1AD E ，则11A F n ⊥ ，即110A n F ⋅=， 则0002a x a z a −++−=，解得0032a x z =−， 因此可得003,,2a F z a z − ，100,,2a A F z a z a =−− ， 设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()1,0,AD a a =− ，00,,2a AF z a z =−， 则21200AF n AD n ⋅= ⋅= ，即022*******a z x ay z z ax az −++= −+=，令21x =，则212y =−，21z =， 即211,,12n =−， 的又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E −−的大小为常数，故①正确；设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ，又1,,2a D E a a =− ，()00,0,EF a z z =− ，则31300EF n D E n ⋅= ⋅= ，即()0303333002a z x z z a x ay az −+= +−= ，令31x =，则3012a y z =−，301a z z =−， 即30011,,12a a n z z =−− ， 因为3n 中含参数0z ，故13cos ,n n 的值不定，因此二面角1F D E A −−的大小不是常数，故②不正确；设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ，又,,02a AE a =− ，00,,2a AF z a z =−， 则4400AE n AF n ⋅= ⋅= ，即44044040202a x ay a z x ay z z −+= −++= ，令42x =，则41y =，3022a z z =−， 即4022,1,2a n z =−， 因为4n 中含参数0z ，故14cos ,n n 的值不定，因此二面角1F AE D −−的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ）A. 极差变大B. 中位数不变C. 平均数变小D. 方差变大【答案】BC【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.【详解】由于10个数据已经确定， 故不妨设129103x x x x x ≤≤≤≤≤ ，由题意不妨取1105,10x x ==， A 项， 原极差为1011055x x −=−=，去掉最高与最低分后，极差为921015x x x x −≤−=， 所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A 项错误；B 项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B 项正确；C 项，由题意原平均数99110221571010i i i i x x x x x ==+++==∑∑， 则9255i i x==∑，则去掉最高与最低分后， 平均数变为9255788ii x==<∑，平均数变小，故C 正确； D 项， 去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故D 项错误.故选：BC.10. 已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，则下列命题中正确的是（ ）A. 若A B >，则cos cos A B <B.若π,1,6B b c ===，则π4C = C. 若O 是ABC 所在平面内的一点，且2−=+− OB OC OB OC OA ，则ABC 是直角三角形D. 若π,16B b ==，则AB AC ⋅ 的最大值是32【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理边角关系判断A ；利用正弦定理解三角形求角C 判断B ；由已知可得CB AB AC =+ ，由其几何意义可知CB 边上的中线长等于CB 的一半，即可判断C ；由余弦定理和基本不等式求出2≤+ac ，再由数量积的定义将AB AC ⋅ 的最大值转化为求ac 的最大值，由求解可判断D .【详解】对于A ，因为cos y x =在()0,π上单调递减，所以A B >，则cos cos A B <，故A 正确对于B ，由121sin sin 2c b C B ===，则sin C =， 而5π06C <<，故π4C =或3π4，因为b c <，所以B C <， 所以π4C =或3π4，故B 错误； 对于C ，由OB OC CB −= 、OB OA AB −=，OC OA AC −= ， 故CBAB AC =+ ，所以在ABC 中CB 边上的中线长等于CB 的一半， 即ABC 是A 为直角的直角三角形，故C 正确.对于D，由余弦定理可得：222222cos 2b a c ac B a c ac =+−=+−≥−所以2ac ≤+，当且仅当a c =时取等， 由已知cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅= ， 由正弦定理可得：121sin sin 2a b A B ===，所以sin 2a A =， 所以要求AB AC ⋅ 的最大值，则π0,2A∈，此时cos 0A >，所以cos A ，所以3cos 22bc A =≤+.故则AB AC ⋅ 32+，故D 错误. 故选：AC.11. 四面体ABCD 中，3,5,4AC BC AB BD CD =====，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ，当AD 变化时，则（ ）A. 当3AD =时，324π11S =B. 当四面体ABCD 体积最大时，28πS =C. S 可以是16πD. S 可以是100π【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，构造直角三角形求外接球的半径；B 选项，平面ABC ⊥平面BCD 时，构造直角三角形求外接球的半径；C 选项，由外接球半径的范围进行判断；D 选项，验证外接球的半径5R =是否成立.【详解】设四面体ABCD O ，半径为R ， 当3AD =时，AC AD AB ==，则A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，由222BD BC CD =+，BCD △为直角三角形，外心1O 是BD 边的中点，1AO ⊥平面BCD ，1OO ⊥平面BCD ，1,,A O O 三点共线，1Rt ADO 中，1AO ，1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得22252R R + ，解得R =此时23244ππ11SR =，A 选项正确； 当四面体ABCD 体积最大时，有平面ABC ⊥平面BCD ，设平面ABC 的外心为2O ，E 为BC 中点，连接21,,OO AE O E ，则2OO ⊥平面ABC ，由3AC BC AB ===，则=AE ，2AO =2EO =， 平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，又1OO ⊥平面BCD ，则有1//OO AE ，Rt BCD △中，CD BC ⊥，又1//CD O E ，则1O E BC ⊥， 同理可得1O E ⊥平面ABC ，12//O E OO ，所以四边形12O EO O 为矩形，12OO EO ==1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得R =，此时24π28πSR =，B 选项正确；若16πS =，则外接球的半径为2R =，而BCD △的外接圆半径12.52r BD R ==>， 所以这种情况不成立，C 选项错误；当5OB OC OD ===时，2222211575524OO OD O D =−=−=，2222117591244OE OO O E =+=+=，则22222222222291254OA OO AO OE EO AO =+=−+=−+=，即5OA =，四面体ABCD 外接球的半径5R =成立，此时100πS =，D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：求一个特殊四面体的外接球半径 , 通常有以下几种思路 : 一是构造法 ,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 ,可通过构造一个球内接长方体得到 ; 二是截面法 ,比如求正三棱锥的外接球径 , 可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到 ; 三是观察法 , 比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体 , 它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 .关于一般四面体的外接球半径问题 , 可以用解析法求出 . 方法如下 : 先建立适当的空间直角坐标系 , 并写出这个四面体四个顶点的坐标.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知幂函数()()257m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是______．【答案】2 【解析】【分析】根据函数()f x 为幂函数求出m 的值，再通过()f x 的图象关于y 轴对称来确定m 的值. 【详解】由()f x 为幂函数，则2571m m −+=，解得2m =，或3m =， 当2m =时，()2f x x =，其图象关于y 轴对称，当3m =时，()3f x x =，其图象关于()0,0对称，因此2m =， 故答案为：2.13. 已知1x >，1y >且3log 4log 3y x =，则xy 的最小值为______． 【答案】81 【解析】【分析】根据对数的运算性质可得33log log 4x y ⋅=，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由1x >，1y >，则3log 0x >，log 30y >，3log 0y >，又3log 4log 3y x =，则3log 4log 3y x=，即33log log 4x y ⋅=，又33331log =log log 4lo 8g xy x y +==≥， 当且仅当332log log x y ==，即9xy ==时，等号成立， 所以可得81xy ≥， 因此xy 的最小值为81. 故答案为：81.14. 在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______． 【答案】135【解析】【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解.详解】取23CH CD =,由23AG AD =可得//,//GH AC EF AC ,故//HG EF ，故得截面为四边形EFHG ，14A EFHG A EFG A FHG G AEF F AGH G ABC F AGH V V V V V V V −−−−−−−=+=+=+12124333D ABC F ACD V V −−=×+×， 11215633218D ABC B ACD D ABC V V V −−−+××=, 121233A FHC A BCD D ABC V V V −−−=×=, 故1118A FHC A EFHG D ABC V V V −−−+=， 故体积较大部分与体积较小部分的体积之比1111187718=，故答案为：117【四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知a ∈R ，()(){}20A x a x a x =++>，102x B xx−=≤ −． （1）当0a <时求集合A ； （2）若B A ⊆，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}2x x a −<<− （2）{2a a ≤−或}0a > 【解析】【分析】（1）当0a <时，解不等式()()20a x a x ++>，从而求出集合A ；（2）对a 进行分类讨论，求a 取不同值时的集合A ，再根据B A ⊆，即可求实数a 的取值范围. 【小问1详解】 当0a <时，则0a −>，由不等式()()20a x a x ++>，解得2x a −<<−，即{}2Ax x a =−<<−；【小问2详解】 由不等式102x x −≤−，则12x ≤<，即{}12B x x =≤<，当0a <时，由（1）知，{}2Ax x a =−<<−，又B A ⊆，则2−≥a ，即2a ≤−符合题意；当0a =时，A 为空集，又B A ⊆，显然不成立；当02a <<时，{2=<−A x x 或}x a >−，又B A ⊆，则<1a −，即1>−a ，故02a <<符合题意；当2a =时，{2=<−A x x 或}2x >−，显然B A ⊆，故2a =符合题意；当2a >时，{A x x a =<−或}2x >−，显然B A ⊆，故2a >符合题意；综上知，{2a a ≤−或}0a >.16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；（2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】（1）0.68 （2）20； 20.32 （3）23.86 【解析】分析】（1）用频率估计概率可得；（2）根据频率分布直方图求出a 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算； （3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.小问1详解】由志愿者服务时间低于18小时的频率为(0.020.06)40.32+×=， 10.320.68−=，所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68. 【小问2详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；由(0.020.060.0750.025)41a ++++×=，解得0.07a =， 估计平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32×+×+×+×+××=；【【【小问3详解】(0.020.060.075)40.62++×= ，(0.020.060.0750.07)40.9+++×=， 由0.620.750.9<<，∴第75百分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为23.86. 17. 已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=−，且π5π,612α∈−，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k∈Z（2【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265α−=−，根据整体角范围求余弦值，再由ππ2266αα−+角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++ππππsin coscos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x=+−−+11cos cos cos 22x x x x x =+−+ πcos 2sin 6x x x=+=+.由ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ， 解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k∈∈Z 时，函数单调递减， 所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+,2π+,33k k k∈Z ； 【小问2详解】将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）， 则得到函数π(2)2sin 26f x x=+的图象，再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象， 所以πππ()2sin 22sin 2666gx x x=−+=−. 若()65g α=−，则π6()2sin 265g αα =−=− ， π3sin 265α −=−. 由π5π,612α ∈−，得ππ2π2,623α −∈− ，又πsin 206α−< ，所以ππ2,062α −∈− ，则π4cos 265α −=， 故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα=−+=−−−431552 =−−×=.故cos2α 18. 如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD °∠=∠=，且PB PD ⊥，（1）求证：BD PA ⊥；（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；（3）若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）取BD 中点O ，连接,AO PO ，证PO BD ⊥，AO BD ⊥，利用线面垂直的判定定理得BD ⊥平面APO ，再利用线面垂直的性质即可证得BD PA ⊥；（2）由（1）知BD ⊥平面APO ，利用面面垂直的判断定理可得平面APO ⊥平面ABCD ，则PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，再利用题中条件求,AO PO 的长度，最后利用余弦定理进行求解即可；（3）由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ，则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，再利用题中条件求出四边形ABCD 的面积和四棱锥P ABCD −的高PM ，最后用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】取BD 中点O ，连接,AO PO ，由60PB PD APB APD PA PA °=∠=∠= =，则APB APD ≅△△， 因此可得AB AD =，又O 为BD 中点，则在等腰ABD △和等腰BPD △中，可得PO BD ⊥，AO BD ⊥， 又AO PO O = ，,AO PO ⊂平面APO ，BD ∴⊥平面APO ，又PA ⊂平面APO ，BD PA ∴⊥.【小问2详解】过P 作PM 垂直AO 的延长线于一点M ， 由（1）知BD ⊥平面APO ，BD ⊂平面ABCD , 则平面APO ⊥平面ABCD ，又平面APO 平面ABCD AO =，PM ⊂平面APO ，PM AO ⊥,PM ∴⊥平面ABCD ，故PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，又在等腰直角BPD △中，4PB PD ==，则BD =，12BODO PO BD ==== 又在APB △中，2222212cos 64264282AB PA PB PA PB APB +−⋅∠+−×××，则AB AD ==在Rt AOB 中，AO ，则在APO △中，222cos 2PA AO PO PAO PA AO +−∠==⋅，因此可得sin PAO ∠即直线PA 与平面ABCD【小问3详解】由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ， 则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，在Rt PAM 中，sin 6PM AP PAO =⋅∠=cos 6AM AP PAO =⋅∠，在Rt PMC △中，CM又AC AM CM =+=+=, 又四边形ABCD 的面积()111222ABD CBD S S S BD AO BD CO BD AO CO =+=⋅+⋅=+ 1122BD AC =⋅=×, 又（2）知PM ⊥平面ABCD ，故PM 为四棱锥P ABCD −的高，所以四棱锥P ABCD −的体积1133V S PM =⋅=× 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明BD ⊥平面APO ，再利用面面垂直的判定定理证平面APO ⊥平面ABCD ，最后根据平面PAC 与平面ABCD 垂直，确定,,,A O M C 四点共线，考查了线面垂直， 面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题.19. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”．设()()281616log log ,f x x g x ax m x ax==+−． （1）判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由；（2）当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，求m 的值；（3）当1a >时，设()()()h x f x g x =−，已知()h x 在()0,∞+上有两个零点12,x x ，证明：1216<x x ．【答案】（1）()f x 是“反比例对称函数”，理由见解析；（2）443m = （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可；（2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可.（3）将两个函数看做两个“反比例对称函数”，然后找到同一个k 时的图像，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图像发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可.【小问1详解】()2816log ?log f x x x=是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知()282216116log ?log log ?log 3f x x x x x ==， 可知2216116log ?log 3f x x x =所以()16f x f x =， 故()f x 是“反比例对称函数”.【小问2详解】由题可知，0x >，此时()16g x x m x=+−， 因为函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()()0f x g x −=有一个解， 得22221161616116log log 0log log 33x x m m x x x x x x−−+=⇒=+− ， 令()2216116log ?log 3H x x x x x =+−，得()m H x =仅有一个解， 显然()221616116log ?log 3H x x H x x xx +− ，因为()m H x =，则有16m H x =， 要使()m H x =仅有一个解， 只需164xx x⇒，或4x =−（舍） 所以()4443m H ==. 【小问3详解】不妨先设1a =，由题可知()2211616log ?log 3h x x x m x x =−−+， 显然()221616116log ?log 3h x x m h x x xx +−+ ， 已知ℎ(xx )有两个零点，12,x x ，则两个零点满足1216x x =， 此时1216x x =， 即，函数()2816log ?log f x x x =与函数()16g x x m x=+−，的两个交点横坐标满足1216x x =； 可知()()228221641log ?log log log 33f x x x x x ==−利用复合函数单调性可知， 当()0,4x ∈时，()f x 单调递增；()4,x ∞∈+时，()f x 单调递减；由对勾函数性质可知()16g x x m x=+− ， 在()0,4x ∈时，此时()g x 单调递减；在()4,x ∞∈+时，此时()x 单调递増；得两函数示意图当1a >，此时()16g x ax m ax =+−， 相当于函数()()1616g x x m g ax ax m x ax=+−⇒=+−， 故所有的横坐标缩小为原来的1a 倍；故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故1216<x x .层层递进的，所以还是需要寻找前后问题的联系.。

广西柳州市第六中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

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广西柳州市第六中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题 1．复数13i1i+-的虚部为（ ） A ．i - B ．1- C ．2i D ．22．已知集合{}{}3,,1,3,5A m B ==，则1m =是A B ⊆的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件3．已知n 个数12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为2s ，则数据123,3,,3n x x x L 的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，22sB ．3x ，2sC ．3x ，22sD ．3x ，29s4．已知1tan 3α=-，则sin 2cos 5cos sin αααα+-的值为（ ）A ．1-B ．1C ．516 D ．545．某学生参与一种答题游戏，需要从A ，B ，C 三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A ，B ，C 的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A ，B ，C 的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（ ） A ．0.5B ．0.55C ．0.6D ．0.756．已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r ，且a b ⊥r r ，则x 的值为（ ） A ．2B ．516C ．103D ．1-7．已知a =0.2log 0.3，ln b a =，2a c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>8．已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，令()()h x f x k =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间为()0,∞+B ．当()h x 有3个零点时，()4,3k ∈--C ．当2k =-时，()h x 的所有零点之和为1-D ．当(),4k ∈-∞-时，()h x 有1个零点二、多选题9．已知向量()1,2a =-r，()1,b m =-r ，则（ ）A ．若a b ∥r r ，则5a b ⋅=-r rB ．若a b ⊥r r ，则1m =-C ．若2m =-，则a r与b r的夹角为60︒ D ．若1m =，则a b -=rr 10．已知直线π12x =是函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴，则（ ）A ．π6ϕ=-B ．()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于直线13π12x =对称 D ．()f x 在π7π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减11．已知一个正八面体ABCEDF 如图所示，AB ）A ．//BE 平面ADFB ．点D 到平面AFCE 的距离为1C ．异面直线AE 与BF 所成的角为45︒D ．四棱锥E ABCD -外接球的表面积为4π三、填空题12．设x y 、均为正数，且1x y +=，则55x y +的最小值为.13．函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将y =f x 的图象向右平移π4个单位后得到函数y =g x 的图象，则函数y =g x 的解析式为.14．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统一体积公式()146V h L M N =++（其中L ，N ，M ，h 分别为Ω的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R ，可得该球的体积为()2314204π0π63V R R R =⨯+⨯+=；已知正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，可得该正四棱锥的体积为2221104623a V h a a h ⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O 的表面积为216πcm ，若用距离球心O 都为1cm 的两个平行平面去截球O ，则夹在这两个平行平面之间的几何体∏的体积为3cm .四、解答题15．已知在OAB △中，点D 在线段OB 上，且2OD DB =，延长BA 到C ，使BA A C =.设OA a =u u u r r，OB b =u u u r r .(1)用a r 、b r 表示向量OC u u u r 、DC u u ur ；(2)若向量OC u u u r 与OA kDC +uu r uuu r共线，求k 的值.16．已知()()()()()πsin πcos πcos 23πcos 2πsin sin π2f x αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(1)若角α的终边过点()12,5P -，求()f α； (2)若()2f α=，求24sin 3sin cos ααα-的值.17．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中x 的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.18．已知ABC V 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(),m c a b =-r，)sin ,sin sin n B C A B =-+r ，满足m n ⊥r r．(1)求A ；(2)若ABC Vcos 1B C +=，点D 为边BC 的中点，求AD 的长． 19．如图，已知等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，122AB AD BC ===，E 是BC 的中点，AE BD M =I ，将BAE V 沿着AE 翻折成1B AE △，使平面1B AE ⊥平面AECD.(1)求证：CD 平面1B DM ； (2)求1B E 与平面1B MD 所成的角；(3)在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.。

安徽省多校联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

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安徽省多校联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}()14,2,5A x x B =-<<=，则()R B A ⋂=ð（ ） A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．()[),45,∞∞-⋃+D ．()[),15,-∞-+∞U2．某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ） A ．53B ．74C ．78D ．833．已知,m n ∈R ，则是1133m n >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题()0:1,p x ∞∃∈+，()()0001130x x a x ---+<为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(∞- B ．(1∞⎤-⎦C ．)∞⎡+⎣D ．)1,∞⎡+⎣5．已知平面向量,a b rr 满足2,1a b ==r r ，且b r 在a r 上的投影向量为14a -r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π66．如图，在正三棱柱ABC DEF -中，,M N 分别为棱,DF BC 的中点，2AD DE ==，则异面直线,MC EN 所成角的余弦值为（ ）ABCD ．9107．已知()()2log 2,1,111,133a a x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-++->⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(]2,6C ．[]3,6D ．(]2,38．已知456log 5,log 6,log 7a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>二、多选题 9．已知复数2i1iz +=-，则（ ） A ．z 的虚部为12B ．13i 22z =- C．z =D ．12z -为纯虚数10．已知函数()πcos cos sin sin 0,0,,2f x A x A x A ωϕωϕωϕ⎛⎫=->>< ⎪⎝⎭当π12x =时，()f x 取得最大值2，且()f x 与直线π12x =最近的一个零点为π3x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为πππ,π,212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．()f x 的图象可由函数2cos2y x =的图象向右平移π12个单位长度得到 D ．若()f x θ+为奇函数，则ππ,3k k θ=+∈Z11．已知定义域为R 的函数()1f x +为奇函数，()f x 的图象关于直线2x =对称，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0中心对称B ．()f x 为奇函数C ．()f x 是周期为4的函数D ．()20250f =三、填空题12．已知向量,a b r r 满足，()(),1,21,3a x b x =-=+r r ，且//a b r r，则a =r ．13．小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为14．已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台的外接球（圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上）的体积为．四、解答题15．某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95)．(1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[)45,55和[]85,95内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在[]85,95内的概率．16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向()()sin ,,,sin m A b n a b B ==+r r，sin m n c C ⋅=r r．(1)求C ；(2)若c =ABC V 的面积的最大值17．已知π3π5πsin 444x x ⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭(1)求sin cos x x +的值；(2)已知cos π2πy y =<<，求x y +的值 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面,,,,,SAB SA AB E F G H ⊥，分别为棱,,,SC SB DA AB 的中点，2SA AB ==．(1)证明：平面//EBD 平面FGH ； (2)求二面角B SC D --的大小．19．已知()f x 是指数函数，且过点()()()1,23a f x g x f x b -⎛= +⎝是定义域为R 的奇函数(1)求,a b 的值；(2)若存在[]1,2c ∈-，使不等式()21206g c c m --+<成立，求实数m 的取值范围； (3)若函数()()()2412x x h x g g t +=++⨯恰有2个零点，求实数t 的取值范围．。

安徽省多校联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

安徽省多校联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

高二数学试题考生注意：1、答题前、考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}()14,2,5A x x B =−<<=，则()R B A ∩=（ ）A. (]1,2−B. ()1,2−C. ()[),45,∞∞−∪+D. ()[),15,−∞−+∞【答案】A 【解析】【分析】先求出R B ，再求交集. 【详解】()2,5B =,则R (,2][5,)B −∞+∞ .则()(]R 1,2B A =− .故选：A.2. 某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ） A. 53 B. 74 C. 78 D. 83【答案】C 【解析】【分析】根据题意，将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将8位同学考试的物理成绩从小到大排列：45,53,62,74,78,83,88,95， 由860 4.8×=%，所以数据的第60百分位数为78. 故选：C.3.已知,m n ∈R ，则>是1133m n >的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】运用充分，必要条件知识，结合幂函数单调性可解.>则0m n >≥，且13y x =在[0,)+∞单调递增.故1133m n >.反过来，如果1133m n >，则m n >,可以为负数.>故>是1133m n >的充分不必要条件. 故选：Ａ．4. 已知命题()0:1,p x ∞∃∈+，()()0001130x x a x −−−+<为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A. (,∞−B. (,1∞ −+C. )∞ +D. )1,∞ ++【答案】B 【解析】【分析】根据题意，转化为不等式()()1130x x a x −−−+≥在xx ∈(1,+∞)上恒成立，进而转化为不等式()131x x a x −+≤−在xx ∈(1,+∞)上恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】由命题()0:1,p x ∞∃∈+，()()0001130x x a x −−−+<为假命题， 可得命题():1,p x ∞¬∀∈+，()()1130x x a x −−−+≥为真命题， 即不等式()()1130x x a x −−−+≥在xx ∈(1,+∞)上恒成立，即()213311x x x x a x x −+−+≤=−−在xx ∈(1,+∞)上恒成立， 令10t x =−>，则1x t =+，可得223331111x x t t t x t t −+++==++≥=+−，当且仅当3t t=时，即t =时，即1x =+时，等号成立，所以1a ≤+，即实数a 的取值范围为(,1∞ −+ . 故选：B.5. 已知平面向量,a b满足2,1a b == ，且b 在a 上的投影向量为14a − ，则a 与b 的夹角为（ ）A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π6 【答案】B 【解析】【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求出1a b ⋅=−，再由夹角公式求解.【详解】因为2,1a b == ，b 在a上的投影向量为14a − ， 所以144ab a a b a a a a⋅⋅⋅=⋅=−， 所以1a b ⋅=−，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==− ，由0,πa b ≤≤ ，可知2π,3a b = . 故选：B6. 如图，在正三棱柱ABC DEF −中，,M N 分别为棱,DF BC 的中点，2AD DE ==，则异面直线,MC EN 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.910【答案】D 【解析】【分析】根据题意，运用中位线性质，找出异面直线,MC EN 所成角，结合余弦定理求解即可.【详解】如图，取DE 中点G ，连接,GM GN .则1//,=2GM EF GM EF ， 且1//,2CN EF CN EF =，则四边形CNGM 为平行四边形，则//,=CM GN CM GN . 由图则异面直线,MC EN 所成角为ENG ∠或其补角，ENG △中，1GE =，GN CM =EN ==.由余弦定理可知22299cos 22510EN GN GE ENG EN GN +−∠===××. 异面直线,MC EN 所成角的余弦值为910. 故选：D.7. 已知()()2log 2,1,111,133a a x x f x x ax a x −≤= −++−>是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1,12B. (]2,6C. []3,6D. (]2,3【答案】C 【解析】【分析】在定义域内，保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.列不等式求解即可.【详解】根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.可得()12131211log 21133a a a aa a a> > ≤−≥−++−，解得36a ≤≤. 故选：C.8 已知456log 5,log 6,log 7ab c==，则（ ） A. c b a >> B. b a c >>C. a c b >>D. a b c >>【答案】D 【解析】【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小.【详解】22255555554log 6log 6log log 24log 25log 6log ()()()1log 252424b a +==⋅<=<=，即b a <. 22266666665log 7log log log 35log 36log log ()()()1lo 75756g 222c b +==⋅<=<=,即c b <. 综上知道a b c >>. 故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 已知复数2i1iz +=−，则（ ） A. z 的虚部为12 B. 13i 22z =−C. z =D. 12z −为纯虚数 【答案】CD 【解析】 【分析】先将2i1i z +=−化简成13i 22z=+，再分别比对解出答案即可. 【详解】对于A ，因为()()()()2i 1i 2i13i 1i1i 1i 22z +⋅++===+−−⋅+，所以z 的虚部为32，故选项A 错误； 对于B ，因为()()()()2i 1i 2i13i 1i1i 1i 22z+⋅++===+−−⋅+，故选项B 错误； 对于C，z ，故选项C 正确； 对于D ，13i 22z −=为纯虚数，故选项D 正确. 故选：CD..10. 已知函数()πcos cos sin sin 0,0,,2f x A x A x A ωϕωϕωϕ=−>><当π12x =时，()f x 取得最大值2，且()f x 与直线π12x =最近的一个零点为π3x =，则下列结论中正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的单调递增区间为πππ,π,212k k k−+∈ ZC. ()f x 的图象可由函数2cos2y x =的图象向右平移π12个单位长度得到 D. 若()f x θ+为奇函数，则ππ,3k k θ=+∈Z 【答案】AC 【解析】【分析】先化简()cos()f x A x ωϕ=+，当π12x =时(),f x 取得最大值2，求出2A =. ()f x 与直线π12x =最近的一个零点为π3x =，求出πT =，继而求出2ω=.则可求()2cos(2)f x x ϕ=+.然后算出最小正周期，单调增区间，对称中心，结合图象变换，逐项验证即可. 【详解】根据题意，化简()cos cos sin sin cos()f x A x A x A x ωϕωϕωϕ=−=+， 当π12x =时(),f x 取得最大值2，则2A = ()f x 与直线π12x =最近的一个零点为π3x =，则πππ43124T =−=，则πT =，则2ω=.则()2cos(2)f x x ϕ=+.当π12x =时(),f x 取得最大值，则π22π12k ϕ×+=，π2ϕ<， 则π6ϕ=−，则π()2cos(2)6f x x =−，则π,T =()f x 的最小正周期为π，A 正确； 令π2ππ22π(Z),6k x k k −≤−≤∈则5ππππ(Z),1212k x k k −≤≤+∈则()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π](Z),1212k k k −+∈故B 错误; 2cos2y x =的图象向右平移π12个单位长度得到ππ2cos2()2cos(2)126y x x =−=−,故C 正确； .ππ()2cos 2()2cos 2266f x x x θθθ+=+−=+−，由于()f x θ+为奇函数，则令ππ2π(Z)62k k θ−=+∈，则1ππ,23k k θ=+∈Z .故D 错误.故选：AC.11. 已知定义域为R 的函数()1f x +为奇函数，()f x 的图象关于直线2x =对称，则（ ） A. ()f x 的图象关于点()1,0中心对称 B. ()f x 为奇函数 C. ()f x 是周期为4的函数 D. ()20250f =【答案】ACD 【解析】【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解.【详解】()1f x +为奇函数，得到()1(1)f x f x +=−−+，向右平移1个单位得到()f x ，则()f x 的图象关于点(1,0)中心对称,则A 正确.则()(2)0f x f x +−+=，()f x 的图象关于直线2x =对称, 则()(4)f x f x −+，则()(2)(4)(6)f x f x f x f x =−−+=−+=−−+, 则(2)(6)f x f x −+−+，则)f x 是周期为4的函数.则C 正确.令1x =，则由()(2)0f x f x +−+=，知()210f =，则ff (1)=0.()2025(20254506)(1)0f f f =−×==.故D 正确. 前面式子推不出()()0f x f x +−=，故B 错误. 故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知向量,a b 满足，()(),1,21,3a x b x =−=+ ，且//a b，则a = ______．. 【解析】【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程求得15x =−，得到1(,1)5a =−− ，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量,a b 满足()(),1,21,3a x b x =−=+， 因为//a b ，可得31(21)x x ×=−×+，解得15x =−，即1(,1)5a =−− ，所以a =.. 13. 小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为__________ 【答案】1425##0.56 【解析】【分析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况.运用独立事件概率乘法公式分别求出概率，再相加即可. 【详解】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会. 则小耿与小吴恰有1人会答的概率为213414555525×+×=. 故答案为：1425.14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台的外接球（圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上）的体积为______． 【答案】500π3【解析】【分析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，高为h ，母线长为l .构造方程组，先求圆台的上底面半径、下底面半径和高，再求圆台外接球的半径，进而求出体积即可.【详解】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，高为h ，母线长为l .因为母线与下底面所成角的正切值为7，所以7hR r=−.又因为1R r −=.则7h =，l ==圆台的侧面积公式为π()S l R r =+，已知侧面积为，所以π()l R r +.则7R r +=.又因为1R r −=,则4,3R r ==. 设圆台外接球的半径为1R ，球心到上底面的距离为d .则222222113R d r R d =+=+⇒，22222211()(7)4R h d R R d =−+=−+⇒， 解得15,4R d ==. 根据公式314π3V R =，求出外接球的体积公式为34π5π53300V =×=. 故答案为：500π3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95)．（1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） （2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[)45,55和[]85,95内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在[]85,95内的概率． 【答案】（1）71.5 （2）310【解析】【分析】（1）运用频率之和为1，求出m ,再用平均值计算公式算出平均值即可；（2）先按照分层抽样确定[)45,55和[]85,95内的学生人生，再结合列举法，用古典概型求解概率即可.【小问1详解】频率之和为1,则(0.010.020.0250.015)101m ++++×=，解得0.03m =. 则500.1600.2700.3800.25900.1571.5×+×+×+×+×=,则平均分成绩为71.5. 【小问2详解】根据分层抽样，知道[)45,55和[]85,95内的学生比为2:3.则抽取的5人中有2个来自[)45,55层，设为,a b ．3个来自[]85,95层，设为1,2,3. 再从这5人中随机抽取2人,总共有10种可能，分别为:(,),(,1),(,2),(,3),(,1),(,2),(,3),(1,2),(1,3),(2,3)a b a a a b b b .这2人成绩都在[]85,95内的有(1,2),(1,3),(2,3),共3种.故所求概率为310. 16. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向()()sin ,,,sin m A b n a b B ==+ ，sin m n c C ⋅= ．（1）求C ；（2）若c =，求ABC 的面积的最大值 【答案】（1）2π3（2【解析】【分析】（1）运用向量的数量积公式，再用正弦定理边角互化，最后用余弦定理计算即可； （2）用第一问的结论，结合基本不等式可解. 【小问1详解】sin m n c C ⋅=．即()sin sin sin a b A b B c C ++=， 由正弦定理角化边得22()a b a b c ++=，即222a ab b c ++=，则2221cos 22a b c C ab +−==−,由于(0,π)C ∈,则2π3C =. 【小问2详解】222a ab b c ++=，c =，则2212a ab b ++=，即2212a b ab +=−，由不等式知道22122a b ab ab +=−≥，（当且仅当2a b ==取最值），即4ab ≤.由三角形面积公式知道1sin 2Sab C =≤（当且仅当2a b ==取最值）.故ABC17.已知π3π5πsin 444x x−=<< （1）求sin cos x x +的值；（2）已知cos π2πy y <<，求x y +的值 【答案】（1）713− （2）9π4【解析】【分析】（1）运用两角差正弦展开17sin cos 13x x =−，平方，得到sin cos 16609x x −=⋅，联立求出，再求和即可.（2）运用同角三角函数关系式，求出sin y =再运用两角和的余弦公式求出cos()x y +进而得到9π4x y +=.【小问1详解】π3π5πsin 444x x −=<<，运用差角公式展开，得πsin 4x x x −= ， 化简得，17sin cos 13x x =−， 两边平方，即22s 891in cos 169x x =−⋅，则sin cos 16609x x −=⋅， 由于3π5π44x <<，则cos 0,sin 0x x <>. 的则3ππ4x <<.60sin cos 16917sin cos 13x x x x −=⋅ =− ，联立解得5sin 1312cos 13x x = =−， 则7sin cos 13x x +=− 【小问2详解】cos π2πy y <<，则3ππ2y <<，sin y =125cos()cos cos sin sin ((1313x y x y x y +=−=−×−×. 由于3ππ4x <<，3ππ2y <<，则7π5π42x y <+<，则9π4x y +=. 18. 如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面,,,,,SAB SA AB E F G H ⊥，分别为棱,,,SC SB DA AB 的中点，2SA AB ==．（1）证明：平面//EBD 平面FGH ；（2）求二面角B SC D −−的大小．【答案】（1）证明见解析（2）2π3【解析】【分析】（1）由中位线可得线线平行，再由线面平行判定定理得线面平行，由面面平行判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的大小即可.【小问1详解】连接EF ，如图，.由,,,E F G H 分别为棱,,,SC SB DA AB 的中点， 可得1//,,//2EF BC EF BC GH BD =， 又1//,2GD BC GD BC =，所以//,=GD EF GD EF ， 所以四边形EFGD 为平行四边形，所以//GF DE ，又GF ⊄平面EBD ，DE ⊂平面EBD ，所以//GF 平面EBD ，因为//GH BD ，GH ⊄平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，所以//GH 平面EBD ，又GH GF G ∩=，,GH GF ⊂平面FGH ，所以平面//EBD 平面FGH .【小问2详解】因为平面ABCD ⊥平面,SAB SA AB ⊥，AB 是两平面的交线，SA ⊂平面SAB ， 所以SA ⊥平面ABCD ，又,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,SA A S B A A D ⊥⊥，又AD DC ⊥，以,DA DC方向为,x y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则//SA Dz ， 所以()()()()0,0,0,2,0,2,0,2,0,2,2,0D S C B ， 则()()()2,2,2,0,2,0,2,0,0CS DC BC =−==− ，设平面DSC 的法向量()111,,n x y z =， 则1111222020n CS x y z n DC y ⋅=−+= ⋅== ，令11x =，可得()1,0,1n =− ，设平面BSC 的法向量为()222,,m x y z = ， 则2222222020m CS x y z m BC x ⋅=−+= ⋅=−= ，令21y =，可得()0,1,1m = ，所以1cos ,2n m n m n m ⋅===− ，即2π,3n m = ， 由图知，二面角B SC D −−的平面角为钝角，所以二面角B SC D −−的大小为2π3. 19. 已知()f x是指数函数，且过点()()()1,23a f x g x f x b − = + 是定义域为R 的奇函数 （1）求,a b 值；（2）若存在[]1,2c ∈−，使不等式()21206g c c m −−+<成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()()2412x x h x g g t +=++×恰有2个零点，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1,3a b == （2）2m <（3）21t <−【解析】【分析】（1）首先运用待定系数法求出指数函数解析式，再用奇函数性质求出,a b ； （2）将不等式问题运用奇函数性质转化为()22(1)g c c m g −−<，再考虑()g x 的单调性，脱去括号，后转化为二次函数最值即可；（3）将零点问题转化为()()24120x x g g t +++×=有两个不同根，运用奇函数性质脱括号，24120x x t +++×=有两个不同根即可,再用换元法，转化为二次方程的根的问题即可.【小问1详解】设()(0,1)x f x p p p =>≠且，函数过12，代入，即12p =，解得3p =，则()3x f x =. ()133x x a g x b +−=+定义域为RR 的奇函数，则()013003a g b −==+，解得1a =，则()1133xx g x b +−=+， 由于()112013131(1)33g g b b−−−==−−=−++，解得3b =，则()11333xx g x +−=+. 的检验：()1113313333x x x x g x −−++−−−==++，则()()0g x g x −+=满足题意. 则1,3a b ==. 【小问2详解】()21206g c c m −−+<，即()212(1)(1)6g c c m g g −−<−=−−=， 即存在[]1,2c ∈−，使得()22(1)g c c m g −−<成立. 由于()11312112()(1)333313331x x x x g x +−==−=−+++，x 越大，则由指数单调性知道30x >越大， 则31x +也变大，231x +变小，()g x 变小.则()12(1)331x g x =−+在定义域内单调递减. 即存在[]1,2c ∈−，使得221c c m −−>成立. 即存在[]1,2c ∈−，使得221c c m −−>. 则对于[]1,2c ∈−，使得2max (21)c c m −−>即可. 对于[]1,2c ∈−， ()2max 212c c −−=，则2m <.【小问3详解】()()()2412x x h x g g t +=++×恰有2个零点,即()()()24120x x h x g g t +=++×=有两个不同根. 即()()24120x x g g t +++×=有两个不同根. 由于()g x 是定义域为RR 的奇函数且单调递减， 则24120x x t +++×=有两个不同根即可. 则2(21420)x x t ++×=有两个不同根即可. 令20x q =>，q 与x 个数一一对应，转化为2410(0)q tq q ++=>有两个不同正根即可.满足2Δ164040t t =−> −> ，解得11220t t t ><− <或，即21t <−. 实数t 的取值范围为21t <−.。

湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

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湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1︒︒=（ ）A B ．12C ．D ．12-2．若集合{}{}213,(21)(3)0A x x B x x x =->=+-<，则A B ⋂是（ ） A ．{112x x -<<-或}23x <<B ．{|23}x x <<C ．1{|1}2x x -<<-D ．1{|2}2x x -<<3．已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()2e ln e 1x x x f x ⋅=-B ．()21sin x f x x+=C ．()22e ex x x f x -+=-D ．()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-4．在四面体ABCD 中，点M ，N 满足2AB MB =u u u r u u u r ，2CN ND =u u ur u u u r ，若M N xA B yA C zA D =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x y z ++=（ ）A ．13-B ．13C ．12D ．15．已知π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()2tan 5αβ+=，则πtan 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （ ）A ．322B ．1318C ．16D ．13226．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．甲：平均数为3，中位数为2B ．乙：中位数为3，众数为2C ．丙：平均数为2，方差为2.4D ．丁：中位数为3，方差为2.87．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P 在正方形ABCD 的边上，射线OP 交球O 的表面于点M ，现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为（ ）A B ．C D ．8．如图，边长为2的正方形ABCD 中，P ，Q 分别为边BC ，CD 上的点，2||AP AQ PQ ⋅=u u u r u u u r u u u r，则1AP 的最大值为（ ）A ．1BC D二、多选题9．已知复数1z 的虚部与2z 的实部均为2，则下列说法正确的是（ ） A ．1z 是虚数B ．若122z z ==，则12z z =C ．若12z z =，则1z 与2z 对应的点关于x 轴对称D ．若12z z ⋅是纯虚数，则12=z z10．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）A ．从中任取3球，恰有一个红球的概率是17；B ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为20343； C ．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为23；D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为216343. 11．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为1，1160,,DAB A AB A AD E F ∠=∠=∠=︒分别是棱11B C 和11C D 的中点，P 是1AC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．1AC =B ．若112AP PC =，则1A P ∥面EFC C ．若13AP PC =，则1AC ⊥面EFPD ．若M 是线段1A D 的中点，N 是线段EF 上的动点，则MP PN +三、填空题12．已知函数()22,1,2,1,x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩若函数()y f x m =-仅有一个零点，则实数m 的值是．13．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按[)40,45，[)45,50，[)50,55，[)55,60，[)60,65，[)65,70分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的50%分位数是．14．已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为．四、解答题15．已知,X Y 两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：X 组：10，11，12，13，14， Y 组：12，13，15，14，a ．假设所有病人的康复时间相互独立，从,X Y 两组随机各选1人，X 组选出的人记为甲，Y 组选出的人记为乙．(1)如果8a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)如果16a =，事件M ：“甲康复时间为11天”，事件N ：“甲乙康复时间之和为25天”，事件,M N 是否相互独立？16．如图所示，已知CE ⊥底面ABC ，2ABC π∠=，2AB BC CE ==，11////AA BB CE 且112AA BB CE ==，D 为BC 的中点．(1)若1CE =，求三棱锥1E A DC -的体积． (2)求证：1DE AC ⊥； 17．已知函数()()2ln e 1xf x x =+-.(1)当0x ≥时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数()()ln e 2xh x m m =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求m 的取值范围.18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin 2cos sin B CC A+=．(1)求角A ；(2)点P 在边BC 上，且⊥AP AB ，2AP =，求ABC V 面积的最小值．19．已知正实数集{}12,,,n A a a a =L ，定义：{}2,i j i j A a a a a A =∈称为A 的平方集.记()n A 为集合A 中的元素个数.(1)若{}1,2,3,4A =，求集合2A 和()2n A ；(2)若()22016n A =，求min ()n A ；(3)求证：()()221n A n A ≥-，并指出取等条件．。

陕西省西安交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

陕西省西安交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

(1)求直线 AC 的方程；
(2)求顶点 C 的坐标与V ABC 的面积.
18．已知函数
f
(x)
=
log 1
2
1- ax x -1
a 的图象关于原点对称，其中
为常数.
（1）求 a 的值；
（2）当 x Î (1, +¥) 时， f (x) + log1 (x -1) < m 恒成立，求实数 m 的取值范围； 2
×
uuur ON
=
-7
，求
k
的值；
(2)过点 E 作倾斜角互补的两条直线分别与圆 O 相交，所得的弦为 AB 和 CD，若
AB = l CD ，求实数 l 的最大值．
试卷第41 页，共33 页
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
答案 C
D
A
D
B
B
B
题号 11
答案 CD
1．C 【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角.
.
14．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x - 2 y + 4 = 0 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 M
在圆 x2 + ( y - a)2 = 5(a > 0) 上运动．若∠AMB 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是
四、解答题
15．已知二次函数 f ( x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) ．
3 4
ö ÷ø
8．直线 l 过点 (2,1) ，且与圆 C： ( x - 2)2 + ( y - 4)2 = 10 相交所形成的长度为整数的弦的条

上海市建平中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

上海市建平中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

.
2．等比数列{an}(n Î N *)
中，若 a2
=
1 16
， a5
=
1 2
，则
a8
=
．
3．函数 y = 2sin 2x 的定义域是
.
rr 4．已知向量 a ， b
满足
r a
=
r b
=
rr a+b
rr = 1，则 a ， b 的夹角为
．
5．函数
f
(x)
=
A sin
(wx
+j
)
æ çè
A＞0＞,w＜
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
14．若1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 + bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）
A． b = 2,c = 3
B． b = 2, c = -1
C． b = -2, c = -1
D． b = -2,c = 3
三、解答题
17．已知
f
(x)
=
x2 ax + b
（ a,b
为常数），且方程
f
(x)-
x
+ 12
=
0
有两个实根为
x1
=
3，
x2 = 4 .
（1）求函数 f ( x) 的解析式；
（2）当 k
> 0 时，解关于
x 的不等式：
f
(x)
<
x(x - k) 2- x
.
18．已知函数
f
(x)
=
m × 4x 2x
+1

湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________()22sin 2bc B S -×=，若a kc =，则k 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()0,3C ．()1,3D ．()0,22==.DE EF（1）求证：平面ADE^平面CDEF；（2）设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得//MG平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由.17．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)若临界值60K=，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；(2)设K x､A型手机､B型手=且[]50,55xÎ，现有足够多的芯片I级品Ⅱ级品，分别应用于机各1万部的生产：方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大所以若存在t ÎR ，使得()a b t a b ta tb l l l +=-=-r r r r r r，则1t t l l=ìí=-î，解得10t l =ìí=î，故D 正确．故选：AD.10．CD【分析】由解析式可作出()f x 图象，将所求不等式变为()()0f x a f x éù+<ëû，分别在0a =、0a <和0a >三种情况下得到不等式的解，通过图象观察可确定1个整数解的值，由此确定临界状态得到取值范围.【详解】由()f x 解析式可得()f x 图象如下图所示，由()()20f x af x +<éùëû得：()()0f x a f x éù+<ëû，当0a =时，()20f x <éùëû，不等式无解；当0a >时，由()()0f x a f x éù+<ëû得：()0a f x -<<，若不等式恰有1个整数解，则整数解为3，又()33f =-，()48f =-，83a \-£-<-，所以38a <£；当0a <时，由()()0f x a f x éù+<ëû得：()0f x a <<-，此时有多个解，故舍去；故答案为：922【点睛】关键点点睛：取CDS S AB ×V 求出三棱锥的体积15．（1）最小正周期为【点睛】方法点睛：对于这类探索性问题，通常是利用面面平行，证得线面平行，并确定点的位置.17．(1)1030(2)()5768=-，应选择方案二f x x【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解，（2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答.【详解】（1）临界值60K=时，I级品中该指标大于60的频率为()-+´=，10.0020.005100.93II级品中该指标大于60的频率为0.1型手机的芯片个数故该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个II级品中应用于A估计为：10000.9310000.11030´+´=（2）当临界值K x=时，若采用方案一：I级品中该指标小于或等于临界值K的概率为()´+´-=-，0.002100.005500.0050.23x x可以估计10000部A型手机中有()-=-部手机芯片应用错误；x x100000.0050.23502300II级品中该指标大于临界值K的概率为()x x´+´-=-+，0.01100.03600.03 1.9可以估计10000部B型手机中有()-+=-部手机芯片应用错误；100000.03 1.919000300x x。

江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期开学第一次考试数学试题

江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期开学第一次考试数学试题

江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期开学第一次考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题15．根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：(1)若45q=°，AD足够人乙的释放角度才能挑战成(2)若机器人乙的速度是机器人所以322PC d ³=，因为圆的半22932PA PC r =-³-=当PC l ^时取等号，所以PA 因为PA AC ^，所以四边形PACB如图所示，结合图像可知，当1a=时，直线斜率不存在，方程为1x=，不经过第二象限，成当1a¹时，直线斜率存在，方程为213yaax=+--又直线不经过第二象限，则23111aaa-ì>ïï-íï£ï-î，解得a综上所述；所以2222OE OF OP +==，即从而2212122d d d d +£×+=）综上：1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为方法二：若直线与中有一条直线的斜由221(1)2y k x x y -=-ìí+=î，得(21k +因为P的横坐标1x =一定是同理，所以22211B k k x k +-=+，设(,)(0)Q x y y³，根据题意，可得所以22x y y-+=³，(4)64(0)即点Q的轨迹是以(4,0)为圆心，8为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分，所以，当8AD³米时，能确保无论q的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．。

河南省周口市郸城县郸城二高、郸城三高2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

河南省周口市郸城县郸城二高、郸城三高2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

河南省周口市郸城县郸城二高、郸城三高2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．a b>B．c d<C．a d+<．设正四棱锥P ABCD-的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥P ABCD-的体积为163，则球O的体积为（C ．丙：平均数为8，方差为2D ．丁：中位数为8，众数只有7四、解答题15．在一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的1个红球和1个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回.甲连续摸球2次，乙连续摸球4次.用a 表示摸出红球，b 表示摸出白球.(1)分别写出甲和乙的摸球试验的样本空间及其包含样本点的个数；(2)设A =“甲恰有一次摸出红球”，B =“乙恰有两次摸出红球”，比较()P A 与()P B 的大小．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB V 为正三角形，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 的14．50350+【分析】作出辅助线，设BC= =，从而求出山的高度50【详解】由题意得45Ð=°PAQ过点B作BE⊥AQ于点E，则A所以1PC //平面1AB Q ，连接PQ ，因为11//AC AC ，11AC AC =，因为P 为棱AC 的中点，Q 为棱11A C 的中点，所以1//AP AQ ，1AP AQ =，所以四边形1AAQP 为平行四边形，所以1//PQ AA ，1PQ AA =，又11//AA BB ，11AA BB =，所以1//PQ BB ，1PQ BB =，所以四边形1BPQB 为平行四边形，所以1//BP B Q ，又BP Ë平面1AB Q ，1B Q Ì平面1AB Q ，所以//BP 平面1AB Q ，又1BP PC P Ç=，1,BP PC Ì平面1PBC ，所以平面1//PBC 平面1AB Q .（2）由已知1BB ^平面ABC ，,AB BC Ì平面ABC ，所以11,BB AB BB BC ^^，又AB BC ^，。

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湖北省宜昌市第一中学高一年级2016学年度秋季学期文科数学试题★ 祝考试顺利 ★时间：120分钟 分值150分 第I 卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设R U =，{}12>=x x A ，{}0log 2>=x x B ，则U A C B ⋂=（ ）C A ．{}0<x x B ．{}1>x x C ．{}10≤<x x D ．{}10<≤x x 2．已知等差数列{}n a 的前13项之和为134π，则678tan()a a a ++等于（A ）A ．-1BC ．1 3．设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（ D ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >> 4．已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

其中正确命题的个数是（ ）AA ．0B ．1C ．2D ．35．△ABC 中D 为BC 边的中点，已知AB →＝a ，AC →＝b ，则在下列向量中与AD →同向的向量是( C )A.a |a |＋b |b |B.a |a |－b |b |C.a ＋b |a ＋b | D ．|b |a ＋|a |b 6．已知函数2()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是（ C ） A ．函数()f x 在区间[,]42ππ上为增函数B ．函数()()y f x g x =+的最小正周期为2πC ．函数()()y f x g x =+的图像关于直线8x π=对称D ．将函数()f x 的图像向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图像。

7.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )CA ．24B ．48C ．60D ．84 8.已知函数()21,xf x a b c =-<<且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，一定成立的是( )DA ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．2a ＋2c＜29．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果2k A ∉A ，那么k 是A的一个“酷元”，给定{}2lg(36) S xN y x=∈=-，设集合M由集合S中的两个元素构成，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）CA．3个 B．4个 C．5个 D．6个10.如图是某几何体的三视图，当xy最大时，该几何体的体积为（）AA.15π21512B．π112C．15π154D．15π1411．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有*(1,)n n n N>∈个点，相应的图案中总的点数记为n a，则233445201520169999a a a a a a a a++++=（）CA．20122013 B．20132012 C．20142015D．2014201312.已知函数()f x是奇函数，当0x<时，()2f x x x=-+.若不等式()2log af x x x-≤（0a>且1a≠）对任意的20,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a的取值范围是（）CA.10,4⎛⎤⎥⎝⎦B.1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,2⎛⎤⎥⎝⎦D. ()11,1,42⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦第II卷（非选择题）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.已知幂函数()y f x=的图像过点()3,3,则4log(2)f的值为．1414.若tanα＝2，则sinα－3cosαsinα＋cosα的值是．－1315.湖面结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24cm，深为6cm的空穴，那么该球的半径为 cm．1516.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是________万元．27三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）设关于x的函数2()lg(23)f x x x=--的定义域为集合A，函数(),(04)g x x a x=-≤≤，的值域为集合B.（1）求集合A ，B ； （2）若集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围.解：（1）A=2{|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或…2分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..…….…...4分（2）∵A B B =，∴B A ⊆．∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a|5a >或3a <-}．….…..10分18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nnn a a b =求数列{}n b 的前n 项和n T . 解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，∵356,15S S ==∴11133(31)62155(51)152a d a d ⎧+⨯⨯-=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯-=⎪⎩即11223a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩ ∴{}n a 的通项公式为1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）得22n n n a n a n b ==∴231123122222n n n n nT --=+++++ ① ①式两边同乘以12，得234111*********n n n n nT +-=+++++ ②①-②得23111111222222n n n nT +=++++-111111*********n n n n n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=---∴11222nn n n T -=-- 19．（本小题满分12分）如图所示，,A B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，(0)AOP θθπ∠=<<，C 点坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA OQ S ⋅+的最大值； (2)若//CB OP ，求sin(2)6πθ-的值．解 (1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)．所以O A →·O Q →＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π， 所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1.(2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)，因为CB ∥OP ， 所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝55，cos θ＝255， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310.20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D 在直线AC 上，且AD=4DC. （1）求BD 的长；（2）求sin ∠CBD 的值.（I ）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3， 所以34cos ,sin 55C C ==，AC=5， 又因为AD=4DC ，所以AD=4，DC=1.在△BCD 中，由余弦定理， 得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以410BD =.………6分 （II ）在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以410154sin 5CBD=∠， 所以10sin 10CDB ∠=.……………………12分21.（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，,F M 分别是棱,PB AC 的中点，E 为PC上一动点.(1) 若//AF 平面MEB ，试确定点E 的位置，并证明你的结论.(2)在满足（1）的条件下，求三棱锥C MEB -与三棱锥C PAB -的体积比. 解：（1）E 为PC 上靠近C 的三等分点； （2）1622.（本小题满分12分）已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数． (1)求实数a 的值；(2)记集合{}{}(),1,1,2E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=+⋅+-，判断λ与E 的关系；(3)当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求实数m ，n 的值．解析 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．∴x ＋1x ＋ax2＝－x ＋1－x ＋ax2.∴2(a ＋1)x ＝0，∵x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(2)由(1)可知：f (x )＝x 2－1x 2，当x ＝±1时，f (x )＝0；当x ＝2时，f (x )＝34，∴E ＝{0，34}．∵λ＝lg 22＋lg2lg5＋lg5－14＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5－14＝lg2＋lg5－14＝lg10－14＝34，∴λ∈E .(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈[1m ，1n ]，∴f (x )在[1m ，1n]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧f1m＝2－3m ，f1n＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n .∴m ，n 为x 2－3x ＋1＝0的两个根．又由题意可知：1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.。

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