解三角形(1)---正弦定理

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解三角形正弦及余弦定理

解三角形（正弦定理、余弦定理）

1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有 = = =2R ．

2、正弦定理的变形公式：①a = ，b = ，c = ； ②sin A = ，sin B = ，sin C = ；

③::a b c = ；④sin sin sin a b c C

++=A +B + ； 3、三角形面积公式：C S ∆AB = = = ．

4、余弦定理：在C ∆AB 中有：2a = ；2b = ；2c = ；

5、余弦定理的推论：cos A = ；cos B = ；cos C = ；

6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

=+)sin(B A ,=+)cos(C B ,=+)2sin(B A ,=+)2cos(C B 题型1：正、余弦定理

例1．在∆ABC 中，已知o A 30=，o

B 135=，2=a cm ，解三角形；

题型2：三角形面积

例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22

，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

题型3：三角形中的三角恒等变换问题

例3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知ac b =2

，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及c

B b sin 的值。

题型4：正、余弦定理判断三角形形状

例4．在ABC ∆中,三个内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,,若B b A a cos cos =,则ABC ∆的形状为例5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（）

正弦定理解三角形

利用正弦定理解三角形

利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：

1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。

2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。

例题设计一：

已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。

（1）∠A＝60°∠B=45° a＝10

（2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10

（1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2

（2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a===

b===

这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。

习题设计一：

设计意图：巩固当堂内容

已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.

解：∵，∴a＝，∠B＝180°-

（∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，

∴ b＝＝20sin75°=20×=5+5.

例题设计二：

已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）

（1） a=3 b=4 ∠A＝30°

（2） a=b＝6 ∠A＝120°

（3） a=2 b=3 ∠A＝45°

（1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理

知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A，

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理

教学目标

掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．

教学重难点

掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.

知识点清单

一. 正弦定理：

1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外

接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半

径）

sin A sinB sinC

2. 变

形：1)

a b c a b c

sin sin sinC sin sin sinC 2）化边为

角：

a:b:c sin A:sin B:

sinC

；

a sin A;

b sin B a sin A

b sinB

c sinC c sin C

3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC

4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A a

sin B b sinC c sinC c

5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c

2R2R2R

3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，

解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A

; 求出 b 与c

c sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边

a,b,A,

解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边

高考数学 5.3 正弦、余弦定理及解三角形

上表中A为锐角且a<bsin A时,无解;A为钝角时,a=b或a<b,均无解. (3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解. (4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解. 3.三角形面积设△ABC的三边为a、b、c,所对的三个角分别为A、B、C,面积为S.
1 2 1 (2)S= absin C; 2
考点二
1.距离的测量
解三角形及其综合应用
2.高的测量
背景可测元素底部可到达 a、α 求AB: AB=atan α 图形目标及解法
底部不可到达
a、α、β
求AB: (1)在△ACD中,用正弦定理求AD; (2)AB=ADsin β
3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线⑧ 上方的叫仰角,目标视线在水平视线⑨ 下方的
600 CB = , sin 45 sin 30 有CB=300 2 , AB CB = , sin ACB sin CAB
得
在Rt△BCD中,CD=CB· tan 30°=100 6, 则此山的高度CD为100 6 m.
答案 100 6
例2 (2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度

正弦余弦定理解三角形

1根据下列条件判断三角形ABC 的形状：

(1) 若a 2

tanB=b 2

tanA ；（2）b 2

sin 2

C + c 2

sin 2

B=2bccosBcosC; 【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2

B cos B sin = (2RsinB)2

⇒A

cos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒ 2cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o

或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

(2)由正弦定理得sin 2

Bsin 2

C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o

, A=90o

,故△ABC 是直角三角形. 2.△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=

，分别在边AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 是等边三角

形.设∠FEC=α，问sin α为何值时，△DEF 的边长最短？并求出最短边的长。

【解】设△DEF 的边长为x ，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x ·cos α。因为∠DEC=∠DEF+

α=∠EDB+∠B ，所以∠EDB=α。在△BDE 中，由正弦定理得，所以

，因

为BE+EC=BC ，所以

，

所以

当

，

。

3.在△ABC 中，已知AC B AB ,6

6cos ,364==

边上的中线BD=5，求sinA 的值. 【解】设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且DE=

正余弦定理解三角形

正弦定理和余弦定理

一、基础知识：1、正弦定理： = = =2R(R 为外接圆半径) 变式：（1）a=2RsinA, b= , c=

（2）=A sin ，B sin = ，=C sin

（3）a:b:c= ，a:b= ，sin sin A B

== 2、余弦定理：（1）、2

a = cos A ⇔=

（2）、2b = cos B ⇔= 3、三角形面积公式：

二、例题、正弦定理的应用：

题型一、已知两角一边或两边及其中一边的对角解三角形。

例1、（1）在△ABC 中，.,75,60,800b C B a 求边长===

（2）在△ABC 中，若,4a b A π=

==解此三角形。

变式练习：1、在△ABC 中，若1,,3a b A π===

求角B 和边长c ；

2、已知在ΔABC 中．A=60o ，B=450，则a 为=

3、在△ABC 中，若12,,34a b A B π

+===，求边长a;

余弦定理的应用：

题型三、已知两边夹角求第三边或已知三边求角。

例3、（1）在△ABC 中，已知3,30,a b c ===︒则A ＝ .

（2）在△ABC 中，若7,a b c ===求最小内角的余弦值。

例4、在△ABC 中,已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.

变式：1、在△ABC 中,已知A sin ：B sin ：=C sin 5：7：8，求角最大角的余弦值。

2、在△ABC 中,C B A B A 222sin sin sin sin sin =++,则∠C=

3、在△ABC 中,1413cos ,8,7=

正余弦定理常见解题类型

1．解三角形

正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．

余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

例1 已知在ABC △中，452A a c ∠== ，，

解：由余弦定理得22cos454b +-= ，

从而有1b =．

又222222cos b b C =+-⨯，得1cos 2

C =±，60C ∠= 或120C ∠= ． 75B ∴∠= 或15B ∠= ．

因此，1b =，60C ∠= ，75B ∠=

或1b =，120C ∠= ，15B ∠= ．

注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．

2．判断三角形的形状

利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定

理：A B C ++=π；利用余弦定理公式222222

cos cos 22b c a a c b A B bc ac

+-+-==，， 222

cos 2a b c C ab

++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．

例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状．

解三角形正弦定理

三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的 2 倍，即
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
精品文档
2.变形： cos A b 2 c 2 a 2 2bc
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
2．已知 ABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ，且 a2 c2 b2 ab ，则角 C
等于（）
3
A.
B. 或
3
44
C. 2
D.
3
6
3．在 ABC 中， A 60o , a 4 3,b 4 ຫໍສະໝຸດ Baidu ，则 B
4）化角为边： sin A a ; sin B b ; sin A a ; sin B b sin C c sin C c
5）化角为边： sin A a , sin B b , sin C c
2R
2R
2R
二.三角形面积
S ABC
1 absin C 2
1 bcsin 2
A
1 acsin B 2
A. 2 3
B. - 2 3
C. - 1 3
D. - 1 4

解三角形之：正弦定理和余弦定理

三角之：正弦定理，余弦定理 2011-7-23

一．基础知识（1）正弦定理：

c B

b A

a sin sin sin =

(2)余弦定理： cos 2222ab c b a -+= A

B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+= 注意：正弦定理和余弦定理都是“知三求一”,但应注意区别：正弦定理是“知两角一边可以求一边”或“知两边一角可以求一角”；余弦定理是“知三边可以求一角”或“知两边一角可以求一边”。

正弦定理推论:（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)

C R

c B R

b A R

a sin 2,

sin 2,

sin 2===

(3) a :b :c=sinA:sinB:sinC

(4)C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>> 余弦定理推论：ab

b a C ac

c a B bc

c b A 2cos ,2cos ,2cos 2

222

-+=

（2）三角形面积公式：,sin 2

1C ab S ABC =∆,sin 2

1A bc S ABC =∆B ca S ABC sin 2

∆

二.基础题型

题型一：解三角形（在各种情况下能熟练解三角形,只需说明做法即可）例1: 解此三角形中，o

o C B a ABC 75,60,8===∆（已知两角一边）

例2：解此三角形

中，o

o C A c 75,45,3ABC ===∆（已知两角一边）

例3：解此三角形

(完整版)解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

一、知识必备：

1．直角三角形中各元素间的关系：

在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b

a 。二、正弦定理

（一）知识与工具：

正弦定理：在△ABC 中， R C

c B b A a 2sin sin sin ===。（外接圆圆半径）在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)面积公式：S=21absinC=R

abc 4=2R 2sinAsinBsinC 111sin ()222

a S ah a

b C r a b

c ===++（其中r 为三角形内切圆半径） )(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)

(4)三角函数的恒等变形。

(5) sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）

sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2

B A +=sin 2

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理

教学目标

掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.

正余弦定理及三角形面积公式．

教学重难点

掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.

知识点清单

一.正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外

接圆的直径，即 R C

c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C

++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C

A c a = 3）化边为角：C R c

B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===

4）化角为边：

;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c

a C A = 5）化角为边： R

c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

例：已知角B,C,a ，

解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C

B c b = ;sin sin C

A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,

解三角形 (正弦、余弦定理)

（必修五）解三角形

1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）

两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…

2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

2．余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩

或

222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪

⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

. （1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意：

①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；

②三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；

类型一：解三角形

在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则

cos AC

的值等于，AC 的取值范围_____________

解析: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得

,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC

θθθθ

=∴=⇒=

由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，

解三角形正弦定理

三角形是初中数学中的重要内容，而三角形的定理更是三角形研究

的基础。其中，正弦定理是三角形中的重要定理之一。本文将从定义、公式、应用等方面详细介绍正弦定理。

一、定义

正弦定理是指在任意三角形中，三条边的长度与其对应的角的正弦值

成比例。即：三角形中任意一条边的长度与其对应角的正弦值成比例，比例系数为三角形中另外两条边的长度与其对应角的正弦值之比。

二、公式

设三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为对应

的角度，则正弦定理可以表示为：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

其中，sinA、sinB、sinC分别为三角形中对应角的正弦值。

三、应用

正弦定理在三角形的计算中有着广泛的应用。下面，我们将从三个方

面介绍正弦定理的应用。

1. 求三角形中的角度

在已知三角形中的三条边的长度时，可以利用正弦定理求出三个角的

正弦值，再通过反正弦函数求出角度。例如，已知三角形中三条边的

长度分别为3、4、5，则可以得到：

sinA = 3/5，sinB = 4/5，sinC = 3/4

通过反正弦函数，可以求出三个角的度数分别为36.87°、53.13°、90°。

2. 求三角形中的边长

在已知三角形中的一个角度和对应的边长时，可以利用正弦定理求出

另外两条边的长度。例如，已知三角形中角A的度数为30°，对应的边长为5，则可以得到：

sin30° = 1/2

因此，可以得到：

a/5 = 1/2

即：

a = 2.5

同理，可以求出另外两条边的长度。

3. 判断三角形的形状

在已知三角形中的三条边的长度时，可以利用正弦定理判断三角形的

解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形

【考纲说明】

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

【知识梳理】

一、正弦定理

1、正弦定理：在△ABC 中，R C

B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB

C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c

A B C R R R

== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）

2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C

++====++.

3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC

abc S ah ab C ac B bc A R A B C R

∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理

1、余弦定理：A bc c b a cos 22

-+=⇔bc

c b A 2cos 2

-+=

B ac a c b cos 22

-+=⇔ca

b a

c B 2cos 2

-+=

C ab b a c cos 22

-+=⇔ab

c b a C 2cos 2

正弦定理、余弦定理及解三角形

知识梳理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则

定

理

正弦定理余弦定理

内容

sin A＝

sin B＝

sin C＝2R

a2＝b2＋c2－

2bc cos A；

b2＝c2＋a2－

2ca cos B；

c2＝a2＋b2－

2ab cos C

变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝

2R sin C；

(2)sin A＝

2R，sin B＝

2R，sin C

＝

2R；

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin

C；

(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc；

cos B＝

c2＋a2－b2

2ac；

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

B ，a sin

C ＝c sin A

2.三角形面积公式：

S △ABC ＝1

2 ah (h 表示边a 上的高) ；

S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

2ac sin B ；

S △ABC ＝abc

；

S △ABC ＝1

2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、

r .

3．三角形解的判断

在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，三角形解的情况如下：

A 为锐角

A 为钝角或直角

图形

关系式 a ＝b sin A b sin

a >b

解的个数

一解

两解

一解一解

典例剖析

题型一利用正弦定理解三角形

例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝1

，则sin B ＝________.

正弦定理解三角形例题

利用正弦定理解三角形

一、正弦定理

在任意一个三角形ABC中，各边与它所对应角的正弦之比相等，且比值等于该三角形外接圆的直径。即：

a sin A =b

sin B

sin C

=2R（R为三角形外接圆半径）

二、正弦定理解三角形

正弦定理是求解三角形的一大工具，利用正弦定理，可以解决以下两个三角形问题：

1.已知三角形的两个角和任意一边，求三角形的其他两边和角

2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他两角和边。

注意：正弦定理是在三角形中使用，有以下关系和条件：

①∠A+∠B+∠C=Π

②∠A，∠C，∠B三个角中最多只有一个钝角或直角

③在使用正弦定理解三角形时要注意解的个数。

三、例题分析

例题1：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=105°，c=10，求解该三角形。

解：由题可知，是已知三角形两角和一边，可用正弦定理。∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠C=180°-45°-105°=30°

由正弦定理a

sin A =b

sin B

sin C

得：

a sin45°=

sin105°

sin30°

=20

∴a=20×√2

=10√2

b=20×sin105°=20×sin（180°−75°）=20×sin75°= 5（√6+√2）

例题2：在三角形ABC中，a=2√2,b=4,∠A=30°，求解该三角形

解：由a

sin A =b

sin B

sin C

得：

2√2

sin30°

sin

∴sin=

2√2=√2

又∵0<∠B<150°

∴∠B=45°或135°（这时代表着三角形的解不唯一）①当∠B=45°时，∠C=180°-30°-45°=105

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