2013-2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北 京 交 通 大 学

2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）

参 考 答 案

一．（本题满分8分）

某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴ 已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵ 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）． 解：

设=A “某学生数学考试不及格”，=B “某学生语文考试不及格”． 由题设，()11.0=A P ，()07.0=B P ，()02.0=AB P ． ⑴ 所求概率为()()()11

2

11.002.0===

A P A

B P A B P ． ⑵ 所求概率为()()()()()()7

5

07.002.007.0=-=-==

B P AB P B P B P B P B A P ．

二．（本题满分8分）

两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率． 解：

设=A “任取一个零件是不合格品”，=B “任取一个零件是第一台车床加工的”． 所求概率为()A B P ．由Bayes 公式得 ()()()

()()()()

B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=

11503.03

2

05.03105

.031

=⨯+⨯⨯=．

三．（本题满分8分）

设随机变量X 的密度函数为

()⎪⎩⎪⎨⎧

≤≤=其它0

02

cos πx x C x f ． ⑴ 求常数C （3分）；⑵ 现对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3

π

的次数，求()2Y E （5分）． 解：

⑴ 由密度函数的性质，

()1=⎰+∞

∞

-dx x f ，得

()C x

C dx x C dx x f 22sin

22cos 10

====⎰⎰+∞

∞-π

π

， 因此，2

1=

C ． ⑵ 由于()21

2112sin 2cos 2

133

3

3

=-====

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

>⎰⎰

+∞

π

ππ

ππ

πx dx x dx x f X P ．

所以，随机变量Y 的分布列为

()k

k C k Y P ⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅==214

， ()4,3,2,1,0=k ．

所以 ()

()∑==⋅=4

22

k k Y P k Y E

516

1

4164316621641161022222=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=． 四．（本题满分8分） 在正方形(){

}1,

1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个

实根的概率． 解：

设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ．

设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ． 因此该试验的样本空间与二维平面点集

(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：

中的点一一对应．

随机事件A 与二维平面点集(){}

04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集

()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2

：

中的点一一对应．

所以， ()2413

124122141

1

31

12=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+==

--⎰p p dp p D D A P A 的面积的面积． 五．（本题满分8分）

一个工厂生产某种产品的寿命X （单位：年）的密度函数为

()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0

00414x x e

x f x

． 该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望． 解：

设Y 为工厂售出一个产品的净赢利，则

⎩⎨

⎧<-≥=1

3001100X X Y 所以，{}{}300300100100-=⋅-=⋅=Y P Y P EY

{}{}13001100<⋅-≥⋅

=X P X P ⎰⎰-

+∞-⋅-⋅=104144130041100dx e dx e x

x

5203.111300100414

1=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--e e

六．（本题满分9分）

设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．求X 与Y 的相关系数Y

X ,ρ．

解：

由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为

()()()⎩⎨

⎧∉∈=G

y x G

y x y x f ,0

,1,

． 当10<

X -==

=

⎰⎰-+∞

∞

-12,

220

，

所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01

012x x x f X ．

当20<

1,2

10

y dy dx y x f y f y

Y -

==

=

⎰⎰

-

∞

+∞

-， 所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-

=其它

202

1y y y f Y ．

()()()31

31212121

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞

∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212

=⎪⎭⎫

⎝⎛-⋅==

⎰⎰+∞

∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6

1

41312121

2

2

2

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞

∞

-dx x x dx x f x X

E X

，

()()32212

2

22

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅==

⎰⎰+∞∞

-dy y y

dy y f y Y E Y

，

所以，()()

()()18

13161var 2

2

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，

()()

()()

9

2

3232v a r 2

2

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ，