高等数学下试题及参考答案

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高等数学(下)练习题及答案

第九章多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.

二、求下列函数的定义域：

1、2

221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2

2≠+x y y x 2、x

z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x

三、求下列极限：

1、22

2)0,0(),(sin lim y x y

x y x +→ （0） 2、

x y x x y

3)2,(),()1(lim

+∞→ (6e )

四、证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为2

, 二者不相等，所以极限不存在

五、证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，

)0,0(01

sin lim 2

2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222

42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：

§ 2 偏导数

1、设z=x

xe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂y

z y x z x

证明：x y

x y

e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y

高等数学下册试题及答案解析

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z =

)

0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分⎰⎰

≤++1

||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 .

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值

为 .

4、设曲线L 的参数方程表示为),

()()(βαψϕ≤≤⎩

⎨

⎧==x t y t x 则弧长元素=ds .

5、设曲面∑为92

=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则

++⎰⎰

∑

ds y x )122

（ .

6、微分方程x y

y dx dy tan

+=的通解为 . 7、方程04)

4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑

∞

=+1)1(1n n n 的和为 .

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数),(y x f z =在)

,(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在)

,(00y x 处连续；

（B ）

)

,(y x f x '，

)

,(y x f y '在

)

,(00y x 的某邻域内存在；

（C ） y

y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当

0)()(2

2→∆+∆y x 时，是无穷小；

（D ）0)()(),(),(lim 2

200000

0=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y y x f x y x f z y x y x .

2、设

()(x y

xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 .

大学高数下册试题及答案

《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；

B．在平面上；

C．垂直于平面；

D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；

C．不连续、偏导数存在；

D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；

C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；

B．；

C．；

D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；

B．；

C．；

D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；

2．设，则＝；

3．设为正向一周，则0 ；

4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：

，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：

由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

高等数学下期末试题七套附答案

高等数学（下）试卷一

一、填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

11z x y x y =+

+-的定义域为

（2）已知函数

arctan

y z x =，则z

x ∂=

∂

（3）交换积分次序，

220

(,)y y dy f x y dx

⎰⎰

＝

（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

()L

x y ds +=⎰

（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为

二、选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨

--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜

交

（2）设

是由方程

222

2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（）

A.dx dy +

B.2dx dy +

C.22dx dy +

D.2dx dy -

（3）已知Ω是由曲面

222

425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22

()x y dv Ω

+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（） A.

225

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ B.

245

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ C.

350

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ D. 22

d r dr dz

θ⎰

⎰⎰

（4）已知幂级数

，则其收敛半径

（）

A. 2

B. 1

C. 1

2 D. 2

（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *

=（）

B.()x ax b xe +

高等数学试卷含答案下册

高等数学II 试题

一、填空题每小题3分,共计15分

1．设(,)z f x y =由方程xz

xy yz e -+=确定,则 z

x ∂=

∂ ;

2．函数

2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;

3．L 为圆周2

4x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds

y x 22= ;

4．已知曲线23

,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐

标为或 ;

5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210

()01x f x x x -<≤⎧=⎨

<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;

二、解答下列各题每小题7分,共35分

1．设) ,(y x f 连续,

交换二次积分

201(,)x I dx f x y dy

-=⎰⎰的积分顺序;

．计算二重积分D

,其中D 是由y 轴及圆周22

(1)1x y +-=所围成的在

第一象限内的区域;

3．设Ω

是由球面z =

与锥面z =围成的区域,试将三重积分

222()I f x y z dxdydz

=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;

4．设曲线积分[()]()x

f x e ydx f x dy

--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;

5．求微分方程2x

y y y e -'''-+=的通解;

三、10分计算曲面积分

y dzdx zdxdy

∑

+⎰⎰,其中∑是球面222

4(0)x y z z ++=≥的上

高等数学下试题及参考答案

华南农业大学期末考试试卷〔A 卷〕

2021~2021 学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：〔闭卷〕考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业

〔估计不考或考的可能性比拟小的题目已删除〕

一、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。

2. 向量(,1,5)a λ=与向量(2,7,1)b =-垂直，则λ= 。 3．直线223

314x y z -+-==

-与平面3x y z ++=的夹角为。 4．设2y z x =，则

∂=∂ 。 5．当参数p 满足条件时，级数1

p n n

∞

+=∑

收敛。

二、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕

1．微分方程2'cos y y x =的通解是〔〕

A ．1sin y x C =-

+ B ．1

sin y x C =+

C ．1sin y C x =-+

D ．1

sin y C x

2．求极限(,)(0,2)

sin()

lim

x y xy x

→= 〔〕

A ．1

B ．2

C ．不存在

D ．y

3．通过y 轴和点(3,2,1)--的平面方程为〔〕

A ．30x y +=

B ．30x z +=

C ．30x z +=

D ．30x y +=

4．D 是由曲线221x y += 围成的闭区域，则3D

dxdy =⎰⎰ 〔〕

A ．π

B ．3π

C ．0

D ．2π 5．级数2010(sin10)n n ∞

=∑ 〔〕

A ．发散

B ．条件收敛

C ．绝对收敛

D ．不能判定

三、计算题〔本大题共7小题，每题7分，共49分〕

大学高等数学下考试试题库(附答案)

一.选择题（3分⨯10）

1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.

A.3

B.4

C.5

D.6

2.向量j i b k j i a

+=++-=2,2，则有（）.

A.a ∥b

B.a ⊥b

C.3,π=b a

D.4

,π

=b a

3.函数1

122

22-++

--=

y x y x y 的定义域是（）.

A.(){

}21,22≤+≤y x y x B.(

){}

21,22<+

C.(){}21,2

≤+

y x D (){

}21,2

<+≤y x y x

4.两个向量a 与b

垂直的充要条件是（）.

A.0=⋅b a

B.0 =⨯b a

C.0 =-b a

D.0 =+b a

5.函数xy y x z 33

-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy

z ＝（）.

22 B.2

2- C.2 D.2- 7.若p 级数

∑∞

=11

n p

收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p

8.幂级数∑∞

n n

n x 的收敛域为（）.

A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-

9.幂级数n

n x ∑∞

=⎪⎭

⎫

⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.

x -11 B.x -22 C.x -12 D.x

-21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.

A.x

ce y = B.x

e y = C.x

cxe y = D.cx

e y =

二.填空题（4分⨯5）

1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.

高数下期末考试试题和答案解析

2017学年春季学期

《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）

注意：

1、本试卷共 3 页；

2、考试时间110分钟；

3、姓名、学号必须写在指定地方

一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．

1．已知a 与b

都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2

lim()sin

x y x y x y →→+=+( ).

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).

（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f

x y x y c c =++为实数

（C ）(,)f x y =

（D ）(,)e x y f x y +=

4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).

（A ）驻点与极值点（B ）驻点，非极值点（C ）极值点，非驻点（D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2

:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=

⎰⎰，2D

I σ=，3D

I σ=，则有（）.

（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<

6．设椭圆L ：

2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12

高等数学下期末试题(七套附答案)

高等数学（下）试卷

-、填空题（每空3分，共15分）

1 1

z 二-

（1） ___________________________________________________________ 函数 .x y

X - y

的定义域为 _____________________________________________________

z = arcta n 》

—=

（2）已知函数

x ，贝

y 汉 _____________________

、 [dW 2 f （x, y ）dx （3 ）交换积分次序， '0 ' y = ___________________

（4）已知L 是连接（

0,1）

＞（

1,0

）两点的直线段，则L

（x y

）ds 二 __________

（5） __________________________________________________________________ 已知微分方程 y ： 2y • -3y = 0，则其通解为 ____________________________________

二、选择题（每空3分，共15分）

(1)

A. x 3y 2z 1 = 0

设直线 L 为 2x

-y "Oz ，3

"，平面二为4x-2y • z -2=0

L 平行于二 (2) ( 设 ) A . dx

dy C. L 垂直于兀

是由方程

xyz

• x y

z =、2确定，则在点

B. L 在二上

B dx + 72dy

C^dx + ddy

，则（）

D. L 与二斜交

（

1,0^

高等数学下册试题及答案解析.docx

高等数学（下册）试卷（一）

一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）

1、z =log a ( x2y 2 )( a 0) 的定义域为D=。

2、二重积分ln( x2y 2 )dxdy 的符号为。

|x| |y| 1

3 、由曲线y ln x 及直线x y e 1 ， y 1 所围图形的面积用二重积分表示

为，其值为。

L 的参数方程表示为x(t)(x),

则弧长元素

。

、设曲线

y(t)

5 、设曲面∑为x2y 29 介于z0 及 z 3 间的部分的外侧，则

（x2y21)ds。

6、微分方程dy

y tan

的通解为。dx x x

7、方程y( 4) 4 y0 的通解为。

8、级数1的和为。

n(n1)

二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）

1、二元函数z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是（）

（A）f ( x, y)在(x0, y0)处连续；

（B）f x( x, y)，f y( x, y)在( x0, y0)的某邻域内存在；

（ C）z f x (x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 ) y 当( x) 2(y) 20 时，是无穷小；

（ D）lim z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y0

。

(x)( y) y0

2、设u yf ( x

)xf (

), 其中 f 具有二阶连续导数，则x2u y 2 u等于（）y x x 2y 2

（A）x y ；（ B）x；(C) y；(D)0。

3、设： x 2y 2z21, z0, 则三重积分I zdV 等于（）

高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z =)0()(log 2

2>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分

⎰⎰

≤++1

||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示

为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()

()

(βαψϕ≤≤⎩⎨

⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为92

=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则

=++⎰⎰

∑

ds y x )122

（。

6、微分方程x

x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04)

4(=-y y

的通解为。

8、级数

∑∞

=+1)

1(1

n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；

（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；

（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(2

2→∆+∆y x 时，是无穷小；

（D ）0)

()(),(),(lim

00000

=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y

y x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y

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高等数学下册试题及答案解析

一、填空题（每小题

3 分，共计 2

4 分）

1、 z

log a ( x 2

y 2

) (a

的定义域为 D=.

ln( x 2 y 2 )dxdy

2、二重积分 |x| | y| 1

的符号为

3、由曲线

y ln x

及直线

y e 1， y

所围图形的面积用二重积分表示为

，其值

为.

x (t ) (x ),

(t)

4、设曲线 L 的参数方程表示为

则弧长元素 ds

5、设曲面∑为 x

介于 z

0 及 z

间的部分的外侧，则

（x 2 y 2 1)ds

6、微分方程 dx

tan

x 的通解为

7、方程 y

(4 )

4 y 0

的通解为

8、级数 n 1 n( n

的和为

二、选择题（每小题

2 分，共计 16 分）

1、二元函数

f ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（

）

（

A ） f ( x, y) 在 ( x 0

, y 0

) 处连续；

（ B

） f x

( x, y)

， f y

( x, y)

在

( x 0

, y 0 )

的某邻域内存在；

f x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y

当

( x)

（ C ）

lim

z f x (x 0 , y 0 ) x

f y ( x 0 , y 0 ) y 0

x 0 ( x)

( y)

（ D ）

y 0

u yf ( x

)

xf ( y

2、设

y x 其中具有二阶连续导数，则

（ A ）

y ；（ B ） x

； (C) y

；

(D)0 .

2 ( y)

时，是无穷小；

高数下册复习题目参考答案

高等数学(下)复习试题

一、填空题（请将答案填入题中横线上空白处，不填写解题过程。）

1. 函数y x y x xy

z ++--=

)

1ln(2

2的定义域为__________． 2. 平面λ=-+z y x 32是曲面2

32y x z +=在点)4

,21,21(处的切平面，则λ＝。 3．函数23

u xy z xyz =+-在点0(0,1,2)P -

沿方向(1

l 的方向导数0

|P u ∂=∂l ． 4．设∑是球面z z y x 2222

=++，

γβαcos ,cos ,cos 是

∑上的外法线向量的方向余弦，

则积分

⎰⎰∑

++dS z y x )cos cos cos (γβα＝。

5．设10,1:

≤≤≤y x D 。则⎰⎰+D

yd y y x σ)cos (5＝。

6．积分

dy y x f dx x x ⎰

⎰-2

),(在极坐标系下的累次积分为。

7．若级数

∑∞=-13)5(n n

收敛，则n n u ∞

→lim ＝。

8．幂级数∑∞

=++--1

212)2()1(n n n

n x 的收敛域为。

9. 幂级数2

21)1(2-∞

=-∑n n

n x n 的收敛域为。 10．曲线2

,3,42

34t z t y t x ===在点)2

,31,41(

处的切线方程为。 11．设2

1arctan y

x z +=，则1

1==y x dz

＝。 12．若曲线积分⎰

-++-L

dy y y x dx xy x )56()4(4214λλ在xoy 平面内与路径无关，则λ＝。

13. 曲线积分

⎰

xdy ydx y x F ))(,(与路径无关，则可微函数),(y x F 满足的条件是。

高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z =)0()(log 2

2>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分

⎰⎰

≤++1

||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示

为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()

()

(βαψϕ≤≤⎩⎨

⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为92

=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则

=++⎰⎰

∑

ds y x )122

（。

6、微分方程x

x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04)

4(=-y y

的通解为。

8、级数

∑∞

=+1)

1(1

n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；

（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；

（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(2

2→∆+∆y x 时，是无穷小；

（D ）0)

()(),(),(lim

00000

=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y

y x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y