正反比例函数
正比例函数和反比例函数比较
? 趋向
– 图象的两个分支都 无限接近但永远不能达到 x轴和y轴。
反比例函数图象性质的运用
已知y ? a(a ? 1) xa2 ? a?1，当a为何值时， （1）y与x成正比例，此时，图象 经过哪几个象限？ （2）y与x成反比例，此时，图象 位于哪几个象限内？
– 当k<0时，它的图象经过 第二、四象限 ，y随x 的增大而减小 ；
? 倾斜程度
– k的绝对值越大，图象越接近y轴。
– 也就是说： 比例系数k决定了直线 y＝kx与x轴 正方向所成的角， k叫做直线y＝kx的斜率。
正比例函数性质
设函数 y ? (m ? 2) xm2 ? 5m? 5 ? (m ? 4)， （1）当 m是什么值时，是正比例 函数？ （2）此时它的图象经过哪 几个象限？
正比例函数图象
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
1 y ? x y ? x y ? 3x
2
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
y? ? 1x 4
y? ?x
y ? ?3x
你发现正比 例函数中的 比例系数k有 什么作用？
正比例函数性质
? 增减性
– 当k>0时，它的图象经过 第一、三象限 ，y随x 的增大而增大 ；
函数关系式是：
量叫做成反比例，把
– 一个物体作匀速直线运动，行程120它m们，之则间运的函数关系
动速度v（m/秒）与所需时间t（秒）叫之做间反的比函例函数。
数关系是：
? 反比例函数的 一般形式： ? k是不等于零的常数。 ? 不同的k值代表不同的反比例函数，因此
确定了 k，就可以确定一个反比例函数。
正比例函数反比例函数
反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方）y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n∙函数式中自变量取值的范围①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^（-1）y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）∙反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
∙反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k的绝对值。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
反比例函数性质有哪些？1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
反比例函数和正比例函数最小值
反比例函数和正比例函数最小值
反比例函数和正比例函数都是数学中的函数类型。
反比例函数指的是如果一个函数的输入变量与输出变量的乘积为
一个常数，则该函数被称为反比例函数。
通常表示为y = k/x，其中k
为常数。
反比例函数的特点是随着输入变量的增大，输出变量会减小；随着输入变量的减小，输出变量会增大。
反比例函数的图像通常为一
个拋物线的两侧开口向下。
正比例函数指的是如果一个函数的输入变量与输出变量成正比例
关系，则该函数被称为正比例函数。
通常表示为y = kx，其中k为常数。
正比例函数的特点是随着输入变量的增大，输出变量也会增大；
随着输入变量的减小，输出变量也会减小。
正比例函数的图像通常为
一条通过原点的直线。
反比例函数和正比例函数都不具有最小值。
在反比例函数中，由
于输入变量可以取任意正实数，输出变量也不受限制，因此无法找到
最小值。
在正比例函数中，由于输入变量可以取任意实数（包括负数），输出变量也不受限制，因此同样无法找到最小值。
总结起来，反比例函数和正比例函数都不具有最小值。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
高中数学 常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数
1 / 3常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数(1) 反比例函数及其图象如果)0,(≠=k k xk y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象（2）反比例函数的性质当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小；当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3．对勾函数()b f x ax x=+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
（1） 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0b<0对勾函数的图像（ab 同号）2 /3 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
正、反比例函数的图像和性质
图像形状
反比例函数的图像是两条 关于原点对称的双曲线， 分别位于第一、三象限和 第二、四象限。
图像趋势
当 $x$ 趋近于正无穷或负 无穷时，$y$ 趋近于 0； 当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 趋近于无穷大。
图像与坐标轴关系
反比例函数的图像与坐标 轴没有交点，即不经过任 何象限的角平分线。
反比例函数性质分析
正比例函数性质分析
01
02
03
比例性
正比例函数中，$y$ 与 $x$ 成正比，即当 $x$ 增 大时，$y$ 也随之增大； 当 $x$ 减小时，$y$ 也随 之减小。
直线性
正比例函数的图像是一条 直线，因此具有直线性， 即函数值的变化是均匀的 。
过原点性
正比例函数的图像经过原 点，这意味着当 $x = 0$ 时，$y = 0$。
函数的对称性
如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有对称性。例如，二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像关于直 线$x=-frac{b}{2a}$对称。
02
正比例函数图像与性质
正比例函数定义及表达式
定义
正比例函数是形如 $y = kx$ （ $k$ 为常数，且 $k neq 0$）的 函数。
反比例函数图像
反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像是两条分别位于第一象限 和第三象限的双曲线。这两条曲线关 于原点对称，且随着 $x$ 的增大， $y$ 逐渐减小并趋近于 0。
性质异同点分析
相同点
正比例函数和反比例函数都是关于原点对称的，即它们都是奇函数。
不同点
正比例函数的图像是直线，而反比例函数的图像是双曲线；正比例函数的值随着 $x$ 的增大而增大， 而反比例函数的值随着 $x$ 的增大而减小。
正比例函数和反比例函数
正比例函数与反比例函数一、知识梳理1. 如果变量y 就是自变量x 的函数,对于x 在定义域内取定的一个值a ,变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值。
(为了深入研究函数,我们把“y 就是x 的函数”用记号y=f(x)表示,这里括号里的x 表示自变量,括号外的字母f 表示y 随x 变化而变化的规律。
f(a)表示当x=a 时的函数值) 2. 函数的自变量允许取值范围,叫做这个函数的定义域。
3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质4、函数的表示法有三种:列表法,图像法,解析法。
二、典型题选讲 ●概念辨析1. 在问题研究过程中,可以取不同数值的量叫做＿＿＿＿＿＿＿＿.保持数值不变的量叫做________________表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为________________、 2. 写出下列函数的定义域: (1)1y x =+ (2)21y x =-(3)y =y = 3、已知:2()1f x x =-+,(0)f =________,(1)f -=______,(2)f =________、 4、解析式形如(0)y kx k =≠的函数叫做_____________、5、函数3y x =的图像就是经过(1,3)与___________的一条____________、当自变量x 的值从小到大逐渐变化时,函数值y 相应地从_________到_______逐渐变化、 6、反比例函数的解析式就是_________,反比例函数的图像叫_____________、 7、已知:反比例函数8y x=,点A(-2,-4)________它的图像上(填“在”或“不在”)、8、反比例函数y x=-的图像的两支在第______象限。
在其各自的象限内,y 随x 的增大而____________、9、函数有三种表示法,分别为_________,__________,__________、 10.已知函数12)(+=x x f ,则=)1(f ____________.11.在公式C =2πr 中,C 与r 成 比例、(填“正”或“反”). 12.函数1-=x y 的定义域为_________________. 13.如果13)(-+=x x x f ,那么=)3(f ______________. 14.已知点P (2,1)在正比例函数kx y =的图象上,则k ＝___________. 15.函数y =－2 x 的图象就是一条过原点及(2,a )的直线,则a = . 16.若正比例函数152)3(--=m x m y 的图像经过二、四象限,则m 的值为 .17.已知反比例函数2k y x-=,其图象在第一、第三象限内,则k 的取值范围就是 . 18.已知函数xky =的图象不经过第一、三象限, 则kx y -= 的图象经过第 象限. ●待定系数法求函数解析式1.若正比例函数经过(2,6),则函数解析式就是 .2.若反比例函数经过(－2,1),则函数解析式就是 .3.y 与3x 成正比例,当x =8时,y =－12,则y 与x 的函数解析式为___________.4.如果一个等腰三角形的周长为12,那么它的腰长y 与底边x 的函数关系式就是 ,自变量x 的取值范围为 .5.已知反比例函数图像上有一点A ,过点A 做x 轴的垂线,垂足为B ,ΔAOB 的面积为6,则 这个反比例函数的解析式为 .6.已知正比例函数与反比例函数的图象相交于点A (–3,4)与(3,a )两点,(1)求这两个函数解析式;(2)求a 的值.7、已知21y y y +=,1y 与2x 成正比例,2y 与1-x 成反比例,当x ＝－1时,y ＝3;46(a,-3)QyxPlNMQxy当x ＝2时,y ＝－3,(1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)当2=x 时,求y 的值。
正比例函数和反比例函数的区别(附图)
正比例函数和反比例函数的区别（附图）
一：正比例函数
y=kx(k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数，
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）。
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点，
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
二、反比例函数
y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，我们就说y是x的反比例函数 (自变量x的取值范围是不等于0的一切实数) 。
反比例函数的图像为双曲线，它可以无限地接近坐标轴,但永不相交，
当k>0时，图象在一、三象限,在每个象限内，y随x的增大而减小，
当k<0时，图象在二、四象限,在每个象限内，y随x的增大而增大。
正比例函数和反比例函数
一、知识要点1. 如果变量y 是自变量x 的函数，对于x 在定义域内取定的一个值a ,变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值。
（为了深入研究函数，我们把“y 是x 的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的x 表示自变量，括号外的字母f 表示y 随x 变化而变化的规律。
f(a)表示当x=a 时的函数值）2. 函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。
3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质4. 函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。
二、课堂练习1. 油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q （升）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为__________________，•自变量的范围是_____________．当Q=10升时，t=_______________。
2. 在函数xxy +-=12中，自变量x 的取值范围是 。
3. 一棵小树苗长10cm ，从发芽起每年长高3cm,则x 年后其高度y 关于x 的函数解析式为_________,y___（填“是”或“不是”）x 的正比例函数.4. 观察下图中各正方形图案，每条边上有n （n ≥2）个圆圈，每个图案中 圆圈的总数是s 。
按此规律推断出s 与n 的关系式为 。
5. 已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x ，底边长为y ，则y 关于x 的函数解析式，及自变量x 的取值范围__________________6. 若点P(3,8)在正比例函数y=kx 的图像上,则此正比例函数解析式是________________。
7. 正比例函数y=kx(k ≠0)y 随x 的增大而减小，则函数图象经过______象限。
8. 若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m=_____________9. 点A(-5,y 1)和B(-2,y 2)都在直线y=-21x 上,则y 1与y 2的关系是___________ 10. 反比例函数的图像过点（－3，5），则它的解析式为_________。
正比例函数和反比例函数的概念
正比例函数和反比例函数的概念正比例函数是指函数的图像经过原点且经过一点时，曲线呈线性关系的函数。
即当自变量的值变大一倍时，函数值也会变大一倍；反之，当自变量的值变小一倍时，函数值也会变小一倍。
这种函数的一般形式可以表示为 y = kx（其中 k 为常数）。
举一个简单的例子来说明正比例函数的概念，考虑一个问题：如果一辆车以恒定的速度行驶，那么行驶的距离与所花费的时间之间的关系是什么？我们可以用正比例函数来描述这个关系，假设车速恒定为 v，行驶的时间为 t，行驶的距离为 d，则可以写成 d = vt。
这个例子中，行驶的距离与所花费的时间之间的关系是正比例的，当时间 t 增加时，行驶的距离 d 也会相应地增加。
反比例函数是指函数的图像经过原点且经过一点时，曲线呈反比例关系的函数。
即当自变量的值变大一倍时，函数值会变小一倍；反之，当自变量的值变小一倍时，函数值会变大一倍。
这种函数的一般形式可以表示为y=k/x（其中k为常数）。
再举一个简单的例子来说明反比例函数的概念，考虑一个问题：如果一根管道中的水通过两个出口排出，当一个出口的截面积增加时，另一个出口的流速会如何变化？我们可以用反比例函数来描述这个关系，假设一个出口的截面积为A，流速为v1；另一个出口的截面积为B，流速为v2，根据流量的守恒定律，可以得到A*v1=B*v2，即v1=(B/A)*v2、这个例子中，流速与截面积之间的关系是反比例的，当截面积A增加时，流速v2会相应地减小。
正比例函数和反比例函数在数学的各个领域中都有广泛的应用。
在物理学中，正比例函数常用来描述速度、力和功率等物理量之间的关系；反比例函数常用来描述压力和流量等物理量之间的关系。
在经济学中，正比例函数常用来描述需求和供给之间的关系；反比例函数常用来描述价格和需求量之间的关系。
在生物学中，正比例函数常用来描述人口增长和生长速率之间的关系；反比例函数常用来描述食物供应和个体数量之间的关系。
初二数学《正比例函数和反比例函数》PPT复习
案例分析三
已知正比例函数y=ax（a≠0）的 图像与反比例函数y=b/x（b≠0） 的图像交于C、D两点，且C、D 两点关于原点对称，若点C的坐 标为（3,2），求a、b的值及D点
的坐标。
05 典型例题解析与思路拓展
典型例题选讲
例题1
已知正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图像经过点 (2, -4)，求该正比
在同一平面直角坐标系中，正比例函数 的图像是一条过原点的直线，且关于原 点对称。
比例系数k决定了直线的倾斜程度，k>0 时，直线从左下方向右上方延伸；k<0 时，直线从左上方向右下方延伸。
性质 图像是一条经过原点的直线。
反比例函数定义及性质
性质
图像是分布在两个象限内的双曲 线。
比例系数k决定了双曲线的形状和位置 ，k>0时，双曲线位于第一、三象限； k<0时，双曲线位于第二、四象限。
06 课堂互动环节
学生提问答疑
学生可以向老师提出关于正比例函数 和反比例函数概念、性质、图像等方 面的疑问。
老师会针对学生的问题，进行详细的 解答和辅导，确保学生能够理解和掌 握相关知识。
小组讨论分享学习心得
学生可以分组进行讨论，分享自己在学习正比例函数和反比 例函数过程中的心得和体会。
小组内成。
例题2
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图像经过点 (3, 4)，求该反比例 函数的解析式。
例题3
已知正比例函数 y = 2x 和反比例函 数 y = 8/x，求这两个函数图像的交 点坐标。
解题思路与方法总结
对于正比例函数，已知一点坐 标，可以通过代入法求出函数 的解析式。
经济学问题
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数正比例函数和反比例函数综合解说客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。
在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。
函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。
本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。
1正比例函数【知识结构框图表】【本节解读】人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。
数与度量单位结合在一起，就是数量。
反比例函数正比例函数定义域和值域函数解析式函数经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。
【基础知识与要点拨】1.变量和常量在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。
比如：圆的周长C与直径D的关系为C＝πD。
C、D是变量，π是常量。
2.函数和自变量在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。
“y是x的函数”用记号y＝f(x)表示，括号内的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。
f(a)表示当x＝a时的函数值。
3.定义域和值域函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
对应于自变量的函数值的取值范围，叫做值域。
4.正比例如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例。
用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是y k=或者y kx=，其中，k是不为零的常数。
x5.正比例函数定义域是一切实数的函数y k x=（k是不为零的常数）叫做正比例函数。
其中常数k叫做比例系数。
确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数。
正比例与反比例函数应用
正比例与反比例函数应用正比例函数和反比例函数是高中数学中的重要概念，广泛应用于实际生活和各个领域的问题解决中。
在本文中，我们将探讨正比例和反比例函数的定义、性质以及它们在实际问题中的具体应用。
正比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量增加时，另一个变量也随之按比例增加；反比例函数则是指两个变量之间的关系，当一个变量增加时，另一个变量按比例减少。
下面分别介绍正比例函数和反比例函数的定义和性质。
一、正比例函数的定义和性质正比例函数是指当自变量x变化时，与之对应的因变量y也按比例变化的函数关系，具体数学表达式为y=kx（其中k为非零常数）。
正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体非负实数。
正比例函数的图像表现为一条通过原点的直线，斜率为比例常数k。
正比例函数的性质如下：1. 当x=0时，y=0，即函数曲线通过坐标原点；2. 当x>0时，y>0，函数图像在第一象限上；3. 当x<0时，y<0，函数图像在第三象限上；4. 当x>0且增大时，y也增大，函数图像从原点向右递增。
正比例函数的具体应用很多，例如工资与工作时间的关系、速度与距离的关系等。
这些实际问题可以通过建立相应的正比例函数模型来描述和解决。
二、反比例函数的定义和性质反比例函数是指当自变量x变化时，与之对应的因变量y按比例变化的函数关系，具体数学表达式为y=k/x（其中k为非零常数）。
反比例函数的定义域为全体非零实数，值域为全体非零实数。
反比例函数的图像表现为一条经过原点的曲线，具有对称轴x=0。
反比例函数的性质如下：1. 当x>0时，y>0，函数图像在第一和第三象限上；2. 当x<0时，y<0，函数图像在第二和第四象限上；3. 当x>0时且增大时，y减小，函数图像趋近于x轴正半轴；4. 当x<0时且增大时，y减小，函数图像趋近于x轴负半轴。
反比例函数的具体应用也是十分广泛的，例如电阻和电流之间的关系、行驶速度和行程时间之间的关系等。
正比例反比例函数性质
04
正反比例函数在生活中的 应用实例
正比例关系在生活中的应用举例
01 02
速度、时间和距离之间的关系
在匀速直线运动中，速度是恒定的，因此时间和距离成正比。例如，如 果一辆汽车以恒定速度行驶，那么它行驶的时间越长，行驶的距离就越 远。
工资和工作时间的关系
在计时工资制中，工资通常与工作时间成正比。例如，如果一名工人每 小时的工资是固定的，那么他工作的时间越长，获得的工资就越高。
指数函数与对数函数
形如 y = a^x（a > 0, a ≠ 1）和 y = log_a(x)（a > 0, a ≠ 1）的函 数。具有独特的增减性、图像特征以及在实际问题中的应用。
THANKS
求解正比例函数相关数学问题方法技巧
01
确定比例系数
根据题目条件，确定正比例函 数的比例系数k，通常利用已知
的一组对应值来求解。
02
利用图象求解
画出正比例函数的图象，利用 图象的直观性来求解相关问题 ，如求交点、判断函数值大小
等。
03
利用函数性质
利用正比例函数的性质，如增 减性、对称性等，来求解相关
综合运用正反比例关系解决问题
农业生产中的施肥问 题
农业生产中需要合理施肥以保证作物 生长。施肥量与作物产量之间通常存 在正比关系，即施肥量增加，作物产 量也相应增加。然而，过量施肥会导 致土壤污染和作物生长受阻。因此， 需要综合运用正比和反比关系来确定 最佳施肥量。
城市规划中的交通拥 堵问题
城市规划中需要解决交通拥堵问题。 一方面可以通过增加道路容量来提高 交通流量（正比关系），另一方面也 可以通过提高公共交通使用率来减少 私家车出行（反比关系）。综合运用 这两种方法可以有效缓解城市交通拥 堵问题。
正比例函数与反比例函数的交点规律
正比例函数与反比例函数的交点规律一、引言正比例函数与反比例函数是初中数学中的重要概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文旨在探究正比例函数与反比例函数的交点规律，为初学者提供更深入的理解。
二、正比例函数与反比例函数的定义1. 正比例函数正比例函数是指两个量之间的关系是成正比例的，即当一个量增加时，另一个量也随之增加，并且它们之间存在一个固定的比值。
其一般形式为y=kx（其中k为常数，称为比例系数）。
2. 反比例函数反比例函数是指两个量之间的关系是成反比例的，即当一个量增加时，另一个量会随之减少，并且它们之间存在一个固定的积值。
其一般形式为y=k/x（其中k为常数，称为比例系数）。
三、交点规律1. 两个正比例函数相交当两个正比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据两个正比例函数的一般形式y1=k1x和y2=k2x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1x=k2x，解得x=k1/k2。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
2. 两个反比例函数相交当两个反比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据两个反比例函数的一般形式y1=k1/x和y2=k2/x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1/x=k2/x，解得x=sqrt(k1/k2)。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
3. 一个正比例函数和一个反比例函数相交当一个正比例函数和一个反比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据正比例函数和反比例函数的一般形式y1=k1x和y2=k2/x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1x=k2/x，解得x=sqrt(k1/k2)。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
四、实际应用正比例函数与反比例函数在实际生活中有着广泛的应用。
例如：1. 正比例函数：工人的工资与工作时间成正比；购买某种商品的数量与花费金额成正比等。
正比例函数、一次函数及反比例函数
正比例函数
概念：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
图像：
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为y=kx。
当k>0时，直线y=kx经过第三、一象限，从左往右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左往右下降，即随着x的增大y反而减下。
一次函数
概念：
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
图像：
一次函数y=kx+b的图像是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。
当k>0时，直线y=kx+b从左往右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx+b从左往右下降，即随着x的增大y反而减下。
反比例函数
概念：
一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
图像：
反比例函数的图像属于双曲线：随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴。
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值得增大而减小；
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值得增大而增大。
性质：
反比例函数y=的图像关于直线y=±x对称。
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正比例函数
一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k 为常数，x的次数为1，且k≠0)(简称f(x))，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b=0，即所谓"y轴上的截距"为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为:y=kx(k为比例系数) 当K>0时(一三象限)，K的绝对值越大，图像与y轴的距离越近。
函数值y随着自变量x的增大而增大. 当K<0时(二四象限)，k的绝对值越小，图像与y轴的距离越远。
自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
单调性
当k>0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数;
当k<0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。
对称性
对称点:关于原点成中心对称;
对称轴:自身所在直线;自身所在直线的垂直平分线。
图像
正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k(k表示正比例函数与x轴的夹角大小)，横、纵截距都为0。
正比例函数的图像是一条过原点的直线。
正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越"陡";当k的绝对值越小，直线越"平"。
1、已知一点坐标，用待定系数法求函数解析式。
先设解析式为y=kx，再代入已知点坐标，解出k的值。
2、解出k的值后，在数轴上标出各点并连接个点
反比例函数
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或
y=k·x^（-1）。
定义
一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。
k>0时，图像在一、三象限。
k<0时，图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x 与y的坐标形成的矩形的面积。
表达式
x是自变量，y是因变量，y是x的函数
（即：y=kx^-1）
(k为常数且k≠0，x≠0）
若此时比例系数为：
自变量的取值范围
①在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数；②函数 y 的取值范围也是任意非零实数。
解析式
其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数，
即 |x|x≠0,x属于R这个范围。
R是实数范围。
也就是x是实数}。
下面是一些常见的形式
k为常数(k≠0)，x不等于0
函数图像
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交。