第三章 线性系统的能控性
(完整word版)现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性01010（ 1） A10 1B( 2) A 0 0 1 ,B 011024311113 10 1 1（ 3） A0 10 1 0 3 0 , B00 ( 4) AB0 0 11 001211【解】：(1)11U c B AB 1 1, rankU c n 2 ，所以系统完全能控。
c 0 1 c(2)10 0 1 2U c B AB A 2B1 1 11 1 17前三列已经可使 rankU c n 3 ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算） 。
（3）A 为约旦标准型， 且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零， 所以系统不完全 能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征， 所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控 性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
1213 1223B AB A 2B A 3B2 3 U c1 1 12 13 1 11 12 31111rankU c 2 ，所以系统不完全能控。
3 1110 10 0 x0 3 0x 0 0ux0 01x 0u (1)0 0 12(2)61161101yxy10 0x1 10解】：1）311 已知 A 0 30,B0 001220 0 D CB CAB CA 2B 0 0 前两列已经使 rank D CBCAB110 1 0 00 ， C ，D1 1 0 0 031112CA B m2， 所以系统输出能控。
（2） 系统为能控标准型，所以状态完全能控。
又因输出矩阵 状态维数 n ，所以状态能控则输出必然能控。
C 满秩，且输出维数 m 小于1 0x0 01xx1 1 (1)2 43 ； (2) 1 x 0；011y1 1xyx12 12 1 0 4 0 0x0 20xx4 0x(3)；（4）0 030 1y0 1 1x y11 4x解】：1）已知 A01 00 242-3-3 判断下列系统的能观性。
线性系统的能控性判据分析
线性系统的能控性判据分析摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。
本文主要讨论线性系统的能控性判据。
其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。
一：问题的提出设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。
因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。
能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。
现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。
1. 能控性定义 能控性的直观讨论从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。
能控性主要看其状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。
具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。
二：问题的解决我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。
设线性定常系统状态方程为：能控性判据：1.格拉姆矩阵判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram ）矩阵其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。
2.秩判据线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是3.PBH 秩判据.,,,,)1(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为p n n n B A p u n t x x Bu A ⨯⨯≥=+=x x x01>t 为非奇异⎰--=tt A T At c dte BB e t W T],0[.][,][11阵称为系统的能控性判别的维数为矩阵其中B A AB B Q A n nB A AB B rank n c n --==线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A 的所有特征值4. PBH 特征向量判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A 不能有与B 的所有列相正交的非零左特征向量。
线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 ( x n (t )
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体 所决定 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 综合理论
第3章 线性系统的结构分析
一、线性系统的能控性
注意：如果A为对角标准型时含有相同的特征值，
或者A为约当标准型时含有相同特征值的
约当块,则上述结论不成立.
例如:
x&
1 0
0 1
x
1 1
u
是不完全能控的.
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
4、 能控性的格拉姆矩阵判据和秩判据
系统 : x& Ax Bu（或矩阵对[A, B]）完全能控的 充分必要条件是下列条件之一成立：
状态x(0) x0, 存在一个有限时间段[0,t1]和定义在这 个时间段的控制输入u(t),t [0,t1]使得系统状态轨迹 在这个时间段内从状态x0出发在t1时刻达到平衡状态0， 则称时不变系统的状态是完全能控的。
0 x(t)
x0
u(t)
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
• 注意
时变系统的状态能控性定义:
一、线性系统的能控性
u(t) x& Ax Bu x(t) y Cx Du y(t)
• 能控性问题: 在任意给定时刻,输入能否驱 动状态从任意一个位置在有限时间内到达平 衡位置？
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
状态能控性定义：
对于线性时不变系统 x& Ax Bu, 如果对任意初始
0
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
tWc1[0,
t1
]x0
dt
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
t
dt
Wc1[0,
现代控制理论第三章
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
第3章 能控性和能观性
注：证明要用到结构的可控性分解的结果
PBH特征向量判据
线性定常系统完全可控的充分必要条件是不存在A 的非零左特征向量 T与B的所有列正交，即
T T T A , B0 i
证明：采用反证法。反设存在向量 0
A , B0 i
T T T T T B 0, T AB B 0, i
3.2 线性定常系统的可控性判据
由定义，可控性仅与状态方程式有关，与输出方 程式无关。 由 x(T ) 0 有
x0 e
t0
T
A
Bu ( )d
由此有 x0 可控的充分必要条件是存在满足上式的
容许控制：
u ( )
t0 T
说明：根据上述条件进行可控性判定难于操作。 引理1 点 x n 可控的充分必要条件是 0
那么对于任意的非零初始状态 x0 可构造控制律
u(t ) B e
T AT t
W (0, t1 ) x0 , 0 t t1
1
在该控制作用下系统在t时刻的状态为
x(t1 ) e x0 e
At1 0
t1
A t1 t t1
Bu (t )dt BB e
1 T AT t
说明：
1. 定义中没有对状态转移的轨迹和具体的时间 长度加以限制和规定，因此它仅是系统运动的一 定性特性； 2. 定义中的容许控制是指满足使系统解唯一存 在的所有控制的集合，对线性定常系统来说，是 要求其每个分量平方可积。 3. 对于时变系统，可控性与初始时间 t0 有关， 而对于线性定常系统，则可控性与初始时间 t0 无 关 4. 对于连续线性定常系统，可控性和可达性等 价，而对于时变及离散系统两者不等价。
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
第3章_线性控制系统的能控性和能观性
证明 定理3.3-1
y(t1) 0(t1)Im 1(t1)Im n1(t1)Im C
y(t2） 0(t2)Im
1(t2)Im
n1(t2)ImC
A x(0)
y(tf)
0(tf)Im
1(tf)Im
n1(tf)ImCnA 1
上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的测量值 y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地 确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。
4)不可控
18
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
3.可控性约当型判据
J1
设
x AxBu
J2
xu
Jk
若 A为约当型，则状态完全可控的充要条件是：
每一个约当块的最后一行相应的 阵中所有的行 元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此
结论不成立。）
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19
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
➢本章结构
• 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 ✓3.1 能控性 ✓3.2 能观性 ✓3.3 能控性与能观性的对偶关系 ✓3.4 零极点对消与能控性和能观性的关系
精选可编辑ppt
1
引言
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系
u
x
y x Ax Bu
y Cx Du
状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程 反映系统输出对控制输入和状态的依赖
10
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
证明 定理3.1-1
n1
x(0) AkBk B AB A2B k0
0
An1B1
n1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都
线性系统能控性能控性与能观性
时变系统
能达性定义及判据 能观性定义及判据
①Gram 判据 ①Gram 矩阵非奇异
离散时间线性
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据
rank H GH G n 1 H n
时不变系统
能达性判据 能观性判据 ①Gram 判据②秩判据 ①Gram 判据②秩判据
三、连续时间线性时不变系统的结构分解
* * 于物理构成，问题的提法；取输出反馈控制律 u Fy v ，对任意给定期望极点组 1 , * 2 , n ，确定
一个反馈矩阵 F ，使导出的输出反馈闭环系统
x A BFC x Bv y Cx
的所有特征值实现期望的配置，即有 i A BFC * i ， i 1,2, , n 。 输出反馈局限性： （1）对完全能控连续时间线性时不变受控系统，输出反馈一般不能任意配置系 统全部极点。 （2）对完全能控 n 维 SISO-LTIC 受控系统，输出反馈只能使闭环极点配置到根轨迹上。 扩大输出反馈配置功能的一个途径是采用动态输出反馈， 即在采用输出反馈同时附加引入补偿器。 可以证明，通过合理选取补偿器机构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 4.2 状态反馈镇定问题 4.2.1 所谓的镇定问题就是，对给定的线性时不变受控系统，确定状态反馈控制律 u Kx v ，使 导出的状态反馈闭环系统 x A BK x Bv 为渐进稳定，即闭环系统特征值均具有负实部。 镇定问题实质上属于极点区域配置问题，对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配 置于任意指定期望位置，而只要求配置于复平面的左半开平面上。 4.2.2 可镇定条件
4.1.2 极点配置问题的算法 [极点配置定理] 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部 n 个极点 即特征值的充分必要条件是 A, B完全能控。 [多输入状态反馈阵算法] 给定 n 维多输入连续时间时不变受控系统 A, B 和一组任意的期望闭
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
第三章线性系统的能控性与能观性2
Hale Waihona Puke .解：Sc [b Ab]
Sc b Ab b1 b2
1b1 b1b2 (2 1 ) 2b2
0
如果rank Sc =2, 则必须要求 b1 0, b2
4. 定理3：设 x Ax Bu ， 若Ａ为约当标准形，且每个约当块所 对应的特征值均不相同，则状态完全能控 的充要条件是：
且
ri1 ri 2 rii i
由 Bik (k 1,2,, i ) 的最后一行组 成的矩阵：
bri1 r bri 2 对i 1, 2, , l均为行线性无关 Bi bri i 则系统能控
例：设 x Ax Bu ，已知
第三章 线性系统的能控性和能观性
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性定常连续系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性定常系统结构分解 3.9 传递函数矩阵的实现 3.10传递函数中零极点对消与状态能控性、能观性之间 的关系
定理2：若
x Ax Bu
若Ａ为对角型，且对角线上的元素均不相同， 则状态完全能控的充要条件为： Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1 1 x1 b11u1b12u2 b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
例：线性系统的状态方程为 x Ax bu 其中： 1 0 b1 A b 0 2 b2
Ci C1i1 C1i2 C1ii
现代控制理论第三章1-2
为真,则称线性定常连续系统(A,B)状态完全能控。
2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状 态方程的解存在即可。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t 的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。 3. 在状态能控性定义中,对状态转移的轨迹未加以限制,这 表明能控性是表征系统状态运动的一个定性特性。
令：
U j a j ( t0 )u( )d ,
t0
tf
j 0,1,n 1
（5）
将（5）式代入（4）式得：
x(t0 ) ( BU0 ABU1 An1BUn1 ) B M U
AB A B U 0
n 1
T
U1
T
U n1
T
[证明]：
证明目标：
对系统的任意的初始状态 x ( t0 ) ，能否找到输入u(t)，使之在
[t0 , t f ] 的有限时间内转移到零 x(t f ) 0 。则系统状态能控。
已知：线性定常非齐次状态方程的解为：
x( t ) ( t t0 ) x( t0 ) ( t ) Bu( )d
则称t0时刻的状态x(t0)能控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统 在t0时刻状态完全能控;
若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能 控,简称为系统能控。 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T(t1>t0) u(t)(t[t0,t1]) (x(t1)=0) 为真,则称系统状态完全能控。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态 不完全能控的,简称系统为状态不能控。
第三章能控性与能观性
(3-11) Ax Bu x 式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量, A、B分别 为 n n、 n r 常数阵。 式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是 能控性判别矩阵
Qc B AB A2 B An1 B
满秩,即
(3-12)
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
24
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
25
【例3-5】动态系统的状态方程如下，试判断其能 控性。
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 0 u 1 x a2 1
解
2
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义， 在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准 则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观 测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测 标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关 系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如 何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后， 讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章 最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中 的应用。
13
2.系统能观测 对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 t f > t0 ， 定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t [t 0 , t f ] 对于所有 ，系统的输出 y(t)能惟一确定 t 0 时 t0 时 x0 刻的任意非零的初始状态向量 ，则称系统在 刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对 于任意 均是能观测的（即系统的能观测性与初 t0 Td t0 Td 始时刻 的选取无关），则称系统是一致完全能 观测。
线性系统能观性能控性判定
rank[ λi I − A ⋮ B ] = n ( i = 1, 2 , ⋯ , n ) 证明略） （证明略）
（10） ）
定理3 互异， 定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λ i 互异， ）
( i = 1, 2 , ⋯ , n ) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
0 λ1 λ2 x + Bu （11） ） ɺ x= ⋱ 0 λn 中不包含元素全为零的行。 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。
y 电路如下图所示。 为输入量， 为输出量， 例3-3 电路如下图所示。选取 u (t ) 为输入量， (t )为输出量，两个电 感上的电流分别作为状态变量， 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
- 2 1 1 ɺ x = Ax + Bu = x + u 1 - 2 0
y = Cx = [0 1]x
系统状态转移矩阵为
0 x (0) = 如果初始状态为 0
e At
1 e −t + e −3t = − t − 3t 2 e − e
e −t − e −3t −t − 3t e +e
系统状态方程的解为 1 t −(t − τ ) x(t ) = ∫ e u(τ ) d τ 0 1 可见， 可见，不论加入什么样的 输入信号， 输入信号，总是有 x1 = x2
对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与 既无直接关系， 对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A 有关。 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于 ，还与 有关。
3.2 能控性及其判据
3第三节系统能控性
状态变量不可控。如果 F 中没有元素全为零的行，则 x 可控。 _ x 可控时，x 可控吗？
[结论]：非奇异线性变换不改变系统的能控性。
2020/11/11
[说明]线性变换后，系统的能控性矩阵为：
_
P cP 1 BP 1A P P 1 BP 1A 2P P 1 B P 1A n 1 P P 1 B
a2
1 a2 a1a22
0
Pc
1
1 10， a2
所以P c 非奇异，不论 a0,a1,a2 取何值，系统都是状态能控的。
2020/11/11
[性例条7-件3-。4]：系统的动态方程为：xx12
2x1u y 3x2 dx1
x2。确定能控
[解]：信○u号流1 图○x如1 s下1：○x 1 d ○x 2 s 1 ○x 2 1 ○y
2020/11/11
一、能控性定义：
①系统能控性直观概念：
[例7-3-1]：系统的结构图如下：
s 1 x2 s 1 x1 y
2
3
u
显然，u只能控制 x1 而不能影响 x 2，我们称状态变量x1是可控的， 而x 2是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则
该系统是不可控的。
2020/11/11
状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵
P c B A B A 2 B A n 1 B 满秩。 即 ran(kPc)n
若输入u ( t) u 1u 2 u r，则：B nr， (A n 1B )nr， 故 ： P cnnr
[讨论]：
①当u (t )为单输入（标量）时，P c 为 nn方阵。此时系统能控的 充要条件是：P c 为非奇异阵。即 ra(nPc)kn,Pc 0 ②当u (t )为多输入时（矢量）时，P c 为nnr维矩阵，求秩困难。
能控能观性第三章例题
解
输出能控性判别矩阵的秩为
rank CB CAB
D rank 1 2 0 1 ,其与输出变量的
数目相等。因此，本系统是输出完全能控的; 而系统状态能控性判别矩阵的秩为
rank B
1 AB rank 2
2 1 2 4
所以,给定系统的状态不是完全能控的。
图3-5
i 整理以上三式得向量-矩阵形式 令 x1 i1 , x 2 u c1 , y , 的系统状态空间表达式为
R1 1 0 x x L 1 L1 1 1 u 1 x2 1 2 x 0 R2 C1 R2 C1 1 x1 1 u y 1 R2 x 2 R2
y1 1 0 x1 y 1 0 x 2 2
的能观测性。
解
系统的能观测性判别矩阵为
0 1 C 1 0 Qo 1 CA 2 2 1
rank Q o 2 n ,所以该系统状态完全能观测。
Td [0, 10]
x1 y 1 1 1 x 2 x3 分析系统在 t 0 0.时的能观性 5
解 试取tf=1>t0,
N 0 (t f ) 1 1 1
且t f Td，计算
d N1 (t f ) N 0 (t ) A(t ) N 0 (t ) dt t t t
系统能观测
1 y 2
7 0 x 0
2 3 x 5 8
0 0 系统不能观测 5 0 x 0 3
（4）
1 y 2
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
判断线性控制系统稳定性的方法有多 种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控 制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵 非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要 类型，其能控性和能观性是评价系统 性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的 稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的 条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点， 判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控 性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它 有助于确定交通系统的状态是否能被其传感 器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路 条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中 的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意 义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以 深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设 计和优化提供理论支持。
现代控制理论第3章
第三章线性控制系统的能控性与能观测性分析3.1 线性连续系统的能控性3.2 线性连续系统的能观测性3.3 对偶原理3.4 线性离散系统的能控性和能观测性3.5 线性系统的结构分解3.6 线性连续系统的实现3.7 传递函数与能控性及能观测性之间的关系系统n x x x ,,,21L 状态1u 2u n u 1y 1y ny M M M M为什么要讨论系统的能控性和能观测性？能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地揭示了系统内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念。
在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义。
事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。
在极点配置问题中，状态反馈存在性由系统能控性决定；在观测器设计和最优估计中，涉及系统能观测性条件。
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。
将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
3.1.1 概述3.1 线性连续系统的能控性能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”内部状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2150042121&&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2160x x y [例3.1]给定系统的描述为将其表为标量方程组形式，有：u x x+=114&u x x2522+−=&26x y −=分析：x 1、x 2受控于u y 与x 1无关y 与x 2有关[例3.2]：判断下列电路的能控和能观测性左上图：输入u(t)，状态x(t)，输出y(t)。
(t)，x2(t)。
右上图：输入u(t)，状态x1左图：输入u(t)，状态x(t)，x2(t)，1输出y(t) 。
3.1.2 能控性的定义Ut B X t A X )()(+=&线性时变系统的状态空间描述：∑:),,,D C B A （)1.3)()()(（U t D X t C t Y +=Jt ∈00)(X t X =其中：X 为n 维状态向量；U 为m 维输入向量；J 为时间t 的定义区间；A 为n*n 的元为t 的连续函数矩阵；B 为n*m 的元为t 的连续函数矩阵。
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
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的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。
1 搜索线性无关的列（行）的两种方案
以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。
系统完全能控，rank Qc=n.Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。 如何找出它们？用格栅图表示。 方案 I 列搜索
第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的定义
• 能控性
– 状态点的能控性 对t0,x0， 存在t1>t0 和容许控制u(t), t属于[t0,t1], 使系统状态从x0→x(t1)=0 称此x0在t0时刻能控。
– 系统的能控性 状态空间中的所有x0 ，在t0时刻都能控，则称系统在t0时刻完全 能控。
该搜索方法的特点是， Ai bi 是其左边的向量的线性组合。
方案II 行搜索
先找[b1,b2, ,b p ]中的线性无关列； 再找[Ab1， Ab2， ， Ab p ]中的线性无关列；
直到找够n个线性无关列。 找够后， 再排列成如下形式
{b1，
Ab1， ， A11b1；
b
，
2
Ab2， ，
A2 1b2； ；
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el2 elvl
的表达。 而B的第1列b1就是e1v1 , 所以其表达为
0 0 1； ; 0 0 0T
余类推。 所以，Bc的形式如前所示。
3 龙伯格规范形
3.8 线性系统的结构分解
• 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 • 线性定常系统按能控性的结构分解
Q
np
B p
AB p
A 1B p
p
要满秩，须μP>=n.故 p n n p
又若rank B =r<=p
B
AB
A2B
rank r 其中至少有一个 列向量与左边的
r个线性无关的列 向量线性无关
A 1B
r 1 n n r 1
综上，n p n r 1
注： • 单输入系统p=1,系统的能控性指数为n. • 简化计算能控性判别矩阵。不必计算到A的(n-1)次幂乘以B。最多只
从b1开始， 然后A1b1, A2b1, , A11b1, 直到A1b1能表示成
{b1， A1b1, A2b1, , A11b1}的线性组合。（
至此，
已找到
个线性无关列）
1
若 1
n,
选b
，
2
A1b2 , A2b2 ,
,
A
2
1b
2
,
直到A
2
b
能表示成
2
{b1，
A1b1,
, A11b1；
b
，
2
A1b2 ,
q1 qk | qk1 qn A Aq1 Aqk | Aqk1 Aqn
因rankQc rank[B AB An1B] k
所以，Aq 1, , Aqk都是q1, , qk的线性组合
故，Aq 1, , Aqk 对q1 qk | qk1 qn 的表达中， 从第k 1行以下都为0
即为规范表达式中的形式。
, A2 1b2}的线性组合
（
至此，
已找到
1
个线性无关列
2
）
若1 2 n, 继续选b3， A1b3, A2b3, , A31b3, 直至1 2 r n. 至此， 已找到n个线性无关的列， 即
{b1， A1b1, , A11b1；
b
，
2
A1b2 ,
, A 2 1b2；
；
b
，
r
A1br ,
, A r 1br }
1v1 2
1v1 1 1v1
Ae1v1 e1v11 e 1v1 1v1
所以，与v1以后的基向量无关，故A中第v1列之前，v1行以下均为0。
对式（3.186)
v2
v1
v1
Ae21 Av2 b2 2 j A j1b2 21b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
br， Abr， ，
Ar 1br }
注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。
这样找到的 A i bi不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所有列 都线性相关。
性质：如果说 Akb j 与它的前面的列线性相关，则 Ak1b j 亦必是这样。
2 旺纳姆(Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与 之对偶）
需计算到(n-r)次幂。 • 能控性指数集
• 线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集
4 线性时变系统的能控性判据
3.3 线性连续时间系统的能观测性判据 3.4 对偶性原理
• 与能控性判据对偶，自学。
3.7 MIMO系统的能控规范形和能观测规范形
• 系统完全能控时，rank Qc=n; 系统完全能观测时， rank Qo=n.
对B同理。
Notes:
•线性定常系统按能观测性的分解
•线性定常系统结构的规范分解
不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
A
PAP1
Ac
0
A12 A
c
,
B
Bc
0
设λ为 A的c 特征值，则存在行向量β，满足
A c
构造行向量 0 ， 则
I A
B 0
I Ac
0
பைடு நூலகம்
A12
I A c
Bc
0
0
i.e.
P(I A)P1 PB P (I A)P1 B 0
P 0,
P 0,
– 系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在t0时刻不能控，则称系统在 t0时刻不完全能控。
• 能观测性
能观测性研究x0是否可由输出和输出完全确定的问题。
3.2 线性连续时间系统的能控性判据 • 1 线性定常系统的能控性判据
反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵P，使
{A, B} {A, B}
(I A)P1 0 (I A) 0 I A
B 0
rankI A B n
与已知矛盾。 反设不成立。
B 0
2 能控性指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控）
• K=n时，Qk即为能控性判别矩阵。
• 有时，在k<n时， Qk的秩就已经是n了。
• 称使rank Qk=n的k的最小正整数μ为系统的能控性指数。[系统综合时用到]
• 按方案I搜索Qc中的n个线性无关列，得
根据上述这种搜索方法的特点，有
根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T
关于旺纳姆能控规范形的证明
• “表达”
•相似变换
Ac T1AT
TAc AT
T e1 e2 en
e1 e2
a11 a12
en
a21
a22
an1 an2
a1i
j2
j 1
j 1
v2
v1
v1
Av2 b2 2 j A j1b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
j 1
j 1
j 1
v1
r2 j1e1 j 21b2 j 1
e11 e12
e1v1 ; ; el1 el 2
0
elvl
21
0
0
Ae22 e21 e 22 2v2
只有Ae21与前面的基向量有关，其余Ae22,…,Ae2v2只与本组基向量 有关。故它们对新的基的表达为
同理，对（3.187)-(3.190) 只有Ae31,…,Ael1联系前面的基，基余都与本组基向量有关。 所以可确定A c的形式如前所示。
Bc的形式可按相同的方式说明
Bc T 1B T Bc B 即Bc的第i列是B的第i列关于新的基
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el 2
0
0
11
elvl
0
0
0
v1
Ae12 Av11b1
1
j
A
b j 2 1
12b1
12b1
j3
e11
e11 e 12 1v1
Ae13 e12 e 13 1v1
Ae e e 1v11
e1
e2
en
a2i
Aei
ani
a1n
a2n
A
e1
ann
Ae2
Aen
即变换后的矩阵的第i列是Aei这个向量相应于新的基T的表达。
对式（3.184)
类似于SISO系统（3.166)利用凯莱-哈密尔顿定理，此处利用
Ãc 的各列是Aei关于新的基的表达。
v1
Ae11 Av1b1 1 j A j1b1 11b1 11b1 j2 11b1 e 11 1v1
– 分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？
1. 计算
2. 从中任意选取k个线性无关的列
3. 选取n-k个列向量
，使下列矩阵满秩
4. 取
，即可导出系统按能控性分解的规范表达式
Why?
Q q1 qk | qk1 qn
变换关系
QA AQ
QB B
A的各列是AQ的各列关于Q q1 qk | qk1 qn 的表达