第三章 线性系统的能控性
第三章 线性系统的能控性和能观性概论
定义:对于线性时变系统, x0 0,都是在t0时刻的能控状态, 则称系统在时刻t0是完全能控的; t0 [T1,T2],系统均在t0时 刻为能控的,称系统在[T1,T2]上是完全能控的。
定义:对于系统取定初始时刻t0J ,若状态空间存在一个非零 状态在时刻t0是不可控的,则称系统在时刻t0是不完全能控 的。
0是否由y
(t
)来完全估
计,由于y和x
的任意性,
0
等价于研究u
0时由y估计x
的可能ຫໍສະໝຸດ Baidu,即
0
x y
A(t)x,x(t0 ) x C(t)x D(t)u
0
,
t
J
的能观性
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
5
定义(状态能观测) :对于线性时变系统,若对取定初始时 刻t0J的一个非零初始状态x0,存在一个有限时刻t1 J,t1>t0, 使得有区间[t0 , t1]上的系统输出可唯一地决定系统的初始状 态x0 ,则称此x0在时刻t0为能观测的。(状态能观测)
t
y(t) C(t)Φ(t, t0 )x0
C(t) (t, )B( )u( )dτ t0
D(t)u(t)
假定u(t
)
,
y
(t
)已知,内部状态变量x
未
0
知
令
现代控制理论基础周军第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性
线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后,能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系,状态作为被控量,输出量仅是状态的线性组合,于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题,即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制,有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题,即能观测性问题。并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位,也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件,本章主要介绍能控性、能观测性与状
态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性(如不特别指明便泛指状态能控性)。状态能控性问题只与状态方程有关,下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究(各自又包含单输入与多输入两种情况):
一、离散系统的状态可控性
引例设单输入离散状态方程为:
初始状态为:
用递推法可解得状态序列:
可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化,不受的控制,不能从
初态转移到任意给定的状态,以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制,
便称作状态不完全可控,简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关,是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。
第3章 线性系统的能控性和能观测性
若状态空间中所有非零状态都是在 t 0(t 0 J ) 时刻为能控的, 则称系统 在 t 0 时刻是完全能控的。
定义3 取定初始时刻 t 0 J ,若状态空间中存在一个或一些非零状 态在 t 0 时刻是不能控的,则称系统 在 t 0 时刻是不完全能控的。
۩ 能控性表征系统状态运动的一个定性特性,对状态转移的轨迹 不加以限制和规定。 ۩无约束容许控制: 无约束--对输入的每个分量的幅值不加以限制,可取到任意大 到所要求的值; 容许控制--输入的所有分量是在J上平方可积 ۞线性定常系统能控与t0无关,时变系统能控与t0有关; ۞由零状态达到非零状态的情况称为状态能达; ۞线性定常系统--能控性和能达性是等价的, 离散系统和时变系统--两者是不等价的(系统不可控但能达)。 ۞ 实际系统能控的概率几乎等于1.
(2)能观性定义
表征状态可由输出的完全反映性,应同时考虑系统的状态方程和输出方程。
:
x A(t ) x B(t )u
x(t 0) x0,
y C (t ) x D(t )u
t
t 0, t J
A(t )n n B(t )n p C (t )q n D(t )q p
证明:充分性 rankQC n 欲证系统为完全能控 用反证法,设系统为不完全能控,则根据Gram矩阵判据可知 WC 0, t1 e At BBT e A t dt t1 0 为非奇异
第三章 线性系统的能控性与能观性(2012)
能控性与能观测性的概念,是用状态空间描述系统 引伸出来的新概念,在现代控制理论中起着重要的 作用。能控性、能观测性与稳定性是现代控制系统 的三大基本特性。 下面举几个例子直观地说明系统的能控性和能观测性 的概念。
3
例3-1: 给定系统的状态空间描述:
x1 4 x2 0 y 0 0 x1 1 u 5 x2 2
x1 4 2 ) x 2 0 x 0 3
1 4 0
0 x1 4 0 x2 0 2 x 3 3
2 u1 0 u 2 0
第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 线性系统能控性和能观测性的概念 线性定常连续系统的能控性 线性定常离散系统的能控性 线性定常系统的输出能控性 线性定常连续系统的能观测性 线性定常离散系统的能观测性 连续系统离散化后的能控性与能观测性 对偶原理 能控性和能观测性与传递函数的关系 线性定常系统结构分解
rankSc =2<n=3,∴不能控。
16
对于多输入线性定常系统: 行数<列数的情况下求秩时: T rank S c =rank S c S c n n
利用 det( S c S c ) 0 计算一次n阶行列式
2019年第3章线性系统的能控性与能观测性1.ppt
n4
0 I A, B 0 0
1
0 0
0 0 1 0 1 0 1 0 1 5 2 0 0 1
4 5 3 5 , 求出 A 的特征值为: 1 2 0 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义的几点解释:
(1) 对轨迹不加限制,是表征系统状态运动的一种定性特性; (2) 容许控制的分量幅值不加限制,且在 J 上平方可积; (3) 线性定常系统的能控性与 t0 无关;
(4) 如果将上面非零状态转移到零状态,改为零状态到非零状 态,则称为系统的能达性。
(5) 系统不完全能控为一种“奇异”情况。
这表明系统为不完全能控,与已知条件矛盾。反设不成立。 充分性:略。 [例3.3] 设线性定常系统的状态方程为 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 X X 0 0 0 1 0 0 0 5 0 2 可直接导出
1 0 U , 1 0
3.1 线性连续系统的能控性
3.1.1 概述 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的 状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
[例 3.1] 给定系统的描述为
1 4 0 x1 1 x u x 2 0 5 x2 2
R R
C
R
x
u( t )
R
第三章 线性系统的能控性
[-1,0] [0,1] [-1,1]
线性相关 线性相关 线性无关
时间向量的线性无关性:
假设 f i (t ) 是一组p维的复值函数行向量, i=1,2,…,n,如果在复数域中存在一组不 全为零的复数 1 , 2 ,..., n ,使得:
i 1
i f i (t ) 0, t [t 0 , t1 ]
Wc (t 0 , t1 ) (t 0 , t ) B(t ) B T (t ) T (t 0 , t )dt
t0 t1
是非奇异的。
定理2:线性时变系统在t0时刻完全能控 的充分必要条件是n*m阶矩阵(t 0 , t ) B(t ) 的n行在时间域[t0,t1]内是线性无关的
注:上述两个定理是等价的
由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需 的控制输入: 根据运动分析,系统的状态响应为
x(t ) (t , t 0 ) x0 (t , ) B( )u( )d
t0
t
对于能控系统总可以找到t1 时刻及其作 用在[t0,t1]上的容许控制 u [t0 ,t1 ] ,使得系 统在t1时刻转移到零点,即
y
现代控制理论: ①(u,y)多对多控制,虽然W s 0 ,但是 ys W s us ,如果W s 某一行为零,该 输出不可控;若两行相等,则两输出具 有一样的控制效果,不能任意控制。 ② (x,u)多对多控制, 状态能控性:u对x的支配能力;状态能 观测性:y反映x的能力
第三章能控性与能观测性——线性系统的结构分析
第三章 能控性与能观测性——线性系统的结构分析
前一章我们讨论了线性系统的定量分析问题,重点是研究系统对确定性的输入u(t)和初始状态x0的精确响应。
本章把问题转向对线性系统的定性分析方面,即介绍线性动态系统的两个重要概念:能控性与能观测性。这两个概念是卡尔曼(kalman)在1960年首先提出来的,是近代控制理论的基础性概念。这两个概念简单地说就是:能控性反应了控制作用u(t)支配系统状态向量x(t)的能力,回答了u(t)能否使x(t)作任意转移的问题;能观测性反应系统输出y(t)反映系统状态向量x(t)的能力,回答了能否通过y(t)的量测确定x(t)的问题。
为什么在经典控制理论中,不涉及能控性和能观测性的问题。因为在经典控制理论中,研究的是SISO的线性定常系统,研究的方法是使用传递函数,且只涉及到系统的输入和输出。系统的输出都是可以用仪器来量测的,系统的输出量本身就是被控制量,总可以按一定的要求进行控制。这就是说系统是能控的,也是能观测的。
而现代控制理论 u(t)→x(t)→y(t) (概念)
具体内容:
(1)定义
(2)判别准则
(3)结构变换
当给定一个系统是完全能控和能观测时,就可以进一步对它进行分析与设计使其达到符合要求的控制系统,一般系统Σ(A,B,C),其结构是不明确,对分析和设计系统极不方便
A、化一般表示为能控标准型和能观测标准型
B、若不是完全能控和能观测系统,进行结构变换和分解
(4)实现问题
3.1 线性连续系统的能控性与能观测性
10K
例:RC 电路
选两电容的电压为状态变量x 1和x 2,可以导出系统的状态方程(推导!!)。
现代控制理论第3章 线性系统的能控性和能观测性
解: ①求A的特征值
2wk.baidu.com
det I A 0 1 2 1 0 2 2 1 2
7 X
5
0 X 4 7 1
0 X 4 7 1
系统能控
系统Ⅳ
5
系统不能控
某些具有重特征值的矩阵,也能化成对角线标准 型,对于这种系统不能应用这个判据,应采用能控性 矩阵Qc来判。 教材P143例3-5
1 X 0 0 ˆ ˆ X BU n (3 .2 7 )
ˆ 中, B 阵不包含元素全部为零的行。
为了说明上述定理的基本意思,教材P142举了四个系统为例
系统Ⅰ
7 X
5
2 X 5 u 7 1
1 X 0 0 1 X u 1 1
[定理3-3] 若线性定常系统 具有重特征值
X AX BU
k
1 m 1 重 , 2 m 2 重 , , k m k 重 , m i n i j
i 1
0
tf
X ( 0 ) A BU i B
第3章_线性控制系统的能控性和能观性
可控性:能否找到控制作用使任意初态
确定终态。
可观测性:能否由输出量的测量值
各状态。
精选可编辑ppt
3
引言
如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入 来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统可 控(状态可控) 。
如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均 可由输出完全反映,则称系统是状态可观测的。
精选可编辑ppt
在以下讨论中,不失一般性,可设初始时刻为零,即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点,即x(tf ) = 0。则有
x (tf) 0 eA tfx (0 )o tfeA (tf )B u ()d
x(0)tf eAB(u)d 0
利用凯莱-哈密尔顿(CayleyHamilton)定理
精选可编辑ppt
精选可编辑ppt
11
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
[例3-1] 试判断下列系统的状态可控性。
2 2 1 0
(1)
x
0
2 0 x1u
1 4 0 1
1 1 0 0
(2) x 0 1 0 x 1 u
0 1 1 0
精选可编辑ppt
12
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
能控性揭示系统输入对状态的制约能力;能观性反 映从外部对系统内部的观测能力; 能控性和能观性的概念是卡尔曼在1960年提出,成为现 代控制理论中最重要的概念,是最优控制设计的基础。
线性控制系统的能控性和能观性
2019/2/1
电子笔
2
自 动 控 制 理 论
首页 上页 下页 末页 结束
对于给定的系统,当外加控制及作用点确定之后, 有些状态分量能受外加控制作用u(t)的控制,有些状态 向量可能不受u(t)的控制。能受u(t)控制的状态称为能 控状态,不受u(t)控制的状态称不能控状态。同样,对 于给定的系统,有些状态能够通过输出y(t)确定下来, 有些状态不能通过y(t)确定下来。能够通过y(t)而确定下 来的状态称为能观状态,不能通过y(t)而确定下来的状 态称为不能观状态。 设计一个线性系统,总是希望所施加的控制u(t)能 完全控制系统的运动状态,而不希望出现失控现象。同 时也希望通过y(t)能完全确定系统的运动状态,以便实 现状态反馈控制。总之,能控性和能观测性分别是从状 态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系 统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题,如 最优控制和最优估计,都是以能控性和能观测性为存在 条件的。
电气与新能源学院
2019/2/1
电子笔
9
3.2 线性定常系统的能控性判别
自 动 控 制 理 论
一、具有标准型的系统能控性判别 1 1、若A的特征值互异,则 A T AT 为对角线标准型,
此时系统状态完全能控的充要条件是: B T 1B 的各行 元素没有全为0的。(非奇异变换不改变系统的能控性) 例:(1) 1 0 0 X X u y c1 c2 X 0 2 b2
现代控制理论第三章1-2
x2
u
C2 R
若图3-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t) 和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义,然后再 引出状态能控性的定义。 本节讲授顺序为: 能控性的直观讨论 状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性
线性时变连续系统的状态能控性
3.1.1 能控性的直观讨论
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内 控制到空间原点,那么称系统是能控的,
3.1.3 线性定常连续系统的状பைடு நூலகம்能控性判别
线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式,下面分 别讨论常用的 代数判据 模态判据
1. 代数判据(秩判据)
定理3-1(线性定常连续系统能控性秩判据) 线性定常连续系 统(A,B)状态完全能控的充要条件为: 如下定义的能控性矩阵 Qc=[B AB … An-1B] 满秩,即 rankQc=rank[B AB … An-1B]=n □
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
矩阵M的秩为1,所以系统为不完全能控的。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
直接从A和B判断系统的能控性
例3 有系统如下,试判断其是否能控
1 1 0 x 2 1 x 1 u
解:
0 1 1 0 1 b 1 , Ab 2 1 1 1 0 1 M 1 1
x(t0 )
t
t0
e A(t ) bu()d
根据能控性的定义,对任意的初始状态矢量 x(t0),应能找到u(t),使之在有限时间[t0,tf]内转 移到零状态[x(tf)=0]. 令t=tf,x(tf)=0,得
e
A( t f t0 )
x(t0 ) e
t0
tf
A(t f )
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
直接从A和B判断系统的能控性
1 2 1 1 2 2 4 2 A B AAB 0 1 0 0 1 0 1 1 0 3 1 0 4 2 1 0 1 2 2 4 M 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 4 2
矩阵M的秩为3,系统是能控的
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
线性变换是否改变系统的能控性
系统的状态方程为:
Ax Bu x
第三章线性控制系统的能控性和能观性
可以看出,系统中某一状态的能控和系统的 状态完全能控在含义上是不同的。
7
几点说明: 1) 在线性定常系统中,为简便计,可以假定初始 时刻 t0=0 ,初始状态为 x(0) ,而任意终端状态就 指定为零状态,即 x(t f ) 0 2) 也可以假定 x(t0)=0,而 x(tf)为任意终端状态, 换句话说,若存在一个无约束控制作用 u(t) ,在 有限时间 [t0, tf]能将 x(t)由零状态驱动到任意 x(tf) 。 在这种情况下,称为状态的能达性。
在线性定常系统中,能控性与能达性是可以 互逆的,即能控系统一定是能达系统,能达系统 一定是能控系统。
8
3) 在讨论能控性问题时,控制作用从理论上说是 无约束的,其取值并非唯一的,因为我们关心的 只是它能否将 x(t0) 驱动到 x(tf) 而不计较 x 的轨迹如 何。
9
三、离散时间系统
只考虑单输入的n阶线性定常离散系统
3
§3-1 能控性的定义
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控 制下,状态矢量 x(t) 的转移情况,与输出 y(t) 无关, 所以只需从系统的状态方程研究出发即可。
4
一、线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入 u(t) ,能在有 限时间区间[t0, tf]内,使系统由某一初始状态x(t0), 转移到指定的任一终端状态 x(tf),则称此状态是 能控的。若系统的所有状态都是能控的,则称此 系统是状态完全能控的,或简称系统是能控的。
现代控制理论_线性控制系统的能控性与能观性基础知识
点 击 观 看
例 函数记录仪(电桥控制式)
本章主要内容:
• 线性定常系统的能控性的定义及判别
• 线性定常系统的能观性的定义及判别
• 能控性与能观性的对偶原理
• 能控标准型和能观标准型
• 线性系统的结构分解
例:已知系统的状态方程,判断其能控性,能观性。
1 4 0 x1 1 x1 x u y 0 6 x x2 2 0 5 x2 1
状态能控 状态能达
x1
x(t0 ) 0
x(t0 ) 0
x(t1 ) 0 x(t1 ) 0
t0
t1
t
x2
线性定常系统:能控性与能达性等价
推论: (1)根据定义,如果系统在(t0,tf)时间间 隔内完全能控,那么对于t2 > tf,该系统在(t0,t2) 时间间隔内也一定完全能控。 (2)如果在系统的状态方程右边迭加一项不 依赖于控制u(t)的干扰f(t),那么,只要f(t)是绝对 可积函数,就不会影响系统的能控性。
1 0 x x u 2 b2
y c1 c2 x
系统不能控!
1 1 x1 x 2 2 x2 b2u x y c1 x1 c2 x2
x1
1 x
1
c1
y
u 与 x1 无任何联系
03.线性控制系统的能控性和能观性
则 A 满足其特征方程,即
f ( A) An an1An1 a1A1 a0 I 0
推论 1 矩阵 A 的 k 次幂(k≥n)可表示为 A 的(n-1)阶多项式
n 1
Ak m Am m0
kn
推论 2 矩阵指数 eAt 可表示为 A 的(n-1)阶多项式
n1
eAt 0 (t)I 1(t) A n1(t) An1 m (t) Am
3.2 线性定常系统的能控性判别
两种能控性判别准则 基于约当标准型的判断 单输入约当标准型 具有一般系统矩阵的多输入系统 根据状态矩阵和输入矩阵判断
单输入约当标准型
•画出如下系统的系统模拟结构图,判断它们是否能控?
(1)
x
1
0
0 0
2
x
b2
u
y [c1 c2 ]x
(2)
x
1
0
1 0
u1 u2
1 0 B 0 1
0 0
1 2 11 0 1 2 AB 0 1 00 1 0 1
1 0 30 0 1 0
1 2 11 2 2 4 A2B A( AB) 0 1 00 1 0 1
1 0 31 0 4 2
1 0 1 2 2 4
M B AB A2B 0 1 0 1 0 1
e2t
xn
0
x1
x1
第3章 线性控制系统的能控性和能观性
T Ai B 0, i 0,1, 从而对于任意 t1 0 有
Ai t i T B 0, t [0, t1 ], i 0, 1, 2, i!
§3-2 线性定常系统的能控性判别
因此, T [ I At A 2 t 2 A3t 3 ] B T e At B 0 故有
§3-2 线性定常系统的能控性判别
0 1 1 1 2 1 A2 B] 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 2 1
故:
M [B
AB
8 3 8 rankM rankMM T rank 3 3 3 2 3 8 8 8
§3-2 线性定常系统的能控性判别
这与 x0
0 的假设矛盾,故反设不成立,即Wc [ 0,t1 ] 奇异。
必要性得证。 得证。 二. 秩判据
M [B AB A n1 B ]
线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵
的秩rankM=n。其中,n为系统矩阵A的维数。
证:充分性:若rankM=n,则系统完全能控
) 能控:若存在一个无约束的容许控制 u( t ,能在有限时间区间内 t t0 ,t1 ,使系统由某一非零的初始状态 x(t0 ),转移到任一终端状态[通常指定 终端状态 x(t0 )=0],则称系统在 t 0 时刻的状态 x(t0 )是能控的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
e1
e2
en
a2i
Aei
ani
a1n
a2n
A
e1
ann
Ae2
Aen
即变换后的矩阵的第i列是Aei这个向量相应于新的基T的表达。
对式(3.184)
类似于SISO系统(3.166)利用凯莱-哈密尔顿定理,此处利用
Ãc 的各列是Aei关于新的基的表达。
v1
Ae11 Av1b1 1 j A j1b1 11b1 11b1 j2 11b1 e 11 1v1
(I A)P1 0 (I A) 0 I A
B 0
rankI A B n
与已知矛盾。 反设不成立。
B 0
2 能控性指数(只对定常线性系统定义,系统完全能控)
• K=n时,Qk即为能控性判别矩阵。
• 有时,在k<n时, Qk的秩就已经是n了。
• 称使rank Qk=n的k的最小正整数μ为系统的能控性指数。[系统综合时用到]
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el 2
0
0
11
elvl
0
0
0
v1
Ae12 Av11b1
1
j
A
b j 2 1
12b1
12b1
j3
e11
e11 e 12 1v1
Ae13 e12 e 13 1v1
Ae e e 1v11
– 分解成能控的和不能控的两部分。如何分解?
1. 计算
2. 从中任意选取k个线性无关的列
3. 选取n-k个列向量
,使下列矩阵满秩
4. 取
,即可导出系统按能控性分解的规范表达式
Why?
Q q1 qk | qk1 qn
变换关系
QA AQ
QB B
A的各列是AQ的各列关于Q q1 qk | qk1 qn 的表达
br, Abr, ,
Ar 1br }
注:这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。
这样找到的 A i bi不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所有列 都线性相关。
性质:如果说 Akb j 与它的前面的列线性相关,则 Ak1b j 亦必是这样。
2 旺纳姆(Wohnam)规范形(以能控规范形为例,能观形与 之对偶)
A
PAP1
Ac
0
A12 A
c
,
B
Bc
0
设λ为 A的c 特征值,则存在行向量β,满足
A c
构造行向量 0 , 则
I A
B 0
I Ac
0
A12
I A c
Bc
0
0
i.e.
P(I A)P1 PB P (I A)P1 B 0
P 0,
P 0,
– 系统不完全能控:存在一个或一些非零状态在t0时刻不能控,则称系统在 t0时刻不完全能控。
• 能观测性
能观测性研究x0是否可由输出和输出完全确定的问题。
3.2 线性连续时间系统的能控性判据 • 1 线性定常系统的能控性判据
反设系统不能控。利用规范分散定理,存在等价变换矩阵P,使
{A, B} {A, B}
从b1开始, 然后A1b1, A2b1, , A11b1, 直到A1b1能表示成
{b1, A1b1, A2b1, , A11b1}的线性组合。(
至此,
已找到
个线性无关列)
1
若 1
n,
选b
,
2
A1b2 , A2b2 ,
,
A
2
1b
2
,
直到A
2
b
能表示成
2
{b1,
A1b1,
, A11b1;
b
,
2
A1b2 ,
对B同理。
Notes:
•线性定常系统按能观测性的分解
•线性定常系统结构的规范分解
不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
需计算到(n-r)次幂。 • 能控性指数集
• 线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集
4 线性时变系统的能控性判据
3.3 线性连续时间系统的能观测性判据 3.4 对偶性原理
• 与能控性判据对偶,自学。
3.7 MIMO系统的能控规范形和能观测规范形
• 系统完全能控时,rank Qc=n; 系统完全能观测时, rank Qo=n.
q1 qk | qk1 qn A Aq1 Aqk | Aqk1 Aqn
因rankQc rank[B AB An1B] k
所以,Aq 1, , Aqk都是q1, , qk的线性组合
故,Aq 1, , Aqk 对q1 qk | qk1 qn 的表达中, 从第k 1行以下都为0
即为规范表达式中的形式。
1v1 2
1v1 1 1v1
Ae1v1 e1v11 e 1v1 1v1
所以,与v1以后的基向量无关,故A中第v1列之前,v1行以下均为0。
对式(3.186)
v2
v1
v1
Ae21 Av2 b2 2 j A j1b2 21b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el2 elvl
的表达。 而B的第1列b1就是e1v1 , 所以其表达为
0 0 1; ; 0 0 0T
余类推。 所以,Bc的形式如前所示。
3 龙伯格规范形
3.8 线性系统的结构分解
• 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 • 线性定常系统按能控性的结构分解
• 从中必可找出n个线性无关的列或行。 • 不同的找法,会找出不同的列(行)。由它们构成
的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。
1 搜索线性无关的列(行)的两种方案
以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。
系统完全能控,rank Qc=n.Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。 如何找出它们?用格栅图表示。 方案 I 列搜索
Q
np
B p
AB p
A 1B p
p
要满秩,须μP>=n.故 p n n p
又若rank B =r<=p
B
AB
A2B
rank r 其中至少有一个 列向量与左边的
r个线性无关的列 向量线性无关
A 1B
r 1 n n r 1
综上,n p n r 1
注: • 单输入系统p=1,系统的能控性指数为n. • 简化计算能控性判别矩阵。不必计算到A的(n-1)次幂乘以B。最多只
第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的定义
• 能控性
– 状态点的能控性 对t0,x0, 存在t1>t0 和容许控制u(t), t属于[t0,t1], 使系统状态从x0→x(t1)=0 称此x0在t0时刻能控。
– 系统的能控性 状态空间中的所有x0 ,在t0时刻都能控,则称系统在t0时刻完全 能控。
该搜索方法的特点是, Ai bi 是其左边的向量的线性组合。
方案II 行搜索
先找[b1,b2, ,b p ]中的线性无关列; 再找[Ab1, Ab2, , Ab p ]中的线性无关列;
直到找够n个线性无关列。 找够后, 再排列成如下形式
{b1,
Ab1, , A11b1;
b
,
2
Ab2, ,
A2 1b2; ;
j2
j 1
j 1
v2
v1
v1
Av2 b2 2 j A j1b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
j 1
j 1
j 1
v1百度文库
r2 j1e1 j 21b2 j 1
e11 e12
e1v1 ; ; el1 el 2
0
elvl
21
0
0
Ae22 e21 e 22 2v2
只有Ae21与前面的基向量有关,其余Ae22,…,Ae2v2只与本组基向量 有关。故它们对新的基的表达为
同理,对(3.187)-(3.190) 只有Ae31,…,Ael1联系前面的基,基余都与本组基向量有关。 所以可确定A c的形式如前所示。
Bc的形式可按相同的方式说明
Bc T 1B T Bc B 即Bc的第i列是B的第i列关于新的基
• 按方案I搜索Qc中的n个线性无关列,得
根据上述这种搜索方法的特点,有
根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T
关于旺纳姆能控规范形的证明
• “表达”
•相似变换
Ac T1AT
TAc AT
T e1 e2 en
e1 e2
a11 a12
en
a21
a22
an1 an2
a1i
, A2 1b2}的线性组合
(
至此,
已找到
1
个线性无关列
2
)
若1 2 n, 继续选b3, A1b3, A2b3, , A31b3, 直至1 2 r n. 至此, 已找到n个线性无关的列, 即
{b1, A1b1, , A11b1;
b
,
2
A1b2 ,
, A 2 1b2;
;
b
,
r
A1br ,
, A r 1br }