垂直平分线的性质与判定练习题
5.6几何证明举例(3)——线段的垂直平分线的性质和判定
A
性质：线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等。
证明线段垂直平分线的性质
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为M， P 是直线CD上任意一点 ． C 求证：PA =PB． P （1）当点P不与点M重合时 A M B D
如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别 在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC． 求证：点Q在PR的垂直平分线上．
A
R P B Q C
1.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
BB=120º ，AB， AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， 则∠EAF等于（ ） A．40º B．50º C．60º D．80º
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE． D C ∴ AB =AC =CE．B ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
当点P不在线段AB上时
P
当点P在线段AB上时
A
C
B
M P
A
N
B
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到一条线段两个端点的 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）
中考数学总复习《线段垂直平分线的性质》练习题(含答案)
（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．
已知：如图， 及两点 、 。求作：点 ，使得 ，且 点到 两边所在的直线的距离相等。
∴ 和 都是等腰直角三角形．
∴ ， ．
∴ 两村的距离为
方法二：过点 作直线 的平行线交 的延长线于 ．易证四边形 是矩形，
∴ ．
在 中，由 ，可得 ．
∴ 两村的距离为 ．
（2） 作图正确，痕迹清晰．
作法：①分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，
两弧交于两点 ， ，作直线 ；
②直线 交 于点 ，点 即为所求．
线段垂直平分线的性质
一、选择题
如图， ， ，则有（ ）
A． 垂直平分 B． 垂直平分
C． 与 互相垂直平分D． 平分
二、填空题
如图，已知 ， 为 的垂直平分线，则 的度数为．
如图， 中， 边的垂直平分线 交 于 ，交 于 ， 厘米， 的周长是18厘米，则
如图8－3，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.
（1） 求出 ， 两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 的位置（保留清晰的作图痕迹，简明书写作法）．
求作线段 的垂直平分线
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
八年级数学重点题型强化训练05 线段垂直平分线专题(解析版)
八年级数学重点题型强化训练5——线段垂直平分线专题第1题第2题【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质：熟记：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离第3题可证BEF CED ≌△△，可得EF =BC 的中点，第5题第6题第7题第8题 第9题【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC Ð，以及40，OBC OCB Ð=Ð=°，再利用翻折变换的性质得出，CEF FEO =Ð进而求出即可．50，BAC BAC Ð=°ÐQ 12OAB CAO \Ð=Ð=25OAB ABO Ð=Ð=∵在等腰ABC V 中，DG Q 是BC 的垂直平分线，BD CD \=，AD Q 是BAC Ð的平分线，DE DF \=，在Rt BDE △和Rt CDF △中，C ．60°D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BE CE =，则AC EC =，再根据等腰三角形的性质和三角形内，接着利用三角形外角性质计算出EBC Ð=Ð的度数．故选：C ．题型2：线段垂直平分线的判定11．如图，AD AC =，BD BC =，则下列判断一定正确的是（ ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ÐD ．以上都不正确第11题第12题【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的判定求解即可．【详解】解：∵AD AC =，BD BC =，∴点A 、B 在线段CD 的垂直平分线上，即AB 垂直平分CD ，故选：A ．12．如图，ABC AB AC BC >>V ，，边AB 上存在一点P ，使得PA PC AB +=．下列描述正确的是（ ）A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点B ．P 是ACB Ð的平分线与AB 的交点C ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点D ．P 是AB 的中点【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定解答即可．【详解】解：PA PC AB PA BP AB +=+=Q ，，PC BP \=，∴P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点．故选：C ．13．如图，将长方形纸片沿AC 折叠后点B 落在点E 处，则下列关于线段BE 与AC 的关系描述正确的是（ ）A ．AC BE =B ．AC 和BE 相互垂直平分C ．AC BE ^且AC BE=D ．AC BE ^且AC 平分BE【答案】D 【分析】只要证明AC 是线段BE 的垂直平分线即可解决问题．【详解】解：ACE QV 是由ACB △翻折得到，AE AB \=，CB CE =，AC EB \^，AC 平分EB ，故选：D ．14．如图，已知：AB AC =，MB MC =．求证：直线AM 是线段BC 的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）证明：∵AB AC=∴点A 在线段BC 的垂直平分线上①∵MB MC=∴点M 在线段BC 的垂直平分线上②∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线③A ．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B ．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．以上说法都不对【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A 选项错误，不合题意；②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B 选项正确，符合题意；③处的依据是：两点确定一条直线；故C 选项错误，不合题意；综上可知，选项D 错误，不合题意；故选B ．15．下列说法错误的是（ ）A ．若点P 是线段AB 的垂直平分线上的点，则PA PB=B ．若PA PB =，QA QB =，则直线PQ 是线段AB 的垂直平分线C ．若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D ．若PA PB =，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的判定方法，即可一一判定．【详解】解：A.若点P 是线段AB 的垂直平分线上的点，则PA PB =，故该说法正确，不符合题意；B.若PA PB =，QA QB =，则直线PQ 是线段AB 的垂直平分线，故该说法正确，不符合题意；C.若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，故该说法正确，不符合题意；D.若PA PB =，则过点P 的直线不一定是线段AB 的垂直平分线，故该说法错误，符合题意；故选：D ．16．如图，AD 是ABC V 的角平分线，交BC 于D ，DE DF 、分别是ABD △和ACD V 的高，分别交AB AC 、于E 、F ，连接EF 交AD 于G ．下列结论：①AD 垂直平分EF ；②EF 垂直平分AD ；③AED AFD V V ≌；④当BAC Ð为60°时，AEF △是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第16题第17题【答案】B 【分析】根据角平分线性质求出DE DF =，证AED AFD V V ≌，推出AE AF =，再逐个判断即可．【详解】解：∵AD 是ABC V 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD V 的高，∴DE DF =，90AED AFD Ð=Ð=°，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌△△，故③正确；∴AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，①正确；②错误；∵60BAC Ð=°，且AE AF =，∴AEF △是等边三角形，④正确．综上，①③④正确，共3个．故选：B ．17．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别是AD 、AB 上的动点，若∠BAC ＝50°，当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为（ ）A ．105°B ．115°C ．120°D ．130°【答案】B【分析】过点B 作BB ′⊥AD 于点G ，交AC 于点B ′，过点B ′作B ′F ′⊥AB 于点F ′，与AD 交于点E ′，连接BE ′，证明AD 垂直平分BB ′，推出BE ＝BE ′，由三角形三边关系可知，BE EF B E EF B F B F ¢¢¢¢+=+³³，即BE +EF 的值最小为B F ¢¢，通过证明△ABE ′≌△AB ′E ′，推出∠AE ′B ＝AE ′B ′，因此利用三角形外角的性质求出AE ′B ′即可．【详解】解：过点B 作BB ′⊥AD 于点G ，交AC 于点B ′，过点B ′作B ′F ′⊥AB 于点F ′，与AD 交于点E ′，连接BE ′，如图：此时BE +EF 最小．∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝∠B ′AD ＝25°，∵BB ′⊥AD ，∴∠AGB ＝∠AGB ′＝90°，在△ABG 和△AB ′G 中，BAG B AG AG AGAGB AGB Ð=Ðìï=íïТ=Ðî¢，∴△ABG ≌△AB ′G （ASA ），∴BG ＝B ′G ， AB ＝AB ′，∴AD 垂直平分BB ′，∴BE ＝BE ′，在△ABE ′和△AB ′E ′中，BE BE AE AE AB AB ¢¢¢¢ìï=íï=î＝，∴△ABE ′≌△AB ′E ′（SSS ），∴∠AE ′B ＝AE ′B ′，∵AE ′B ′＝∠BAD + AF ′E ′＝25°+90°=115°，∴∠AE ′B ＝115°．即当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为115°．故选B ．18．如图，点P 是AOB Ð内的一点，PC OA ^于点C ，PD OB ^于点D ，连接OP ，CD ．若PC PD =，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOP BOPÐ=ÐB ．OPC OPD Ð=ÐC ．PO 垂直平分CD D ．PD CD=【答案】D【分析】根据角平线的判定定理可判断A ，证明Rt COP Rt DOP V V ≌，可判断B ，根据Rt COP Rt DOP V V ≌，可得OC =OD ，进而可判断C ，根据等边三角形的定义，可判断D ．【详解】解：∵点P 是AOB Ð内的一点，PC OA ^于点C ，PD OB ^于点D ，PC PD =，∴OP 是∠AOB 的平分线，即AOP BOP Ð=Ð，故A 成立，不符合题意；∵OP =OP ，AOP BOP Ð=Ð，第19第20题=，利用ASA Ð，再根据E是CD的中点可求出ECECF=，结合已知可得BE的垂直平分线，根据线段垂直AE EF=+，进而即可求解．即可证得AB BC AD故答案为：70．题型3：与线段垂直平分线相关的尺规作图21．如图，在ABC V 直线MN ，交BC A ．9【答案】B 【分析】由题意可得MN ADC C AC BC =+V ，求解即可．【详解】解：由题意可得，A．3B 【答案】B【分析】利用基本作图得到V的周长为20再利用ABC【详解】解：由作法得DE \==，,DA DB AE BEA ．①③B ．①④C ．②④D ．③④【答案】B 【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可．【详解】 由图①知AD AC =，AB AD >，AB AC \>，故图①能说明AB AC >；由图②知射线BD 是ABC Ð的平分线，不能说明AB AC >；由图③知CD AB ^，不能说明AB AC >；由图④知DE 是BC 的垂直平分线，DB DC \=．ADC QV 中AD DC AC +>，AD DB AC \+>，即AB AC >．故图④能说明AB AC >．故选：B24．如图所示，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以B 为圆心，以任意长度为半径作弧，与BA ，BC 分别交于A．20°B．36【答案】C【分析】由作图可知：BO为=，再根据等腰三角形的性质得AD BD和定理即可求出AÐ的度数．【详解】解：由作图可知：平分EAC Ð；③AC CD =；④ABC S V C ．①③DA ．只有甲的答案正确B ．甲和乙的答案合在一起才正确C ．甲和丙的答案合在一起才正确D ．甲乙丙的答案合在一起才正确【答案】D 【分析】分四种情况讨论：当APB Ð为锐角时，当APB Ð为钝角时，当APB Ð为直角时，当135APB Ð=°时，分别画出图形，求出x 与y 的关系，即可得出答案．【详解】解：当APB Ð为锐角时，如图所示：∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∴90PAD APD Ð+Ð=°，即90x y +=；当APB Ð为钝角时，如图所示：∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∵APB Ð为ADP △的外角，∴APB ADP DAP Ð=Ð+Ð，∴90x y =+，即90x y -=；当APB Ð为直角时，如图所示：此时直线n 与PA 重合，∴此时直线n 与PA 所夹的角为0°，即90x y +=或90x y -=；当135APB Ð=°时，如图所示：18013545DPA Ð=°-°=°，∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∴904545DAP Ð=°-°=°，∴45135180DAP APB Ð+Ð=°+°=即180x y +=；1AB 的长为半径作弧，两弧相交于AM ；的长为半径作弧，与BC 边相交于点N ，连接C．9AC，根据中垂线的定义和性质找到相等的边，进而由AC，A ．15B ．16C ．18D ．20【答案】A 【分析】根据题意得到MN 是线段AB 的垂直平分线，进而得到点D 是AB 的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：由尺规作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，\点D 是AB 的中点，ACD BCD S S \=△△，ADE CDE CDB S S S \+=V V V ，Q CDB △的面积为12，ADE V 的面积为9，1293CDE CDB ADE S S S \=-=-=V V V ，\四边形EDBC 的面积为：12315CDE CDB EDBC S S S =+=+=V V 四边形，故选：A ．30．如图，在ABC V 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）．A ．AF BF=B ．90AFD FBC Ð+Ð=°C ．DF AB^D ．BAF CAFÐ=Ð【答案】D 【分析】由图中尺规作图痕迹可知，BE 为ABC Ð的平分线，DF 为线段AB 的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．【详解】解：由图中尺规作图痕迹可知， BE 为ABC Ð的平分线，DF 为线段AB 的垂直平分线．上求作点D ，使；，若点D 在边上，在上求作点E ，使．）作BC 的垂直平分线与BC 的交点即为所求；）如图：由题意得，只要作12BDE ABC S S △△=即可，由第（1）问得，12ABP ABC S S △△=，只要作BC ABD ACD S S =V V AB BC BDE ADEC S S △四边形=作BC 的垂直平分线与BC 交于D 点，BD CD \=，ABD QV 与ACD V 高相同，ABD ACD S S \=V V ．如图1：点D 即为所求；（2）如图：由题意得，只要作12BDE ABC S S △△=即可，作BC 的垂直平分线交BC 于P 点，由第（1）问得，12ABP ABC S S △△=，故只要作BDE ABP S S △△=即可，连接D 、P ，要使得BDE ABP S S △△=，只要作根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，如图2：点E 即为所求．32．如图，在中，点E 在上且．(1)请用尺规作图的方法在边上确定点D ，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若的周长为，求的长．【分析】（1）线段AB 的垂直平分线与BC 边的交点即为所求；（2）根据线段垂直平分线的性质，通过等量代换求解．【详解】（1）解：如图所示，线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点D ，点D 即为所求；（2）解：Q ADE V 的周长为12cm ，\12AD AE DE ++=，Q BD AD =，AE CE =，\12BC BD CE DE AD AE DE =++=++=，即BC 的长为12cm ．题型4：与线段垂直平分线相关的计算与证明33．如图，在ABC V 中，AB 、AC 边的垂直平分线相交于点O ，分别交BC 边于点M 、N ，连接AM ，AN ．(1)若AMN V 的周长为6，求BC 的长；(2)若30B Ð=°，25C Ð=°，求MAN Ð的度数；(3)若MON a Ð=，请用a 表示MAN Ð的度数（直接写出即可）．ABC V BC AE CE =BC BD AD =ADE V 12cm BC【答案】(1)6(2)70°(3)1802MAN aÐ=°-【分析】（1）由垂直平分线的性质可得,AM BM AN CN ==，再由BC AM MN AN =++可得结论；（2）由垂直平分线的性质可得30,30,B BAM C CAN Ð=Ð=°Ð=Ð=°，再根据三角形内角和定理可得结论；（3）根据三角形内角和定理可得()1802MAN B C Ð=°-Ð+Ð，再由四边形内角和定理可得180B C MAN O Ð+Ð=°-Ð-Ð，代入求解即可【详解】（1）,OM ON Q 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,,AM BM AN CN \==6AM MN AN ++=Q 6BM MN CN \++=，即6BC =（2）,,AM BM AN CN ==Q 30,25,BAM B CAN C \Ð=Ð=°Ð=Ð=°180,B BAC C Ð+Ð+Ð=°Q 且BAC BAM MAN CANÐ=Ð+Ð+Ð180,B BAM MAN CANC \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°即180,B B MANC C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°18022180605070MAN B C \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°（3）如图，180,B BAC C Ð+Ð+Ð=°Q 且BAC BAM MAN CAN Ð=Ð+Ð+Ð180,B BAM MAN CANC \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°即180,B B MANC C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°()1802MAN B C \Ð=°-Ð+Ð,,OM ON Q 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，90AEO AFO \Ð=Ð=360AEO EAF AFO FOE \Ð+Ð+Ð+Ð=°180EAF O \Ð+Ð=°180,BAF MAN CAN O \Ð+Ð+Ð+Ð=°180,B C MAN O \Ð+Ð+Ð+Ð=°180B C MAN O\Ð+Ð=°-Ð-Ð()()180********MAN B C MAN O \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð-Ð\解得，1802MAN aÐ=°-34．如图，在Rt ABC △中，45,90,ACB BAC AB AC Ð=°Ð=°=，点D 是AB 的中点，AF CD ^于H 交BC 于F ，BE AC ∥交AF 的延长线于E ．求证：BC 垂直且平分DE ．【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定证明(ASA)ABE CAD ≌V V ，在再证明(SAS)DBP EBP ≌V V 即可解决问题；【详解】证明：由题意可知，9090DAH ADH ACH ADH ÐÐÐÐ+=°+=°，，∴DAH ACH ÐÐ=，∵90BAC Ð=°，BE AC ∥，∴90CAD ABE ÐÐ==°．又∵AB CA =，∴在ABE V 与CAD V 中，DAH ACH AB AC CAD ABE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)ABE CAD ≌V V ．∴AD BE =，又∵AD BD =，∴BD BE =，在Rt ABC V 中，45,90,ACB BAC AB AC ÐÐ=°=°=，故45ABC Ð=°．∵90ABE Ð=°，∴904545EBF Ð=°-°=°，∴(SAS)DBP EBP ≌V V ，∴DP EP =，∴BC 垂直且平分DE ．35．如图，ABC V 中，AD 平分BAG Ð，DG 垂直平分BC ，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ．(1)求证：BE CF =；(2)如果9AB =，5AC =，求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)2BE =．【分析】（1）由DG 垂直平分BC 可得DB DC =，由AD 平分BAG Ð， DE AB ^，DF AC ^，可得DE DF =，90DEB DFC Ð=Ð=°，从而证得()Rt Rt HL DBE DCF V V ≌，得证BE CF =；（2）易证()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，得到AE AF =，又BE CF =，因此2AB AE BE AF BE AC CF AC BE =+=+=+=+，代入即可解答．【详解】（1）连接DB ，DC ，∵DG 垂直平分BC ，∴DB DC =，∵AD 平分BAG Ð，DE AB ^，DF AC ^，∴DE DF =，90DEB DFC Ð=Ð=°，∴在Rt DBE V 和Rt DCF V 中DB DC DE DF=ìí=î∴()Rt Rt HL DBE DCF V V ≌，∴BE CF =．（2）∵DE AB ^，DF AC ^，∴在Rt ADE △和Rt ADF V 中AD AD DE DF=ìí=î∴()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，∴AE AF=∵BE CF=∴2AB AE BE AF BE AC CF AC BE =+=+=+=+，∵9AB =，5AC =，∴952BE =+，∴2BE =．36．如图，AB AC ＞，BAC Ð的平分线与BC 边的垂直平分线GD 相交于点D ，过点D 作DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，求证：BE CF =．【答案】见解析【分析】连接DC ，根据GD 是BC 边的垂直平分线，得到DC DB =，根据AD 是BAC Ð的平分线，且DE AB ^，DF AC ^，得到DE DF =，根据DE DF DB DC =ìí=î，得到()HL DEB DFC V V ≌即可得证．【详解】如图，连接DC ，∵GD 是BC 边的垂直平分线，∴DC DB =，∵AD 是BAC Ð的平分线，且DE AB ^，DF AC ^，∴DE DF =，∵DE DF DB DC =ìí=î，∴()HL DEB DFC V V ≌∴BE CF =．37．如图，在ABC V 中，BAC Ð的平分线与BC 的中垂线DE 交于点E ，过点E 作AC 边的垂线，垂足N ，过点E 作AB 延长线的垂线，垂足为M ．(1)求证：BM CN =；(2)若2AB =，8AC =，求BM 的长．【分析】（1）连接BE ，CE ，由题意易得BE CE =，EM EN =，进而可证Rt Rt BME CNE ≌V V ，然后问题得解；（2）由（1）得：EM EN =，进而可证Rt Rt AME ANE ≌V V ，则有AB BM AC CN +=-，然后根据线段的和差关系可求解．【详解】（1）证明：连接BE ，CE ，DE Q 是BC 的垂直平分线，BE CE \=，AE Q 是BAC Ð的平分线，EM AB ^，EN AC ^，EM EN \=，在Rt BME △和Rt CNE △中，BE CE EM EN=ìí=î()Rt Rt BME CNE HL \V V ≌，BM CN \=；（2）由（1）得：EM EN =，在Rt AME △和Rt ANE △中，AE AE EM EN=ìí=îRt Rt AME ANE \≌V V ，请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：V中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知）如图②，在ABC的周长为20，则BC的长为__________．∵AB AC AD BC ^=，，的周长为7，可得∴19712AB BE +=-=，∴6AB BE ==；（2）∵30ABC Ð=°，45C Ð=°，∴1803045105BAC Ð=°-°-°=°，在BAD V 和BED V 中，BA BE BD BD DA DE =ìï=íï=î，∴()SSS BAD BED V V ≌，∴105BED BAC Ð=Ð=°，∴1054560CDE BED C Ð=Ð-Ð=°-°=°．40．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于F ．(1)求证：AF CF =；(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得BA BC =，BDA BEC Ð=Ð，根据补角的性质，可得FDC FEA Ð=Ð，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．（2）由AB CB =，AF CF =可得点B ，F 在AC 的垂直平分线，即可得出结论【详解】（1）在BAD V 和BCE V 中，∵B B BAD BCE BD BE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BAD V ≌BCE V ，∴AB CB =，BF BF AC与点A 重合，则 ， ．，四边形的直角沿直线l 折叠后（如图2），点B 落在四边形的边与AB 相交于点F ，猜想OF 、EF 、AB 三者数量关系，并证明．若折叠后点D 恰为AB 的中点（如图3），求的度数；45°，8数量关系为：AB OF EF =+；证明见解析q ==a OABC OCB ÐOABC q∴E O D FO D Ð=Ð．由折叠可得FOD EOC EOD q Ð=Ð=Ð=，∴390COA q Ð==°，∴30q =°．。
垂直平分线的性质练习好题(人教版)
垂直平分线的性质一、单选题(共12道，每道8分)1.下列命题中正确的命题有( )①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列说法：①P是线段AB上的一点，直线经过点P且⊥AB，则是线段AB的垂直平分线；②直线经过线段AB的中点，则是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线垂直于线段AB，则是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，在△ABC中，DE是线段AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，连接AD，下列结论一定成立的是( )A.ED=CDB.∠DAC=∠BC. D.∠B+∠ADE=90°4.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是( )A.AC=2ECB.∠B=∠CAEC.∠DEA=2∠BD.BC=3EC6.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A.在AC，BC两边高线的交点处B.在AC，BC两边中线的交点处C.在AC，BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A，∠B两内角平分线的交点处7.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，将△ABC对折，使A与B重合，折痕为DE，连接BD，若△BCD的周长为27cm，则BC的长为( )cm．A.10B.9C.7D.138.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连接AE．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，交AB于点D，交AC于点E，连接CD，∠A=50°，则∠DCB的度数是( )A.15°B.30°C.50°D.65°10.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为( )A.7B.14C.17D.2011.如图，锐角三角形ABC中，直线为BC的中垂线，直线为∠ABC的角平分线，与相交于P点，连接CP．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数是( )度A.24B.30C.32D.36。
线段的垂直平分线的性质和判定练习题
△ ABD≌△ACD ， ∴ AB ＝ AC ＝ 5 cm.∵点 C 在 AE 的垂直平分线上 ，
∴CE＝AC＝5 cm，∴BE＝BC＋CE＝11 cm
知识点2：线段的垂直平分线的判定 6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A．AB垂直平分CD A)
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
7．在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
)A
C．三条高的交点
D．三边中线的交点
8 ． 如图 ， 点 D 在三角形 ABC 的 BC 边上 ， 且 BC ＝ BD ＋ AD ， 则点 D 在 AC 的垂直平分线上． _______
分线，即点D在线段AB的垂直平分线上
16．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于 点P，过点P分别作PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M.求证：BN＝CM. 解：连接PB，PC，由角的平分线的性质证PN＝PM，由线段垂直平分线 的性质证PB＝PC，从而由HL证Rt△PNB≌Rt△PMC，∴BN＝CM
即DG⊥EF，∴DG垂直平分EF
方法技能： 1．利用线段的垂直平分线的性质可证明两线段相等 ，应用时要注意：一是 点必须在垂直平分线上，二是距离指的是点到线段两端点的距离． 2．利用线段的垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系．
易错提示：
对线段的垂直平分线的判定理解不透彻而出错．
Hale Waihona Puke 解：BH即为所求，如图：11．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不
一定成立的是(
C)
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
线段垂直平分线的性质和判定(分层作业)(解析版)
13.1.2线段垂直平分线的性质和判定夯实基础篇一、单选题：1．如图，△AB C中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】设边AB的垂直平分线交AB于点E，∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案为：B.【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键.2．如图，在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠AC B．若BE=2，则AE的长为（）AB．1C D．2【答案】B【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=12CE=1．故选B．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1．3．如图所示，在△AB C中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE.下列结论中，错误的是()A．AD=CD B．BE>CDC．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD【答案】D【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：由作图可得，DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD，∴点D为AB的中点.∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD为Rt△ABC的边AB上的中线，∴CD=AD=BD，故A选项正确；∵DE⊥AB，∴Rt△ADE中，AE＞A D.∵AE＞AD。
线段的垂直平分线练习题
(第2题）EDCBA线段的垂直平分线一、基础知识：1、线段垂直平分线的性质因为，所以AB＝AC.理由：2、线段垂直平分线的判定因为，所以点A在线段BC的中垂线上.理由：1、如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，那么AC＝_________.（第1题）（第3题）（第4题）2、如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于点E，若BE=2则A、E两点的距离是（）.A.4B.2C.3D.123、如图，AB垂直平分CD，若AC=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）cm.A.3.9B.7.8C.4D.4.64、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有：.①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.5、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，P A=PB；②若P A=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若P A=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1、已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。
2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B(第1题)C DABlCBA二．解答：1、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
2.如下图,在直线AB上找一点P,使PC =PD.3.如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点.（1）当AE=13cm时，BE= cm；（2）当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm；（3）当BC=15cm，则△BEC的周长是cm.角平分线练习题1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.3、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。
OK：垂直平分线的性质和判定专项练习
垂直平分线的性质和判定专项练习一、知识回顾：1．垂直平分线的定义：经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离___ 图形语言符号语言线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_______________ 上。
图形语言符号语言一运用垂直平分线的性质进行证明1、AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，求证：①AB=AC=CE②DE =AB+BD2、如图，在ABC∆中，ACABC，DE是AB的垂直平分线，∠65AB=，︒=求∠CBE的度数3、在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线 于F 、E. 求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC （3）∠EAC=∠B4、如图所示：△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABD 的周长为13cm ，求△ABC 的周长。
5、如图在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于 点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.(1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.(3) 求证：△AEN 是等腰三角形ABCDE MN垂直平分线的判定（如何证明垂直平分线）6、如图AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线7如图，已知：E是AOB∠的平分线上的一点，OAED⊥，垂足分别EC⊥，OB是C、D.求证：OE垂直平分CD.12、8如图，已知：在ABCDE⊥，AC∠的平分线交BC于D，且AB∆中，BACDF⊥垂足分别是E、F. 求证：AD是EF的垂直平分.。
垂直平分线练习题
垂直平分线练习题垂直平分线练习题垂直平分线是几何学中的一个重要概念，它在很多数学题目中经常被用到。
垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两段相等的线段的直线。
在本文中，我们将探讨一些与垂直平分线相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
练习题一：垂直平分线的构造假设有一条线段AB，我们的目标是通过构造一条垂直平分线来将其平分为两段相等的线段。
请你描述一下如何进行这一构造。
解答：首先，我们需要绘制一条与线段AB垂直的直线。
可以使用直尺和铅笔来辅助作图。
接下来，在线段AB的两个端点上分别作两个等长的弧，这两个弧的半径可以任意选择。
然后，我们将直尺的一边放在其中一个端点上，另一边与另一个端点的弧交点相连，得到的直线就是垂直平分线。
练习题二：垂直平分线的性质垂直平分线具有一些重要的性质，下面我们来探讨其中的一些。
性质一：垂直平分线将线段分为两段相等的部分。
证明：由于垂直平分线将线段分为两个等长的弧，所以它也将线段分为两段相等的部分。
性质二：垂直平分线与线段的中垂线重合。
证明：设垂直平分线为CD，线段AB的中点为E。
由于CD与AB垂直且等分，所以CD与AE、BE都垂直。
而根据垂直平分线的定义，CD与AE、BE也相等。
因此，CD即为线段AB的中垂线。
练习题三：垂直平分线的应用垂直平分线在几何学中有着广泛的应用，下面我们来看一个实际问题。
问题：假设有一个正方形ABCD，以及一条通过点A和点C的直线l。
请你证明直线l是正方形ABCD的对角线，并找出它的垂直平分线。
解答：首先，我们知道正方形的对角线互相垂直且相等。
因此，我们只需要证明直线l与正方形的两条对边垂直，并且它们的长度相等。
设正方形的边长为a。
由于直线l通过点A和点C，所以它与正方形的边AB和边CD相交。
设交点分别为E和F。
我们可以通过计算证明AE=CF=a/2，从而证明直线l与正方形的两条对边相等。
接下来，我们需要证明直线l与正方形的两条对边垂直。
由于正方形的两条对边互相垂直，所以我们只需要证明直线l与边AB垂直即可。
角平分线和垂直平分线的性质,判定过关考试
D
C
B
A
姓名：
1、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，
PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，DF=EF．求证：∠PDF=∠PEF．
2、如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC ．
求证：∠BAD+∠BCD=180°(作两条辅助线)．
3、如图，CD ⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB=OC.
求证：∠1=∠2 .
4、如图，在△OAB中，E是BC的中点，EC⊥OA，ED⊥OB ，垂足为C，D，AC=BD．求
证：AD是△ABC的角平分线.
5、如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
求证：AE是∠DAB的角平分线.
O
A
C
F
P
B
E
D
6、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．求∠A的度数？
7、如图，等腰△ABC中，AC=8．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AD=5，
△ABC的周长为20.。
求△BEC的周长。
8、如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在哪条线
段的垂直平分线上，并说明理由9、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连
接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
10、如图，AC=AD，BC=BD，可以得到哪些结论，并说明
垂直平分的理由（共10种）。
八年级下册1、3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定习题新版北师大版
10．【2019·温州】如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线，E是AB边上一点，过点C作 CF∥AB，交ED的延长线于点F. (1)求证：△BDE≌△CDF；
证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F. ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD. ∴△BDE≌△CDF(AAS)．
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
2．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一 直线上，则AB＋DB与DE的关系是( C ) A．AB＋DB>DE B．AB＋DB<DE C．AB＋DB＝DE D．不能确定
3．【2020·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的 垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°， 则∠DBC的度数是( D ) A．25° B．20° C．30° D．15°
【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB.选项 A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC 及PC⊥AB即可得到PC是线段AB的垂直平分线．故作法正 确；对于“过点P作PC⊥AB于点C”①或取AB的中点C(即 AC＝BC)②，要先让所作辅助线满足①或②，再证明 所作辅助线满足②或①，从而得到PC是线段AB的垂 直平分线，故选项B不正确，选项C，D作法正确． 【答案】B
解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF＝2. ∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3. ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB＝3.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点， 且GB＝GC. (1)求证：AG垂直平分BC； 证明：∵GB＝GC，AB＝AC， ∴点G，点A在BC的垂直平分线上． 又∵两点确定一条直线， ∴AG垂直平分BC.
*4.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB 和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在 点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
八年级数学线段的垂直平分线的性质和判定(人教版)(基础)(含答案)
线段的垂直平分线的性质和判定（人教版）（基础）一、单选题(共11道，每道9分)1.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的一条直线垂直平分线段AB．其中不正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：根据线段垂直平分线的性质定理和判定定理，①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合判定定理，是正确的；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合判定定理，是正确的；④若EA=EB，则点E在AB垂直平分线上，但是平面内过一点的直线有无数条，不能确定是垂直平分线，所以错误；综上④错误，故选A试题难度：三颗星知识点：略2.如图，AC=AD，BC=BD，则有( )A.CD垂直平分ABB.AB垂直平分CDC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB答案：B解题思路：AC=AD，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以A在CD的垂直平分线上；BC=BD，所以B在CD的垂直平分线上．两点确定一条直线，则AB垂直平分CD．故选B．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论不一定成立的是( )A.DE=CEB.OE平分∠DECC.OE垂直平分CDD.CD垂直平分OE答案：D解题思路：A：因为OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，所以DE=CE成立；B：由题可知∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，可证△DOE≌△COE（AAS）所以∠OED=∠OEC，故OE平分∠DEC成立；C：由选项A，B可知DE=CE，OD=OC，所以点E和点O分别在线段CD的垂直平分线上，所以OE垂直平分CD成立；D：点C和点D均不在线段OE的垂直平分线上，所以CD垂直平分OE不成立；故选D试题难度：三颗星知识点：略4.平面内，过直线外一点作已知直线的垂线最终都转化为下列哪一种基本作图( )A.作一个角等于已知角B.作一条线段等于已知线段C.作已知角的角平分线D.作已知线段的垂直平分线答案：D解题思路：过直线外一点作已知直线的垂线可以先在直线上作一条线段，使直线外的一点在这条线段的垂直平分线上，再作这条线段的垂直平分线．故选D．试题难度：三颗星知识点：略5.如图1，已知A为直线MN外一点，求作直线AB，使AB⊥MN．如图2用尺规作图作出直线AB，下列叙述：①任取一点P；②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以点C，点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④作直线AB．直线AB即为所求．其中错误的是( )A.①B.②C.③D.④答案：A解题思路：过点A作直线AB，使AB⊥MN的作法为：①任取一点P，使点P和点A位于直线MN的异侧；②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以点C，点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④作直线AB．直线AB即为所求．要保证以AP为半径的弧与直线MN有交点，点P与点A应位于直线MN异侧，①错误．故选A．试题难度：三颗星知识点：略6.如图1，已知线段MN，在MN上求作一点O，使OM=ON．如图2用尺规作图作出了点O，下列作图语言叙述正确的是( )A.分别以点M，点N为圆心，任意长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点O，点O即为所求．B.分别以点M，点N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点O，点O即为所求．C.以点M为圆心，任意长为半径作弧，再以点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点O，点O即为所求．D.分别以点M，点N为圆心，任意长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB，直线AB即为所求．答案：B解题思路：在MN上求作一点O，使OM=ON可以转化为作线段MN的垂直平分线，与MN的交点即为点O．正确作法为：分别以点M，点N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点O，点O即为所求；要找到MN垂直平分线上的两点，需要保证以相同长为半径作弧，且两弧有交点，所以此半径应大于，故选项A，C，D错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，以C为圆心，以大于点C到AB的距离为半径作弧交AB于点D，E，再以D，E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则( )A.CF平分∠ACBB.CF垂直平分DEC.CF平分ABD.CF垂直平分AB答案：B解题思路：由题意可知，点C到D，E两点的距离相等，点F到D，E两点的距离相等，所以点C和点F 均在线段DE的垂直平分线上，所以CF垂直平分DE；故选B试题难度：三颗星知识点：略8.如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，要使两个小区到车站的路程一样长，这个公共汽车站C应建在( )A.点A到l的垂线与l的交点处B.线段AB的垂直平分线上任意某点处C.线段AB的垂直平分线和l的交点处D.点B到l的垂线与l的交点处答案：C解题思路：由题意可得，点C到A，B两点的距离相等，所以C在AB的垂直平分线上，因为C在l上，所以这个公共汽车站C应建在线段AB的垂直平分线和l的交点处.故选C试题难度：三颗星知识点：略9.如图，某公园的三个出口A，B，C构成△ABC，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等，则公共厕所应该在( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点答案：A解题思路：∵公共厕所到出口A，B的距离相等∴公共厕所在线段AB的垂直平分线上，同理，公共厕所在线段BC的垂直平分线上所以，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点故选A试题难度：三颗星知识点：略10.电信部门要在S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在( )A.∠COD的平分线上任意某点处B.线段AB的垂直平分线上任意某点处C.∠COD的平分线和线段AB的交点处D.∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处答案：D解题思路：由题意可得，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，所以发射塔要建在AB的垂直平分线上，又因为发射塔到两条高速公路OC，OD的距离也相等，所以发射塔要建在∠COD的平分线上，所以发射塔应建在线段AB垂直平分线和∠COD的平分线的交点处；故选D试题难度：三颗星知识点：略11.如图，△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA+PC=AB，下列描述正确的是( )A.P是AC的垂直平分线与AB的交点B.P是BC的垂直平分线与AB的交点C.P是∠ACB的平分线与AB的交点D.P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点答案：B解题思路：因为PA+PB=AB，要使PA+PC=AB即PB=PC，即点P在BC的垂直平分线上所以点P为线段BC的垂直平分线与AB的交点故选B试题难度：三颗星知识点：略。
线段的垂直平分线性质与判定练习(新)
AB CDE百汇学校八年级数学上册导学案编号34 主备人：饶老师日期：审核：李春华班级：姓名：课题：线段的垂直平分线的性质练习题一、知识点1：线段垂直平分线的性质：例1如图，在ΔA B C中，AB=AC=32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求ΔBCN的周长。
对应训练：1、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ΔABD的周长为13cm，求ΔABC的周长。
2、已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求△ABC 的腰长和底边的长3．如图7，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，求证：AD=12DC．4、△ABC中，∠C=90°，∠A=15°,AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E,AD=3,则CD= ．二、知识2：线段垂直平分线的判别：例2、如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD,CB=CD(1)小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=ED，你同意小明的判断吗？请说明理由(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积对应训练：如图，已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。
AB CMNAB DE课堂检测：1、已知：是等腰三角形，ED为腰AB的垂直平分线，的周长为24cm，腰长为14cm，求底边BC的长。
AEDB C2．已知：如图３，△ＡＢＣ中，ＡC＝４，ＢＣ＝８，ＡＢ的垂直平分线交ＢＣ于Ｄ，Ｅ是垂足，且ＢＤ＝５，求△ＡＢＣ的面积。
3、已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ的中垂线交ＢＣ于Ｄ，ＡＣ的中垂线交ＢＣ于Ｅ，Ｍ、Ｎ为垂足，若ＢD＝３，ＤＥ＝４，ＥＣ＝５，求证：∠Ｂ＝４５°拓展提高：1、△ABC中，点D在BC上，连接AD，作AD的垂直平分线交AD于E，交BC延长线于F，连接AF,若∠B=∠CAF求证：AD是∠BAC的平分线2、△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，EF⊥AD交BC于F，求证：∠FAC=∠BCAB D EM N。
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垂直平分线的性质·练习
1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB D E
∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．AE CE =
3、△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC =°，则∠B 等于 （ ）
或° D.无法确定
.
4、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。
4题 5题
5、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B =15°，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。
6、在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
7、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。
？
(1) 求△AEN 的周长。
(2) 求∠EAN 的度数。
(3) 判断△AEN 的形状。
)
A
B
C
D
E M
N
8、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。
9、如图，在△OAB 中，E 是BC 的中点，EC
⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D ，AC=BD ．求证：AD 是△ABC 的角平分线 .
#
10、如图，在Rt△ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．求∠A 的度数
—
11、如图，等腰△ABC 中，AC=8．线段AB 的垂直平分线
交AB 于D ，交AC 于E ，AD=5，△ABC 的周长为20。
求△BE C 的周长。
:
12、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为
CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC=AD ；
（2）AB=BC+AD ．
^
13、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC ．
D
C
B
A
求证：∠BAD+∠BCD=180°(作两条辅助线)．。