协整检验理论

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协整和误差修正模型

一、协整理论 1. d 阶单整序列

对不平稳时间序列{}t Y 进行d 阶差分如下(d =1,2,…n)：

1t t t Y Y Y -∆=- 一阶差分

21()t t t t Y Y Y Y -∆=∆∆=∆-∆ 二阶差分

……

1111()d d d d t t t t Y Y Y Y ----∆=∆∆=∆-∆ d 阶差分

若{}t Y 进行d 阶差分后成为平稳序列, 则称{}t Y 为d 阶单整序列。记为{}~()t Y I d

2. 协整定义

如果时间序列

{}{}{}

(1)

(2)

()

,,...,r t

Y Y Y 都是d 阶单整序列，即，

{}~(),1,2,...,j

Y I d j r =，且存在12,,...,r

βββ

使得

(1)(2)()12...~()r t t r t Y Y Y I d b βββ+++-

其中b>0, 称序列{}{}{}

(1)(2)

(),,...,r t t

t Y Y Y 存在(d,b) 阶协整关系。

3. 协整的意义

若序列{}{}{}

(1)(2)

(),,...,r t t

t Y Y Y 存在协整关系，则它们之间存在长期稳定关系，对它们进行回归，可排除伪回归现象。

4. 协整检验

EG 两步法( see p.275)

二、误差修正模型 ECM 方法：

若{}{},t t X Y 都是1阶单整序列，它们存在协整关系，建立自回归模型 012131t t t t t Y X Y X ββββμ

--=++++ (1) 整理得：

011

t t

t Y X e ββγμ

JOHANSEN协整检验分析

一．Johansen协整检验

Johansen协整检验是一种用于分析多个时间序列之间存在长期均衡关系的检验方法，它可以用来分析货币、公債、股票等多种不同投资组合的关系，以确定它们之间的长期协整关系的强度，从而为投资者判断投资选择提供依据和建议。Johansen协整检验基于多元线性回归，检验方法对于估计或分析长期关系非常有效。

Johansen协整检验是一种基于统计学方法的检验，检验的目标是使用VAR模型来确定两个时间序列之间是否存在长期均衡。它使用滞后期和序列之间的协整回归，对长期协整关系的强度作出定量分析。在这种检验方法中，使用的模型具有较强的可伸缩性，可应用于多元时间序列，并且可以适当地处理突发事件和时变性等变化。从一般上来说，以下四个假设是检验协整关系的基本要求：

1）至少有两个时间序列的观测值。

2）时间序列的模型均属于线性范畴。

3）任意两个时间序列的关系应该是多元的。

4）所观测到的时间序列应该是非竞争性的。

Johansen协整检验的基本步骤是：首先，将多个时间序列分别标准化；其次，将标准化的时间序列皆转化为一阶差分模型；然后，运用VAR 模型对差分模型进行估计；随后。

学习：协整理论以及协整检验

• 式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibrium error），它是变量X 与Y的一个线性组合：
t Yt 0 1 X t
• 如果X与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非
均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 • 非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。
三、协整检验—JJ检验
⒈ JJ检验的原理
• Johansen于1988年，以及与Juselius一起于 1990年提出了一种用向量自回归模型进行检验的方法，通常称为Johansen检验，或JJ检验，是一种进行多重I(1)序列协整检验的较好方法。
• 没有移动平均项的向量自回归模型表示为：
y t 1y t 1 p y t p t
j 1
p
该式要求
y t 1 为一个 I (0) 向量，其每一行所表示的
y1t 1 , y2 t 1 ,, yM t 1 的线性组合都是一种协整形式。
•
例检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生产总值GDPPC的协整关系。
已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，已知它们的回归式
CPCt 49.764106 0.45831 GDPPC t

协整理论及案例

下式给出：
j ω = γ 0 + 2 ∑ (1 − )γ q +1 j =1
2
q
j
,
γj =
1 T ∑εˆt εˆt − j T t= j+1
（1.3）
q 是截断滞后因子，检验假设： H 0 ：变量服从单位根过程，是非平稳的。 H1 ：变量不服从单位根过程，是平稳的。当 t pp 值小于临界值时，就接受 H 0 ，反之，就拒绝 H 0 。其中 Engle-Granger 的基于残差的 ADF 检验是最常用的检验方法。其中最优滞后期，在
∆yt = α + βy t −1 + ε t ，
（1.2）
γ 0 tb (ω 2 − γ 0 )TSb − PP 统计量： t pp = ˆ ω 2ωσ
0.5
， t b 是 β 的 t 统计量， sb 是 β 标准差，
ˆ 是检验回归标准差，T 是检验的时间长度，ω 是 Newey-West 异方差，自回归一致估计由 σ
△ LCU3 -2.948223 △ SHCU -2.435420
其中：YE 表示美元对日元汇率，PE 表示美元对英镑汇率，EE 表示美元对欧元汇率，DI 表示美元指数， LCU3 表示 3 月伦铜期货价格的对数，SHCU 表示上海期铜价格的对数。△表示一阶差分。*表示在 5％显著性水平上是显著的。C 表示截距、t 表示时间趋势、n 表示滞后阶数。

计量经济学协整检验方法

三、协整检验协整性的检验‎方法主要有两‎个：（一） EG 两步法以两个变量y ‎和x 为例。在检验协整性‎之前，首先要对变量‎的单整性进行‎检验，只有当两个变‎量的单整阶数‎相同时，才可能存在协‎整关系。不妨设y 和x ‎都是一阶单整‎序列，即y 、x 均)1(~I ，则EG 两步法‎的具体检验步‎骤为：第一步：利用最小二乘‎法估计模型：

t t t x y εββ++=10 （5-1）并计算相应的‎残差序列：

)ˆˆ(10t

t t x y e ββ+-= 第二步：检验残差序列‎的平稳性，可以使用的检‎验方程

有： t m

i i t i t t e e e εγδ+∆+=∆∑=--1

（5-2） t m i i t i t t e e e εγδα+∆++=∆∑=--1

（5-3）

t m

i i t i t t e e t e εγδβα+∆+++=∆∑=--1

（5-4）

如果经过DF ‎检验（或ADF 检验‎）拒绝了原假设‎0:0=δ

H ，残

差序列是平‎稳序列，则意味着y 和‎x 存在着协整‎关系，称模型（5-1）为协整回归方‎程；如果接受了存‎在单位根的原‎假设，则残差序列是‎非平稳的，y 和x 之间不‎可能存在协整‎关系，模型（5-1）是虚假回归方‎程。说明：

1．在检验方程中‎加上差分的滞‎后项是为了消‎除误差项的自‎相关性，检验也相应称‎为A EG 检验‎；其中滞后阶数‎一般用SIC ‎或AIC 准则‎确定，EViews ‎ 5中增加了根‎据S C 等准则‎自动确定滞后‎阶数的功能。 2．检验残差序列‎的平稳性时，可以在检验方‎程中加上常

协整检验的条件

协整检验是用于研究两个时间序列之间关系的一种方法。它是根据时间序列的长期关系来推断它们的短期关系是否存在的。在进行协整检验之前，需要考虑以下条件：

1. 时间序列应为平稳序列：平稳时间序列是指在统计意义上具

有相同均值和方差的时间序列。如果时间序列不稳定，则可能会导致误判协整关系。

2. 时间序列应具有长期关系：长期关系是指在较长时间内，两

个变量之间存在稳定的关系。如果两个变量之间没有长期关系，则不可能存在协整关系。

3. 时间序列应具有正相关关系：协整检验是基于两个时间序列

之间的线性关系来进行的。如果两个时间序列之间没有正相关关系，则不适合进行协整检验。

4. 时间序列应为非季节性序列：如果时间序列是季节性的，则

可能会导致误判协整关系。

需要注意的是，协整检验并不一定能够确定变量之间的因果关系。它只能表明两个变量之间存在较为稳定的关系。因此，在进行协整检验时，需要谨慎分析结果，并结合实际情况进行判断。

- 1 -

stata约翰逊协整检验法

Stata自带的johnson命令是一种协整检验方法，适用于非平稳时间序列的协整性检验。该方法基于协整向量的估计和单步计量标准误的计算，具有较高的统计功效和稳健性。下面将对该方法的理论原理和实现步骤进行详细介绍。

一、理论原理

1. 协整性概念

在时间序列分析中，协整性是指两个非平稳时间序列之间是否存在长期稳定的线性关系。通俗地说，若两个时间序列的波动大致同时出现，即它们的长期趋势相似，则可以认

为它们具有协整性。协整性的存在可以帮助我们进行有效的时间序列分析和预测。

2. Johansen-Juselius协整检验方法

Johansen-Juselius协整检验方法是一种较为常用的协整检验方法，它基于向量自回

归模型（VAR）的估计和最大似然方法的推断，具有较高的准确性和稳健性。该方法将协整检验分解为两个步骤：首先进行向量自回归模型的估计，然后通过最大似然方法推断出协

整关系的存在与否。

Johnson协整检验方法是一种针对时间序列非平稳问题的解决方案，其主要思路是利

用ADF检验的残差序列，进行对向量自回归模型的估计和协整关系的检验。具体来说，该

方法假设向量自回归模型的误差具有$d$次单根，即存在$d$阶差分后得到的序列是平稳的。然后，对$d$阶差分后得到的序列进行ADF检验，若残差序列存在单位根，则可以认为序列不具有协整性；否则，可以认为序列具有协整性。

二、实现步骤

1. 数据准备

我们需要准备好需要进行协整检验的时间序列数据，假设我们有两个变量$x$和$y$，

数据类型为panel data。下面是数据的一般格式：

协整检验的意义和作用

协整检验是时间序列分析中的一个重要工具，用于检验两个或多个非

定态时间序列是否存在长期稳定的关系。在经济学和金融学中，协整检验

被广泛应用于分析股票价格、利率、汇率、商品价格和宏观经济变量等之

间的关系。

1.理论意义：

协整检验能够帮助我们验证经济学理论中的长期均衡关系。经济学理

论通常认为，相关的经济变量之间应该存在稳定的长期关系，而不是短期

的相关关系。协整检验通过检验相关变量之间是否存在长期稳定的关系，

可以验证理论假设的有效性。

2.预测意义：

协整检验可以用于时间序列的预测。如果两个或多个非定态时间序列

存在协整关系，即它们共同演化趋势相似，那么我们可以利用这种关系来

预测其中一个变量的未来走势。例如，在股票价格和利率之间存在协整关

系的情况下，我们可以根据利率的变化来预测股票价格的波动。

3.数学性质：

协整关系有一些重要的数学性质，在时间序列分析中具有一定的优势。例如，协整关系是线性的，可以通过最小二乘法来估计协整关系的参数；

协整关系的误差项是平稳的，可以进行正统的统计推断；协整关系具有容

错性，即偶尔的扰动不会破坏长期的关系。

4.解释共同演化：

协整关系可以解释相关变量之间的共同演化和互动。通过协整关系，

我们可以了解不同变量之间的长期均衡关系，以及它们之间的相对影响力。这有助于我们了解经济体系的结构和机制，并提供政策制定的参考。

5.风险管理：

协整检验可以用于风险管理，特别是对冲策略的构建。如果两个相关

的非定态时间序列存在协整关系，那么可以通过建立交易策略来实现利润

风险的对冲。例如，在商品价格和汇率之间存在协整关系的情况下，我们

协整检验理论

③ 下面讨论 0< r < k 的情形： 0< r < k 表示存在 r 个协整组合，其余 k r 个关系仍为 I(1)关系。在这种情况下，可以分解成两个( k r )阶矩阵和的乘积：
Π αβ
其中rk ( )= r，rk ( )= r。
(9.6.4)
6
② 如果 r = 0，意味着 = 0，因此式(9.6.2)仅仅是个差分方程，各项都是 I(0) 变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。
9
矩阵的每一行 i 是出现在第 i 个方程中的 r 个协整组合的一组权重，故称为调整参数矩阵，与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样。而且容易发现和并不是惟一的，因为对于任何非奇异 r r 矩阵 H ，乘积和 H (H 1 ) 都等于。
将 yt 的协整检验变成对矩阵的分析问题，这就是Johansen协整检验的基本原理。因为矩阵的秩等于它的非零特征根的个数，因此可以通过对非零特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。略去关于的特征根的求解方法，设矩阵的特征根为 1 2 … k。
在这种情况下可以分解成两个964其中rk965上式要求t1的每一行为一个的每一列所表示的的每一列所表示的yytt11各分量的线性组合都是一种协整形式各分量的线性组合都是一种协整形式所以矩阵t1各分量之间协整向量的个数与形式

协整理论

§9.3 协整与误差修正模型
一、长期均衡关系与协整二、协整检验三、误差修正模型
一、长期均衡关系与协整
0、问题的提出
• 经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 • 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。 • 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。 • 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中：因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能，其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration）。
t t t
称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。
e et Y 第二步，检验t 的单整性。如果为稳定序列，则认为变量t , X t Y 为(1,1)阶协整； et 为 1 阶单整，如果则认为变量 t , X t 为(2,1)阶协整； „。
•
例9.3.1 检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生产总值GDPPC的协整关系。
在前文已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，而§2.10中已给出了它们的回归式

格兰杰因果检验和协整检验的关系

格兰杰因果检验和协整检验是时间序列分析中常用的两种方法，它们

在研究变量之间的关系和相互影响时起着重要的作用。本文将从理论

和实际应用两个方面探讨格兰杰因果检验和协整检验之间的关系。

一、格兰杰因果检验的概念和原理

格兰杰因果检验是通过检验变量之间的因果关系来判断它们之间是否

存在因果关系。在进行格兰杰因果检验时，我们首先需要建立一个时

间序列模型，然后对模型的误差项进行相关性分析，最终确定是否存

在因果关系。

具体而言，格兰杰因果检验主要包括两个步骤：我们需要建立一个自

回归模型（AR模型），然后对模型的残差序列进行检验。如果检验结果表明残差序列存在因果关系，即序列中的一个变量的残差会对另一

个变量产生影响，那么我们就可以认为这两个变量之间存在因果关系。

二、协整检验的概念和原理

与格兰杰因果检验不同，协整检验主要用于判断时间序列变量之间是

否存在长期均衡关系。当两个变量之间存在长期均衡关系时，它们之

间的波动会在一个相对稳定的范围内波动，而不会出现长时间的偏离，这就是协整关系的本质。

具体而言，协整检验是通过构建一个误差修正模型（Error Correction Model，ECM）来判断两个变量之间是否存在协整关系。在协整检验

中，我们首先需要对变量进行单位根检验，以确保它们是严格平稳的时间序列，然后建立误差修正模型，最终通过模型的残差序列来判断两个变量是否存在协整关系。

三、格兰杰因果检验和协整检验的关系

格兰杰因果检验和协整检验虽然在理论和方法上有所不同，但它们之间存在着一定的关系。具体而言，格兰杰因果检验可以帮助我们判断变量之间是否存在因果关系，而协整检验则可以帮助我们判断这种因果关系是否是长期的、稳定的。

stata协整检验原假设

协整检验（Cointegration Test）用于判断两个或多个时间序列

之间是否存在长期稳定的关系。在经济学和金融领域中，协整检验被广泛应用于研究两个或多个经济变量之间的均衡关系，例如收入和消费、汇率和股价等。

协整检验的原假设：不存在协整关系

原假设表示的是研究者最初的假设，即认为两个或多个时间序列之间不存在长期稳定的关系。协整检验的目标是验证是否可以拒绝原假设，并得出存在协整关系的结论。

协整检验的基本思路是通过对所研究的时间序列进行单位根检验（Unit root test），如果时间序列存在单位根，则说明它是

非平稳的，相反，如果不存在单位根，则时间序列是平稳的。在进行协整检验时，常用的单位根检验方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、PP检验（Phillips-Perron test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。

ADF检验是最常用的单位根检验方法之一，它的原假设是时

间序列存在单位根，即非平稳的。在进行ADF检验时，需要

设定一个滞后阶数（Lag），用于确定是否需要添加滞后项来

解释时间序列的变动。通过计算出ADF统计量，与临界值进

行比较，如果统计量的绝对值大于临界值，则可以拒绝原假设，认为时间序列是平稳的。

PP检验和ADF检验类似，也是用于检验时间序列是否具有单

位根。PP检验的假设条件相对宽松，能够容忍一个或多个时

间序列具有一阶自回归过程（AR(1)）的误差项。

协整检验的作用和意义

协整检验是金融经济学中一种重要的统计方法，用于检验两个或多个时间序列之间是否存在长期稳定的关系。其作用和意义在于帮助研究人员确定变量之间的关系，从而为政策制定和投资决策提供有力的依据。

协整检验的作用主要体现在以下几个方面。

协整检验可以帮助我们识别出具有长期稳定关系的变量。在经济领域，很多变量之间存在短期波动的关系，但长期来看却可能存在着稳定的均衡关系。协整检验可以通过分析变量之间的协整关系，找到它们之间的长期平衡关系。例如，对于商品价格和货币供应量之间的关系，通过协整检验可以判断出它们是否存在着长期的稳定关系，从而帮助我们预测未来的价格走势。

协整检验可以帮助我们解释变量之间的因果关系。在经济学中，变量之间的因果关系是一个重要的研究课题。通过协整检验，我们可以确定变量之间的因果关系是单向的还是双向的。例如，对于股票价格和利率之间的关系，通过协整检验可以确定是利率影响股票价格，还是股票价格影响利率，或者两者之间存在着双向的因果关系。

协整检验还可以用于建立有效的投资组合。在金融领域，投资者往往希望构建一个风险较低且收益稳定的投资组合。通过协整检验，我们可以找到具有协整关系的资产，将它们组合在一起，从而降低

整个投资组合的风险。例如，通过对股票价格和期货价格之间的协整关系进行检验，我们可以将具有协整关系的股票和期货合约组合在一起，实现收益的最大化和风险的最小化。

协整检验还可以用于经济政策的制定。在制定经济政策时，政策制定者常常需要了解不同变量之间的关系，以便制定出具有针对性的政策措施。通过协整检验，政策制定者可以了解变量之间的长期稳定关系，从而制定出更加科学和有效的政策。例如，通过对通货膨胀率和失业率之间的协整关系进行检验，政策制定者可以确定出合适的经济政策，以实现通胀和就业的双重目标。

协整检验的作用和实施步骤是什么

1. 引言

协整检验是时间序列分析中一种重要的方法，用于检验两个或多个具有共同发

展趋势的非平稳时间序列之间的稳定长期关系。通过协整检验，可以确定变量之间是否存在稳定的长期关系，进而进行有效的建模和预测。本文将介绍协整检验的作用和实施步骤，并对其在实际应用中的意义进行探讨。

2. 协整检验的作用

协整检验可以揭示时间序列之间的长期关系，其作用主要包括以下几个方面：

2.1 发现变量之间的稳定长期关系

协整检验可以帮助我们确定变量之间是否存在稳定的长期关系。对于一些非平

稳时间序列，其之间可能存在短期波动和长期趋势的共同作用，通过协整检验可以筛选出具有稳定长期关系的变量，为后续的建模和预测提供可靠的基础。

2.2 剔除伪回归的影响

伪回归是由于变量之间存在非平稳性导致的虚假相关性。如果在建模过程中忽

略了非平稳性，很可能会产生错误的回归结果。通过进行协整检验，可以筛选出具有稳定长期关系的变量，从而避免伪回归的发生，提高建模的准确性和可靠性。

2.3 辅助建立有效的模型

协整关系可以作为建立有效模型的先验知识进行利用。通过检验变量之间的协

整关系，可以辅助选择适当的变量，确定模型的结构和参数，提高建模的效果。

2.4 提供有效的预测依据

协整关系可以为未来的预测提供有效的依据。如果变量之间存在稳定的长期关系，根据历史数据可以较好地预测未来的变化趋势。而如果变量之间不存在协整关系，则预测结果可能会存在较大的误差。

3. 协整检验的实施步骤

协整检验的实施步骤主要包括以下几个方面：

3.1 数据预处理

单位根检验和协整检验

一、单位根检验的概念和原理

单位根检验是时间序列分析的重要工具，在经济学中广泛应用于研究时间序列数据的平稳性。它用来判断一个时间序列是否具有单位根的存在，单位根表示一个时间序列具有非平稳的特性。

单位根检验的原理是基于自回归模型（Autoregressive Model，简称AR模型）。AR模型是一种常用的时间序列分析模型，它假设当前观测值与过去的p个观测值

存在线性关系。在单位根检验中，通常使用的是ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）和KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin Test）。

ADF检验是一种常用的单位根检验方法，它基于Dickey-Fuller单位根检验，并对

原检验方法进行扩展和改进。ADF检验的原假设是存在单位根，备择假设是不存单

位根。通过ADF检验的结果，可以判断一个时间序列是否平稳。

KPSS检验是另一种常用的单位根检验方法，它的原假设是存在单位根，备择假设

是不存单位根。KPSS检验的结果与ADF检验相反，当p值小于显著性水平时，拒

绝存在单位根的原假设，即序列是平稳的。

二、单位根检验的应用场景

单位根检验在经济学中有着广泛的应用场景。以下是一些常见的应用场景：

1.金融市场：单位根检验可用于判断金融市场的收益率时间序列数据是否具有

平稳性。平稳的收益率序列可以用于构建有效的投资组合和预测股票价格。

2.宏观经济：在宏观经济分析中，单位根检验可用于判断经济增长率、失业率

等变量是否具有平稳性。平稳的经济变量序列可以提供有效的经济政策参考。

常用的协整检验方法

协整检验是一种用于检测时间序列数据之间是否存在长期关系的统计方法。在金融经济学中，协整检验被广泛应用于价格和收益率之间的关系分析，以及股票市场和货币市场之间的关系研究。

以下是一些常用的协整检验方法：

1. 奥格尔检验（Engle-Granger Test）：奥格尔检验是最常见的协整检验方法之一。它基于两个时间序列的单位根检验结果，通过构建误差修正模型（Error Correction Model，ECM）来检验它们之间的协整关系。该方法的优点是简单易用，但对数据的要求较高，仅适用于两个时间序列的情况。

2. 约翰逊检验（Johansen Test）：约翰逊检验是一种多元协整检验方法，可以同时检验多个时间序列之间的协整关系。它基于向量自回归模型（Vector Autoregression Model，VAR）和特征根检验，通过判断特征根的数量和位置来确定协整关系的存在与否。约翰逊检验适用于具有多个时间序列的复杂情况，但计算复杂度较高。

3. 格兰杰因果检验（Granger Causality Test）：格兰杰因果检验是一种常用的时间序列分析方法，用于检验两个时间序列之间的因果关系。如果两个时间序列之间存在协整关系，那么它们之间可能存在因果关系。格兰杰因果检验通过引入滞后项来模拟时间序列之间的动态关系，并通过F统计量检验滞后项的显著性来

判断因果关系的存在与否。

4. 面板数据协整检验（Panel Cointegration Test）：面板数据协整检验是用于面板数据（Panel Data）的协整检验方法。面板数据包含多个个体（Cross-section）和多个时间点（Time-series），可以用来分析不同时间点和不同个体之间的协整关系。常用的面板数据协整检验方法包括西姆斯-休斯特（Seemingly Unrelated Regression，SUR）和极限法（Pedroni）等。