梁的弯曲正应力及强计算
合集下载
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
理论力学10弯曲的应力分析和强度计算
= q( x)
dx
20
弯曲的应力分析和强度计算
dx
M c = 0 M ( x) + dM ( x) − M ( x) − Q ( x)dx − q ( x)dx = 0
∑
dM ( x) = Q( x)
dx
d 2M ( x)
2
= q( x)
2
2、集中力、dx集中力偶作用处的剪力及弯矩
∑F y =0
ΔQ = P
3 3
b0 h0 bh
3 36
弯曲的应力分析和强度计算
思考：
梁的截面形状如图所示，在ｘＯｚ平面内作用有正 弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？
z a
b
y
c
37
弯曲的应力分析和强度计算
有一直径为ｄ的钢丝，绕在直径为Ｄ的圆筒上，钢丝仍
处于弹性阶段。此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？为了减 少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？
弯矩符号规定：弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。
10
弯曲的应力分析和强度计算
思考：
梁的内力符号是否和坐标系有关？ 答：无关。
如图所示连续梁，ＡＢ和ＢＣ部分的内力情况如何？
A
E
0
0
P
B C FD
α
X C = P cos α
答：轴力不为零，剪力和弯矩为零。
11
例1
如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求Ⅰ-Ⅰ， Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。
的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受
压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。 32
弯曲的应力分析和强度计算
3、静力学条件
∑F x =0
σ dA = FN = 0
梁的应力和强度计算
剪切应力的计算步骤和实例
实例 1. 一根简支梁，跨度为$L$，在跨中受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
2. 一根连续梁，跨度为$L$，在中间支座受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
05
梁的强度计算
强度计算的原理和方法
极限应力法
根据梁的极限应力进行计算，确保梁在承受最大 载荷时不会发生断裂或屈服。
实例
假设有一根简支梁，跨度为L，承受均布载荷q，截面面积为A。根据正应力的计算公式，可以得出正应力的大小 为σ=q*L/2A。如果已知梁的材料和截面尺寸，可以通过查找或试验得到材料的屈服强度或极限强度，并与计算 出的正应力进行比较，以判断梁的强度是否满足要求。
04
梁的剪切应力计算
剪切应力的定义和计算公式
建立梁的力学模型
根据梁的几何形状、材料属性和载荷条件， 建立相应的力学模型。
强度校核
将计算得到的最大应力与材料的许用应力进 行比较，判断是否满足强度要求。
强度计算的注意事项和限制条件
材料属性
了解所用材料的机械性能，如弹性模 量、泊松比、屈服强度等。
支承条件
考虑梁的实际支承条件，如固定、简 支或滑动支承，对计算结果的影响。
剪切应力
在梁的剪切区域，由于相邻截面发生相对错动而产生的应力。
计算公式
剪切应力的大小与作用在剪切面上的外力成正比，与剪切面的面积成反比。公式为：$tau = frac{F}{A}$， 其中$tau$为剪切应力，$F$为作用在剪切面上的外力，$A$为剪切面的面积。
剪切应力的分布和影响
分布
剪切应力在梁的剪切面上是均匀分布的，但在剪切区域之外，由于弯曲应力的存在，剪 切应力会发生变化。
梁的应力和强度计算
梁弯曲时的正应力
梁弯曲时的正应力§7-1 梁弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力如图7-2a 所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图加图7-2b 、c 所示。
在梁的AC 和DB 段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为剪力弯曲或横力弯曲。
在CD 段中，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
b )c )a )图7-2为了使问题简单，现以矩形截面梁为例，推导梁在纯弯曲时横截面上的正应力。
其方法和推导圆轴在扭转时的剪应力公式的方法相同，从几何变形、物理关系和静力学关系等三方面考虑。
1、几何变形为观察梁纯弯曲时的表面变形情况，在矩形截面梁的表面画上一些纵向直线和横向直线，形成许多小矩形，然后在梁两端对称位置上加集中荷载P ，梁受力后产生对称变形，在两个集中荷载之间的区段产生纯弯曲变形，如图7-3所示。
从实验中观察到如下现象：m n nma )b )d )ij i j图7-31）所有纵向直线均变为曲线，靠近顶面（凹边）的纵向线缩短，靠近底面（凸边）的纵向线伸长，如图7-3b 中的i ′—i ′和j ′—j ′。
2）所有横向直线仍为直线，只是各横向线之间作了相对转动，但仍与变形后的纵向线正交, 如图7-3b 中的m ′—m ′。
3）变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长区减小，在纵向线缩短区增大，如图7-3b 右所示。
根据以上观察到的现象，并将表面横向直线看作梁的横截面，可作如下假设：1）平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕某轴旋转了一个角度，但仍垂直于梁变形后的轴线。
2）单向受力假设：认为梁由无数微纵向纤维组成。
各纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩，各纵向纤维无挤压现象。
根据平面假设，梁变形后的横截面转动，使得梁的凸边纤维伸长，凹边纤维缩短。
由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层，如图7-3d 所示。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
梁应力强度计算
纵向对称面仍为平面在同一截面上变形公式共同作用横截面翘曲纵向截面间有挤压
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
梁的弯曲应力和变形
2. 距中性轴最远的上下边缘伸长或缩短最大，其余各点 的在伸弹长性或受缩力短范与围该内点，到正中应性力轴与的纵距向离应成变正成比正。比。
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大
第七章 梁的应力和强度计算
28
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m）
截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m）
截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
工程力学 第九章 梁的强度刚度计算
由结果知，梁的强度不满足要求。
返回 下一张 上一张
y2
z
例9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比 例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力 P P 0 0 .2 m 1 .6 m []=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。 .2 m
a
M D ya Iz
返回 下一张 上一张
10.7
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面剪应力计算公式： τ沿截面高度按抛物线规律变化：
2Iz 4
3
QS
* z
I zb
bh
4
τ m ax
2 3
y
h 2
, 0 ; y 0 , max
6 Qh 4 bh
校核梁的正应力强度。
解：(1) 内力及抗弯截面模量计算: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
W1 W2
P1
A
a C a
P2
D
a B
y1
z
763 5 .2
146 . 7 cm
3
y1
z
763 8 .8
86 . 7 cm
3
4 .8 k N m
y2
(2)C截面的正应力强度校核:
4 Q 3 A1
max 2
Q A2
返回 下一张 上一张
例9-3 矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm， h1=3cm，q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最 b q 大剪应力。 解：1.求剪力：QA=3kN
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M
WZ
对全梁（等截面）：
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题 4.23 长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，
梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知 工字钢抗弯强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
1 FL h
2 bh3
3
12
1.65MPa
b 0
c
M B yc IZ
1 FL h
2 bh3
2
12
MB
1 2
FL
2.47MPa （压）
IZ
bh3 12
例题 4.21 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时
的最大正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
200
4m
100
竖放
qL2
max
M max WZ
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的
附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
44MPa
如果T截面倒置会如何???
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁
的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应
力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试
校核梁的强度是否安全。
y
F
A
B
C
150
BA
50
2F
1400
600
200
12kNm
96.4
z
50
16kNm
A
M Ayl IZ
16103 250 96.4
24.09M1.0P2a108
A
M Ayy IZ
16103 96.4 15.11.202MP1a08
B
M Byy IZ
12103 250
18.07MPa
96.4
1.02
例题 4.26 为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台
A FA
C 辅助梁
x F
B MA 0
FB
MB 0
FFBBlFFPlll xx 0
FFAx
FFxAl l
0
l
令:
FA
Fx l
200kN
x 2.667m
F l x
FB l 150kN
2 x 2.667
x 2m
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加
力强度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
A C
1m
3m
30
B
D
2m
170
61 z
139
12.75 C截面
24
B截面
B max
24 1033061103 403107
36.3MPa
kNm
B max
24 103 139 103 403107
82.8MPa
C max
12.75103 139 103 403107
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
M x
max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
例题 4.20
A l2
FL
集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝
2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的
正应力。
F
h6
a
B
C
b
h
l2
h2
c
b
a
M B ya IZ
悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力
[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C 辅助梁
B M max A 200 l 2.667 266.6kNm
FA
F
x
FB M max B 150 2 300kNm
l
max
M max B
Wz
WZ
M max B
1.875103 cm3
1.875 1.86 100 ％ 0.8％
1.875
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直
径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝
y
F
150
A
l 2
B
l 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4
153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
Mym ax IZ
24.09MPa
max
Mym ax IZ
15.12MPa
梁的正应力强度条件
对梁的某一截面：
max
Mymax Iz
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
m
n
z
y
o
o
dA
mn
dx
z
d
y
dx
y
F
yd d y
d
E y E
FN
dA
A
E
ydA
A
0
M y
zdA
A
E
A
zydA
0
M z
ydA
A
E
y 2 dA
A
EIZ
1 MZ
EIZ
Mzy
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
D
d
FA
3q 4
kN
q
FB
梁的强度
FB
9q 4
kN
A
B
C
Mmax 0.5q
FA
2m
1m
WZ WZ
1q 2q WZ 15.68kN /源自mF3A1.9 46.9kN
B
2m
FB 28.1kN
15 3.75
kN
28.1
kNm
WZ
M max
61.2cm3
查表 N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
13.16
例题 4.24
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的 惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］ =50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应
实验现象：✓1、变形前互相平行的纵向直线、
F
F
变形后变成弧线，且凹边纤维缩
mn
短、凸边纤维伸长。
mn
✓2、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
▪平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
▪中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
8 bh2
6MPa
qL2 8
6
横放
qL2
max
M max WZ
8 hb2
12MPa
6
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形
截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求
弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。