梁的弯曲正应力及强计算
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横力弯曲时的正应力 正应力强度计算
材料力学
例：简支梁 AB，在 C 截面下边缘贴一应变片，
测得其 6104
E 200 GPa
应变 载荷 F 的大小。
，材料的弹性模量
，求
材料力学
解：C 点的应力 C E
C 截面的弯矩 M C CWz EWz
由
M C 0.5FRA 0.50.4F 0.2F
得
F 5EWz 3.2 kN
Wz1 Wz2 Wz3
即 b(2b)2 a3 π d 3 6 6 32
b 0.63a d 1.193a
A1
:
A2
:
A3
2b2
:
a2
:
πd2 4
0.794:1:1.12
矩形截面最经济。
材料力学
例：图示铸铁梁，许用拉应[ t力] 30 MPa 用压[ c ] 60 MPa I z 7.63 10 6 m4
材料力学
材料力学
横力弯曲时的正应力 正应力强度计算
纯弯曲时梁横截面上的正应力
My
Iz
上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的， 实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在, 横截面产生剪切变 形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
材料力学
材料力学
但当
时，用公式
My
Iz
7.5105
弯曲应力及强度计算
8 bh2
6MPa
横放
6
qL2
max
M max WZ
8 hb 2
12MPa
6
第15页/共32页
【例2】一矩形截面的简支梁，梁上作用有均布荷载，
已知：l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，
弯曲时木材的容许 正 1应0M力Pa
，试校核该
解梁 的：强作度梁。的弯矩图
q
h
M max
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
max
Mmax IZ
ymax
Mmax
max WZ
0 M 0
令WZ
IZ ymax
2
3
与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：
1、强度校核；2、截面设计；3、确定梁的许可荷载。
但通常用于校核。
第23页/共32页
特殊的： 1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大； 2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小 于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。 需进行剪应力强度计算。
梁弯曲时的强度计算
梁横截面上的正应力y所求正应力的点到中性轴的垂直距离横截面对中性轴的惯性矩三正应力强度条件1危险点的应力最大正应力弯矩绝对值最大的截面称为危险截面危险截面上最大正应力的点截面的上下边缘称为危险点
§6—7 梁弯曲时的强度计算
Βιβλιοθήκη Baidu
水利工程系 丁灿辉
一、基本概念
1、纯弯曲与横力弯曲 平面弯曲时，某梁段各横截面上只有弯矩而没有 剪力，这种弯曲称为纯弯曲。如果既有弯矩又有剪 力则称为横力弯曲。 2、中性层与中性轴 假设梁是由无数层纵向纤维组成的，且各层纤维 互不挤压。发生纯弯曲时，上部各层纤维缩短，下 部各层纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长也不 缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中 性轴。中性轴将横截面分为受压区和受拉区。
工程中常见弯曲实例
中 性 层 与 中 性 轴 图 示
二、梁横截面上的正应力 梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性 轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高 度按线性规律分布。中性轴上各点的正应力为 零。上、下边缘正应力最大。
My Iz
——梁横截面上的正应力
y——所求正应力的点到中 性轴的垂直距离 I z ——横截面对中性轴的惯性矩
三、正应力强度条件
1、危险点的应力——最大正应力 弯矩绝对值最大的截面称为危险截面，危 险截面上最大正应力的点（截面的上下边缘） 称为危险点。 Iz 令： Wz 则： M
§6—7 梁弯曲时的强度计算
Βιβλιοθήκη Baidu
水利工程系 丁灿辉
一、基本概念
1、纯弯曲与横力弯曲 平面弯曲时，某梁段各横截面上只有弯矩而没有 剪力，这种弯曲称为纯弯曲。如果既有弯矩又有剪 力则称为横力弯曲。 2、中性层与中性轴 假设梁是由无数层纵向纤维组成的，且各层纤维 互不挤压。发生纯弯曲时，上部各层纤维缩短，下 部各层纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长也不 缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中 性轴。中性轴将横截面分为受压区和受拉区。
工程中常见弯曲实例
中 性 层 与 中 性 轴 图 示
二、梁横截面上的正应力 梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性 轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高 度按线性规律分布。中性轴上各点的正应力为 零。上、下边缘正应力最大。
My Iz
——梁横截面上的正应力
y——所求正应力的点到中 性轴的垂直距离 I z ——横截面对中性轴的惯性矩
三、正应力强度条件
1、危险点的应力——最大正应力 弯矩绝对值最大的截面称为危险截面，危 险截面上最大正应力的点（截面的上下边缘） 称为危险点。 Iz 令： Wz 则： M
梁的应力和强度计算
t max [t ]
c max c
( Stresses in Beams)
Example 1: An overhanging beam ABC is loaded and supported as shown in Fig 1(a) ,the sizes of the cross section as shown in Fig 1(b). Determine the allowable load on the beam if [ ]=140MPa and RB F a=50mm. RA 20 2a a A x B 14 Solution: C 30 M max Fig 1 (a) Pa 1(b) [ ] M 1)from Wz + arrive at M max Pa
( Stresses in Beams)
第七章
梁的应力和强度计算
( Stresses in Beams)
引言
m M
当梁上有横向外力作用时，一般情 况下，梁的横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 FS 。
m
FS
( Stresses in Beams)
m
m
M
m
FS
m
只有与切应力有关的切向内力元素 d FS = dA 才能合成剪力
?
( Stresses in Beams)
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算
梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：
σ=M*y/I
其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：
σ_b=M*y/I
其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：
τ=V*Q/(b*t)
其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：
σ_a=N/A
其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的应力和强度计算
影响
过大的剪切应力可能导致梁的剪切破坏，影响梁的承载能力和稳定性。
剪切应力的计算步骤和实例
01
计算步骤
02
1. 确定梁的剪切区域和剪切面；
03
2. 根据外力分布情况，计算作用在剪切面上的外力；
剪切应力的计算步骤和实例
01
3. 根据剪切应力计算公式，计算 出剪切应力的大小；
02
4. 根据计算结果，判断梁是否满 足剪切强度要求。
弹性力学法
基于弹性力学理论，通过梁的应变和应力分布计 算其强度。
塑性力学法
考虑梁进入塑性阶段的应力分布，适用于高应力 或大变形的梁。
强度计算的步骤和实例
确定梁的载荷和支承条件
根据实际应用场景，确定梁所承受的载荷类 型和大小，以及支承条件。
计算梁的内力和应力
根据力学模型，计算梁在不同工况下的内力 和应力分布。
载荷条件
明确载荷的类型和大小，以及是否需 要考虑动载荷、疲劳载荷等特殊情况。
边界条件和连接方式
考虑梁与其他结构或部件的连接方式， 以及边界条件的处理方式。
THANKS
感谢观看
实验法
通过实验测试梁在不同载荷下的变形和应力分布情况，从而确定梁的强度。实验法精度高 ，但需要耗费大量时间和资源。
02
梁的弯曲应力计算
弯曲应力的定义和计算公式
弯曲应力
过大的剪切应力可能导致梁的剪切破坏，影响梁的承载能力和稳定性。
剪切应力的计算步骤和实例
01
计算步骤
02
1. 确定梁的剪切区域和剪切面；
03
2. 根据外力分布情况，计算作用在剪切面上的外力；
剪切应力的计算步骤和实例
01
3. 根据剪切应力计算公式，计算 出剪切应力的大小；
02
4. 根据计算结果，判断梁是否满 足剪切强度要求。
弹性力学法
基于弹性力学理论，通过梁的应变和应力分布计 算其强度。
塑性力学法
考虑梁进入塑性阶段的应力分布，适用于高应力 或大变形的梁。
强度计算的步骤和实例
确定梁的载荷和支承条件
根据实际应用场景，确定梁所承受的载荷类 型和大小，以及支承条件。
计算梁的内力和应力
根据力学模型，计算梁在不同工况下的内力 和应力分布。
载荷条件
明确载荷的类型和大小，以及是否需 要考虑动载荷、疲劳载荷等特殊情况。
边界条件和连接方式
考虑梁与其他结构或部件的连接方式， 以及边界条件的处理方式。
THANKS
感谢观看
实验法
通过实验测试梁在不同载荷下的变形和应力分布情况，从而确定梁的强度。实验法精度高 ，但需要耗费大量时间和资源。
02
梁的弯曲应力计算
弯曲应力的定义和计算公式
弯曲应力
梁的弯曲--强度计算
x
dA
A
F
dx
y
六、 1、正应力强度条件
梁弯曲时的强度计算
max
注意：
M max [ ] Wz
1） 对于抗拉和抗压强度相等的材料(如低碳钢) 要求：绝对值最大的正应力不超过材料的许用应力 2） 对于抗拉和抗压强度不相等的材料(如灰铸铁) 要求：最大拉应力不超过材料的许用拉应力最大压应力不超过材料的许用 压应力
校核梁的强度。
20 kN
10 kN/m
B 2m 3m C
D 1m
170
C
30 kN
10 kN
10
解：
M ( kN.m )
M B y2 20 106 61 30.3 MPa5 [ t ] MPa Bt max 403 10 Iz M B y1 20 106 139 MPa 69.0 MPa 5 [ c ] Bc max 403 10 Iz M C y1 10 106 139 34.5 MPa 5 [ t ] Ct max MPa 403 10 Iz M C y2 10 106 61 c] Cc max 15.2 MPa5 [MPa 403 10 Iz
ห้องสมุดไป่ตู้
F1=200 kN B 3 1
F2 E
M max 由 [ ]得到 Wz M max 240 103 3 m Wz 6 [ ] 170 10 1.412 10 3 m 3 1412 cm 3
梁的弯曲应力和强度计算
s max
M max WZ
M max bh2
6
9MPa
二、弯曲梁的正应力强度计算
1、正应力强度条件 （1）上下对称截面
h
b
对于脆性材料 [s+ ]< [s- ]，为节约材料，以达到充分 利用，常设计成上下不对称截面。
（2）上下不对称截面
2、正应力强度计算
三方面强度计算
① 校核强度
s max
弯曲正应力计算
三、计算题
6、简支梁受集中力P=20kN作用，梁截面形状，尺寸如图，它 的轴惯性矩为IZ=7.6×106mm4，试求此梁最大拉应力。
解：（1）作弯矩图， 求最大弯矩
Mmax 7.5kN m
（2）计算最大拉应力
因危险截面的弯矩为正，故截面下端受
最大拉应力：
s T max
M max IZ
内容回顾
2.弯曲正应力强度条件：
3.强度计算：三方面①校核强度 ②设计截面 ③许可荷载
4.步骤：
内力图
找危险截面
确定危险点
最大应力
Ⅱ新的问题 剪应力强度计算
三、弯曲剪应力
由于分布复杂，与截 面形状有关，故对不同截 面分别研究。
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
梁的弯曲正应力计算公式应在()范围内使用
梁的弯曲正应力计算公式应在()范围内使用
摘要：
一、引言
二、梁的弯曲正应力计算公式
三、使用范围及注意事项
四、总结
正文：
一、引言
梁是工程中常见的一种构件，其弯曲正应力计算是工程设计中的重要环节。为了保证梁的安全性能，需要对梁的弯曲正应力进行准确计算。
二、梁的弯曲正应力计算公式
梁的弯曲正应力计算公式为：
σ= M*y/I
其中，σ为正应力，M 为弯矩，y 为距离中心轴线的距离，I 为抗弯截面系数。
三、使用范围及注意事项
1.使用范围：该公式适用于梁的弯曲正应力计算，只要已知梁的弯矩、距离中心轴线的距离以及抗弯截面系数，就可以使用该公式进行计算。
2.注意事项：在实际应用中，需要根据梁的具体情况进行合理假设和简化，例如假设梁为简支梁或固定梁，以简化计算过程。同时，需要注意材料的特性和边界条件的设定，以保证计算结果的准确性。
四、总结
梁的弯曲正应力计算公式是工程设计中常用的公式，只要正确使用，就能有效保证梁的安全性能。
工程力学：第9章 弯曲应力及强度计算(新)
37
2、根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截
面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱， 而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：
z G
s
三、合理设计梁的外形（等强度梁）
弯曲应力
梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面
梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到 充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情 况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称
为变截面梁。
F A
F A
B
h(x)
z
b
B
39
等强度梁:各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁。 梁各截面上的最大正应力相等，且都等于[s ]
FS
max
qL 2
3600 3 2
5400N
qL2 3600 32
x
M max 8 8 4050 Nm
q=3.6kN/m
qL FS 2+
qL2
M
8
+
求最大应力并校核强度
s max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa 7MPa [s ]
–
smin
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算
一、梁的基本概念
梁是指在两个支点上支承荷载并能够产生弯曲的长条形结构。根据材料的不同，梁可以分为钢梁、混凝土梁等。计算梁的应力和强度需要了解以下几个基本概念：
1.荷载：梁承受的力或力矩称为荷载。荷载可以是集中力、均布力、集中力矩等多种形式。
2.弯矩：梁在受力作用下产生的弯曲效应称为弯矩。弯矩大小与荷载和梁的几何特性有关。
3.应力：梁内部产生的力与横截面积之比称为应力。应力可以分为弯曲应力、切应力、正应力等多种形式。
4.强度：梁材料的最大承受能力称为强度。强度可以用来评估梁的安全性。
二、计算梁的应力
梁的弯曲应力是梁内部最重要的应力之一、梁的弯曲应力随着距离中心越远而越大，有最大值和最小值。计算梁的弯曲应力需要以下步骤：
1.确定荷载和荷载点：首先要确定梁所受的各种荷载，包括集中力、均布力等，以及荷载点的位置。
2.画剪力和弯矩图：根据已知的荷载和支座条件，可以绘制梁的剪力和弯矩图。剪力图表示横截面上剪力的大小和方向，弯矩图表示横截面上弯矩的大小和方向。
3.计算弯曲应力：根据梁的几何尺寸和荷载信息，可以计算出梁上任意截面处的弯曲应力。根据梁的几何形状和弯矩分布，可以使用弹性力学理论进行计算。
4.判断应力的安全性：计算得到的弯曲应力应与材料的抗弯强度进行比较，以判断梁的安全性。如果弯曲应力小于抗弯强度，则梁在弯曲方面是可靠的。
三、计算梁的强度
梁的强度是指梁材料的最大承载能力。计算梁的强度需要以下步骤：
1.确定梁材料的特性：了解梁材料的力学性质，包括抗弯强度、抗压强度、抗拉强度等。这些特性可以从材料的标准和试验中获取。
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
b 0
1 h FL 2 3 3 1.65MPa bh 12 1 h FL M B yc 2 2 c bh 3 IZ 12
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
2.47MPa
（压）
例2：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。yc
wenku.baidu.com＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 y
P1
1 2 3 4 5 x m
P2
q x
m
m
3 1 3
1
3
2
3
x x
1
3
1 3 1 3 1
3 1 3 1
x
4
x x
m
5
1
§9-5
二向应力状态下的强度条件——强度理论
各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。塑料材料， 如普通碳钢，以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志。 脆性材料，如铸铁，失效现象是突然断裂。在单向受力情况下， 出现塑性变形时的屈服极限σs和发生断裂时的强度极限σb，可 由实验测定。σS和σb可统称为失效应力。失效应力除以安全 因数，便得到许用应力[σ]，于是建立强度条件 可见，在单向应力状态下，失效状态或强度条件以实验为基础 是容易建立的。因为一方面构件内的应力状态比较简单，另一 方面要用σ≤[σ]接近这类构件受力情况的试验装置求失效应力值 比较容易实现。
第七章梁的应力和强度计算
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
2 . 2 8 s L
y
s 4 . 2 6 s
y max
G
y1 A4
T字头在上面合理。
19
§7－3 梁横截面上的切应力 一、 矩形截面梁横截面上的切应力 x y
dx
图a
M ( x)
Q(x) dx
Q(x)+d Q(x)
图b M(x)+d M(x) z
FS t t(y)t1 bI z
2
I z
76 1 3 0
s A L
3
M 4 52 By 1 2. 2 7 MP a 8 I 76 1 3 0 z
G
y1
y2
M 4 88 By 2 s 4. 2 6 MP A y 8 4 I 76 1 3 0 z
校核强度
A2
A3 y2
A4
s
L ma x
梁的应力种类 正应力计算 应力强度条件及应用 切应力计算
梁的弯曲应力与强度计算
以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。 只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的
公式就可适用。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不 但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
规律，作以下两个假设：
(1) 横截面上各点的剪应力的方 向都平行于剪力FS； (2) 剪应力沿截面宽度均匀分布。 在截面高度 h 大于宽度 b 的情况下，以上述假设为基础得到 的解，与精确解相比有足够的准确度。
8 梁的弯曲应力与强度计算 剪应力计算公式为
FS S z I zb
*
8.3 梁的剪应力及其强度条件
称为纯弯曲。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形 纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。 横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。 平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
M
max
1 2
公式就可适用。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不 但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
规律，作以下两个假设：
(1) 横截面上各点的剪应力的方 向都平行于剪力FS； (2) 剪应力沿截面宽度均匀分布。 在截面高度 h 大于宽度 b 的情况下，以上述假设为基础得到 的解，与精确解相比有足够的准确度。
8 梁的弯曲应力与强度计算 剪应力计算公式为
FS S z I zb
*
8.3 梁的剪应力及其强度条件
称为纯弯曲。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形 纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。 横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。 平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
M
max
1 2
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
三、弯曲正应力强度的计算
应用强度条件公式，可解决梁的强度方面三类问题。
（1）强度校核
在已知梁的材料、截面形状与尺寸（即已知[ ]和WZ值）以及所受荷载（即已知M）的情况下，用强度条件检查梁的最大正应力是否满足强度条件。即
（2）截面设计
当已知荷载和所用材料（即已知M和[ ]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。
注意：中性层是对整个梁而言的；
中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知
3、进行强度计算时应遵循的步骤
（1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。
（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。
（3）确定危险点
（4）依据强度条件，进行强度计算。
第三节 梁的剪应力强度条件
一、概念
梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。
课时授课计划
授课日期
班 别
应用强度条件公式，可解决梁的强度方面三类问题。
（1）强度校核
在已知梁的材料、截面形状与尺寸（即已知[ ]和WZ值）以及所受荷载（即已知M）的情况下，用强度条件检查梁的最大正应力是否满足强度条件。即
（2）截面设计
当已知荷载和所用材料（即已知M和[ ]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。
注意：中性层是对整个梁而言的；
中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知
3、进行强度计算时应遵循的步骤
（1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。
（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。
（3）确定危险点
（4）依据强度条件，进行强度计算。
第三节 梁的剪应力强度条件
一、概念
梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。
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FA
F
x
FB M max B 150 2 300kNm
l
max
M max B
Wz
WZ
M max B
1.875103 cm3
1.875 1.86 100 ％ 0.8％
1.875
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直
径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝
8 bh2
6MPa
qL2 8
6
横放
qL2
max
M max WZ
8 hb2
12MPa
6
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形
截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求
弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
A FA
C 辅助梁
x F
B MA 0
FB
MB 0
FFBBlFFPlll xx 0
FFAx
FFxAl l
0
l
令:
FA
Fx l
200kN
x 2.667m
F l x
FB l 150kN
2 x 2.667
x 2m
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
M x
max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
例题 4.20
A l2
FL
集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝
2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的
正应力。
F
h6
a
B
C
b
h
l2
h2
c
b
a
M B ya IZ
44MPa
如果T截面倒置会如何???
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁
的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应
力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试
校核梁的强度是否安全。
y
F
A
B
C
150
BA
50
2F
1400
M
WZ
对全梁（等截面）：
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题 4.23 长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，
梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知 工字钢抗弯强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
D
d
FA
3q 4
kN
q
FB
梁的强度
FB
9q 4
kN
A
B
C
Mmax 0.5q
FA
2m
1m
WZ WZ
1q 2
q WZ 15.68kN / m
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
m
n
z
y
o
o
dA
mn
dx
z
d
y
dx
y
F
yd d y
d
E y E
FN
dA
A
E
ydA
A
0
M y
zdA
A
E
A
zydA
0
M z
ydA
A
E
y 2 dA
A
EIZ
1 MZ
EIZ
Mzy
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力
[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C 辅助梁
B M max A 200 l 2.667 266.6kNm
y
F
150
A
l 2
B
l 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4
153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
Mym ax IZ
24.09MPa
max
Mym ax IZ
15.12MPa
梁的正应力强度条件
对梁的某一截面：
max
Mymax Iz
实验现象：✓1、变形前互相平行的纵向直线、
F
F
变形后变成弧线，且凹边纤维缩
mn
短、凸边纤维伸长。
mn
✓2、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
▪平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
▪中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
1 FL h
2 bh3
3
12
1.65MPa
b 0
c
M B yc IZ
1 FL h
2 bh3
2
12
MB
1 2
FL
2.47MPa （压）
IZ
bh3 12
例题 4.21 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时
的最大正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
200
4m
100
竖放
qL2
max
M max WZ
力强度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
A C
1m
3m
30
B
D
2m
170
61 z
139
12.75 C截面
24
B截面
B max
24 1033061103 403107
源自文库
36.3MPa
kNm
B max
24 103 139 103 403107
82.8MPa
C max
12.75103 139 103 403107
F3A1.9 46.9kN
B
2m
FB 28.1kN
15 3.75
kN
28.1
kNm
WZ
M max
61.2cm3
查表 N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
13.16
例题 4.24
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的 惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］ =50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的
附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
600
200
12kNm
96.4
z
50
16kNm
A
M Ayl IZ
16103 250 96.4
24.09M1.0P2a108
A
M Ayy IZ
16103 96.4 15.11.202MP1a08
B
M Byy IZ
12103 250
18.07MPa
96.4
1.02
例题 4.26 为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台