专题 用勾股定理解决实际问题
初中数学 如何证明勾股定理在解决实际问题中的应用
初中数学如何证明勾股定理在解决实际问题中的应用。
勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。
虽然在学习数学的过程中，我们经常通过几何证明来理解勾股定理，但是它在解决实际问题中的应用也是非常广泛的。
在本文中，我们将探讨勾股定理在实际问题中的应用，并通过具体的例子来加深理解。
1. 建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。
例如，在设计房屋的时候，我们需要确定墙壁的角度和长度。
通过使用勾股定理，我们可以计算出两面墙壁之间的距离，从而确保房屋的结构和稳定性。
此外，在设计楼梯和斜坡的过程中，勾股定理也可以用来计算出坡度和高度，以确保安全性。
2. 导航系统中的应用勾股定理在导航系统中也有着重要的应用。
例如，在GPS系统中，我们经常需要确定两个位置之间的距离和方向。
通过使用勾股定理，我们可以计算出两个坐标之间的直线距离，从而确定最短路径和导航方向。
此外，勾股定理还可以用来计算出飞机、船只和汽车等交通工具的速度和位移。
3. 物理学中的应用勾股定理在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体在斜面上的运动情况。
通过使用勾股定理，我们可以计算出物体在斜面上的加速度、速度和位移等参数。
此外，在光学中，勾股定理可以用来计算出光线的入射角和折射角，从而帮助我们理解光的传播和折射规律。
4. 金融领域中的应用勾股定理在金融领域中也有着一定的应用。
例如，在投资领域，我们经常需要计算投资组合的风险和回报。
通过使用勾股定理，我们可以构建一个有效的投资组合，以最大化回报并降低风险。
此外，在贷款和利率计算中，勾股定理可以用来计算出贷款的利率和还款期限等关键参数。
综上所述，勾股定理在解决实际问题中有着广泛的应用。
无论是在建筑工程、导航系统、物理学还是金融领域，勾股定理都发挥着重要的作用。
通过了解和应用勾股定理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高数学应用能力，并将数学知识与实际生活相结合。
七月天山数学教案：应用勾股定理解决实际问题
七月天山数学教案：应用勾股定理解决实际问题勾股定理作为数学中的一个基础定理，在解决实际问题中也有着广泛的应用。
在七月天山的数学教案中，也包含了一些应用勾股定理解决实际问题的例题。
一、勾股定理的定义勾股定理是三角形中一条直角边的平方等于两条边的平方之和的定理。
它的形式化表达式为：$a^2+b^2=c^2$其中，$a$、$b$为直角三角形的两条直角边，$c$为直角三角形的斜边。
二、七月天山数学教案中的应用例题（1）问题描述：小明家的花坛是一个正方形，每条边长为$5$米。
现在他想在花坛内种一颗苹果树，为了让苹果树生长更好，他希望离每个角的距离都相等，问他应该种在哪里？解题思路：我们可以通过勾股定理得出花坛对角线的长度为：$AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$因为苹果树到角的距离相等，我们可以将它种在对角线的中心点上，即$M$点处，此时到每个角的距离都为：$AM=BM=CM=DM=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$小明应该在花坛的对角线中心点$M$处种苹果树。
（2）问题描述：一只小船沿着一条直线航行，此直线上有两个灯塔，分别位于船的左侧和右侧。
当小船和左侧的灯塔的距离为$5$公里时，正好时，船和右侧灯塔的距离为$13$公里，两个灯塔之间的距离为多少公里？解题思路：我们可以将该题绘制成如下的图形：由于船和左侧灯塔之间的距离为$5$公里，船和右侧灯塔之间的距离为$13$公里，可以设从左侧灯塔到右侧灯塔的距离为$c$，则可以列出如下的方程组：$\begin{cases}a^2+5^2=b^2\\a^2+13^2=(c-b)^2\end{cases}$解得：$c=\sqrt{194}$两个灯塔之间的距离为$\sqrt{194}$公里。
（3）问题描述：一艘船从一个固定起点出发，向正东方航行$8$公里，向北方航行$15$公里，向西北方航行一段距离，回到出发点。
问最终向西北方航行的距离是多少？解题思路：我们可以将该题绘制成如下的图形：由于要求从出发点出发，回到出发点，向东走和向西走的距离应该相等，向北走和向南走的距离也应该相等。
勾股定理应用典型题型讲解
勾股定理应用典型题型讲解摘要：一、引言二、勾股定理的概念及公式三、勾股定理的应用范围四、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用3.应用勾股定理解决实际问题五、总结与展望正文：一、勾股定理的概念及公式勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。
数学表达式为：a + b = c。
其中a、b为直角边，c为斜边。
二、勾股定理的应用范围勾股定理的应用范围非常广泛，包括几何、物理、工程等领域。
在解决实际问题时，了解勾股定理的适用场景和条件是关键。
三、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用在直角三角形中，已知两边长度求第三边长度或已知两边及夹角求第三边长度等问题，可以利用勾股定理轻松解决。
例题：已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求AB的长度。
解：由勾股定理可知，AB = AC + BC = 3 + 4 = 9 + 16 = 25。
故AB = 5。
2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用在锐角三角形和钝角三角形中，我们可以利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，或者求解三角形中的角度和边长。
例题：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 4，BC = 3，求∠B的度数。
解：由勾股定理可知，AB = AC + BC，故∠B为直角，∠B = 90°。
3.应用勾股定理解决实际问题在实际问题中，如测量距离、构建支架等，可以利用勾股定理进行计算和估算。
例题：一块矩形土地的长为100米，宽为60米，现欲在其四个角上搭建四个高为h米的支架，求支架高度h的最大值。
解：设矩形对角线的长度为d，则d = 100 + 60 = 10000 + 3600 = 13600。
由勾股定理可知，d = √(13600)。
支架高度h的最大值即为d/2，故h = √(13600)/2。
四、总结与展望本文通过对勾股定理的概念、应用范围及典型题型的讲解，旨在帮助读者更好地理解和运用勾股定理。
勾股定理在实际问题中的应用举例
勾股定理在实际问题中的应用举例、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量矢系，可以解决许多与直角三角形有矢的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。
一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计）,要求木条不能露出木箱,请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A、41cmB、34cmC、50cmD、75cm分析：图中BD为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根据已知条件，可以判断BD是RtABCD的斜边，BD是RtA BCD的斜边，根据已知条件可以求出BC的长，从而可求出BD的长。
解：在RtAABC中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC= AB2 AC2 = 41，在Rt/\BCD 中，CD=3 , BC= 41 、22BD= BC2 CD2 = 50。
所以选C。
说明：本题的矢键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。
二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口咫1cm的点F出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？图2 图3分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。
由题意可知，S、F两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。
解：IB1出圆柱体的侧面展开图?如图3，由题意、得SB=60m2=30 (cm )，FB=18—1—1=16 ( cm)，在Rt/\SBF 中，ZSBF=90°，由勾股定理得，SF= SB2 FB 2 = 302 162 =34 ( cm)，所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm。
勾股定理题型(很全面)
典型例题:一、利用勾股定理解决实际问题例题:水中芦苇梯子滑动1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?二、与勾股定理有关的图形问题1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.2.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____.3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=______ ___.4.如图,△ABC中,∠C=90°,(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S1+S2与S3的关系;(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究S1+S2与S3的关系;(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S1+S2与S3的关系.图①图②图③5.如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…,记正方形ABCD的边长a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为a1,a2,a3,…,an,根据上述规律,则第n个正方形的边长an=___ _____记正方形AB-CD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,……,S n(n为正整数),那么S n=____ ____.6、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为.ABCDEFG1FE DAB CA B C D EG F F 三、关于翻折问题1、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG.2、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F. (1)求证:△FAC 是等腰三角形;(2)若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积.3、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=,求BF 的长.4、如图,一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝,宽AB=3㎝。
勾股定理的应用的例子
勾股定理的应用的例子：
一、圆柱侧面上两点间的最短距离圆柱侧面的展开图是一个矩形，圆柱上两点之间最短距离的求法，是把圆柱展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为构造直角三角形，利用勾股定理求解.
二、长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离长方体每个面都是平面图形，所以计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同平面上的两点之间的距离，就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一平面内，即把四棱柱设法展开成一个平面图形，再构造直角三角形利用勾股定理解决，正方体的展开图从哪一面上展开都一样，而长方体的展开图一定要注意打开哪一个侧面，并且向上、下与向左、右展开会出现长度不的路线，应通过尝试从几条路线中选一条符合要求的.
三、折叠问题关于折叠问题的解题步骤：(1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算)；(2)选择或构造直角三角形，这个直角三角形一般一边已知，另两边可通过重叠图形找到数量关系，从而利用勾股定理列方程求解.。
用勾股定理解决问题
用勾股定理解决问题勾股定理是数学中一个重要的定理，可以解决许多与直角三角形相关的问题。
它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两边的平方和。
在本文中，我们将探讨如何运用勾股定理来解决一些实际问题。
问题一：计算斜边的长度假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4。
我们可以利用勾股定理来计算斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的平方等于3的平方加上4的平方，即斜边的平方等于9加上16，得到斜边的平方等于25。
因此，斜边的长度为5。
问题二：判断三条边是否能够构成直角三角形给定三条边的长度，如何确定它们是否能够构成直角三角形？我们可以运用勾股定理来解决这个问题。
假设三条边的长度分别为a、b和c，其中c是最长的边。
如果a的平方加上b的平方等于c的平方，则这三条边可以构成直角三角形；如果不等于，则无法构成直角三角形。
通过这个方法，我们可以快速判断任意三条边是否构成直角三角形。
问题三：求解未知边的长度有时候，我们已知一个直角三角形的两条边的长度，但需要求解另一条边的长度。
这时，我们可以利用勾股定理求解未知边的长度。
假设已知一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，且我们希望求解斜边的长度c。
根据勾股定理，c的平方等于a的平方加上b的平方。
通过对这个方程进行求解，我们就可以得到未知边的长度。
问题四：应用于几何图形的计算除了直角三角形，勾股定理在几何图形的计算中也有广泛的应用。
例如，我们可以利用勾股定理来计算矩形的对角线长度。
假设矩形的长为a，宽为b，我们可以利用勾股定理求解对角线的长度。
结论勾股定理是一项在数学和几何学中广泛应用的定理。
通过运用这一定理，我们可以解决许多关于直角三角形的问题，如计算斜边的长度、判断三条边是否能够构成直角三角形、求解未知边的长度，以及应用于几何图形的计算。
勾股定理为我们提供了一种便捷而准确的方法，可以解决许多实际问题。
因此，熟练掌握和应用勾股定理对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
应用勾股定理解实际问题
应用勾股定理解实际问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，它描述了直角三角形边长之间的关系。
在实际生活中，勾股定理可以应用于多种场景，解决实际问题。
本文将探讨勾股定理在几个具体问题中的应用。
1. 应用一：测量直角三角形的边长勾股定理最常见的应用就是用来测量直角三角形的边长。
在我们日常生活中，经常会遇到需要测量一些不易直接测量的距离，比如高楼的高度、河流的宽度等等。
这时，我们可以利用勾股定理来求解。
假设我们需要测量一栋建筑物的高度，可以选择一个合适的地方A 站立，从眼睛位置向上仰望，然后测量自己与建筑物底部的距离为a。
接着，我们移动到地点B，使得站立在地点B时看到建筑物顶部，测量自己与建筑物底部的距离为b。
此时，我们可以利用勾股定理计算出建筑物的高度c，即c²=a²+b²。
2. 应用二：求解物体之间的距离在很多实际问题中，我们需要求解两个物体之间的距离。
例如，在导航软件中，我们需要确定两个地点之间的最短路径。
这时，我们可以应用勾股定理帮助我们计算出两个地点的距离。
假设有两个地点A和B，我们知道A点的横坐标为x₁，纵坐标为y₁，B点的横坐标为x₂，纵坐标为y₂。
我们可以通过计算AB两点间的距离来获得最短路径。
根据勾股定理，AB的距离可以表示为d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
3. 应用三：解决投影问题另一个常见的应用领域是求解投影问题。
在日常生活中，我们经常需要计算物体的投影长度，比如阳光下建筑物的影子长度、物体在倾斜地面上的投影长度等等。
勾股定理可以帮助我们解决这些问题。
假设有一个倾斜的平面，上面有一个物体A。
物体A的高度为h，离倾斜平面的水平距离为d。
我们可以利用勾股定理来计算物体A在倾斜平面上的投影长度l。
根据勾股定理，我们可以得到l=√(d²+h²)。
4. 应用四：解决角度问题勾股定理还可以应用于求解角度问题。
在导航、航海等领域中，经常需要精确测量物体的角度。
勾股定理在实际问题中的应用举例
勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。
一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。
解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。
所以选C 。
说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。
二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。
由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。
解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。
勾股定理的实际问题解析
勾股定理的实际问题解析勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理，它是数学中的基础定理之一。
勾股定理的解析就是指该定理在实际生活中的应用和解决实际问题的方法。
本文将通过几个实际问题来解析勾股定理的实际应用。
问题一：建筑施工中的角度计算在建筑施工中，经常会遇到需要计算角度的问题，有时角度无法直接测量，而是需要通过其他已知的长度来计算。
这时，可以运用勾股定理来解决。
假设建筑施工中需要测量一段道路的宽度，但由于施工区域有限无法直接测量。
我们可以先测量出施工区域边界两个点之间的直线距离，然后测量出两个点到施工区域中心点的距离。
利用勾股定理，我们可以计算出这段道路的宽度。
问题二：三角地形测量地学中经常需要测量地面的高度差以及角度变化等信息。
这种情况下，我们可以用勾股定理来解决问题。
例如，某地区的山峰高度和两个地点的水平距离已知，我们可以通过勾股定理计算出斜边的长度，即山峰到两个地点的距离。
然后，通过比较同一水平线上的山峰高度和斜边长度，就可以得到地面的高度差。
问题三：航空航天中的飞行路径规划在航空航天领域中，飞行路径规划是一个重要的问题。
勾股定理可以帮助航空航天工程师确定飞机、航天器等的轨迹和距离。
例如，当我们知道一个航空器的当前位置和目标位置，以及它的方向角度，勾股定理可以用来计算航空器需要飞行多长的距离才能到达目标位置。
这对于航空航天领域中的飞行路径规划来说是非常重要的。
问题四：电子产品中的尺寸测量在电子产品制造中，我们经常需要测量各种元件的尺寸。
而勾股定理可以用来确定各个元件之间的距离。
举个例子，我们要测量一个电路板上两个元件之间的距离，但这个距离无法直接测量。
可以通过勾股定理，先测量出两个元件的水平距离和垂直距离，然后应用勾股定理计算两个元件之间的实际距离。
总结：以上只是勾股定理在一些实际问题中的应用示例，我们可以看到，勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
无论是在建筑施工、地学测量、航空航天还是电子产品制造领域，勾股定理都是解决问题的强大工具。
初中数学：勾股定理的15种应用
初中数学：勾股定理的15种应用
勾股定理的15种应用
应用1 勾股定理理解三角形
应用2 勾股定理与网格问题
应用3 利用勾股定理解决折叠问题
应用4 利用勾股定理证明线段的平方关系
应用5 利用勾股定理解决实际问题:求梯子滑落高度
应用6 利用勾股定理解决实际问题:求旗杆高度
应用7 利用勾股定理解决实际问题:求蚂蚁爬行距离
应用8 利用勾股定理解决实际问题:求大树折断前的高度
应用9 利用勾股定理解决实际问题:求水杯中筷子长度问题
应用10 利用勾股定理解决实际问题: 解决航海问题
应用11 利用勾股定理解决实际问题: 求河宽
应用12 利用勾股定理解决实际问题: 求台阶上的地毯长度
应用13 利用勾股定理解决实际问题:判断是否超速
应用14 利用勾股定理解决实际问题:判断是否受台风影响
应用15 利用勾股定理解决实际问题: 利用勾股定理选址使到两地距离相等
【小结】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．
【变式求解】。
勾股定理应用题型大汇总(经典)
勾股定理题型汇总一、用勾股定理解决实际问题 【经典例题】 1.水中芦苇问题在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
2.梯子滑动问题一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？【练一练】1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里，A 、B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？AA ′BA ′ O二、最短路径问题1、如图1，长方体的长为12cm ，宽为6cm ，高为5cm ，一只蚂蚁沿侧面从A 点向B 点爬行，问：爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？2、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?3：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？5、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)A B 5 316、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. ⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)⑵如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)7、如图，圆锥的侧面展开图是半径为22cm 的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行，问：（1）爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点C 的最近距离．8、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为三、面积问题1. 已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．AB CD E FGA ·B · A· B ·FE DABC2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．3．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______ ___． 4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．图① 图② 图③5．如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去…，记正方形ABCD 的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an ，根据上述规律，则第n 个正方形的边长an ＝___ _____记正方形AB －CD 的面积S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，……，S n (n 为正整数)，那么S n ＝____ ____．6.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．四、翻折问题1、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.2、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.3、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=求BF 的长．G AD A B C DAA B C D EG FF 4、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。
小专题(一)：利用勾股定理解决最短路程问题
小专题(一)：利用勾股定理解决最短路程
问题
简介
本文将介绍如何利用勾股定理来解决最短路程问题。
勾股定理是数学中的一条基本定理，可以用于计算直角三角形的边长。
通过应用勾股定理，我们可以找到两个点之间的最短距离。
解决方法
1. 理解勾股定理：
勾股定理表达式为：a^2 + b^2 = c^2。
其中，a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
可以根据已知的两个边长度求解第三个边的长度。
2. 确定两个点的坐标：
在解决最短路程问题时，首先需要确定两个点的坐标，分别表示为点A(x1, y1)和点B(x2, y2)。
3. 计算两点间的距离：
使用勾股定理计算点A和点B之间的距离，可以采用以下公式：
距离AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
4. 应用最短路程问题：
通过上述计算，我们可以得到点A和点B之间的最短距离。
这个最短距离可以用于解决一些实际问题，如路程规划、导航等。
示例
假设我们需要计算一个城市中两个地点之间的最短距离，其中点A的坐标为A(2, 3)，点B的坐标为B(5, 7)。
我们可以使用勾股定理计算出点A和点B之间的最短距离：
距离AB = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
因此，点A和点B之间的最短距离为5。
结论
通过利用勾股定理，我们可以解决最短路程问题，找到两个点之间的最短距离。
这个方法可以应用于各种实际问题中，具有很实用的价值。
专题05 利用勾股定理解决实际问题(原卷版)
专题05 利用勾股定理解决实际问题知识点框架典型题型考查题型一梯子滑落问题1．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．（1）这个梯子底端B离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．2．（2022·江苏·连云港市新海实验中学八年级期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的AC上，这时点B到墙底端C的距离BC为0.7米．(1)求AC的值；(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．3．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC，撑杆AB、BC组成，滑道OC固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB、BC的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点A 与点O 重合，撑杆AB 、BC 恰与滑道OC 完全重合；当悬窗完全打开时，如图①，此时撑杆AB 与撑杆BC 恰成直角，即90B ，测量得12cm OA =，撑杆15cm AB =，求滑道OC 的长度．考查题型二 旗杆高度问题4．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且5BC m =，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处.已知两只猴子所经过的路程相等，设BD 为x m.(1)请用含有x 的整式表示线段AD 的长为 m ；(2)求这棵树高有多少米？5．（2022·江苏苏州·八年级期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC ，DE 垂直于地面AF ，滑道AC 的长度与点A 到点E 的距离相等，滑梯高 1.5m BC =，且0.5m BE =，求滑道AC 的长度．6．（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面即AC =9米），升起云梯到火灾窗口B 处，已知云梯长AB =15米，云梯底部距地面AE =3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD 有多高？考查题型三大树折断前高度7．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，货车高AC＝3.2m，AC与地面垂直，货车卸货时后面支架AB翻折落在地面A1处，经过测量A1C＝1.6m，求翻折点B与地面的距离．8．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，一棵高5.4m的大树被台风刮断，测得树梢着地点到树根的距离BC ，求大树折断处离地面的高度AB．3.6m9．（2021·江苏扬州·八年级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?10．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度A B．考查题型四航海问题11．（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，2问乙船的航速是多少？12．（2022·江苏苏州·八年级期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？13．（2021·江苏盐城·八年级期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？14．（2021·江苏·靖江市靖城中学八年级期中）位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？考查题型五汽车超速问题15．（2021·江苏泰州·八年级期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30 m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．(1)求BC的长．(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由．16．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学八年级期中）为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能斪到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．17．（2020·江苏苏州·八年级期中）某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过72千米/时．若一辆“小汽车”在城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了5秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．考查题型六是否受台风影响问题18．（2017·江苏省阜宁中学八年级期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60˚的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响,则A城遭受这次台风影响有多长时间?19．（2017·江苏无锡·八年级期中）如图，公路PQ和公路MN交于点P，且①NPQ＝45°，公路PQ上有一所学校A，AP＝米，现有一拖拉机在公路MN上以10米∕秒的速度行驶，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，请判断拖拉机在行驶过程中是否对学校会造成影响，并说明理由，如果造成影响，求出造成影响的时间．20．（2022·江苏淮安·八年级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？21．（2019·江苏·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A 处测得它到马路的距离为9m ，已知在距离载重汽车41m 处就可受到噪声影响．（1）试求在马路上以4m/s 速度行驶的载重汽车，能给一楼A 处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？考查题型七 选址使两地距离相等问题22．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，在笔直的高速路旁边有A 、B 两个村庄，A 村庄到公路的距离AC ＝8km ，B 村庄到公路的距离BD ＝14km ，测得C 、D 两点的距离为20km ，现要在CD 之间建一个服务区E ，使得A 、B 两村庄到E 服务区的距离相等，求CE 的长．23．（2022·江苏江苏·八年级期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上AB 、两点相距50km ，CD 、为两村庄，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，已知30km DA =，20km CB =，现在要在公路AB 上建一个土特产品市场E ，使得C D 、两村庄到市场E 的距离相等，则市场E 应建在距A 多少千米处并判断此时DEC ∆的形状，请说明理由．24．（2021·江苏扬州·八年级期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A ，小川家住B ．两家相距10公里，小渝家A 在一条笔直的公路AC 边上，小川家到这条公路的距离BC 为6公里，两人相约在公路D 处见面，且两家到见面地点D 的距离相等，求小渝家A 到见面地点D 的距离．考查题型八最短路径问题25．（2022·江苏南京·八年级期末）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图①），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为cm；①当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．26．（2021·江苏扬州·八年级期中）探究一：如图1，已知AB=BD，AB①BC，①C=90°，E和F分别是BD和CD上的动点，且BE=DF，①ABE与①BDF全等吗？若全等，请说明理由．探究二：如图2，一只蚂蚁从一个长为6，宽为5，高为3 的长方形顶点A从表面爬行到另一个顶点B，请问爬行的最短距离的平方的值是．探究三：如图3，等边三角形ADC中，边长为4，高为AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．。
勾股定理典型例题【含答案】免费
勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。
它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。
它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。
勾股定理典型应用例题
1.基础应用题目：在一个直角三角形中，已知直角边a为3，直角边b为4，求斜边c的长度。
答案：根据勾股定理，c² = a² + b²，所以c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，从而c = 5。
2.逆应用题目：已知直角三角形的斜边c为5，一条直角边a为3，求另一条直角边b的长度。
答案：根据勾股定理，b² = c² - a²，所以b² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16，从而b = 4。
3.实际应用题目：一个直角三角形的两条直角边分别是6米和8米，一个正方形的一边与这个直角三角形的斜边重合，求这个正方形的面积。
答案：首先，根据勾股定理求出斜边长度c，c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100，所以c = 10。
正方形的面积为边长的平方，即10² = 100平方米。
4.比较大小题目：比较两个数的大小：√17和4。
答案：考虑直角边为1和4的直角三角形，斜边c满足c² = 1² + 4² = 17，所以c = √17。
显然，斜边c（即√17）大于直角边4。
5.多解问题题目：一个直角三角形的周长为12，其中一条直角边长为3，求另外两边的长。
答案：设另一条直角边为a，斜边为b。
根据勾股定理，a² + 3² = b²。
同时，根据周长信息，a + 3 + b = 12，即a + b = 9。
解这两个方程，得到两组解：a = 4, b = 5 和a = 5, b = 4。
6.非整数边长问题题目：在直角三角形中，已知直角边a为√3，直角边b为√4，求斜边c的长度。
答案：根据勾股定理，c² = a² + b²，所以c² = (√3)² + (√4)² = 3 + 4 = 7，从而c = √7。
专题05 勾股定理的实际应用模型(解析版)
专题05勾股定理的实际应用模型勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。
（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。
模型1、梯子滑动模型相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。
解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。
梯子滑动模型解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，∴1.52＋B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．【点睛】此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．例2．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D'为1.5米，则小巷的宽为（）A．2.5米B．2.6米C．2.7米D．2.8米【答案】C【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理【答案】9【分析】根据勾股定理求出ABB滑动的距离．∠【详解】解：依题意得：AOB【答案】船向岸A移动了(122-CD=，在根据勾股定理求出【分析】先求出7(m)【详解】解： 明明收绳6米后，船到达模型2、轮船航行模型相关模型背景：轮船航行等。
勾股定理的实际问题解决思路
勾股定理的实际问题解决思路勾股定理是数学中的一个重要定理，它可以用于解决各种实际问题。
本文将从几个不同角度出发，介绍勾股定理在实际问题中的应用和解决思路。
一、建筑工程中的应用在建筑工程中，勾股定理经常被用来测量和计算房屋的尺寸和角度。
例如，我们可以利用勾股定理计算一个房间的对角线长度，这对于决定房间的布局和家具摆放非常重要。
同时，在建筑设计中，勾股定理也可以帮助工程师计算斜坡的倾斜度，以确保斜坡的安全性。
二、导航系统中的应用勾股定理在导航系统中也有广泛的应用。
当我们使用GPS等导航设备时，设备会根据勾股定理来计算我们的位置和方位角。
通过测量我们与不同卫星之间的距离，系统可以利用勾股定理来确定我们的具体位置，并以此来计算最短路径或提供导航指示。
三、物理学中的应用在物理学中，勾股定理用于解决各种力学和动力学问题。
例如，在研究物体的运动轨迹时，我们可以利用勾股定理来计算物体在不同时间点的位置。
此外，在计算物体的速度、加速度等参数时，勾股定理也发挥着重要的作用。
四、金融和投资中的应用勾股定理在金融和投资领域中也有其应用。
例如，在计算投资组合的风险时，我们可以通过勾股定理来计算不同证券之间的相关性。
通过测量不同投资工具之间的相关性，投资者可以根据勾股定理计算总体投资组合的风险水平，并作出相应的投资决策。
总结起来，勾股定理在实际问题中扮演着重要的角色。
无论是在建筑工程、导航系统、物理学还是金融投资领域，我们都可以利用勾股定理来解决各种不同的实际问题。
通过对问题的分析和应用勾股定理的解决思路，我们能够更加准确地理解和解决实际生活和工作中的各种问题。
勾股定理的应用题型
勾股定理的应用题型嘿，朋友们，今儿咱们来聊聊那让人又爱又恨的勾股定理，特别是它在应用题里那些花样百出的模样。
勾股定理啊，简单说，就是直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方，听起来挺玄乎，其实咱们生活中到处都是它的影子。
### 一、测量那些看不见的距离#### 1.1 跨河测距想象一下，你站在河边，对面有座小岛，美得让人心痒痒，但河水湍急，过不去。
这时，你手头有个望远镜，还有根长绳子和尺子。
怎么办？勾股定理来救场！找两个点，一个在你脚边，一个在河边能看清楚小岛边缘的地方，量出这两点间的距离，再量出你眼睛到地面的高度（嘿，别告诉我你量不到）。
然后，用望远镜对准小岛边缘，让你的视线、地面的点和小岛边缘三点一线。
这时候，利用勾股定理，你就能算出你和小岛之间的直线距离了。
是不是比飞檐走壁还厉害？#### 1.2 楼梯的秘密再来说个家里的例子，爬楼梯的时候，你有没有想过，从一楼到二楼，你其实走了一个斜线？没错，楼梯和地面之间形成了一个直角三角形。
如果你知道楼梯的水平长度和高度，用勾股定理一算，就能知道楼梯的“真实长度”了。
下次爬楼梯，不妨自己算算看，是不是比数台阶更有意思？### 二、设计里的美学与实用#### 2.1 家居布局装修新家时，咱们都希望空间利用得恰到好处。
比如，你想在客厅放个书架，又怕挡住窗户的光线。
这时候，勾股定理就能帮上大忙。
量好窗户到墙角的距离，再根据你的书架大小，用勾股定理算算书架放哪儿既不挡光又美观。
这样一来，家里不仅实用，还多了几分设计师的范儿。
#### 2.2 摄影构图摄影爱好者们，勾股定理也是你们的秘密武器哦！拍风景照时，试试用三分法构图，其实就是把画面想象成九宫格，把重要的元素放在这些格子的交点上。
这背后，其实就是勾股定理的和谐之美在作祟。
因为人的眼睛天生就喜欢这种平衡感，所以拍出来的照片自然就更吸引人。
#### 2.3 建筑设计说到大的，建筑师们更是离不开勾股定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题四勾股定理的实际问题考点一树折断问题【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。
1．如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（）米．A．15B．20C．3√7D．242．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m3．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？考点二梯子滑落问题【方法点拨】梯子滑落前后的长度是相等不变的，一般利用“两次勾股定理”求线段的长。
1．如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？2．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？3．如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m．（1）求梯子的顶端到地面的距离；（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m，则梯子顶端向下滑多少米？考点三台风问题【方法点拨】运用点到直线的距离最短，可判断是否受台风的影响。
1．如图，在点B正北方150√2cm的A处有一信号接收器，点C在点B的北偏东45°的方向，一电子狗P 从点B向点C的方向以5cm/s的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为170cm．（1）求出点A到线段BC的最小距离；（2）请判断点A处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．2．在某台风登陆期间，A市接到台风警报时，在该市正南方向l50km的点B处台风中心正以20km/h的速度沿BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD＝90km．（1）台风中心经过多长时间从点B移动到点D？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点D的人脱离危险．人必须在接到台风警报后的几时内撤离（撤离速度为6km/h）？3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD=12AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？考点四方位角问题【方法点拨】掌握方位角的概念，可以巧用特殊方位角构造直角三角形求解。
1．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min 到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°2．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．3．如图，东西走向的A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？考点五其它问题【方法点拨】根据相关的实际问题构造直角三角形，运用勾股定理求解。
1．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）A．600a元B．50a元C．1200a元D．1500a元2．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发．现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．3．如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是m．4．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：√3≈1.7）5．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC＝25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．6．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C 点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．7．图1是围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2，请你根据图2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管多少米（焊接部分忽略不计）．8．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．9．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A 处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：√2=1.41，√3=1.73）．专题四勾股定理的实际问题考点一树折断问题【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。
1．如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（）米．A．15 B．20 C．3√7D．24【思路点拨】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．【解析】解：因为AB＝9米，AC＝12米，根据勾股定理得BC=√92+122=15米，于是折断前树的高度是15+9＝24米．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m【思路点拨】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．【解析】解：如图：∵BC＝8米，AC＝6米，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AB＝10米，∴这棵树在折断之前的高度是18米．故选：A．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．3．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【思路点拨】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．【解析】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．∵AB＝x，AB+AC＝16，∴AC＝16﹣x．在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝16﹣x，BC＝8，∴AC2＝AB2+BC2，即（16﹣x）2＝x2+82，解得：x＝6．故旗杆在离底部6米的位置断裂．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．考点二梯子滑落问题【方法点拨】梯子滑落前后的长度是相等不变的，一般利用“两次勾股定理”求线段的长。
1．如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？【思路点拨】在RT△ABC中，根据勾股定理得：AC＝8米，由于梯子的长度不变，在RT△CDE中，根据勾股定理，求出CE，从而得出答案．【解析】解：在Rt△ABC中，AB＝10米，BC＝6米，故AC=√AB2−BC2=√102−62=8（米），在Rt△ECD中，AB＝DE＝10米，CD＝（6+2）＝8米，故EC=√DE2−CD2=6（米），故AE＝AC﹣CE＝8﹣6＝2（米）．答：梯子顶端A下落了2米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．2．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？【思路点拨】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC＝AE+CE即可求得CE的长度，在直角三角形DEC中，已知AB＝DE，CE即可求得CD的长度，根据BD＝CD﹣CB即可求得BD的长度．【解析】解：在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，则AC=√2．52−0．72=2.4m，∵AC＝AE+CE∴CE＝2m，∵在直角△DEC中，AB＝DE，且DE为斜边，∴CD=√DE2−CE2=1.5m，∴BD＝CD﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m答：梯足向外移动了0.8m．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CD的长度是解题的关键．3．如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m．（1）求梯子的顶端到地面的距离；（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m，则梯子顶端向下滑多少米？【思路点拨】（1）直接利用勾股定理求出梯子的顶端到地面的距离；（2）直接利用勾股定理求出梯子顶端向下滑动的距离．【解析】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∵AB＝7.5m，BC＝4.5m，∴AC=√AB2−BC2=6（m），答：梯子的顶端到地面的距离为6m；（2）如图，∵BF＝1.5m，∴CF＝6m，∴EC=√EF2−FC2=4.5（m），∴AE＝1.5，答：梯子顶端向下滑1.5米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．考点三台风问题【方法点拨】运用点到直线的距离最短，可判断是否受台风的影响。