南京理工大学紫金学院《离散数学》考试卷,参考练习使用1
离散数学 试卷1 答案[4页]
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………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
电子科技大学二零零 三 至二零零 四 学年第 二 学期期 末 （B 卷）
课程考试题（ 分钟） 考试形式： 考试日期 2005年 月 日
一、选择题（1～15是单选，16～20是多选，单选每小题1分，多选每小题2分，共计25分）
1. D
2. C 3、B 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B 9、B 10、C 11、A 12、B 13、A 14、B 15、D 16、A,E 17、D,E 18、D 19、A,B,E 20、A,C,D
二、名词解释（略）
三、判断分析改错题（每小题5分，共10分）
1、答：不是。
显然，Z 上的函数f 既是单射又是满射。但是 对,x y Z ∀∀∈，有
()5()7557;
()57,()57.
f x y x y x y f x x f y y +=+-=+-=-=-
显然，()()()f x y f x f y +≠+，即不满足同态条件，因此函数f 不能构成代数系统的自同构 2、设A ，B ，C 为任意命题公式。已知A C B C ∨⇔∨，问A B ⇔ 吗？ 答：不一定。
因为当C T ⇔，,A T B F ⇔⇔时，A C B C ∨∨和有同样的真值T ，此时，A C B C ∨⇔∨ 成立，但是，A B ⇔却不成立。 四、计算题（每小题8分，共32分）
1、
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
2、解：
（1）()(()()())
(()(()()()))
(()(()()()))(()(()()())) x F x y G y
离散数学样卷参考答案
参考答案
试卷一
一、选择填空
1.C
2.A
3.D
4.D
5.A
6.A
7.B
8.C
9.D 10.B
二、填空
1.主合取范式)()(q p q p ⌝∨∧∨⌝.
前束范式))()
((x G x F x →∀或))()((y G x F y x →∀∀ 2. n-k,9
3.=)(A ρ{Φ,{1}，{2}，{1，2}}，B A ⨯={〈1,a 〉,<1,b>,<2,a>,<2,b>}
4. [b]R ={1,2,3}, X/R={{1,2,3},{4},{5}}.
5． ,,G y x ∈∀ )()()(y f x f y x f *= 。
6.=-)(1R r { <2,1>,< 4,2>,<1,1>,<3,3>,<2,2>}，=S R {<1,4>,<2,2>}。
7.15，12.
8. =τσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321 =(132) =-1στ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛41324321=(123) 9．0, 45 10．2,0
三 1.× 2.√ 3. √ 4.× 5.×
四.1．一棵树具有3个2度结点，2个3度结点，2个4度结点，其余为叶。试求其共有多少个结点？多少片叶？
解: 设该树其有x 片叶,则顶点数为x+7, 根据树的性质知,该树有x+6边,由握手定理有:
3*2+2*3+2*4+x*1=2(x+6), 得x=8
故该树共有15个结点,8 片叶 .
2.已知X={a,b,c},给出X 上的所有等价关系。
解:X 的划分其有五种:
S 1={{a,b,c}}, S 2={{a,b},{c}}, S 3={{a,c},{b}}, S 4={{a},{b,c}},S 5={{a},{b},{c}},
《离散数学》试题及答案解析
《离散数学》试题及答案解析
⼀、填空题
1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ .
2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.
3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________
_____________, 其中双射的是__________________________.
4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取式是_______________________________
__________________________________________________________.
6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝
_________________________;A－B＝_____________________ .
7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.
8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题
第一部分选择题
一、单项选择题
1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）
A．p∧┐p∧q B．┐p∨q
C．┐p∧q D．┐p∨p∨q
2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐q
C．p∧q D．p∧┐q
3．下列语句中是命题的只有（ A ）
A．1+1=10 B．x+y=10
C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2
4．下列等值式不正确的是（ C ）
A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐A
B．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)
C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)
D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)
5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))
B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)
C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)
D．Q(x,z)
6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={,,,}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）
A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}
C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}
7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）
A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈B
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)
一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1.用命题逻辑把下列命题符号化
a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化
a)有些实数不是有理数
b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.
二、简答题（共6道题，共32分）
1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋
值。（5分）
2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）
a)x y(x+y=4)
b)y x (x+y=4)
3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分）
4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）
a)（A B）－C=(A-B) (A-C)
b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|
5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）
a)A上有多少种不同的等价关系？
b)从A到A的不同双射函数有多少个？
6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、
极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)
f g
图1
7.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数
S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)
南京理工大学离散数学期末试卷
(1) 3x(P(x) A Vy(D(y)➔ L(x, y))) (2)Vx(P(x) ➔ Vy(Q(y) ➔ -,L(x, y))) 结论： Vx(D(x)➔ 勹Q(x)) 试用HORN子句逻辑程序证明之。
6. (6分）设凡是A上的等价关系，设R2是B上的等价关系，且A-:/= 0, B -=I= 0。关系
R满足： ((x1 1 Y心 (Xz, 为 ）） ER当 且仅当(xl 'Xz) ER1 且(yl '为） ER2。wk.baidu.com明R为
AxB上的等价关系。 7. (8分）设A, B是两个集合，{A1, Az, …， An}是集合A的一个划分，且对于任意
11. (8 分） G = (V, E)是一个简单的连通无庐吵 、 图， 且IVI�3。试证明G中至少
存在汇企堕点基湛店妇长［笠王立
v 12. (4分）设G = (V, E)是一无向带权连通图，且各边的权值不相等， ＝片 u V2,
* Vin 构=0, 且Vi if= 0, V2 0, 试证明 Vi与V2之间的权值最小边一定在G的最小生成
— 南京理工大学课程考试试卷（学生考试用）
课程名称：
A
学分：＿生L 大纲编号
试卷编号： --考试方式： 且违� 满分分值： 」毁＿考试时间： ..J1Q_分钟
《离散数学》题库.
《离散数学》题库答案
一、选择或填空
（数理逻辑部分）
1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )
(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P
答：（1），（4）
2、下列公式中哪些是永真式？( )
(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)
答：（2），（3），（4）
3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )
(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q
(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P
答：（2），（3），（4），（5），（6）
4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z
5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！(6) 给我一杯水吧！
答：（1）是，T （2）是，F （3）不是
（4）是，T （5）不是（6）不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死
7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校
(完整版)离散数学试题及答案,推荐文档
3. 设集合 A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从 A 到 B 的所有映射是__________________________
_____________, 其中双射的是__________________________.
4. 已知命题公式 G＝(PQ)∧R，则 G 的主析取范式是_______________________________
合映射•，•, •, •，••.
4. 设 I 是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2) f (3)
3
2
3
2
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
P(2, 2) P(2, 3) P(3, 2) P(3, 3)
0
0
1
1
(2) xy P (y, x).
5. 设集合 A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R 为 A 上整除关系。
________________________,R2R1 =____________________________,
R12
=________________________.
10. 设有限集 A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |(AB)| = _____________________________.
离散数学全部试卷
离散数学试题与答案试卷一
一、填空 20% （每小题2分）
1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+
x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶
数） 则 =⋃B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则
)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为
则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为
则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：
那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 。
二、选择 20% （每小题 2分）
1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；
B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；
C ． }},{{ΦΦ∈Φ；
D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ）
A ．{4，3}Φ⋃；
B ．{Φ，3，4}；
C ．{4，Φ，3，3}；
D ． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。 A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 3
《离散数学》试题含答案
《离散数学》试题含答案
⼀、填空题
1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝
__________________________ .
2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.
3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.
4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________
__________________________________________________________.
5.设G是完全⼆叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.
6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝
_________________________;A－B＝_____________________ .
7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案
一、选择或填空
1．下列公式中哪些是永真式？( )
A.(┐P∧Q)→(Q→⌝R)
B.P→(Q→Q)
C.(P∧Q)→P
D.P→(P∨Q)
2．设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：
A. ∀x∃y (xy=y) ( )
B. ∃x∀y(x+y=y) ( )
C. ∃x∀y(x+y=x) ( )
D. ∀x∃y(y=2x) ( )
3．有n个结点的树，其结点度数之和是( )。
4．举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( )
5．群的等幂元是( )，有( )个。
6．下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
A. {a，ab，110，a1b11}
B. {01，001，000，1}
C. {1，2，00，01，0210}
D. {12，11，101，002，0011}
7．下列哪些公式为永真蕴含式？( )
A.⌝Q=>Q→P
B.⌝Q=>P→Q
C.P=>P→Q
D.⌝P∧(P∨Q)=>⌝P
8．设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
（1）若我生病，则我不去学校 (2) 当且仅当我生病时，我才不去学校
9．任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
10．集合A上的等价关系的三个性质是什么？( )
11．群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
12．一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
13．设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )
A.P=>P∧Q
B. P∧Q=>P
C. P∧Q=>P∨Q
D.P∧(P→Q)=>Q
E. ⌝(P→Q)=>P
F. ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P
大学试卷《离散数学》及答案.docx
离散数学
一、填空题(本大题共48分，共16小题，每小题3分)
1.--公式为之充分必要条件是其合取范式之每一合取项中均必同时包含一命题变元及其否定
2.无向图G具有是生成树，当且仅当的，若G为(n,m)连通图，要确定G的一棵生成树必删掉G的条边。
3.一个无向图的欧拉回路要求经过图中一次且仅一次，汉密顿图要求经过图中
一次且仅一次。
4.设P：我生病，Q：我去学校(1)命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化
为o (2)命题“只有生病的时候，我才不去学校”符号化为
o (3)命题"如果我生病，那么我不去学校”符号化为o
5.设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需要5个插头的接线板数
6.若HlAH2A-AHn是 ,则称Hl, H2, -Hn是相容的，若
HlAH2A-AHn是 ,则称H1.H2, -Hn是不相容的
7.设f,g,h 是N 到N上的函数(N 为自然数集合),f(n)=n+l;g(n)=2n;h(n)=0；贝lj(fdg)oh=
8.K5的点连通度为 ,边连通度为o
9.A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}, R 是A 上的整除关系。子
B={1, 2, 3, 4},那么B的上界是； B的下界是；：6的上确界是; B的下确界为
10.命题公式P-*QAR的对偶式为
11.设入={1, {2}, <t>},则A的幕集有元素个。
12.设A={0, 1,2, 3}, B={4,6, 7}, C={8, 9, 12, 14}, R1 是由A 到B 的关系,R2 是由B到C原关系，分别定义为
南京理工大学紫金学院离散数学(朱保平教授)期末复习试卷
1、（8分）已知{,{1}}A a =，{{}}B b =试求
（1）2A
（2）2A B ⨯
2、（8分）已知Y X ,是2个任意的集合，试证明Y X Y X ⋂=⋂222。
3、（6分）,*)(G 是一个群，R 是G 上的一个二元关系，且对于G y x ∈∀,，R y x ∈),( 当且仅当G ∈∃θ，使得1**-=θθx y ，试证明R 是G 上的等价关系。
4、（8分）已知集合)}3,3(),2,2(),1,1(),,(),,(),,{(c c b b a a A =，分别写出满足如下性质的二元关系：
（1）该关系具有反自反性、传递性。
（2）该关系具有自反性、反对称性和对称性。
5、（8分）若在一个边长为4的正方形内任取129个点，则至少存在3个点，由它们构成的三角形（可能是退化的三角形，即一条直线）其面积小于8
1。试用抽屉原理证明之。
6、（8分）已知(G ，·)是一个群，∀G g ∈，作G 到G 的一个映射g f 如下，
对于G x ∈∀，x g x f g ⋅=)(。求证g f 是双射。
7、(6分)图),(E V G =，有n 个顶点，n 4条边，存在一个7度顶点，试证明其
它顶点的度数均大于7。
7、(6分)若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。
8、（8分）有24个人围坐一圆桌，边开会边交流网球技术。已知这24个人中，每个人至少与其余12个人打过球，试问是否有一种坐法，使每个人左、右两人都和他打过球？试用图论的语言证明之。
9、（8分）按要求画图：
（1）画一个14个顶点的哈密尔顿图但非欧拉图，有偶数条边；
(完整word版)离散数学试卷及参考答案()
一、填空题:(每空1分，本大题共15分）
1．给定命题公式A 、B ，若 ，则称A 和B 是逻辑相等的。
2．命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为 ，主合取范式的编码表示
为 。
3．设E 为全集， ,称为A 的绝对补，记作～A ，
且～（～A ）= ，～E = ，～Φ= 。 4．设},,{c b a A =考虑下列子集
}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =,}},,{{4c b a S =
}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S =
则A 的覆盖有 ，A 的划分有 。
5．设S 是非空有限集，代数系统＜（S ），，
＞中，
（S)对的幺元为 ，
零元为 。
（S ）对的幺元为 ，零元为 .
6．若>=
W(G-S) S 成立，其中W （G —S)是 。
二、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分)
1．下面命题公式（ )不是重言式。
A 、)(Q P Q ∨→；
B 、P Q P →∧)(；
C 、)()(Q P Q P ∨⌝∧⌝∧⌝;
D 、)()(Q P Q P ∨⌝↔→。 2．命题“没有不犯错误的人”符号化为( ）。
设x x M ：
)(是人，x x P ：)(犯错误。 A 、))()((x P x M x ∧∀; B 、)))()(((x P x M x ⌝→∃⌝；
C 、)))()(((x P x M x ∧∃⌝；
D 、)))()(((x P x M x ⌝∧∃⌝。 3．设}{Φ=A ，B =
离散数学试卷及答案
离散数学试卷及答案
⼀、单项选择题(本⼤题共15⼩题，每⼩题1分，共15分)在每⼩题列出的四个选
项中只有⼀个选项是符合题⽬要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.⼀个连通的⽆向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有⼀条( )
A.汉密尔顿回路
B.欧拉回路
C.汉密尔顿通路
D.初级回路
2.设G是连通简单平⾯图，G中有11个顶点5个⾯，则G中的边是( )
A.10
B.12
C.16
D.14
3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )
A.b∧(a∨c)
B.(a∧b)∨(a’∧b)
C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)
D.(b∨c)∧(a∨c)
4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的⼦群是( )
A.<{1},·>
B.〈{-1},·〉
C.〈{i},·〉
D.〈{-i},·〉
5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )
A.〈Z，+，/〉
B.〈Z，/〉
C.〈Z，-，/〉
D.〈P(A)，∩〉
6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )
A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算
B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算
C.〈Z，〉，Z是整数集，定义为x xy=xy,?x,y∈Z
D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算
7.设A={1,2,3}，A上⼆元关系R的关系图如下：
离散数学习题一 二参考答案
离散数学习题一二参考答案----a3039d74-7162-11ec-90d9-
7cb59b590d7d
离散数学习题一二参考答案
离散数学练习1的参考答案
第一节集合的基数
1.证明两个可数集的并是可数的。
证明：设a，b是两可数集，a={a1,a2,a3,,an,}，
b={b1,b2,b3,,bn,}⎧ab→n⎧f:⎧ai2i-1，f是一一对应关系，所以|a∪b|=|n|=ℵ0。
⎧b2jj⎧
2．证明有限可数集的并是可数集
证明：设A1，A2和a3ak是有限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1，2，3，K
k⎧k⎧a=ai→n，f是一一对应关系，所以|a|=|ai|=|n|=ℵ0。f:⎧i=1
i=1⎧aijj（k-1）+i⎧
3.证明可数个可数集的并是可数集。
证明：设A1，A2和a3ak为无限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1,2,3，
∞⎧a=ai→n⎧⎧i=1f:⎧，1⎧aij(i+j-1)(i+j-2)+i⎧2⎧
所以f是一对一的对应，所以|a |=|a |=|n |=ℵ. 我∞0
4.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。
证明了具有整系数的n次多项式之和可以写成
an={a0xn+a1xn-1++an-1x+an|ai∈z}
那么整系数为a=an的多项式集；
由于xk的系数ak是整数，那么所有xk的系数的全体所构成的集合是可数集，由习
题2“有限个可数集的并是可数集”可得an是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是
可数集”得出整系数多项式所构成的集合a=an也是可数集。
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（1）该关系具有反自反性、对称性、反对称性和传递性。 （2）该关系具有自反性、对称性、反对称性和传递性 5．（6 分） A ， B ， C ， D 是四个任意非空集合。 f 是 A 到 B 的满射， g 是 C 到 D 的
满射，且 A C B D
，定义映射 h( x)
f (x) 当x A ，试证明 h 为 A C 到
2．（ 6 分）已知 X , Y, Z 为三个任意的集合，试证明若 ( X Y ) ( X Z ) ，则
X YZ 3．（6 分）已知 R 是 A 上自反和对称的二元关系，试证明： t( R) 是 A 上的等价关系。
4．（8 分）已知集合 A {1,2,3,4,5} ，分别写出满足如下性质的二元关系：
g (x) 当x C
B D 满射。
6．（6 分）已知 A { x R |0 x 1} ， B { x R | 0 x 1} ，试证明 | A | | B | 。
7．（6 分） （1）画一个 11 个顶点欧拉图但非哈密尔顿图，它是简单无向图，有偶数条边；
（2）画一个 11 个顶点哈密尔顿图但非欧拉图，它是简单无向图，有奇数条边。 8．（8 分）有 60 个人围坐一圆桌，边开会边交流网球技术。已知这 60 个人中，每个 人至少与其余 30 个人打过球，试问是否有一种坐法，使每个人左、右两人都和他打 过球？试用图论的语言证明之。
9．（6 分） G (V , E) 是一个简单连通平面图，且 |V | 7,| E | 15 。试证明它的每个面
都是由 3 条边组成。
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10．（8 分） T (V , E) 是一棵树。试证明
（1） T 为二部图；
（2）若该棵树仅有 3 片树叶，则至少有一个顶点度数大于等于 3。
11．（6 分） T (V , E) 是一棵树， {V1,V2} 是 T 作为偶图顶点集的二分类， |V1 | V2 |，
课程教学 大纲编号：
南京理工大学学院课程考试试卷
计算机
课程名称： 离散数学
学 分： 3
考试方式： 闭卷
考试时间： 120 分钟
组卷年月： 2011 年 11 月 26 日 组卷教师：
学生姓名：
学 号：
（学生考试试卷）
试卷编号： A 满分分值： 100
审定教师：
1．（8 分）已知集合 A {{ 1}, { }}, B {{ a}} ，试求（ 1） 2 A （2） B 2 A
则 V2 中至少有一片树叶。 12．（8 分） Q 是有理数集， Q*
Q { 0} ， x, y Q* , x y 4 xy 。证明 (Q* , ) 是群。
13．（6 分）有限群 G 的每个元素都有有限阶 , 且其阶数不超过群 G 的阶数 |G | 。
14．（6 分） ( H ,*) ， (K ,*) 是群 (G,*) 的正规子群，证明 ( H K ,*) 也是 (G ,*) 的正规子
群。
15．（6 分）设图 G (V , E) 有 n 个顶点， 2n 条边，且存在一个度数为 3 的结点，证明：
G 中至少有一个结点的度数 5。
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