清华大学固体物理：第六章 晶格动力学
清华大学固体物理：第六章 晶格动力学
清华大学固体物理：第六章晶格动力学6.1固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。
,22ERRR,,, (6.1.1) 22MRIII这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。
无机功能材料电子—声子及声子—声子耦合的计算机模拟研究
谨以此文献给关爱我的家人与朋友论文提要晶格动力学是现代固体物理的基础之一。
晶体中的原子在热激发下，不断地在平衡位置附近振动。
这些由原子集体振动所产生的声子可以与许多激发态发生耦合，其中最主要的耦合是：电子-声子和声子-声子耦合。
它们决定了材料中与电子和声子输运相关的许多物理性质，比如金属的电导率、超导电性和热导率等。
本论文选取高压下氢化物和铁基方钴矿热电材料作为研究电子-声子和声子-声子耦合的对象，采用基于密度泛函理论的第一性原理从头算方法，进行了系统性的输运性质研究，获得如下创新性成果：1. 高压下预测的两个富氢磷族化合物（AsH8和SbH4）的超导转变温度都超过了100K；发现了二元氢化物高压性质的一般化学趋势。
系统探索了磷族氢化物的高压相图，发现所有的磷氢化物高压下都倾向于分解，砷氢和锑氢化物中发现存在两个稳定的富氢化合物（AsH8和SbH4）。
AsH8和SbH4的超导转变温度（T c）都超过100K。
特别是SbH4具有最高的能量稳定性，其合成压力只有150GPa。
通过对已探索的二元氢化物的理论数据挖掘，我们发现了氢化物高压性质的一般化学趋势，其高压下的热力学稳定性、成键特征和电声耦合等性质与组成元素在常压下的电负性差存在紧密的联系。
该研究工作为寻找稳定的固态氢化物以及探索高温超导电性提供了有价值的理论指导。
2. 发现了二元未填方钴矿材料FeSb3具有超低的本征晶格热导率，改变了人们在方钴矿体系中对热输运规律的传统认识。
室温下，FeSb3的晶格热导率只有1.14W/mK，是同类材料CoSb3的十分之一。
填充原子并未导致FeSb3的晶格热导率的降低，这改变了人们在方钴矿体系中的传统认识（填充原子会显著地降低方钴矿材料的晶格热导率）。
FeSb3中的超低晶格热导率主要来自于整个声子谱的软化，尤其是与结构中Sb-Sb共价键关联的低频光学支声子的软化相关。
3. 发现高电负性元素填充的方钴矿SnFe4Sb12具有超低的本征晶格热导率，为优化方钴矿材料的热电性能提供了新的途径。
《固体物理·黄昆》第六章
由于 F 外 只是外场对电子的作用力，它并不是电子所 受的合外力，因此， k并不是电子的真实动量，而 是电子的准动量就不难理解了。
在讨论晶体中电子的准经典运动时， k 是一个很有 用的量，它往往比电子的真实动量 mv 更有用。这 是因为在 k 空间中去理解电子的运动往往比在真实 空间中更容易。
电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的 物理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力， 而只考虑外场力对电子运动的影响。
倒有效质量张量的分量为：
1 2E 2 k k
倒有效质量张量对角化
若选kx, ky, kz在张量主轴方向上，则倒有效质量张量 可对角化。
2E k 2 x 1 0 2 0 0 2E k 2 y 0 0 0 2E k 2 z
第六章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
对第二类问题：
讨论晶体中的电子在外加场的作用下的运动规律。外 加场包括： 电场、磁场、杂质势场等。通常外场与晶 体的势场相比弱许多，可用电子在晶体周期性势场中 的本征态为基础进行讨论。 方法一 ：求解在外加势场 U 时电子的薛定谔方程 方法二：满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒 子来处理。如均匀电、磁场中各种电导效应。
F vk dt dk vk d (k ) vk
三、 加速度和有效质量
1 电子准经典运动的两个基本关系式 v k E k
电子的速度分量 电子的加速度分量
dv 1 F 比较，可定义有效质量m*和 与牛顿定律 dt m
1 dk E ( k ) 1 ( ) dt k k 2
第六章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
人们对晶体中电子的关注主要分为两大块：
清华大学考研专业课839固体物理考试范围及历年真题汇编
第二卷固体物理知识点（参考黄昆的书，学有余力也建议学习韦丹固体物理，各有特色）第一章晶体结构1.1 晶格的相关概念及几种不同晶格1.2 理解原胞概念1.3 晶面晶向的标定1.4 倒易点阵的定义及相关性质1.5 立方体、正四面体、正六角柱的对称操作1.6 五种旋转对称的推导1.7 十四种布拉伐格子，结合材料科学基础，弄清楚。
1.8 表1-2记住，材科基会考第二章固体的结合2.1 离子性结合的特点，推导马德隆常数，系统内能的表示，求平衡距离和体变模量2.2 共价结合的特点2.3 金属性结合的特点，排斥作用来源2.4 范德瓦尔斯结合的特点，Lennard-Jones 势的相关推导第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 了解简谐近似、简正坐标、振动模的概念3.2 格波、声子概念，一维单原子链的色散关系等计算，q 的范围，长波极限特点3.3 一维双原子链相关推导，q 的取值范围，声学波光学波的概念，长波极限的特点3.4 声学波，光学波的数量判断，q 的分布密度，第一布里渊区的概念，画法3.5 了解LST 关系3.6 确定色散关系的几种方法及其原理3.8 爱因斯坦模型和德拜模型的假设、结果、适用范围、缺陷及全部推导过程3.9 不同条件下推导晶格振动模式密度3.10 热膨胀产生原因3.11晶格热传导原理，热导率的影响因素，N、U过程，不同温度下晶格热导原理第四章能带理论4.1 布洛赫定理内容，简约波矢概念4.2 一维周期长中求带隙大小，解释其成因4.3 三维周期场的布里渊区和能带，SC、BCC、FCC的简约布里渊区及相关数据。
结合2015年十一题和课后4.8弄懂图4-114.5 紧束缚近似的概念，该近似下求SC、BCC、FCC的能带函数E（k）4.7 不同维度下求能态密度，近自由电子的等能面，费米面，费米半径的相关计算第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动5.1 波包概念，E、F、v、a、m*的相关公式及计算5.2 恒定电场下电子的运动过程，振荡频率5.3 导体、半导体、绝缘体的能带特点5.4 了解廊道能级概念5.5 回旋共振的应用5.6 德·哈斯-范·阿尔芬效应的原理及作用第六章金属电子论（可参考材科学习辅导第九章：功能材料基础）6.1 电子热容量公式（掌握大致证明过程），电子热容量与晶格热容量大小比较及原理6.3 了解定态导电过程中的玻尔兹曼方程6.4 了解弛豫时间的概念及电导率公式6.5 了解对各向同性散射过程中弛豫时间表达式的理解6.6 晶格散射的 U 过程和 N 过程，弛豫时间公式中包含的两个重要结论第七章至第十一章：出现频率极低，搞懂相关真题，学有余力关注其中一些概念即可。
计算晶格能的公式
计算晶格能的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：晶格能是固体材料中一种非常重要的物理量，它是描述固体内部晶格结构稳定性的一个重要参数。
在固体物理学中，晶格能通常用于描述晶体中原子或离子之间的相互作用力强度，是一个评价固体结构稳定性和形变行为的重要指标。
晶格能的计算方法有多种，其中一种常用的方法是利用电子结构理论和分子动力学模拟来计算固体的晶格能。
在电子结构理论中，晶格能可以通过计算晶体中原子或离子之间相互吸引或排斥的相互作用力来获取。
具体而言，电子结构理论将固体中的原子或离子看作是受到外部势场影响的粒子，通过计算这些粒子之间相互作用的库伦势和交换-相关能来得到晶格能。
晶格能的计算公式通常可以表示为以下形式：\[E_{\text{总}} = E_{\text{能带}} + E_{\text{核}} + E_{\text{排斥}}\]\(E_{\text{总}}\)表示晶格的总能量，\(E_{\text{能带}}\)表示晶格中电子的能带结构对晶格能的贡献，\(E_{\text{核}}\)表示核之间的库伦势能和交换-相关能对晶格能的贡献，\(E_{\text{排斥}}\)表示晶格中原子或离子之间的排斥力对晶格能的影响。
在实际计算中，通常会采用密度泛函理论（DFT）来计算固体的晶格能。
密度泛函理论是一种基于量子力学原理的电子结构计算方法，通过求解固体中电子的薛定谔方程来得到晶格的总能量。
在密度泛函理论中，采用交换-相关泛函来描述电子之间的交换和相关作用，从而得到晶体的总能量。
分子动力学模拟也是一种常用的计算晶格能的方法。
通过分子动力学模拟，可以模拟固体中原子或离子的运动行为，通过计算原子或离子之间的相互作用力和位移来得到晶格的总能量。
分子动力学模拟可以更直观地模拟固体内部的结构和性质，对于探索固体的晶格能具有重要意义。
计算晶格能是一个复杂而重要的问题，涉及到多种物理量和计算方法。
通过电子结构理论、密度泛函理论和分子动力学模拟等方法，我们可以得到固体的晶格能，从而进一步了解固体结构的稳定性和性质。
晶胞的综合计算知识点总结
晶胞的综合计算知识点总结一、晶胞的基本概念1. 晶体的基本概念晶体是由原子、分子或离子按照一定的规则排列而形成的固体物质，具有长程有序性和周期性。
晶体是材料科学的基础，它们在材料的物理性质、化学性质和加工工艺方面都具有重要的影响。
晶体的结构可以用晶胞来描述。
2. 晶胞的定义晶胞是晶体中最小的具有完整空间周期性的几何体，它是由重复排列的原子、分子或离子组成的。
晶胞在晶体结构的研究中具有基本的意义，可以描述晶体的周期性结构和晶格。
3. 晶体的几何结构晶体的几何结构可以用晶胞的几何形状和晶格参数来描述。
晶格参数包括晶胞的边长和夹角，它们可以用来描绘晶胞的形状和晶体的几何结构。
4. 晶体的空间群晶体的空间群是指对称性元素与晶胞所具有的平移关系。
晶体学中有32个立体群，它们是对称性元素在三维空间中的所有可能组合。
空间群可以用来描述晶体的对称性和空间结构。
5. 晶体的晶体学指数晶体的晶体学指数是指晶胞的晶向和晶面的指数，它可以用来描述晶胞的空间排列和晶体的晶格结构。
晶体学指数对于研究晶体的晶格和晶面特征具有重要的意义。
二、晶体结构的综合计算方法1. 密度泛函理论密度泛函理论是量子化学中的一种重要理论方法，它可以用来计算固体材料的电子结构和物理性质。
密度泛函理论是基于电子的波函数密度来描述固体材料的物理性质，它可以用来计算晶体的几何结构、电子能带结构、光学性质等方面的信息。
2. 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种用数值方法来模拟原子或分子在时间上的运动的方法，它可以用来研究晶体的热力学性质和动力学性质。
分子动力学模拟可以计算晶体的热膨胀系数、热传导系数、热导率等方面的信息。
3. 自洽场方法自洽场方法是一种计算电子结构的方法，它可以用来计算固体材料的电子能带结构、带隙能量、电子态密度等方面的信息。
自洽场方法是基于量子力学的理论，在计算固体材料的电子结构和物理性质方面具有重要的应用价值。
4. 第一性原理计算方法第一性原理计算方法是一种基于量子力学的理论方法，它可以用来计算固体材料的几何结构、电子能带结构、光学性质等方面的信息。
固体物理学习笔记
固体物理学习笔记固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态及其相互关系的科学。
它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科。
固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。
固体的内部结构和运动形式很复杂，这方面的研究是从晶体开始的，因为晶体的内部结构简单，而且具有明显的规律性，较易研究。
以后进一步研究一切处于凝聚状态的物体的内部结构、内部运动以及它们和宏观物理性质的关系。
这类研究统称为凝聚态物理学。
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。
简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
新的实验条件和技术日新月异，为固体物理不断开拓出新的研究领域。
极低温、超高压、强磁场等极端条件、超高真空技术、表面能谱术、材料制备的新技术、同步辐射技术、核物理技术、激光技术、光散射效应、各种粒子束技术、电子显微术、穆斯堡尔效应、正电子湮没技术、磁共振技术等现代化实验手段，使固体物理性质的研究不断向深度和广度发展。
由于固体物理本身是微电子技术、光电子学技术、能源技术、材料科学等技术学科的基础，也由于固体物理学科内在的因素，固体物理的研究论文已占物理学中研究论文三分之一以上。
同时，固体物理学的成就和实验手段对化学物理、催化学科、生命科学、地学等的影响日益增长，正在形成新的交叉领域。
固体物理对于技术的发展有很多重要的应用，晶体管发明以后，集成电路技术迅速发展，电子学技术、计算技术以至整个信息产业也随之迅速发展。
其经济影响和社会影响是革命性的。
这种影响甚至在日常生活中也处处可见。
第六章 晶格动力学
第六章 晶格动力学 6.1 密度泛函微扰理论固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1 基于电子结构理论的晶格动力学从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值ε和本征函数()ΦR 决定。
()()()2222I I I E M εΦΦ⎛⎫∂-+= ⎪∂⎝⎭∑R R R R (6.1.1) 这里I R 是第I 个原子核的坐标，I M 是相应原子核的质量，{}I ≡R R 是所有原子核坐标的集合，()E R 是系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer 能量表面。
凝聚态物理导论
凝聚态物理导论陆小力EMAIL：xllu@电话：158********办公室：东大楼，208A1预备知识:固体物理+量子力学学习目标：两个深化+两个面向•方法上: 固体(多体)理论•体系上：凝聚态物理•面向学科发展前沿•面向实际体系2, 北京大学出版社, 上海科学技术出版社第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章第九章第十章第十一章第十二章第十三章成绩平时成绩（20％）＋考试成绩（80％）平时成绩：考勤+projectProject 报告（命题阅读报告，基于阅读多篇文献后的读书报告）口头ppt+报告电子版word期末考试：闭卷7凝聚态物理从微观角度出发,研究相互作用多粒子系统组成的凝聚态物质(固体和液体)的结构和动力学过程, 及其与宏观物理性质之间关系的一门科学.凝聚态物理的重要性(1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经典科学提供了量子力学基础.(2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管,超导磁体,固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. 对通信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事技术也产生了深刻的影响.810(1922.7.18-1996.6.17)121.1 范式1.什么叫范式? (Paradigm)An example that serves as pattern or model.样式作为样本或模式的例子2.学科的范式联贯的理论体系一个学科的成熟以其范式的建立为标准范式对学科从整体上把握有重要意义133. 学科发展的范式科学的演化是经过不同阶段循环发展的过程。
1.前范式阶段(pre-paradigm)2.常规科学阶段(normal science)3.反常阶段(anomaly)4.危机阶段(crisis)5.科学革命阶段(scientific revolution)6.新范式阶段(new paradigm).科学发展过程中，范式的转换构成了科学革命。
固体物理(清华大学)--N01_C03A
第三章：晶体结构(Crystal Structures)3.1 晶格的几何描述(Geometrical description of crystals) （略）严格地讲，由于表面、原子振动、杂质(最小浓度为10-12cm-3)等的存在,没有完美的晶体.“完美”晶体的讨论基于表面、振动、杂质等缺陷对要讨论的晶体性质的影响可忽略不计。
晶体的非完美性本身大多是很有意义的课题：例如原子振动之于电阻、杂质之于半导体等.晶格(Crystal lattice)：用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形（区分不同原子）.处于原子平衡位置的几何点被称为格点(Lattice site).基矢(Basis)：在Bravais点阵中,人为选取的与晶格维数同样多的一组矢量,使得晶格中任意两个格点间的位移矢量(即格矢量,position vectors)可以表达为该组矢量的整数线性组合.基矢的选取不唯一。
在三维布拉伐晶格中, 格矢量R na mb lc=++，其中a b c,,为一组基矢。
二维布拉伐晶格中格矢量R na mb=+，其中a b,为一组基矢。
原胞(Primitive unit cell)：产生完全平移覆盖的晶格最小单元。
不唯一，以方便为准。
同一晶格中的各种原胞选择之间体积大小相同.Bravais点阵的原胞只含一个原子,非Bravais点阵的原胞含多个原子。
Wigner-Seitz原胞由Bravais点阵中以一个格点为中心的最短和次短的格矢量的中垂面围合而成。
原胞与基矢的围合不一定一样(变形虫可以满铺二维空间).例子：三角晶格，计算面积。
单胞(Conventional unit cell)：为更好显示晶格的旋转和镜像反射对称性而选的一倍或几倍于原胞的晶格单位. 注意单胞的定义与非Bravais点阵无关.晶格常数a通常指单胞的边长。
例子：三角晶格。
晶向(Direction)：晶向的概念是以格点组成互相平行的直线，再构成晶体。
晶格的动力学
晶格的动力学晶格是固体中最基本的结构单元之一，其动态行为对固体性质的影响十分重要。
晶格动力学研究的是晶格振动的性质、规律及其对物质性质的影响。
本文将简要讨论晶格的动力学行为以及相关概念、理论基础和应用。
一、晶格动力学的概念和基本理论晶体结构中原子结合强度很大，但在温度为0时仍会发生微小的振动。
这是由晶格中原子和分子具有动能而引起的。
晶格动力学研究的对象就是晶格的振动行为。
晶格的振动具有波动性和粒子性两种特征，而波动性则可以用晶格波来表征。
晶格波实际上是晶格中所有原子的振动的总和，这种振动由于遵守波动方程，故具有波长和频率的概念。
晶格振动的形式可以简单分为两种：一种是晶格高度完整，只在原位作固有振动，称为“规则振动”；另一种是晶格形态发生了变化，即出现了缺陷，这时晶格中的部分原子或分子被分离出去而形成“不规则振动”。
晶格动力学的理论基础主要是固体物理学、热力学和量子力学。
热力学研究固体中的温度、压力等环境因素对固体性质的影响，而量子力学则解释了固体中原子的运动规律和能量带结构的形成规律，这些都为晶格动力学的研究提供了基础和方法。
二、晶格振动的种类和特性晶格振动的种类主要分为长波和短波两种。
长波振动是指波长远大于原子间距的振动，由于这种振动的波长非常长，因此可以用连续介质模型来考虑。
短波振动则是波长小于原子间距或近似于原子间距的振动，其振动需要考虑原子之间的相互作用，这种振动在热力学和量子力学中都有重要应用。
晶格振动的特性主要体现在振动的频率、振幅、相位等方面。
其中，振动频率是晶格振动最基本的特征之一，其值与晶格的某一方向上的弹性常数和离子势场有关。
振幅则表示振动所具有的振幅大小，其值受到外力、物理环境和固体弹性常数的影响。
相位则表示振动的起始和结束位置之间的位移差，主要与波动的相位相近的原子间有关。
三、晶格振动的应用及发展趋势在物理学、工程学和材料科学等领域中，晶格振动具有广泛的应用价值。
例如在声学传感器、计算机等电子设备以及超导、光学、光声和光电等领域中，晶格振动理论的研究可以促进设备的制造和性能的提升。
固体物理答案
第六章6.1 一维周期场中电子的波函数()x k ψ应满足布洛赫定理，若晶格常数为a ，电子的波函数为（1）()x a x k πψsin =（2）()x a i x k πψ3cos=（3）()()∑∞-∞=-=i k a x f x ψ （f 是某个确定的函数）试求电子在这些状态的波矢 解：布洛赫函数为()()x e a x k ika k ψψ=+ （1）x ax aa x aππππsin)sin()(sin-=+=+x ae a x aika ππsin)(sin=+ 1-=∴ika e ，π±=ka ，ak π±=（2）()x a i x a i a x a i ππππ3cos 33cos 3cos-=⎪⎭⎫⎝⎛+=+ 同理，1-=∴ikae，π±=ka ，ak π±=（3）()[]∑∑∞-∞=∞-∞=--=+- a x f a a x f )1(()()∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=a x f a x f '' 此处1'-= ，1=ika e ，π20或=ka ，ak π20或= 6.2已知一维晶格中电子的能带可写成()⎪⎭⎫⎝⎛+-=ka ka ma k E 2cos 81cos 8722 ，式中a 是晶格常数，m 是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，（3） 在带顶和带底的电子的有效质量解：能带宽度为 m i n m a x E E E -=∆， 由极值条件 ()0=dkk dE ， 得0cos sin 21sin 2sin 41sin =-=-ka ka ka ka ka 上式的唯一解是0sin =ka 的解，此式在第一布里渊区内的解为ak π或0=当k ＝0时，()k E 取极小值min E ，且有()00min ==E E当a k π=时，()k E 取极大值max E ，且有22max 2maa E E=⎪⎭⎫ ⎝⎛=π 由以上的可得能带宽度为22minmax 2ma E E E =-=∆（2）电子的平均速度为()⎪⎭⎫⎝⎛-==ka ka ma dk k dE v 2sin 41sin 1（3）带顶和带底电子的有效质量分别为 m ka ka m k E m a k ak ak 322cos 21cos 122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=±=-±=±=*πππ12200201cos cos 222k k mm ka ka m E k -*==⎡⎤⎢⎥⎛⎫==-=⎢⎥ ⎪∂⎝⎭⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦6.2 一维周期势场为()()[]⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-+≤≤---=bna x b a n b na x b na na x b mW x V )1(021222当当，其中b a 4= ，W 为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 n g V E 2= ，其中n V 是周期势场()x V 傅立叶级数的系数，该系数为：()dx e x V a V nx ai a a n π22/2/1--⎰=求得，第一禁带宽度为()dx e x V a V E xa i a a g π22/2/11221--⎰==[]dx e x b mW bnx a i bb π22222412--⎰-=[]dx x b x b mW bbb ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰-2cos 2412222π3228πb mW =第二禁带宽度为()dx e x V a V E xa i a a g π42/2/21221--⎰==[]dx e x b mW bx a i bb π--⎰-=2222412[]dx x b x b mW bbb ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰-πcos 2412222222πb mW =6.3 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s 态电子能带，画出()k E ，()k m *与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。
[晶格,经典著作,动力学]物理学经典著作《晶格动力学理论》评析
![[晶格,经典著作,动力学]物理学经典著作《晶格动力学理论》评析](https://img.taocdn.com/s3/m/f79967f7192e45361166f591.png)
物理学经典著作《晶格动力学理论》评析摘要：晶体原子最基本的运动方式之一就是围绕平衡位置进行微小振动，晶格动力学研究的主要内容是固体热学、电学、光学性质受晶格震动、晶格原子震动、晶体结构的影响。
黄昆和马克思?玻恩合著的《晶格动力学理论》以量子力学为基础，对晶格动力学进行了全面深入的论述。
本文将对《晶格动力学理论》一书的历史进行介绍，并在此基础上阐述个人对于该书的感悟。
关键词：晶格动力学理论物理《晶格动力学理论》是20世纪物理学家黄昆和马克思?玻恩合著的权威物理学著作，该著作对于晶格动力学的发展具有重要意义，当前这本著作仍是物理学研究的主要依据和参照。
该书分为两部分，这两部分分别由黄昆和玻恩主写，其中黄昆写的是第一部分基础理论，这一部分对于继续学习和阅读第二部分至关重要，也是吸引读者进行深入阅读的部分。
第二部分是普遍理论，这部分的内容更加抽象，是建立在第一部分基础之上的。
这部著作的形式和内容设置是由黄昆确定的，他在第一部分对该书内容进行了基础性的阐述，使得更多人开始接触这一领域并且能够更加容易地理解第二部分。
在我国物理学研究中很多学者使用了这一权威著作，对我国在该领域的发展做出了重要贡献。
一、《晶格动力学理论》概述玻恩是量子力学和晶格动力学两个领域的开创者，量子力学建立后，他便开始尝试对晶格动力学理论进行重新阐述，随后便产生了《晶格动力学理论》这一著作。
第二次世界大战开始后，他又继续写了几个章节，但是之后由于各种原因写书一事就停了下来。
直至1947年，黄昆将耗时一年半完成的论文在布列斯托大学发表，然后他又去拜访了玻恩，二人对晶格动力学都开展了深入的研究，玻恩让黄昆浏览晶格动力学理论一书的手稿，之后二人便开始合作写书。
该著作出版后就被用作固体物理学教学书使用，同时其他晶格动力学专著的写作也常常借鉴其中的内容。
通过学习该著作，很多物理学家开始走入晶格动力学这个领域，晶格动力学权威W.Cochran在他的著作中强调了《晶格动力学理论》在该学科的地位仍是无法撼动的。
清华大学微电子本科生培养课程设置
•一、简介微纳电子系本科生一级学科名称为电子科学与技术，二级学科名称为微电子学。
二、课程设置课程编号：30260093 课程名称：固体物理学课程属性：专业核心课开课学期：09秋任课教师：王燕内容简介：固体物理学是固体材料和固体器件的基础。
该课程主要研究晶体的结构及对称性，晶体中缺陷的形成及特征，晶格动力学，能带理论的基础知识以及晶体中的载流子输运现象等。
是微纳电子专业的核心课。
课程编号：40260103 课程名称：数字集成电路分析与设计课程属性：专业核心课开课学期：09秋任课教师：吴行军内容简介：本课程从半导体器件的模型开始，然后逐渐向上进行，涉及到反相器，复杂逻辑门（NAND，NOR，XOR），功能模块（加法器，乘法器，移位器，寄存器）和系统模块（数据通路，控制器，存储器）的各个抽象层次。
对于这些层次中的每一层，都确定了其最主要的设计参数，建立简化模型并除去了不重要的细节。
课程编号：40260173 课程名称：数字集成电路分析与设计（英）课程属性：专业核心课开课学期：09秋任课教师：刘雷波内容简介：数字集成电路的分析与设计，包括：CMOS反相器、组合和时序逻辑电路分析与设计、算术运算逻辑功能部件、半导体存储器的结构与实现、互连线模型与寄生效应的分析。
并介绍常用数字集成电路的设计方法和流程。
课程编号：30260072 课程名称：微电子工艺技术课程属性：专业核心课开课学期：09秋任课教师：岳瑞峰内容简介：本课程授课目的是使学生掌握微电子制造的各单项工艺技术，以及亚微米CMOS集成电路的工艺集成技术。
本课程讲授微电子制造工艺各单项工艺的基本原理（包括氧化、扩散、离子注入、薄膜淀积、光刻、刻蚀、金属化工艺等），并介绍常用的工艺检测方法和MEMS加工技术、集成电路工艺集成技术和工艺技术的发展趋势等问题。
另通过计算机试验，可学习氧化、扩散、离子注入等工艺设备的简单操作和模拟。
课程编号：40260054 课程名称：半导体物理与器件课程属性：专业核心课开课学期：09春任课教师：许军内容介绍：主要讲授半导体材料的基本物理知识，半导体器件的工作原理以及现代半导体器件的新进展。
固体物理学中的晶格结构与动力学
固体物理学中的晶格结构与动力学固体物理学是研究固体物质的性质和行为的科学分支，其中晶格结构与动力学是其核心内容。
晶格结构是指固体物质中原子、分子或离子的排列规律，而动力学则是研究固体物质中原子、分子或离子的运动行为。
一、晶格结构的基本概念晶格结构是固体物理学中的重要概念之一，它描述了晶体中原子、分子或离子的周期性排列。
晶体可以看作是由一组重复单元构成的。
这个重复单元称为晶胞，通过晶胞的重复堆积可以得到整个晶体的结构。
晶格结构的种类很多，最常见的是立方晶格，它是以立方形状的晶胞为基础构建的。
此外，还有六方晶格、正交晶格、四方晶格等。
晶格结构不仅仅是一种几何排列的描述，它还涉及到原子间的相互作用。
原子间的结合方式决定了晶体的性质，例如金属的导电性、晶体的硬度等。
二、晶格动力学的研究对象晶格动力学研究的是晶体中原子、分子或离子的运动行为。
在固体中，原子、分子或离子的振动是晶格动力学的主要研究对象。
晶格振动可以分为两种类型：声子振动和局域振动。
声子振动是晶格中原子、分子或离子的协同振动，也可以看作是固体中的一种波动现象。
而局域振动则是指晶格中某个特定原子、分子或离子的振动。
晶格动力学的研究对于了解固体物质的热性质、声学性质等方面具有重要意义。
通过研究晶格振动的频率和模式，可以揭示晶格的能量传递机制、热导率等特性。
三、晶格结构与动力学的相互关系晶格结构和动力学之间存在着密切的联系。
晶格结构决定了晶体中原子的排列方式，而原子间的排列方式又会影响晶体的振动行为。
举个例子，如果一个晶体的晶格结构发生了变化，那么晶体中原子间的相互作用也会发生改变，从而影响到晶体的振动模式和频率。
这种变化可能导致晶格振动的谱线发生移动或扩宽，通过观察这些变化，可以推断出晶体的结构发生了变化。
另外，晶格结构的不均匀性也会对晶格动力学产生影响。
当晶体中存在缺陷或杂质等不均匀性时，会引发局部的原子振动有所差异，从而影响到整体的晶格振动。
《晶格动力学讲稿》课件
晶格动力学的经典理论模型
01
02
03
弹性力学模型
将晶格视为弹性连续体， 通过弹性力学理论来描述 晶格的动力学行为。
哈密顿量模型
将晶格中的原子或分子的 运动视为经典力学中的粒 子运动，通过哈密顿量来 描述晶格的动力学行为。
牛顿运动方程
通过牛顿运动方程来描述 晶格中原子或分子的运动 ，可以更精确地描述晶格 的动力学行为。
晶格振动与声子
晶格振动模式
晶格是由原子或分子构成的周期性结构，原子或分子的相对位置发生变化时会产生晶格振 动。晶格振动模式可以分为光学模式和声学模式。
声子与能量传递
声子在晶格中传播时，会与其他粒子发生相互作用，传递能量和动量。声子是晶格中能量 传递的重要载体。
声子的统计性质
在热力学平衡状态下，声子遵循Bose-Einstein统计分布，表现出粒子数的涨落和热辐射 等特性。了解声子的统计性质对于理解晶格动力学的热力学性质和相变机制具有重要意义 。
材料力学性质的预测
弹性模量
晶格动力学理论可以用于预测材料的弹性模量，通过分析晶 格振动对材料宏观力学性能的影响，可以计算出弹性模量的 大小。
强度与韧性
利用晶格动力学的理论模型，可以预测材料的强度和韧性， 了解材料在不同受力条件下的力学行为和破坏机制。
06
未来研究方向与展望
新型计算方法的探索
机器学习算法的应用
基态求解
密度泛函理论的核心是求解多电 子系统的基态，常用的方法有 Kohn-Sham方法和HartreeFock方法等。
交换关联泛函
密度泛函理论中，需要选择合适 的交换关联泛函来描述电子间的 相互作用，不同的泛函会导致不 同的计算结果。
05
固体物理复习资料情况总结
第一章 晶体结构1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。
答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。
当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩rr r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r213422()()4a b i j k i j k a aππ∴=⨯⨯-++=-++r r rr r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
所以，面心立方的倒格子是体心立方。
（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩rr rrrr rrrr rr由倒格子基矢的定义：1232()b a aπ=⨯Ωr r r3123,,222(),,2222,,222a a aa a a aa a aa a a-Ω=⋅⨯=-=-r r rQ，223,,,,()2222,,222i j ka a a aa a j ka a a⨯=-=+-rr rrrr r213222()()2ab j k j ka aππ∴=⨯⨯+=+r r rr r同理可得：232()2()b i kab i jaππ=+=+r rrr r r即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
固体物理答案第六章1
(2)
而速度 v 1 dE h dk
代入(2)式，并应用关系式
h
dk dt
Fe
固体物理答案第六
章1
可得
dv 1
dt h2
d2E dk2 Fe
Fe m*
(3)
式中
m*
h2
/
d2E dk2
为电子的有效质量。
联合(1)(3)两式，即得
m* m Fe Fe FL
固体物理答案第六 章1
6.4
证明：对于能带中的电子，k 状态和
(1)证明其s态电子的能带为
Ek Emi n4Jsi2n 1 2ak
式中，Emin 为能带底部的能量；J为交迭积分.
(2)求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子的有效质量。
证明：（1）在一维情况下，用紧束缚近似讨论晶体电子的能量，
结果可写成
最近邻
EkE0A
e J i2kRnRs sn
(1)
固体物理答R 案n 第六
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
简单立方晶体中的电子，其能带顶在布里渊区中心。 固体物理答案第六 章1
在布里渊区中心，电子的有效质量为
m
2 2E
2
Aa 2
k
2 i
ki 0
由此可知A=2。
（2）电子能带
E 2 k c x a c o k y o a c s k s z o a B s
Emax 4J 2a2k 2
Emax
h2 2mt*
k 2
式中
mt*
h2
8J2a2
为能带顶部电子的有效质量，因为
J 0
，故
固体物理教学课件：Chapt3-6
3、格律乃森方程：
由热力学定律可知：
∑ P =
−
∂F ∂V
T
∑ ( ) = − dU 0 −
dV
= − dU 0
∂kBT −
qs
ln(1 − e−ωs (q)/kBT )
dV
∂V
e−ωs (q)/kBT dωs q
1− e qs
−ωs (q)/kBT
dV
∑ = − dU 0 dV
−
qs
ωs (q) 1
∂U V (T ,V
∂T
)
V
= γ CV
CV : 晶体定容比热
=
−V
∂P ∂V
T
1 V
∂V ∂T
P
= κα
κ : 体积弹性模量
α : 热膨胀系数
考虑热力学关系：
∂P ∂V ∂T = −1 ∂V T ∂T P ∂P V
γ = καV 1-3之间
CV
关于热力学关系
∂P ∂V
π
−∞
a
1
∫ ∫ 分母 ≈
∞
e− fδ2
kBT (1 +
gδ3
)dδ
∞
= e− fδ2 kBT dδ
−∞
kBT
−∞
=
πkBT f
2
δ
3 4
g f2
kBT
> 0,
线膨胀系数=α
1= dδ a dT
3 gkB , 4 f 2a
更高次项展开，膨胀系数将依赖于温度
M2
V = Na
q = 2πh , Na
qa = 2π h ，与a无关
N
γ = − d ln ωs (q) = − 1 d ln ω2 (q)
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清华大学固体物理：第六章晶格动力学6.1固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。
,22ERRR,,, (6.1.1) 22MRIII这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。
ER是在固定原子核场中运动的R相互作用电子系统的基态能量。
他们依赖参量作用在电子变量上的哈密顿量为 2222Zee1IHERR (6.1.2) 2BONijiI22mrrRiIirrij这里eER是第I个原子核的电荷数，是电子电荷，是不同核之间的静电相互作用： ZNI2ZZeIJER (6.1.3) NIJ2RRIJ系统的平衡几何排布由作用在每一个原子核上为零决定：ERF0 (6.1.4) IRI而振动频率,由Born-Oppenhermer能量的Hassian本征值决定，由原子核的质量标度为：2ER12 (6.1.5) det0,RRMMIJIJ这样系统平衡几何排布和振动性质的计算实际是计算Born-Oppenhermer能量表面的一阶和二阶微分。
实现这一目标的基本工具是Hellmann-Feynman定理：依赖于参数哈密顿量本征值的一阶微分由哈密H,,顿量微分的期待值给出：EH,,,, (6.1.6) ,,,,是对应于本征值哈密顿量的本征函数：HE,,。
在Born-Oppenhermer中原子核的坐标作,EH,,,,,,,为方程（2）中电子哈密顿量的参数。
在电子基态作用在第I个原子核上的力为EHRRBOFRR,, (6.1.7) IRRII,rR,是Born-Oppenhermer哈密顿量的电子基态波函数。
这个哈密顿量通过电子－离子相互作用依赖R于，电子－离子相互作用仅仅通过电子电荷密度耦合到电子自由度。
在这种情况下Hellmann-Feynman定理表述为172VErRRN (6.1.8) FrrndIRRRII这里Vr是电子和原子核之间的相互作用 R2ZeIr (6.1.9) VRiIiIrRRnr是对应于原子核排布的基态电子电荷密度。
在方程（5）中出现的Born-Oppenhermer能量表面的RHessian是通过Hellmann-Feynman力相对于原子核坐标的微分得到的：222EnVVERrrrRFNIRRR (6.1.10) dndr+rr+RIJJJIIJIJRRRRRRRRR方程 (6.1.10) 说明Born-Oppenhermer能量表面的Hessian计算需要计算基态电子电荷密度nr和原子R核几何排布变形的线性响应nrR。
这个Hessian矩阵通常称为原子间力常数矩阵。
RI2Hohenberg-Kohn根据前面的讨论，相应于原子核坐标的Born-Oppenhermer能量表面微分的计算需要电子电荷密度分布的知识。
这实际上是 Hohenberg-Kohn 定理描述的相互作用电子系统一般性质的特例。
根据这个定理，不可能有两个不同的势作用在给定系统上给出相同的基态电子电荷密度。
这个性质和标准的量子力学的Reyleigh-Ritz 变分原理一起显示存在电子电荷密度普适泛函，这个泛函(6.1.11) EnFnnVdrrr在nrVr的积分等于总电子数的约束下相应于外加势的基态的电子电荷密度的情况下取极小值。
这个极小值就是基态能量。
这个定理提供了现行的密度泛函理论的基础。
这允许对探求具有相互作用的电子系统基态性质的量子力学问题进行巨大的概念的简化，传统的依赖于N个电子，3N独立变量的波函数的描述，被易处理的只有3个变量的电荷密度代替。
妨碍这个不平常的简单结果直接应用的两个主要问题是：(1) F函数的形式是不知道的，(2) 满足nr作为一个可接受的基态电荷分布和F函数的域的条件很不清楚。
这第二个问题几乎不被强调，通常是利用拉格朗日乘子使电荷密度适当正交化的内容。
第一个问题可以通过将系统变换到一个没有相互作用的电子系统（Kohn-Sham）。
Kohn-ShamHohenberg-Kohn定理说明了相互作用电子系统的所有物理性质都唯一地由此电子系统的基态电荷密度分布决定。
这个性质不依赖于电子电子相互作用的精确的形式。
特别是当电子电子相互作用强度消失时，FnTn定义为无相互作用电子系统的动能，作为基态电荷密度分布的泛函。
这个事实1965年被0Kohn-Sham用来将一个相互作用的电子系统变换到一个等价的无相互作用的系统。
结果这个不知道的泛函Fn投射为2nnrr'eFnTnddEnrr' (6.1.12) 0XC2'rr第二项是电子电荷密度分布的经典静电自相互作用。
由 (6.1.12) 式定义的En 被称为交换相关能。
在XC电子数不变的条件下能量泛函相对于nr的变分在形式上导致一个相同的方程，这个方程对无相互作用电子系统成立，这些电子感受到一个有效势，也称为自洽场势，他的形式为：nr'2VVedrrrr', (6.1.13) SCFXCrr'其中,EXC,r (6.1.14) XC,nr是交换相关能的泛函导数。
也称为交换相关势。
这个技巧的威力在于，如果知道了有效势Vr，无相互作用多电子问题就可以很一般地解出，不SCF需要知道无相互作用动能泛函T的形式。
最后，简单地解单电子薛定谔方程：022Vrrr,,ε (6.1.15) 2SCFnnn2mr173基态电荷密度分布和无相互作用动能泛函借助于辅助的Kohn-Sham轨道,r得到： nN22 (6.1.16) nrr2,nn1222N,rn (6.1.17) Tnd2,rr0n21n2mrN是电子数。
系统假定为非磁的。
在最低的个轨道的每一个轨道上容纳自旋相反的两个电子。
在周N2k期系统中，指数n可以通过两个指标取遍所有的占据态：n,,k，,指明一组价带，是属于第一布里渊区的波矢。
在方程 (6.1.11) 和 (6.1.12) 中给出的基态能量可以按照Kohn-Sham本征值等价地表示出来：N22nnrr'e (6.1.18) EnddEnnnd2'εrrrrr,nXCXCn12'rr方程 (6.1.15) 有非线性薛定谔方程的形式，他的势通过电子电荷密度分布依赖于自己的本征函数。
一旦交换关联能的明确的形式可以得到，这个方程可以用种种方法以自恰的方式解出。
如果交换关联能有一个精确的合理的容易使用的近似，Kohn-Sham方案建立了一个实用的途经实现密度泛函理论En。
1965年Kohn和Sham在他们的原始论文中提出一个假定：系统的每一个电荷密XC度被认为是常数的小体积，贡献一个和相同体积相同密度均匀电子气相同的交换关联能。
依照这个假定，交换关联能泛函和势为：Ennndεrr (6.1.19) XCXCnnrdnεXCnnn,rε (6.1.20) XCXCdn nnrεn是密度为n的均匀电子气中每一个粒子的交换关联能。
这个近似称为局域密度近似（LDA）。
XCεn的近似形式已经知道很长时间了。
由Ceperley和Alder给出的从几乎精确的Monte Carlo计算得XC到的均匀电子气的数值结果，被Perdew和Zunger用简单的解析形式参数化了。
最近Ortiz和Ballone提出了更精确的参数化形式。
所有这些不同的形式在和凝聚态物质应用相关的电子密度范围内是非常相似的并产生非常类似的结果。
LDA在高密度极限和缓慢变化电荷密度分布的情况下是精确的。
尽管这个近似极其简单，已经取得了比原来期待的更为成功。
对于弱关联的材料，如半导体和简单金属，LDA近似精确地描述了结构和振动性质：正确的结构往往具有最低的能量。
而键长、体积模量和声子频率精确到百分之几之内。
LDA也具有一些共知的缺点。
基态内聚能和分子键能的过分高估（～20％）可能是这个近似的最坏的失败。
同时也不能恰当地描述强关联系统如过渡金属氧化物。
已经作了寻找比LDA更好泛函的努力。
对于LDA的梯度修正是近年来普遍采用的。
梯度修正改善在有限和半无限系统中电子关联的重要性。
如分子和表面，而在无限晶体中没有什么用处。
一般说，LDA是一个基态理论，而Kohn-Sham本征值和本征矢没有一个很好的定义。
不过，在没有更好的同样普遍的方法情况下，Kohn-Sham本征值常常用来估算激发能。
用此方法得到的固体中的低能带的特征一般认为至少定性的是正确的，尽管事实上都知道LDA充分地低估了绝缘体中的光学能隙。
3在晶态固体中，出现在原子间力常数定义方程 (6.1.5) 中的原子核的位置通过指数I来标注。
它指明单胞l及其中给定原子的位置Ils,。
第I个原子的位置为：RRul (6.1.21) IlssulR是第l个单胞在布拉菲格子中的位置。
是原子在这个单胞中的平衡位置。
是原子核位置从平sls衡位置的偏离。
由于平移不变性，方程 (6.1.10) 中的原子间力常数矩阵仅仅通过差RRR依赖于 lm2E,,,,ClmC,RR (6.1.22) ststlm,,ulumst,,,,RCq上标希腊字母指明笛卡尔分量。