清华大学固体物理：第六章晶格动力学

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固体物理教程

解理面是能量相对较低的稳定面
物理常数的各项异性：弹性常数、压电常数、介电常数、电导率等，采用张量表示
27
6.晶体的对称性:
晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性质在不同的方向上有规律地重复出现，称为晶体的对称性。
7.晶体固定的熔点:
给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。
S.Ijima, Nature 358, 220 (1991)
20
石墨烯(Graphene)
A. K. Geim, Science 306, 666 (2004)
21
晶体的共性
1 长程有序性
—晶体中的原子都是按一定顺序规则排列，至少在微米量级范围内是有序排列
—长程有序是晶体材料具有的共同特征 —在熔化过程中，晶体长程有序解体时对应着一定熔点
为原胞，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。
37
特点: (1) 体积最小的重复单元 (2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。 (3) 每个原胞平均包含一个格点 (4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。原胞的选取不是唯一的，但它们的体积相等。
38
晶胞（惯用原胞、布喇菲原胞）：为反映晶体的对称性，重复单元不一定取最小。

固体物理

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 D (e) 0 1 D( 2 ) 2 3 2 1 D(C3 ) 2 3 2 0 1 1 0 D( 1 ) 0 1 1 3 2 2 D ( 3 ) 1 3 2 2 1 3 2 2 D(C3 ) 3 1 2 2
g 'j g i g j g i1 和 g j 称为互相共轭的元素。
所有互相共轭的元素的集合称为类。
例： C 3 群是 C3v 群的一个不变子群。 C3v 群可以划分成三类
{e}, {C3 , C3 }, { 1 , 2 , 3 }
e C 3 C 3
e e C 3 C 3
固体物理课的内容
• • • • • • • 晶格动力学能带理论半导体电子理论固体的磁性固体中的元激发固体光学性质缺陷
参考书籍
• • • • 李正中，固体理论方俊鑫、陆栋，固体物理（上、下）方容川，固体光谱学曾谨言，量子力学（附录部分）
群论简介
• 群的基本概念 • 群表示论的基本定理
D( g i g j ) D( g i ) D( g j )
在 D(G) 中， G 中元素 g i 对应的矩阵 D( g i ) 称为与元素 g i 在表示 D(G) 中的表示矩阵， D( g i ) 的迹

高等固体物理第五章晶格振动与晶体热学性质

第n个原子的平衡位置的位置矢量 R n
设它偏离平衡位置的位移矢量 n(t)
( Rn l1a1 l2 a2 l3a3 )
则原子的位置矢量
R
'n
R n
n (t)
N个原子的位移矢量共有3N个分量 i (i 1, 2, 3, ..., 3 N )
N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
V(R'1,R'2,...,R'N)V(1,2,...,N)V(1,2,3...,3N) V 03 i N 1( V i)0i 1 2i,3 jN 1 ( i2 Vj)0i j 高阶项
简正振动：晶体中所有原子参与振动，振动频率相同。
3N
简正坐标的定义： mi i aijQj j1
3N
Q i bij j j 1
简正振动模：一个简正坐标所表示的振动。
是振动圆频率，当只考察一个的振动时，其振动方程可以表示为，
i 1mi 3jN1aijAj sin(jtj)
Beihang University
Aei[t(n1)aq] n1
m2(eiaqeiaq2)
2 4sin2(aq) --- 色散关系
m2
可知，只要和q满足上述色散关系，则 nq是原子运动方程的解。
Beihang University
2021/3/9

固体物理（胡安）课后答案（可编辑）

固体物理(胡安)课后答案

第一章晶体的结构及其对称性

1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。

解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。

1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。为整数。问下列情况属于什么点阵?

(a)当为全奇或全偶时;

(b)当之和为偶数时。

解:

当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构

1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?

解:是离子晶体,属于氯化钠结构。

1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为

(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞

1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积

倒格子基矢

倒格矢:

晶面间距

1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵

1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而

固体物理总复习

晶体结构要
晶体特征和晶格的实例晶体的周期性晶向，晶面和它们的标志倒格子晶体的宏观对称性点群晶格的对称性晶体表面的几何结构 X-射线衍射与晶体结构
晶格结构
对称性
§1 晶体特征与晶格的实例
1. 固体类型：晶体，非晶体，准晶（各有何特点） 2.晶体种类单晶体，多晶体，液晶。 3. 单晶体的宏观特征
2) 晶体的排斥能
3) 晶体的内能（NaCl为例）
q 2 b A B U N [ 6 n ] N [ n ] 4 0 r r r r
4) 晶体的结合能计算
内能～体积函数的一般形式：
dU dV
V0
p0 0
平衡条件：平衡时内能为极小值
§ 2.2 共价结合
以氢分子的量子理论为基础。
Cl q Ct q
4
For Lognitudinal Wave For Transverse Wave
B、大于某一频率的短波是不存在的。
T 12 3 晶体热容量 CV (T ) 5 R —— 德拜T 定律 D
3
实验结果：低温下金属的热容
CV T AT 3
能带理论是单电子近似理论，把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。 1 固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，成为共有化电子.

固体物理学习笔记

固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的

运动形态及其相互关系的科学。它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支

学科。固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及

这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。固体的内部结构和

运动形式很复杂，这方面的研究是从晶体开始的，因为晶体的内部结构简单，

而且具有明显的规律性，较易研究。以后进一步研究一切处于凝聚状态的物体

的内部结构、内部运动以及它们和宏观物理性质的关系。这类研究统称为凝聚

态物理学。

固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态

固体。简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们

是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原

子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么

联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。新的实验条件和技术日新月异，为固体物理不断开拓出新的研

究领域。极低温、超高压、强磁场等极端条件、超高真空技术、表面能谱术、材料制备的新技术、同步辐射技术、核物理技术、激光技术、光散射效应、

各种粒子束技术、电子显微术、穆斯堡尔效应、正电子湮没技术、磁共振技

术等现代化实验手段，使固体物理性质的研究不断向深度和广度发展。由于

固体物理本身是微电子技术、光电子学技术、能源技术、材料科学等技术学

科的基础，也由于固体物理学科内在的因素，固体物理的研究论文已占物理

学中研究论文三分之一以上。同时，固体物理学的成就和实验手段对化学物理、催化学科、生命科学、地学等的影响日益增长，正在形成新的交叉领域。固体物理对于技术的发展有很多重要的应用，晶体管发明以后，集成电路技

固体物理基础——阎守胜

固体物理领域
金半晶磁电液固超固固固强
属导体学介晶体导态态体关
物体物
质物发体电光光联
理物理
物理光物子电谱物
理
理
理学子
理
学
表介纳
面观米
物物物
理理理
四固体物理的学科特点
1. 四大力学是固体物理与处理问题的基础。 2. 理论与实验密切结合。 3. 固体由大量原子组成，是多粒子体系，相互作用非常复杂。
—— 20世纪四十年代末，以诸、硅为代表的半导体单晶的出现并制成了晶体三极管—— 产生了半导体物理
—— 1960年，诞生的激光技术，促进了固体的电光、声光和磁光器件的不断发展。
—— 1960年以后，固体物理的发展更为迅速，不但晶体材料的研究更加成熟，而且对微细材料和无序固体的新发现、新进展接踵而来。 1979年发现量子霍尔效应 1984年在人工合成材料中发现准晶体； 1984年首次合成了纳米金属晶体Pd, Fe等。 1985年发现了以C60为代表的团簇化合物； 1986年发现新型高温超导材料；
—— 十七世纪，惠更斯以椭球堆积的模型来解释方解石的双折射性质和解理面
—— 十八世纪，阿羽依认为晶体由一些坚实、相同的平行六面形的小‘基石”有规则地重复堆集而成的
—— 十九世纪中叶，布拉伐(Bravais)发展了空间点阵学说概括了晶格周期性的特征

晶格的动力学

晶格是固体中最基本的结构单元之一，其动态行为对固体性质的影响十分重要。晶格动力学研究的是晶格振动的性质、规律及其对物质性质的影响。本文将简要讨论晶格的动力学行为以及相关概念、理论基础和应用。

一、晶格动力学的概念和基本理论

晶体结构中原子结合强度很大，但在温度为0时仍会发生微小的振动。这是由

晶格中原子和分子具有动能而引起的。晶格动力学研究的对象就是晶格的振动行为。晶格的振动具有波动性和粒子性两种特征，而波动性则可以用晶格波来表征。晶格波实际上是晶格中所有原子的振动的总和，这种振动由于遵守波动方程，故具有波长和频率的概念。晶格振动的形式可以简单分为两种：一种是晶格高度完整，只在原位作固有振动，称为“规则振动”；另一种是晶格形态发生了变化，即出现了缺陷，这时晶格中的部分原子或分子被分离出去而形成“不规则振动”。

晶格动力学的理论基础主要是固体物理学、热力学和量子力学。热力学研究固

体中的温度、压力等环境因素对固体性质的影响，而量子力学则解释了固体中原子的运动规律和能量带结构的形成规律，这些都为晶格动力学的研究提供了基础和方法。

二、晶格振动的种类和特性

晶格振动的种类主要分为长波和短波两种。长波振动是指波长远大于原子间距

的振动，由于这种振动的波长非常长，因此可以用连续介质模型来考虑。短波振动则是波长小于原子间距或近似于原子间距的振动，其振动需要考虑原子之间的相互作用，这种振动在热力学和量子力学中都有重要应用。

晶格振动的特性主要体现在振动的频率、振幅、相位等方面。其中，振动频率

是晶格振动最基本的特征之一，其值与晶格的某一方向上的弹性常数和离子势场有关。振幅则表示振动所具有的振幅大小，其值受到外力、物理环境和固体弹性常数

固体物理-第三章

ni =
1
hωi kBT
e −1 4.当电子或光子与晶格振动相互作用时，交换能量以 h ω 当电子(或光子与晶格振动相互作用时，当电子或光子)与晶格振动相互作用时
为单位，若电子从晶格获得 h ω 能量，称为吸收一个声子，若能量，称为吸收一个声子，为单位，电子给晶格 h ω 能量，称为发射一个声子。能量，称为发射一个声子。在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态。非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态。 P518: 3.11 (1)(2)(3)
均为整数。均为整数。
2π q= s Na
2π ′= q s′ Na
2π 2π q − q′ = ( s − s′ ) = l =h Na Na
1 1 N−1 inah 1 N−1 iah n 1 1− eiNah ina(q−q′) = ∑e = ∑(e ) = ∑e N n N n=0 N n=0 N 1− eiah
1 一种声子)，本征态时，一种声子，当这种振动模式处于 ni + hωi 本征态时，称为 2
个声子，为这种声子的声子数。有ni个声子，ni为这种声子的声子数。

固体物理学

固体物理？天书？
每个问题思考十五分钟，然后去见鬼去吧！
• 难者不会，会者不难！ • 心到最急！ • 建议学习方法（传统的！必须的！）课前预习（10-20pp，or one section）课堂听讲课后复习（作业！思考！）
思辨--Discussion
所谓四大力学的基础
• 理论力学（基础） • 电动力学（经典） • 量子力学（挑战） • 热力学与统计物理（实用）
固体物理学
物理学与我们
• 学物理的学生最聪明！ • 物理学-----屋里学？贵族的学问！（Thinking！逗God玩！） • 物理研究要求我们： §独立思考与合作交流 §怀疑精神与巨人的肩膀 §Tools—数学与哲学（人文，宗教等等）动画片？Computer！Internet！ How to Search？
固体物理学基础 • 晶体结构---研究客体的基本模型与描述
• 晶格动力学-基础，热，声子！
• 电子理论
QQ截图是个好东西啊！
致谢
本绪论的后续内容借复旦大学车静光老师的《固体物理讲义》
wk.baidu.com
期末↔双赢?
• • • • • • 准备一个作业本，Now！至少每两周要一次作业不懂的马上问！笔记？书？答疑. 期末成绩评定：平时：20% 考试：80%

固体物理(2011) - 第1章晶体结构 5 晶体X射线衍射

问题：

原子可以结成反射平面？物理图象是否令人满意？进一步如何分析晶体三维结构？
物理图像改进：von Laue方程
本质：

晶体衍射是入射的X射线与原子核外电子作用的结果；设仅受电子的弹性散射
不需要反射平面，考虑两个原子相同方向平行光的干涉（Rl 确定? ）
von Laue方程

von Laue方程：跃迁矩阵元，玻恩近似
为何要使用量子力学？经典图像难道不足够吗？
电子云形状（杂化方向）对形成晶格点阵的影响？
习题
六角密堆积结构，试确定 ① 晶胞、基矢、晶胞内原子位矢； ② 倒格子基矢； ③ 几何结构因子； ④ 讨论其消光条件。
X射线晶体学实验方法
进一步原理：

Ewald构图法
再论几何结构因子
晶胞内所有原子的散射波，在所考虑的方向上的振幅与一个电子作为点电荷的散射振幅之比反映晶胞内多个原子的具体分布对散射的影响（j 是原子指标）
？
Atomic form factor
原子形成因子？原子形状因子？原子散射因子？
表征原子 j 的电荷分布对散射的影响
2 单个氢原子？ f 16 / 4 K h2 a B
实验：

劳埃法旋转晶体法粉末法：德拜-谢勒法
晶体中有规则排列的原子，可看作一个立体的光栅。原子的线度和间距大约为10 - 10 m 数量级，根据前述可见光的光栅衍射基本原理推断，只要入射X 射线的波长与此数量级相当或更小些，就可能获得衍射现象。

固体物理第三章晶格振动与晶体的热学性质

nq
边界条件要求： iNaq e
1
即：Nqa=2 π h， q 2 h (h为整数)
N N 2 / a a a 2 h 2 , h取N个整数值2 / Na N 结论： N个原胞组成的一维单原子链，q取N个不同值，即有N个

q

Na
格波—有N种振动方式。N为一维单原子链的自由度数）。
2
格波与连续介质波的区别：（1）连续介质中x表示空间任意一点，而格波中空间位置只能取 X=na的格点位置。格点（na）呈周期排列，原子都在作频率为ω的振动，相邻原子间的振动位相差为qa。 i (t naq ) （2）格波q取值范围的限制. 将 nq Ae 中的qa改变
2π的整数倍，所有原子的振动没有没有什么不同，为使μnq和q一一对应，qa可以限制在一定范围内：（- π， π]，即： q a a 这与连续介质不同. q取该范围以外的q并不代表新的波。例如：a: λ=4a，q= π/2a 和 b: λ=4a/5，q= π/2a+2 π a中相邻原子位相差π/2，b中相邻原子位相差：5π/2，对格点来说, a和b代表相同的振动。因为原子有相同的运动。
(Q1 , Q2 ...Q3 N ) ni (Q1 )
3N
一维单原子链模型：它的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。一个一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。并且，（1）假定原子质量为m；（2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用μn, μn+1…表示；（3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。显然是实际情况的简化。以下要做的几件事情： a. 写出、求解运动方程 b. 讨论运动规律和性质 (解的物理意义) c.周期性边界条件 d.长波极限特征 e. 一维单原子链的简正坐标

第三章晶格动力学和晶体的热学性质

i t n 1aq
Ae
i t n 1aq
2 Ae
i t naq

解得
1 2 sin aq m 2

—— 色散关系 Dispersion curves
信息科学与工程技术学院
固体物理学
晶格动力学和晶体的热学性质
这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是。 qa
2 如： ma na l ,(m, n, l 都是整数）。 q
有：
um A exp i t maq A exp i t naq exp(i 2 l ) A exp i t naq un
1
该解表明：晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在
aq 2 sin m 2

2π π 1 2 sin , 21 2 sin , m 5 m 5 3 0, 4 2 , 5 1
信息科学与工程技术学院
固体物理学
晶格动力学和晶体的热学性质
2.色散关系
当 q

a
,
max 2

m
;
aq 2 sin m 2

时，散射子波之间发生相长干涉，结果反射达到最

固体物理讲义第四章

第四章晶格振动和晶体的热学性质

● 晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动

● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响主要内容

● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立）

晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解）晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系）

● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动

原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示,第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为一维单原子链

原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设

● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动

●

简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项微振动时：

简谐近似：势能展开式保留到二次项

微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。

任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。

n n x x -=+1δδ+=a x ()()⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫

⎝⎛+=+=222 21 )(δδδa a

x d U d x d U d a U a U x U

把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容.

群速度是指波包的传播速度，dw/dq,也就是能量在介质中的传播速度。在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。

第一章-晶体结构-《固体物理学》黄昆-韩汝琦

01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
Crystal Structure of YBaCuO
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
Shape of Snow Crystal
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
05 /16
Be2O3 Crystal and Glass of Be2O3
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
六角密排
—— 全同小圆球平铺在平面上，任一个球都与6个球相切。每三个相切的球的中心构成一等边三角形
每个球的周围有6个空隙这样构成一层 —— A层
第二层是同样的铺排 —— B层
第三层是同样的铺排 —— C层
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
A层原子球排列
—— 十九世纪中叶，布拉伐发展了空间点阵学说概括了晶格周期性的特征
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
—— 二十世纪初特鲁德和洛伦兹建立了经典金属自由电子论，对固体认识进入一个新的阶段
—— 描述晶体比热___杜隆－珀替定律描述金属导热和导电性质的魏德曼－佛兰兹定律
—— 十九世纪末叶，费多洛夫，熊夫利、巴罗等独立地发展了关于晶体微观几何结构的理论体系，为进一步研究晶体结构的规律提供了理论依据
3. 六角密排晶格原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的紧密方式 —— 结合能最低的位置配位数 —— 一个原子的周围最近邻的原子数

固体物理-第一章晶体结构

1.1.晶体的宏观特征
3. 解理性晶体受外力作用时，具有沿某一个或几个特定晶面劈裂的性质。 4．各向异性晶体的宏观性质随其方向而异。 5．均匀性晶体的宏观性质不随内部位置的变化而异。
1.1.晶体的宏观特征
6．对称性晶体的宏观性质在不同方向有规律地重复出现的现象。 7．最低内能从气态、液态、非晶态到晶态都要放热。反方向的变化都要吸热。
aj
ai
ak a1 aj a2 a3 ai
1.2.晶体的微观结构
4.氯化铯结构
氯离子和铯离子各组成相互重合的简单立方，然后再把它们沿体对角线移动1/2体对角线长度。复式晶格。属于简单立方。
1.2.晶体的微观结构
5. 氯化钠结构
氯离子和钠离子各组成相互重合的面心立方，然后再把它们沿任一边移动1/2 边长度。它是复式晶格，属于面心立方布喇菲格子。
1.3.晶向与晶面
2．晶向一族晶列的共同方向，就是晶向。 3．晶向指数——确定晶向的一组参数[uvw] 确定晶向指数的方法：
以晶列上的任意一格点为原点，以晶胞的3个单位矢量为轴建立坐标系。在该晶列上任取1位矢为 u’a+v’b+w’c 的格点。u’，v’，w’为有理数，如果 u’，v’，w’互为质数，就用[u’v’w’]表示该晶列的晶向。如果u’，v’，w’不互为质数，则取3个互为质数的整数u， v，w，并使u：v：w= u’：v’：w’，就可以用[uvw]表示该晶列的晶向。