勒贝格积分
积分的勒贝格积分
积分的勒贝格积分积分是高等数学中一项重要的内容，被广泛用于各个领域的计算和研究中。
其中，勒贝格积分是一种被广泛采用的积分方法，其应用范围涵盖了大部分实数函数和复杂函数。
本文将结合实例，详细探讨勒贝格积分的定义、计算方法、性质及其与其他积分方法的对比等方面。
一、勒贝格积分的定义勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格发明的一种积分方法，其理论基础是将积分范围进行分割，然后计算每个小范围内的积分，最终将这些小范围内的积分加起来，得到整个积分的结果。
具体来说，勒贝格积分将被积函数划分为正函数和负函数的和，分别求出其在积分范围内的上、下积分和，然后将两者相加或相减，得到最终积分的结果。
其中，上积分指的是在积分区间范围内，被积函数处于一个上界之下的部分的积分值，而下积分则是指处于下界之上的部分的积分值。
这种分段计算的方法，不仅适用于实数函数，也适用于复杂函数，而且具有很高的计算精度和广泛的应用价值。
二、勒贝格积分的计算方法勒贝格积分的计算方法相对来说比较复杂，需要根据具体的函数形式，采用相应的积分公式进行计算。
下面将通过两个例子讲解具体的计算过程，以帮助读者更好地理解。
1、勒贝格积分的计算：计算f(x)=x在[0,1]上的勒贝格积分。
解：首先将函数f(x)划分为正函数和负函数的和，其结果为f(x)= max{0,x}-min{0,x}。
然后，分别计算max{0,x}和min{0,x}在区间[0,1]上的上、下积分。
max{0,x}在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx=1/2$$∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx=0$min{0,x}在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=0$$∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=-1/2$因此，f(x)在该区间上的上积分和下积分分别为：$∫_{0}^{1}f(x)dx =∫_{0}^{1}(max\{0,x\}-min\{0,x\})dx$$=∫_{0}^{1}max\{0,x\}dx-∫_{0}^{1}min\{0,x\}dx=1$2、勒贝格积分的计算：计算f(x)=sin(x)在[0,π]上的勒贝格积分。
勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理
勒贝格逐项积分定理是数学分析领域的重要定理之一，它为我们理解积分与极限之间的关系提供了重要的理论基础。
在本文中，我将对勒贝格逐项积分定理进行深入探讨，并尝试给出其证明，同时还会结合勒贝格控制收敛定理进行分析。
我将从基本概念出发，逐步展开讨论，帮助读者充分理解这一重要定理。
1. 勒贝格积分的概念在开始探讨勒贝格逐项积分定理之前，我们首先需要了解勒贝格积分的基本概念。
勒贝格积分是对变量在某个区间上的函数进行积分的一种方法，与黎曼积分不同的是，勒贝格积分对函数的可积性有更加严格的要求。
这种积分方法在处理一些特殊的函数和收敛性问题时具有重要的应用价值。
2. 逐项积分的概念在研究级数的收敛性时，我们常常会接触到逐项积分的概念。
逐项积分是将级数中的每一项进行单独的积分，然后再考察这些积分的收敛性。
逐项积分在分析级数的收敛性和积分之间的关系时起着重要的作用，而勒贝格逐项积分定理正是对逐项积分的一个重要的推广和应用。
3. 勒贝格逐项积分定理的表述勒贝格逐项积分定理是关于逐项积分和函数极限交换次序的定理。
它指出，如果级数在某个区间上逐项积分后收敛，那么这个逐项积分所得的函数的极限与原级数在该区间上的逐项积分所得的函数的极限是相同的。
这个定理在分析级数的逐项积分和函数极限的关系时起着至关重要的作用。
4. 勒贝格逐项积分定理的证明为了证明勒贝格逐项积分定理，我们需要结合勒贝格控制收敛定理来进行分析。
勒贝格控制收敛定理是判别逐项积分收敛的重要定理，它为我们提供了一种有效的方法来判断逐项积分的收敛性。
通过对级数的逐项积分进行适当的控制，我们可以得到逐项积分的收敛性，从而进一步推导出勒贝格逐项积分定理。
5. 个人观点与理解在我看来，勒贝格逐项积分定理是数学分析领域中的一个重要定理，它揭示了级数逐项积分和函数极限之间的深刻关系。
通过对该定理的深入理解，我们不仅可以更加深刻地理解级数的收敛性和逐项积分的性质，还可以为解决一些实际问题提供重要的理论支持。
勒贝格积分的定义
勒贝格积分的定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠勒贝格积分这个神奇的玩意儿。
你说积分，咱平时也常见啊，那勒贝格积分又有啥特别的呢？这就好比咱平时吃的家常菜和高级料理的区别。
普通积分就像家常菜，能填饱肚子，解决基本需求；而勒贝格积分呢，那就是高级料理，更精致，更能挖掘出食材的深层美味。
咱先说说勒贝格积分是咋来的。
以前啊，那些数学家们发现，有些函数用普通积分算起来就很头疼，总感觉差点意思。
就好像一件衣服，普通积分能让它大致合身，但勒贝格积分能让它变得无比贴合，完美展现它的魅力。
它的定义啊，其实也没那么玄乎。
简单来说，就是把函数的值域分成一小块一小块的，然后再分别计算这些小块的贡献。
这就好像咱分蛋糕，把蛋糕切成小块，然后算每一块的大小。
你想想，生活中不也有类似的情况吗？比如说咱算一个月的花销，不能光看总数啊，还得看看每项具体花了多少，这其实就有点勒贝格积分的味道了。
勒贝格积分的好处可多了去了。
它能处理一些普通积分处理不了的怪函数，就像一个超级英雄，专门解决那些疑难杂症。
而且它让数学的世界更加丰富多彩了，让我们能看到更多奇妙的现象。
比如说，有些函数用普通积分根本没法算，但用勒贝格积分就能轻松搞定。
这就像你遇到一个难题，怎么都解不出来，突然有人告诉你一个巧妙的方法，一下子就豁然开朗了。
那勒贝格积分难不难呢？当然难啦！但咱可不能被它吓住啊。
就像爬山，山越高越有挑战性，但爬到山顶后的风景也越美啊。
学习勒贝格积分也是这样，虽然过程可能有点艰辛，但一旦掌握了，那感觉可太棒了。
咱不能光看着它难就退缩了，得鼓起勇气去尝试，去探索。
说不定哪天你就突然发现，哎呀，原来勒贝格积分也没那么可怕嘛！而且，掌握了它，你在数学的世界里就像多了一把利器，能解决更多的问题。
所以啊，朋友们，别害怕勒贝格积分，勇敢地去面对它，去了解它，你会发现一个全新的数学天地。
相信我，你一定会爱上它的！。
第七章 勒贝格积分理论简介
第七章 勒贝格积分理论简介本章所讨论的测度都是勒贝格测度，故不再特别说明。
所说可测均指。
所指函数也都是定义在实数子集上的实值函数。
可测-L 在第六章第二节中，我们曾经提到勒贝格积分的一种定义方式。
由此积分的定义可以看出，定义在一个可测集上的符号函数是可以积分的当且仅当E f 是可测的，由此引入了可测函数的概念。
但是从可测函数的角)(1+<≤i i y f y E 度考虑，可测函数可以另外的方式引入。
本章先讨论可测函数的刻画方式和一些基本性质，然后对勒贝格积分的常见计算方式作一些粗略的介绍。
进一步的内容可以在任何一本实变函数的教材可见。
§1 可测函数的定义刻画与运算我们先给出可测函数的一种最朴素的定义方式。
7.1定义：设是定义在上的函数，若对任意集合是可侧集，f E R ∈a )(a f E <称是可侧函数。
f 7.2命题. 设是集合上的函数。
f E (1)若是可侧，在上连续，则是上可测函数。
E f E f E (2)若是上可测函数，，则集合，，,f E R ∈a E )(f a E ≤)(f a E <都是可测集。
)(a f E ≤(3)若，且在上可测，则是上的可测函数。
φ==)0(f E f E f1E 证明：(1)对任意，是中开集，即存在中开集,使得R ∈a )(a f E <E R G ,故是可侧集。
E G a f E =<)()(a f E <(2)结论可由如下的集合等式得到)(a f E E n <=∈ω)(\)(a f E E f a E <=≤)1()(1f na E f a E n ≤+=<∞= )(\)(f a E E a f E <=≤(3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><=<><>=<0)1()0(0)0(0)0()1()1(a a f E f E a f E a f E a f E a f E 可知是可侧集。
非负可测函数的勒贝格积分
非负可测函数的勒贝格积分引言在实分析中，积分是一个重要的概念。
而勒贝格积分是实分析中的一种积分方法，它对非负可测函数的积分提供了一种可行的方式。
本文将介绍勒贝格积分的基本思想和定义，并深入探讨其性质和应用。
勒贝格积分的基本思想勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格于1902年引入的一种积分方法。
它的基本思想是将被积函数分解为两个非负函数的差来进行积分。
具体来说，如果一个函数是非负可测函数，那么可以将其分解为一个非负递增函数和一个非负递减函数的差。
勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义比较复杂，我们需要引入一些相关的概念。
可测集合可测集合是指在一个测度空间中具有良好性质的集合，具体的定义需要借助测度论的相关概念，这里不再详述。
非负可测函数非负可测函数是指定义在一个测度空间上的函数，且在该空间上取非负值。
非负可测函数的定义也涉及到测度论的一些概念，这里我们只需要知道其取非负值即可。
前向极限函数和后向极限函数给定一个非负可测函数f，我们定义其前向极限函数为：inff n(x)f∗(x)=limn→∞其中，inff n(x)表示函数序列{f n(x)}的下确界。
类似地，我们可以定义其后向极限函数为：supf n(x)f∗(x)=limn→∞其中，supf n(x)表示函数序列{f n(x)}的上确界。
勒贝格积分的定义给定一个非负可测函数f，我们定义其勒贝格积分为：∫fdμ=sup{∫gdμ:g为有界的非负简单函数且g≤f}其中，μ表示测度，∫gdμ表示简单函数g的积分。
勒贝格积分的性质勒贝格积分具有一些重要的性质，下面我们将介绍其中的一部分。
单调性如果函数f≤g，则有∫fdμ≤∫gdμ。
这意味着勒贝格积分是一个单调的操作。
有限可加性对于可测函数f，如果将其分解为f=f1+f2，则有∫fdμ=∫f1dμ+∫f2dμ。
这表明勒贝格积分在有限可加性上与常见的积分运算类似。
上下极限对于函数序列{f n(x)}，如果存在一个函数f(x)使得对于几乎所有的x都有f(x)= lim n→∞f n(x)，则有lim n→∞∫f n dμ=∫fdμ。
定积分的勒贝格积分
定积分的勒贝格积分定积分是微积分中的一个重要的概念，是对函数在一定区间上的面积的计算。
在定积分的计算中，勒贝格积分是一种非常重要的积分方法。
1. 定积分的定义定积分是在一定的积分区间上，对函数的一段长度进行求和的过程。
在数学上，定积分可以表示为：I = ∫ab f(x)dx其中，a和b表示积分的区间，f(x)表示被积函数。
定积分的几何意义就是表示在函数曲线与x轴之间的面积。
2. 勒贝格积分勒贝格积分，是由法国数学家亨利·勒贝格所创立的积分方法。
勒贝格积分提供了一种非常有效的方法来计算具有不连续性的函数的积分。
勒贝格积分的基本思想是将被积函数分为两个部分，一个是连续的部分，另一个是不连续的部分。
对于连续的部分，可以使用黎曼积分进行计算，而对于不连续的部分，则采用类似积分的方式进行计算。
使用勒贝格积分方法，可以推广到高维空间和泛函分析中，具有非常广泛的应用。
3. 勒贝格积分的特点勒贝格积分与黎曼积分相比，具有以下几个特点：1. 勒贝格积分可以计算具有不连续性的函数的积分。
2. 勒贝格积分的定义更加精确严谨，相比于黎曼积分需要更少的假设条件。
3. 勒贝格积分可以推广到高维空间和泛函分析中，具有非常广泛的应用。
4. 勒贝格积分的计算方法更加灵活，在实际操作中更加方便。
4. 勒贝格积分的计算勒贝格积分的计算方法主要分为两类，一种是使用勒贝格-斯蒂尔切斯公式计算，另一种则是使用勒贝格积分的性质进行计算。
勒贝格-斯蒂尔切斯公式是使用勒贝格积分的划分法进行计算。
通过将被积函数等分为若干个小的区间，然后对每个小的区间进行求和，最后将这些小的区间的和相加得到最终的积分结果。
另一种计算方法是使用勒贝格积分的积分性质，将被积函数拆分为连续的函数部分和不连续的函数部分。
对于连续的部分，采用黎曼积分的方法进行计算，对于不连续的部分，则采用类似积分的方式进行计算。
5. 结论勒贝格积分是微积分中非常重要的一个概念，对于一些具有不连续性的函数，使用勒贝格积分的方法进行计算会更加准确可靠。
第四章勒贝格积分
第四章 勒贝格积分本章介绍勒贝格积分理论.定义勒贝格积分有多种方法，本处采用从非负简单函数到非负可测函数，然后到一般可测函数的方法逐步建立勒贝格积分理论.§1 非负简单函数的勒贝格积分定义1 设n R E ⊂是可测集，)(x ϕ是E 上的非负简单函数，即E x x c x nk E k k∈=∑=,)()(1χϕ，其中 nk k E E 1==,k E 是互不相交的可测集，k c 是非负实数（1≤k ≤n ），记⎰∑==Enk kk mEc dx x 1)(ϕ称⎰Ex dx x )()(ϕϕ为在E 上的勒贝格积分.显然，当⎰==Edx x mE 0)(,0ϕ时.下面的定理1说明非负简单函数的勒贝格积分值与其表示无关.定理1 设)(),(x x ψϕ是可测集E 上的非负简单函数，如果E x x x ∈=),()(ψϕ，则⎰⎰=EEdx x dx x )()(ψϕ证明 设E x x a x nk E k k∈=∑=,)()(1χϕ，nk k k E E n k a 1),1(0==≤≤≥，E k 是互不相交的可测集，又E x x b x jF mj j ∈=∑=),()(1χψ，mj j j j F F E m j b 1,),1(0==≤≤≥是互不相交的可测集. 因为在E 上，)()(x x ψϕ=，所以对任何k 和),1,1(m j n k j ≤≤≤≤ 总有)()(j k j j k k F E m b F E m a ⋂=⋂，于是∑∑∑∑====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂=⋂=nk m j j k k k nk k nk k k F E m a E E m a mE a 1111)()()()(1111j k m j nk j j kmj kn k F E m b F Em a ⋂=⋂∑∑∑∑=====∑=mj j j mF b 1即⎰⎰=EEdx x dx x )()(ψϕ .定理2 设)(),(x x ψϕ是E 上的非负简单函数,则 (1)对任何非负实数c,有⎰⎰=EEdx x c dx x c )()(ϕϕ ；(2) ()⎰⎰⎰+=+EEEdx x dx x dx x x )()()()(ψϕψϕ ； (3)若,),()(E x x x ∈≤ψϕ则⎰⎰≤EEdx x dx x )()(ψϕ ，特别地，mE x dx x E⋅≤⎰)(max )(ϕϕ ；（4）若A 、B 是E 的两个不相交的可测子集，则⎰⎰⎰+=⋃BABA dx x dx x dx x )()()(ϕϕϕ .证明 仅证（2）式，其余作为习题.设 E x x a x ni A i i ∈=∑=)()(1χϕ，,)()(1E x x b x mj B j j∈=∑=χψ其中}{},{),1,1(0,j i j i B A m j n i b a ≤≤≤≤≥均为互不相交的可测集列，且 n i mj j i B A E 11====.易知jiB A n i mj i i b a x x ⋂==∑∑+=+χψϕ11)()()(所以())()()()(11j i Eni mj j iB A m b adx x x ⋂+=+⎰∑∑==ψϕ=)()(1111j i ni m j i j i ni mj i B A m b B A m a ⋂+⋂∑∑∑∑=====∑∑∑∑====⎪⎭⎫⎝⎛⋂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂m j n i j i j j i m j ni i B A m b B A m a 1111)()(=⎰⎰∑∑+=+==EEmj j j i n i i dx x dx x mB b mA a )()(11ψϕ定理3 设})({)},({x x n n ψϕ是E 上单调增的非负简单函数列，如果E x x x n n n n ∈=∞→∞→)(lim )(lim ψϕ，那么 ⎰⎰∞→∞→=En n En n dx x dx x )(lim )(lim ψϕ .证明 不妨设)(lim x n n ϕ∞→在E 上几乎处处有限，因为)}({x n ψ在E 上单调增，所以对任何自然数m ≥1，有)(lim )(lim )(x x x n n n n m ϕψψ∞→∞→=≤ .令 )}(),(m in{)(x x x f n m n ϕψ=,则非负简单函数列)}({x f n 收敛,且,)()(lim E x x x f m n n ∈=∞→ψ当+∞<mE 时，由Egoroff 定理，0>∀ε，存在可测集)(),()(,\,∞→<→→n x x f E E mE E m n ψεεεε上在使，于是存在N ≥1，当n>N 时，对一切εE E x \∈，)()()(x x f x n n m ϕεεψ+≤+<从而dx x dx x n E E m E E ))(()(\\ϕεψεε+≤⎰⎰dx x mE E n ⎰+≤)(ϕε因此， dx x mE dx x En E E n m⎰⎰∞→+≤)(lim )(\ϕεψε另外， )(m ax )(m ax )(x mE x dx x m m E m ψεψψεε⋅<≤⎰故 dx x dx x dx x m E m E E E m)()()(\ψψψεε⎰⎰⎰+=dx x mE x n En m )(lim ))((max ϕψε⎰∞→++<令0→ε，),1()(lim )(≥∀≤⎰⎰∞→m dxx dx x En n Emϕψ当+∞=mE 时，存在可测集列)1(,,,},{121≥+∞<=⊂⊂⊂⊂∞=k mE E E E E E E k k k k k 使.由上述证明知，对每个k ≥1， ⎰⎰⎰∞→∞→≤≤En n E n n E m dx x dx x dx x kk)(lim )(lim )(ϕϕψ .记 Tj j j Tj F j m F F E E x x a x j 11}{,,,)()(===∈=∑其中χψ是互不相交的可测集，)1(,0T j a j ≤≤≥，则由积分定义，∑⎰==Tj k j j E m E F m a dx x k1)()( ψ ,因为 j k j k mF E F m =∞→)(lim ，所以⎰⎰∑===∞→Em E Tj j j m k dx x mF a dx x k)()(lim1ψψ，于是 ⎰⎰∞→≤En n Emdx x dx x )(lim )(ϕψ,因此⎰⎰∞→∞→≤EEn n m n dx x dx x )(lim )(lim ϕψ .同理可证相反的不等式，故⎰⎰∞→∞→=EEn n m n dx x dx x )(lim )(lim ϕψ .§2 非负可测函数的勒贝格积分定义1 设)(x f 是E 上的非负可测函数，)}({x n ϕ是E 上单调增收敛于)(x f 的非负简单函数列，记⎰⎰∞→=En En dx x dx x f )(lim )(ϕ,称 )()(x f dx x f E为⎰在E 上的勒贝格积分，或L 积分，如果⎰+∞<Edx x f )(，则称)(x f 在E 上是勒贝格可积的，或L可积，简记为)(E L f ∈.由§1定理3知，非负可测函数的勒贝格积分值与非负简单函数列)}({x n ϕ选取无关.显然，若⎰=∈=Edx x f E x x f 0)(,,0)(则；若mE =0，则对于E 上的任何非负可测函数)(x f ， ⎰=Edx x f 0)( .定理1 设)(x f ,)(x g 是E 上的非负可测函数, 则 （1） 若 E x x g x f ∈≤),()(，则⎰⎰≤EEdx x g dx x f )()( ；（2） 若A 、B 是E 的可测子集，且B A ⊂，则⎰⎰≤ABdx x f dx x f )()( ；（3）若A 、B 是E 的可测子集，且φ=B A ，则⎰⎰⎰+=BA ABdx x f dx x f dx x f )()()( ；（4）若E e a x g x f 于..)()(=，则⎰⎰=EEdx x g dx x f )()( ；（5）对任何非负实数c ，⎰⎰=EEdx x f c dx x cf )()( ；（6）()⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()()()( .证明 证明由定义即得.定理2 （Levi 单调收敛定理）设)}({x f n 是E 上的非负可测函数列，满足 （1） 1,..)()(1≥≤+n E e a x f x f n n 于；（2）,..)()(lim E e a x f x f n n 于=∞→则⎰⎰=∞→EEn n dx x f dx x f )()(lim .证明 因为)(x f n 是E 上非负可测函数（n ≥1），所以E x x x f n kk n ∈=∞→),(lim )()(ϕ，其中)}({)(x n k ϕ是单调增的非负简单函数列，于是⎰⎰∞→=En k k En dx x dx x f )(lim )()(ϕ ,令)}(,),(),(max {)()()2()1(x x x x k k k k k ϕϕϕψ = ,则对每个)(,1x k k ψ≥是E 上的非负简单函数，且E x x x x k ∈≤≤≤≤,)()()(21 ψψψ ,E x k n x x k n k ∈≤≤≤),1(),()()(ψϕ ,又 E x x f x f x f x f x k k k ∈=≤),()}(,),(),(max {)(21 ψ ,所以 E x k n x f x x k k n k ∈≤≤≤≤,1),()()()(ψϕ, （1） 从而dx x f dx x dx x Ek EEk n k ⎰⎰⎰≤≤)()()()(ψϕ .（2）固定n ，令∞→k ，由（1）和（2）式，有E x x f x f x x f k k k k n ∈=≤≤∞→∞→),()(lim )(lim )(ψ ,和dx x f dx x dx x f k Ek Ek k n E)(lim )(lim )(⎰⎰⎰∞→∞→≤≤ψ ,进一步，令∞→n ，则)(lim )(lim )(x x f x f k k n n ψ∞→∞→== ,及dx x dx x f k Ek En n )(lim )(lim ψ⎰⎰∞→∞→= .（3）于是，由非负可测函数勒贝格积分定义和（3）式，有⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )( .定理3 （逐项积分定理）设)}({x f n 是E 上的非负可测函数列，则⎰∑⎰∑∞=∞==⎪⎭⎫⎝⎛En n E n n dx x f dx x f )()(11 .证明 由定理1，对每个n ≥1⎰∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛Ek nn E n k k dx x f dx x f )()(11令 )}({,)()(1x S x f x S n nk k n 则∑==是非负可测函数列，且 E x x S x S n n ∈≤+),()(1 ,E x x f x S n n n n ∈=∑∞=∞→1)()(lim ，由Levi 单调收敛定理知，dx x S dx x f n E n E n n )(lim )(1⎰⎰∑∞→∞==⎪⎭⎫⎝⎛ =⎰∑⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞→∞→En k k n n En dx x f dx x S 1)(lim )(lim=()⎰∑⎰∑∞==∞→=Enn k Enk n dx x f dx x f 11)(lim .推论 设{E n }是可测集列，互不相交，∞==1n n E E 如果)(x f 是E 上的非负可测函数，则⎰∑⎰∞==En E ndx x f dx x f 1)()( .证明 令)1(,),()()(≥∈=n E x x x f x f n E n χ，则 )(x f n 是E 上的非负可测函数，且 ∑∞==1)()(n n x f x f ,⎰⎰=EnEn dx x f dx x f )()( .由逐项积分定理知∑⎰⎰∑⎰∞=∞===11)()()(n EnEn n Edx x f dx x f dx x f .定理4 设)(x f 是E 上几乎处处有限的非负可测函数，),0[}{,+∞⊂+∞<n y mE ，满足)(,01∞→+∞→<<<<=n y y y y n n o其中 δ<-+n n y y 1，令,1,0],)(|[1=<≤=+n y x f y x E E n n n则)(x f 在E 上是勒贝格可积的充分必要条件是∑∞=∞<0n nn mEy ,此时⎰∑=∞=→En n n dx x f mE y )(lim 0δ .证明 不妨假设)(x f 在E 上处处有限，因为在E n 上，)0(,)(1≥<≤+n y x f y n n ，所以由定理1，对每个n ≥0，n n Enn n mE y dx x f mE y 1)(+≤≤⎰，由定理3的推论知，∑⎰⎰∞==0)()(n E Endx x f dx x f ,所以⎰∑∑∞=+∞=≤≤En n n n nn mE y dx x f mEy 010)(=∑∑∞=∞=++-01)(n n n n n n n mE y mE y y∑∞=+<0n n n mE y mE δ，因此结论成立.定理5（Fatou 定理） 设{})(x f n 是E 上的非负可测函数列，则⎰⎰∞→∞→≤En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim .证明 令1,),(inf )(≥∈=≥n E x x f x g k nk n ，则 g n (x)是E 上的非负可测函数，且E x x g x g n n ∈≤+),()(1，于是，由Levi 单调收敛定理知，⎰⎰⎰∞→∞→∞→==En n n E n n n Edx x g dx x g dx x f )(lim )(lim )(lim .因为 E x x f x g n n ∈≤),()(所以 dx x f dx x gEn En⎰⎰≤)()( ,从而⎰⎰∞→∞→≤En n n En dx x f dx x g )(lim )(lim ,因此，⎰⎰∞→∞→≤En n n n Edx x f dx x f )(lim )(lim .Fotou 定理中的严格不等式有可能成立，例如设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=]1,0[]1,0[0]1,0[)(n x n x n x f n ，易知 )1(,1)(],1,0[,0)(lim ]1,0[≥=∈=⎰∞→n dx x f x x f n n n ,所以1)(lim 0)(lim ]1,0[]1,0[=<=⎰⎰∞→∞→x f dx x f n n n n .§3 一般可测函数的勒贝格积分定义1 设)(x f 是E 上的可测函数，如果积分⎰⎰-+EEdx x f dx x f )(,)(中至少有一个是有限值，记⎰⎰⎰-+-=EEEdx x f dx x f dx x f )()()(，则称)()(x f dx x f E为⎰在E 上的勒贝格积分.如果上式右端两个积分值均是有限的，则称)(x f 在E 上是勒贝格可积的，或称)(x f 是E 上的勒贝格可积函数.通常把区间[a ,b ]上的勒贝格积分记成dx x f a b L )()(⎰,或 dx x f ab)(⎰.定理1 设)(x f 是E 上的可测函数，则 （1）)(x f 在E 上勒贝格可积的充分必要条件是)(x f 在E 上勒贝格可积，此时⎰⎰≤EEdx x f dx x f |)(||)(|；（2）若)(x f 在E 上勒贝格可积，则)(x f 在E 上几乎处处有限；（3）若)()(x g x f = ..e a 于E ，且)(x f 在E 上勒贝格可积，则)(x g 在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=EEdx x g dx x f )()(.证明 （1）)(x f 与)(x f 在E 上勒贝格可积的等价性由定义1和)()()(x f x f x f -++=即得，另外，由§2 定理1， ⎰⎰⎰⎰-+-++=+=EEEEdx x f dx x f dx x f x fdx x f )()())()((|)(|⎰⎰⎰=-≥-+EEEdx x f dx x f dx x f |)(||)()(| .（2）若)(x f 在E 上勒贝格可积，则⎰⎰+∞<+∞<-+EEdx x f dx x f )(,)( ,对任何n ≥1，记])(|[n x f x E E n ≥=，则⎰⎰⎰⋅≥=≥++EE E n nnmE n dx x f dx x f dx x f )()()( ,所以 0lim =∞→n n mE ，而n n n E E x f x E ⊂=+∞=∞= 1])(|[ ,于是 0])(|[=+∞=x f x mE ，同理可证 0])(|[=-∞=x f x mE ，因此0]|)(||[=+∞=x f x mE ，即)(x f 在E 上是几乎处处有限的.（3）因为..)()(e a x g x f =于E ，所以..)()(),()(e a x g x f x g x f --++==于E ，再由勒贝格积分定义和§2定理1知结论成立.由定理1知，对于可测函数而言，其勒贝格可积性和积分值大小与零测集无关，因而我们总可以假定可积函数是处处有限的. 定理2 设)(),(x g x f 是E 上的勒贝格可积函数，则 （1） )(,1x cf R c ∈∀在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=EEdx x f c dx x cf )()( ；（2） )()(x g x f +在E 上勒贝格可积，且()⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()()()( .证明 （1）当0≥c 时，),())((),())((x cf x cf x cf x cf --++==于是 ⎰⎰⎰-+-=EEEdx x cf dx x cf dx x cf ))(())(()(⎰⎰-+-=EEdx x cf dx x cf )()(=()⎰⎰⎰=--+EEEdx x f c dx x f dx x f c )()()( ；当0<c 时, ()())()(),()(x cf x cf x cf x cf +--+-=-=, 所以()()⎰⎰⎰-+-=EEEdx x cf dx x cf dx x cf )()()(=()()⎰⎰+----EEdx x cf dx x cf )()(=[]⎰⎰⎰=--+-EEEdx x f c dx x f dx x f c )()()( .（2）因为|)(||)(||)()(|x g x f x g x f +≤+，所以当)(),(x g x f 在E 上勒贝格可积时，)(,)(x g x f 在E 上勒贝格可积，从而)()(x g x f +在E 上勒贝格可积，故)()(x g x f +可积.另外，由于-++-+=+))()(())()(()()(x g x f x g x f x g x f , 又 ))()(())()(()()(x g x g x f x f x g x f -+-+-+-=+ ,所以 ,))()(())()(()()()()(-+-+-++-+=-+-x g x f x g x f x g x g x f x f 从而)()())()(())()(()()(x g x f x g x f x g x f x g x f --+-+++++=+++ .于是由§2定理1（6），⎰⎰⎰-+++++EEEdx x g x f dx x g dx x f ))()(()()(=⎰⎰⎰--++++EEEdx x g dx x f dx x g x f )()())()((因此⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()())()((定理3 设函数)(x f 在E 上勒贝格可积， ∞==1n n E E ，E n 是可测集（n ≥1），且互不相交，则)(x f 在每个E n 上勒贝格可积，且dx x f dx x f Enn E⎰∑⎰∞==)()(1.证明 对每个n ≥1，)(x f 在E n 上勒贝格可积，（留作习题）.因为)(x f 在E 上勒贝格可积，所以由非负可测函数积分的可数可加性，+∞<=⎰⎰∑++∞=dx x f dx x f EE n n)()(1 ,+∞<=⎰⎰∑--∞=dx x f dx x f EE n n)()(1 ,于是⎰⎰∑⎰∑-+∞=∞=-=nnnE E n E n dx x f dx x f dx x f ))()(()(11=⎰∑⎰∑-∞=+∞=-nnE n E n dx x f dx x f )()(11=⎰⎰-+-EEdx x f dx x f )()(=dx x f E)(⎰ .定理4 (勒贝格控制收敛定理) 设)(x f 、)1)((≥n x f n 是E 上的可测函数，如果（1）)()(x f x f n →a . e.于E ,（2）存在E 上的勒贝格可积函数g (x )，使),()(x g x f n ≤ a. e.于E ，则)1)((),(≥n x f x f n 在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=∞→EEn n dx x f dx x f )()(lim .证明 由（2），f (x ), f n (x )(n ≥1)在E 上勒贝格可积，且g (x )+f n (x )≥0 (n ≥1), a .e.于E . 由Fatou 定理,⎰⎰+≤+∞→∞→E n n E nn dx x f x g dx x fx g ))()((lim ))()((lim ,于是 ⎰⎰⎰⎰∞→∞→+≤+E n En En n Edx x f dx x g dx x f dx x g )(lim )()(lim )( , 从而⎰⎰⎰∞→∞→≤=E n En n n Edx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )( .同理，由g (x )－f n (x )≥0，（n ≥1），a.e.于E 知，()⎰⎰-≤-∞→Enn Edx x fdx x f )(lim ))(( ,即⎰⎰∞→-≤-En n Edx x f dx x f )(lim )(，所以， ⎰⎰∞→≥En n Edx x f dx x f )(lim )( ,因此⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )( .推论 设)(,x f mE n +∞< )1(≥n 是E 上的可测函数，如果 （1）..),()(e a x f x f n →.于E ，（2）M x f n ≤)(， a.e.于E ，(n ≥1) ,则 可积，且上在L E x f )(⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )(.定理5 （积分的绝对连续性）设f (x )在E 上勒贝格可积，则对任何ε>0，存在δ>0，对E 的任何可测子集A ，当mA<δ时，ε<⎰Adx x f )(证明 不失一般性，设f (x )在E 上非负可积. 令⎩⎨⎧>≤=nx f nn x f x f x f n )()()()(,则 )1,(),()(0≥∈≤≤n E x x f x f n ，且)()(lim x f x f n n =∞→，)()(1x f x f n n +≤.因为f (x )勒贝格可积，所以对每个n ，f n (x )是勒贝格可积的，于是由Levi 单调收敛定理，有⎰⎰∞→=EEn n dx x f dx x f )(lim )( ,因此，对任意正数ε>0, 存在N ≥1，使⎰<-≤EN dx x f x f 2))()((0ε.令 N2εδ=，则对E 的任何可测子集A ，当mA<δ时，()⎰⎰⎰+-=AAN AN dx x f dx x f x f dx x f )()()()(<εεεε=+<⋅+222mA N . 定理6 设f (x )是1R E ⊂上的L 可积函数，mE<+∞，则对任何ε>0，存在R 1上的连续函数g (x )，使⎰<-Edx x g x f ε)()(.证明 令[]n x f x E E n >=)(|，则1+⊃n n E E ，且[] ∞=+∞==1)(|n n x f x E E . 因为f (x )在E 上勒贝格可积，所以f (x )在E 上几乎处处有限. 又mE <+∞，故由可测集性质，[]0)(|lim =+∞==∞→x f x mE mE n n ,因此，由积分的绝对连续性，对任何ε>0，存在N ≥1，使⎰<≤NE N dx x f NmE 4)(ε.对于E\E N ，由第三章§3定理3，存在R 1上连续函数)(x g 和闭集N N E E F \⊂，使（1）[]NF E E m N N 4\)\(ε<，（2）f (x )=g (x ), ,N F x ∈ 且,)(sup 1N x g R x ≤∈ 于是⎰⎰⎰-+-=-EE E E NNdx x g x f dx x g x f dx x g x f \)()()()()()(⎰⎰⎰---++≤NNN NE F E E E dx x g x f dx x g dx x f )(|)()(||)(|)([]N N N F E E Nm NmE \)\(24++<εεεεε=++<244.例1 证明dy y f y x a b dy y f y x abdx d )()cos()()sin(+=+⎰⎰ , 其中f (x )是[a ,b ]上的勒贝格可积函数. 证明 对任何1R x ∈,|)(|)()sin(y f y f y x ≤+所以函数 sin(x+y )f (y )在[a ,b ]上勒贝格可积,对任何0→n ε,令[])()sin()()sin(1)(y f y x y f y x y f n nn +-++=εε ,则|)(||)(|y f y f n ≤，且 )()cos()(lim y f y x y f n n +=∞→，由控制收敛定理，dy y f y x a b dy y f y x ab dx d )()cos()()sin(+=+⎰⎰. 例2证明 0101lim 2223=+⎰∞→dx x n xn n .证明 易知]1,0[,01lim2223∈=+∞→x x n xn n ,令xx g xn xn x f n 2)(,1)(2223=+=，则)1()12(2)()(222323x n x xn nx x f x g n +-+=-， 当 0)12(2,1412323>-+≤<x n nx x n时；当 时nx 410≤≤,()04122122232323232323>⎪⎭⎫⎝⎛-≥-≥-+n n x n x n nx ,所以 1],1,0[),()(0≥∈≤≤n x x g x f n ，由习题6, g (x )在[0,1]上勒贝格可积，所以由控制收敛定理，0001101lim 2223==+⎰⎰∞→dx dx x n xn n .§4 黎曼积分与勒贝格积分本节介绍黎曼积分与勒贝格积分的关系，并给出黎曼可积函数的特征性质. 定理1 设f (x )是闭区间[a ,b ]上的有界函数，如果f (x )在[a ,b ]上黎曼可积，则f (x )在[a ,b ]上勒贝格可积，且⎰⎰=bab adx x f L dx x f R )()()()( .证明 设|,)(|sup ],[x f M b a x ∈= 则0≤M<+∞.作[a ,b ]的分划D n 如下：D n : b x x a x n k n n n=<<<=)()(1)(0 , 使1+n D 比n D 更细密，并且())(0max )(1)(1∞→→-=-≤≤n x x D n j n j k j n n.记 )(sup )(inf ],[)(],[)(11x f M x f m j j j j x x x n j x x x n j --∈∈==，作简单函数[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=-)()(1)()(1)(0)(1,,)(n jn j n j n n n n x x x m x x x m x L ，n k j ≤≤2，[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=-)()(1)()(1)(0)(1,,)(n jn j n jn n n n x x x M x x x M x U ，n k j ≤≤2，易知简单函数列{L n (x )}和{U n (x )}满足 )()(1x L x L n n +≤ , )()(1x U x U n n +≥ ,],[),()()(b a x x U x f x L n n ∈≤≤ .令 )(lim )(),(lim )(x U x U x L x L n n n n ∞→∞→==，则],[),()()(b a x x U x f x L ∈≤≤ .因为对每个n ，],[,|)(|,|)(|b a x M x U M x L n n ∈≤≤，所以由有界控制收敛定理， ⎰⎰∞→=],[],[)(lim )(b a b a n n dx x L dx x L ,⎰⎰∞→=],[],[)(lim )(b a b a n n dx x U dx x U .另外，由简单函数勒贝格积分定义知，()⎰∑=-=-=],[1)(1)()(),()(b a k j n n j n j n j n nf D s x x m dx x L ，()⎰∑=-=-=],[1)(1)()(),()(b a k j n n j n j n j n nf D S x x M dx x U ,其中s (D n , f )与S(D n , f )分别是f (x )关于分别D n f (x )在[a ,b ]上黎曼可积，所以),(lim ),(lim )()(f D S f D s dx x f R n n n n ba∞→∞→==⎰ ,从而 ⎰⎰⎰==],[],[)()()()(b a b a badx x U dx x L dx x f R ,注意到 ()⎰=-≥-],[,0)()(0)()(b a dx x L x U x L x U 及于是 U (x )－L (x )=0 a .e .于[a ,b ], 因此 f (x )=U (x )=L (x ) a .e .于[a ,b ].故f (x )在[a ,b ]上L 可积，并且⎰⎰⎰==],[],[)()()()(b a b a ba dx x U dx x L dx x f L ,于是 ⎰⎰=b a dx x f L dx x f abR )()()()(.以下我们给出黎曼可积函数的充分必要条件，先给出如下引理.引理 函数f (x )在],[0b a x ∈处连续的充分必要条件是对任意ε>0，存在包含x 0的开区间I ，使f (x )在I 上的振幅.ε<-=∈∈)(inf)(sup )(],[],[x f x f I w Ib a x Ib a x f证明 由连续函数的定义即得.定理2 设f (x )为[a ,b ]上的有界函数，则f (x )在[a ,b ]上黎曼可积的充分必要条件是它的不连续点的全体是零测集，即f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续.证明 必要性 因为f (x )黎曼可积，所以同于定理1的证明，做[a ,b ]的分划列{D n }和简单函数列{L n (x )}与{U n (x )}，得知.],[),()()(b a x x U x f x L ∈≤≤， 进而],[..),()()(b a e a x f x L x U 于==，其中 )(lim )(),(lim )(x L x L x U x U n n n n ∞→∞→== .记D 是分划{D n }的所有分点所成之集，令 )}()()()(],,[|{x U x f x L x f b a x x E <>∈=或 ,E DF = ,则mF =0，下证f (x )在[a ,b ]-F 上连续.事实上，设E x D x F b a x ∉∉-∈000,,],[且则. 若f (x )在x 0处不连续，则由引理知，存在00>ε，对任何包含x 0的开区间I ，有0)(ε≥I w f . 因为D x ∉0，所以对每个n ，存在)1(00n k k k ≤≤，使())()(1000,n k n k x x x -∈，于是()0)()(100),()()(00ε≥=--n k n k f n n x x w x L x U ， 而 )(lim )(),(lim )(0000x L x L x U x U n n n n ∞→∞→==，所以0)()(000>≥-εx L x U ，这与E x ∉0矛盾，故f (x )在x 0处连续. 充分性设f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续，且|f (x )|≤M ，],[b a x ∈. 作[a ,b ]上的一列越来越细密的分划{D n }，D n :b x x x a n k n n n=<<<=)()(1)(0 , 满足：())(0max )(1)(1∞→→-=-≤≤n x x D n j n j k j n n同于定理1的证明，做简单函数列{U n (x )}和{L n (x )}，使1],,[,)(,)(≥∈≤≤n b a x M x L M x U n n ， 并且].,[),(lim )()(lim b a x x U x f x L n n n n ∈≤≤∞→∞→下证对于f (x )的任何连续点x ，有).()(lim )(lim x f x U x L n n n n ==∞→∞→事实上，设f (x )在x 处连续，则由引理，任给0>ε，存在开区间I =(α,β)，使ε<∈)(,I w I x f 且. 因为0→n D ，所以存在N ≥1，当n ≥N 时，},min{x x D n --<βα,另外，存在k 0(1≤k 0≤k n )，使[]I x x x n k n k ⊂∈-)()(100,，因此[]()ε<≤=--)(,)()()()(100I w x x w x L x U f n k n k f n n , 由ε的任意性知，).()(lim )(lim x f x L x U n n n n ==∞→∞→因为f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续，所以].,[..)()(lim )(lim b a e a x f x L x U n n n n 于==∞→∞→又 ⎰=],[),()(b a n n f D S dx x U ,⎰=],[),()(b a n n f D s dx x L ,于是由勒贝格有界控制收敛定理， ⎰⎰==∞→∞→bab a n n n n dx x f L dx x U f D S )()()(lim ),(lim ],[，⎰⎰==∞→∞→bab a n n n n dx x f L dx x L f D s )()()(lim),(lim ],[,因此 ()0),(),(lim =-∞→f D s f D S n n n ,故f (x )在[a ,b ]上黎曼可积.例1 设⎩⎨⎧=,]1,0[1,]1,0[0)(中有理数为中无理数为x x x D 则D (x )在[0,1]上黎曼不可积.证明 因为D (x )在[0,1]上处处不连续，所以由定理2，D (x )在[0,1]上黎曼不可积. 例2 黎曼函数⎪⎩⎪⎨⎧=,]1,0[0,1)(上其它数为为任约真分数x q px qx ξ则ξ(x )在[0,1]上黎曼可积.证明 因为ξ(x )不连续点的全体为(0,1)中的有理数集，而该集合为零测集，所以由定理2，ξ(x )在[0，1]上黎曼可积.§5 重积分与累次积分在黎曼积分中，重积分可化为累次积分. 例如设D =[a ,b ]×[c ,d ], f (x ,y )是D 上的连续函数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ddx y x f abdy c d dy y x f c d dx a b dxdy y x f ),(),(),(本节我们在勒贝格积分中建立相应的定理——即富比尼（Fubini ）定理，由此看到，在勒贝格积分中重积分化为累次积分，以及积分次序的交换等问题中，勒贝格积分要求的条件比在黎曼积分时要求的条件弱得多，这再次显示了勒贝格积分的优越性. 一、富比尼定理设p 、q 是正整数，n =p +q ，此时R n 可以看成R p 和R q 的直积，即R n =R p ×R q . R n上的函数f 可以用f (x ,y )表示，其中,,q p R y R x ∈∈相应的积分可写成⎰⨯qp R R dxdy y x f ),(,称为重积分. 另一方面，固定),(,y x f R x p ∈看成q R y ∈的函数，令⎰=q Rdy y x f x F ),()(,则称[]⎰⎰⎰⎰⎰∆=p q ppqRRR R R dy y x f dx dx dy y x f dx x F ),(),()(为累次积分. 富比尼定理给出了等式⎰⎰⎰⨯=p q qp RRR R dy y x f dx dxdy y x f ),(),(成立的条件. 定理1 （Tonelli ）设f (x ,y )是R p ×R q 上的非负可测函数，则 （1）对几乎所有的q p R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的； （2）⎰∈=q RP R x dy y x f x F 作为),()(的函数是非负可测的；（3）.),(),(⎰⎰⎰⨯=qp p q R R RRdy y x f dx dxdy y x f证明 由于非负可测函数是非负单调增简单函数列的极限，我们只需证)(x f 是R p ×R q 中可测集E 的特征函数的情形即可.以下分五种情形加以证明.情形1 E=I 1×I 2，其中I 1和I 2分别是R p 和R q 中的区间； 当1I x ∉时，f (x ,y )=0；当,1时I x ∈⎩⎨⎧∉∈=,,1),(22I y I y y x f所以对一切q p R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的，并且⎰⎩⎨⎧∉∈==q R I x I x I dy y x f x F ,0,||),()(112于是 ⎰⎰⨯==p RI I I dx I dx x F 1||||||)(212 . 而⎰⨯⨯==qp R R I I mE dxdy y x f ||||),(21 ,所以⎰⎰⎰⨯=qp p q R R RRdy y x f dx dxdy y x f ),(),( .情形2 E 是开集；由开集结构知， ∞==1)(k k I E ，其中I (k) (k ≥1)是R p ×R q 中互不相交的半开半闭区间，记)(2)(1)(k k k I I I ⨯=，其中)(2)(1k k I I 和分别是R p 和R q 中的区间，令⎩⎨⎧⨯∉⨯∈=,),(0,),(1),()(2)(1)(2)(1k k k k k I I y x I I y x y x f 则 ∑∞==1),(),(k k y x f y x f .由情形1，每个f k (x ,y )满足（1）~（3），于是对一切qp R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的，从而由逐项积分定理，∑∑⎰⎰⎰∞=∞====11),(),(),()(k k Rk kRRq q qdy y x f dy y x fdy y x f x F在R p 上非负可测，仍由逐项积分定理，∑⎰⎰∞=⨯⨯=1),(),(k kR R R R dxdy y x fdxdy y x f qp qp=[]∑∑⎰⎰⎰∞=∞=⨯=11),(),(k k R R k k R R pqqp dx dy y x f dxdy y x f=⎰⎰⎰∑∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞=∞=p p q q R RR k k k R k dx dy y x f dx dy y x f 11),(),( =[]⎰⎰⎰⎰=pp q qR RRR dy y x f dx dx dy y x f ),(),( .情形3 E 是有界闭集； 令 },1)),,((0),{(1<<⨯∈=E y x d R R y x G q p},1)),,((),{(2<⨯∈=E y x d R R y x G qp则G 1和G 2是R p ×R q 中的有界开集，且E =G 2\G 1，21G G ⊂，及,0),(),(),(12≥-=y x f y x f y x f其中f 1, f 2分别是G 1与G 2的特征函数，由情形2，f 1, f 2均满足（1）~（3），并且对一切),(,y x f R x p ∈关于p R y ∈是非负可积的，从而dy y x f dy y x f dy y x f x F q q q RRR),(),(),()(12⎰⎰⎰-==在R p 上非负可积，并且[]dy y x f dx dy y x f y x f dx dx x F q p p q pRRRRR ),(),(),()(12⎰⎰⎰⎰⎰=-= .另外，由f i (x ,y )在R p ×R q 上非负可积及情形2知（i=1,2），⎰⎰⎰⨯⨯⨯-=qp qp qp R R R R R R dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(12=⎰⎰⎰⎰-p q p q RRRRdy y x f dx dy y x f dx ),(),(12=[]⎰⎰⎰⎰=-pq qRRRR dy y x f dx dy y x f y x f dx ),(),(),(112.情形4 E 是零测集；因为E 是零测集，所以存在递减开集列{G k }，使)1(≥⊂k G E k 且)(0∞→→k mG k ，令k k G H ∞==1，则.0,=⊂mH H E 且令⎩⎨⎧∉∈=kkk G y x G y x y x f ),(0),(1),(, 则由控制收敛定理和情形2， 0=⎰⎰⨯⨯∞→=qP qp R R RR k k H dxdy y x f dxdy y x ),(lim ),(χ =[]⎰⎰⎰⎰∞→∞→=p q p qRRR R k k k k dx dy y x f dy y x f dx ),(lim ),(lim=[]⎰⎰⎰⎰=∞→pp q q R RRH R k k dy y x dx dx dy y x f ),(),(lim χ .因此，对几乎所有的p R x ∈，有⎰=q RH dy y x 0),(χ，从而对几乎所有p R x ∈，q H R y y x ∈关于),(χ几乎处处为零，但),(),(),(0y x y x y x f H E χχ≤=≤,因而对几乎所有的p R x ∈，几乎处处为零关于q R y y x f ∈),(，因此对几乎所有的p R x ∈，⎰==0),()(dy y x f x F q R ,于是⎰⎰⎰==⨯0),(),(dy y x f dx dxdy y x f q p qp R R R R .情形5 E 是一般可测集.由可测集结构知，存在有界单增的闭集列Z F k 和零测集}{,使φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞= Z F Z F E k k k ,1(k ≧1),记()则的特征函数和分别为和,1≥k F Z f f k k o),(),(lim ),(),(y x f y x f y x y x f o k k E +==∞→χ.由情形3和4，)1(,≥k f f o k 满足定理（1）～（3），故由单调收敛定理和可积函数性质知),(y x f 也满足（1）～（3）.至此我们证明了q p R R ⨯中任何可测集E 上的特征函数)3(~)1()(满足定理x f ，从而易知任何非负简单函数和非负可测函数都满足定理（1）～（3）. 定理2 （Fubini ），设),(y x f 在q p R R ⨯上可积，则（1）对几乎所有的q R x ∈,),(y x f 作为q R y ∈ 的函数在q R 上可积； （2）⎰=q Rdy y x f x F 在),()(q R x ∈上可积；（3）⎰⎰⎰⨯=qp qpR R R R dy y x f dx dxdy y x f ),(),(.证明 因为),(),(),(y x f y x f y x f -+-=，而q P R R f f ⨯-+都是,上的非负可积函数,所以由定理1即得结论.推论 设),(y x f 在q p R R ⨯上非负可测（L 可积），则dx y x f dy dxdy y x f dy y x f dx pqqp qpR R R R R R ),(),(),(⎰⎰⎰⎰⎰==⨯ .证明 在定理1和定理2的证明中交换y x 与的位置即得结论. 二、富比尼定理的应用以下我们介绍富比尼定理在函数的卷积和分布函数方面的应用.为此先给出如下引理:引理 设上的可测函数是则上的可测函数是n n n n R R R y x f R x f 2)(,)(=⨯-. 证明 因为函数上可测在n R x f )(，所以对任何})({,1αα>∈=∈x f R x A R n 是n R y x y x g -=),(，则})(),{(a y x f R R y x n n >-⨯∈)(}),{(1A g A y x R R y x n n -=∈-⨯∈=. 为证引理，只需证明 中可测集是n R A g 21)(-. 分三种情形证明:（1）若A 为中n R Borel 集，因为n n R R g →2:是连续映射，则)(1A g -为n R 2中Borel 集，从而)(1A g -是可测集. （2）若A 是中n R 零测集，即mA=0,则存在δG 型集G ),(,0,1G g B mA mG A -===⊃令且则B 的特征函数B χn R 2是上的非负可测函数，由推论及有,0}){(==+mG y G m.0}){(),(),(),(}{2=+=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+dy y G m dxdy dx y x dy dyy x dx dxdy y x mB nnnn nnn R y G R B R R B R R B R χχχ另外，由A G ⊃知，从而所以,0))((,)()(111==⊂---A g m B G g A g )(1A g -是n R 2中可测集.（3）若A 是n R 中任一可测集，则存在,0)\(,=⊂F A m A F F 使型集σ因为知所以由集型集是)1(,Borel F σ,)2(,)(1知又由是可测集F g -)\(1F A g -是可测集，从而)\()()(111F A g F g A g ---= 是可测集.定义 设n R x g x f 是)(),(上的可测函数，如果对几乎所有的n R x ∈,积分dy y g y x f nR )()(-⎰存在，则称dy y g y x f x g f nR )()())(*(-=⎰为)()(y g x f 与的卷积.定理3 设)(x f ,)(x g 在n R 上可积，则对几乎所有的n R x ∈，))(*(x g f 存在，并且))()()(()(*dx x g dx x f dx x g f nnnR R R ⎰⎰⎰≤.证明 先设0)(≥x f ，0)(≥y g ，由引理，)()(y g y x f -在n n R R ⨯上是非负可测的，由推论，).)()()(())()((])()([))()(())(*(dy y g dx x f dydx y x f y g dydx y g y x f dxdy y g y x f dx x g f nnnnnn nnnR R R R R R R R R ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=-=-=一般情形由下式即得：dx x g Rdx x f Rdx x g f Rdx x g f Rnnnn)()())(*())(*(⎰⎰⎰⎰=≤.定理4 设n R E ⊂是可测集，)(x f 是E 上几乎处处有限的可测函数，对每个0>λ，令 }))(({)(λλ>∈=x f E x m F ，称的分布函数为)()(x f F λ,则当∞<≤p 1时，λλλd F p dx x f E p p)(0)(1-⎰⎰∞=.证明 令⎩⎨⎧≤>=,)(0,)(1),(λλλx f x f x g固定的函数是可测集合作为时x x g ),(,0λλ>})({λ>∈x f E x 的特征函数，所以由定理1，⎰⎰⎰-=λλd p x f dx dx x f p E pE10)()(().)(.),(101010λλλλλλλλλd F p dx x g d p d x g p dx p E p p E -∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰⎰===习 题1、证明§1定理2中（1）、（3）、（4）.2、证明§2定理1中（2）、（4）、（6）.3、设则上可测在,)(E x f 对任何0>η，有,)(])([dx x f x f x mE E ⎰≤≥ηη4、设上在E x f )(非负可测，且⎰=0)(dx x f E，则E e a x f 于,,0)(=5、设令上可测在,0)(E x f ≥,)(,)(0)()]([n x f n x f x f x f n >≤⎩⎨⎧= 若则于,..)(E e a x f +∞<[]⎰⎰=∞→dx x f dx x f E n En )()(lim .6、设(]⎪⎩⎪⎨⎧=∈=⎪⎩⎪⎨⎧=,00,1,02)(,]1,0[,]1,0[1)(4x x xx g x x x xx f 中有理数为中无理数为证明并求可积上在,]1,0[)(),(L x g x f ⎰⎰dx x g dx x f )()(]1,0[]1,0[和.7、 设中任一点至少属于如果的可测子集是]01[,]1,0[,,,21n E E E 这n 个集合中的q个，证明必有一个集合，它的测度大于或等于nq. 8、设是上可积的充分必要条件在证明上非负可测在E x f E x f mE )(,)(,+∞<级数])([1n x f x mE n ≥∑∞=）收敛， +∞=mE 时，结论是否成立？9、设()x f 在可测集E 上L 可积，1E 是E 的可测子集，则()x f 在1E 上L 可积. 10、设+∞<mE ，()x f 在E 上有界可测，则()x f 在E 上L 可积，从而[ a ，b ]上的连续函数是L 可积的.11、设()x f ，()x g 是E 上的可积函数，则)()(22x g x f +，也在E 上可积.12、设]1,0[0为P 中康托集，⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=阶邻接区间n x P x n x f 0100)( ,证明 3)(]1,0[=⎰dx x f .13、设()x f 在E 上L 可积，mE mE mE n E E n n n =+∞<≥⊂→∞lim ,),1(且，证明dx x f dx x f E E n n )()(lim ⎰⎰=→∞.14、设.0lim ],)([,)(,=≥=+∞<∞→n n n nmE n x f x E E L E x f mE 证明记可积上在15、设mE ≠0，()x f 在E 上L 可积，如果对于任何有界可测函数)(x ϕ，都有0)()(=⎰dx x x f Eϕ，则()x f =0，a.e.于E16、设+∞<mE ，0,,)}({⇒n n f E E x f 上证明在函数列上几乎处处有限的可测为的充要条件为 0)(1)(lim =+⎰∞→dx x f x f n n En .17、设{})(x f n 为E 上非负可测函数列，且)1()()(1≥≥+n x f x f n n ，若)()(lim x f x f n n =∞→，且存在0k ，使⎰+∞<Ek dx x f )(0，则dx x f dx x f En En )()(lim ⎰⎰=∞→ .18、设()x f 在[a ,b ]上L 可积，则对任意ε＞0,存在[a ,b ]上的连续函数()x g ,使ε<-⎰dx x g x f b a )()(],[.19、若()x f 是),(+∞-∞上的L 可积函数，则0)()(lim ],[0=-+⎰→dx x f h x f b a h .。
非负可测函数的勒贝格积分的概念
非负可测函数的勒贝格积分的概念一、引言勒贝格积分是测度论中的一个重要概念，它是对于一般的可测函数而言的。
在本文中，我们将介绍非负可测函数的勒贝格积分的概念及其性质。
二、非负可测函数的勒贝格积分定义1. 非负简单函数首先，我们先定义非负简单函数。
如果$f$是定义在可测集$E\subset\mathbb{R}^n$上取值于非负实数集合$\mathbb{R}_+$上的可测函数，那么$f$被称为非负简单函数，如果存在有限个实数$c_1,c_2,\cdots,c_m$和可测集合$E_1,E_2,\cdots,E_m\subset E$使得$f(x)=\sum_{i=1}^mc_i\chi_{E_i}(x)$对于$x\in E$成立。
其中，$\chi_{E_i}(x)$表示指示函数：若$x\in E_i$则$\chi_{E_i}(x)=1$；否则$\chi_{E_i}(x)=0$2. 非负可测函数接下来我们定义非负可测函数。
如果$f$是定义在可测集合$E\subset \mathbb{R}^n$上取值于非负实数集合$\mathbb{R}_+$上的可测函数，那么$f$被称为非负可测函数。
3. 非负可测函数的勒贝格积分设$f$是定义在可测集合$E\subset\mathbb{R}^n$上取值于非负实数集合$\mathbb{R}_+$上的可测函数。
对于任意的非负简单函数$\varphi(x)=\sum_{i=1}^mc_i\chi_{E_i}(x)$，我们定义$\varphi(x)$在$E$上的积分为：$$\int_E\varphi(x)d\mu=\sum_{i=1}^mc_i\mu(E_i)$$其中，$\mu(E_i)$表示集合$E_i$的测度。
我们将其记作$\int_Ef(x)d\mu=\sup\{\int_E\varphi(x)d\mu:\varphi(x)\text{是定义在}E\text{上的非负简单函数且}\varphi(x)\leq f(x)\}$，其中$\sup$表示上确界。
勒贝格积分
勒贝格积分(2007-09-03 00:39:01)转载▼标签：分类：科普知识/探索数学积分是“和”的概念。
即将东西加起来。
所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。
比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。
用极限法就可以求得精确的面积。
这是传统的积分概念(黎曼积分)。
勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。
比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。
又比如现有硬币：25，25，10，5，10，1，5，25。
用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25 =106。
用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。
结果是一样。
但对于一些“坏”函数，结果是不一样。
比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数：Y=1，当X是无理数；Y=0，当X是有理数。
求该函数覆盖的面积。
黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。
用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。
[0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。
而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。
所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。
这就解释了上述计算结果。
由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。
很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。
这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。
勒贝格积分的概念
勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。
勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）在20世纪初提出的，它是对黎曼积分的一种推广和拓展，能够更好地处理一些复杂的函数和集合。
一、勒贝格可积函数的定义在介绍勒贝格积分之前，首先需要了解什么样的函数是勒贝格可积的。
给定一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个数I，对于任意给定的ε > 0，都存在一个分割P = {x0, x1, ..., xn}，使得当这个分割的任意一种选取方式下，对应的上下和满足：S*(f, P) - S(f, P) < ε其中S*(f, P)和S(f, P)分别表示上和下达尔差分和。
如果这个数I存在且唯一，那么称函数f(x)在闭区间[a, b]上是勒贝格可积的，此时这个数I就是函数f(x)在[a, b]上的勒贝格积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
二、勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多优良的性质，使得它在数学分析和实际问题中得到广泛应用。
以下是一些勒贝格积分的重要性质：1. 可积函数的有界性：勒贝格可积函数在定义区间上是有界的，即存在一个常数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有x∈[a, b]成立。
2. 线性性质：勒贝格积分具有线性性质，即对于任意可积函数f(x)和g(x)，以及任意实数α、β，有∫[a, b](αf(x) +βg(x))dx = α∫[a, b]f(x)dx + β∫[a, b]g(x)dx。
3. 单调性质：如果在闭区间[a, b]上有f(x) ≤ g(x)，则∫[a,b]f(x)dx ≤ ∫[a, b]g(x)dx。
4. 加法性质：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上可积，且在点c∈[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
勒贝格积分的概念
勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。
勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格于19世纪末提出的，它是黎曼积分的一种推广和扩展。
1. 勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义是基于集合论的，它将函数的积分看作是对函数在某个区间上的值进行加权求和的过程。
具体来说，给定一个函数f(x)和一个定义在区间[a, b]上的集合E，勒贝格积分的定义如下：∫f(x)dμ = sup{∫φ(x)dμ | φ(x)是[a, b]上的简单函数，且φ(x) ≤ f(x)在E上几乎处处成立}其中，sup表示上确界，简单函数是指形如φ(x) = ΣaiχAi(x)的函数，其中ai是常数，Ai是区间[a, b]上的可测集合，χAi(x)是Ai上的特征函数。
2. 勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多重要的性质，使得它成为了数学分析中不可或缺的工具。
以下是一些勒贝格积分的性质：（1）线性性质：对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dμ = a∫f(x)dμ + b∫g(x)dμ。
（2）单调性质：如果在E上几乎处处有f(x) ≤ g(x)，则∫f(x)dμ ≤ ∫g(x)dμ。
（3）绝对收敛性：如果∫|f(x)|dμ存在，则∫f(x)dμ也存在。
（4）有界性：如果在E上几乎处处有|f(x)| ≤ M，其中M是常数，则∫f(x)dμ存在且|∫f(x)dμ| ≤ M。
（5）积分与极限的交换：如果函数序列{f_n(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，且存在可积函数g(x)使得|f_n(x)| ≤ g(x)在E上几乎处处成立，则有lim(n→∞)∫f_n(x)dμ = ∫f(x)dμ。
3. 勒贝格积分与黎曼积分的关系勒贝格积分是对黎曼积分的一种推广和扩展。
黎曼积分是通过将区间[a, b]划分成若干小区间，然后在每个小区间上对函数进行近似求和来定义的。
勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理
勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理
摘要：
一、勒贝格逐项积分定理
1.勒贝格逐项积分定理的概念
2.勒贝格逐项积分定理的推导过程
二、勒贝格控制收敛定理
1.勒贝格控制收敛定理的概念
2.勒贝格控制收敛定理的证明过程
正文：
一、勒贝格逐项积分定理
勒贝格逐项积分定理，是数学分析中的一种重要定理，它指出：对于可积函数序列，如果其逐项可积，那么这个序列的积分也是可积的，且其积分的值等于序列中每个函数的积分的极限。
勒贝格逐项积分定理的推导过程主要依赖于勒贝格积分的可积性，即只要序列中的每个函数都可积，那么序列的积分也是可积的。
此外，还需要利用极限的保号性，即如果一个序列的极限非负，那么这个序列的每个元素也非负。
二、勒贝格控制收敛定理
勒贝格控制收敛定理，是数学分析中的又一个重要定理，它指出：对于可积函数序列，如果其逐项可积，并且每个函数都可以被一个可积函数控制，那么这个序列的积分等于序列中每个函数的积分的极限。
勒贝格控制收敛定理的证明过程主要是利用了勒贝格逐项积分定理，以及
函数的控制性。
首先，根据勒贝格逐项积分定理，序列的积分是可积的。
然后，由于每个函数都可以被一个可积函数控制，所以可以得到序列的积分的极限等于每个函数的积分的极限。
Lebesgue积分
{ } 集） 记 T =maxΔxi 称为分割 T 的纯度或模。 1≤i≤n
的分
割
L 积分
设 E ⊂ Rn 是一个非空可测集，如果
n
E = U Ei ，其中各 Ei 为互不相交的非空 i=1
{ } 可测集，则称有限集 D = Ei 是 E 的一个
{ } 可测分割。设 D' = En' 是 E 的另一分割
积分的绝对连续性是 L-积分的重要特征，在连续函数平均逼近定理、 可测函数列控制收敛定理、L 积分中牛顿—莱布尼兹公式的推广应用等 很多重要定理的证明中都用到此性质。
⑵ L 积分的绝对可积性：
f (x) L 可积的充分必要条件为 f (x) L 可积。
134
由此，对于 L 积分可积亦绝对可积。这一特性与 R 积分有所不同。
R 积分的可积性可能依赖于被积函数的正负值相消；而 L 积分主要依靠 f
的绝对值受到一定的“控制”，当 f < g ，无论 f 如何复杂，若 g 可积，
则 f 必定可积。由此，显示了 L 积分较 R 积分的优越性；并说明 L 积分
可以看成 R 定积分的推广，但不是 R 广义积分的推广。
⑶ 变上限积分函数的绝对连续性：
130
收敛定理是 L 积分的重要结论；L 积分的绝对连续性是 L 积分的重要特 征，很多问题的证明用此性质；可测函数可以用连续函数平均逼近、零 测度集不影响函数的可积性及积分值等等是很有用的结论。对于 L 积分 性质的学习，要注意分清哪些只需积分有意义就成立，哪些必须函数可 积才成立。
3、函数列积分的极限定理理论上很重要，是全章的重点之一。注意 掌握几个定理各自的特点、条件、结论和相互联系，会用于解决问题。
[ ] a , b 积分区域， f (x) 是被积函数。
lebesgue积分收敛定理
Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。
Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。
Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。
这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。
下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。
一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。
给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。
Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。
二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。
Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。
勒贝格积分通俗理解
勒贝格积分通俗理解
嘿，朋友们！今天咱就来唠唠勒贝格积分，这可真是个有意思的东西啊！
比如说，你想象一下，你要计算一块奇形怪状的土地的面积。
常规的积分就好像拿着把大尺子去量，可碰到那些弯弯扭扭的边界就傻眼了。
但勒贝格积分呢，就像是有一双超级厉害的眼睛，能把这片地的每一个小角落都看得清清楚楚！
咱再举个例子啊，假设你有一堆乱七八糟的糖果，有大有小，形状各异。
你要是用普通的方法来数它们的数量，可能会很麻烦。
但勒贝格积分就像是一个神奇的分类机器，能把这些糖果按照不同的特征精确地分类和计算。
勒贝格积分啊，它就像是一个聪明的小精灵，总能找到最巧妙的方法来解决问题。
它可不是那种死脑筋的家伙，会灵活地根据实际情况来调整计算方式。
还记得我之前学勒贝格积分的时候呀，那可真是绞尽脑汁。
我就跟它较上劲了，心想我还搞不定你了咋的！我就不断地研究、思考，和同学们一起讨论。
“嘿，你觉得这个勒贝格积分这里是不是应该这样理解？”“哎呀，
不对不对，应该是那样。
”在这种交流和争辩中，我们对勒贝格积分的理解越来越深刻。
它就像是一扇通往新世界的大门，一旦你走进这扇门，哇，原来数学的天地可以这么广阔！它让那些以前觉得很难搞的问题，一下子变得清晰起来。
嘞贝格积分真的太神奇了！它打开了我们的思维，让我们看到了更多的可能性。
大家千万不要被它一开始的复杂吓倒，只要用心去感受，去探索，你就会发现它的独特魅力！相信我，一旦你真正理解了它，你会像发现了宝藏一样兴奋不已！。
勒贝格积分_高等教育-微积分
第5章 勒贝格积分到现在我们为了建立勒贝格积分已经做了必要的准备工作，我们有了可测集，可测函数的概念和理论，定义Lebesgue 积分的条件已经成熟. 本章我们讨论Lebesgue 积分的基本内容.§5.1 测度有限集上有界可测函数的积分1．有界可测函数积分的定义定义5.1.1 设n E R ⊂，mE <∞，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在，,R αβ∈，使()(,)f E αβ⊂. 若01:n D l l l αβ=<<<= 是[,]αβ的任一分点组，则记11()max()k k k nD l l δ-≤≤=-，1[]k k kE E l f l -=<≤.对任意的1[,]k k k l l η-∈，作和式1()nk k k S D mE η==∑，称()S D 为f 关于分点组D 的一个和数.如果存在常数A ，使得对任意的0ε>，总有0δ>，当任意分点组D 满足()D δδ<时，有|()|S D A ε-<.换句话说，()0lim ()D S D A δ→=时，则称f 在E 是Lebesgue 可积的，并称A 为f 在E 上的Lebesgue 积分，记作()EA f x dm =⎰.有时为了简便也记()EA f x dx =⎰，若[,]E a b =，则记[,]()a b A f x dx =⎰. 当()f x 是Riemann 可积函数时，其Riemann 积分仍沿用数学分析中的记法，记作()b af x dx ⎰.对[,]αβ的任意分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，有两个特殊的和数尤其重要：11()[]nk k k k S D l mE l f l -==<≤∑，111()[]nk k k k S D l mE l f l --==<≤∑.称()S D 和()S D 分别为f 关于分点组D 的大和数与小和数. 显然对于f 的任一和数()S D ，有()()()S D S D S D ≤≤.因此，极限()0lim ()D S D δ→存在当且仅当()0lim ()D S D δ→和()0lim ()D S D δ→都存在且相等.定理 5.1.1 设n E R ⊂，mE <∞，f 是E 上的有界可测函数，则f 在E 上Lebesgue 可积.证明 因为()f x 是有界可测函数，所以有,R αβ∈，使()(,)f E αβ⊂.设sup{()}DS S D =，inf{()}DS S D =. 即S 是对(,)αβ的所有分点组D 的小和的上确界，S 是对(,)αβ的所有分点组D 的大和的下确界.往证S S =.首先证明：S S ≤，设01:n D l l l <<< ，01:m D l l l ''''<<< . 是对(,)αβ任意的两个分点组，则()S D S ≤，()S D S ≥.将D 和D '合并起来构成一个新的分点组，记为D ''，D ''可以看成分点组D 中又加进了一些分点，称为D 的一个加细，假设对任意k ，1k l -与k l 之间加入了某些分点1j l -'，1,,,k j j j j l l l ++''' ，（把1k l -和k l 算在内）即 111k k j j j j j k l l l l l l --++''''=<<<<= ，于是 111()[]nk k k k S D lmE l f l --==<≤∑111[]kj j n k i i k i j lmE l f l +--==''=<≤∑∑111[]kj j ni i i k i jl mE l f l +--=='''≤<≤∑∑()()S DS D ''''=≤ 11[]kj j n ii i k i j l mE l f l +-=='''=<≤∑∑11[]kj j nki i k i j l mE l f l +-==''≤<≤∑∑11[]nk k k k l mE lf l -==<≤∑()S D =. 这样，有()()()()S D S D S D S D ''''≤≤≤，同样的方法，有()()()()S D S D S D S D ''''''≤≤≤.这说明，对于任一分点组D ，加细后的分点组D ''，其大和数不增，小和数不减. 且由()()()S D S D S D '''≤≤， ()()()S D S D S D '''≤≤.说明对于任意一个分点组的小和数不超过其它任意一个分点组的大和数. 此即sup{()}inf{()}DDS D S D ≤，于是S S ≤.再证明S S =.设D 为任意的分点组，则由于()()S D S S S D ≤≤≤，有0()()S S S D S D ≤-≤-111()[]nkk k k k ll mE l f l --==-<≤∑()D mE δ≤.这样对任意的0ε>. 取分点组*D ，使*()D mEεδ<，则0S S ε≤-<. 由0ε>是任意的，有S S =. 令S S S ==，往证()0lim ()D S D S δ→=. 注意到()()S D S S D ≤≤，()()()S D S D S D ≤≤，所以()()()()S S D S D S D D mE δ-≤-≤， ()()()()S D S S D S D D mE δ-≤-≤.因此|()|()()()S D S S D S D D mE δ-≤-≤.所以()0lim ()D S D S δ→=.即f 在E 上Lebesgue 可积.注：本定理还证明了()f x 在E 上Lebesgue 可积，则()sup{()}inf{()}EDDf x dx S D S D ==⎰.例1 考察[0,1]上的Dirichlet 函数()D x .1,[0,1]()0,[0,1]x D x x ∈⎧=⎨∈⎩则()D x 在[0,1]上Lebesgue 可积，且[0,1]()0D x dx =⎰.证明 ([0,1]){0,1}[D =⊂-，对于(1,2)-的任一组分点:D 0112n l l l -=<<<= .当11()max{}0k k k nD l l δ-≤≤=-→时，0和1不能在同一个小区间上.设10(,]i i l l -∈，11(,]j j l l -∈，则1i j n ≤<≤. 取1[,]i i i l l η-∈，则是有理数；是无理数.1|||0|||()i i i i l l D ηηδ-=-≤-≤，因此当()0D δ→时，0i η→. 而1[()]j j E l D x l Q -<≤⊂（有理数集），所以1[()]0j j mE l D x l -<≤=.当,k i j ≠时，由于1[()]k k E l D x l φ-<≤=，则1[()]0k k mE l D x l -<≤=.因此11()[()]nk k k k S D mE l D x l η-==<≤∑11[()][()]i i i j j j mE l D x l mE l D x l ηη--=<≤+<≤ 1[()]i i i m E l D x l η-=<≤ 于是1()0()0lim ()lim [()]i i i D D S D mE l D x l δδη-→→=<≤0=，即[0,1]()0D x dx =⎰.我们知道()D x 在[0,1]不是Riemann 可积的，所以Lebesgue 可积函数类比Riemann 可积函数类要广.2．有界可测函数积分的性质定理5.1.2 设nE R ⊂，mE <∞，()f x 、()g x 都是E 上的有界可测函数，则 （i ）对任意的a R ∈，()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰；（ii ）若1,,m E E 是E 的可测子集，()i j E E i j φ=≠ ，1mi i E E ==，则1()()()mEE E f x dx f x dx f x dx =++⎰⎰⎰；（iii ）(()())()()EEEf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰；（iv ）当()()..f x g x a e ≤于E 时，()()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰；证明 证（ii ）. 只须就2m =的情形证明.设()(,)f E αβ⊂，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= . 令111[]i i i E E l f l -=<≤，221[]i i i E E l f l -=<≤，1,2,,i n = . 那么121[]i i i i i E E E E l f l -==<≤ ，且12i i E E φ= ，所以12i i i mE mE mE =+，1,2,,i n = .对于分点组D ，用12(),(),()E E E S D S D S D 分别表示f 在12,,E E E 上对应D 的大和数.1()nE i i i S D l mE ==∑1211nniiiii i l mE l mE===+∑∑12()()E E S D S D =+ 该等式对任意的分点组D 成立.对任意的0ε>，存在(,)αβ的分点组1D ，使得111()inf{()}2E E DS D S D ε<+，也存在(,)αβ的分点组2D ，使得222()inf{()}2E E DS D S D ε<+.设*12D D D = ，则*D 即是1D 也是2D 的加细，因此12***()inf{()}()()()E E E E EDf x dx S D S D S D S D =≤=+⎰121212()()()()E E E E S D S D f x dx f x dx ε≤+<++⎰⎰由0ε>是任意的，所以12()()()EE E f x dx f x dx f x dx ≤+⎰⎰⎰.同样考虑小和数和()sup{()}EDf x S D =⎰可证相反的不等式，所以12()()()EE E f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.证（iii ）. 设()(,)f E αβ⊂，()(,)g E αβ''⊂，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，对(,)αβ''的任一分点组01:m D l l l αβ''''''=<<<= . 令1[]i i i E E l f l -=<≤，1[]j j j E E l g l -'''=<≤ 1[]ij i j j E E l g l -''=<≤11[,]i i j j E l f l l g l --''=<≤<≤1[]j i i E l f l -'=<≤，(1,2,,;1,2,,.)i n j m == 由此可知，E 可分解为有限个互不相交的可测集的并.1111n m n mij i j i j i j E E E E ===='=== .于是()()iji j ij E f g dx l l mE '+≤+⎰i ij j ij l mE l mE '=+.11()()ijn mEE i j f g dx f g dx ==+=+∑∑⎰⎰11nmiijji j l mE l mE ==''≤+∑∑()()f g S D S D'=+. 该不等式对(,)αβ的任意分点组D 和(,)αβ''的任意分点组D '都成立. 因为inf{()}f EDfdx S D =⎰，inf{()}g ED gdx S D ''=⎰.所以对任意的0ε>，有(,)αβ的分点组1D 和(,)αβ''的分点组1D '，使 1()()2f E S D f x dx ε<+⎰， 1()()2g ES D g x dx ε'<+⎰.因此可得11()()()f g Ef g dx S D S D '+≤+⎰()()EEf x dxg x dx ε<++⎰⎰由0ε>是任意的，有()()()EEEf g dx f x dx g x dx +≤+⎰⎰⎰.同样考虑小和数及所有小和数的上确界可得相反的不等式. 因而()()()EEEf g dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证（i ）. 引理1 若()f x c ≡（常数），x E ∈. 则()Ef x dx cmE =⎰.因为存在,R αβ∈，使c αβ<<. 对(,)αβ的任一分点组01n l l l αβ=<<<= . 若1(,]i i c l l -∈，1i n ≤≤，则1[]i i mE l f l -<≤mE =，任取1(,]i i i l l η-∈，则1||()i i i c l l D ηδ--≤-≤.因此当()0D δ→时，i c η→.而当k i ≠时，1[]k k E l f l φ-<≤=，因而1[]0k k mE l f l -<≤=，于是11()0()01lim[]lim []nk k k i i i D D k mE lf l mE l f l δδηη--→→=<≤=<≤∑c mE =⋅.以下证明()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰.若0a =，则()0af x ≡，x E ∈. 由引理1，()000()()EEEaf x dx mE f x dx a f x dx =⋅===⎰⎰⎰.若0a >，设()af x αβ<<，对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= .由于()f x aaαβ<<，分点组D 相当于(,)a aαβ的一个分点组011:n l l l D a a a a aαβ=<<<= .任取1[,]i i i l l η-∈，则1,ii i l l a a a η-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 1111[]nni i i i i i i i l l mE l af l mE f aa ηη--==⎡⎤<≤=<≤⎢⎥⎣⎦∑∑，而1111()0()011lim lim nnii i i i i D D i i l l ll a mE f a mE f a a a aa a δδηη--→→==⎡⎤⎡⎤<≤=<≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()E a f x dx =⎰，并且1()0()0D D δδ→⇔→，因此1()01()lim[]ni i i ED i af x dx mE laf l δη-→==<≤∑⎰11()01l i m ()nii iD E i l l amE f a f x dx a a a δη-→=⎡⎤=<≤=⎢⎥⎣⎦∑⎰.若0a <，则0a ->. 则0[()]Eaf a f dx =+-⎰()EEafdx a fdx =+-⎰⎰()EEafdx a fdx =+-⎰⎰于是()EEafdx a fdx =--⎰⎰Ea fdx =⎰.综上，对任意的a R ∈，有()()EEaf x dx a f x dx =⎰⎰.证（iv ）. 引理2 定义在零测度集上的任何有界函数是可积的，而且积分为零. 事实上，设()f x 定义在E 上，0mE =，设()f x αβ<<，x E ∈. 对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= ，则由1[]i i E l f l E -<≤⊂，所以1[]0,1,2,,i i mE l f l i n -<≤== .于是，任取1[,]i i i l l η-∈，11[]0ni i i i mE lf l η-=<≤=∑，因此1()01()lim[]0ni i i ED i f x dx mE lf l δη-→==<≤=∑⎰.为证（iv ），令()()()F x g x f x =-，则()0..F x a e ≥于E . 由引理2，不妨设()0,F x x E ≥∈.设()(,)F E αβ⊂. 对(,)αβ的任一分点组01:n D l l l αβ=<<<= . 对每一个1i n ≤≤，考察1[]i i i mE l F l η-<≤，其中1[,]i i i l l η-∈，若0i η<，则当()0D δ→时，0i l <，此时1[]i i E l F l φ-<≤=，因而1[]0i i i mE l F l η-<≤=.若0i η≥，则由1[]0i i mE l F l -<≤≥知1[]0i i i mE l F l η-⋅<≤≥，因此1()01()lim[]0ni i i ED i F x dx mE lF l δη-→==<≥≥∑⎰，于是()(()())EEF x dx g x f x dx =-⎰⎰ [()(())]Eg x f x dx =+-⎰ ()()EEg x dx f x dx =+-⎰⎰()()0EEg x dx f x dx =-≥⎰⎰. 因而()()EEg x dx f x dx ≥⎰⎰.推论 设mE <∞，且()f x 是E 上的有界可测函数，则||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.证明 因为||||f f f -≤≤，所以由定理5.1.2的（iv ）和（i ）有||||EEEf dx fdx f dx -≤≤⎰⎰⎰，即||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.定理 5.1.3 设mE <∞，()f x 是E 上的有界可测函数，若()0..f x a e ≥于E ，且()0Ef x dx =⎰，则()0..f x a e =于E .证明 因为()0..f x a e ≥E ，则[0]0mE f <=，且[0]()0E f f x dx <=⎰，若能证明[0]0mE f >=，则定理得证.[0][0][0]E E f E f E f ==<> .令1,1,2,n E E f n n ⎡⎤=≥=⎢⎥⎣⎦ ，则1[0]n n E f E ∞=>= ，对任意取定的n N +∈，有 0()Ef x dx =⎰[0][0]()()E f E f f x dx f x dx <≥=+⎰⎰[0]()E f f x dx ≥=⎰[0]()()nnE E f E f x f x dx ≥-=+⎰⎰1()nn E f x mE n≥≥⎰所以0,1,2,n mE n == ，因此11[0]0n n n n mE f m E mE ∞∞==⎛⎫>=≤= ⎪⎝⎭∑ ，于是()0..f x a e =于E .§5.2 一般可测集上一般可测函数的积分对于广义Riemann 积分，有积分区间无限的广义积分和无界函数的广义积分，对于Lebesgue 积分也有无限测度集上的积分和无界可测函数的积分的情形.本节的任务就是讨论这种一般情形的积分.1．有限可测集上无界可测函数的积分（i ）非负函数情形 设nE R⊂，mE <∞，()f x 是E 上的非负可测函数.N R +∈，称[]()m i n {(N f x f x N =为()f x 的N -截断函数.有了N -截断函数的概念，我们可以构造有界可测函数列{()}n f x .其中()[]()n n f x f x =.1,2,n = .显然，这样构造的函数列{}n f 满足：12()()()n f x f x f x ≤≤≤≤ ，x E ∈.并且lim ()()n f x f x =.因而12()()()n EEEf x dx f x dx f x dx ≤≤≤≤⎰⎰⎰ ，所以极限lim()n n Ef x dx →∞⎰存在（可能是+∞）.定义 5.2.1 设n E R ⊂，mE <∞，()f x 是E 上的非负可测函数.()[]()n n f x f x =，,1,2,x E n ∈= .称lim ()n n Ef x dx →∞⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分.记为：()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.若()n Ef x dx ⎰是有限数，称()f x 在E 上可积，若()n Ef x dx ≤+∞⎰，称()f x 在E 上有积分值.（ii ）一般函数情形定义5.2.2 设()f x 在n E R ⊂上可测，如果()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积，那么称()()EEf x dx f x dx +--⎰⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分.记为：()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.当()f x +和()f x -都在E 上可积时，称f 在E 上可积.定义中要求()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积是因为如果()f x +和()f x -在E 上都不可积时，()Ef x dx +=+∞⎰且()Ef x dx -=+∞⎰.此时()Ef x dx +-⎰()()()Ef x dx -=+∞-+∞⎰，没有意义，因而没有积分值.若()f x +和()f x -中至少有一个在E 上可积时，()Ef x dx +-⎰()Ef x dx -⎰有意义，但可能为+∞或-∞.无论()Ef x dx ⎰是有限数，+∞或-∞，我们都说()f x 在E 上有积分值，当|()|Ef x dx <+∞⎰时，称f 在E 上可积.2．非有限测度可测集上的积分（i ）()f x 是非负可测函数设nE R ⊂，mE =∞.设12{(,,,):||,1,2,,}m n i x x x x m i n K =≤= .令m m E E =K ，则m mE <∞，1,2,m = ，且12m E E E ⊂⊂⊂⊂ 是单调增加集列，有1lim m mm m E EE ∞→∞=== .由前面讨论，()f x 在每个m E 上有积分值()mE f x dx ⎰.记()mm E J f x dx =⎰.则{}m J 是单调增加数列，极限lim m m J →∞存在（可能是+∞）.定义5.2.3 设n E R ⊂，mE =∞，()f x 是E 上的非负可测函数.称lim lim ()mm m m E J f x dx →∞→∞=⎰（m E 如上说明）为()f x 在E 上的Lebesgue 积分，记为()lim ()mEm E f x dx f x dx →∞=⎰⎰.若()Ef x dx ⎰是有限数，称()f x 在E 上可积，若()Ef x dx ≤+∞⎰，称()f x 在E 上有积分值.（ii ）()f x 是一般可测函数定义5.2.4 设nE R ⊂，mE =∞，()f x 是E 上的可测函数.如果()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰至少有一个是有限数，则称()Ef x dx +⎰()Ef x dx --⎰为()f x 在E 上的Lebesgue 积分，记为()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.若()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰都是有限数，称()f x 在E 上可积.至此，非有限测度集和无界可测函数积分的概念已经建立，以下继续讨论积分的性质. 定理5.2.1 （1）设()f x 是E 上的函数，0mE =，则()0Ef x dx =⎰.（2）设()f x 在E 上可积，则[||]0mE f =∞=，即()f x 是E 上几乎处处有限的函数. 证明 （1）由0mE =，()f x 在E 上可测，所以[]n f +和[]n f -都是E 上的有界可测函数(1,2,)n = ，从而[]()0n Ef x dx +=⎰，[]()0n Ef x dx -=⎰，(1,2,)n = .所以()Ef x dx +=⎰lim []()0n n Ef x dx +→∞=⎰，()Ef x dx -=⎰lim []()0n n Ef x dx -→∞=⎰.于是()Ef x dx =⎰()Ef x dx +-⎰()0Ef x dx -=⎰.（2）令1[]E E f ==+∞，2[]E E f ==-∞.往证120mE mE ==.用反证法，若10mE δ=>，则对任意的正整数n ，有()[]()n EE f x dx f x dx ++≥≥⎰⎰1[]()n E f x dx n δ+=⎰，1,2,n = ，所以()Ef x dx +=+∞⎰，这与()f x 在E 上可积矛盾.因此必须有10mE =.同理可证20mE =.于是1212[||]()0mE f m E E mE mE =∞=≤+= .定理5.2.2 设()f x 在E 上可测，()g x 在E 上非负可积，|()|(),f x g x x E ≤∈，则()f x 也在E 上可积，且|()|()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰.证明 因为|()|()()f x f x f x +-=+，所以()()f x g x +≤，()()f x g x -≤.对任意的正整数,k n 有[]()kn E f x dx +≤⎰[]()kn E g x dx ≤⎰()Eg x dx <+∞⎰，所以对每一个正整数k ，{[]()}kn E f x dx +⎰，(1,2,)n = 是单调增加有上界的数列，有有限极限()kE f x dx +=⎰lim []()kn n E f x dx +→∞≤⎰()kE g x dx <+∞⎰.而{()}kE f x dx +⎰，(1,2,)k = 也是单调增加有上界的数列，也有有限极限()Ef x dx +=⎰lim ()kk E f x dx +→∞≤⎰lim ()kk E g x dx →∞⎰()Eg x dx =<+∞⎰.同理可证()Ef x dx -≤⎰()Eg x dx <+∞⎰. 因此()f x 在E 上可积.由|()|()f x g x ≤，x E ∈，有[||]()[](),1,2,n n f x g x n ≤= ，所以对每一个正整数k ，有[||]kn E f dx ≤⎰[](),1,2,kn E g x dx n =⎰ .令n →∞，有|()|kE f x dx ≤⎰(),1,2,kE g x dx k =⎰.令k →∞，有|()|Ef x dx ≤⎰()Eg x dx ⎰.定理5.2.3 设E 是可测集，则（i ）当12,,,m E E E 是E 的互不相交的可测子集，1mi i E E ==，()f x 在E 上有积分值时，()f x 在每一个i E 上有积分值，且()Ef x dx =⎰1()E f x dx +⎰2()()mE E f x dx f x dx ++⎰⎰.特别地，当()f x 是E 上的非负可测函数时，()Ef x dx ⎰()iE f x dx ≥⎰，1,2,,i m = ；（ii ）对任意常数c ，()Ecf x dx =⎰()Ec f x dx ⎰；（iii ）若()f x ，()g x 都是E 上的可积函数，则[()()]Ef xg x dx +=⎰()Ef x dx +⎰()Eg x dx ⎰；（iv ）若()f x 在E 上有积分值，且()()f x g x =..a e 于E ，则()Ef x dx =⎰()Eg x dx ⎰；（v ）当()f x ，()g x 都在E 上可积，且()()f x g x ≤()x E ∈时，()Ef x dx ≤⎰()Eg x dx ⎰.证明 证（i ）. 只须就2m =的情形证明，一般情形利用归纳法可证. 由定理5.1.2的（ii ），对任意的正整数,k m ，有[]km E f dx +=⎰12[][]k k m m E E E E f dx f dx +++⎰⎰ ， []k m E f dx -=⎰12[][]k k m m E E E E f dx f dx --+⎰⎰ ，先对m 后对k 取极限，有Ef dx +=⎰12E E f dx f dx +++⎰⎰， Ef dx -=⎰12E E f dx f dx --+⎰⎰.若()f x 在E 上有积分值，则Ef dx +⎰和Ef dx -⎰至少有一个是有限数，不妨设Ef dx+⎰是有限数，那么1E f dx +⎰2E f dx ++⎰是有限数.从而1E f dx +⎰和2E f dx +⎰都是有限数，因而()f x 在1E 和2E 上都有积分值，且()Ef x dx =⎰Ef dx +-⎰Ef dx -⎰()12E E f dx f dx ++=+⎰⎰()12E E f dx f dx ---+⎰⎰1()E f x dx =⎰2()E f x dx +⎰.当()f x 是E 上非负可测函数时，由()i i E E E E =- ，且()i i E E E φ-= ，1,2i =.则()Ef x dx =⎰()()iiE E E f x dx f x dx -+⎰⎰(),1,2iE f x dx i ≥=⎰.为证明（ii ）和（iii ），先证明如下结果：引理1 若(),()f x g x 是E 上的非负函数，0c >，则对任意正整数n 成立. （1）2[][][][]n n n n f g f g f g +≤+≤+； （2）[][]1[][][]n n nccc f cf c f +≤≤，其中[]nc 表示不超过nc的最大整数，而[]n f 等表示f 的n -截断函数.证明 （1）先证[][][]n n n f g f g +≤+. 设0x E ∈，若0()f x n <且0()g x n <，则000000[()()]()()[()][()]n n n f x g x f x g x f x g x +≤+=+.若0()f x 和0()g x 中至少有一个不小于n ，例如0()f x n ≥，则000[()()][()]n n f x g x n n g x +=≤+00[()][()]n n f x g x =+.再证2[][][]n n n f g f g +≤+.由于[][]n n f g f g +≤+，[][]2n n f g n +≤，所以[][]min{,2}n n f g f g n +≤+2[]n f g =+. （1）得证. （2）[]min{,}min{,}n n cf cf n c f c==， 而min{,[]}min{,}min{,[]1}n n nf f f c c c≤≤+.所以min{,[]}min{,}min{,[]1}n n nc f c f c f c c c≤≤+.于是[][]1[][][]n n n ccc f cf c f +≤≤. （2）得证.证（ii ）. 若0c =，则0cf =()x E ∈.对任何正整数,k m 有()000kkk E E cf dx dx mE ===⎰⎰，所以()lim ()0kEk E Ecf dx cf dx c fdx →∞===⎰⎰⎰.若0c >，则()cf cf ++=，()cf cf --=，由引理1的（2），[][]1[][][]m m mc cc f cf c f ++++≤≤，因此()()lim []km EEm E k cf dx cf dx cf dx +++→∞→∞==⎰⎰⎰[]1l i m[]km m E c k c f dx +→∞+→∞≤⎰Ec fd x +=⎰.另外()()EEcf dx cf dx ++=⎰⎰l i m[]km m E k cf dx +→∞→∞=⎰[]lim[]km m E c k c f dx +→∞→∞≥⎰Ec f dx +=⎰.因此()EEcf dx c f dx ++=⎰⎰.同理1()EEcf dx c f dx --=⎰⎰.所以()EEcf dx c fdx =⎰⎰.当0c <，可按定理5.1.2中的（i ）相应的情形证明.证（iii ）. 先设()f x 和()g x 都是非负可测函数.由引理1的（1），对任意的正整数m ，有2[][][][]m m m m f g f g f g +≤+≤+，所以对任意的正整数k ，有[][][]kkkm m m E E E f g dx f dx g dx +≤+⎰⎰⎰2[]km E f g dx ≤+⎰，由f 和g 是可积的，有lim[[][]]kkm m m E E k f dx g dx →∞→∞+⎰⎰()()EEf x dxg x dx =+⎰⎰，所以，lim []()()km m E EEk f g dx f x dx g x dx →∞→∞+≤+⎰⎰⎰2lim []km m E k f g dx →∞→∞≤+⎰.由左边不等式知f g +可积，有()EEEf g dx fdx gdx +≤+⎰⎰⎰.由右边不等式，有()EEEfdx gdx f g dx +≤+⎰⎰⎰.因此()EEEf g dx fdx gdx +=+⎰⎰⎰.再设()f x 和()g x 都是一般的函数.由于()f g f g ++++≤+，()f g f g ---+≤+.因此若,f g 都在E 上可积，则f g +也在E 上可积.因为()()()()f g f g f g f g f g +-++--+-+=+=+-+，所以()()f g f g f g f g +--++-+++=+++，因而[()][()]EEf g f g dx f g f g dx +--++-+++=+++⎰⎰，由已证结果，有[()()EEEEEEf g dx f dx g dx f dx g dx f g dx +--++-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以[()()()()EEEEEEf g dx f g dx f dx f dx g dx g dx +-+-+-+-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.此即()EEEf g dx fdx gdx +=+⎰⎰⎰.证（iv ）. 设()()f xg x =..a e 于E ，()f x 在E 上有积分值，记1[()()]E f x g x ==，2[()()]E f x g x =≠，则20mE =，12E E φ= ，12E E E = .由（i ），12EE E fdx fdx fdx =+⎰⎰⎰12E E gdx fdx =+⎰⎰因为零测度集上的有界函数积分为零（§5.1引理2）.所以对任何正整数m ，2[]0m E f dx +=⎰，2[]0m E f dx -=⎰，因而22lim []0m E m E f dx f dx ++→∞==⎰⎰，22lim []0m E m E f dx f dx --→∞==⎰⎰.所以2()0E f x dx =⎰，同理2()0E g x dx =⎰.因为f 在E 上有积分值，所以由（i ），f 在1E E ⊂也有积分值，而在1E 上，f g ≡，因此g 在1E 上有积分值.对任意的正整数,m k ，由k mE <∞，[]m g +和[]m g -都是有界函数，依测度有限集上有界函数的积分定义，有121[][][][]kk k k m m m m E E E E E E E g dx g dx g dx g dx ++++=+=⎰⎰⎰⎰.令m →∞，k →∞，则1EE g dx g dx ++=⎰⎰.同理，1EE g dx g dx --=⎰⎰.因为g 在1E 上有积分值，所以g 在E 上有积分值.并且_EEEgdx g dx g dx +=-⎰⎰⎰11E E g dx g dx +-=-⎰⎰11E E gdx fdx ===⎰⎰12E E Efdx fdx fdx +=⎰⎰⎰.证（v ）. 设()()()F x g x f x =-，则()0()F x x E ≥∈，并且()F x 在E 上可积，且()0EF x dx ≥⎰，而(),()f x g x 都在E 上可积，并且()()()g x F x f x =+.由（iii ）()[()()]()()EEEEg x dx F x f x dx F x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰⎰()Ef x dx ≥⎰.至此定理证毕.定理 5.2.4（积分的绝对可积性） 设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上可积的充要条件是|()|f x 在E 上可积，并且|()||()|EE f x dx f x dx ≤⎰⎰.证明 若()f x 在E 上可积，则Ef dx +⎰和Ef dx -⎰都是有限数，即f +和f -都在E 上可积，而|()|()()f x f x f x +-=+，由定理5.2.3的（iii ）有|()|()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=+<∞⎰⎰⎰，因而|()|f x 在E 上可积.反之，若|()|f x 在E 上可积，则由||f f +≤，||f f -≤，由定理5.2.2，f +和f -都在E 上可积，所以f 在E 上可积.并且由||||f f f -≤≤，有||||EEEf dx fdx f dx -≤≤⎰⎰⎰， 此即||||EEfdx f dx ≤⎰⎰.定理5.2.5（积分的绝对连续性） 设()f x 在E 上可积，则对任意的0ε>，存在0δ>，使得对于E 的任意子集A ，当mA δ<时，就有|()|Af x dx ε<⎰.证明 （1）先证明在mE <∞，且()f x 在E 上有界的条件下结论成立.设|()|()f x x E ≤K ∈，则任取可测集,A E ⊂|()|Af x dx ⎰|()|Af x dx mA ≤≤K ⋅⎰.对任意的0ε>，取εδ≤K，则当mA δ<时，有|()|Af x dx mA εε≤K ⋅<K ⋅=K⎰.（2）一般情形()f x 在E 上可积，则|()|f x 也在E 上可积，由lim [|()|]|()|nn n E Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰知，对任意的0ε>，存在正整数N ，使|()|[|()|]2NN EE f x dx f x dx ε-<⎰⎰.另一方面，由情形（1），对这个0ε>，存在0δ>，使当N A E ⊂，且mA δ<时，有[|()|]2N A f x dx ε<⎰，因此，当A E ⊂且mA δ<时，便有()|()||()||()||()|N NAAA A E A E f x dx f x dx f x dx f x dx -≤=+⎰⎰⎰⎰()||(||[||])[||]N NNN N A A E A E A E f dx f f dx f dx -=+-+⎰⎰⎰，因为()N N N A A E A E E E -=-⊂- ，所以|()|||(||[||])[||]NN NN N AE E E A E f x dx f dx f f dx f dx -≤+-+⎰⎰⎰⎰(||[||])[||]22NNN N EE A E f dx f dx f dx εεε=-+<+=⎰⎰⎰.例 1 设()f x 在[,]E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ϕ，使|()()|b af x x dx ϕε-<⎰.证明 设[||]n e E f n =>，则1[||]nn E f e∞==∞=.因为{}n e 是单调减少集列，所以1lim n n n n e e ∞→∞== .而由mE b a =-<∞知，1me <∞，因而1lim (lim )()[||]0n n n n n n me m e m e mE f ∞→∞→∞=====∞=由积分的绝对连续性，对任意的0ε>，必存在正整数N ，使||4NN e N me f dx ε⋅<<⎰.令N N B E e =-，在N B 上由Lusin 定理，存在闭集N N F B ⊂和R 上的连续函数()x ϕ，使得（1）()4N N m B F Nε-<；（2）当N x F ∈时，()()f x x ϕ=，且sup |()|sup |()|NRF x f x N ϕ=≤.所以|()()||()()||()()|NNb ae Bf x x dx f x x dx f x x dx ϕϕϕ-=-+-⎰⎰⎰|()||()||()()|NNN Ne e B Ff x dx x dx f x x dxϕϕ-≤++-⎰⎰⎰|()()|NF f x x dx ϕ+-⎰2044N N me N Nεε≤+⋅+⋅+442εεε<++ε=.§5.3 Lebesgue 积分的极限定理本节讨论如下的问题，假设{}n f 是集E 上的一个函数序列，按某种意义收敛到f ，如果每个n f 在某种意义下都有积分，()f x 是否有积分？如果()f x 也有积分，n f 的积分之极限是否等于()f x 的积分？也就是极限与积分是否可以交换顺序的问题.我们会看到这个问题在Lebesgue 积分范围内得到比在Riemann 积分范围内更为完满的解决，这也正是Lebesgue 积分的最大成功之处.定理5.3.1（Lebesgue 控制收敛定理） 设{()}n f x 是E 上的可测函数列，()F x 是可积的控制函数，即|()|()..n f x F x a e ≤于(1,2,)E n = ，且()F x 在E 上可积，如果()()mn f x f x −−→，则()f x 在E 上是可积的，并且lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明 若0mE =，结论显然成立，因此不妨设0mE >.由于mn f f −−→，由F·Riesz 定理，存在{()}n f x 的子列{()}i n f x ，使 lim ()()..i n i f x f x a e →∞=于E ，由|()|()..i n f x F x a e ≤于E 知|()|()..f x F x a e ≤ 于E . 因为()F x 在E 上可积，所以()f x 在E 上可积.往证lim()()n n EEf x f x dx →∞=⎰⎰.（1）mE <∞因为()F x 在E 上可积，由积分的绝对连续性，对任意的0ε>，存在0δ>，使当e E ⊂且me δ<时，有()4eF x dx ε<⎰.又因为m n f f −−→，所以存在N N +∈，使当n N ≥时，有[||]2n n mE mE f f mEεδ=-≥<，所以当n N ≥时，()4nE F x dx ε<⎰，因此|()()|n EEf x dx f x dx -=⎰⎰|(()())|n Ef x f x dx -⎰|()()|n Ef x f x dx ≤-⎰|()()||()()|nnn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰2()()2nnE F x d x m EE mEε≤+⋅-⎰22εεε<+=.因此，lim()()n n EEf x f x dx →∞=⎰⎰.（2）设mE =∞因为()F x 在E 上可积，对任意的0ε>，取,k m 充分大，使()[]()4km EE F x dx F x dx ε-<⎰⎰，所以()()()kkE E EE F x dx F x dx F x dx -=-⎰⎰⎰()[]()4km EE F x dx F x dx ε≤-<⎰⎰另一方面，在k E 上可测函数列{||}n f f -满足：||2..n f f Fa e -≤于,1,2,k E n = ，||0mn f f -−−→，k mE <∞.因此，由（1）的结果，存在正整数N ，使当n N ≥时||2kn E f f dx ε-<⎰.所以|()()|n EEf x dx f x dx -⎰⎰|()()|n Ef x f x dx ≤-⎰|()()||()()|kkn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰ 2()2kE EF x dx ε-≤+⎰.242εεε<⋅+=因此lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.综上定理得证.定理5.3.1' 设{()}n f x 是E 上的可测函数列，()F x 是可积的控制函数，若lim ()()..n n f x dx f x a e →∞= 于E ，则()f x 在E 上可积且lim ()()n n Ef x dx f x dx →∞=⎰.定理5.3.1''（勒贝格有界收敛定理） 设mE <∞，{()}n f x 是可测集E 上的可测函数列且测度收敛于()f x ，如果{()}n f x 一致有界，即存在常数M ，使得对任意的x E ∈和对任意的正整数n ，有|()|n f x M ≤，则()f x 在E 上可积，且有()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.定理5.3.1''对于Riemann 积分不适用.例1 设12{,,,,}n r r r 是[0,1]中的全体有理数. 作如下函数列：1111,;()0,[0,1]{}.x r f x x r =⎧=⎨∈-⎩ 122121,,;()0,[0,1]{,}.x r r f x x r r =⎧=⎨∈-⎩ … … … … … … … …12121,,,,;()0,[0,1]{,,,}.n n n x r r r f x x r r r =⎧=⎨∈-⎩… … … … … … … …那么{()}n f x 在[0,1]上一致有界，|()|1,[0,1],1,2,n f x x n ≤∈= . 而且1,()()0,n f x D x ⎧→=⎨⎩因为每个()n f x 在[0,1]上只有有限个不连续点，因而Riemann 可积，然而()D x 在[0,1]上不是Riemann 可积的.定理5.3.2（勒维Levi ，1875-1961，意大利数学家） 设 （i ）{()}n f x 是E 上非负可测函数列； （ii ）1()()n n f x f x +≤ (,1,2,)x E n ∈= ； （iii ）()lim ()n n f x f x →∞=，则()lim ()n En Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明 先设()Ef x dx <∞⎰，对任意的0ε>，取正整数,k m ，使[]()()2k m E E f x dx f x dx ε>-⎰⎰.此处k k E E =K ，12{(,,,)k n x x x K = ：||,1,2,,}i x k i n ≤= .注意到k mE <∞，且在k E 上[]()lim[]()m n m n f x f x →∞=，由Egoroff 定理知，存在k E E ε⊂，使4mE mεε<，且在k E E ε-上[]()n m f x 一致收敛到[]()m f x .设正整0n 使0n n ≥时，对一切k x E E ε∈-，都有x 为[0,1]上的有理数；x 为[0,1]上的无理数.0[]()[]()4(1)m n m k f x f x mE ε≤-<+则当0n n ≥时，()[]()[]()4k k n n m m EE E E E f x dx f x dx f x dx εεε--≥≥-⎰⎰⎰，而[]()[]()[]()kk m m m E E E E f x dx f x dx f x dx εε-=+⎰⎰⎰[]()4k m E E f xdx εε-<+⎰，所以当0n n ≥时，()[]()4k n m EE E f x dx f x dx εε->-⎰⎰[]()44km E f xdx εε>--⎰()Ef x dx ε>-⎰.因此lim()()n n EEf x dx f x dx ε→∞≥-⎰⎰，由0ε>是任意的，有lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞≥⎰⎰.另一方面，对任意的n ，显然有()()n f x f x ≤()x E ∈，所以()()n EEf x dx f x dx ≤⎰⎰，从而lim()()n n EEf x dx f x dx →∞≤⎰⎰.综上得lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰.当()Ef x dx =∞⎰时，由积分定义，对任意的0M >.存在,k m 使得[]()km E f x dx M ≥⎰，由[]()[]()n m m f x f x →()n →∞与[]()km E f x dx <∞⎰及上面的证明，知lim []()[]()kkn m m n E E f x dx f x dx M →∞=≥⎰⎰.于是lim ()lim []()n n m n En Ef x dx f x dx →∞→∞≥⎰⎰lim []()kn m n E f x dx →∞≥⎰M ≥.由0M >是任意的，有lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=∞=⎰⎰.定理得证.定理 5.3.3（Lebesgue 基本定理） 设{()}n f x 是可测集E 上的非负可测函数列，1()()n n f x f x ∞==∑，则1()()n EEn f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.证明 设1()(),1,2,nn i i g x f x n ===∑ ，则{()}ngx 是E 上非负可测函数列，且1()()(,1,2,)n n g x g x x E n +≤∈= ，1lim ()()n n n n g x f x ∞→∞==∑()f x =.由Levi 定理有1lim ()(())()n i n EEEi g x dx f x dx f x dx ∞→∞===∑⎰⎰⎰，而1lim ()lim (())nn i n En Ei g x dx f x dx →∞→∞==∑⎰⎰1lim ()ni n Ei f x dx →∞==∑⎰1()i Ei f x dx ∞==∑⎰.所以1()()n EEn f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.定理5.3.4（积分对区域的可数可加性） 若,1,2,i E i = 是E 的互不相交的可测子集列，1i i E E ∞== ，当()f x 在E 上有积分值时，则()f x 在每一个i E 上都有积分值，且1()()iEE i f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰.。
勒贝格积分定义及基本定理
(ff)d xfd xfd x0.
[a,b]
[a,b]
[a,b]
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
又 f(x)dx m(x)dx
[a,b]
[a,b]
im
mi(m)(xi(m)xi( m 1))abf(x)dxi1来自f(x)dx m(x)dx
[a,b]
[a,b]
im
M i(m)(xi(m)xi( m 1))abf(x)dx
E
E kE
E kE
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
注意到 mEk，且在 Ek 上，
{f(x)}l m l i m {fm(x)}l，
由Egoroff定理知，存在
mE 4l ，且在 Ek E
E Ek，使 上 {fm(x)}l
一致收敛到 {f (x)}l。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
L-积分的极限定理
定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积） 如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积 的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且
b
f(x)dxa f(x)dx,
[a,b]
此处 f ( x)dx 表示在[a,b]上的Lebesgue积分，
[ a ,b ]
b f (x)dx 表示在[a,b]上的Riemann积分。 a
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
证明：显然，由本节定理1，只需证明 是[a,b]上的可测函数。 由于 f Riemann可积，取[a,b]的分点组
D m :a x 0 (m ) x 1 (m ) x i ( m m ) b ,D m 1
勒贝格积分的定义和应用
勒贝格积分的定义和应用积分是高等数学中的一个重要概念，勒贝格积分是其中的一种。
本文将着重探讨勒贝格积分的定义和应用。
一、勒贝格积分的定义勒贝格积分是法国数学家勒贝格（Henri Lebesgue）于20世纪初创立的一种积分。
与黎曼积分相比，它具有更广泛的应用范围和更强的理论基础。
首先，我们需要了解可积函数的概念。
对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果存在一个实数I，使得对于任意的ε>0，都存在一个宽度足够小的区间[a1,b1]，使得其中的任何一组点x1,x2,...,xn，满足有|Σ(fiΔxi)-I|<ε其中，Δxi=xi+1-xi，fi为xi,x(i+1)之间的任意点。
则函数f(x)在区间[a,b]上可积。
我们称这个实数I为函数f(x)在区间[a,b]上的黎曼积分。
但是，黎曼积分并不能处理所有函数，比如说在区间[0,1]上的Dirichlet函数：1,x属于[0,1]的有理数f(x)=0,x属于[0,1]的无理数如果我们想对这个函数进行积分，我们会发现无论采取什么方法，这个函数在[0,1]上的积分都不存在。
因此，勒贝格引入了新的积分概念——勒贝格积分。
勒贝格积分的定义与黎曼积分不同，勒贝格积分是先将函数f(x)拆分成单调递增或递减的函数，然后再对其进行积分。
这样就能够处理其他类型的函数，比如Dirichlet函数。
二、勒贝格积分的应用勒贝格积分在实际应用中具有广泛的用途，下面将介绍其中的一些应用。
1.概率论概率密度函数是概率论中的一个重要概念。
对于一个随机变量X，概率密度函数f(x)表示X在某一区间内取值的概率密度大小。
而对于连续型随机变量，其概率密度函数可以表示为：f(x)=lim(n->∞)[P(a<X<b)/n]其中，P(a<X<b)表示X在区间(a,b)内取值的概率，n则表示将区间(a,b)划分成越来越多的小区间。
那么，这个式子中的极限存在吗？答案是肯定的，因为f(x)是一个单调递增或递减的函数，因此可以使用勒贝格积分进行求解。
狄利克雷函数的勒贝格积分怎么求
狄利克雷函数的勒贝格积分怎么求1 背景介绍勒贝格积分(Leibniz integral)是微积分中常用的一种技术，可以用来计算曲线集合中元素之间的和。
黎曼积分和勒贝格积分抽象出微积分的思维：计算面积和其他物理量，这也是工程学和物理学中常用技术。
勒贝格积分可用来计算具有特定性质的一维函数的积分，特别是调和功函数的积分。
勒贝格积分的应用非常广泛，用于计算一维函数的积分，以及多维函数的积分等。
其中，辛函数(sinh)和狄利克雷函数(Dirichlet function)是典型的调和函数，可以用勒贝格积分来计算。
2 狄利克雷函数介绍狄利克雷函数是一类不平滑函数，用于描述无可数穷尽的集合。
它通过检查特定的元数的状态，返回一个布尔值来表示，即是或不是属于一个集合。
其数学表达式如下：$Dirichlet(x) =\begin{cases}0, & x \in N\\1, & x \in R-N\end{cases}$其中，R是实数集，N是无可数穷尽的集合。
3 勒贝格积分的基本概念在勒贝格积分中，积分范围(即x的取值范围)是有界的，可以用下面的公式表示：$\int _a^b \psi (x) dx=\sum_{i=0}^n \Delta u_i \psi(x_i)$上式中，a 与 b 表示积分的上下限，$\psi(x)$ 为求积函数，n 表示要使用的积分线段数，$\Delta u_i$表示求积函数在子段i上的高度，$x_i$表示求积函数在子段i上的中点。
根据定积分的基本几何原理，使用球面积形式来表示勒贝格积分的结果：$\Delta u_i \psi (x_i)=\frac{(b-a)^n}{n!} \psi (x_i)$上式表示，可以使用原积分范围$a\rightarrow b$的n次方内插多项式来计算调和函数的积分。
4 计算狄利克雷函数的积分先将狄利克雷函数$Dirichlet(x)$表示为离散点序列：$x_i=a+[i+1]\times \frac{b-a}{n+1} \in [a,b]$，$i=0,1,2,....(n-1)$根据给定积分范围，狄利克雷函数的积分可用下面的公式表示：$\int _a^b Dirichlet(x) dx=\sum_{i=0}^n \frac{(b-a)^n}{n!} Dirichlet(x_i)$令$u_i=Dirichlet(x_i)$，根据离散点的值，可以写出狄利克雷函数的勒贝格积分：$\int_{a}^{b}Dirichlet(x)dx=\frac{(b-a)^n}{n!}\sum_{i=0}^{n}u_i$由于求解积分时，$u_i=Dirichlet(x_i)$会取0或1两种值，故可以把上式化简成：$\int_{a}^{b}Dirichlet(x)dx=\frac{(b-a)^n}{n!}\sum_{u_i=1}1$即：狄利克雷函数的勒贝格积分结果为积分范围内函数值取1的次数乘以$(b-a)^n/n!$。
[0,1]的勒贝格积分
![[0,1]的勒贝格积分](https://img.taocdn.com/s3/m/99e9c48388eb172ded630b1c59eef8c75ebf9556.png)
[0,1]的勒贝格积分摘要：一、引言1.勒贝格积分的概念2.勒贝格积分的性质3.[0,1] 的勒贝格积分的特殊性二、勒贝格积分的概念1.实数域上的积分2.测度与可积函数3.勒贝格积分的定义三、勒贝格积分的性质1.线性性质2.保号性3.可积函数的四则运算4.连续函数的积分性质四、[0,1] 上的勒贝格积分特殊性1.[0,1] 上的可积函数2.[0,1] 上的连续函数3.[0,1] 上的勒贝格积分的计算方法正文：一、引言勒贝格积分是一种非负的实数值函数，用于描述实数域上某个子集的“长度”或“大小”。
勒贝格积分具有许多优良的性质，被广泛应用于数学、物理、化学等领域。
在[0,1] 区间上的勒贝格积分具有其特殊性，这源于该区间上的可积函数和连续函数的特殊性质。
二、勒贝格积分的概念勒贝格积分是基于实数域上的积分概念发展而来的。
实数域上的积分主要用于计算曲线下的面积、长度等。
然而，实数域上的积分存在一定的局限性，例如无法处理不连续函数的积分。
为了解决这一问题，勒贝格引入了测度和可积函数的概念，从而发展出了勒贝格积分。
勒贝格积分的定义如下：设μ为非负实数，f 为定义在R 上的实值函数，则f 在[a,b] 上的勒贝格积分为：∫[a,b]f(x)dμ(x) = sup{Σf(x_i)μ([a,b]) : x_i ∈ [a,b], μ([a,b]) ≤ ∞}其中，sup 表示求和的上确界。
三、勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多重要的性质，包括线性性质、保号性、可积函数的四则运算以及连续函数的积分性质。
这些性质保证了勒贝格积分的合理性和实用性。
四、[0,1] 上的勒贝格积分特殊性[0,1] 是一个重要的区间，具有许多特殊的性质。
在[0,1] 上的勒贝格积分也有其特殊性。
首先，[0,1] 上的可积函数具有一些独特的性质，例如可积函数的逼近性质等。
其次，[0,1] 上的连续函数也有其特殊性，例如连续函数的积分性质等。
此外，[0,1] 上的勒贝格积分的计算方法也有其特殊性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勒贝格积分
将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。
概念简述
定义：设f (x) 是E ∈ L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈ L(E) ，如果对任意ε > 0，必然存在E 的分划D，使
S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε，
这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。
它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；
后者是对函数定义域进行划分。
对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:
假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后
计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。
(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1) 即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加
以归类。
积分介绍
积分是“和”的概念。
即将东西加起来。
所以积分早期是从面积，路
程等计算中发展起来。
比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将
小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。
用极限法就可以求得精确的面积。
这是传统的积分概念(黎曼积分)。
勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。
比如
计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。
又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。
用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。
用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。
结果是一样。
但对于一些“坏”函数，结果是不一样。
比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数：
Y=1，当X是无理数；
Y=0，当X是有理数。
求该函数覆盖的面积。
黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。
用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。
[0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。
而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。
所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。
这就解释了上述计算结果。
由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。
很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。
这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。
背景知识
黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。
19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。
只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。
然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。
在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。
通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。
因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。
1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称l－S积分）。
20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。
勒贝格
（1875～1941）Lebesgue，Henri Lon
法国数学家。
1875年6月28日生于博韦，1941年7月26日卒于巴黎。
1894～1897年在巴黎高等师范学校学习。
1902年在巴黎大学获得博士学位，从1902年起先后在雷恩大学、普瓦蒂埃大学、巴黎大学文理学院任教。
1922年任法兰西学院教授，同年被选为巴黎科学院院士。
勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。
他采用无穷个区间来覆盖点集，使许多特殊的点集的测度有了定义。
在定义积分时他也采取划分值域而不
是划分定义域的办法,使积分归结为测度,从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。
他的理论为20世纪的许多数学分支如泛函分析、概率论、抽象积分论、抽象调和分析等奠定了基础。
利用勒贝格积分理论,他对三角级数论也作出基本的改进。
另外,他在维数论方面也有贡献。
晚年他对初等几何学及数学史进行了研究。
他的论文收集在《勒贝格全集》。