第22周 特殊工程问题(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)
小学六年级奥数系列讲座：复杂工程问题(含答案解析)
复杂工程问题
内容概述
本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题．
经典问题
1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?
【分析与解】开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；
甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为
(3360+960)：(5040—960)=18：17；
设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x天完成任务．
有(2×4+4x)：(3×4+3x)=18：17，化简为216+54x=136+68x，解得
40
.
7 x=
于是共有工程量为
40 45760,
7
⨯+⨯=
所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．
2. 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?
【分析与解】
即甲工作2小时，相当与乙1小时．
所以，乙单独工作需9.85527.3
-+÷=小时．
3．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数
天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用1
5工程问题(二)小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案_(5)
小学数学奥数基础教程(六年级)
本教程共30讲第5讲
工程问题（二）
上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。
例1一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？
分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：
从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）
甲、乙合做这一工程，需用的时间为
2
例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后
么还要几天才能完成？
分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作
们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独
例3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？ 分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的
，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要
楚鲲教育·星沙校区辅导学习中心（蒋云玲老师）
第 页
《工程问题(例7)》参考教案
《工程问题》参考教案
教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第42～43页例7及相关练习。
教学目标：
1．让学生经历用“假设法”解决分数工程问题的过程，理解并掌握把工作总量看作单位“1”的分数工程应用题的基本特点、解题思路和解题方法。
2．通过猜测验证、自主探究、评价交流等学习活动，培养学生分析、比较、综合、概括的水平。
教学重点：理解工程问题的特点，掌握其数量关系、解题思路和方法。
教学难点：学会用“工程问题”的方法解决实际问题。
教学过程：
一、复习旧知
师：今天，我们将继续解决生活中的数学问题。先来看看，你能解决下面的问题吗？
（1）修一条360米的公路，甲队修12天完成，平均每天修多少米？
360÷12=30（米）。
师：你是怎样列式的？为什么？（教师板书：工作总量÷工作时间＝工作效率。）
（2）修一条360米的公路，甲队每天修18米，多少天能完成？
360÷18=20（天）。
师：你是怎样列式的？为什么？（教师板书：工作总量÷工作效率＝工作时间。）
（3）加工一批零件，计划8小时完成，平均每小时加工这批零件的几分之几？
1÷8=。（师：你是根据什么来列式的？）
（师小结：不知道工作总量时，我们能够用单位“1”来表示，相对应的工作效率就用时间分之一来表示。）
（4）一项工程，施工方每天完成，几天能够完成全工程？
1÷=6（天）。（师：你又是根据什么来列式的？）
【设计意图】小学生学习数学的过程就是新知识同原有知识相互作用，发展形成新的数学理解结构的过程。所以，在复习准备阶段，设计了上述4道基本练习题，协助学生激发原有的知识记忆，使学生能进一步熟练使用工作总量、工作时间、工作效率这三个量之间的关系解决实际问题，并适当渗透工作总量、工作效率不是具体的数量时应该怎样表示，为学习新知做好铺垫。
五年级奥数学习之工程问题(彩色版,含解答)
练习
3. 一份文稿，甲单独打完需要 8 个小时，现在乙来和甲一起打．如果第一个小时甲 打字，第二个小时乙打字，接着一个小时甲打字，……，那么需要 6 个小时就能完工． 如果第一个小时乙打字，第二个小时甲打字，接着一个小时乙打字，……，这样会比原 来快多少小时？
例题 4
有一批待加工的零件，甲单独做需要 4 天完成，乙单独做 需要 5 天完成，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做 20 个零件．这 批零件共有多少个？
鱼竿和鱼
从前，有两个饥饿的人得到一位长者的恩赐：一根 鱼竿和一篓鲜活硕大的鱼．一个人要了鱼，另一个人要 了鱼竿，于是他们分道扬镳了．得到鱼的人原地就用干 柴搭起篝火煮起了鱼，连鱼带汤就被吃了个精光．不久， 他便饿死在空空的鱼篓旁．另一个人则提着鱼竿继续忍 饥挨饿，一步步艰难地向海边走去，可当他已经看到不
45
五年级
下册第 8 讲
在完成一项工作时，很多时候依靠个人的力量是无法完成的，或者不能完成得很快、 很好，这时就需要多个人合作来完成．俗话说：“众人拾柴火焰高．”团队的智慧是远远 超过个人的．
当多人合作的时候，单位时间内完成的工作总量就是这些人工作量的总和，那么多 人合作时的“总工效”就是他们的“工效和”．
与行程问题类似，工程问题也有如下公式：
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工程问题初步
课本
这是工程问题最为基本的关系式，同学们必须熟练掌握！
工程问题教案
工程问题（第一稿）
教学内容：书84页例5。
教学目标：
1、理解工程问题的数量关系，解题思路和方法。
2、能准确解答简单的工程问题应用题。
教学过程：
一、迁移
1、口头列式解答，并说数量关系。
（1）李师傅加工一批零件，共60个，5小时完成，每小时加工多少个？
李师傅加工一批零件，5小时完成，每小时加工这批零件的几分之
几？
板书：工作总量÷工作时间＝工作效率
（2）小王打印一份45页的书稿，每天打印15页，几天能够完成？
小王打印一份书稿，每天打印这份书稿的1/3，几天能够完成？
工作总量÷工作效率＝工作时间
学生比较这两组对比题，每组中的两题有什么相同点和不同点？
（每组的第一题的工作总量、工作时间、工作效率都是具体数量，第二题中的工作总量是用单位“1”表示，工作效率是用分率几分之一表示，解答的数量关系式都相同。）
二、定向
1、揭示课题：象这样的工作问题，我们称为“工程问题”，今天我们就来
学习“工程问题”。
2、出示目标。
三、探究
1、生产一批零件，甲单独做5小时能够完成，乙单独做6小时能够完成（1）甲每小时完成这批零件的几分之几？
（2）乙每小时完成这批零件的几分之几？
（3）甲、乙两人合作，每小时完成这批零件的几分之几？
2、一段公路长30千米，甲队每天修3千米，乙队每天修2千米，甲、乙
队合作，多少天能够完成？（用算术和方程两种方法）
学生口头列式，说数量关系，师板书：
工作总量÷工作效率和＝合作时间
30÷（3＋2）
工作效率和×合作时间＝工作总量
（3＋2）×X＝30
甲的工作总量＋乙的工作总量＝工作总量
3X＋2X＝30
《工程问题》教学设计（精选3篇）
《工程问题》教学设计（精选3篇）
《工程问题》篇1
作者:郭建芬
教学内容：第十一册79页例9（第一教时）
教学目的：1.使学生认识工程问题的结构特点，掌握它的数量关系、解题思路和解题方法，并能正确地解答工程问题的基本题。
2.培养学生解题的迁移能力，以及数学思维能力。
教学准备：投影片若干张
教学过程：
一、导入：
今天，老师让每位同学当公司经理，看哪位经理最精明。
出示：假如你是某工程队的经理，要修一段路，现有甲、乙两个工程队，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。你想承包给哪个队？为什么？（学生分组讨论，派代表发言）
生1：给甲队做，因为他完工时间比乙队少，……
师：仅考虑时间少行吗？
生2：给乙队做，虽然他时间较长，可能修路质量好，……
师：有没有更好的方案呢？
生3：由甲乙两队合做，完工时间更短，可让两队优势互补，……
师：若甲乙两队合做，猜猜看，大约需要几天完工？
生1：小于10天，但大于5天。
生2：6天，可假设一段路长120千米，……
师：我们不妨计算一下，具体是几天？
[从实际事例入手，学生成为“经理”，突出了学习的主动性。选择的素材紧密联系本课时的内容，学生在探讨解决问题的同时，兴趣盎然地进入学习新知的准备状态。]
二、教学例9
1. 出示例9：一段公路长30千米（60千米）[用黑卡纸盖住]，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天修完？
师：各位“经理”算一算，几天完成呢？[同学们议论纷纷，跃跃欲势，都想当个精明的“经理”。]
学生汇报计算的方法：30÷（30÷10+30÷15）=6（天）（板书）师：请你说说每步计算的含义。教师依次对应板书“甲的工效”“乙的工效”“工作总量”“合做时间”并小结数量关系式：工作总量÷工作效率和=合做时间
工程问题试题答案及教案(奥数)
工程问题
1、基本概念及关系。
工作量：“1”，单人工作效率，
1a （0a >），两人合作完成时间：111()a b
÷+（a 、b 都大于1） 2、常规工程问题
例：一项工程，单独做，甲要10天，乙要15天，丙要12天。
（1）甲乙合作几天完成？（2）甲乙丙三人合作几天完成？ 111()1015÷+ 1111()101512
÷++ （3）甲先做2天，余下的乙、丙合作还要几天完成？
111(12)()101512
-⨯÷+ （4）甲乙合作两天，余下的甲丙合作还要几天？
11111()2()10151012
⎡⎤-+⨯÷+⎢⎥⎣⎦ （5）甲乙丙三人合作几天完成全工程的34
？ 11131()1015124⎡⎤÷++⨯⎢⎥⎣⎦或3111()4101512÷++ 练：一项工作，甲乙合作8天完成，乙丙合作9天完成，丙、甲合做18天完成，那么，丙单独做，多少
天才能完成？
1117()2891848++÷=……三人工效和，71148848-=……丙工效，114848
÷=（天） 答：丙独做48天才能完成。
3、“假设法”解题
例：制作一批零件，师徒2人合作8天完成，若果师傅单独做12天可以完成，现在由徒弟做了若干天后，
再由师傅继续做，全部完成共用了15天。求师徒各工作了多少天？
11181224-=……徒弟工效，假设这15天都是徒弟做，则只能完成1524，还剩（111524
-⨯），这恰好
对应，师徒工效差。111(115)()9241224
-
⨯÷-=（天）……师傅 15－9＝6（天）……徒 答：师傅工作了9天，徒弟工作了6天。
奥数五第22周--作图法解题
第22周作图法解题
例题1：
五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生多少人？
1.两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？
2.甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？
3.哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。哥哥原来存有多少钱？
例题2：两根电线共长59米，如果第一根电线剪去3米后，第一根电线的长度就是第二根的3倍，求原来两根电线各多少米？
1.甲、乙两筐苹果共重83千克，如果从甲筐取出3千克后，甲筐苹果的重量就是乙筐的4倍，甲、乙两筐苹果原来各重多少千克？
2.学校图书馆共有科技书和故事书250本，又买50本科技书后，科技书的本数是故事书的2倍，学校图书馆原来各有科技书和故事书多少本？
3.参加奥赛集训的男生和女生共有21名，如果女生减少5名，男生人数就是女生的3倍，参加奥赛集训的男、女生各多少名？
例题3：甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组的棵数扩大2倍，丁组植树棵数少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？
1.甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4、乙数减去4、丙数乘以4、丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。
2.甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得个数减去5、乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果多少个？
小学奥数工程问题综合
工程问题
基本知识讲解
工程应用题中的工作(或工作)一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位“1”，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。在解答时要注意以下几点。
1． 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、
灵活运用基本数量关系。
2． 涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分
数应用题来解答。
3． 对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期
的部分所需的工作时间。
经典例题赏析
例1：(难度:★★★)一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙
继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解答：共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。 如
果乙独做，所需时间是 天 如果甲独做，所需时间是
天
例2：(难度: ★★) 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲
队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
解答：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+ 1= 11（天）.
小学奥数训练23周工程问题(三)
第23周工程问题（三）
专题简析
在有些工程问题中，工作时工作人员（或机器）是按一定顺序轮流交替工作的.这样的工程问题一般称为“周期工程问题”。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使看似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
王牌例题1
一项工程，甲独做需要12小时，乙独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时两人如此交替工作。问完成任务需要用多少小时？
【思路导航】把2小时的工作量看作一个循环，先求出循环的次数。
①需循环的次数：,
②7个循环后剩下的工作量：
③余下的工作量还需甲做的时间:
④完成任务共用的时间：
答:完成任务需要用小时。
举一反三1
1. 一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙，甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？
2. —部书稿,甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后
由乙接替甲打1小时;再由甲接替乙打 1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？
3. 一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙，甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多长时间？
王牌例题2
一项工程，甲、乙一起做天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做,这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？
工程问题应用题教案3篇
工程问题应用题教案3篇
工程问题应用题教案1
一、说教材
工程问题是用分数解答有关工作总量、工作时间、工作效率的应用题。它的解题思路与整数应用题的解题思路基本相同，仍然是用工作总量除以工作效率等于工作时间，只是题中没有给出具体的.工作总量。解答时，要把工作总量作为单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率。这样，由于解题中遇到的不是具体数量，有的学生往往感到抽象，不易理解。
教学重点是：掌握工程问题的数量关系和解答方法。
难点是：如何分析分数工程问题的数量关系。关键是：正确分析题目中哪个量是工作总量、工作时间和工作效率。
二、说教法
现代数学理论认为，小学数学课应增加学生的数学活动，依据本单元教材特点和学生认知规律，这节课我主要运用复习引入法、情境教学法、启发分析法等进行教学。并运用电化教学手段增加教学的新颖性，引导学生多种感官参与学习的全过程。
三、说学法。
教与学密不可分，教是为了更好地学。因此要做到“授人以鱼，不如授入以渔”。根据学生的学习规律，在教学过程中，主要指导学生掌握如下学习方法：转化迁移的方法、比较分析法、总结归纳法。
四、说教学过程。
根据教学大纲的要求，结合学生的实际，在分析教材，合理选择教法和学法的基础上，本课教学过程的设计分四个环节。
第一环节是复习铺垫。
由于用分数解工程问题与整数解工程问题的思路基本相同，仍然是工作总量除以工作效率等于工作时间，只是题目中没有给出具体的工作总量，解答时要把总量作为单位“1”，用单位时间完成工作总量的几分之一来表示工作效率。所以我先让学生口答：（１）如果这项工程计划１２天完成，平均每天修（）。今天完成了工作的（）还剩（）。（２）如果这项工程每天完成，（）天完成。巩固了旧知，为学习新知作好铺垫。
(完整版)《工程问题》教案
《工程问题》问题
教学目标
1．通过情境创设，理解工程问题中的数量关系，学着用图形分析问题，学会找等量关系。
2．经历“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的过程,体会数学的应用价值。
3．体会数形结合的数学方法。
重点难点
教学重点：理解工程问题中的数量关系，找出等量关系列方程。
教学难点：掌握画图分析问题的方法
教学设计
一、复习
同学们，完成一项工作，我们关注哪些数量？它们之间有怎样的数量关系？
复习：工作总量＝工作效率×工作时间。
二、练习
（1）一项工程，甲单独做5天完成,则他每天完成（），3天完成的工作量是（）。
若他m天完成,每天完成（）.
（2）修一段路，甲工程队3天完成了1
5
，则他们每天完成( ），需（）天完成全部工程.
（3）某项工作,甲单独a天完成，乙单独b天完成，甲乙合作一天完成的工作量为（）。
（4)一项工作甲乙两人合作6天完成，每天完成几分之几？若乙单独10天完成，则甲的工作效率是（ )。
对上述等式的应用,①完成一项工作的工作总量看成单位1，工作时间5天，求工作效率。当工作时间是字母时，工作效率求法一样。
②工作量1
5
，工作时间是3天，求工作效率。
③工作效率之和，弄清
1
a b
+
与
11
()
a b
+的区别。
④工作效率之差。
⑤“低起点、小步子、快反馈、勤鼓励"，让学生巩固数量关系，快乐学习.
三、创设情境
例1,将一批会计报表输入电脑，甲单独做需要20 h完成，乙单独做需12 h完成。
①甲乙合作需几小时完成？
②若由甲单独做4 h，剩下的部分由甲、乙合作完成，甲、乙两人合作的时间是多少？
③由甲先做一段时间后,乙也来帮忙,两人合作3小时后，共完成全部的3
小学六年级奥数系列讲座：复杂工程问题(含答案解析)
复杂工程问题
内容概述
本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题．
经典问题
1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?
【分析与解】开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；
甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为
(3360+960)：(5040—960)=18：17；
设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x天完成任务．
有(2×4+4x)：(3×4+3x)=18：17，化简为216+54x=136+68x，解得
40
.
7 x=
于是共有工程量为
40 45760,
7
⨯+⨯=
所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．
2. 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?
【分析与解】
即甲工作2小时，相当与乙1小时．
所以，乙单独工作需9.85527.3
-+÷=小时．
3．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数
天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用1
六年级《工程问题》奥数教案
师：但是在他们的伟大背后却付出了几代人甚至更多代人的努力，甚至付出生
命的代价。我们要学习这种艰苦奋斗的精神，好好学习，将来祖国的建设
需要你们。那么回到我们的课堂，我们今天要来学习“工程问题”。
【板书课题：工程问题】
师：我们再来看几个简单的问题？
（出示PPT）
师：修完一段路需要5天，每天修这段路的多少？
师：对，多出了多少工作量？
生： 。
师：这是怎么造成的？
生：米德做了几天，并不是全都由阿博士来做。
师：也就是说多出来的工作量是由阿博士在米德的工作时间里比米德多做而造
成的。阿博士每天比米德多做多少工作量？
生： － 。
师：这段时间有几天呢？
生： ÷（ － ）。
板书：
（ ×14－1）÷（ － ）＝5（天）
分析：
把“米德和卡尔合作了1小时后，欧拉才来，于是欧拉单独花了6小时清理完了剩下的草地”转变为“米德和欧拉合作1小时，卡尔和欧拉合作1小时，欧拉又单独花了4小时清理完剩下的草地”。
板书：
（1－ ×1－ ×1）÷4＝
1÷ ＝8（小时）
答：欧拉单独做需要8小时。
（二）例题4：（12分）
有一件工作，米德独做要20天完成，阿博士独做要12天完成。这件工作先由米德做了若干天，然后由阿博士继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由米德先做了几天？
奥赛小学教育数学竞赛：工程问题二.教师版解题技巧培优易错难
工程问题（二）
教课目的
娴熟掌握工程问题的基本数目关系与一般解法；
工程问题中常出现独自做，几人合作或轮番做，剖析时必定要学会分段办理；依据题目中的实质状况能够正确进行单位“1的”一致和变换；
工程问题中的常看法题方法以及工程问题算术方法在其余种类题目中的应用．
知识精讲
工程问题是小学数学应用题教课中的要点，是分数应用题的引申与增补，是培育学生抽象逻
辑思
维能力的重要工具。工程问题是把工作总量当作单位“1”的应用题，它拥有抽象性，学生认
知起来比较困难。在教课中，让学生成立正确观点是解决工程应用题的要点。
一．工程问题的基本观点
定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间互相关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内达成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，一定做到以下几方面：
①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如观点、性质、法例、公式等
宽泛应用于分数、百分数应用题；
②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵巧运用；
③学会画线段表示图．线段表示图能直观地揭露“量”与“百分率”之间的对应关系，发现
量与百分率之间的隐蔽条件，能够帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行剖
析、综合、判断和推理；
④学会多角度、多侧面思虑问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化
无常，单靠一致的思路模式有时很难找到正确解题方法．所以，在解题过程中，要擅长掌握
工程问题(奥赛培训)第二讲
工程问题（二）
例1：某工程先由甲单独做63天，再由乙队独做28天即可以完成。如果甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲先独做42天，然后再由乙单独完成，那么还需要多少天？
分析：可以理解为两队合做28天，甲的工效：()8412863284811=-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-乙的工效：481－1121841=，还要112
1428411÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=56（天） 例2：一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用36天完成任务。甲、乙两队各做了多少天？
分析：设乙做x 天，甲做（36－x ）天，()x x -⨯+3630
1401=1，解之得x=24， 甲做36－x=36－24=12（天）
例3：搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A 和B ，甲在A 仓库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
分析：可以看作甲、乙、丙合作搬运A 、B 两仓，2÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛++151121101=8（小时），甲在A 仓库运8小时，余下的是丙搬运的，乙在B 仓库搬运8小时，余下的是丙搬运的。
丙运A 仓库15181011÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-=3（小时）， 丙运B 仓库15
181211÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=5（小时） 例4：一项工程，乙队先独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工
程甲队又独做9天才全部完成。已知乙队完成的是甲队的3
1，丙队完成的是乙队的2倍。如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？
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第二十二周 特殊工程问题
专题简析：
有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
例1：
修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
1÷[15×8 +110×6
]÷6=4（天） 或1÷[（15×8 +110×6
）×6]=4（天） 答：4天可以完成。
练习1：
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现
在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7
人合作，多少天可以完成？
3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20
辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？
例2：
有两个同样的仓库A 和B ，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A 仓库，乙在B 仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2” ① 三人同时搬运了
2÷（110 +112 +115
）=8（小时） ② 丙帮甲搬了
（1-110 ×8）÷115
=3（小时） ③ 丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。 练习2：
1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的110
，徒弟每小时加工自己任务的115
。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任
务，师傅帮徒弟加工了几小时？
2、 有两个同样的仓库A 和B ，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，
丙需要9小时。甲、乙在A 仓库，丙在B 仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？
3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的58
，乙每小时加工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？
例3：
一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了x 天，则乙做了（14-x ）天。
120 x+112
×（14-x ）=1 X=5
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是112 ×14，比总工作量多了112
×14-1=16 ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了112 -120 =130 ，因此甲做了16
÷130
=5（天） 练习3：
1、 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下
的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后，
由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？
3、 一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，
这样共用40天完成。求乙休息的天数。
例4：
甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
① 甲、乙同时做的工作量为18 ×（10-3）＝78
② 乙单独做的工作量为1－78 ＝18
③ 乙的工作效率为18 ÷3=124
④ 甲的工作效率为18 －124 ＝112
⑤ 甲单独做需要的天数为1÷112
＝12（天）
解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，
甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
练习4：
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才
完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多少
条裤子？
3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，
经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？
4、 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、
乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？
例5：
放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，10小时可以放满；如果同时开放①③④号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②
④⑤号阀门各出现2次。如果115 +110 +112 +18 再加一个18
，则是五个阀门各放3小时的总水量。
1÷[（115 +110 +112 +18 +18 ）÷3]=1÷[12
÷3]=6（小时） 练习5：
1、 完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲、丙合作需
10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？
2、 一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成12 ，甲干5天、乙干3天可完成13
。甲、乙合干需几天完成？
3、 完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两
人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？
4、 一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完
成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天？
答案：
练1
1、 1÷（14×6 +18×5
）÷2＝7.5小时 2、 1÷（13×8 ×2+14×7
×7）＝3天 3、 （1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的