七年级平行线的判定及证明
七年级数学平行的性质与判定
例1：如图，已知直线a、b、c、d、e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°。求证：a∥c。
例2：如图，AD⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2=90°，试说明：AB⊥BC
例3：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠B，求证：CE∥DF
变式训练：
1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD。求证：BE∥CF。
2、如图，∠A=∠C，∠1+∠CDG=180°，∠3=∠4，试说明∠5=∠6
题型三、平行线中的辅助线
一、延长
例1：如图：AB∥CD，∠1+∠2=180°，试说明：∠EFM=∠NFM
二、作平行线
例1：“U”型图中的辅助线
方法二：
7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________
（第7题） （第8题）
8．如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P。求证：∠P＝90°。
9.如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，请求出∠2、∠3、∠4的度数。
10．如图，在A、B两地之间要修建一条笔直的公路，从A地测得公路走向最北偏东48°，A、B两地同时开工，若干天后公路准确接通。
（1）B地所修公路的走向是南偏西多少度？为什么？
《平行线的判定》平行线的证明
证明角平分线定理
总结词
角平分线定理是指角平分线上的点到角的两边的距离 相等。这个定理可以用于证明一些与角平分线相关的 命题。
详细描述
角平分线定理是指在角平分线上任取一点，过这一点分 别向角的两边作垂线段，这两段垂线段的长度相等。这 个定理可以用于证明一些与角平分线相关的命题，例如 一个角的平分线将对应的边分成两段相等的部分。证明 这个定理的方法可以通过构造两个全等的直角三角形来 实现，其中一个直角三角形是以角平分线上的点为直角 顶点，另一个直角三角形是以该点分别向角的两边作垂 线段形成的直角顶点。然后利用全等三角形的性质来证 明结论。
《平行线的判定》平行线的 证明
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目录
• 平行线的定义及性质 • 平行线的判定方法 • 平行线的证明技巧 • 平行线的证明实例
01
平行线的定义及性质
平行线的定义
01
同一平面内，不相交的两条直线 叫做平行线。
02
在同一平面内，两条直线的位置 关系：相交或平行。
平行线的性质
两直线平行，同位角 相等。
详细描述
首先确定两条直线a和b被第三条直线c所截，得到两个反向角。然后，测量这两 个反向角的度数。如果这两个反向角的度数相等，那么a和b就是平行的。
03
平行线的证明技巧
利用全等三角形证明
总结词
平行线的判定证明题（精选篇）
平行线的判定证明题
平行线的判定证明题
平行线的判定证明题1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等;(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等;(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行;(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行。按这个判定，绝对没错。这两种的第一条都没有办法判定，而后两条就完全可以按照第一条来判定，最后的结果一定是对的。
2
平行线的性质：(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等;(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等;(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。平行线的判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行;(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行。平行线的性质：在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线。平行线的判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行;(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行。
3
光学原理。
延长GE角D于Q
因为∠2=∠3，所以AB∥D
由AB∥D可得∠1=∠GQD
又∠1=∠4
所以∠4=∠GQD
所以GQ∥FH 即：GE∥FH
七年级数学下册平行线的判定与性质
平行线的判定与性质
例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
证明：∵ AD ∥BC （已知）
∴ ∠A+∠B ＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠AEF=∠B （已知）
∴ ∠A ＋∠AEF ＝180°（等量代换）
∴ AD ∥EF （同旁内角互补，两条直线平行）
例2：如图，已知：AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，且AB ∥CD 。 求证：∠1＋∠2=90°
证明：
∵ AB ∥CD （已知）
∴ ∠BAC ＋∠ACD=180°(两条直线平行，同旁内角互补)又∵AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD （已知）
∴∠1＝21∠BAC, ∠2＝2
1
∠ACD （角平分线的定义）
E
1A B
C
D
2
∴∠1+∠2 ＝ 21
(∠BAC ＋∠ACD)（等式的性质）
＝ 2
1
× 180o ＝90 o
即 ∠1＋∠2=90o
例3：如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o
证明：
例4：如图，已知：AB ∥CD ，MG 平分∠AMN ,NH 平分∠DNM ，求证：MG ∥NH 。
A
B
C
D
M
F
G
1
23
4
5
1A B
C
D
M
F
G
E
H
N
2
例5：如图，已知：AB ∥CD ，∠A ＝C ， 求证：AD ∥BC 。
例6：如图，EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∠EFB=∠GDC ，求证：∠AGD=∠ACB 。
如图，已知：AB ∥DE ，∠ABC+∠DEF=180°, 求证：BC ∥EF
。
图2-72 图2-73 （1） 如图2-73。已知：∠1=∠2，AC 平分∠DAB ，求
C
A
B
C
D
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些
平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
七年级下数学平行线的判定知识点
七年级下数学平行线的判定知识点
七年级下数学平行线的判定知识点
行线的证明
1、平行线的性质
一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.
也可以简单的说成：
两直线平行,同位角相等;
两直线平行,内错角相等;
两直线平行,同旁内角互补。
2、判定平行线
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
也可以简单说成：
同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
其他两条可以简单说成：
内错角相等两直线平行
同旁内角相等两直线平行
什么是切比雪夫距离
在数学中，切比雪夫距离或是L∞度量是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。以数学的观点来看，切比雪夫距离是由一致范数(或称为上确界范数)所衍生的度量，也是超凸度量的一种。
学习方法
1、建立数学纠错本。做作业或复习时做错了题，一旦搞明白，决不放过，建立一本错误登记本，以降低重复性错误，不怕第一次不会，不怕第一次出错，就怕下一次还犯同样的错误把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、
防错。达到：平时作业、课外做题及考试中，对出错的数学题建立错题集很有必要。
2、记忆数学规律和数学小结论。
3、经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。
4、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位。
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质
一、知识概述
1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别
角的名称位置特征图形结构特征
同位角在截线同侧
在被截线同一方
形如字母“F”
(或倒置)
内错角在截线两侧(交错)
夹在两条被截线之间
形如字母“Z”
(或反置)
同旁内角在截线同侧
夹在两条被截线之间
形如字母“U”
2、平行线的判定方法
平行线的判定定理：
定理1：同位角相等，两直线平行．
定理2：内错角相等，两直线平行．
定理3：同旁内角互补，两直线平行．
另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）
2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行
（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等
性质2：两直线平行，内错角相等
性质3：两直线平行，同旁内角互补
二、例题讲解
例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.
变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）
A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？
例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.
解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，
∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，
∴CD//EF( )
∴∠2=( ) ( )
∵∠1= ∠2(已知).
专题 平行线的判定与性质(解析版)--七年级数学下册
专题02平行线的判定与性质
1．（2022秋•项城市期末）如图，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．把以下
证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．
证明：
∵∠B＝∠ADE（已知）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠EDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等）
又∠EDC＝∠GFB（已知）
∴∠DCB＝∠GFB（等量代换）
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行）
【分析】根据平行线的判定与性质即可证得．
【解答】证明：∵∠B＝∠ADE（已知），
∴DE∥BC（同位角相等；两直线平行），
∴∠EDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），
又∠EDC＝∠GFB（已知），
∴∠DCB＝∠DFG（等量代换），
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠GFB，GF，CD，同位角相等，两直线平行．
2．（2023秋•道里区校级期中）将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝
∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝∠CEF④（等量代换），
所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．
(完整版)七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.
解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.
例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.
七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新：
1.平行线的性质
〔1〕两直线平行，同位角相等；
〔2〕两直线平行，内错角相等；
〔3〕两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
〔1〕同位角相等，两直线平行；
〔2〕内错角相等，两直线平行；
〔3〕同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．〔1〕假设∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
〔2〕探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.
解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3 〔1〕：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
〔2〕当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．
解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现条件的转化.
例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.
举一反三：
(完整版)七年级数学_平行线的性质与判定的证明_练习题及答案
平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新可以为师以：
重点1.平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)两直线平行，内错角相等；
(3)两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行；
(2)内错角相至两直线平行；
(3)同旁内角互补,两直线平行互补
例1 已知如图2-2 , AB// CD// EF,点M, N, P分别在AB, CD, EF上，NQ 平分/ MNP. (1) 若/AMN=60° , ZEPN=80° ,分别求/MNP, / DNQ 的度数;
(2)探求/DNQ与/AMN, /EPN的数量关系.
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解
(标注/ MND= /AMN , /DNP=/EPN)
答案：(标注/ MND= / AMN=60 ° ,
/DNP=/EPN=80° )
解：(1) V AB// CD// EF,
・・./MND= /AMN=60 ° ,
/DNP=/EPN=80° ,
Z MNP= Z MND+ Z DNP=60 +80 =140 0 ,
又NQ平分/ MNP,
Z MNQ= 1Z MNP= 1 X140 =70 0 , 2 2
・./DNQ=/MNQ- /MND=70 -60 =10 ° ,
・••/MNP, / DNQ 的度数分别为140° ,10°.fT一步)
(2)(标注 / MND= /AMN, / DNP= / EPN)
由(1)得/ MNP= ZMND+ /DNP= /AMN+ / EPN,
・./MNQ= 1 /MNP」(/AMN+/EPN), 2 2
七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 1 已知如图已知如图2-22-2，，AB AB∥∥CD CD∥∥EF EF，点，点M ，N ，P 分别在AB AB，，CD CD，，EF 上，上，NQ NQ 平分∠平分∠MNP MNP MNP．．（1）若∠若∠AMN=60AMN=60AMN=60°，∠°，∠°，∠EPN=80EPN=80EPN=80°，分别求∠°，分别求∠°，分别求∠MNP MNP MNP，∠，∠，∠DNQ DNQ 的度数；的度数；
（2）探求∠）探求∠DNQ DNQ 与∠与∠AMN AMN AMN，∠，∠，∠EPN EPN 的数量关系．的数量关系．
解析：解析：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. .
例2 2 如图，∠如图，∠如图，∠AGD AGD AGD＝∠＝∠＝∠ACB,CD ACB,CD ACB,CD⊥⊥AB,EF AB,EF⊥⊥AB,AB,证明：∠证明：∠证明：∠11＝∠＝∠2. 2.
解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之
间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系. .
七年级平行线的判定及证明
平行线的判定及证明
学员姓名辅导科目数学教师
年级七升八授课日期课次数2
课题平行线的判定与证明
教学目标
通过讲课能熟记平行线的判定定理；
通过练习成功掌握证明步骤的理由，并能独立完成常规证明题；
提高对本章图形的兴趣，建立自信心。
重、难点组合图形中角的关系与计算。
教学内容
知识点及例题精讲重点提示与记录
一、知识要点
1、平行线的判定定理a、b、c、d、e
a、
b、
c、
d、
e、
2、其他常用证明理由
二、典型例题：
知识点二：探索两直线平行的条件
1、同位角相等,两直线平行；
2、内错角相等,两直线平行；
3、同旁内角互补,两直线平行.
例1 如图1，根据图形将过程补充完整。
①∵∠1 =_____（已知）
∴ AB∥CE（）
②∵∠1+_____=180度（已知）
∴ CD∥BF（）
③∵∠1 +∠5 =180度（已知）
∴ _____∥_____（）
④∵∠4 +_____=180度（已知）
∴ CE∥AB（）
例2：已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，求证：AB图1所示,下列条件中,
能判断AB∥CD的是( )
A.∠BAD=∠BCD
B.∠1=∠2;
C.∠3=∠4
D.∠BAC=∠ACD
2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么( )
∥BC ∥BC
∥DC ∥EF
3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是( )
A.∠A=∠ACE
B.∠A=∠ECD
C.∠B=∠BCA
D.∠B=∠ACE
4．如图4，现给出下列四个条件:①∠1=∠5;
②∠1=∠7;③∠4+∠7=180°;④∠2=∠6.
其中能说明a∥b的条件序号有几个( )
个个个个
5、如图5：
①∠1和∠2是____和____被_____截得的________；
七年级数学-平行线的性质与判定的证明-练习题及答案
七年级数学-平行线的性质与判定的证明-练
习题及答案
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平行线的性质与判定的证明
温故而知新可以为师以：
重点1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）
解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=1
2
∠MNP=
1
2
×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
(完整版)七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.
解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.
例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.
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平行线的判定及证明
二、典型例题：
知识点二：探索两直线平行的条件
1、同位角相等,两直线平行；
2、内错角相等,两直线平行；
3、同旁内角互补,两直线平行.
例1 如图1，根据图形将过程补充完整。
①∵∠1 =_____（已知）
∴AB∥CE（）②∵∠1+_____=180度（已知）
∴CD∥BF（）③∵∠1 +∠5 =180度（已知）
∴_____∥_____（）
④∵∠4 +_____=180度（已知）
∴CE∥AB（）
例2：已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，求证：AB图1所示,下列条件中,
能判断AB∥CD的是( )
A.∠BAD=∠BCD
B.∠1=∠2;
C.∠3=∠4
D.∠BAC=∠ACD
2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么( )
∥BC ∥BC
∥DC ∥EF
3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是( )
A.∠A=∠ACE
B.∠A=∠ECD
C.∠B=∠BCA
D.∠B=∠ACE
4．如图4，现给出下列四个条件:①∠1=∠5;
②∠1=∠7;③∠4+∠7=180°;④∠2=∠6.
其中能说明a∥b的条件序号有几个( )
个个个个
5、如图5：
①∠1和∠2是____和____被_____截得的________；
②____和____被______所截，∠1和∠B是_______角；
③____和____被_____所截，∠EFC和∠C是_______角．
6、如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600
,∠E=30°,试说明AB∥CD.
7、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,求证：a∥c。
8、如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
求证：E、O、F在一条直线上。
证明：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD
∴∠1= ，∠4=
∵直线AB、CD交于点O
∴∠AOC=∠BOD （）
∴∠1=∠
∵∠AOB为平角
∴∠2+∠3+∠4=180°
∴ =180°（等量代换）
即∠EOF=180°
∴E、O、F在一条直线上（）
9.如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，如果∠1=∠2，∠CNF=∠BME,那么
AB
1l 2l 如图，下列推导正确的是（ ）。
A. 因为∠1=∠3，所以c 因为∠1=∠4，所以a 因为∠1+∠2=180°，所以c 因为∠2=∠4
，
所
以
a
21∠=∠︒
=∠+∠180420
18031=∠+∠︒
=∠︒=∠602,701︒
=∠50C ︒
=∠+∠+∠180321︒=∠︒=∠602,701︒=∠50C ︒=∠+∠+∠180321︒
=∠+180C 13
2
A E
B C
D
︒=∠︒=∠682,1121︒
=∠1124A B
D
C F E
G H
1324︒=∠︒=∠︒=∠115,138,42EFD EFB B ︒=∠65D ︒=∠︒=∠138,42EFB B ︒=∠+∠180EFB B ︒=∠︒=∠65,115D EFD ︒=∠+∠180D EFD A B
D C
F E
填写理由，说明AB ∥CD,AD ∥BE.
解：∵∠1=∠B （ ） ∴AD ∥BE （ ）
4
321
c b a
题