基本初等函数公式及导数运算法则共24页文档
基本初等函数的导数公式及运算法则
课时授课计划教师活动教学过程：一•创设情景2 1四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用:■•新课讲授学生活动学生自行预习(二)导数的运算法则导数运算法则1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x)2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x)If (x) I f (x)g (x) - f (x) g (x) / . .3. = ——(g(x)HO)]g(x) 一[g(x)f(2)推论:lcf(x) I - Cf'(x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)三.典例分析例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.例2•根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.(1) y = x3 -2x 3(2) y1 1(3) y = x sin x ln x;(4)y(5)y(6)y 4x1 -ln x1 l n x(2 x2—5 x + 1) e x/ 、sin x—xcosx (7) y =--------------------------cosx +xsin x 通过预习自行完成在老师的指导下独立完成后面几道题【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的. ② ② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心. 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的•随着水纯净度的提高，所需 净化费用不断增加•已知将1吨水净化到纯净度为 X%时所需费用(单 位：元)为 5284 c(x) (80 :：: x ：：：100) 100 —x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1) 90% (2) 98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. c(x 、_( 5284、‘_5284 x (100 — x)—5284 x (100 — x) c(x)=()100—x(100-x)2_ 0 (100 -x)-5284 (-1)_5284 一 2(100-x)2(100 -x)(1)5284因为c(90) = --------------- =52.84 ,所以，纯净度为90%(100 -90)2时，费用的瞬时变化率是 52.84元/吨.(2)因为c '(98)2 =1321，所以，纯净度为 98%(100 —90)时，费用的瞬时变化率是 1321元/吨.函数f (x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢•由上述计算可知，c '(98^25c (90) •它表示纯净度为98%左右时净化费 用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的 25倍•这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费 用增加的速度也越快.。
(完整版),基本初等函数公式总结,推荐文档
基本初等函数1常数函数：；；c y1y y e2幂函数：；；；；y x 2x y x y 1y x /m n n m y x x 3指数函数：；x a y x e y4对数函数：；；；x y a log x y ln x y 2log lg y x 5三角函数：；x ysin x y cos 三角函数是有界函数，奇函数；偶函数sin x cos x 6奇函数：图形关于坐标原点对称；()()f x f x 偶函数：图形关于轴对称；()()f x f x y 含有因子的是偶函数；含有因子的是奇函数，x x a a x xa a 两个重要极限1 e 和1sin lim 0xxx e x x x 11lim 无穷小量×有界量＝无穷小量当时，是无穷小量x 1sinn x 1sin lim 0xxx e x x x 101lim 极限运算法则：g f g f lim lim )lim(sin lim 0x xx 0lim sin 0x x x ；f k kf lim )lim(lim lim lim fg f g微分公式dx y dy kdx dkx dx ax dx x dx a a a 1)(adx a dx a dax x x ln )(dxdx x x d 2)2(2221log (log )ln 2d x x dx dx x xdx dx x x d cos )(sin sin dx e dx e de x x x )(dx x dx x x d 1)(ln ln xdx dxx x d sin )(cos cos 导数公式0)(c 1)(x a x x a ln 1)(log x x cos )(sin 0)0(2()2x x x x 1)(ln x x sin )(cos 01211x x a a a xx ln )()()()(g f g f )()()(g f g f fg )()(f k kf1)(a a ax x x x 21)(x x e e )(2)()(gg f g f g f复合函数求导基本方法x x x x2cos 222cos 2sin 22222x x x xe x e e 22212ln x x x x (())(())()y f x f x x 不定积分公式0 dx c 12dx x c x ln xx a a dx c a不定积分运算法则：加减法，数乘1 dx x c3223x dx x c x x e dx e c gdx dx f dx g f )(212x dxx c 111a a x dx x c a sin cos x dx x c dx f k kfdx 211dx c x x 1ln ||dx x cx cos sin x dx x c 分部积分法计算法则对幂指三x ln x x e 、sin x cos x运算公式：fg dx f dg fg g df 两两组合，位置排在前面的选，排列在后面的选f g凑微分公式dx c dx x d dx x ln 1x d dx x 21原函数与被积函数()F x ()f x之间的关系kdx c dkxx x de dx e x d xdx cos sin c x F dx x f )()(221dx xdx x d dx x 112x d xdx sin cos )()(x f x F 定积分公式() ()|()()bb a a f x dx F x F b F a () b b b a a a f g dx f dx g dx （为常bb a a kf dx k f dx 数）|bb b a a a fg dx fg f g dx a a a 为为为为为x 为为f x f x f dx x f 为为为为为x 为为f x f x f dx x f 0)()()(,)(2)()()(,0)(逆矩阵求法用初等行变换求逆矩阵的方法：1||P I I P 初等行变换－齐次方程有非零解和零解条件0m n A X当时齐次方程只有零解。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) (2) y 2 sin cos 2 x 1 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例3:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 人教课标版精品课件
(g(x) 0)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数 运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
解 (x3 )： (2x) (3) 3x2 因2
为
所 以
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x4 2x
(2) y 3cos x 4sin x
(3) y 2ex (4)y (x 1)(x 2)
那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。 一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。
大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。
导数的运算法则: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
高二数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公 式 4 .若 f ( x ) c 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
； https:///cn/diamonds?track=NavDrawDia 什么钻石好；
道了这件事情了,所以在这里闭关修行,害得天云天风他们兄妹三人白担心了,有了这壹座神山,根汉之前の担忧也全然不见了丶"你还敢来?""这。"他身形壹闪,避开了这壹只巨掌丶巨掌猛の落下,没有镇住根汉,壹个白袍老者出现在了原地,正是天阳子丶天阳子冷哼壹声,盯着不远处の根 汉："你到底是什么来路?"根汉拱手笑了笑,对天阳子道："咱并不是晴天,只是与他长の壹模壹样而已咱与晴天没有半点关系丶"天阳子眉头壹锁道："你蒙谁呀?"根汉无奈道："这件事情,咱已经和仙尔说清楚了。"天阳子脸色壹下子冷了下来,杀机迸现,根汉连忙说道："前辈您先不要发飙, 有些事情,容咱慢慢の和你们说吧丶"想到自己女尔,莫名其妙の被人骗了,搞大了肚子,生下了无父の孩子,心也壹直背负着这种欺骗の情愿丶不过令他很意外の是,眼前这个家伙の隐遁之术很了得,若不是自己借助这冲天剑の仙力,也无法发现他站在这里丶别看自己是魔仙,若没有这冲天剑 の话,看都看不到这家伙,更别提还想杀了他了丶"丫の,你小子有些过了啊!""冲你小子让茹尔有能力怀孩子,老夫咱不杀你!""呃,事情是这样の。"天阳子冷哼道："天家の事情,老夫咱自会处理,还容不着你来窜下跳の。"根汉尴尬の笑了笑,当然轮不到自己窜下跳了,自己也不想窜下跳呀, 要是知道这里の地势冲天剑,自己还管什么事尔呢丶根汉将之前,看到峰回九渊の事情,和他说了说丶根汉点了点头："侥幸吧丶"天阳子气不打壹处来,脸色有些难看,心里骂开了,自己壹个魔仙,在天家祖地转了好些年,才发现这里の地势丶只是这家伙,明明修为低,只不过是壹位初阶大魔神, 竟然可以发现这里,壹来发现了,真是让自己难堪呀丶天阳子显然是挂不住脸,根汉可不知道他の这点小心思,要知道打了他の脸の话给他留点脸了丶"好吧,那前辈您保重吧,天家之事,由您全权做主吧。"天阳子白了他壹眼,直接身形壹闪,又回到了那冲天剑神山之,压根没再瞧根汉壹眼了丶 本来自肆0贰叁你这个坑货(猫补中文)既然天阳子早有打算了,根汉也不便再在这里打扰了,马离开了这里,让天阳子自己去安排天家の这些事情吧丶请大家搜索（@￥）看最全!更新最快の被天阳子给骂了个狗血喷头,根汉赶紧逃也,大概意思是这样の好东西别你这个老东西壹个人给享用了 丶让天家の弟子都到这冲天剑神山来修行,修行の速度都要提升好几倍,甚至是数十倍都不壹定,天家の整体实力会大增了丶"没想到,咱天家也有这样の地势风水,看来咱天不绝咱天家。"听闻天阳子实力大增,做女尔の天仙尔自然是很惊喜了丶"只不过他们那些家亭,不知道知不知道咱父亲 の情况?"天仙尔皱眉问道丶根汉笑了笑道："你这个老父亲,等着壹鸣惊人,给他们大吃壹惊呢。"天仙尔笑道："那咱们什么时候出发离开这里?"因为得知了天阳子の实力,所以根汉这心头隐隐の不好の感觉也消失了,想必以天阳子の实力,再加那冲天剑地势,出现什么危险天阳子也可以化 险为夷,也可以保住天家の丶天仙尔顿了顿道："咱听你の丶"根汉对天仙尔道："怎么说这也是壹个是非之地,有些事情咱们不要参与了,交由你父亲他们去解决吧丶"天仙尔也没有别の挂念了,只要天家不会有事好了,小天意现在也认了他们父母了丶只是小家伙不想伤天风夫妇の心,所以壹 直假装不知道而已,但是现在壹切都解决了丶三天之后,根汉壹家便出发了,他们告别了天风夫妇,离开了天家来到了浮家祖地丶"恩,根汉你小心壹些丶"她怀着孩子呢,小天意也还这么小,三岁不到,不能沾染那些不好の东西丶他反倒是将白狼马给叫了出来："小白,咱们在这里布壹座法阵如 何?""呵呵,咱和天家の人。""去你小子の。"原来之前他和天风说过了,说自己会在浮家这边布下壹座法阵,若是到时候他们想离开の话,只要拿着自己给他の壹块玉,可以抢先从这里离开丶人不为已,天诛地灭嘛,根汉能做の也只有这么多了丶花了两天の时间,根汉和白狼马,才在这里布下 了几座复杂の法阵,其还包括壹座根汉の仙阵丶而在这阴魔域外面,还有白狼马之前留下の定位坐标,白狼马取出黑天罗盘,试着用这黑天罗盘,看看能不能锁定长生神山の位置,或者是阴魔域边缘の位置丶找了近壹天后,白狼马有所发现了,在黑天罗盘の面,出现了壹个立体の光团丶光团,立 即出现了壹个地域の地貌,不过那个地方似乎并不是长生神山丶白狼马也有些怪异："不知道呀,好像咱们没有用罗盘,定下这样の壹个坐标呀,这地方怎么会出现在黑盘の丶"白狼马壹脸の委屈道："大哥,咱真没有留这么壹个坐标,您看看这里面嘛,壹个人影也没有嘛。""应该,可能?"根汉 有些无语,"这要是传送到,不知道什么鬼地方去了,到时候还不如阴魔域。"白狼马道："起码这个地方,好像有阳光,还有山有水,风景也不错の,应该不错の丶"根汉想了想,能省事省事吧,刚刚壹阵阴风吹来,根汉感觉浑身都不好了丶像幻之地壹样,也发生了这么大の变化,而阴魔域,还有阳 魔域,其实也发生了不少の变化丶根汉和白狼马渗入了其,直接传送走了,这是黑天罗盘の好处,如果有坐标の话,可以进行这样の直接の传送丶只不过需要耗费壹些顶级の灵玉,而这种灵玉の数量,根�
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5、若 f ( x) a ,则 f ( x) _______________
'
a ln a(a 0) x x ' e 6、若 f ( x) e ,则 f ( x) _______
x
1 7、若 f ( x) loga x ,则 f ( x) ________________ (a 0, 且a 1) x ln a 1 ' 8、若 f ( x) ln x ,则 f ( x) _____ x
2、求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx) －f(x0)
y （2）求平均变化率 x
（3）求极限 f ' ( x ) lim
y x 0 x
新课讲解
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
几个常用函数的导数 1、 函数 y f ( x) c 的导数 y ' 0
'
1
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
4
【例1】已知 y x （1）求y’; （2）求曲线在点(1，1)处的切线方程。
1 y x 4
'
3 4
1 3 y x 4 4
2
【练习】若抛物线y 4 x 上的点P到直线y 4 x 5 的距离最短，求点P的坐标。
1 4 s t 4t 3 16t 2 4
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
【例 5】偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图象过点 P(0,1)，且在 x＝1 处的切线方程 为 y＝x－2，求 y＝f(x)的解析式．
基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则(一)_2022年学习资料
例用导数公式求下列函数的导数-1fx=x-2fx=-3fx=-sin x-4fx=Vx3-5fx=-cos -6fx=3x-7fx=21nx-8fx=1og3x-9fx=2e1-10fx=1gx-2fx=x2-6i到-7fx=l0g1x-朝-4f=2fx=1gx-湖
比比赛赛：-1y=fx=3-求在点M2,3处切线的方程-2y=fx=x,-求在点M2,2处切线的方程-3y fx=x2,-求在点M2,4处切线的方程-4yfx=-X-求在点M1,1/2处切线的方程
2.求函数y=的图象上点2，处的切线方程-X-3曲线y=x2的一条切线方程为6x-y-9=0,-求切点的坐 -4.求曲线y=3上过点1,3的切线方程.-陶
导数的运法则-1、和（差）的导数：[fx±g]=f'x±g'x-2、积的导数：[fx:gx]=f'·8x+ x8'x-推论：[cfx=c·f'-C为常数-f'x8x-fx8'x-8x≠0-[8x]
例题讲解-例题1：求下列函数的导数-1y=2x5-3x2+8-2y=x4+2xx3-2-3y=sinxco x-潮-4y=-2ex+1
练习：求下列函数的导数-1y=3x3-2x2+5-3y=x3x2-4-4y=2x-123x+2e-5y-1 2-2x+1-7y=2*Inx-6y=5*cosx-8y =tanx
作业-1、求下列函数的导数-1y=2x2+1-31nx-2-2y=e*.sinx-3y=-x+210gsx x2+3-x3-coS x-2.课本Ps5A组4,5,6,7
3.2,2基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式：-1、若fx=c,则f'x=0-常函数-2、-若∫x=x”,则f'x=nx”-一幂 数-3、若fx=sinx,则f'x=cosx-三角函数-4-若fx=cosx,则f'x=-sinx-5、若 x=a,则f'x=a.lna-指数函数-6、-若fx=e,则f'x=e-7、若fx=log。,则f'x=lna-对数函数-8、若fx=lnx,则f'x=二-X
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
4
1
0
0
x'
0
100 x 5284 100 x2
1
5284
100 x2
.
1因为c'90
5284
100 902
52.84,
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率
是55.84元 /吨.
2因为c'98
5284
100 982
1 u
3
3 3x 2
.
例4 求下列函数的导数
1y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3y sinπx φ其中π,φ均为常数.
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.由复合函数求导法则有
导数间的关系为y
' x
yu'
u'x.
y
' x
表
示y对
x的
导
数
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
由此可得,y ln3x 2对x的导数等于y lnu对u的
导数与u 3x 2对x的导数的乘积,即
y
' x
y
' u
u'x
ln u' 3x
2'
明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
而且净化费用增加的速度也越快.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
我们无法用现有的方法求函数y lnx 2的导数.
下面,我们先分析这个函数的结构特点.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
= 2 ln x 2.
(3) 求函数y = (2 x 3)(3 x - 2)的导数.
2
解：y = ( 2 x 2 3)( 3 x - 2) ( 2 x 2 3)( 3 x - 2)
= 4 x ( 3 x - 2) ( 2 x 2 3) 3
x 2 x 解： (2) y = - sin (1 - 2cos ) 2 4 x x 1 = sin cos = sin x , 2 2 2
y' = ( 1 sinx )' = 1 cos x . 2 2
x3 2. 求 y = 2 在点x = 3处的导数. x 3 2 2 ( x 3)' ( x 3) - ( x 3) ( x 3)' 解： y ' = 2 2 ( x 3)
n
* '
n -1
式，除部分上 ' x x = = 5. 若f ( x ) a ，则 f ( x ) a ln a； 一节已经证明 ' x x 过，其他的只 = = 6. 若f ( x ) e ，则 f ( x ) e ； 需要熟记，会 1 ' 7. 若 f ( x ) = log a x，则 f ( x ) = ； 用即可.
1 ( x 2 3) - ( x 3) 2 x - x 2 - 6 x 3 = = 2 2 2 2 ( x 3) ( x 3)
当x = 3时,
1 -3 - 6 3 3 =- . f (3) = 2 2 6 (3 3)
2
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程. 解： f ( x) = ( x 3 3 x - 8) = 3 x 2 3
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'
1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
y′|x＝π ＝－
2
π 2
，切点为
πห้องสมุดไป่ตู้，0
，
∴切线方程为y－0＝－π2x－π2 ，
即2πx＋4y－π2＝0.
则直线l2的方程为
y－( x02＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)，
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－
2 3
.
∴直线l2的方程为y＝－13x－292 .
y＝3x－3， (2)解方程组y＝－31x－292，
x＝16， 得y＝－52.
又直线 l1，l2 与 x 轴的交点分别为(1,0)，－232，0.
4．法则3：uvxx′＝u′xvxv－2xu xv′x
(v(x)≠0)． exx′＝__x_ex_x－_2_e_x_.
利用导数公式及运算法则求函数的导数 求下列函数的导数． (1)y＝(2x－3)2 ＝________； (2)cos x－x2＋2＝________.
答案：(1)8x－12 (2)－sin x－2x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基础梳理
1．若c为常数，则(cu) ′＝cu′. (3x2)′＝__6_x_____. 2．法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． (x3＋x2)′＝_3_x_2_＋__2_x_.
3．法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． (xex)′＝__ex_＋__x_e_x_.
∴所求三角形面积为 S＝12×－52×1＋232＝11225.
求过曲线上一点的切线
求曲线y＝xcos
x在x＝
π 2
处的切线方程．
分析：根据导数的几何意义可知，函数y＝f(x)在x0处的导 数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用1.常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算'0C =（C 为常数）；1()',*;n n x nx n Q -=∈ (sin )'cos ;x x = (cos )'sin ;x x =- ()';x x e e = ()'ln (0,1);x x a a a a a =>≠ 1(ln )';x x= 1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠. 法则1：[()()]''()'();u x v x u x v x ±=±法则2：[()()]'()()()'();u x v x u x v x u x v x =+法则3：2()'()()()'()'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦. 2.导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=-.3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导.4.可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f '（x ）（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号.（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数； 若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f '（x ）.（2）f '（x ）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f '（x ）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.函数的极值、最值及应用3.极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5.求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.。
基本初等函数的导数公式及四则运算
导数是函数曲线在该点上的切线的斜率。
常见导函数的公式及图像
一次数
导数为常数，图像为直线。
二次函数
导数为一次函数，图像为抛物线。
正切函数
导数为幂函数，图像具有周期性。
指数函数
导数为自身，图像为逐渐增长的曲线。
对数函数的导数
对数函数的导数公式是1/x，其中x是对数函数的底数。对数函数的图像是单调 递增的。
反三角函数的导数
反三角函数的导数与对应的三角函数有关。例如，arcsin(x)的导数是1/√(1-x^2)，arccos(x)的导数是-1/√(1-x^2)。
初等函数导数的性质
初等函数的导数具有一些规律和性质，包括链式法则、求导法则和反函数求导法则。
四则运算简单例题及求导步骤
通过一些例题和求导步骤，了解如何对简单的四则运算进行求导。
函数复合法则及求导步骤
函数复合法则是求导一个函数由多个函数复合而成时使用的方法。通过一些 例题，了解如何使用函数复合法则求导。
反函数求导法则及求导步骤
反函数求导法则是求导一个函数的反函数时使用的方法。通过一些例题，了 解如何使用反函数求导法则求导。
基本初等函数的导数公式 及四则运算
了解基本初等函数的导数公式和四则运算是学习微积分的重要基础。本演示 将逐步介绍每个函数的导数公式，以及它们的几何和物理意义。
什么是导数及其定义
导数描述了函数在某一点上的变化率。简单来说，它是函数曲线的切线的斜率。定义为函数的极 限。
1 数学定义
导数是函数f(x)在某个点x处的极限lim(x→0)(f(x+h)-f(x))/h。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.