第九章 电磁感应

第九章电磁感应

1、教学目标和基本要求

1、理解电动势的概念。

2、掌握法拉第电磁感应定律及楞次定律，理解动生电动势及感生电动势的概念和规律并能计算

3、理解自感系数和互感系数的定义及其物理意义并能作出计算2、教学内容

§9-1 电磁感应的基本定律

§9-2 动生电动势

§9-3 自感、互感

3、教学重点

法拉第电磁感应定律及其应用，动生电动势、感生电动势的概念和规律，自感系数、互感系数的定义即物理意义，磁场能密度、磁场能量4、教学难点

动生电动势及感生电动势的计算，自感系数及互感系数的计算

§9-1 电磁感应的基本定律

一、电磁感应现象

（1）磁棒插入或抽出线圈时，线圈中产生感生电流；

（2）通有电流的线圈替代上述磁棒，线圈中产生感生电流；

（3）两个位置固定的相互靠近的线圈，当其中一个线圈上电流发生变化时，也会在另一个线圈内引起电流；

（4）放在稳恒磁场中的导线框在磁场中转动时有电流。

（5）放在稳恒磁场中的导线框，一边导线运动时线框中有电流。

二、电动势

1、电源

能够提供非静电力的装置。

2、非静电力做功

由于非静电力只存在电源内部，在外部。积分变为

根据电场与受力关系，可建立非静电场

2）、电源电动势：描述非静电力做功的本领，或描述把其它形式

的能量转化为电势能的能力。

三、楞次定律（1833年，判断感应电流方向）

1、内容：

闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止或补偿引起感应电流的磁通量的变化。或：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。

2、理解：

“效果”可以理解为感应电流激发的磁场，也可以理解为因感应电流出现而引起的机械作用。“原因”既可以指磁通量的变化，也可指引起磁通量变化的相对运动或回路的形变。

3、实质：

感应电流取楞次定律所述的方向，是能量守恒和转化定律的必然结果。

4、判断感应电流的方向的步骤：

（1）判明穿过闭合回路内原磁场的方向；

（2）根据原磁通量的变化，按照楞次定律的要求确定感应电流的磁场的方向；

（3）按右手法则由感应电流磁场的方向来确定感应电流的方向。

四、法拉第电磁感应定律

1、内容：导体回路中感应电动势的大小与穿过回路的磁通量的变化率成正比。

或

在国际单位制中： K=1

（适用于单匝导线组成的回路）

对于多匝线圈：

（磁通链）

2、感应电流：

3、感应电量

在t1到t2时间间隔内通过导线任一截面的感应电量

由上可以知道：在t1到t2时间间隔内通过导线任一截面的感应电量与磁通量的变化量成正比，与磁通量的变化快慢无关。

4、举例应用

例1、如图一长直电流I旁距离r处有一与电流

共面的圆线圈，线圈的半径为R且R<< r。就下列两

种情况求线圈中的感应电动势。(1) 若电流以速率

增加；(2) 若线圈以速率v向右平移。

解：穿过线圈的磁通量为

(1) 按法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电

动势大小为

由楞次定律可知，感应电动势为逆时针方向。

(2) 按法拉第电磁感应定律

由于，故

由楞次定律可知，感应电动势为顺时针方向。

例2、如上题图12-7所示，一长直电流I旁距离r处有一与电流共面的圆线圈，半径为R，且R<< r，若电流以速率增加，且线圈以速度v向右平移，求线圈中的感应电动势。

解设线圈回路l的正方向为顺时针方向，则l所围面积S的法向向纸内，过S的磁通量为正。

按电磁感应定律，沿l产生的感应电动势为

若，表示感应电动势沿l方向，若，表示逆l方向。不难看出，例12.2讨论的情况是例12.1所讨论的(1)、(2)两种情况的综合，其结果也正是例12.1所得到的两个结果的迭加。

例3、如图，一回路l由N匝面积为S的线圈串联而成，回路绕行的正方向及面积S的法向矢量n均已标明在图中。线圈绕z轴以匀角速度转动，t=0时线圈法向与x轴的夹角。若有均匀磁场沿x轴方向且，求回路中的感应电动势。

解面积S上的磁链数。

按题意，故

感应电动势为

当时，电动势沿着回路的正方向，时，电动势沿回路的负方向。若磁场为恒定磁场B=B0，则

则感应电动势

即为一般发电机中的交变电动势。

9-2 动生电动势

一、磁通量的变化

1、导线或线圈在磁场中运动（平动和转动），这样产生的感应电动势称为动生电动势；

2、回路不动，线圈内磁场变化，这样产生的感应电动势称为感生电动势；

产生的原因不相同，但都遵从电磁感应定律。

二、动生电动势

1、动生电动势

由于导体或导体回路在恒定磁场中运动而产生的电动势。

2、动生电动势的机制的解释

载流子受洛伦兹力(非静电力)

F k的大小为

方向向上，洛伦兹力场(非静电场)场强，

的大小为

方向向上，这是一个匀场。导线成为一个电源，电动势

电源电动势的方向沿l向

一般地，一段运动导线在磁场中运动时，以洛伦兹力为非静电力而形成一个电源。动生电动势

可以证明，此式表示：电动势的大小等于导线在单位时间扫过的磁通量(或形象地说成：单位时间切割磁力线的条数)。电动势的方向可以用正载流子所受洛伦兹力的方向来判定。

动生电动势与能量转换洛伦兹力实现了机械能向电能的转化，但它的总功为零。

3、动生电动势的公式：

非静电力：

非静电场强：

由电动势定义，运动导线ab产生的动生电动势为：

推导几种特殊情况下的动生电动势：（匀强磁场中直的运动导体中的动生电动势）

4、举例应用

例1、已知铜棒长L，在匀强磁场中沿逆时针方向绕轴以角速度旋转。求铜棒中感生电动势的大小和方向。（此题为在匀强磁场中转动的情况）

解：在距O为l处取dl小段，速度，

，方向为从A->O

各小段的的指向都是一样的，

的指向是从A到O的

另解：计算铜棒在单位时间所切割的磁感应线数来计算动生电动势。设内转过角度，

例2、如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速平行于一长直导线移动，此导线通有电流I＝40A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？

解1、根据分析，杆中的感应电动势为

式中负号表示电动势方向由B 指向A，故点A 电势较高．

解2、设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx、长为y的面元ｄS，则穿过面元的磁通量为穿过回路的磁通量为

回路的电动势为

由于静止的形导轨上电动势为零，所以

式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A，故点A 电势较高．

例3、在长直电流I的磁场中，一长为l的直导线，绕距长直电流为a 的O点在长直电流所在平面内以角速度旋转，当导线转到如图倾角为的位置时，求导线上的电动势。

解在直导线上距O为l处取线元dl，在dl上微元电动势

方向为方向，dl距长直电流，故有及，所以

故导线上的电动势方向亦为po方向，大小为

总结：

计算动生电动势可以分为两类：在均匀磁场中平动和转动和在非均匀磁场中运动。

计算动生电动势方法：1、利用动生电动势的计算公式。2、做辅助回路用基本定义式计算。

三、感生电动势

1、感生电动势：由于磁场发生变化而激发的电动势

对感生电动势的解释（是什么非静电力产生的电动势）

2、麦克斯韦假设：

变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋状的电场，称为涡旋电场或感生电场。

由电动势的定义：

由法拉第电磁感应定律：

3、讨论

1）、此式反映变化磁场和感生电场的相互关系，即感生电场是由变化的磁场产生的。

2）、S是以L为边界的任一曲面。曲面的法线方向应选得与曲线L的积分方向成右手螺旋关系，

是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率，不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率

3）、涡旋电场与磁感应强度的变化率构成左旋关系。

4）、涡旋电场（感应电场）与静电场的比较：

a、涡旋电场是由变化的磁场激发的；静电场是由静止电荷产生的。

b、静电场的电场线是“有头有尾”的，起于正电荷而终于负电荷；涡旋电场的电场线是“无头无尾”的，是一组闭合曲线

c、此场有旋：无源：其中回路中的电动势即

负号表示有旋电场E绕磁场变化率左旋

5)、动生电动势和感生电动势的区别：

（1）、从特点上看：

动生电动势是磁场不变，闭合电路的整体或局部在磁场中运动导致回路中磁通量的变化

感生电动势闭合回路的任何部分都不动，空间磁场发生变化导致回路中磁通量变化

（2）、从原因上看：

动生电动势是由于S的变化引起回路中的磁通量的变化；感生电动势是由于磁感应强度的变化引起回路中的磁通量的变化。

（3）、从非静电力来源上看：

动生电动势是洛仑兹力产生的；感生电动势是感生电场力产生的。

四、涡电流（涡流）

大块的金属在磁场中运动，或处在变化的磁场中，金属内部也要产生感应电流，这种电流在金属内部自成闭合回路，称为涡电流或涡流。

趋肤效应——涡电流或涡流这种交变电流集中于导体表面的效应。

涡电流的热效应:利用涡电流进行加热

利用：

1、冶炼难熔金属及特种合金；

2、家用如：电磁灶；

3、电磁阻尼

弊端：

热效应过强、温度过高，易破坏绝缘，损耗电能，还可能造成事故如何减少涡流：1、选择高阻值材料；2、多片铁芯组合

9-3 自感

一、自感应：

1、自感现象：

由于回路自身电流、回路的形状、或回路周围的磁介质发生变化时，穿过该回路自身的磁通量随之改变，从而在回路中产生感应电动势的现象。

设回路电流为I，回路几何形状不变，且空间没有铁磁性物质时，则，写成等式，

其中L称为该回路的自感系数（简称自感或电感），单位：享利H，L取决于回路几何形状以及周围磁介质的磁导率。

2、自感系数：

当I=1时，，可见L在量值上等于当I=1时的。

3、自感电动势：

由法拉第定律

（1）

若回路几何形状和周围磁导率都不变，即L不变

，（关于负号的解释与力学的惯性比较）

若回路有N匝的线圈组，某匝的磁通量为，则

，即

，为全磁通

若，则

（当I=1，，或）

当回路不形变，周围磁介质不变，仍有

L是N匝线圈的自感系数，（2）

注意（1）与（2）式的区别。

例1、一长直螺线管长度L，截面积为S，内有磁导率为的磁介质，共密绕N匝线圈，缠绕密度，求它的自感系数。

例2、同轴电缆由两个同轴的导体薄圆筒组成，其间充满磁导率为的磁介质。使用时内、外圆筒分别沿轴向流过大小相等、方向相反的电流。设电缆长度为l内外圆筒半径分别为R1和R2，求电缆的自感系数。

二、互感应（现象）：

1、互感现象

因两个载流线圈中电流变化而在对方线圈中激起感应电动势的现象称为互感应现象。

2、互感系数与互感电动势

1)、互感系数(M)

若两回路几何形状、尺寸及相对位置不变，周围无铁磁性物质。实验指出：当两个回路的位置固定不变，周围介质的磁导率也不改变（铁磁质除外），则由回路1中的电流所产生的穿过回路2的磁通量与成正比，即

（★）

比例系数叫做回路1对2的互感系数，简称互感（与无关）。

2)、互感电动势

当变化时，在回路2中产生互感电动势

，（不变情况下）

同理，（★）

理论和实验都可证明，，

，注意与（★）的区别。

对于和匝的两回路：

，

，

，

注意：计算互感系数，其思路可以有两个。一个是设回路l1中有电流I1，求出I1在回路l2中激发的磁场B21，进而求出磁通量，然后除以I1即得M。另一思路是设I2，通过求出M。应注意，无论先设I1或I2，所求结果是相同的，但不同的设法，求解过程的难易程度并不相同，有时甚至差别很大。

3、说明：

1）、互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们的相对位置，以及周围介质的磁导率有关。

2）、互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互影响程度。

3）、互感系数的物理意义：互感系数在数值上等于当第二个回路电流变化率为每秒一安培时，在第一个回路所产生的互感电动势的大小。

例题：两线圈的自感分别是L1和L2，互感为M。求：（1）顺串，求1、4之间自感（2）反串，求1、3之间自感

解：（1）由于顺串联，L1和L2中的电流方向相同，1、4间总磁通

为：

图12-27 例12.16图串联时，I 1=I 2，则

由，得

（2）由于反串联，L 1和L 2中的电流方向相反，1、4间总磁通为：（与电流构成右手系为正）

反串时，I 1=I 2，则

同理

这里总是大于零，而的正负要根据电流来判断。

有，定义 其中和为全磁通。

M 的取决于两回路形状，相对位置及周围介质的磁导率。此处表示两回路相互产生磁通量的能力。

例12.15 如图12-26，一长直导线与一宽为a 、高为b 的单匝矩形回路共面，相距为d 。若矩形回路中有顺时针方向的电流I ，且I 正以速率增加，求长直导线中的感应电动势。

解 长直导线可看作在无限远处闭合的回路，设长直导线中有电流i ，则i 在矩形线框中产生的磁通量为

故两回路互感系数为

故矩形线框中电流I 变化时在长直导线中产生的互感电动势的大小为

按楞次定律可知长直导线所形成回路的互

感电动势应是逆时针方向的，也即长直导线上的电动势方向向下。

例12.16 如图有两自感线圈串接，若已知两自感线圈自感系数为L 1和L 2，互感为M ，求串联线圈的等效自感。

解 设回路方向为abcd 方向，回路中的电流为I ，则回路的全磁通为两个线圈中的磁通量之和

为第一个线圈中的磁通量，它等于第一个线圈自已产生的磁通量和第二个线圈产生的磁通量的代数和。两个线圈的磁场是彼此增强的，故和应相加（此时我们称两个线圈是顺接的）。

同理，为第二个线圈中的磁通量，有

故回路全磁通为

串联线圈等效自感为

若把线圈抽头bd相连，则两个线圈的磁通量彼此削弱，此时我们称两个线圈是反接的，有

串联线圈的等效自感为

三、自感的磁能

考虑一个LR电路中电流滋长的过程。如图所示按欧姆定律有改写为

此式表示回路中的电压关系，两边同乘以电流I

这是回路中的功率关系。对过程积分，设t=0时I=0，而任意t时电流为I，则有

这是回路中的功能关系。按能量守恒的观点，克服自感电动势的这部分能量，转化磁场的能量：

即，载流为I的自感器L贮藏磁能为

四、磁能密度

考虑一个载流为I的长直螺线管的磁场的能量：

对于长直螺线管

，

故

螺线管的磁场是均匀磁场，所以磁场能量密度

这就是磁场能量密度的公式。它也可以改写为其它形式：

一般地，体积V中的磁场能量为

例12.17 同轴电缆由半径为R1和R2，长度均为l的两个同轴的导体薄圆筒组成，其间充满磁导率为的磁介质。内外圆筒分别流过大小相等，方向相反的电流，其截面图见图12-29，求电缆中的磁场能量。

9-4 位移电流与全电流定律

一、位移电流

1、电磁场的基本规律:

1）、对静电场

2）、对稳恒磁场

3）、对变化的磁场

包

2、位移电流

电流的连续性问题: 含电阻、电感线圈的电路,电流是连续的.包含有电容的电流是否连续？在电流非稳恒状态下,安培环路定理是否正确?

答案是：通过同一回路的两个截面（一个在电路上，一个在电容器内部）的环流，前者不为零，后者为零，安培环路定理不再成立，可见电容器破坏了电路中传导电流的连续性。

如何解释？电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷积累随时间变化，单位时间内极板上电荷增加（或减少）等于通入（或流出）极板的电流。

极板上的电位移矢量为：

电位移通量为：

电流为：

由上式可以看出：变化的电场象传导电流一样能产生磁场，从产生磁场的角度看，变化的电场可以等效为一种电流。

若把最右端电通量的时间变化率看作为一种电流，那么电路就连续了。麦克斯韦把这种电流称为位移电流。

定义：

位移电流的方向：与传导电流方向相同

二、全电流定律

1、全电流：

通过这一截面的传导电流、运流电流和位移电流的代数和.在任一时刻,电路中的全电流总是连续的.

在非稳恒的电路中,安培环路定律仍然成立.

全电流定律：

2、位移电流和传导电流的异同点

传导电流位移电流

电荷的定向移动电场的变化

通过电流产生焦耳热真空中无热效应

传导电流和位移电流在激发磁场上是等效．

麦克斯韦认为静电场的高斯定理和磁场的高斯定理也适用于一般电磁场.所以,可以将电磁场的基本规律写成麦克斯韦方程组(积分形式):

三、麦克斯韦方程组（积分形式）

四、麦克斯韦方程组物理意义：

1）、通过任意闭合面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。

2）、电场强度沿任意闭曲线的线积分等于以该曲线为边界的任意曲面的磁通量对时间变化量的负值。

3）、通过任意闭合面的磁通量恒等于零。

4）、稳恒磁场沿任意闭合曲线的线积分等于穿过以该曲线为边界的曲面的全电流。