线性代数_ 矩阵及其基本运算_
矩阵及其运算
矩
阵
§1 矩阵的概念及其基本运算 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成 中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论
的m行n列的数表 矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是逆矩阵
a11 a12 ... a1n 的计算和矩阵方程的求解。 a21 a22 ... a2 n ... ... ... ... am1 am 2 ... amn
A=B. 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
二、加法 设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij =aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B.
即
a11 b11 a 21 b21 AB ... a b m1 m1 a12 b12 a 22 b22 ... a m 2 bm 2 a1n b1n ... a 2 n b2 n ... ... ... a mn bmn ...
a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b ... a2 n 21 b22 ... ... ... ... ... amn bn1 bn 2 ... b1 p c11 c12 ... b2 p c21 c22 ... ... ... ... ... bnp cm1 cm 2
定义2.2 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使 AB=BA=E
则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵，记为B=A－1。 可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.
线性代数 矩阵定义和基本运算
Bn
例
设
A
=
⎛1
⎜⎜⎝
2 3
⎞ ⎟⎟⎠
,B
=
⎛⎜⎝1
1 2
C 1
3
⎞ ⎟⎠
,
C
=
AB
求：
n
又如
⎡0 1 1 1⎤
A
=
⎢⎢1 ⎢0
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
,
⎢⎣1 0 1 0⎥⎦
⎡2 1 1 0⎤
1
4
A2 = ⎢⎢0 1 1 1⎥⎥ .
⎢1 0 0 0⎥
2
3
⎢⎣0 2 1 1⎥⎦
则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的条数
第一章：矩阵
1. 矩阵的概念 2. 矩阵的运算 3. 方阵的行列式及其性质 4. 初等变换与矩阵的秩 5. 初等矩阵与逆矩阵 6. 分块矩阵
第一章
1
矩阵的概念－－实际问题的表示
• 例1：四个城市A, B, C, D之间的航线如图
所示： A
B
C
D
通常可以用一个数表来表示上述航线情况：
进
港
A
B
C
D
A0 1 1 1
C = A B m×n
m×s s×n
如果 m＝1，n＝1时
AB= BA=
(a1, a2 ,
⎛b1 ⎞
⎜⎜b2
⎟ ⎟
(a1,
⎜⎝bs ⎟⎠
, a2 ,
as
)⎜⎜⎛bb12
⎜⎝bs
, as
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
)
s
∑ = aibi i =1
一个数， 一般不写为矩阵
=(cij )s×s S阶方阵
线性代数课程大纲
线性代数课程大纲一、课程介绍线性代数是一门重要的基础数学课程，它研究的是向量空间、线性变换等概念及其代数表达与计算方法。
本课程旨在帮助学生掌握线性代数的基本理论和方法，培养学生的抽象思维和解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 了解线性代数的基本概念和性质，包括向量、矩阵、线性方程组等；2. 掌握线性代数的基本运算法则和矩阵的性质；3. 熟练运用线性代数方法解决实际问题；4. 培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；5. 培养学生的团队合作和沟通能力。
三、课程内容1. 向量空间1.1 向量的定义及其运算法则1.2 向量空间的概念与性质1.3 线性相关与线性无关1.4 基与维数2. 矩阵与矩阵运算2.1 矩阵的定义及其运算法则2.2 线性方程组与矩阵的关系2.3 矩阵的行列式和逆矩阵3. 线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质3.2 特征值和特征向量的概念与计算3.3 相似矩阵和对角化4. 线性空间的正交性与最小二乘法4.1 正交基与正交投影4.2 最小二乘法的概念与应用4.3 欧氏空间与内积的性质5. 特殊矩阵与特殊线性方程组5.1 对称矩阵与二次型5.2 线性方程组的矩阵形式与解法5.3 基本概念与重要性质四、教学方法1. 理论讲授：从基本概念出发，逐步引入相关性质和运算法则的讲解；2. 示例演练：通过实例分析和计算练习，巩固学生的理论掌握能力；3. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，促进思维和交流；4. 编程实践：借助计算机编程软件，进行线性代数相关问题的编程实验。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与、作业完成情况等，占总评成绩的20%；2. 期中考试：对课程前半部分的理论知识进行考核，占总评成绩的30%；3. 期末考试：对整个课程内容进行综合考核，占总评成绩的50%；六、参考教材1. 《线性代数及其应用》，David C. Lay著；2. 《线性代数导论》，Sebastian Gross, Jay Hill, Isaac Lavendel著；3. 《线性代数与其应用》，朱杰民,胡文苑,徐伟治著。
线性代数基础知识
线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。
一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。
向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。
向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。
二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。
矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。
其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。
三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。
线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。
3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。
其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。
四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。
内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。
4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。
正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。
五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。
线性代数矩阵的运算
3 2 1 2
4 ?? 1? ? 1?? 1?
??? 5 6 7 ??
? ?10 2 ? 6?.
??? 2 17 10??
BG
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注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘 .
２、矩阵乘法的运算规律
?1??AB?C ? A?BC ?;
? ? ? ?2?A?B ? C ?? AB ? AC, ?B ? C ?A ? BA? CA;
第二节 矩阵的计算
一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用
BG
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一、矩阵的加法
１、定义
?? ? ? 设有两个 m ? n 矩阵
A 与 B 的和记作 A ?
AB，? 规a定ij ,为B
?
bij
, 那么矩阵
?3? ?A?B ? ? A?B ? A? B? （其中 ? 为数）;
注意 矩阵乘积一般不满足交换律
例 设 A ? ?? 1 1 ?? B ? ?? 1 ? 1??
?? 1 ? 1?
?? 1 1 ?
BG
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则
AB ? ??0 ?0
?? a11 ? b11
a12 ? b12 ?
A?
B
?
? ?
a 21 ? ?
b21
a 22 ? b22 ?
?
?
???a m1 ? bm1 a m2 ? bm 2 ?
a1n ? b1n ?? a 2n ? b2n ?
?? a mn ? bmn ???
BG
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《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
《矩阵及其运算 》课件
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。
矩阵的运算与初等变换
基本列向量，则
a11
Ae j
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2n
0
1
a1 j a2 j
am1 amj
amn
0
amj
➢ 可见当
§2 矩阵的运算
A=(aij)m×n，则EmA=AEn=A.
§2 矩阵的运算
➢ 运算规律 ➢ (1)设A=(aij)m×s， B=(bij)s×k， C=(Cij)k×n， 则A(BC)=(AB)C ；
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
➢ 注：只有同型矩阵才能相加.
§2 矩阵的运算
➢ 定义 m×n矩阵-A=(-aij)称为矩阵A=(aij)的负矩阵. 两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的差记为A-B，规定 A-B=A+(-B)，即
➢ 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向 量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其 线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵 等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的 理论基础。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 本节教学内容 ➢ 1.矩阵的概念 ➢ 2.同型矩阵与矩阵相等的概念 ➢ 3. 几种特殊的矩阵 ➢ 4. 矩阵的应用 ➢ 5. 向量的概念
线性代数 第一章
第一章 矩阵的运算与初等变换
➢ 本章教学内容 ➢ §1 矩阵与向量的概念 ➢ §2 矩阵的运算 ➢ §3 分块矩阵及矩阵的分块运算 ➢ §4 几种特殊的矩阵 ➢ §5 矩阵的初等变换
第一章 矩阵的运算与初等变换
3_1矩阵的概念及运算
3.同型矩阵与矩阵相等的概念 3.同型矩阵与矩阵相等的概念 (1)两个矩阵的行数相等 列数相等时,称为同型 两个矩阵的行数相等, (1)两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型 矩阵. 矩阵 1 2 14 3 同型矩阵. 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 3 7 3 9 同型矩阵, (2) 两个矩阵 A = aij 与B = bij 为同型矩阵 并且对应元素相等,即 并且对应元素相等 即
a11 a21 M am 1
a12 a22 M
L a1n L a2 n M
am 2 L amn
称为m行 列矩阵 列矩阵. 矩阵. 称为 行n列矩阵.简称 m × n 矩阵. 记作
a11 a 21 A= L a m1
简记为 A,
a12 a22 L am 1
ij
L a1n L a2 n L L L amn
A A B C D
0 1 1 0
1
B
C
D
1 1
0 0 1
0 0
0 0 1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况
用矩阵表示
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
二、矩阵的概念
1. 定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
的解取决于 系数
aij (i, j = 1,2,L, n),
常数项 bi (i = 1,2,L,n)
线性代数(同济六版珍藏版)
正交变换和配方法化简二次型
正交变换
通过正交矩阵对二次型进行变换，使得变换 后的二次型保持原有的性质，如形状、大小 等。正交变换可以简化二次型的计算过程。
配方法
通过配方的方法将二次型化为完全平方的形 式，从而更容易地找到其标准形。配方法适
用于特征值不易求解的情况。
正定矩阵概念及判别方法
要点一
正定矩阵定义
初等变换与等价关系
初等变换
对矩阵实施以下三种变换称为初等变换：(1) 对换两行；(2) 以非零数乘某一行； (3) 把某一行的若干倍加到另一行上。
等价关系
若两个矩阵可以通过有限次初等变换相互转化，则称这两个矩阵等价。等价关 系具有自反性、对称性和传递性。
02
行列式及其应用
n阶行列式定义及性质
01
两个矩阵行数相等、列 数相等且对应元素相等 。
只有同型矩阵才能相加 ，即把两个矩阵对应位 置的元素分别相加。
用数$k$乘以矩阵A的每 一个元素。
设$A=(a_{ij})$是$m times n$矩阵， $B=(b_{ij})$是$n times s$矩阵，那么规定A与B 的乘积是一个$m times s$矩阵C，其中C的第$i$ 行第$j$列元素是A的第 $i$行元素与B的第$j$列
特征值和特征向量在物理中应用
振动问题
在振动问题中，系统的质量和刚度矩阵 的特征值和特征向量决定了系统的固有 频率和振型。
VS
量子力学
在量子力学中，哈密顿算符的特征值和特 征向量分别对应于系统的能量本征值和波 函数。通过求解哈密顿算符的特征问题， 可以得到系统的能级和波函数。
06
二次型与正定矩阵
二次型概念及标准形
线性方程组解结构
mathematics矩阵运算
mathematics矩阵运算矩阵运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学和金融等。
本文将一步一步地介绍矩阵的定义、基本运算、特殊类型的矩阵以及一些常见的矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，可以用方括号表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\a_{3,1} & a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]其中，\[a_{i,j}\]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵中的元素可以是实数或者复数。
二、基本运算1. 矩阵的加法和减法：两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算。
对应位置上的元素相加或相减，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于两个3行2列的矩阵\[A\]和\[B\]，它们的和\[A + B\]可以表示为：\[A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \\a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} \\\end{bmatrix}\]2. 矩阵的标量乘法：矩阵可以与一个实数或者复数进行乘法运算，我们称之为标量乘法。
将矩阵中的每一个元素与标量相乘，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于一个3行2列的矩阵\[A\]和一个标量\[k\]，它们的乘积\[k \cdot A\]可以表示为：\[k \cdot A =\begin{bmatrix}k \cdot a_{1,1} & k \cdot a_{1,2} \\k \cdot a_{2,1} & k \cdot a_{2,2} \\k \cdot a_{3,1} & k \cdot a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是定义在两个矩阵之间的运算，它不同于矩阵加法和减法。
矩阵的运算与逆矩阵
矩阵的运算与逆矩阵矩阵是线性代数中一种非常重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
矩阵的运算与逆矩阵是矩阵理论的核心内容，它们在求解线性方程组、表示线性变换等方面具有重要的意义。
本文将详细介绍矩阵的运算及其逆矩阵的概念、性质和求解方法。
一、矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的数按一定的规则排列在矩形形式中构成的数表。
其中每一个数称为元素或分量。
矩阵通常用大写的英文字母表示，如A，B，C等。
矩阵中的行数与列数分别称为矩阵的行数和列数，分别用m和n表示。
矩阵A的元素a_ij是指第i行第j列的元素，其中i为行数，j为列数。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和矩阵B的行数和列数分别相等，则可进行矩阵的加法运算。
矩阵的加法定义如下：设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个m行n列的矩阵，那么矩阵A与B的和C=A+B定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_ij+b_ij。
2. 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A=(a_ij)和一个标量k，可以定义矩阵的数乘运算。
矩阵的数乘定义如下：设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，k是一个实数，那么矩阵A乘以k的结果C=kA定义为C=(c_ij)，其中c_ij=ka_ij。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最为重要的一种运算，它用于描述线性变换和求解线性方程组等问题。
矩阵的乘法定义如下：设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列矩阵，那么矩阵A乘以矩阵B的结果C=AB定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_inb_nj。
三、逆矩阵的性质与求解对于一个n阶方阵A，若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I 为n阶单位矩阵，则称矩阵A可逆，并称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A^{-1}。
逆矩阵的性质如下：1. 若矩阵A可逆，则其逆矩阵唯一。
2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵也可逆，并且有(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T。
线性代数 例题和习题
第二章 矩阵及其运算∙ 要点和公式 ∙ - PART I -1. 矩阵的基本运算 矩阵的加法设n m ij a ⨯=)(A ，n m ij b ⨯=)(B ，则n m ij ij b a ⨯±=±)(B A . 性质： ① A B B A +=+② )()(C B A C B A ++=++③ A O A =+④ O A A =-+)(矩阵的数量乘法设k 为数，n m ij a ⨯=)(A ，则n m ij ka k k ⨯==)(A A . 性质： ① A A =1② )()(A A l k kl = ③ A A A l k l k +=+)( ④ B A B A k k k +=+)(其它性质：① 0A =O ；② k O =O ；③若k A =O ，则有k =0或A =O 矩阵的乘法设n m ij a ⨯=)(A ,s n ij b ⨯=)(B , 则s m ij c ⨯=)(AB , 其中∑==nk kj ik ij b a c 1.性质：① )()(BC A C AB =② )()()(B A B A AB k k k ==③ AC AB C B A +=+)(④BC AC C B A +=+)(☑ 一般而言，矩阵的乘法不满足交换律和消去律，即 ①AB ≠BA ； ②AB =AC → B =C ； ③AB =O → A =O 或B =O (“≠”表示“不一定等于”；“→”表示“不一定能推出”) 定义：若AB =BA ，则称A 和B 可交换.(根据矩阵乘法，若A ,B 可交换，则A ,B 是同阶方阵)2 线性方程组及其矩阵表达式含m 个方程、n 个未知量的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 矩阵表达式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b 21，简记为Ax =b3 线性变换及其矩阵表达式从变量x 1, x 2, …, x n 到变量y 1, y 2, …, y m 的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nmn m m m nn nn x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 矩阵表达式：=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m y y y 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21，简记为y =Ax4 方阵、和方阵有关的运算 重要的方阵⑴ n 阶上三角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 22211211 (即，当i >j 时，a ij =0)n 阶下三角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111 (即，当i <j 时，a ij =0) ⑵ n 阶对角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n diag λλλλλλ2121),,,(Λ ⑶ n 阶数量矩阵 nn n k k k k ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= E (k ≠0)⑷ n 阶单位矩阵 nn n ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 E⑸ 奇异矩阵、非奇异矩阵 (不可逆矩阵、可逆矩阵) ⑹ 对称矩阵、反对称矩阵 ⑺ 伴随矩阵 方阵A 的k 次幂个k k A AA A =. 性质：① m k m k +=A A A ；② km m k A A =)( ☑ 一般而言，k k k B B A A ≠)( (除非A ,B 是可交换的) 方阵A 的k 次多项式设0111)(a x a x a x a x f k k k k +++=-- ，A 为n 阶方阵， 则E A A A A 0111)(a a a a f k k k k +++=-- (E 为n 阶单位矩阵) ☑ ① f (A )g (A ) = g (A )f (A )② 一般而言，f (A )g (B ) ≠ g (B )f (A ). (除非A ,B 是可交换的) ☑⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n λλλ21Λ的多项式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()()(21n f f f f λλλΛ方阵的行列式定理：若A , B 都是n 阶方阵，则B A AB ⋅= ☑ ①A A n k k =；② 一般而言，B A B A +≠+ ③ 一般而言，B A = → A =B☑ 定义：设A 为n 阶方阵，若0=A ，则称A 为奇异矩阵；若0≠A ，则称A 为非奇异矩阵.5 转置矩阵设n m ij a ⨯=)(A ，则A 的转置矩阵m n T ji T a ⨯=)(A ，其中Tji ij a a =转置矩阵的性质：① A A =T T )( ② T T T B A B A +=+)(③ T T k k A A =)( ④ T T T A B AB =)(⑤ 若A 为方阵，则A A =T6 对称矩阵、反对称矩阵定义：若A =A T(即a ij = a ji )，则称A 是对称矩阵；若A =－A T (即a ij = -a ji )，则称A 是反对称矩阵；(由定义知，对称矩阵和反对称矩阵必然是方阵)7 代数余子式矩阵、伴随矩阵定义：设A =(a ij )为n 阶方阵(n ≥2)，将A 中的所有元素a ij 替换为相应的代数余子式A ij 所得的矩阵，称为A 的代数余子式矩阵，记作cof A.定义：设A 为n 阶方阵(n ≥2)，则伴随矩阵T cof )(*A A = 伴随矩阵的性质：E A A A AA ==** (该性质表明，方阵A 与．伴随矩阵．．．．A *总是可交换的．．．．．．)8 可逆矩阵定义：若AB =BA=E ，则A ,B 皆可逆，且互为逆矩阵.(由定义可知，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵)定理：若A 可逆，则1-A 是唯一的.定理：A 可逆的充分必要条件是0≠A (即A 是非奇异矩阵). 定理：若A 可逆，则*11A AA =-. 定理：若A , B 均为n 阶方阵且AB =E ，则必有BA =E (即A ,B 皆可逆，且互为逆矩阵) 可逆矩阵的性质：设A , B 均为n 阶可逆阵，数k ≠0，则A -1, A T, kA , AB , 皆可逆，且① A A =--11)( ② 11)()(--=T T A A③ 111)(---=A A k k ④ 111)(---=A B AB ⑤ 11--=A A求逆矩阵的重要公式 ⑴ 二阶可逆矩阵： 若ad -bc ≠0，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a c b d bc ad d c b a 11(2-1) (“两调一除”：调换主对角元位置，调换副对角元符号，再除以矩阵的行列式的值ad -bc ) ⑵ 可逆的对角阵、副对角阵： 若a 1 a 2 …a n ≠ 0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11211121n n a a a a a a(2-2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11121121a a a a a a nn(2-3)9 伴随矩阵的其它性质 (补充内容)① 1*-=n AA② 若A 可逆，则A * 也可逆，且*11*)()(--=A A③**)()(T T A A = ④*1*)(A A -=n k k⑤⎪⎩⎪⎨⎧=>=-)2()2()(2**n n n A A A A⑥ ***)(A B AB =注 以上性质的证明参见Part III-附录.10 分块矩阵分块矩阵的运算性质和一般矩阵相似，但需注意以下几点： ① 分块矩阵的加法：在A ,B 是同型矩阵的前提下，要求A 和B分块方式相同；② 分块矩阵的乘法：在AB 可乘的前提下，要求A 的列的分块方式和B 的行的分块方式相同；③ 分块矩阵转置：先将行块、列块转置(“大转”)，再将每个子块转置(“小转”). 分块法求逆矩阵的公式⑴ 可逆的分块对角阵、分块副对角阵：若A 1, A 2, …, A m 都是可逆阵，即021≠⋅⋅m A A A ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11211121m m A A A A A A(2-4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11121121A A A A A Am m(2-5)⑵ 可逆的2⨯2分块矩阵：若A , B 都是可逆阵，即0≠⋅B A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B O CB A A B OC A (2-6)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A (2-7)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111CB A A B O O B A C (2-8)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----O A B CA B C B A O 11111(2-9)- PART II 一些特殊矩阵的乘积 -⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m a a a21()n b b b , , ,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m m m n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111[矩阵乘积中任意两行(列)元素成比例]()n a a a , , ,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21n n b a b a b a +++= 2211 若A ,B 均为上(下)三角矩阵，则AB 也是上(下)三角矩阵.(并且，AB 的主对角元 = A 和B 的主对角元乘积])⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m λλλ 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m m m m n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ212222221211121111[相当于用λ1, λ2, …, λm 分别乘(a ij )m ⨯n 的各行]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n m m n n n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ 221122222111122111[相当于用λ1, λ2, …, λm 分别乘(a ij )m ⨯n 的各列]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n b b b 21 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n b b b 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n b a b a b a2211 (上式表明，两个同阶的对角阵总是可交换的)n m n m m kA A kE ⨯⨯=)(； n m n n m kA kE A ⨯⨯=)( n n n n n kA kE A A kE ==)()((上式表明，数量矩阵与任．．一．同阶方阵总是可交换的．．．．．．．．．．) n m n m m A A E ⨯⨯=； n m n n m A E A ⨯⨯=()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21∑∑===n i j i nj ij x x a 11(x 1,x 2,…x n 的二次齐次多项式)如果上式中方阵 (a ij )n ⨯n 是一个对称矩阵，则结果也可写作：∑∑∑=>=+n i j i nij ij i n i ii x x a x a 1212设A =(a ij )m ⨯n ，则AA T=C =(c ij )m ⨯m 是一个m 阶方阵，其中 主对角元c ii 是A 的第i 行元素的平方和，非主对角元c ij (i ≠j )是A 的第i 行和第j 行对应元素的乘积之和，即∑∑====nk jkik nk Tkj ik ij a a a a c 11⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==∑∑==n k jk ik n k ik j i a a j i a 112)( )( 111 2122221112111212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mn m m n n n mn m m n n a a a a a a a a a a a aa a aa a a [乘积为列向量，其中元素是(a ij )m ⨯n 的各行元素之和]() , , , 1 , ,1 ,1112112122221112111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===⨯m i in m i i mi i mn m m n n m a a a a a a a a a a a a[乘积为行向量，其中元素是(a ij )m ⨯n 的各列元素之和]111112112222121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯n n mn m m mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 上下翻转]111 122122211121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯m m mn nnn n mn m m n n a a a a a a a a a a a aa a aa a a[相当于将(a ij )m ⨯n 左右翻转]000010102122221212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mn m m n mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各行向上递推一次]00001010 1,11,2211,111212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⨯n m m n n n n mn m m n n a a a a a a a a aa a aa a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各列向右递推一次)00001010,12,11,111211212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⨯n m m m n mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各行向下递推一次]00001010 2222112212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mnm n nn n mn m m n n a a a a a a a a aa a aa a a [相当于将(a ij )m ⨯n 的各列向左递推一次]- PART III 附录：伴随矩阵性质的证明 -[证] (i) 若A 不可逆 (即0=A )，要证的结论变为0*=A .(i-1) 若0=A 且A =O ，则O A =*→0 *=A(i -2) 若0=A 但A ≠O ，仍有0*=A ，用反证法证明如下： 假设0 *≠A ，即A *可逆.由于0=A ，故O ==E A AA *上式两端右乘(A *)-1，得O A O A ==-1*)(结论与条件 A ≠O 矛盾，故假设不成立，因此0*=A(ii) 若A 可逆 (即0≠A )， 对E A AA =*两端取行列式，得*nA A A =⋅由于0≠A ，故1* -=n AA ⏹[证] 由于A 可逆(即0≠A )，对E A AA =两端同除A ，得1*E A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 上式表明：A *可逆，且1*)(-A A A1=又，用A -1替换 *E A AA =中的A ，有)(1*11E A A A ---=上式两端左乘A ，得 A AA A A 1)( 1*1==-- ⏹ 性质③ **)()(T TA A =[证] 设A =(a ij )n ⨯n ， A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式，则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A 212221212111*A → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n TA A A A A A A A A 212222111211*)(A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n T a a a a a aa a a A212221212111 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n T A A A A A AA A A A 212222111211*)(∴ **)()(T T A A = ⏹性质④ *1*)(A A -=n k k[证] 设A =(a ij )n ⨯n ， A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式，则行列式A k 中(i , j )元的代数余子式为nnnj n in ij i nj j i ka ka ka ka ka ka ka ka ka111111)1(+-ij n A k 1-=*1121112122112111211111* )( A A ----------=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n nn n n n n n n n n n n n n n k A k A k Ak A k A k A k A k A k A k k ⏹为证明性质⑥和⑦，下面先给出两个引理(但不证明)： 引理1 对任意方阵A ，必存在实数λ0，当λ >λ0时，0212222111211≠---=-λλλλnn n n nn a a a a a a a a a E A引理2 设n 阶矩阵 A=(a ij (λ)) , B=(b ij (λ)) ，其中a ij (λ) , b ij (λ)是λ 的多项式 (i ,j =1,2,…,n ).如果存在实数λ0，使得当λ >λ0时A =B ，则对于任意实数λ都有A =B .[证] 用A *替换 *E A AA =中的A ，并利用性质①，有)(****E A A A =E A1-=n .两端左乘A ，得A AA AA 1***)(-=n A AA A 1**)( -=→n以A -λE (λ为任意实数) 代替上式中的A ，得)())((1**E A EA E A E A λλλλ--=---n根据引理1，存在实数λ0，当λ >λ0时，0≠-E A λ. 故，当λ >λ0时，有⎪⎩⎪⎨⎧=->--=--)2()2( )())((2**n n n ，，E A E A E A E A λλλλ根据引理2，上式对任意实数λ均成立. 特别是λ=0时，得⎪⎩⎪⎨⎧=>=-)2( )2( )(2**n n n ，，A A A A ⏹性质⑥ ***)(A B AB =[证] 用AB 替换 *E A AA =中的A ，有)(*E AB AB AB =两端左乘A *B *，得)(*****A B B A AB AB A B =对上式左端，有******)()())((AB B A A B AB AB A B =**)()(AB B E A B =**))((AB B B A = *))((AB E B A =*)(AB B A =因此，***)(A B B A AB B A =以A -λE , B -λE (λ为任意实数)分别代替上式中的A ,B ，得()*))((E B E A E B E A λλλλ----**)()(E A E B E B E A λλλλ----=根据引理1，存在实数λ1, λ2，当λ >λ1时，0≠-E A λ，当λ >λ2时，0≠-E B λ. 若取λ0=max(λ1, λ2)，则当λ >λ0时，有0≠-E A λ且0≠-E B λ，于是()***)()())((E A E B E B E A λλλλ--=--根据引理2，上式对任意实数λ均成立. 特别是λ=0时，得***)(A B AB =∙ 典型题型 ∙1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括加、减、数乘、乘法、转置等，熟记“要点和公式Part II ”中特殊矩阵的乘积，有助于正确、简捷的解题. 矩阵的运算与数的运算有很多区别，例如，矩阵的乘法一般不满足交换律和消去律，因此一些关于数的恒等式或命题对矩阵不一定成立. 在学习过程中应留意这些区别.[练习1] 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x 21B ，则A 和B 可交换的充分必要条件是__________. [答案] x -y = -1.[练习2] 设A 是n 阶下三角矩阵，B 是一个主对角元都为零的n 阶下三角矩阵，证明AB 是主对角元都为零的下三角矩阵. [提示] 记AB =C =(c ij )，需证明：当i ≤j 时，000111=+=+==∑∑∑+===nj k kj ik jk kj ik nk kj ik ij b a b a b a c[练习3] 设A 是n 阶对称矩阵(即A =A T)，B 是n 阶反对称矩阵(即B = -B T)，且A 2=B 2，证明：A =B =O .[提示] 由题设条件可得，AA T+BB T=O ，从而AA T+BB T的主对角元0)(122=+∑=nk ik ikb a (i = 1,2,…,n )[练习4] 若矩阵A 的各行(或列)元素之和相等，则称A 为行(或列)等和矩阵. 证明：(1) 矩阵A =(a ij )m ⨯n 是行等和矩阵的充分必要条件是AI n ⨯1= k I m ⨯1，其中11111⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n I ,11111⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m I , k 是常数； (2) 矩阵A =(a ij )m ⨯n 是列等和矩阵的充分必要条件是I 1⨯m A = k I 1⨯n ， 其中()m m ⨯⨯=111 ,,1 ,1 I ,()n n ⨯⨯=111 ,,1 ,1 I .[练习5] 设A , B 均为n 阶方阵，且A 2=E , B 2=E ，证明：(AB )2=E 成立的充分必要条件是AB =BA[提示] 必要性：(AB )2=E 即ABAB =E ，两端左乘A 、右乘B ，再利用题设条件A 2=E , B 2=E 化简；充分性：由AB =BA ，可得(AB )2= (AB )(AB ) = (AB )(BA ) = A (BB )A .2 与方阵有关的计算 ⑴ 方阵的多项式⑵ 方阵的幂[练习6] 设A 为方阵，且A 2=A ，证明：(A +E )n=E +(2n-1)A . [提示] 用归纳法.[练习7] 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001001λλA ，求A n.[答案] ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001011221λλλn n n n C C C A[练习8] 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1111111111111111A ，求A 5. [答案] ()1 ,1 ,1 ,11111--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ⇒ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=1111111111111111)4(45A⑶ 方阵、方阵的行列式用方阵中的元素构成的行列式(元素的位置不变)，称为方阵的行列式. 方阵和行列式是不同的概念，要注意两者运算性质之间的区别.[练习9] 设α=(1,0,-1)T，矩阵A =ααT，n 为正整数，求∣k E -A n∣. [答案] k 2(k -2n)⑷ 利用定理“∣AB ∣=∣A ∣∣B ∣”计算行列式(其中A ,B 是同阶方阵)练习10设a 1, a 2, …, a n 是n 个互异的非零实数，S i=a 1i +a 2i +…+a n i,(i = 0,1, 2, …, 2n -2), 证明:022121110>---n nn nn S S S S S S S S S[提示] 利用11121211112元)(-------++++==j n i n j i j i j i a a a a a a S i,j()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------1121111211 ,,,j n j j i n i i a a a a a a可得，行列式的值为0)(12>-∏≤<≤ni j j i a a练习11 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B +2E ，求∣B ∣.[提示] BA =B +2E ⇒ B (A -E )=2E ⇒ 22=-⋅E A B [答案] 2.3 线性变换的矩阵表示练习12 设A=E-2ααT，其中α=(a1, a2,…, a n)T，且αTα=1，证明：①A是对称矩阵；②AA T=E.[提示]①证明A T = A即可；②利用①的结论，有AA T=A2=E-4ααT+4ααTααT (其中αTα=1)5 伴随矩阵和可逆矩阵⑴伴随矩阵及其性质⑵ 求可逆矩阵的逆矩阵对于一个“数字”形式的可逆方阵A ，求逆的基本方法有： 方法一：待定元素法 (例27). 方法二：利用伴随矩阵求逆，*11A AA=- (例28). 方法三：分块矩阵法 [6-(2)中的例49和例50]. 方法四：初等变换法 (常规方法．．．．，将于第三章中介绍). 求逆的运算容易出错，最后应验算A -1A =E 或AA -1=E成立.⑶ 判断方阵的可逆性判断方阵A 是否可逆的基本方法：方法一：根据|A |的值判断，“A 可逆⇔⎪A ⎪≠0”； “A 不可逆⇔⎪A ⎪=0”方法二：若A ,B 为同阶方阵，且AB =E (或BA =E )，则A ,B 互为逆矩阵.方法三：若A 可表示为若干个可逆矩阵的乘积，则A 可逆. (可逆矩阵的性质：可逆阵的乘积仍是可逆阵) 方法四：反证法.练习13 设A 是n 阶方阵，且AA T=E ，∣A ∣=-1，证明A +E 不可逆. [提示] 由∣A +E ∣=∣A +AA T∣=∣A (E +A T)∣=∣A ∣∣(E +A )T∣=-∣E +A ∣，得∣A +E ∣=0练习14 设A 是n 阶方阵且满足关系式A 2+A -6E =O ，证明A , A +E , A +4E 均可逆，并求逆矩阵. [提示] 以证明A +4E 可逆为例，A 2+A -6E =O ⇒ A 2+A -12E =-6E ⇒ E E A E A =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)4()3(61∴ A +4E 可逆，且)3(61)4(1E A E A --=+-[答案] )(611E A A +=-，A E A 61)(1=+-，)3(61)4(1E A E A --=+-练习15 设A ,B 和A -1+B -1均为可逆矩阵，证明：①A +B 可逆，② (A +B )-1=A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1.[提示] 本题可综合利用例32和例33的方法，主要步骤如下： ① A +B = AB -1B +AA -1B = A (B -1+A -1)B (三个可逆阵的乘积) ② 证明[A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1] (A +B )= [A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1] A (B -1+A -1)B = E 即可练习16 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11334221t A ，B 为3阶非零矩阵，且AB =O ，求t .[提示] 由B ≠O ，用反证法可得A 不可逆，即∣A ∣=0 [答案] t =-3.⑷ 利用逆矩阵解矩阵方程本章涉及的矩阵方程的基本类型如下：当A ,B 是可逆阵时，① 1B X B AX -=⇒=A ②1 -=⇒=A B X B XA③11 --=⇒=CB X C AXB A注意，如果计算中要使用了一个矩阵的逆，应先证明该矩阵可逆.练习17 设4阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000230022303123B ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000410044106241C ，且矩阵A 满足关系式 (2E -C -1B )A T= C -1，其中E 为4阶单位阵，将关系式化简，并求A .[提示] 对(2E -C -1B )A T= C -1两端左乘C ，再转置，得A (2C - B ) T= E .[答案] E B C A 51])2[(1=-=-T练习18 设矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112*A ，且ABA -1=BA -1+3E ，其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵B .[提示] 化简ABA -1=BA -1+3E ，可得1*1113)(3----⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A E A E B其中的A 利用1*-=n AA 计算.[答案] ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3330B⑸ (涉及可逆阵的) 方阵的幂的计算练习19 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100001010A ，B =P -1AP ，其中P 为3阶可逆矩阵，求B2004-2A 2.[提示] ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000100012A ；E A =4；E P E P P A PB ===--5011200412004[答案] ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1336 分块矩阵矩阵的分块是重要的计算技巧，通过恰当的分块，将大矩阵的运算变成小矩阵的运算，可达到简化计算的目的. ⑴ 分块矩阵的运算练习20 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200042000051200125A ，求A 2k(k 为正整数) [提示]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200042000051200125A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A ⇒ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k 22212A O O A A其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k kk 222221130013130013A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+k k k k k A 2222222022[答案] ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+k k k k k kk 222222220002200013000013A练习21 设任意矩阵A 的分块矩阵A =(B , C )，证明：如果C TB =O ，则∣A T A ∣=∣B T B ∣∣C TC ∣.[提示] ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C B C C B B B C B C B A A T T T T T T T, 其中C T B =O ，B T C =(C T B )T =O T练习22 设αT, βT, γ1T, γ2T均为1⨯3行向量，记分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TT2153γγαA ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T 21γγβB ，若∣A ∣=15，则∣B ∣=4，则∣A -B ∣=______.[答案] -24 ⑵ 分块法求逆矩阵分块法计算逆矩阵的公式参见“要点和公式”中的 (2-4)~(2-9).练习23 设A 是m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，且∣A ∣=a ≠0，∣B ∣=b ≠0，则O B A O 2=_______，12-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O =_______.[答案] ab m n m 2)1(⨯-； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O 11127 矩阵的运算性质除了矩阵的基本运算(加、减、数乘、乘法、转置)外，本章还介绍了对称矩阵、反对称矩阵、伴随矩阵、可逆矩阵、分块矩阵，要牢固掌握并能熟练运用相关的运算性质.练习24 设A是3阶可逆矩阵，且∣A∣=3，则∣2A-1∣=_____；∣A*∣=_____；∣(A*)*∣=_____；∣(A*)-1∣=_____；∣5A-1-2A*∣=_____；∣ (2A)*∣=_____；∣4A-(A*)*∣=_____.[答案]8/3, 9, 81, 1/9, -1/3, 576, 3(本题主要考察逆矩阵以及伴随矩阵的运算性质)。
实用线性代数课件第一章
第一章 矩阵与行列式 1 矩阵及其运算 2 n阶行列式 3 可逆矩阵 4 分块矩阵
线性代数
线性代数是研究离散变量之间线性关系的基础理论之一， 矩阵与行列式是线性代数中重要且应用广泛的两个概念，两者 之间既有区别又有联系。矩阵是一个数表，它的行数与列数可 以不同；行列式是一种代数运算公式，可将其视为方阵的函数； 同时，行列式又是方阵特性的一个重要标志。
A 150 180
70 40
而表
1-2
的数据组成了一个
2×3
矩阵
B
2 3.5
0.9 0.5
00.2.35
例 1.3 中确定二元线性方程组（1.1）的数表是一个 2×3 矩阵
a11 a21
a12 a22
b1 b2
，通常称之为方程组（1.1）的增广矩阵；
而由方程组中未知量的系数构成的矩阵
a11 a21
a12 a22
，称为方
程组（1.1）的系数矩阵。
线性代数
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩 阵。本书中的矩阵都指实矩阵。
若两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称它们是同型矩阵。
定义1.2 设矩阵 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是同型矩阵，
0 1
0 2
A
B
2 1
2 1
.
线性代数
线性代数
矩阵的线性运算满足如下规律：
设 k, l, 为数， A, B,C 为同型矩阵，则有： （1） 加法结合律 (A B) C A (B C) （2） 加法交换律 A B B A （3） 数乘结合律 k(lA) (kl) A （4） 数乘分配律 k(A B) kA kB (k l)A kA lA
同济大学线性代数课件__第二章 矩阵及其运算
j
)
元素。
4
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。
矩阵相等：设矩阵A与B是同型矩阵，
A(a ) , B (b )
ij
ij
若 a b ( i, j 1,2,,n)
ij ij
则称矩阵 A与 B相等，记作 A B.
x 0
1 y
48
3 0
1 2
4z x 3, y 2, z 8
5
一些特殊的矩阵 零矩阵(Zero Matrix):
第二章 矩阵及其 运算
1
§1 矩 阵
2x1 x2 x3 x4 2
4
x1 x1
x2 6x2
2x3 2x3
x4 2x4
4 4
3x1 6x2 9x3 7 x4 9
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 3
6 6
2 9
2 7
4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由m n 个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成的m行n列的数表，
那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11
A
B
a b
21
21
a12 b12
a b
22
22
a1n b1n
a 2n
b 2n
a m1
b m1
a b
m2
m2
a mn
b mn
14
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算.
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9