线性代数_ 矩阵及其基本运算_
线性代数 第二章总结
第二章 矩阵及其运算
矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。
本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。
本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。
§ 1 矩阵的概念
一、内容提要
1．矩阵定义 由n m ⨯个数排成的m 行n 列的矩形数表
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2
122221
11211
称为一个m ×n 矩阵，其中ij a 表示位于数表中第i 行第j 列的数（m i ,,2,1 =；n j ,2,1=）。
ij a 又称为矩阵的元素。
规定，1×1矩阵 a a =)(。
矩阵也可表示为)(ij a 或n m ij a ⨯)( 。如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表示矩阵，如：A ，B ，...，或n m A ⨯，n m B ⨯，...。
元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。 若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。
矩阵A =()n m ij a ⨯，B =()
n m ij b ⨯是同型矩阵。若它们的对应元素相等，即
线性代数 矩阵定义和基本运算
不成立!
矩阵乘法的应用
例 前面线性方程组可以转化为矩
阵的一次方程求解问题. 令
⎛ a11
a12
A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎜⎝ am1
am2
得到矩阵形式
a1n ⎞
a2n
⎟ ⎟
amn ⎟⎠
X
=⎛⎜⎜xx12
⎞ ⎟ ⎟
⎜⎝xn⎟⎠
⎛b1 ⎞
b=⎜⎜b2
⎟ ⎟
⎜⎝bm⎟⎠
AX = b
方阵的正整数次幂
Ak = AA A
a 21
2
+a
13
+
a
a23
12
a 22
xx3aa3 与1233 ⎟⎟⎠⎞⎪⎩⎪⎨⎧
x1 x2 x3
= = =
b11t1 b21t1 b31t1
+ b12t2 + b22t2 + b32t2
⎧ ⎪
y 1
=
(a b 11 11
+a b 12 21
+
a b )t 13 31 1
+
⎪⎪ ⎨ ⎪
y2
=
(a b 11 12
2.对角阵
Λ
=
⎛ ⎜ ⎜⎝
a11
记： Λ = diag{a11, a22 ,
线性代数矩阵的运算
21b1a2 ?
22b2a2 ?
23b32
? ?
BG
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C
?
? ? ?
a11b1a1 a21b1a1
? ?
12b2a1 ? 22b2a1 ?
13b31 23b3a1
a11b1a2 ? 21b1a2 ?
12b2a2 ? 22b2a2 ?
13b32 23b32
? ? ?
矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的，
?? a11 ? b11
a12 ? b12 ?
A?
B
?
? ?
a 21 ? ?
b21
a 22 ? b22 ?
?
?
???a m1 ? bm1 a m2 ? bm 2 ?
a1n ? b1n ?? a 2n ? b2n ?
?? a mn ? bmn ???
BG
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算 .
BG
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矩阵相加与数乘矩阵合起来 ,统称为矩阵的 线性运算 .
三、矩阵与矩阵相乘
设变量t1, t2到变量x1, x2 , x3的线性变换为
???
?
x1
=
b11t1
+
b12t2
I ? x2 = b21t1 + b22t2
第1章 矩阵及其运算
第1章 矩阵及其运算
§1.1 矩阵的概念
矩阵是线性代数研究的主要对象之一. 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895)被公认是矩阵论的创立者. 1858年，他发表《矩阵论的研究报告》一文，定义了矩阵相等、矩阵运算法则、矩阵转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，这可以看作矩阵作为数学研究对象和研究内容的标志.
什么是矩阵？如何定义矩阵的关系与运算？矩阵的概念最简单的表述是：由n m ⨯个数构成m 行、n 列的矩形数表即为m 行n 列的矩阵.其数学表达为：
设ij a ),,2,1;,,2,1(n j m i ==是n m ⨯个数，将其排成m 行、n 列，构成矩形数表
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
2222111211，
称为m 行、n 列矩阵，也称为n m ⨯阶矩阵.通常用大写字母A 、B 、C 等表示.也用符合()
n
m ij a ⨯表
示上述矩阵.
ij a 称为矩阵()
n
m ij
a ⨯第i 行第j 列的元素，)(21in i i a a a 为矩阵()
n
m ij
a ⨯第i (m i ,,2,1 =)
行，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛mj j j a a a 21为矩阵()
n
m ij
a ⨯的第j (n j ,,2,1 =)列. 数集F 上m n ⨯阶矩阵的全体记作m n
F
⨯.
矩阵作为一种工具，它在工程技术、通讯技术、信息传输、图象识别、经济等领域中有着广泛的应用，这也促使矩阵理论成为了线性代数的主要内容.下面我们给出几个实例.
例 1.1 安徽省是我国重要的煤炭基地之一，境内的淮南矿业、淮北矿业、皖北煤电矿业等集团公司年生产能力在亿吨水平.其产品除自给外，主要供应上海、浙江、江苏等地.
线性代数 矩阵及其运算
( AB )T = AT BT
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24
6. 对称矩阵与反对称矩阵
设 A为 n 阶方阵， 若 AT = A，
即
aij = aji (i,j=1,2,…,n)，
称矩阵A 为对称矩阵；
若AT = A，
即
aij = aji (i,j = 1,2,…,n)，
2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质
1）.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
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a11b11 a12b12 ... a1nb1n
ABa21...b21
a22b22 ...
... ...
a2n...b2n
am1bm1 am2bm2 ... amnbmn
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；
两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
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9
负矩阵 : A= ( aij)
a22x2 a2nxn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
记
A(ai j)mn xx1
bb1
xn
bm
则非齐次线性方程组可简记为 Axb
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
第二章 矩阵及其运算
2.1 目的要求
1．理解矩阵的概念；
2．了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质； 3．掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；
4．理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆； 5．了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则．
2.2重要公式和结论
1．对于任意方阵A , 总有 E A =A A =AA *
*，如果0≠A , 即A 为可逆矩阵, 则有 *
1
A A
A
1=
−或1*A A A −=； 2．数乘以方阵的关系 , T
T
k k A A =)(1
11)(−−=A A k
k , A A n k k =, A A 11=−；
3．矩阵乘法的关系
T T T A B (AB)=, , 111A B (AB)−−−=BA AB =；
，()2
2
T T
A
)(A =()
2112
A )(A
−−=，2
2A A =；
4．若A 、均为可逆矩阵, 则; ； B 1
0B A 0−⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−0A
B 01
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛−−−11
1
B 00A B 00A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛−−−−−1111
1
B 0CB A A B 0
C A ；； ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−−−−−1111
1
B CA B 0A B
C 0A 5．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)2(≥n 1
n *
A
A −=；
6．已知A 为一个阶矩阵，则n A A n
k k =，1
−=n n
k k A A *
，()1
矩阵的定义与基本运算
矩阵的定义与基本运算
矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如数学、物理、计算机科学等。它是由一组数按照规定的排列方式组成的矩形阵列。在本文中，我们将探讨矩阵的定义、基本运算以及其在实际应用中的重要性。
一、矩阵的定义
矩阵可以用一个大写字母表示，如A、B等。一个m行n列的矩阵可以表示为A=[a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。矩阵中的每个元素a_ij都是一个实数或复数。矩阵的行数m和列数n分别称为矩阵的维数，记作m×n。
二、矩阵的基本运算
1. 矩阵的加法
矩阵的加法是指对应位置上的元素相加。如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m×n，则它们的和记作C=A+B，其中C的维数也是m×n。具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素与B的第i行第j列的元素之和。
2. 矩阵的数乘
矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。如果矩阵A的维数是
m×n，常数k是一个实数或复数，则kA表示将A的每个元素都乘以k得到的新矩阵。具体而言，kA的第i行第j列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。
3. 矩阵的乘法
矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。如果矩阵A的维数是
m×n，矩阵B的维数是n×p，则它们的乘积记作C=AB，其中C的维数是m×p。具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素分别相乘后再相加得到的结果。
4. 矩阵的转置
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。如果矩阵A的维数是
m×n，则它的转置记作A^T，维数是n×m。具体而言，A^T的第i行第j列的元素
线性代数 第一章、矩阵
定义1.2
如果一个数集 F 中任意两个数经过某一种
运算后所得结果仍在该数集中,则称数集 F 对该运算封闭.
例如: 整数集对加法运算封闭，但对除法运 算不封闭。
因此,要证明一个数集是否构成数域只要能证明该数 集中含有数0和1,并且对加、减、乘、除四种运算 都封闭即可。
5
例1 设 F {a b 3, a,b Q} 则F 是一个 数域。
a11 a12 L
a21
a22
Lห้องสมุดไป่ตู้
a1 j L a2 j L
a1n
a2n
矩阵
L L L L L L
ai1
ai2 L
aij L
ain
L L L am1 am2 L
LL amj L
L amn
aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量 7
定义1.3
由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)按一 定次序排成 m 行 n 列的矩形数表
为了在以后的讨论中能把具有共同运算性质的数集 统一处理
下面引入一个一般的概念
3
定义1.1
设F是复数集C的一个子集合，如果F满 足下列两个条件： （1）0和1都在 F 中 （2） F 中任意两个数(可以相等)的和、差、积、 商（除数不为零）仍然在该集合中
线性代数第二章矩阵及其运算第二节矩阵的运算
主要内容
矩阵的加法 数与矩阵相乘
矩阵的运算
矩阵矩阵乘积的意义 矩阵的转置
矩阵的乘法
方阵的幂
方阵的行列式
共轭矩阵
一、矩阵的加法
1. 定义 定义 2 设 A = (aij)m×n 与 B = (bij)m×n 是两
个同型矩阵，称 m×n 矩阵 C = (aij + bij)m×n 为矩
阵 A 与矩阵 B 的和，记为 A＋B．
2. 定义 定义 4 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n ,
C = (cij)m×n , 其中
cij = ai1b1j + ai2b2j + · + aipbpj · ·
aik bkj , i = 1, 2, · , m; j = 1, 2, · , n , · · · ·
求 AB.
解 因为 A 是 2×4 矩阵, B 是 4×3 矩阵, A
的列数等于 B 的行数, 所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其乘积 AB = C 是一个 2×3 矩阵, 由矩阵乘积的 定义有
例 5 求矩阵 例 5 求矩阵
4 2 4 2 A 1 2 , B 3 6
若记 - A = ( -aij) , 则称 -A 为矩阵 A 的负矩
阵. 显然有 A + (-A) = O. 由此可定义矩阵的差为
线性代数课件2-2矩阵的运算
aisbsj
s
aik bkj
k 1
i 1,2,m; j 1,2,,n,
并把此乘积记作 C AB .
2021/2/2
11
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
(4)1A A
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
2021/2/2
6
三、矩阵与矩阵相乘
问题的引入：学院进行体育比赛，四个年级分别获得金、银、 铜牌数为：四年级：3、3、1，三年级：5、4、2，二年级： 4、5、6，一年级：4、4、7； 规定 金牌（3 分，500 元）、银牌（2 分，300 元）、铜牌（1 分， 100 元） 试设计一个表格，及一种运算计算每个年级：总分数，总奖 金数。
2021/2/2
24
(5)设 A 是 3 3 矩阵，D A A1, A2 , A3 是 A 形成的行列
式， A1, A2 , A3 是矩阵 A 的三个列向量。
(1) D1 kA (k)3 A (k)3 D
(2) 选择(a),(b),(c),(d)的正确性
(a) D A3 , A2 , A1 , (b) D A1,A2,A3
矩阵的基本运算
矩阵的基本运算
矩阵是现代数学中一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。矩
阵的基本运算是我们学习矩阵的第一步，本文将介绍矩阵的基本运算
方法和性质。
一、矩阵的定义与表示方法
矩阵可以用来表示一组数按照矩形顺序排列而成的数表。一个矩阵
由m行n列的元素构成，通常用大写字母表示矩阵，如A。矩阵的元
素通常用小写字母表示，如a_ij表示位于第i行第j列的元素。
例如，下面是一个3行2列的矩阵A：
A = [a_11 a_12
a_21 a_22
a_31 a_32]
二、矩阵的加法与减法
给定两个相同维度的矩阵A和B，它们的加法和减法运算定义如下：加法：C = A + B，C的每个元素等于A和B对应位置上元素的和。
减法：C = A - B，C的每个元素等于A和B对应位置上元素的差。
例如，给定矩阵A和B：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
则A + B = [6 8
10 12]
A -
B = [-4 -4
-4 -4]
三、矩阵的数乘
给定一个矩阵A和一个实数c，矩阵A的数乘定义如下：
C = cA，C的每个元素等于A对应位置上元素乘以c。
例如，给定矩阵A和实数c：
A = [1 2
3 4]
c = 2
则2A = [2 4
6 8]
四、矩阵的乘法
矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一部分，给定矩阵A和B，它们的乘法运算定义如下：
C = AB，C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B 的第j列元素的乘积之和。
例如，给定矩阵A和B：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
则AB = [19 22
43 50]
线性代数(第二版)课件：矩阵
A,E 肩并肩,一起行变换,A 阵变E 阵,E 阵变A-1.
矩阵 同样也有
对于方程AX=B⇒X=A-1B,也满足:A,B 肩并肩,一起行变 换,A 阵变E 阵,B 阵变X 阵.对于XA=B⇒X=BA-1可以作列变换
矩阵 定义7 设A 是n 阶方阵,若满足AT=A,则称A 为对称矩阵;
若满足AT=-A,则称A 为 反对称矩阵.
注意:对称矩阵以主对角线为轴对应位置元素相等;反对 称矩阵以主对角线为轴对应位置元 素互为相反数.
矩阵 定义8 设方阵A=(aij)nn,称|A|=|aij|nn(detA)为A 的行列式. 方
得到.
矩阵
矩阵
矩阵
矩阵
矩阵
习题2.3 1.用初等变换化下列矩阵为标准形.
矩阵
矩阵
2.4 分 块 矩 阵
2.4.1 分块矩阵的概念 定义 矩阵A 用若干横线和纵线分成许多小矩阵,每一块
小矩阵称为A 的子块,以子块作为 元素的矩阵称为分块矩阵.
矩阵 可分为
矩阵 2.4.2 分块矩阵的运算
i=1,2,…,m;j=1,2,…,n 则A=B.
注意,行列式与矩阵的区别与联系: (1)行列式是计算式,结果是一个数,矩阵是一个数表; (2)行列式的行数与列数必须相等,但矩阵的行数与列数 可等可不等; (3)行列式与矩阵都有行和列以及所在行与列的元素.
矩阵及其运算
1 1 2 2 2 例4.设A ,B . 求AB , BA, A . 1 1 2 2 4 2 解 AB O , BA , A AA O . 发现 : 尽管 AB 2 2 , BA 2 2 是同类型矩阵, 但是AB BA 矩阵乘法不满足交换律; A O , AB AC B C 矩阵乘法不具有消去律.
( AB )C ij A( BC ) ij
p n k 1 l 1
ail blk ckj ail blk ckj , k 1 l 1 k 1 l 1 p p n n ail blk ckj ail blk ckj l 1 k 1 l 1 k 1
注意 A O O A A Os m Am n Osn Am nOn t Om t I m Am n A Am n I n A OAO AO O IA A A I A
线性方程组的矩阵形式 : a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am 1 x1 am 2 x2 a11 a12 a21 a22 记A am 1 am 2 a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
二.矩阵的线性运算
例如,某公司有3个生产车间A、B、C,分别生 产两种产品 、 , 一月、二月的产量数据如 下表,那么两月累计它们各自的产量,就是做矩 阵的加法.
线性代数——矩阵的运算
BG
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a11 a12
AAa21
a22
am1 am1
2、数乘矩阵的运算规律
a1n
a2n
.
amn
（设 A、B为 m n矩阵，,为数）
1 A A ;
2 A A A ; 3 A B A B .
BG
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矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
矩 阵 C 是 由 矩 阵 A 与 B 按 照 某 种 运 算 得 到 的 ，
这 就 是 下 面 要 给 出 的 矩 阵 乘 法 。
１、定义
设 Aaij 是一个m s矩阵，Bbij 是一个
sn矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积
是一个m n 矩阵 Ccij ，其中
s
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j a ib ss j a ib k kj k 1
am1 bm1
a12b12 a22b22
am2 bm2
a1nb1n a2nb2n amnbmn
BG
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
例如
12 3 5 1 8 9
1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
121 38 59 13 11 4 16 95 04 7 4 4 .
矩阵的基本运算与性质
矩阵的基本运算与性质
矩阵是线性代数中一项重要的数学工具，常用于解决多变量的线性
方程组、线性变换等问题。本文将介绍矩阵的基本运算和性质，帮助
读者更好地理解和应用矩阵。
一、基本运算
1. 矩阵的定义
矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形阵列。我们用大写字母A、
B、C等表示矩阵，元素用小写字母a_ij、b_ij、c_ij等表示。
2. 矩阵的加法
若A、B是同阶矩阵（即m行n列），则A + B的结果是一个与A、B同阶的矩阵，其每个元素等于A、B对应元素的和。
3. 矩阵的减法
若A、B是同阶矩阵，A - B的结果是一个与A、B同阶的矩阵，其
每个元素等于A、B对应元素的差。
4. 矩阵的数乘
若A是一个矩阵，k是一个标量（实数或复数），kA的结果是一个与A同阶的矩阵，其每个元素等于A对应元素乘以k。
5. 矩阵的乘法
若A是一个m行p列的矩阵，B是一个p行n列的矩阵，那么AB 的结果是一个m行n列的矩阵。其中，AB的第ij个元素等于A的第i 行与B的第j列的乘积之和。
6. 矩阵的转置
若A是一个m行n列的矩阵，AT表示A的转置矩阵，即A的行列互换得到的n行m列的矩阵。
二、基本性质
1. 矩阵的分配律
对于任意的矩阵A、B、C和标量k，满足下列性质：
(A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC
k(AC) = (kA)C = A(kC)
2. 矩阵的结合律
对于任意的矩阵A、B和C，满足下列性质：
(AB)C = A(BC)
3. 矩阵的逆
若A是一个可逆矩阵（行列式不等于零），则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。
线性代数 矩阵的基本运算
定义运算规则
矩阵运用的例
1112121222.....................n n a a a a a a =
⋯⋯11211.....................n b b b
对角线对称位置的那些元分别且与等价
(2(2--6)