线性规划练习题含答案
线性规划题及答案
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线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法,用于在给定的约束条件下,寻找一个线性目标函数的最优解。
在实际应用中,线性规划可以用于解决各种决策问题,如生产计划、资源分配、投资组合等。
以下是一个线性规划问题的示例:问题描述:某工厂生产两种产品A和B,每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的加工时间,产品B每件需要3小时的加工时间。
每天的加工时间总共有16个小时。
产品A的利润为100元/件,产品B的利润为150元/件。
工厂的目标是最大化每天的总利润。
解决步骤:1. 定义变量:设产品A的生产数量为x,产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数:目标函数是每天的总利润,即:Z = 100x + 150y。
3. 建立约束条件:a) 加工时间约束:2x + 3y ≤ 16,表示每天的加工时间不能超过16小时。
b) 非负约束:x ≥ 0,y ≥ 0,表示产品的生产数量不能为负数。
4. 求解最优解:将目标函数和约束条件带入线性规划模型,使用线性规划算法求解最优解。
最优解及分析:经过计算,得到最优解为x = 4,y = 4,此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。
通过最优解的分析可知,工厂每天应生产4件产品A和4件产品B,才能达到每天最大利润1000元。
同时,由于加工时间约束,每天的加工时间不能超过16小时,这也是生产数量的限制条件。
此外,也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。
例如,如果产品A的利润提高到120元/件,而产品B的利润保持不变,那么最优解会发生变化。
在这种情况下,最优解为x = 6,y = 2,总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。
这表明,产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量,减少产品B 的生产数量,以获得更高的总利润。
总结:线性规划是一种重要的数学优化方法,可以用于解决各种实际问题。
通过建立目标函数和约束条件,可以将实际问题转化为数学模型,并通过线性规划算法求解最优解。
线性规划题及答案
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线性规划题及答案1. 问题描述假设一家餐馆每天供应两种菜品:A和B。
每份A菜品的成本为2美元,每份B菜品的成本为3美元。
餐馆每天有100美元的预算用于购买这两种菜品。
餐馆预计每天能卖出20份A菜品和30份B菜品。
每份A菜品的售价为5美元,每份B 菜品的售价为4美元。
餐馆希望最大化每天的利润。
2. 线性规划模型设变量:x1:购买的A菜品的份数x2:购买的B菜品的份数目标函数:最大化利润:Z = 5x1 + 4x2约束条件:成本约束:2x1 + 3x2 ≤ 100供应约束:x1 ≤ 20x2 ≤ 30非负约束:x1, x2 ≥ 03. 求解线性规划问题为了求解该线性规划问题,我们可以使用各种数学软件或线性规划求解器。
下面是使用一个线性规划求解器得到的最优解。
x1 = 20x2 = 26.67Z = 186.67解释:根据最优解,餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。
在这种情况下,每天的利润为186.67美元。
4. 灵敏度分析灵敏度分析用于确定目标函数系数或约束条件右侧值的变化对最优解的影响。
下面是对目标函数系数和约束条件右侧值进行灵敏度分析的结果。
目标函数系数灵敏度:如果A菜品的售价增加1美元,即目标函数系数从5变为6,则最优解不变,仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果B菜品的售价增加1美元,即目标函数系数从4变为5,则最优解不变,仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
约束条件右侧值灵敏度:如果成本约束从100美元增加到120美元,则最优解不变,仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果A菜品供应约束从20份增加到25份,则最优解不变,仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果B菜品供应约束从30份减少到25份,则最优解不变,仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
根据线性规划模型的最优解和灵敏度分析的结果,我们可以得出以下结论:- 餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。
线性规划题及答案
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线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B,每一个产品的生产需要消耗不同的资源,并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划,以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2,每一个单位的销售利润为10元;产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2,每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x,生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况,可以得到以下约束条件:2x + 4y ≤ 10 (资源1的消耗)3x + y ≤ 12 (资源2的消耗)x ≥ 0, y ≥ 0 (生产数量为非负数)3. 目标是最大化利润,即最大化销售收入减去生产成本:最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式:目标函数:最大化 Z = 10x + 15y约束条件:2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题:a. 绘制约束条件的图形:画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线,并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点:可行域的顶点为(0, 0),(0, 2.5),(4, 0),(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值:分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0),(0, 2.5),(4, 0),(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值,确定最优解:最优解为Z = 80,即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时,可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果,公司在资源充足的情况下,应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B,以最大化利润。
建模补充-线性规划练习题(带答案)
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线性规划建模习题2.某医院昼夜24小时各时间段内需要的护士数量如下:2:00~6:00 10人;6:00~10:00 15人;10:00~14:00 25人;14:00~18:00 20人;18:00~22:00 18人;22:00~2:00 12人。
护士分别于2:00、6:00、10:00、14:00、18:00、22:00分六批上班,并连续工作8小时。
试确定:(a)该医院至少应设多少名护士,才能满足值班需要;(b)若医院可聘用合同工护士,上班时间同正式工护士。
若正式工护士报酬为10元/小时,合同工护士为15元/小时,问医院聘用正式工和合同工护士各多少人成本最低?3.某人有一笔30万元的资金,在今后三年内有以下投资项目:(1)三年内的每年年初均可投资,每年获利为投资额的20%,其本利可一起用于下一年投资;(2)只允许第一年年初投入,第二年年末可收回,本利合计为投资额的150%,但此类投资限额不超过15万元;(3)于三年内第二年初允许投资,可于第三年末收回,本利合计为投资额的160%,这类投资限额20万元;(4)于三年内的第三年初允许投资,一年收回,可获利40%,投资限额为10万元。
试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。
8.市场对I、II两种产品的需求量为:产品I在1~4月每月需10000件,5 ~9月每月30000件,10 ~12月每月需100000件;产品II在3 ~9月每月15000件,其他月每月50000件。
某厂生产这两种产品成本为:产品I在1 ~5月内生产每件5元,6 ~12月内生产每件4.5元;产品II 在1 ~5月内生产每件8元,6 ~12月内生产每件7元。
该厂每月生产两种产品能力总和不超过120000件。
产品I容积每件0.2立方米,产品II每件0.4立方米,而该厂仓库容积为15000立方米。
要求:(1)若占用本厂每月每立方米库容需1元,该厂应如何安排生产计划,才能在满足市场需求的前提下,确保生产加库存费用最低?(2)上述问题是否有可行解?(3)若该厂仓库不足时,可从外厂租借,租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元,试问在满足市场需求情况下,该厂应如何安排生产,使总的生产加库存费用为最少?15.一个大的造纸公司下设10个造纸厂,供应1000个用户。
《运筹学》_习题_线性规划部分练习题及_答案
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一、思考题1. 什么是线性规划模型,在模型中各系数的经济意义是什么? 2. 线性规划问题的一般形式有何特征?3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步?4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么?5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果,那种结果反映建模时有错误?6. 什么是线性规划的标准型,如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7. 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8. 试述单纯形法的计算步骤,如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9. 在什么样的情况下采用人工变量法,人工变量法包括哪两种解法?10.大M 法中,M 的作用是什么?对最小化问题,在目标函数中人工变量的系数取什么?最大化问题呢? 11.什么是单纯形法的两阶段法?两阶段法的第一段是为了解决什么问题?在怎样的情况下,继续第二阶段? 二、判断下列说法是否正确。
1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2. 线性规划的可行解集是凸集。
3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解,则它有无穷多个最优解。
4. 线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大。
5. 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6. 如果一个线性规划问题有可行解,那么它必有最优解。
7. 用单纯形法求解标准形式(求最小值)的线性规划问题时,与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。
8. 单纯形法计算中,如不按最小非负比值原则选出换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9. 单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量,可使目 标函数值得到最快的减少。
10. 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果。
线性规划练习题含答案
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线性规划练习题含答案一、选择题1.已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形,则实数k 的值为A .-1 BD .1 【答案】B【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分,由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1,所以当直线y=kx+1过点A (2,0),B (0,1故选B 。
2.定义()()max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩,已知实数y x ,满足设{}m a x ,2z x y x y=+-,则z 的取值范围是 ( ) A【答案】D【解析】{},2,20max ,22,22,20x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨⎨-+<--->⎩⎩, 当z=x+y 时,对应的点落在直线x-2y=0z=2x-y 时,对应的点落在直线x-2y=0的右下3.若实数x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则 )A .BCD【答案】DP(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率,数形结3,,4PA k =应选D4.设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.5D. 9【答案】B【解析】解:因为设,x y ∈R 且满足满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩故其可行域为当直线Z=x+2y 过点(1,1)时,z=x+2y 取最小值3, 故选B5.若实数,满足条件则的最大值为( )(A ) (B ) (C ) (D ) 【答案】A【解析】作出如右图所示的可行域,当直线z=2x-y 过点A 时,Z 取得最大值.因为A(3,-3),所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A.x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩2x y -9303-6.设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-120y x a y x y x ,若目标函数z=2x+6y 的最小值为2,则a =A .1B .2C .3D .4 【答案】A【解析】解:由已知条件可以得到可行域,,要是目标函数的最小值为2,则需要满足直线过x 2y 1+=与x+y=a 的交点时取得。
高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题(含答案)
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高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题(含答案)一、单选题1.若x ,y 满足1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩,则4z x y =-的最小值为( )A .-6B .-5C .-4D .12.已知x ,y 满足不等式组240,3260,20,x y x y x y --≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则23z x y =+的取值范围为( )A .32,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B .325,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C .[)6,-+∞D .5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3.设变量,x y 满足约束条件100240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≥⎩,则2z x y =-的最大值为( )A .0B .32C .3D .44.已知实数,x y 满足2030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为( )A .112B .5C .52D .35.若实数x ,y 满足约束条件110x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值是( )A .-1B .0C .1D .26.若,x y 满足约束条件310x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值为( )A .1B .2C .3D .47.不等式44x y +<表示的区域在直线440x y +-=的( ) A .左上方B .左下方C .右上方D .右下方8.已知实数x ,y 满足210,10,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩,则z =2x -y 的最小值是( )A .5B .52C .0D .-19.若实数x ,y 满足约束条件23023020x y x y x ++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩,则3z x y =-的最大值是( )A .6-B .2C .4D .610.已知动点(),P m n 在不等式组400x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩ 表示的平面区域内部及其边界上运动,则35n z m -=-的最小值( ) A .4 B .13C .53D .311.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时,假定它们在一昼夜的时间中随机到达,若两船有一艘在停泊位时,另一艘船就必须等待,则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为( ) A .1116B .916C .716D .51612.若实数,x y 满足约束条件10210y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩,则z )A .1BCD二、填空题13.已知x ,y 满足约束条件1000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为_________.14.已知x 、y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则21x y z x ++=+的最小值是__________.15.在等差数列{}n a 中,125024a a a ≤≥-≤,,,则4a 的取值范围是______. 16.若实数,x y 满足约束条件102310y x x x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数3z x y =+的取值范围是__________ .三、解答题17.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.(1)设投资人用x 万元、y 万元分别投资甲、乙两个项目,列出满足题意的不等关系式,并画出不等式组确定的平面区域图形;(2)求投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?18.若变量x ,y 满足约束条件240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩(1)画出不等式组表示的平面区域; (2)求目标函数z =y +x 的最大值和最小值.19.已知点(),P x y 在圆()2211x y +-=上运动,(1)求12y x --的取值范围; (2)求2x +y 的取值范围.20.已知圆C :222440x y x y +-+-=,直线l :30mx y m -+-=()m R ∈与圆C 相交于A 、B 两点.(1)已知点(,)x y 在圆C 上,求34x y +的取值范围: (2)若O 为坐标原点,且2AB OC =,求实数m 的值.21.已知命题p :0x ∃∈R ,()()2011(0)m x a a ++≤>,命题q :x ∀,y 满足+1002x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,m .(1)若q 为真命题,求m 的取值范围.(2)判断p ⌝是q 的必要非充分条件,求a 的范围22.2021年6月17日9时22分,我国“神舟十二号”载人飞船发射升空,展开为期三个月的空间站研究工作,某研究所计划利用“神舟十二号”飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品,A B 、要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品有关数据如表:(1)试用搭载,A B 产品的件数,x y 表示收益z (万元);(2)怎样分配,A B 产品的件数才能使本次搭载实验的利润最大,最大利润是多少?23.设函数(),()x f x e g x ax b ==+,其中, a b R ∈.(Ⅰ)若1,1a b ==-,当1x ≥时,求证:()()ln f x g x x ≥;(Ⅱ)若不等式()()f x g x ≥在[1,)+∞上恒成立,求()2223a e b -+的最小值.24.对于函数()f x 和()g x ,设集合(){}0,R A x f x x ==∈,(){}0,R B x g x x ==∈,若存在1x A ∈,2x B ∈,使得12(0)x x k k -≤≥,则称函数()f x 与()g x “具有性质()M k ”.(1)判断函数()sin f x x =与()cos g x x =是否“具有性质1()2M ”,并说明理由;(2)若函数1()22x f x x -=+-与2()(2)24g x x m x m =+--+“具有性质(2)M ”,求实数m 的最大值和最小值;(3)设0a >且1a ≠,1b >,若函数1()log x bf x a x=-+与()log x b g x a x=-+“具有性质(1)M ”,求1212x x -的取值范围。
线性规划问题(含答案)
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线性规划问题1、已知实数x y ,满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥,≤,≤≤,则2z x y =-的取值范围是________.[]57-,2、已知实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为 .83、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥,≥,≤≤表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是___57a <≤4、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上,点Q 在曲线22(2)1x y ++=上,那么PQ 的最小值为_____32 5. 已知x 、y R ∈,|1|20y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩, 则目标函数y x S -=2的最大值是 . 25 6. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≤-+,033,042,022y x y x y x 则函数z =x 2+y 2取得最大值时,x +y =___________.答案: 511 7.实数,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,函数z kx y =+的最大值为12,最小值为3,则实数k 为 28. 已知变量x 、y 满足条件6200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数z ax y =+ (其中0a >),仅在(4,2)处取得最大值,则a 的取值范围是 _ a>19. 已知A (3,3),O 为原点,点,002303),(y y x y x y x P ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-的坐标满足是 ,此时点P 的坐标是 . 15.)3,1(;310. 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,则y x 的取值范围是______.[1.8,6]; 11. 已知平面区域:M 11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,记M 关于直线y x =对称的区域为N ,点(,)P x y 满足平面区域N ,若已知OX 轴上的正向单位向量为i ,则向量OP 在向量i 上的投影的取值范围为_____________.1[1,]2-12. 设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥,则22(1)z x y =++的最小值 4 .13.若x 、y 满足,⎩⎨⎧≥+-≤+-220y x y x 则目标函数)(log 21y x C +=的最大值为 .-214、已知,M N 是11106x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所围成的区域内的不同..两点,则||MN15. 已知:点P 满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x 及A (2,0),则||·cos ∠AOP (O 为坐标原点)的最大值是 5 .16.D 是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+14032102y x y x y x 表示的平面区域,则D 中的点),(y x P 到直线10=+y x 距离的最大值是___217.某人上午7时,乘摩托艇以匀速v 海里/时(4≤v ≤20)从A 港出发到距50海里的B 港去,然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去,应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是,x y 小时.(1)写出,x y 所满足的条件,并在所给的平面直角坐标系内,作出表示,x y 范围的图形;(2)如果已知所需的经费1003(5)2(8)p x y =+-+-(元),那么,v w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?解:(1) 由题意得:v =y 50,w =x 300,4≤v ≤20,30≤w ≤100, ∴3≤x ≤10,25≤y ≤225.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x +y 应在9至14小时之间,即9≤x +y ≤14,② 因此满足①②的点(x ,y )的存在范围是图中阴影部分(包括边界).(2) 因为p =100+3(5-x )+2(8-y ),所以3x +2y =131-p ,设131-p =k ,那么当k 最大时,p 最小,在图中通过阴影部分区域且斜率为-23的直线3x +2y =k 中,使k 值最大的直线必通过点(10,4),即当y =4时,p 最小,此时x =10,v =12.5,w =30,p 的最小值为93元.。
线性规划练习题及解答

线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法,它广泛应用于实际问题的解决中。
本文将提供一些线性规划的练习题及解答,以帮助读者更好地理解和运用线性规划。
练习题1:某公司生产两种产品:甲品和乙品。
每天可用于生产的原料数量分别为A和B。
已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1,每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。
假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2,求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。
解答:设甲品的生产量为x,乙品的生产量为y,则目标函数为最大化利润,即maximize p1 * x + p2 * y。
受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A,原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。
另外,x和y的取值范围为非负数(x >= 0,y >= 0)。
这样,我们可以得出完整的线性规划模型如下:maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2:某工厂生产三种产品:甲、乙、丙。
已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3,每天需要的原材料A、B的数量为a和b,每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。
现在要求在给定的原材料数量限制下,求解出最大化利润的生产方案。
解答:设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z,则目标函数为最大化利润,即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。
受限条件为原材料A和B的数量限制,分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。
另外,x、y、z的取值范围为非负数(x >= 0,y >= 0,z >= 0)。
线性规划题及答案

线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B,每一个产品都需要通过两个工序进行加工。
每一个工序的加工时间和利润都不相同。
现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量,以最大化总利润。
请根据以下要求进行线性规划求解。
二、问题分析1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时,产品A在工序2上的加工时间为x2小时。
2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时,产品B在工序2上的加工时间为y2小时。
3. 产品A在工序1上的产量为a1个,产品A在工序2上的产量为a2个。
4. 产品B在工序1上的产量为b1个,产品B在工序2上的产量为b2个。
5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个,产品A在工序2上的利润为p2元/个。
6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个,产品B在工序2上的利润为q2元/个。
三、目标函数和约束条件1. 目标函数:最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。
2. 约束条件:a) 工序1的总加工时间:x1 + y1 ≤ 100小时。
b) 工序2的总加工时间:x2 + y2 ≤ 80小时。
c) 产品A的总产量:a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量:b1 + b2 ≤ 150个。
e) 非负约束:x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
四、线性规划模型最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2,满足约束条件:x1 + y1 ≤ 100,x2 + y2 ≤ 80,a1 + a2 ≤ 200,b1 + b2 ≤ 150,x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
五、求解过程1. 根据线性规划模型,我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。
2. 根据目标函数和约束条件,可以建立线性规划模型,并使用线性规划求解器进行求解。
3. 求解得到最优解,即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量,以及最大化的总利润。
(完整版)简单的线性规划习题含答案
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线性规划教案1.若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z=x+2y的取值范围是()A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选 A2.不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为()A、4B、1C、5D、无穷大解:如图,作出可行域,△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选 B3.满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有()A、9个B、10个C、13个D、14个解:|x|+|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩ppp p作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围4.已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为()A、-3B、3C、-1D、1解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选 D5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品 木料(单位m 3) 第 一 种第 二 种 圆 桌 0.18 0.08 衣 柜0.090.28解:设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 6.有一批钢管,长度都是4000mm ,要截成500mm 和600mm 两种毛坯,且这两种毛坯按数量比不小于31配套,怎样截最合理?解:设截500mm 的钢管x 根,600mm 的y 根,总数为z 根。
线性规划题及答案
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线性规划题及答案一、题目描述假设有一家创造公司,该公司生产两种产品:产品A和产品B。
公司有限的资源包括劳动力和原材料。
产品A每一个单位需要2个小时的劳动力和3个单位的原材料,产品B每一个单位需要4个小时的劳动力和1个单位的原材料。
公司每天有8个小时的劳动力和10个单位的原材料可用。
产品A的售价为每一个单位10美元,产品B的售价为每一个单位8美元。
创造一台产品A的成本为每一个单位6美元,创造一台产品B的成本为每一个单位4美元。
问题:如何确定每种产品的生产数量,以最大化公司的利润?二、线性规划模型假设产品A的生产数量为x,产品B的生产数量为y。
则可以建立如下的线性规划模型:目标函数:最大化利润Maximize Z = 10x + 8y约束条件:1. 劳动力约束:2x + 4y ≤ 8(劳动力总共有8个小时)2. 原材料约束:3x + y ≤ 10(原材料总共有10个单位)3. 非负约束:x ≥ 0, y ≥ 0三、求解线性规划问题为了求解上述线性规划问题,可以使用各种数学软件或者线性规划求解器。
下面给出一个可能的求解过程和结果。
1. 使用线性规划求解器输入模型和约束条件。
2. 求解器计算出最优解,即最大化的利润。
3. 解读结果。
四、求解结果经过计算,最优解如下:最大利润为:$64产品A的生产数量:2个单位产品B的生产数量:2个单位五、结果解释根据最优解,公司应该生产2个单位的产品A和2个单位的产品B,以最大化公司的利润。
此时,公司的最大利润为64美元。
六、敏感性分析敏感性分析用于确定模型的解对于参数变化的稳定性。
下面进行一些敏感性分析。
1. 劳动力的变化:假设劳动力增加到10个小时,重新计算模型。
结果如下:最大利润为:$76产品A的生产数量:2个单位产品B的生产数量:2个单位2. 原材料的变化:假设原材料增加到12个单位,重新计算模型。
结果如下:最大利润为:$76产品A的生产数量:2个单位产品B的生产数量:2个单位通过敏感性分析可以得出,当劳动力和原材料的供应增加时,最优解保持不变。
线性规划习题答案
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习题一P .361. 一个毛纺厂用羊毛和兔毛生产A,B,C 三种混纺毛料,生产1单位产品需要的原料如下表所示.三种产品的单位利润分别是4,1,5.每月可购进的原料限额为羊毛8000单位,兔毛3000单位,问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润?解:设生产A,B,C 三种产品的量分别是123,,x x x ,则模型为123123123123max 4538000..243000,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩2. 某饲料厂生产的一种饲料由6种配料混合配成.每种配料中所含营养成分A,B 以及单位配料购入价由下表所示.每单位饲料中至少含9单位的A,19单位的B.问饲料厂如何配方,使得饲料成本最低且满足要求?解:设每单位饲料中每种配料所需的量为()1,2,3,4,5,6i x i =,则有1234561345623456123456min 3530605027122229..33219,,,,,0z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x =+++++++++≥⎧⎪++++≥⎨⎪≥⎩4. 某产品的一个完整单位包括四个A 零件和三个B 零件.这两种零件(A 和B)由两种不同的原料制成,而这两种原料可利用的数量分别是100单位和200单位.三个车间进行生产,而每个车间制造零件的方法各不相同.下表中给出每个生产班组的原料耗用量和每一种零件的产量.目标是要确定每一个车间的生产班组数使得产品的配套数达到最大.解:设每个车间的生产组数分别为123,,x x x ,则可生产()()123123768594min ,43x x x x x x y ++++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭个单位产品,则线性规划如下:123123123123123max 853*********..76845943,,0yx x x x x x s t x x x y x x x yx x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≥⎨⎪++≥⎪⎪≥⎩6. 设123,,,A A A 三地各有某种纺织原料90,30,70吨,需要调运给12345,,,,B B B B B 五地,后者各需要80,10,30,50,20吨.从()1,2,3i A i =到(1,2,3,4,5)j B j =的路程(千米)如下表所示.现要求设计一个调拨方案,使得总运输吨公里数最少.解: 设从()1,2,3i A i =运往()1,2,3,4,5j B j =的运量为ij x ,则线性规划模型为如下形式,其中ij c 表示从i A 到j B 的运价。
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线性规划练习题含答案一、选择题1.已知不等式组2,1,y xy kxx≤-+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形,则实数k的值为A.-1 B.12- C.12D.1【答案】B【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分,由于AOB∆的面积为2, AOC∆的面积为1,所以当直线y=kx+1过点A(2,0),B(0,1)时符合要求,此时12k=-,故选B。
2.定义()()max{,}a a ba bb a b≥⎧⎪=⎨<⎪⎩,已知实数yx,满足1,1≤≤yx,设{}max,2z x y x y=+-,则z的取值范围是()A、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23B、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,23C、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23D、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23【答案】D【解析】{},2,20max,22,22,20x y x y x y x y x yz x y x yx y x y x y x y x y++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨⎨-+<--->⎩⎩,当z=x+y时,对应的点落在直线x-2y=0的左上方,此时322z-≤≤;当z=2x-y时,对应的点落在直线x-2y=0的右下方,332z-≤≤3.若实数x,y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0yxyx则13++=xyz的取值范围是()A . )7,43(B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,32C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡7,32D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡7,43【答案】D【解析】作出如右图所示的可行域,由于13++=x y z 的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率,数形结合,可知33,,7,[,7]44PA PB PA PBk z k k k z ≤≤==∴∈,应选D4.设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.5D. 9【答案】B【解析】解:因为设,x y ∈R 且满足满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩故其可行域为当直线Z=x+2y 过点(1,1)时,z=x+2y 取最小值3, 故选B5.若实数,满足条件则的最大值为( )(A ) (B ) (C ) (D ) 【答案】A【解析】作出如右图所示的可行域,当直线z=2x-y 过点A 时,Z 取得最大值.因为A(3,-3),所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A.x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩2x y -9303-6.设变量x,y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-12yxayxyx,若目标函数z=2x+6y的最小值为2,则a=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】解:由已知条件可以得到可行域,,要是目标函数的最小值为2,则需要满足直线过x2y1+=与x+y=a的交点时取得。
则为(2a-1,1-a),代入目标函数z=2x+6y中,求解得到a=1.7.实数yx,满足不等式组20206318x yx yx y-≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且()0z ax y a=+>取最小值的最优解有无穷多个, 则实数a的取值是()A.45- B.1 C.2 D.无法确定【答案】B【解析】解:如图所示要是目标函数取得最小值的最优解有无穷多个,则令ax+y=0,并平移过点C24(,)33,(可行域最左侧的点)的边界重合即可。
注意到a>0,只能与AC重合,所以a=18.已知点集,,点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为.若点在点集所表示的平面区域内(不在边界上),则△的面积的最大值是A. B. C. D.【答案】B{}22(,)48160A x y x y x y=+--+≤{}(,)4,B x y y x m m是常数=≥-+A B,M N(,4)D m ADMN12224【解析】解:因为点集A表示的为圆心为(2,4),半径为2的圆,而点集B表示为绝对值函数表示的区域则利用数形结合思想,我们可以求解得到。
【题型】选择题9.在平面直角坐标系中,若不等式组101010x yxax y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩(α为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a的值为()A. -5 B.1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】解:当a<0时,不等式表示的平满区域如图中的M,一个无限的角形区域,面积不可能为2,故只能a0≥,此时不等式表示的区域为如图中的N,区域为三角形区域,若这个三角形的面积为2,则AB=4,即点B(1,4),代入y=ax+1,得a=3 10.已知方程:220x ax b++=(,)a Rb R∈∈,其一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,则22(3)z a b=++的取值范围为A.2( B.1(,4)2C. (1,2)D. (1,4)【答案】B【解析】解:222f(x)x ax2b,f(0)0f(1)0,f(3)0b0,a2b10,2a2b40a bz(a3)b-1z2解:设由图像可知,三者同时成立,求解得到由线性规划知识画出可行域,以为横轴,为纵轴,再以为目标,几何意义为区域内的点到(3,0)的距离的平方,当a=-1,b=0时,z最大为4,当点到直线a+2b+1=02的距离为最小为,由题目,不能去边界2=++><>>++<++>=++11.的取值范围是则满足约束条件变量122,1243,++=≤-+≥≥⎪⎩⎪⎨⎧xysyxxyxyx()A.[1,4] B.[2,8] C.[2,10] D.[3,9]【答案】B【解析】约束条件34120xy xx y≥≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩表示的区域如图,221112y ysx x++=++=⨯,11yx++表示点(x,y)与点(-1,-1)的斜率,PB的斜率为最小值,PA的斜率为最大值,斜率的取值范围是[1,4],112yx++⨯的取值范围是[2,8]。
12.若变量x,y满足约束条件1325xy xx y≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y的最大值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C【解析】:∵作出可行域,作出目标函数线,可得直线与与的交点为最优解点,∴即为(1,1),当1,1x y==时max3z=y x=325x y+=13.在集合}4,1,1|),{(≤+≥≥=y x y x y x A 中,y x 2+的最大值是 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8. 【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域,可以看出,当直线2z x y =+经过点(1,3)时, 2z x y =+最大值为7,故选C. 14.设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长},则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )A B . C .D .【答案】A 【解析】解:0,0,1011由题意可知,x y x y x x y y>⎧⎪>⎪⎪-->⎨⎪->⎪->⎪⎩ 即为所求的区域A15,变量y x ,满足4001+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩x y x y x ,则有( )A .max min 2,0==z zB .max min 3,0==z zC .min min 3,1==z z 无最大值D .max min 0,2==-z z 【答案】A【解析】解:利用不等式组,做出可行域,然后目标函数表示的为,区域内的点,到定点(0,1),直线的斜率的取值范围,则可以利用边界点得到选项A16..设m 为实数,若22250{()|30}{()|25}0x y x y x x y x y x y mx y -+⎧⎪-∈⊆+⎨⎪+⎩R ,,、,≥≥≤≥,则m 的最大值是( )A .43B .34C .23D .32【答案】B17.已知点1(,)40x x y x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩是不等式组表示的平面区域内的一个动点,且目标函数2z x y =+的最大值为7,最小值为1,则a b ca++的值为( )A .2B .12C .-2D .-1【答案】C18.的取值范围是则满足约束条件变量122,012430,++=≤-+≥≥⎪⎩⎪⎨⎧x y s y x xy x y x ( ) A.[1,4]B.[2,8]C.[2,10]D.[3,9]【答案】B19.已知变量x ,y 满足约束条件1,0,20,y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤0≥≤则24x y z =的最大值为A .16B .32C .4D .2【答案】B20.设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥+-00432032y y x y x ,若目标函数 by ax z +=(其中0,0>>b a )的最大值为3,则b a 21+的最小值为【答案】A21.设x ,y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y ≤≥≥≥若目标函数zax by (a >0,b >0)的最大值为12,则23a b的最小值为 A .83B .256C .113D . 4【答案】B22.设m>1,在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z=x+5y 的最大值为4,则m 的值为_______。
【答案】33.已知在平面直角坐标系xoy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
若(,)M x y 为D 上的动点,点的坐标为,则z OM OA =的最大值为( )A. B.C .4D .3【答案】C A24.已知点满足,点在曲线上运动,则的最小值是( )ABC . D【答案】A25.设不等式组所表示的平面区域是,平面区域与关于直线对称,对于中的任意一点A 与中的任意一点B , 的最小值为( ) A .B .C .4D .2【答案】C26.若点M(y x ,)是平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220内任意一点,点A (-1,2),则z OM OA =⋅的最小值为B.24- 2 【答案】A 【解析】略27.给出平面区域如图所示,其中A (1,1),B (2,5),C (4,3),若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个,则a 的值是 A 、32B 、1C 、4D 、23【答案】A二、填空题(题型注释)28.设实数,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数9,则(,)P x y 1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩Q 1(0)y x x =<PQ x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩1Ω2Ω1Ω3490x y --=1Ω2Ω||AB 285125小值为__ ___。