第一二章练习题-新

第一章 集 合 论 基 础 一、填空题
1.设⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+<≤=i x x A i 110,N i ∈，则
=∞
= 1
i i
A
_________________.
2.欲使{正整数全体}～{正奇数全体},只须令映照=)(n ϕ___________，n 为正整数.
3.欲使),(b a ～),(+∞-∞，只须令映照
=)(x ϕ___________＿＿,x 为正实数.
4.设=∞
R
{实数列全体}，则∞R 的势为
___________.
5.设A 是B 的子集，则A ______B .
6.设[0,1]中无理数全体所成集为E ，则
=E _________.
7.
设
,A B
为集合，则
()
\A B B ________A B （用描述集合
间关系的符号填写）.
8.
设
,A B
为集合，则
()\B A
A ________A （用描述集合间关
系的符号填写）. 9.
,,2,1),,0(),1
,
0(212 ===-m m A m
A m m 则
=n
n
A lim ______，=n n
A lim
____________.
10.⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+-=+1212,012m A m ,⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+=m A m 211,02, ,2,1=m , 则=n n
A lim ____________，
=n n
A lim
______________.
二、判断题
1.可数集的交集必为可数集。

（ ）
2.有限或可数个可数集的并集必为可数集。

（ ）
3. 相等的集合是对等的，但对等的集合不一定相等. （ ）
4.()c c
A A =。

（ ）
5.无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。

（ ）
三、证明题
1．证明集合等式：(\)
A B B A B =
2.证明:)\(\)(B A B A I
I
αααα∈∈= .
3.证明：若
A B
⊂，且
~A A C ⋃，则有
~B B C ⋃。

4.证明：有理数集为可数集。

5.证明：若()f x 为[,]a b 上的连续函数，且
()
f x 不恒为常数，则([,])f a b 的基数为c 。

7.设f(x)是定义于E 上的实函数，a 为一常数，证明（1）
()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞
=⎡
⎤>=
≥+⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣
⎦ （2）
()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞
=⎡
⎤≥=
>-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣
⎦ 8.证明：由直线上互不相交的开区间所组成
的集合至多只有可数个。

9.所有系数为有理数的多项式组成一可数集合.
第二章 n
R 中 点 集
一、填空题
1. E 为闭集的充要条件
是 。

2.若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足 。

3. 设⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=>=x y x y x E 1cos ,0),(，则
='E _______________________________
___．
4.设n
R E ⊂,试用邻域描述：0P 是E 的内点⇔___________；
⇔∈E P 0____________.
5.设n
R E ⊂，若_______________，则称E 为闭集；若_____________，则称E 为自密集；
若_____________，则称E 为完备集．
6.无限个开集的交未必是开集，试写出一个例
子:__________________________________.
7.1
R 上任一非空开集G 可以表示成_________________________________的并集．
8.根据闭集结构可断言：1
R 上的完备集必是_____________________的闭集. 9.设[]Q E -=1,0，则='E ____________，
=0
E ____________，=E ____________．
10.设P 为Cantor 集，则=P ___________，
=0
P ____________．
11.设P 是Cantor 集，Q 是有理数集，
{}N n n A ∈=, ∞
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212,1
n n n
B , 则它
们中的闭集有_____________， 开集有
___________，完备集有____________，稠密集有___________，疏朗集有_____________.
二、判断题
1. 设
E 为点集, P E ∉, 则P 是E
的外点. （ ）
2. 点集
11,2,,E n ⎧
⎫
=⎨⎬⎩
⎭
的闭集. （ ）
3. 任意多个闭集的并集是闭集. （ ）
4. 设n
R E ⊂，若P 不是E 的聚点，则P 一定是E 的孤立点。

（ ）
三、证明题
1.证明:G 为开集⇔G G =0
；F 为闭集
⇔F F =.
2.证明:开集减闭集后的差集仍是开集，闭
集减开集后的差集仍是闭集. 3.设n
n R A R x ⊂∈,，则A x ∈的充要条件
是0),(=A x ρ。

4.证明:n
R 中任一闭集都可表示成可数个开集的交集, 任一开集都可表示成可数个闭集的并集.
5.证明:A 是包含A 的最小闭集,即对任意闭集F ,若A F ⊃,那么A F ⊃.
6.试证一切包含E 的闭集之并恰为E .
7.设1
R A ⊂，A 既是开集又是闭集，证明:=A Φ或者1
R A =.
8.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){}
;x f x a >都是开集，
(){};x f x a ≥都是闭集.
9.设1:R R f n →，证明:)(x f 在n
R 上连续的充要条件是：对任意的闭集1R F ⊂，
})(:{)(1F x f x F f ∈=-必为闭集.。