第八章 静电场中的导体和电介质

103第八章 静电场中的导体和电介质一、基本要求1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。

2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。

3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。

4．了解电场能量、电场能量密度的概念。

二、本章要点 1．导体静电平衡导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。

在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。

2．电位移矢量在均匀各向同性介质中E E D r εεε0==介质中的高斯定理∑⎰⎰=⋅ii sQ s d D 自3．电容器的电容UQ C ∆=电容器的能量CQ W 221=4．电场的能量 电场能量密度D E w ⋅=21 电场能量⎰=VwdV W三、例题8-1 下列叙述正确的有（Ｂ）（Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。

（Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。

104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。

（Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。

（Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。

解：选（B ）。

由高斯定理⎰⎰∑=⋅0/εi iq s d E，由 ∑=⇒=00φq ，但场强则不一定为零，如上题。

（C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。

（D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。

（E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。

8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。

令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。

解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为RQ U 0114πε-=点电荷Ｑ2在球心的电势为RQ R Q U 020221234πεπε=⋅=所以，O 点的总电势为RQ Q U U U 012210123ε-=+=由于整个导体球壳为等势体，则0U U A =RQ Q 012123ε-=8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。

若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。

解：连接前，空心球电势RQ U 24011πε=，所以带电量为1051018RU Q πε=实心球电势RQ U 0224πε=，所以带电量为2024RU Q πε=连接后，两球电势相等，但总电量不变。

有U U U '='='21或 RQ 018πε'RQ 024πε'=2121''Q Q Q Q +=+联立解得+='1012(38U R Q πε2U ） 3221U U U +=' 8-4 一不带电的导体壳，壳内有一个点电荷0q ，壳外有点电荷1q 和2q 。

导体壳不接地，下列说法中正确的是（A 、B 、D ）；若导体壳接地，下列说法中正确的是（A 、B 、C 、D ）。

（Ａ）1q 与2q 的电量改变后，壳内场强分布不变。

（Ｂ）1q 与2q 在壳外的位置改变后，壳内的场强分布不变。

（Ｃ）0q 的电量改变后，壳外的场强分布不变。

（Ｄ）0q 在壳内的位置改变后，壳外的场强分布不变。

8-5 如图，半径为Ｒ的不带电的金属球内有两个球形空腔，在两个空腔中分别放点电荷1q 和2q ，在金属球外放一点电荷3q ，它们所带电荷均为q 。

若1q 和2q 到球心距离都是2/R ，3q 到球心距离R r >>，则1q 受力为_______，2q 受力为_________，3q 受力约为________。

解：1q 、2q 受力为0。

球为等势体，球外表面感应电荷均匀分布，电场在球外也呈径向对称分布。

由高斯定理球外场强为20214r q q E πε+=所以，3q 受力约为20220213424)(rq r q q q F πεπε=+= 8-6 半径分别为Ｒ1和Ｒ2（Ｒ1＜Ｒ2 ）互相绝缘的两个同心导体球壳，内球带电＋Ｑ。

取地球与无限远的电势均为零。

求（１）外球的电荷和电势。

106 （２）将外球接地后再重新绝缘，此时外球的电荷和电势。

（３）再将内球接地，此时内球的电荷。

解：（1）由于内球带电＋Ｑ，由静电平衡条件和高斯定理知，外球壳内表面带电Q -，外表面带电Q +。

因为外球壳外面的场强为204r Q E πε=（2R r >）所以，外球的电势为⎰⎰∞∞==⋅=22204R R dr rQ r d E U πε 204R Q πε（2）外球接地，内表面电量不变，外表面电量变为零，电势为零。

（3）将内球接地后，内球电势为零。

设内球电量变为q ，则0442010=-=R Q R q U πεπε Q R R q 21=8-7 在半径为Ｒ1的均匀带电Ｑ的金属球外有一层相对介电常数为r ε均匀电介质，外半径为Ｒ2，画出电势Ｕ～r 关系曲线和场强Ｅ～r 关系曲线（r 是球心到场点之间的距离）。

解：利用高斯定理⎰=⋅=⋅sQ r D s d D 内自24π24rQ D π内自=由于E Dε=，且⎪⎩⎪⎨⎧><<<=22110R r Q R r R QR r Q 内自 所以，场强分布为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<=22021201440R r r Q R r R rQ R r E r πεεπε107下面求电势分布：2R r >时⎰⎰∞∞==⋅=Rrdr r Q r d E U 204πε rQ 04πε21R r R ≤<时⎰⎰⎰∞∞+=⋅=22202044R rR r rdr rQ dr r Q r d E U πεεπε20200444R QR QrQ r r πεεπεεπε+-=1R r ≤时⎰⎰⎰⎰∞∞++=⋅=21212020440R R R r R rrdrrQ dr r Q dr r d E U πεεπε 202010444R QR QR Q r r πεεπεεπε+-=Ｕ～r 曲线和Ｅ～r 曲线如图所示：8-8 如图，一无限大均匀带电介质平板Ａ，电荷面密度为1σ，将介质板移近导体Ｂ后，Ｂ导体外表面上靠近Ｐ点处的电荷面密度为2σ，Ｐ点是Ｂ导体表面外靠近导体的一点，则Ｐ点的电场强度大小为__________________。

解：仅知P 点附近电荷面密度，其它地方不知，不能用场强叠加方法。

做如图所示的高斯面，其底面面积s 很小，可认为s 面上各点场强相等。

由于导体表面是等势面，所以s 面上各点场强垂直于导体表面。

P 点在底面上，另一底面在导体内部，面上各点场强为零。

由高斯定理，得02/εσs s E P = 02/εσ=P E8-9将一带电导体平板Ａ和一电介质平面Ｂ平行放置，如图所示。

在真空中平衡后，108 Ａ两侧的面电荷密度分别为1σ和2σ，则Ｂ的面电荷密度3σ等于___________。

解：在导体平板内任找一点P ，则02220030201321=--==--=εσεσεσE E E E P所以213σσσ-=8-10 半径为Ｒ、相对介电常数为r ε均匀电介质球中心放一点电荷Ｑ，球外是真空，在距中心ｒ＞Ｒ的Ｐ点场强大小为__________。

解：利用高斯定理容易求得Ｐ点场强204rQ E πε=。

8-11 平行板电容器中充满某种均匀电介质，电容器与一个电源相连，然后将介质取 出，则电容器的电容量Ｃ、电量Ｑ、电位移D 、电场强度E 、板间电压Ｕ与取出介质前相比，增大的有_______，减小的有__________，不变的有__________。

解：介质取出前，有d U E =d U E D εε== d s C ε= U ds Q ε= 介质取出后，有d UE =d U D 0ε= ds C 0ε= U d s Q 0ε= 所以，各量均无增大，减小的有C 、Q 、D ，不变有E 、U 。

8-12 一球形电容器由半径为Ｒ的导体球壳和与它同心的半径为４Ｒ的导体球壳所组成，Ｒ到２Ｒ为相对电容率为2=r ε的电介质，２Ｒ到４Ｒ为真空。

若将电容器两极板接在电压为Ｕ的电源上，求（1）电容器中场强的分布；（2）电容器的电容。

解：不妨先设内外球壳电量分别为Q Q -+、，由高斯定理容易求得场强分布 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<=Rr R rQ R r R r Q E r 424242020πεεπε电容器两极板之间的电压为⎰⎰⎰+=⋅=R R R R r R R dr r Q dr r Q r d E U 4220220444πεεπεR Q 08πε= 所以RU Q 08πε=109（1）电容器中场强的分布⎪⎩⎪⎨⎧><<<=Rr R rRU Rr R rRU E 422222（2）电容器的电容==UQC R 08πε 8-13 半径分别为Ｒ1和Ｒ2的同轴导体圆筒间充满相对电容率为r ε的均匀电介质。

现使圆筒带电，单位长度电荷各为＋1λ（内筒）和＋2λ（外筒），如图所示。

（1）求两筒间的电压；（2）设轴线上电势为零，分别求Ｐ点和Ｑ点的电势。

（Ｐ和Ｑ与轴分别相距P r 和Q r ） 解：（1）场强分布为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=2101120R r R rR r E r επελ两筒间电压⎰⎰==⋅=2121120101/ln 22R R rr R R R R dr r r d E U επελεπελ（2）设轴线上电势为零，则0=P U⎰⎰===-Q Qr R r R Q rr Q R R r dr r Edr U U 11110101/ln 22επελεπελ101/ln 2R r U Q rQ επελ-=8-14 将一空气平行板电容器与电源相连进行充电，使电容器储存能量Ｗ1。

若充电后断开电源，然后将相对介电常数为r ε的电介质充满该电容器，电容器储存的能量变为Ｗ2，则比值Ｗ1/Ｗ2=______________；如果充电后不断开电源，则比值Ｗ1/Ｗ2=______________。