3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)

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高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修2-2

高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修2-2

(2)图像法
(3)导数法
K12课件
7
一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内:
1) 如果恒有 f′(x)>0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递增; 2) 如果恒有 f′(x)<0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递减。
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.
K12课件
6
结论:
设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这
个区间内y ′ >0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数; 如果在这个区间内y ′ <0,那么y=f(x)为这个区间内的
减函数.
y ′ >0
增函数
判断函数单 调性
新疆
王新敞 奎屯
y ′ <0
减函数
判断函数单调性的常用方法:
(1)定义法
f(x) lim f(x Δx) f(x)
Δx0
Δx
K12课件
2
新课讲授
引例 区
已知函数y=x2-4x+3,求证:这个函数在 间用(定2,义+法∞判)上断是函单数调单递调性增的的步. 骤:
(1)任取x1<x2 ( 2 ) 作差f(x1)-f(x2)并变形 (3)判断符号
(4)下结论 引入
函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化 的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增 加量之间的关系,于是我们设想一下能否利用导数来研究
单调性呢?
K12课件
3
增函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
减函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)函数的定义域为R,y′=3x2-1. 3 3 令3x -1<0,解得- <x< ; 3 3
2
3 3 令3x -1>0,解得x<- 或x> . 3 3
2
因此-
3 3 , 为函数的单调递减区间, 3 3
3 3 , ,+∞为函数的单调递增区间. 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a= 时,f′(x)=x2-2x+1=0, 3 有且只有f′(1)=0. 1 所以,实数a的取值范围为[ ,+∞). 3
[一点通] 已知函数y=f(x),x∈[a,b]的单调性,求参数 的取值范围的步骤:
(1)求导数y=f′(x);
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a,b]上恒成立问题;
3.判断y=ax3-1(a∈R)在R上的单调性. 解:∵y′=3ax2,又x2≥0. (1)当a>0时,y′≥0,函数在R上单调递增; (2)当a<0时,y′≤0,函数在R上单调递减; (3)当a=0时,y′=0,函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间:
(1)y=2x-ln x; x (2)y= +cos x; 2 (3)y=x3-x.
②判断f′(x)的符号;
③给出单调性结论.
1.下列函数中,在(0,+∞)上为增加的是 A.y=sin x C.y=x3-x B.y=x·x e
(
)
D.y=ln x-x
解析:(sin x)′=cos x, (x·x)′=ex+x·x=(1+x)·x, e e e 1 (x -x)′=3x -1,(ln x-x)′=x-1,
3 2
当x∈(0,+∞)时,只有(x·x)′=(1+x)·x>0. e e

2018年高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修2-2

2018年高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修2-2

x1 x2
x
这表明:导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2-4x+3的图象:
y
0 ....2
.. .
x
函数的导数与函数的单调性的关系
曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导
数.从函数 yx24x3的图像可以看到:y
区间
y=f(x) =x2-4x+3
切线的 f′(x) 斜率
y
令2x-2>0,解得x>1.
∴当x∈(1,+∞)时,
f′(x)>0,f(x)是增函数.
令2x-2<0,解得x<1.
∴当x∈(-∞,1)时, f′(x)<0,f(x)是减函数
2
fx = x2-2x+4
O1
x
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求定义域D
(2)求导数
(3)求解不等式f ′(x)>0,求得其解集再根据解集写出单调递 增区间
当1<x<4时,f '( x ) >0; 当x>4,或x<1时, f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时, f '( x ) =0.
试画出函数f(x)图象的大致形状。
y y=f(x)
临界点
O1
4
x
例2、确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是
增函数,哪个区间内是减函数.
你们写对了吗?
解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2.
设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这
个区间内y ′ >0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数; 如果在这个区间内y ′ <0,那么y=f(x)为这个区间内的

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件:3.1.1 导数与函数的单调性

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件:3.1.1 导数与函数的单调性
3
【题后反思】 函数f(x)的单调性与其导数f′(x)的符号有什么关系?
提示:在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
函数的单调性 单调递增
单调递减 常函数
导数
f′(x)≥0,且f′(x)在(a,b)内的任何子区间上都 不恒为零
f′(x)≤0,且f′(x)在(a,b)内的任何子区间上都 不恒为零
f′(x)=0
【解题策略】 原函数与导函数关系的判定方法
(1)对于原函数图像,要看其在哪个区间内是增加的,则在此区间内导数值大于零. 在哪个区间内是减少的,则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定 导函数图像. (2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.
【跟踪训练】 已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四 个图像中,y=f(x)的图像大致是 ( )
(2)函数y=f(x)的导数是f′(x)=x2-3x+2,由f′(x)>0解得x<1或x>2,那么函数 y=f(x)的递增区间是(-∞,1)∪(2,+∞)吗? 提示:不是,函数的单调区间不能用“∪”连接.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数的导数越小,函数值的变化越慢,函数的图像就越“平缓”. ( )
()
A.增函数
B.减函数
C.有增有减 D.不能确定
【解析】选A.y′=1-sin x≥0,因此函数为增函数.
3.若函数y=x3+ax在R上是增函数,则a的取值范围是
.
【解析】因为y′=3x2+a,由题意得3x2+a≥0,a≥-3x2在R上恒成立,因为-3x2≤0,

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)

x (2,3) 时,f ( x ) 0 则 f ( x )
∴ f ( x ) 2 x 3 3 x 2 36 x 16 的增区间为 ( ,2) 和 ( 3, ) ,减区间为 ( 2,3) 。 图形
2 2 f ( x ) 3 x 3 3 ( x 1) ∵ 解 : ( 1)
0
f ( x)
y log 0.5 x
1 y k切线 x ln 0.5
0
f ( x)
y x 的导数与其单调性又如何??试描述其中关系。 2 yx
2
x ( ,0)时,
y k切线 2 x 0
f ( x ) 在 ( ,0)上
x (0,) 时, y k切线 2 x 0
再观察指数、对数函数的导数及单调性: x y y 2x 1 y y 2
x
y k切线 2 ln 2 0
x
f ( x)
(递增)
y k切线 0.5 x ln 0.5 0 f ( x) (递减)
x
y log 3 x
y k切线
1 x ln 3
y 6 x 1
y
y = 2x + 5
y=x
y = -3x + 4 的导数是-3 ,
是负数,其图像单调递减。 再画 y 0.5 x 2 ,
x
y= -0.4x + 1
y 0.5 x 2
y 6 x 1及 y 0.4 x 1
的图像,观察规律。
y = -3x + 4
引例
观察下列函数的导数,它们与函数的单调性是 否有关系??
(1) y x , y 1
( 2) y 2 x 5 , y 2

最新高中数学北师大版选修2-2第3章1《第1课时导数与函数的单调性》ppt课件

最新高中数学北师大版选修2-2第3章1《第1课时导数与函数的单调性》ppt课件
f′(x)≠0,即抠去了分界点,此时f(x)为增函数, 就一定有f′(x)>0. • ∴当f(x)可导且f′(x)≠0时,f′(x)>0课是堂讲f练7(C互x中动小)学为课件增http://函
• (3)f′(x)≥0与f(x)为增函数的关系. • f(x)为增函数,一定可以推出f′(x)≥0,但反之
1.函数y=xln x在区间(0,1)上是( ) A.是增函数 B.是减函数
C.在(0,1e)上是减函数,在(1e,1)上是增函数
D.在(0,1e)上是增函数,在(1e,1)上是减函数 [答案] C [解析] y′=ln x+1,当0<x<1e时,y′<0,当1e<x<1时, y′>0.
• 本章的学习重点是应用导数解决函数的单调 性、极值、最值问题,同时利用导数的概念 形成过程中的思想分析问题并建立导数模
课堂讲练7C互中动小学课件
第三章 §1 函数的单调性与极值
第1课时 导数与函数的单调性
课堂讲练7C互中动小学课件
• 5.利用导数判断单调性常与一些参数有关, 此时要注意对参数的分类讨论.
• 6.导数的绝对值的大小对函数图像的影响
• 一般地,如果一个函数在某一区间上导数的 绝对值越大,说明函数在这个区间内的变化 越快,这时,函数的图像就比较“陡峭”; 反之,函数的图像就“平缓”一些. 课堂讲练7C互中动小学课件
• 递增函数就是函数值随自变量的增大而增大, 一个函数的增长速度快,就是说,在自变量 的变化相同时,函数值的增长大,即平均变
化率大,导数也就大;递减函数就是函数值
随自变量的增大而减小,一个函数减小得快,
那么在自变量的变化相同时,函数值的减小
越多,即平均变化率大,导数的绝对值也就

高中数学 北师大选修2-2 3.1.1导数与函数的单调性

高中数学 北师大选修2-2  3.1.1导数与函数的单调性

只需证
g(1) g(1)
0,0即11
a a
2 2
0, 0
解得
:
1
a
1
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1) f (x) x3 3x
(2) f (x) x2 2x 3
(3) f (x) sin x x x (0, ) (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
解 : (1) f (x) x3 3x f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0 因此, f (x) x3 3x在R上单调递增.如图1所示.
x 在(, 0)上单调递减,在(0, )上单调递减.
而y
1 x2
,因为x
0, 所以y
0.
再观察函数y=x2-4x+3的图象:
y
0 ....2
.. .
该函数在区间(-∞,2) 上单减,切线斜率小于0, 即其导数为负;
在区间(2,+∞)上单 增,切线斜率大于0,即
x 其导数为正.
而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
解: (3) f (x) sin x x x (0, ) f (x) cos x 1 0
因此,函数f (x) sin x x 在(0, )单调递减, 如图
解: (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
当f (x) 0,即
时,函数f (x) 2x3 3x2 24x 1
函数的单调性与导数的关系:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间 如果f´(x)>0, 则f(x)在这个区间为增函数; 如果f´(x)<0, 则f(x)在这个区间为减函数. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.

2018学年北师大版高中数学选修2-2课件:3.1.1导数与 函数的单调性 精品

2018学年北师大版高中数学选修2-2课件:3.1.1导数与 函数的单调性 精品
若a>0, f (x) 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾.
若a=0, f (x) 1 0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,则 f ( x) 3a( x
1 )( x 3a
1 3a
),易知此时f(x)
恰有三个单调区间.
故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:(
v
v2
(v≠0).
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1,x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时
1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数;
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
在区间(2,+∞)内,切线的斜率
为而正增,大函,即数y=>f(0x)时的,值函y随数着y=xf(的x)增在大
y
区间(2, +∞)内为增函数.
在区间(-∞,2)内,切线的斜
1 1
率增为大负而,减函小数,y即=f(x<)0的y时值,随函着数x的
o
-1
x
பைடு நூலகம்
y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数.
3
3
因此, f(x)的递增区间是: (2k 2 ,2k 2 )(k Z);
3
3
递减区间是: (2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1

2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 3.1.1导数与函数的单调性 课件(12张)[文字可编辑]

2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 3.1.1导数与函数的单调性 课件(12张)[文字可编辑]
(2)利用导数求函数单调性,大多数情况下归 结为对含参数的不等式的解集的讨论;
(3)在能够通过因式分解求出不等式对应方 程解时,依据根的大小进行分类讨论;
(4)二次项系数有参数时对二次项系数讨论
(5)在不能通过因式分解求出不等式对应方 程解时,根据不等式对应方程的判别式进行分 类讨论.
课堂练习(巩固新知)
增函数; 如果在这个区间内 y'<0 那么函数y=f(x)
为在这个 区间内的减函数 .
y
y
y=f(x)
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
利用导数研究函数单调性的步骤 : (构建模板)
?(1)求函数f(x)的定义域; ?(2)求函数f(x)的导函数 f ' (x); ?(3)解不等式 f '(x) >0得f(x)的单调递增
区间;解不等式 f '(x) <0得f(x)的单调递减
区间.
?说明:往往也可以求出f′(x)=0的根,用‘穿根 法' 进行判断
牛刀小试 例1:求函数f ( x ) ? ln x ? x 2 ? x 的单调区间:
解:函数的定义域是 (0,+∞),
f
'(x) ?
1
?
2x ? 1 ?? Nhomakorabea2x2 ?
x?1 ?
单调递增; 当 x ? ( x2, ? ? )时,g(x)<0, f ' ( x ) ? 0, 函数f(x)
单调递减.
综上 当 a ? 0 时,函数f(x) 在(0,?? )上单调递增;
当a?
?

高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.1.2导数与函数单调性的应用课件北师大版选修2_2

高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.1.2导数与函数单调性的应用课件北师大版选修2_2

D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
4.若 f(x)=-12x2+bln(x+2)在区间(-1,+∞)上是减少的,则 b 的取值范围

.
解析:f'(x)=-x+������+������ 2≤0 在区间(-1,+∞)上恒成立,即 b≤x(x+2)恒成立.
题型一 题型二
【变式训练 2】 求证:不等式 ln x>2���(������+���-11),其中 x>1.
证明:设 f(x)=ln x-2���(������+���-11)(x>1),

1
f'(x)=������

4 (������+1)2
=
������((������������-+11)2)2.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.当x∈[a,b]时,f'(x)>0,则f(x)在区间[a,b]上是增加的;当x∈[a,b] 时,f'(x)<0,则f(x)在区间[a,b]上是减少的.

a 的取值范围是
-
1 2
,
+

.
题型一 题型二
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN

3.1.1导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)

3.1.1导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)

§1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
●三维目标 1.知识与技能 (1)引导学生发现函数的单调性与导数的关系, 探索研究 其关系的方法; (2)运用导数判断函数的单调性,求函数的单调区间.
菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
演示结束
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1.掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性.(重点、难点) 课标解读 3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其 他函数的单调区间.(重点)
教学时,可借助具体实例发现函数单调性与导数之间 的关系,然后可以从导数的几何意义给予直观解释,再结 合单调性定义和导数定义从代数角度肯定这一关系,这样 就能突破难点,同时加深对导数本质特征的认识. 引导学生解答相应问题,掌握用导数研究函数的单调 性和求函数单调区间的方法和步骤,强化重点.

高二数学北师大版选修2-2 第3章 §1 1.1 导数与函数的单调性课件(39张)

高二数学北师大版选修2-2   第3章 §1 1.1 导数与函数的单调性课件(39张)
第三 章
导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
课前预习学案
1.对于函数f(x)=x2-2x.
(1)写出函数的递增区间和递减区间. (2)在递增区间内,导函数f′(x)的符号确定吗?在递减区间 内呢? [提示] (1)递增区间为(1,+∞),递减区间为(-∞,1), (2)f′(x) = 2x - 2 ,故在递增区间 (1 ,+ ∞) 内, f′(x) > 0 ;在 递减区间(-∞,1)内,f′(x)<0.
x2-1 = x <0,∴0<x<1.
答案: A
2.若三次函数f(x)=ax3-x在区间(-∞,+∞)内是减函 数,则( ) B.a≤1 A.a≤0
1 C.a=2 D.a=3 解析: ∵f′(x)=3ax2-1,若f(x)在(-∞,+∞)上是减
函数,∴f′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即3ax2-1≤0恒 成立,∴a≤0.
件.当函数在某个区间内恒有 f′(x)=0,则f(x)为常数函数,不
具单调性.所以f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.
(2)求函数单调区间的步骤: ①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f′(x);
③由 f′(x) > 0( 或 f′(x) < 0) 解出相应的 x 的范围.当 f′(x) > 0
2.对于函数f(x)=sin x,在区间
π ,π 2
π 0, 2
内单调递增,在
内单调递减.那么,f′(x)在这两个区间内符号又怎样
π π x在0,2内为正,在2,π内为负.
呢?
[提示] f′(x)=cos
利用导数的符号判断函数单调性
函数在区间(a,b)上的单调性与其 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数在(a,b)上的单调性 增加 ________ 减少 ________ 常函数 ________
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[精解详析]
ln x 由于f(x)= x ,
1 x-ln x 1-ln x x· 所以f′(x)= = , x2 x2 由于0<x<2,所以ln x<ln 2<1, 1-ln x 故f′(x)= >0, x2 即函数在区间(0,2)上是增加的.
[一点通]
利用导数判断或证明一个函数在给定区间
上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0) 在给定区间上恒成立.一般步骤为: ①求导f′(x);
(3)由不等式恒成立求参数范围;
(4)验证等号是否成立.
7.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的 取值范围是________.
解析:因为f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数, f′(x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在R上只能增 1 加,所以Δ=4-12m≤0,所以m≥ . 3 1 答案:[ ,+∞) 3
ห้องสมุดไป่ตู้
3.判断y=ax3-1(a∈R)在R上的单调性. 解:∵y′=3ax2,又x2≥0. (1)当a>0时,y′≥0,函数在R上单调递增; (2)当a<0时,y′≤0,函数在R上单调递减; (3)当a=0时,y′=0,函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间:
(1)y=2x-ln x; x (2)y= +cos x; 2 (3)y=x3-x.
(2)已知函数的单调性求参数的范围,这类问题往往
转化为不等式的恒成立问题,即f′(x)≥0或f′(x)≤0在给定区 间恒成立,从中求出参数范围,但应注意能否取到等号需 要单独验证.
[思路点拨]
先确定函数的定义域,再对函数求导,
然后求解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,并与定义域求交集从 而得到相应的单调区间.
[精解详析]
(1)函数的定义域为(0,+∞),
1 其导函数为y′=2-x. 1 1 令2-x>0,解得x> ; 2 1 1 令2-x<0,解得0<x< . 2
1 1 因此, 2,+∞ 为该函数的单调增区间, 0,2 为该函
3 2
当x∈(0,+∞)时,只有(x·x)′=(1+x)·x>0. e e
答案:B
1 2.证明函数f(x)=x+x在(0,1]上是减少的.
2 1 x -1 证明:∵f′(x)=1- 2= 2 , x x
又∵x∈(0,1],∴x2-1≤0(只有x=1时等号成立), 1 ∴f′(x)≤0,∴f(x)=x+x在(0,1]上为减少的.
如下关系: 导函数的正负 函数在(a,b)上的单调性 增加 减少 常数函数
f′(x)>0
f′(x)<0
f′(x)=0
(1)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点
使f′(x)=0,而其余点恒有f′(x)>0(或f′(x)<0),则f(x)仍 为增加的(或减少的),例如函数y=x3,x∈R,则f′(x)= 3x2,尽管当x=0时,f′(x)=0,但该函数y=x3在R上仍 为增加的.
答案:B
6.求下列函数的单调区间: (1)y=x3-2x2+x; 1 2 (2)y= x +aln x. 2
解:(1)y′=3x2-4x+1. 1 令3x -4x+1>0,解得x>1或x< , 3
2
因此,y=x3-2x2+x的单调递增区间为(1,+∞),
1 -∞, . 3
1 再令3x -4x+1<0,解得 <x<1. 3
②判断f′(x)的符号;
③给出单调性结论.
1.下列函数中,在(0,+∞)上为增加的是 A.y=sin x C.y=x3-x B.y=x·x e
(
)
D.y=ln x-x
解析:(sin x)′=cos x, (x·x)′=ex+x·x=(1+x)·x, e e e 1 (x -x)′=3x -1,(ln x-x)′=x-1,
理解教材新知
第 三 章 §1
1.1
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1.1 导数与函数的单调性
已知函数(1)y1=2x-1,(2)y2=-x+10,(3)y3=2x,
1 (4)y4=2x,(5)y5=log2x,(6)y6=log 1 2
x.
问题1:求上面六个函数的导数.
(2)在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数y=f(x)在
该区间上为增加(或减少)的充分不必要条件,而不是充 要条件.
[例1]
ln x 证明函数f(x)= x 在区间(0,2)上是增加的.
[思路点拨]
要证函数f(x)在(0,2)上为增加的,只要
证f′(x)>0在(0,2)上恒成立即可.
2
因此,y=x -2x
3
2
1 +x的单调递减区间为3,1.
x2+a a (2)函数的定义域为(0,+∞),y′=x+ x = x ,当a≥0时 1 2 y′>0,∴y= x +aln x的增区间为(0,+∞),无减区间.当 2 a<0时,由y′>0得x> -a,由y′<0得0<x< -a, 1 2 ∴y= x +aln x的增区间为( -a,+∞),减区间为(0, -a). 2
ax+1 8.已知函数f(x)= 在(-2,+∞)内是减少的,求实 x+2 数a的取值范围. ax+1′x+2-ax+1· x+2′ 解:f′(x)= x+22
2a-1 = ,由函数f(x)在(-2,+∞)内是减少的知 x+22 f′(x)≤0在(-2,+∞)内恒成立, 2a-1 即 ≤0在(-2,+∞)内恒成立, x+22
数的单调减区间.
1 (2)函数的定义域为R,y′= -sin x. 2 1 令 -sin x<0, 2 π 5π 解得2kπ+ <x<2kπ+ (k∈Z); 6 6 1 7π π 令 -sin x>0,解得2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z). 2 6 6
π 5π 因此函数递减区间为 2kπ+ 6,2kπ+ 6 (k∈Z),递增区间 7π π 为2kπ- 6 ,2kπ+6 (k∈Z).
提示:(1)y′1=2,(2)y′2=-1,(3)y′3=2xln 2,
1 (4)y′4=2xln
1 =-2xln 2, 2
1 1 1 (5)y′5= ,(6)y′6= =- . xln 2 1 xln 2 xln 2
问题2:试判断所求导数的符号.
提示:(1)(3)(5)的导数为正,(2)(4)(6)的导数为负.
1 因此a≤ . 2 1 x+1 2 1 1 又当a= 时,f(x)= = 为常数函数, 2 x+2 2
1 所以不符合题意,所以a的取值范围是-∞,2.
(1)在利用导数来讨论函数的单调性时,首先要确定 函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内通过讨 论导数的符号来确定函数的单调区间.
(3)函数的定义域为R,y′=3x2-1. 3 3 令3x -1<0,解得- <x< ; 3 3
2
3 3 令3x -1>0,解得x<- 或x> . 3 3
2
因此-
3 3 , 为函数的单调递减区间, 3 3
3 3 , ,+∞为函数的单调递增区间. 3 3
1 2 5.(2012· 辽宁高考)函数y= x -ln x的单调递减区间为 2 ( A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞) )
1 2 解析:函数y= x -ln x的定义域为(0,+∞),y′=x 2 1 x-1x+1 -x= ,令y′≤0,则可得0<x≤1. x
-∞,-
[一点通]
利用导数求函数f(x)的单调区间,实质上
是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.但要特别注意的是, 不能忽略函数的定义域,应首先求出函数的定义域,在 定义域内解不等式.另外,如果函数的单调区间不止一 个时,应用“及”“和”等连接,而不能写成并集的形式.
4.函数f(x)的导函数y=f′(x)的图像如右 图,则函数f(x)的 递增区间为________. 解析:当-1≤x≤0或x≥2时f′(x)≥0,可得递增区间为[- 1,0]和[2,+∞). 答案:[-1,0]和[2,+∞)
1 解得a≥ . 3 1 当a= 时,f′(x)=x2-2x+1=0, 3 有且只有f′(1)=0. 1 所以,实数a的取值范围为[ ,+∞). 3
[一点通] 已知函数y=f(x),x∈[a,b]的单调性,求参数 的取值范围的步骤:
(1)求导数y=f′(x);
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a,b]上恒成立问题;
问题3:试判断上面六个函数的单调性. 提示:(1)(3)(5)在定义域上是增加的,(2)(4)(6)在定义 域上是减少的. 问题4:试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
提示:当f′(x)>0时,f(x)为增加的,当f′(x)<0时,f(x)
为减少的.
函数在区间(a,b)上的单调性与其导函数的符号有
[例3]
若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上是增加的,
求实数a的取值范围.
[精解详析] 因为f′(x)=3ax2-2x+1,
由题意f(x)在R上是增加的, 知f′(x)≥0对x∈R恒成立, 即3ax2-2x+1≥0在R上恒成立. 当a=0时,显然不成立,
a>0, 所以 Δ=4-12a≤0,
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