初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案

故选 C． 【点睛】
本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键
6．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔 A 离河边的距离 AB ，采取了如下措施：如 图在江边 D 处，测得信号塔 A 的俯角为 40，若 DE 55米， DE CE ， CE 36米， CE 平行于 AB ， BC 的坡度为 i 1: 0.75，坡长 BC 140 米，则 AB 的长为( )（精确 到 0.1 米，参考数据： sin 40 0.64 ， cos 40 0.77 ， tan 40 0.84 ）
b
a
b
键性结论；运用三角函数的定义证明知 tan∠OAB= 2 为定值，即可解决问题． 2
【详解】
解：分别过 B 和 A 作 BE⊥x 轴于点 E，AF⊥x 轴于点 F，
则△BEO∽△OFA，
∴ BE OE ， OF AF
设点 B 为（a， 1 ），A 为（b， 2 ），
a
b
则 OE=-a，EB= 1 ，OF=b，AF= 2 ，
2
2
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边
垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
8．如图，点 E 从点 A 出发沿 AB 方向运动，点 G 从点 B 出发沿 BC 方向运动，同时出发 且速度相同， DE GF AB （ DE 长度不变， F 在 G 上方， D 在 E 左边），当点 D 到 达点 B 时，点 E 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是
由作法得 CA＝CB＝CD＝AB，故 B 正确；
∴点 B 在以 AD 为直径的圆上，
∴∠ABD＝90°，故 A 正确；
∴点 C 是△ABD 的外心，
在 Rt△ABC 中，sin∠D＝ AB ＝ 1 ， AD 2
∴∠D＝30°，∠A＝60°，
∴sinA＝ 3 ，故 C 正确；cosD＝ 3 ，故 D 错误，
A．∠ABD＝90°
B．CA＝CB＝CD
C．sinA＝ 3 2
D．cosD＝ 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由作法得 CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点 C 是△ABD 的外心，根
据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结
论．
【详解】
详解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵点 A（1，1），
∴OA= ，
∴BO=
，
∵直线 AC 的解析式为 y=x， ∴直线 BD 的解析式为 y=-x， ∵OB= ， ∴点 B 的坐标为（− ， ），
∵点 B 在反比例函数 y= 的图象上，
【详解】
∵菱形 ABCD 的周长为 20cm
∴AD=5cm
∵sinA= 3 5
∴DE=3cm（①正确）
∴AE=4cm
∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm
∴BD= 10 cm（④不正确）
所以正确的有三个．
故选 D
【点睛】 该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答．
11．如图，在 Rt△ABC 内有边长分别为 a，b，c 的三个正方形．则 a、b、c 满足的关系式 是（ ）
x
x
A．逐渐变小 【答案】D 【解析】 【分析】
B．逐渐变大
C．时大时小
D．保持不变
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到 BE OE ；设 B 为（a， 1 ），A 为
OF AF
a
（b， 2 ），得到 OE=-a，EB= 1 ，OF=b，AF= 2 ，进而得到 a2b2 2 ，此为解决问题的关
∴y＝S△BMD−S△CNE＝ 1 （BM·DM−CN·EN）＝ 2
1 2
tan
x2
tan
a
x2
a
tan 2
2x
a
，
∵ a tan 为常数， 2
∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，
故选：A．
【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识 点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动 点的完整运动过程．
∵BC 的坡度为 1:0.75 ∴设 CF 为 xm，则 BF 为 0.75xm ∵BC=140m
∴在 Rt△BCF 中， x2 0.75x2 1402 ，解得：x=112
∴CF=112m，BF=84m ∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG 是直角三角形 ∵DE=55m，CE=FG=36m ∴DG=167m，BG=120m 设 AB=ym ∵∠DAB=40°
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】
【分析】
设 a＝ 1 BC，∠B＝∠C＝α，求出 CN、DM、EN 的长度，利用 y＝S△BMD−S△CNE，即可求解． 2
【详解】
解：设 a＝ 1 BC，∠B＝∠C＝α，则 MN＝a， 2
∴CN＝BC−MN−BM＝2a−a−x＝a−x，DM＝BM·tanB＝x·tanα，EN＝CN•tanC＝（a−x）·tanα，
D．﹣2
∴
，
解得，k=-3， 故选 C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题 意，利用反比例函数的性质解答．
2．如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A ， B 在同一水平面 上）．为了测量 A ， B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地起飞，垂直上升 1000 米到
1
= DE·AB·sinB
2
∵DE、AB 和∠B 都为定值
∴S 阴影也为定值
故选 B．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和
三角形的面积公式是解决此题的关键．
9．如图， AB 是 O 的弦，直径 CD 交 AB 于点 E ，若 AE EB 3 ， C 15 ，则 OE 的长为( )
【详解】
解：在 RtABC 中，∵ CAB 90 ， B ， AC 1000米，
Fra Baidu bibliotek
∴ tan AC ， AB
∴ AB AC 1000 米． tan tan
故选：C． 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型．
3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 AC=2，cosA= 2 ，那么 AB 的长是（ ） 3
a
b
可代入比例式求得 a2b2
2 ，即 a2
2 b2
，
根据勾股定理可得：OB=
OE2 EB2
a2
1 a2
，OA=
OF 2 AF 2
b2
4 b2
，
∴tan∠OAB= OB OA
a2
1 a2
b2
4 b2
2 b2
b2 2
=
b2
4 b2
1 2
(
4 b2
b2)
=
2
b2
4 b2
2
∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.
合，点 N 不与点 C 重合），且 MN 1 BC ， MD BC 交 AB 于点 D ， NE BC 交 2
AC 于点 E ，在 MN 从左至右的运动过程中，设 BM x ， BMD 的面积减去 CNE 的 面积为 y ，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
A．
（）
A．一直减小
B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 GE，过点 E 作 EM⊥BC 于 M，过点 G 作 GN⊥AB 于 N，设 AE=BG=x，然后利用锐角三
角函数求出 GN 和 EM，再根据 S 阴影=S△GDE＋S△EGF 即可求出结论． 【详解】
解：连接 GE，过点 E 作 EM⊥BC 于 M，过点 G 作 GN⊥AB 于 N
∴tan40°=
DG AG
167 y 120
0.84
解得：y=78.8 故选：C 【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
7．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法 是：如图：
（1）作线段 AB，分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点 C； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D； （3）连接 BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案
一、选择题
1．如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y= 的图象上，对角线 AC 与 BD 的交 点恰好是坐标原点 O，已知点 A（1，1），∠ABC=60°，则 k 的值是（ ）
A．﹣5
B．﹣4
C．﹣3
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点 B 的坐标，从而可以求得 k 的值．
∵ AE 3， ∴ OE AE tan 60 3 3 ，
故选 D． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，在 x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与
函数 y 1 、 y 2 的图象交于 B、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
A．78.6 米
B．78.7 米
C．78.8 米
D．78.9 米
【答案】C
【解析】
【分析】
如下图，先在 Rt△CBF 中求得 BF、CF 的长，再利用 Rt△ADG 求 AG 的长，进而得到 AB 的长
度
【详解】
如下图，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 延长线于点 F，延长 DE 交 AB 延长线于点 G
达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 ，则 AB 两地之间的距离约为（ ）
A．1000sin 米
【答案】C 【解析】
B．1000 tan 米
C． 1000 米 tan
D． 1000 米 sin
【分析】
在 Rt△ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000 米，根据 tan AC ，即可解决问题． AB
A．3 【答案】A
B． 4 3
C． 5
D． 13
【解析】
根据锐角三角函数的性质，可知 cosA= AC = 2 ，然后根据 AC=2，解方程可求得 AB=3. AB 3
故选 A.
点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值
cosA= A的邻边 ，然后带入数值即可求解. 斜边
4．如图，在 ABC 中， AB AC ， MN 是边 BC 上一条运动的线段（点 M 不与点 B 重
A．b=a+c
B．b=ac
C．b2=a2+c2
D．b=2a=2c
【答案】A
【解析】
【分析】
利用解直角三角形知识.在边长为 a 和 b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得
a b c ，化简得 b＝a＋c，故选 A. ba c
【详解】
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12．如图，菱形 ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，DE⊥BC 于点 E，连接 OE，∠DOE＝120°，DE ＝1，则 BD＝（ ）
5．菱形 ABCD 的周长为 20cm,DE⊥AB,垂足为 E,sinA= 3 ,则下列结论正确的个数有（ ） 5
①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为 15cm2; ④BD=2 10 cm．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C 【解析】
【分析】
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案
设 AE=BG=x，则 BE=AB－AE=AB－x
∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB
∴S 阴影=S△GDE＋S△EGF
= 1 DE·GN＋ 1 GF·EM
2
2
= 1 DE·（x·sinB）＋ 1 DE·[（AB－x）·sinB]
2
2
= 1 DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB] 2
A． 3
B．4
C．6
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 OA ．证明 OAB 是等边三角形即可解决问题．
【详解】
如图，连接 OA ．
D． 3 3
∵ AE EB ， ∴ CD AB ，
∴ AD BD ， ∴ BOD AOD 2ACD 30 ， ∴ AOB 60 ， ∵ OA OB ，
∴ AOB 是等边三角形，